Stacionárius töltésáramlás

1 BEVEZETÉS Stacionárius töltésáramlás 1 Bevezetés Stacionárius (id független) konduktív töltésáramlást ('egyenáram') megengedve, de minden más id beli változást kizárva id független térjellemz k és J árams r ség. D eltolási vektor nem függ az id t l, ezért a ρ = 1 4π div D térfogati töltéss r ség is id független.

2 A KONTINUITÁSI EGYENLET 2 A kontinuitási egyenlet Töltéss r ség id ben állandó a V tartományon belüli ˆ Q = ρ( r) d 3 r teljes töltés megmarad V -b l nem áramlik ki töltés ˆ J( r) d s = div J d 3 r = 0 V V V Összehúzva V-t egy pontra kapjuk a kontinuitási egyenletet. div J = 0

2 A KONTINUITÁSI EGYENLET Vizsgáljuk két különböz közeg határfelületét, melyet egy L magasságú, a határfelületet mer legesen metsz V hengeres test oszt két részre. Jelölje P 1 és P 2 a henger fed -, illetve alaplapját.

2 A KONTINUITÁSI EGYENLET Mivel V-b l nem áramlik ki töltés, ezért J( r) d s = 0 V Az L magasságot csökkentve (a határfelületre összenyomva a hengert), mind P 2 és P 1 rásimul P -re, V metszetére a határfelülettel, és ˆ ˆ ˆ ˆ J d s J d s + J d s J2 d s J1 d s P 2 P P V P 1 mivel a palást járuléka elt nik: innen ˆ J2 d s = ˆ J1 d s P P

2 A KONTINUITÁSI EGYENLET ahol J 1 és J 2 jelöli az árams r séget a határfelület két oldalán ugyanazon pontban. P -t egy pontra zsugorítva J2 n = J 1 n ahol n a határfelület normális egységvektorát jelöli. Két közeg határfelületén az árams r ség normális komponense folytonosan változik, míg tangenciális komponense ugrást szenvedhet. Vezet -szigetel határfelületen (mivel nincs töltésáramlás a szigetel ben, így ott az árams r ség normális komponense elt nik) a konduktív árams r ség mindig tangenciális.

2 A KONTINUITÁSI EGYENLET P 1 és P 2 jelölje két keresztmetszetét egy szigetel be ágyazott vezet cs nek. Egységnyi id alatt P i -n keresztül átáramló töltés mennyisége I i = P i J d s. Mivel stacionárius áramlás során a keresztmetszetek közti cs darab belsejében a teljes töltésmennyiség nem változhat, ezért I 2 =I 1. Az egységnyi id alatt átáramló töltés mennyisége ('áramer sség') ugyanakkora minden keresztmetszetre.

3 A JOULEHŽ 3 A Jouleh Elektromos vezetés disszipatív folyamat: lokális inhomogenitásokon történ szórási folyamatok révén a mikroszkopikus töltéshordozók kinetikus energiája h vé (termikus uktuációk energiája) alakul át. H mozgás energiájának forrása az elektromos mez által a mikroszkopikus töltéshordozókon végzett munka. Tekintsünk egy ρ( r) térfogati töltéss r séggel jellemzett folytonos töltéseloszlást, amely vákuumban mozog v( r) sebességgel. Az elektromos mez által az egységnyi térfogatban található töltésekre kifejtett er ρ E, így a t innitezimális id tartam alatt rajtuk végzett munka (mivel a

3 A JOULEHŽ térfogat elmozdulása ezalatt v t) ρ E v t = E J konv t ahol J konv = ρ v a konvektív árams r ség. Elektromos mez nem tesz különbséget konduktív és konvektív áramok között, így általában az egységnyi id alatt egységnyi térfogaton végzett munka J E, és tisztán konduktív áramok esetén ez a h termelés forrása. Konduktív töltésáramlás által egységnyi id alatt egységnyi térfogatban termelt h mennyisége (Joule-h ) W = E J kond Joule-törvény

4 ELEKTROMOTOROS ERŽ 4 Elektromotoros er Töltésáramlás disszipatív folyamat stacionárius áramlás fenntartásához szükség van áramforrásra, amely egy lokalizált elektromos mez által felgyorsítva a mikroszkopikus töltéshordozókat kompenzálni képes a h termelés okozta energiavesztességet. A teljes elektromos mez térer ssége E tot = E + E ahol E a térer sség az áramforráson kívül, míg E az áramforráson belüli (lokalizált) térer sség. E helyfüggése általában igen bonyolult, de a részletek érdektelenek

4 ELEKTROMOTOROS ERŽ áramforrás jellemezhet az E = E ( r) d r elektromotoros er segítségével. Áramforrások típusai: 1. Kémiai (galvánelemek, akkumulátorok): kicsiny elektromotoros er. 2. Optikai (napelemek): nagyon kicsiny elektromotoros er, csak megfelel fényintenzitás (pl. er s napfény) esetén m ködik. 3. Mechanikai (er m vek): nagy elektromotoros er, de igen alacsony hatékonyság (jelent s energiavesztesség). 4. Termikus, radioaktív, MHD, stb.

5 STACIONÁRIUS ÁRAMOK ELEKTROMOS MEZEJE 5 Stacionárius áramok elektromos mezeje Elektromos mez okozta konduktív töltésáramlás nem túl nagy térer sségek esetén általánosított Ohm-törvény ('lineáris válasz') Jkond = σ E tot = σ( E + E ) ahol σ a közeg vezet képessége. Az áramforráson kívüli E mez konzervatív, míg az áramforrás belsejére lokalizált E mez kompenzálja a h termelés során disszipált energiát. rot E= 0 következtében létezik Φ( r) potenciál-függvény, amellyel E( r) = grad Φ

5 STACIONÁRIUS ÁRAMOK ELEKTROMOS MEZEJE Mivel nincsenek konvektív áramok, ezért a div J=0 kontinuitási egyenlet és az általánosított Ohm-törvény következtében div ( σgrad Φ ) = div ( σe ) Homogén vezet re, az áramforrásokon kívül ρ = 1 4π div(ε E) = ε 4πσ div J = 0 Nincs makroszkopikus töltéss r ség: fémes vezet ben a negatív töltés elektronok a pozitív töltés atomtörzsek rácsában kvázi-szabadon mozognak, míg egy elektrolitban pozitív és negatív töltés ionok ellentétes irányú áramlása kompenzálja egymást. Potenciál meghatározása általában rendkívül bonyolult.

5 STACIONÁRIUS ÁRAMOK ELEKTROMOS MEZEJE Drótvezet : szigetel közegbe ágyazott vezet cs, melynek átmér je elhanyagolható a hosszához képest. Számítás jelent sen leegyszer södik elektromos hálózatokra (drótvezet k által összekötött áramforrások rendszerére), mivel áramforrások teljes mértékben jellemezhet k elektromotoros erejükkel, az áramforrás szerkezete irreleváns; töltésáramlás lokalizálódik az áramforrásokat összeköt drótvezet kre, és jellemezhet a (keresztmetszet-független) áramer sséggel, az árams r ség pontos helyfüggése érdektelen.

6 AZ OHMTÖRVÉNY 6 Az Ohmtörvény Tekintsünk egy l hosszúságú és A keresztmetszet homogén, egyenes drótvezet t, amelyen I er sség stacionárius áram folyik át. Legyen az x-tengely a drótvezet vel párhuzamos (töltésáramlás iránya), és tegyük fel, hogy az erre mer leges irányokban az áram egyenletes eloszlású Jkond = I A e x

6 AZ OHMTÖRVÉNY Az általánosított Ohm-törvény alapján a stacionárius konduktív áramot E = 1 σ J kond = I σa e x statikus elektromos mez tartja fenn a drótvezet belsejében, amely a Φ(x) = Φ 0 I σa x lineáris potenciál-függvénynek felel meg. Innen a potenciálkülönbség ('feszültség') a drótvezet két vége között U = Φ(0) Φ(l) = Il σa A feszültség arányos az áramer sséggel!

6 AZ OHMTÖRVÉNY ahol U = RI R = l σa Ohm-törvény a drótvezet elektromos ellenállása, amely csak az anyagi összetételt l és a mértani alaktól függ, de független a drótvezet n keresztül folyó áram er sségét l. Az egységnyi id alatt termelt Joule-h mennyisége ˆ W= E J kond d 3 r = ( I σa e x ) ( I A e x ) Al= I2 l σa =I2 R=IU

7 KIRCHHOFF TÖRVÉNYEI 7 Kirchho törvényei Elektromos hálózat: drótvezet kkel összekötött áramforrások rendszere. Elektromos hálózat jellemzése áramforrások E i elektromotoros ereje és a drótvezet k R i elektromos ellenállása segítségével.

7 KIRCHHOFF TÖRVÉNYEI G. Kirchho (1845): az egyes drótvezet kön átfolyó I i áramer sségek meghatározása visszavezethet egy lineáris egyenletrendszer megoldására. Kirchho els törvénye (csomóponti szabály): egy elektromos hálózat bármely csomópontjába (drótvezet k találkozása) befolyó áramok összege megegyezik ugyanezen csomópontból kifolyó áramok összegével (kontinuitási egyenlet integrális alakja).

7 KIRCHHOFF TÖRVÉNYEI Kirchho második törvénye (hurok-szabály): egy elektromos hálózat bármely zárt hurka esetén, a hurokban el forduló drótvezet kre felösszegezve az adott drótvezet ellenállásának és a rajta átfolyó áram er sségének szorzatát, az összeg megegyezik a hurokban el forduló egyes áramforrások elektromotoros erejének összegével. csomóponti szabály töltésmegmaradás hurok-szabály energiamegmaradás Fenti összefüggések lineáris egyenletrendszerre vezetnek az áramer sségek meghatározására, melynek alakját a komponensek R i ellenállása és E i

7 KIRCHHOFF TÖRVÉNYEI elektromotoros ereje mellett a hálózat topológiája határozza meg gráfelméleti módszerek az elektromos hálózatok vizsgálatában. A példában: I 1 = I 2 + I 3 E 2 = R 1 I 1 + R 2 I 2 E 3 = R 2 I 2 R 3 I 3 csomóponti szabály hurok-szabály els hurokra hurok-szabály második hurokra Észrevétel. a harmadik (1-es és 3-as drótvezet b l alkotott) hurok, illetve a másik csomópont gyelembevétele nem ad semmi újat.

7 KIRCHHOFF TÖRVÉNYEI Mátrix alakban 1 1 1 R 1 R 2 0 0 R 2 R 3 I 1 I 2 I 3 = 0 E 2 E 3 aminek megoldása I 1 I 2 I 3 = 1 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 (R 2 + R 3 )E 2 R 2 E 3 R 3 E 2 + R 1 E 3 R 2 E 2 (R 1 + R 2 )E 3

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK 8 Vezetési mechanizmusok Különféle eredet és jelleg mikroszkopikus töltéshordozók az anyag halmazállapotától és a küls körülményekt l függ en: szupravezet knél Cooperpárok; elektrolitokban anionok és kationok; fémekben delokalizált elektronok; félvezet kben elektronok és lyukak. Sok esetben a vezetés klasszikusan modellezhet mikroszkopikus töltéshordozókból álló ideális gáz (vagy plazma, ill. folyadék) segítségével.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Szupravezet k Kamerlingh Onnes (1911): a h mérséklet csökkenésével több anyag fajlagos elektromos ellenállása elt nik (szupravezet vé válik). Meissner és Ochsenfeld (1933): szupravezet k kiszorítják belsejükb l a mágneses mez t (ideális diamágnesek). Bardeen, Cooper és Schrieer (1957): mikroszkopikus magyarázat.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Abrikosov (1956): szupravezet k típusai. Bednorz és Müller (1986): magas h mérséklet szupravezetés.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Mikroszkopikus magyarázat (BCS elmélet): a rácsrezgésekkel történ kölcsönhatásuk következtében köztük fellép gyenge vonzás miatt az elektronok Cooperpárokat alkotnak; a Cooperpárok szuperfolyadékként viselkednek (nincs disszipáció bizonyos h mérséklet alatt). BCS elmélet nem magyarázza a magas h mérséklet szupravezet k létét (kurrens magyarázat: paramagnonok közvetítette elektron-kölcsönhatás). Adott (kritikus alatti) h mérsékleten a szupravezet fázis megsz nik elég er s (kritikus térer sség feletti) mágneses térben.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Fémes vezet k Fémes kristályokban az elektronok egy része delokalizált, a kristály egészéhez köt dik, és nem az egyes atomokhoz/molekulákhoz kvázi-szabadon mozognak küls elektromos mez ben. Magyarázat: energiaszintek sávszerkezete makroszkopikus kristályokban.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Az E F Fermi-energia alatt minden energiaszint telített elektronokkal (alapállapotban) ha a Fermi-energia két sáv közé esik, akkor a kristály szigetel, mert túl nagy energiaátadás szükséges az elektronok mozgatásához. Ha a Fermi-energia egy sáv belsejében található, akkor már igen csekély energia elegend az elektronokat mozgásba hozni, így a kristály jó vezet. H vezetést fémekben többnyire a vezetési elektronok okozzák kapcsolat az elektromos és h vezetési képességek között. Fémes kötés: elektrosztatikus vonzás a pozitív ionok alkotta kristályrács és a delokalizált elektronok között.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Félvezet k Ha a Fermi-energia két sáv között fekszik, de közel az egyikhez, akkor a termikus uktuációk elegend energiát szolgáltathatnak ahhoz, hogy az elektronok mozgásba jöjjenek: félvezet k. Félvezet k vezet képessége exponenciálisan n a h mérséklettel. Töltéshordozók lehetnek lyukak vagy elektronok attól függ en, hogy a Fermi-energia egy sáv tetejéhez vagy aljához közel található. Fontos alkalmazások az elektronikában: diódák és tranzisztorok, integrált áramkörök, stb.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Folyadékok Folyékony anyagok általában szigetel k: csak akkor vezetik az áramot, ha elég nagy koncentrációban tartalmaznak ionokat (elektromosan töltött atomokat és/vagy molekulákat). Az anionok (negatív töltés ionok) az anód (pozitív elektróda), míg a kationok (pozitív töltés ionok) a katód (negatív elektróda) irányába mozognak küls elektromos mez hatására. Rekombináció: az ellentétes töltés ionok kölcsönös semlegesítését eredményez folyamat, amely dinamikus egyensúlyban van az ionizációs mechanizmusokkal (a megfelel ionkoncentráció fenntartására).

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Ionizációs mechanizmusok folyadékokban: 1. ionkristályok olvadékaiban a h mozgás (ionok elhagyják helyüket a rácsban); 2. elektrolitokban (ionkristályok oldatai poláros oldószerekben, pl. NaCl vizes oldata) a releváns ionizációs mechanizmus az elektrolitikus disszociáció: a poláros oldószer molekulái aggregálódnak az ionokkal, ezáltal szeparálva ket és leárnyékolva elektromos töltésüket, így csökkentve a köztük fellép elektrosztatikus kölcsönhatást és a rekombinációra való hajlamot.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Elektrolízis: elektromos mez által indukált kémiai reakció (amikor az ionok elérik az elektródákat elvesztik töltésüket, és elektromosan semleges molekulák válnak ki rajtuk). Faraday törvényei az elektrolízisr l: az elektrolízis során kiváló elemek mennyisége arányos az átfolyó töltéssel, és fordítva arányos az elemek vegyértékével.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Gázok és plazmák Folyadékokhoz hasonlóan a gázok általában szigetel k, kivéve ha elég nagy a mozgékony ionok koncentrációja (ionok rekombinációját valamely ionizációs mechanizmus kompenzálja). Ionizációs mechanizmusok gázokban: 1. h mozgásból származó ütközések magas h mérsékleten; 2. nagy energiájú sugárzások (radioaktív, röntgen, kozmikus) hatása; 3. elektromos mez által felgyorsított ionok ütközése a gázt határoló fal atomjaival/molekuláival, melynek során elektronok lök dnek ki onnan (felületi ionizáció);

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK 4. elektromos mez által nagy sebességre gyorsított elektronok ütközése a gázt alkotó semleges atomokkal és/vagy molekulákkal, melynek során utóbbiak ionizálódnak (térfogati ionizáció). Utóbbi esetben el fordulhat, hogy az ütközések során az elektronok száma megsokszorozódik (Townsendkaszkád), így a kezdeti ionizációt létrehozó hatás megsz nte után is makroszkopikus mennyiség ion marad a gázban önfenntartó gázkisülés.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Önfenntartó gázkisülések típusai növekv nyomás mellett: 1. alacsony nyomáson, meghatározott minimális átütési feszültség felett létrejöv, gyenge fényeektussal kísért ködfénykisülés; 2. közepes nyomáson, er sen inhomogén térben létrejöv koronakisülés (pl. Szent Elmo tüze magas póznák csúcsán); 3. kritikus térer sség felett létrejöv szikrakisülés (pl. villámlás), melynek során szerteágazó, plazmával bélelt ionizációs csatornák jelennek meg a gázban (rekombinációt jelent s h termelés és fényhatás kíséri); 4. nagyon er s tereknél ívkisülés (pl. higanyg z-lámpa).

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Plazma: olyan er sen ionizált, kvázi-semleges gáz, melyben az ionok koncentrációja meghaladja az elektromos árnyékolást jellemz Debyekorlátot mozgékony mikroszkopikus töltéshordozók nagy száma miatt a plazma jó vezet. Az Univerzumban a 'látható anyag' meghatározó része plazma ('negyedik halmazállapot'): a Nap, a csillagok és csillagködök, a Föld magja és ionoszférája, az elektromos ívek, a villámcsatornák, stb.

8 VEZETÉSI MECHANIZMUSOK Plazmák jellemzése elektron-s r ség és h mérséklet alapján.