Tanárklub 2015. okt. 7. 1 / 17 Matematikatanárok Klubja Szimmetriák és leszámlálások Kiss Emil http://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/ ewwkiss@gmail.com 2015. okt. 7.
Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html
Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s
Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja https://www.youtube.com/watch?v=0_lzd8wjlve
Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja https://www.youtube.com/watch?v=0_lzd8wjlve A mai előadás korábbi változata https://www.youtube.com/watch?v=lgr0w1laxki
Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja https://www.youtube.com/watch?v=0_lzd8wjlve A mai előadás korábbi változata https://www.youtube.com/watch?v=lgr0w1laxki (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?)
Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja https://www.youtube.com/watch?v=0_lzd8wjlve A mai előadás korábbi változata https://www.youtube.com/watch?v=lgr0w1laxki (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?) Kiss Emil: Bevezetés az algebrába.
Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s Tassy Gergely: Catalan-számok, fák Prüfer kódja https://www.youtube.com/watch?v=0_lzd8wjlve A mai előadás korábbi változata https://www.youtube.com/watch?v=lgr0w1laxki (Hogyan mondanám el középiskolásoknak?) Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. Ingyen letölthető: http://www.interkonyv.hu/konyvek/164-kiss-emil
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 3 / 17 Háromszög-szimmetria Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3 Hematit Ametiszt Kvarc vasoxid: Fe 2 O 3 szilicium-dioxid: SiO 2
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 4 / 17 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Vörös berill Smaragd Akvamarin
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 4 / 17 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Egy szimmetriatengely körüli 60 -os elforgatás. Vörös berill Smaragd Akvamarin
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 5 / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 5 / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Összesen 48 szimmetria. Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 5 / 17 Kocka oktaéder-szimmetria Összesen 48 szimmetria. Hogyan számoljuk meg őket? Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik.
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás.
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz.
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt.
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük.
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják.
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják. A négyzet szimmetriái: négy forgatás és négy tükrözés.
Szimmetriák Tanárklub 2015. okt. 7. 6 / 17 A szimmetria mint permutáció Egy négyzet, kocka szimmetriái a tér azon egybevágóságai, amelyek az egész alakzatot, mint halmazt önmagukba viszik. Például ilyen egy négyzet középpontja körüli 90 fokos forgatás. Nyilván csúcs képe szimmetriánál csúcs lesz. Elég a csúcsok képeit ismerni, az meghatározza a transzformációt. Legyen X (rendszerint véges) halmaz (pl. egy kocka csúcsai). Az X halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű függvényeket az X halmaz permutációinak nevezük. Ezek a kompozíció (egymás után alkalmazás) műveletére nézve az S X szimmetrikus csoportot alkotják. A négyzet szimmetriái: négy forgatás és négy tükrözés. Hogyan lehet a szimmetriákat általában megszámolni?
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor C A B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: C A B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), C A B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. C A B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. C A B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. C P 1 A B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 1 A B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 1 A P 3 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 A P 3 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 5 P 1 A P 3 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 5 P 1 A P 3 P 6 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 pályája hatelemű. P 5 P 1 A P 3 P 6 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 2 C P 4 P 1 pályája hatelemű. P 5 P 1 A P 3 Q 1 P 6 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 5 P 2 C P 4 P 1 P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, A P 3 Q 1 P 6 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. P 5 P 2 C Q 2 P 4 P 1 P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, A P 3 Q 1 P 6 B
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van,
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás).
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is).
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma)
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma) (fixáló trafók száma) =
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 7 / 17 Pálya és stabilizátor X a sík, G az ABC szabályos háromszög szimmetriái: három forgatás (k 120 ), három tükrözés. Alkalmazzuk egy P 1 pontra az összes szimmetriát. A P 2 C Q P 2 5 Q 3 Q 1 P 3 P 6 P 4 P 1 B P 1 pályája hatelemű. Q 1 az AB felező merőlegesén van, pályája háromelemű. A középpont pályája egyelemű. P 1 -et 1 transzformáció hagyja fixen (csak az identitás). Q 1 -et 2 transzformáció hagyja fixen (egy tükrözés is). A középpontot 6 transzformáció hagyja fixen. (Pálya elemszáma) (fixáló trafók száma) = szimmetriák száma
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 8 / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport).
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 8 / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 8 / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra. Az A X pont stabilizátora azokból a G-beli permutációkból áll, amelyek A-t fixálják, azaz önmagába képzik.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 8 / 17 A pálya és stabilizátor elemszámának összefüggése Legyen G az X véges halmaz permutációinak olyan összessége, amely bármely két elemének kompozícióját (egymás utánját) is tartalmazza (azaz részcsoport). Az A X pont pályáját úgy kapjuk, hogy az összes G-beli permutációt alkalmazzuk A-ra. Az A X pont stabilizátora azokból a G-beli permutációkból áll, amelyek A-t fixálják, azaz önmagába képzik. Pálya stabilizátor-tétel Ha egy pont pályájának és stabilizátorának elemszámát összeszorozzuk, akkor a G elemszámát kapjuk.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma T U D A V B W C
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka,
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U A T D V B W C ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba,
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű:
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A,
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ).
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban,
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz.
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L = 8 3 2 1
A szimmetriák száma Tanárklub 2015. okt. 7. 9 / 17 A kocka szimmetriáinak a száma U T D A V W C B ABCDUVWT egy kocka, G a szimmetriacsoportja. A átvihető B-be az AB felező merőleges síkjára tükrözéssel. Minden csúcs is a szomszédaiba, így minden csúcs minden csúcsba. Tehát az A csúcs pályája nyolcelemű: {A,B,C,D,U,V,W,T}. Legyen H az A csúcs stabilizátora G-ben. Ekkor G = 8 H. Minden h H távolságtartó és h(a) = A, így h(b) {B, D, U}. Ezeket meg is kapjuk AW körüli forgatással (±120 ). Ezért H-nál a B pályája háromelemű. Legyen L a B stabilizátora H-ban, akkor H = 3 L. L-nél C pályája a kételemű {C, V}. Végül L-ben C stabilizátora már egyelemű lesz. Így G = 8 H = 8 3 L = 8 3 2 1 = 48.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt?
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük?
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is?
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz ( ) 9 = 36. 2
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ( ) 9 = 36. 2
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = 36. 2 Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = 36. 2 Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = 36. 2 Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma!
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = 36. 2 Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = 36. 2 Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma. Szimmetrák bármely kompozícióra zárt halmazát (azaz csoportját) tekinthetjük,
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 10 / 17 Egy általános iskolai versenyfeladat A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt? És ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? És ha a tükrözéssel egymásba vihetőket is? ( ) 9 Mivel 3 3 mező van, az első kérdésre a válasz = 36. 2 Legyen G a négy forgatásból álló csoport, ez permutálja a 36 megoldást. Két megoldás akkor vihető forgatással egymásba, ha egy pályán vannak. Ezért a második kérdés a pályák száma! Burnside-(Cauchy-Frobenius-)lemma A pályák száma a szimmetriák fixpontjainak átlagos száma. Szimmetrák bármely kompozícióra zárt halmazát (azaz csoportját) tekinthetjük, ezért a harmadik kérdésre is választ kapunk.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük?
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között (ehhez 1, vagy legalább 4 mezőt kellene választani a feladatban).
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 11 / 17 A feladat megoldása A 3 3-as sakktáblán hányféleképp választhatunk két mezőt, ha a forgatással egymásba vihető megoldásokat azonosnak vesszük? Ki kell számolnunk a fixpontok átlagos számát. Az identitásnak nyilván 36 fixpontja van. A 180 -os forgatásnak a középpontra tükrös megoldások a fixpontjai. Ezek száma (9 1)/2 = 4. Egyik 90 -os forgatásnak sincs fixpontja a 36 között (ehhez 1, vagy legalább 4 mezőt kellene választani a feladatban). Így a pályák száma (36+4+2 0)/4 = 10.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 12 / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 12 / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 12 / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van,
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 12 / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 12 / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 12 / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 12 / 17 A forgatás és tükrözés esete Ha tükrözést is megengedünk, akkor nyolc szimmetria van. Az identitás, illetve a forgatások fixpontjainak száma ugyanaz, mint az előző esetben. Mind a négy tengelyes tükrözés esetében hat fixpont van, ebből három olyan, ahol a kiválasztott mezők a tengelyen vannak. Az eredmény (36+4+2 0+4 6)/8 = 8.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig?
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat.
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai:
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 2 4 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 2 4 2 4 3 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 1 2 4 2 4 2 4 3 3 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Összesen: 24 permutáció 264 = 24 11 Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 3
Lényegesen különböző megoldások Tanárklub 2015. okt. 7. 13 / 17 Négy csúcsú gráfok Négy számozott csúcson 2 (4 2) = 64 gráf van. És izomorfia erejéig? Az S 4 teljes szimmetrikus csoport permutálja ezeket a gráfokat. identitás 1 permutáció 64 gráf fixpont 64 = 1 64 (123) 8 permutáció 4 gráf fixpont 32 = 8 4 (1234) 6 permutáció 4 gráf fixpont 24 = 6 4 (12) 6 permutáció 16 gráf fixpont 96 = 6 16 (12)(34) 3 permutáció 16 gráf fixpont 48 = 3 16 Összesen: 24 permutáció 264 = 24 11 Tehát 11 darab nemizomorf négycsúcsú gráf van. Az (123) permutáció (1 2 3 1 és 4 4) fixpont-gráfjai: 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 3
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített),
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják. Az előzőek szerint az A pályájának minden B elemére teljesül, hogy annyi G-beli permutáció viszi A-et B-be, ahány eleme A stabilizátorának van G-ben.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 14 / 17 A pálya-stabilizátor tétel bizonyítása Ha A X a G egy elemével átvihető B X-be, akkor ugyanannyi elem viszi A-et B-be, mint A-t A-ba. Bizonyítás Ha h(a) = B (h rögzített), akkor minden g G esetén g(a) = B h 1 g(a) = A és k(a) = A hk(a) = B. A g h 1 g és hk k megfeleltetések egymás inverzei a (G-beli) A B, illetve A A permutációk között. Utóbbiak az A pont G-beli stabilizátorát alkotják. Az előzőek szerint az A pályájának minden B elemére teljesül, hogy annyi G-beli permutáció viszi A-et B-be, ahány eleme A stabilizátorának van G-ben. Így G elemszáma a pálya és a stabilizátor elemszámának szorzata.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.)
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni,
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van.
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van. Ezért N = k G (ahol k a pályák száma).
Két bizonyítás Tanárklub 2015. okt. 7. 15 / 17 A Burnside-lemma bizonyítása Legyenek G pályái az X halmazon O 1,...,O k. (Ezek páronként nem metszik egymást és lefedik X-et.) Kétféleképpen megszámoljuk azokat a (g,a) párokat, ahol g(a) = A (és g G, A X). A számuk legyen N. Rögzített A mellett ez A stabilizátorának elemszáma. A pálya-stabilizátor tétel miatt a G / O i számokat kell összeadni, a G / O i -t annyiszor, ahány eleme O i -nek van. Ezért N = k G (ahol k a pályák száma). Rögzített g mellett g fixpontjainak számát kapjuk.