Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal, vegyünk egy olyan sugarú k 3 kört, amelyre fennáll < r. A k 3 körnek a k 1, k 2 körökkel vett metszéspontjai közül válasszunk két pontot A t és B t oly módon, hogy ezek az M N egyenes egyazon oldalára essenek. Bizonyítsuk be, hogy az N, A, B pontok kollineárisak. 2) A síkon legyen adott egy ABC derékszögű háromszög (γ = 90 ). Vegyük azt a négyzetet, amelynek az egyik oldala az AB átfogó és amelyik nem tartalmazza az ABC háromszöget. Jelölje Q ezen négyzet középpontját. Bizonyítsuk be, hogy a CQ félegyenes felezi a γ szöget. 3) A síkon legyen adva van két kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Az M, N pontokon át húzzunk egy egy szelőegyenest. Ezen szelőknek a k 1 körrel vett további metszéspontjai legyenek A 1 és B 1, a k 2 körrel vett további metszéspontjai pedig legyenek A 2 és B 2. Igazoljuk, hogy az A 1 B 1 és A 2 B 2 egyenesek párhuzamosak. 4) A síkon vegyünk olyan k 1, k 2, k 3 és k 4 köröket, melyek bármelyike a másik három közül két két körrel érintkezik kívülről. A k 1 és k 2 körök érintési pontját jelölje A, k 2 és k 3 érintkezési pontját jelölje B, k 3 és k 4 érintési pontját jelölje C, végül a k 4 és k 1 körök érintési pontját jelölje D. Igazoljuk, hogy van olyan kör, amely áthalad az A, B, C, D pontokon. 5) Egy négyszög esetében középvonalon két szemközti oldal felezőpontját összekötő szakaszt értünk. Igazoljuk, hogy egy négyszög középvonalai a felezőpontjukban metszik egymást. 6) Adva van a síkban egy ABCD négyszög. A BC oldal felezőpontja legyen E, az AD oldal felezőpontja pedig legyen F. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az EF 1 2( AB + CD ) egyenlőtlenség. 7) A síkon legyen adott két pont O 1 és O 2. Vegyük a síkban azon centrális tükrözéseket, amelyek középpontjai ezen O 1 és O 2 pontok. Igazoljuk, hogy a két tükrözés szorzataként (vagyis azok egymás után való végrehajtásával) egy eltolást kapunk. 8) Mutassuk meg, hogy egy háromszöget egyértelműen meghatározza a három oldalfelező pont, vagyis azok ismeretében a háromszög megszerkeszthető. Igazoljuk, hogy a négy oldalfelező pont viszont nem határozza meg egyértelműen a négyszöget. 9) A síkban adva vannak egy ötszög oldalainak a felezőpontjai. Szerkesszük meg ezen pontokból az ötszöget. 10) A síkban adva van egy A csúcsú konvex szög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszünk egy a P ponton áthaladó olyan egyenest, amely a szögből megadott kerületű háromszöget metsz le.
Feladatok a 2. Geometria gyakorlathoz 1) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy A (A = ) alakzatnak van legalább két szimmetriacentruma, akkor az A alakzat nem lehet korlátos, továbbá A nak végtelen sok szimmetriacentruma van. 2) A térben vegyünk két egyenest, melyeket jelöljön g és h. Vegyük az összes olyan szakaszt, amelyek egyik végpontja a g egyenesre, a másik végpontja pedig h ra esik. Mi lesz ezen szakaszok felezőpontjainak mértani helye akkor, ha a két egyenes párhuzamos, metsző, illetve kitérő. 3) Mutassuk meg, hogy két síkbeli tengelyes tükrözés szorzata vagy egy eltolás, vagy pedig egy elforgatás. 4) Egy síkon legyen adva egy ABC hegyesszögű háromszög, továbbá a BC oldalon egy D pont. Ha a CA oldalon veszünk egy E pontot és az AB oldalon egy F pontot, akkor azt mondjuk, hogy DEF az egyik beírt háromszöge az ABC háromszögnek. Rögzített D pont mellett miként kell megválasztani az E, F pontokat ahhoz, hogy a DEF háromszög kerülete minimális legyen? 5)* Egy síkon legyen adva egy ABC hegyesszögű háromszög. Legyenek ezen háromszög magasságvonalainak a talppontjai A 1, B 1 és C 1. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben vesszük az ABC beírt háromszögeit, akkor azok között A 1 B 1 C 1 adja a minimális kerületű háromszöget. (Ezt nevezik Fagnano féle feladatnak.) 6) A síkon adva egy DCE szög, továbbá adott egy h (h > 0) távolság. Vegyünk a CD száron egy A pontot és a CE száron egy B pontot azon feltétellel, hogy a C től mért távolságaikkal fennáll CA + CB = h. Bizonyítsuk be, hogy van a síkban egy olyan P pont, amelyen az összes így nyert AB szakasz felezőmerőlegese áthalad. 7) Vegyünk egy ABC háromszöget, ahol az oldalakra igaz a < b. A C csúcsnál lévő külső szög szögfelezője messe el az AB egyenest az M pontban. Mutassuk meg, hogy fennáll az AM : BM = b : a összefüggés. 8) Ha egy síkban adva van két kör, akkor egy H pontot a körök hasonlósági pontjának mondunk, ha van olyan H centrumú középpontos hasonlóság, amely az első kört a másodikba viszi. Vegyünk olyan k 1 és k 2 köröket, ahol O 1 O 2 = 9 és a körsugarak értéke r 1 = 5, r 2 = 2. Határozzuk meg a hasonlósági pontok O 1 től mért távolságát. 9) Egy körön adva van egy körív, melynek végpontjai A és B. Tekintsük a körív egy P pontját és abban a kör e érintőjét. Az A, B pontokból az e hez húzott merőleges szakaszok talppontja legyen A 1 és B 1, a P pontból az AB húrhoz húzott merőleges szakasz talppontja legyen P 1. Igazoljuk, hogy teljesül (PP 1 ) 2 = AA 1 BB 1. 10) Tekintsünk egy ABCD húrnégyszöget. Vezessük be az a = AB, b = BC, c = CD, d = DA és e = AC, f = BD jelöléseket. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az ac + bd = ef egyenlőség (Ptolemaiosz tétele a húrnégyszögre). 2
Feladatok a 3. Geometria gyakorlathoz 1) A síkban adva van egy O centrumú, r sugarú kör. Vegyünk egy síkbeli P pontot és ezen át egy olyan egyenest, amely az M 1, M 2 pontokban metszi a kört. Hasonló háromszögek alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy fennáll a PM 1 PM 2 = OP 2 r 2 összefüggés. 2) Adva van egy ABC háromszög. A háromszög köré írható kör centrumát jelölje O, a magasságpontot M, a súlypontot pedig S. Hasonlósági transzformációval igazoljuk, hogy az S súlypont harmadolja az OM szakaszt. (Az O, S, M pontokra illeszkedő egyenest mondjuk az ABC háromszög Euler egyenesének.) 3) Legyen adva a térben egy σ sík és egy ABC derékszögű háromszög (γ = 90 ), amelynek AC oldala párhuzamos a σ síkkal. Vegyük az A, B, C pontoknak a σ síkra eső A, B, C vetületi pontjait. Igazoljuk, hogy az A B C vetületi háromszög is derékszögű. 4) Az euklideszi térben adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, melynek ABCD alaplapja egy négyzet és az alapélek hossza a = 4 3. Az M csúcs rajta van az alapnégyzet O középpontján át az alaplap síkjára állított merőlegesen. Ismert továbbá, hogy az ABM és BCM oldallapok hajlásszöge 120. Határozzuk meg a gúla M csúcsba befutó éleinek hosszát (b =?). 5) Tekintsünk egy ABCD parallelogrammát, amelynél az oldalak hossza a és b, az átlók hossza pedig e és f. Igazoljuk, hogy fennáll a 2a 2 + 2b 2 = e 2 + f 2 összefüggés. 6) Tekintsünk egy ABC háromszöget. A háromszög oldalainak hossza legyen a, b és c, a súlyvonalak hossza pedig legyen s a, s b és s c. Bizonyítsuk be, hogy teljesül s 2 a + s 2 b + s 2 c = 3 ) (a 2 + b 2 + c 2. 4 7) Az euklideszi síkon legyen adott két kör k 1 és k 2, melyek kívülről érintik egymást. A körök sugarának értéke ismert r 1 = 9 és r 2 = 4. Tekintsük a két kör közös külső érintőinek egyikét és azon az E 1, E 2 érintési pontokat. Határozzuk meg az érintési pontok távolságát. Számítsuk ki annak a körnek a sugarát, amely érinti a k 1, k 2 köröket és a közös külső érintőt is. 8) Egy ABC derékszögű háromszögben (ahol γ = 90 ) ismert az átfogó hossza c = 4 6 és a C csúcshoz tartozó szögfelező f c = 2 2. Határozzuk meg az a, b befogók hosszát. 9) Tekintsünk egy olyan ABC háromszöget, amely szögeire teljesül α = 2β. Bizonyítsuk be, hogy ezen háromszög oldalaira fennáll az a 2 = b 2 +bc összefüggés. 10) Egy ABC háromszögnél ismerjük az m a, m b, m c magasságokat. Szerkesszük meg a háromszöget. 3
Feladatok a 4. Geometria gyakorlathoz 1) Legyenek a és b olyan vektorok, amelyek nem párhuzamosak egymással és egyenlő hosszúságúak (vagyis a = b ). Mutassuk meg, hogy ekkor az a + b és a b vektorok merőlegesek egymásra. 2) Rögzítsünk a térben egy O pontot. Tekintsünk egy AB szakaszt és valamely m, n pozitív egész számokat. Vegyük az AB szakaszon azt a P pontot, amelyre teljesül az AP : PB = m : n összefüggés. Fejezzük ki az OP helyvektort az OA, OB vektorok lineáris kombinációjaként. 3) Tekintsünk az euklideszi térben egy ABC háromszöget és egy O pontot. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög S súlypontjának helyvektorára fennáll OS = 1( OA + 3 OB + OC). 4) Legyen adott egy ABCD tetraéder. Ha vesszük az egyik csúcs és a szemközti lap súlypontjának az összekötő szakaszát, akkor azt a tetraéder egyik súlyvonalának mondjuk. Helyvektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontra illeszkedik és ez a pont negyedeli a súlyvonalakat. 5) Vegyünk a síkban egy tetszőleges ABC háromszöget. Ennek AC és BC oldalaira kifelé szerkesszük meg az ACP és BCQ szabályos háromszögeket. A CP szakasz felezőpontját jelölje E, a CQ szakasz felezőpontját F, az AB szakasz felezőpontját pedig C 1. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy az EFC 1 háromszög szabályos. 6) A síkban legyen adott egy ABC háromszög. Ennek mindhárom oldalára kifelé állítsunk egy egy szabályos háromszöget. Tekintsük azt a háromszöget, melynek csúcsai azonosak az oldalakra állított szabályos háromszögek középpontjaival. Igazoljuk, hogy ez a háromszög szabályos (Napóleon tétele). 7) A térben adva van három lineárisan összefüggő vektor, melyeknek egy e 1, e 2, e 3 bázisra vonatkozó koordinátái a következők: a(1, 2, 1), b(1, 3, 2), c(1, y, 10). Határozzuk meg a c vektor hiányzó koordinátáját. 8) A térben van négy vektor, melyek koordinátái a következők: a(2, 1, 1), b( 1, 3, 0), c(1, 0, 7) és d(9, 9, 10). Állítsuk elő a d vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Határozzuk meg az ebben szereplő együtthatókat. 9) Legyen adott egy ABCD parallelogramma. Ennek BC és CD oldalán vegyük azon M és N pontokat, melyekre fennáll BM = 1 BC és DN = 1 DC. Jelölje P az AM 2 3 és BN szakaszok metszéspontját. Vektorokat alkalmazva döntsük el, hogy a P pont milyen arányban osztja az AM és BN szakaszokat (AP : P M =?, BP : P N =?). 10) A síkban legyen adott egy olyan ABC háromszög, ahol b < c. Vegyünk egy h hosszt, amelyre fennáll h < b. A BA és CA oldalakon jelöljük ki azon M és N pontokat, melyekre igaz BM = h és CN = h. Jelöljék F és E a BC, MN szakaszok felezőpontjait. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz párhuzamos a háromszög A csúcsbeli szögfelezőjével. 4
Feladatok az 5. Geometria gyakorlathoz Amennyiben a szabad vektorok V terének vesszük egy i, j, k bázisát, akkor a továbbiakban mindig feltesszük, hogy ez a bázis ortonormált. 1) Legyenek α, β és γ olyan 0 és π közé eső valós számok, amelyek különböznek π 2 től és melyekre fennáll α + β + γ = π. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül a tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ összefüggés. 2) Legyen α egy tetszőleges valós szám és n egy pozitív egész szám, amelyre fennáll n 2. Bizonyítsuk be, hogy igazak a cos α + cos ( ) ( ) α + 2π n +... + cos α + (n 1) 2π n = 0, n 1 k=0 sin( ) α + k 2π n = 0, összefüggések. Utalás: Használjuk ki, hogy egy n oldalú szabályos sokszög külső szögeinek mértéke (2π)/n. 3) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az i, j, k ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (2, 1, 2) és b (6, 2, 3). Adjunk meg egy olyan vektort, amely az a, b vektorokkal azonos szöget zár be és előáll a két vektor lineáris kombinációjaként. 4) A szabad vektorok terében vegyük az a = 4i 4j 7k és b = 3i + 12j + 3k vektorokat. Határozzuk meg a két vektor hajlásszögét. 5) Tekintsük azon a és b vektorokat, melyeknél az ortonormált bázisra vonatkozó koordináták a (6, 3, 12) és b ( 3, 5, 8). Bontsuk fel a b vektort az a val párhuzamos és az a ra merőleges összetevők öszegére (b = b p + b m ). Határozzuk meg a b p, b m vektorok koordinátáit. 6) Legyenek x, y, z olyan valós számok, melyekre igaz x 2 +y 2 +z 2 2. Igazoljuk, hogy ezekkel teljesül 2 7 2x 3y + z 2 7. 7) Legyenek adva az O, A, B, C térbeli pontok. Igazoljuk, hogy a pontok által meghatározott irányított szakaszok vektoraira fennáll az OA BC + OB CA + OC AB = 0 összefüggés. 8) Tekintsünk egy ABC szabályos háromszöget. Vegyük a háromszög köré írható k kört és annak egy P pontját. Vektorok skaláris szorzását alkalmazva igazoljuk, hogy a PA 2 + PB 2 + PC 2 összeg értéke nem függ a P köri pont megválasztásától. 9) Legyenek a és b olyan a 0 tól különböző vektorok, amelyek esetében az a + 3b merőleges a 7a 5b vektorra, továbbá az a 4b, 7a 2b vektorok is merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b vektorok hajlásszöge 60. 10) Tekintsünk egy tetszőleges négyszöget, melynél az oldalak hossza a, b, c, d, az átlók hossza pedig e, f. Jelölje h az átlók felezőpontjainak a távolságát. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy fennáll a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = e 2 +f 2 +4h 2. (Használjuk ki, hogy három élvektor már meghatározza a négyszöget.) 5
Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 6. feladatsor A koordinátageometriai feladatok során feltesszük, hogy az euklideszi térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABC háromszög, amelynél a csúcsok térbeli koordinátái A(2, 1, 0), B(4, 3, 3) és C(1, 1, 6). Határozzuk meg a háromszög területét. 2) Az euklideszi térben adva van egy g egyenes, amely áthalad egy A ponton és párhuzamos egy v (v 0) vektorral. Tekintsünk egy tetszőleges P pontot. Mutassuk meg, hogy a P pont g egyenestől mért távolságára teljesül d(g,p) =. v AP v 3) Tekintsünk egy konvex poliédert és annak egy lapját. A laphoz tartozó területvektoron azt a vektort értjük, amely merőleges a lap síkjára, a poliéderből kifelé mutat és hossza egyenlő a lap területével. Igazoljuk, hogy egy tetraéder négy lapvektorának összege azonos a 0 nullvektorral. 4) Adva van egy tetraéder, amelynél a négy csúcs koordinátái A(2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7) és D( 5, 4, 8). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasságot. Utalás: A tetraéder térfogata egyhatoda az AB, AC és AD élek által kifeszített parallelepipedon térfogatának. 5) Adva van három lineárisan független vektor a, b és c. Jelöljük V vel az általuk kifeszített parallelepipedon térfogatát. Tekintsük továbbá azt a parallelepipedont, melyet a 2a + 3b + 4c, a b + c és 2a + 4b c vektorok feszítenek ki, és jelölje ˆV ennek térfogatát. Határozzuk meg a ˆV /V hányados értékét. 6) Legyen adott három vektor a, b és c, melyek lineárisan függetlenek, vagyis egy bázisát képezik a szabad vektorok V terének. Alkalmazzuk az [a, b, c] jelölést a három vektor vegyes szorzatára a szokványos (a b) c jelölés helyett. Tekintsünk egy tetszőleges v vektort. Bizonyítsuk be, hogy fennáll v = [v,b,c] [a,b,c] a + [a,v,c] [a,b,c] b + [a,b,v] [a,b,c] c. 7) Adva van négy vektor a, b, c és d. Bizonyítsuk be, hogy teljesül az (a b) (c d) = a c a d b c b d egyenlőség. (Az összefüggés jobb oldalán egy 2 2 es mátrix determinánsa szerepel.) 8) Adva van egy ABCD parallelogramma, ahol két csúcs koordinátái ismertek A(2, 4, 5) és B(3, 4, 2). Tudjuk továbbá, hogy az A csúcsnál lévő szög α=30, az AD élvektor egyirányú a v (1,y, 2) vektorral és AD = 3 6. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit az y < 0 esetben. 9) Vegyük azt az ABCD szabályos tetraédert, amelynél az egyik lapon lévő csúcsok koordinátái ismertek A (0, 1, 3), B (4, 2, 2) és C (1, 2, 1). Határozzuk meg a szabályos tetraéder D csúcsának a koordinátáit. 6
Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 7. feladatsor A kitűzött feladatoknál feltesszük, hogy a tekintett síkon, illetve a térben rögzítve van egy derékszögű koordináta rendszer. 1) A koordináta rendszerrel ellátott síkban adva van egy ABCD rombusz, melynél ismert két szomszédos csúcs A(3, 1) és B(4, 7). A rombusz AC átlója párhuzamos a 2x + y = 0 egyenletű egyenessel. Határozzuk meg a C, D csúcsok koordinátáit. 2) Tekintsük a síkban a C (6, 7) pontot és az 5x 12y 24 = 0 egyenlettel leírt e egyenest. Határozzuk meg azon kör normálegyenletét, melynek centruma a C pont és amely érinti az e egyenest. (A megoldáshoz nem szükséges az érintési pont meghatározása.) 3) Adott a síkban egy kör, amelynek az egyenlete x 2 +y 2 8x+4y 5 = 0. Határozzuk meg a P( 1, 8) pontból a körhöz húzott érintőegyenesek egyenletét és az érintési pontok koordinátáit. 4) A síkban adva van két egyenes, amelyek nem párhuzamosak egymással és az y tengellyel. Az egyenesek meredekségét jelölje m 1 és m 2. Fejezzük ki az m 1, m 2 értékekből a két egyenes hajlásszögét (cosϕ =?). 5) Tekintsük a térben a 3x + y 4z + 10 = 0 egyenletű síkot és a C(8, 6, 3) pontot. Határozzuk meg azon C centrumú gömb egyenletét, amely érinti az adott síkot, továbbá adjuk meg az érintési pont koordinátáit. 6) A térben tekintsük azt az ABCD tetraédert, amelynél a csúcspontok koordinátái A (1, 3, 2), B(5, 4, 5), C(1, 1, 2) és D (4, 3, 8). Határozzuk meg annak az ABC lappal párhuzamos síknak az egyenletét, amely egy t = 4 területű háromszögben metszi el a tetraédert. 7) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 6 + 2t, y = 10 3t, z = 1 + t, illetve x = 3 3τ, y = 9 + 6τ, z = 3 τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 8) Adva van a térben egy σ sík, melynek egyenlete 5x + 3y z 21 = 0. Vegyük azt az e egyenest, amelynek paraméteres egyenletrendszere x = 5 + 3t, y = 8 + 7t, z = t (t R). Határozzuk meg az e egyenes σ síkra eső merőleges vetületének az egyenletét. 9) Adva van egy ABCDM szabályos négyzetes gúla, amelynek M(9, 4, 1) csúcsa ismert. Az ABCD négyzet benne van a 2x + y + 2z + 3 = 0 egyenletű síkban és az egyik alaplapi csúcspont A(x A, 1, 8). Határozzuk meg a négyzetes gúla összes csúcspontjának a koordinátáit. 7
Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 8. feladatsor Feltesszük, hogy a tekintett síkon adva van egy derékszögű koordináta rendszer. 1) A síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a b > 0). A szakaszon tekintsük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és PB = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Bizonyítsuk be, hogy a mozgatás során a P pont egy ellipszist ír le. 2) Tekintsünk két egymást metsző síkot σ t és π t, melyek hajlásszöge α. Vegyünk a σ síkban egy k kört, melynek sugara a. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy α 90 esetén a k körnek a π síkra eső merőleges vetülete egy ellipszis, amelynél a nagytengelyhossz 2a és a kis féltengely hossza b = a cos α. 3) A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és egy g egyenes, amelynek a körrel nincs közös pontja. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely kívülről érinti a k kört, továbbá érinti a g egyenest is. Milyen alakzatot (vagy más szóval mértani helyet) képeznek ezen körök centrumai? 4) A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és annak belsejében egy D pont. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely áthalad D n és érinti a k kört. Milyen alakzatot alkotnak ezen körök centrumai? 5) A síkban adva van egy C centrumú k kör és azon kívül egy D pont. Tekintsük a síkban az összes olyan kört, amely áthalad D n és érinti a k kört. Milyen alakzatot képeznek ezen körök középpontjai? 6) Legyen q egy rögzített pozitív valós szám. Igazoljuk, hogy az y q x = 0 egyenlettel leírt alakzat egy hiperbola. (Vegyünk egy megfelelő koordináta rendszert a síkon.) 7) A síkban adva van két parabola, melyek vezéregyenesei v 1, v 2, továbbá fókuszpontjai F 1 és F 2. Igazoljuk, hogy van olyan hasonlósági transzformáció, amely az első parabolát a másodikba viszi. 8) A σ síkban adva van egy derékszögű koordináta rendszer. Tekintsük azon k 1, k 2 köröket, amelyek egyenlete x 2 +y 2 16 = 0 és x 2 4x+y 2 = 0. Mi lesz azon σ beli pontok mértani helye, melyek köré írható olyan kör, amely belülről érinti a k 1 kört és kívülről érinti k 2 t? 9) A síkban adva van egy hiperbola, amelynek fókuszpontjai F 1 és F 2, a tengelypontjai pedig A 1 és A 2. Legyen P a hiperbola egy olyan pontja, amely nincs rajta az F 1,F 2 egyenesen. Tekintsük az F 1 F 2 P háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F 1 F 2 P beírt köre áthalad az A 1, A 2 tengelypontok egyikén. 10) A σ síkban legyen adott egy v egyenes és egy arra nem illeszkedő F pont. Vegyünk egy ε pozitív számot, és tekintsük az A = {P σ FP = ε d(v,p) } alakzatot. Koordinátageometriai módszerekkel bizonyítsuk be, hogy az A alakzat ε < 1 esetén egy ellipszis, ε > 1 esetén pedig egy hiperbola. 8
Feladatok a Geometria gyakorlathoz, 9. feladatsor A koordinátageometriai feladatnál feltesszük, hogy a térben adva van egy O kezdőpontú derékszögű koordináta rendszer. 1) Az O centrumú r sugarú G(O,r) gömbfelületen legyen adott két pont A és B. Milyen alakzatot alkotnak azon gömbi pontok, melyeknek az A, B pontoktól mért gömbi távolsága egyenlő? Ha A és B nem átellenesek, akkor melyek azok a gömbi főkörök, amelyek derékszögben metszik az A, B pontokon átmenő főkört? 2) Igazoljuk, hogy egy ABC G gömbi háromszögben a nagyobb oldallal szemközti szög a nagyobb (vagyis ha fennáll a > b, akkor α > β teljesül). 3) A G(O, 4) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, melynek szögei α = π/3, β = π/4 és γ = π/2. Határozzuk meg az a oldal hosszát. 4) A G(O,r) gömbfelületen legyen adva egy olyan ABC G gömbháromszög, amelyben γ = π ( c ) ( a ( b 2. Igazoljuk, hogy ekkor fennáll cos = cos cos = ctg α ctg β. r r) r) 5) A G(O, 1) gömbfelületen adva van egy olyan ABC G gömbháromszög, ahol a = π/6, b = π/4 és α = π/4. Határozzuk meg a gömbháromszögre vonatkozó másik három geometriai adatot (β =?, c =?, γ =?). 6) Az ABC G gömbháromszögben egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő gömbi főkörívet a gömbháromszög egyik súlyvonalának nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a gömbháromszög súlyvonalai egyazon pontban metszik egymást. 7) Igazoljuk, hogy egy ABC G gömbháromszögnek két szöge derékszög akkor és csak akkor, ha két oldalszöge derékszög. 8) A G(O, 3) gömbfelületen tekintsük az A(2, 1, 2), B(2, 2, 1),C(0, 0, 3) csúcsokkal meghatározott ABC G gömbháromszöget. Adjuk meg azt a 3 hosszúságú vektort, amely O ból az A, B, C csúcsokon átmenő kör centrumának az irányába mutat. 9) A G(O, r) gömbfelület és egy O csúcsú négyélű konvex szöglettartomány metszetét gömbi négyszögnek mondjuk. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben van olyan kör, amely áthalad az ABCD gömbi négyszög csúcsain, akkor a gömbi szögekre fennáll α + γ = β + δ. 10) Ismeretes, hogy az r sugarú gömb felszíne 4r 2 π, és ebből már adódik, hogy az r sugarú gömbön vett α szögű gömbkétszög felszíne 2r 2 α. Ennek ismeretében igazoljuk, hogy a G(O,r) gömbfelületen vett ABC G gömbháromszög felszínére igaz az F = r 2 (α + β + γ π) formula. 9
I. Zh. dolgozat 2012. március 19. 1) Az euklideszi térben adva van egy ABCD tetraéder (más szóval egy háromoldalú gúla), melynek ABC alaplapja egy szabályos háromszög és az alapélek hossza a = 15. A D csúcsba befutó élek hossza megegyezik, továbbá ezen élek egyenesei az ABC alaplap síkjával 30 os szöget zárnak be. Határozzuk meg a tetraéder D csúcsba befutó éleinek hosszát (b =?). 2) A síkon vegyünk egy O centrumú, r sugarú kört és abban egy körcikket, amely kisebb egy félkörnél. A körcikket határoló körív végpontjai legyenek A és B. Tekintsük a körcikkbe írt kört, amely érinti az OA, OB szakaszokat és a körívet. Jelölje a beírt kör sugarát és legyen a az AB húrhossz fele (tehát 2a = AB). Bizonyítsuk be, hogy igaz az 1 = 1 a + 1 r összefüggés. 3) Egy síkban adva van két egymást nem metsző kör k 1 és k 2, ahol a középpontok távolsága O 1 O 2 = 13. Azon közös érintőnél, melynek a két kör egyazon oldalára esik, az érintési pontok távolsága E 1 E 2 = 12. Egy olyan közös érintőnél, amely elválasztja a két kört, az érintési pontok távolsága F 1 F 2 = 2 22. Határozzuk meg a körök sugarait (r 1 =?, r 2 =?). 4) Az euklideszi síkon tekintsünk egy ABC háromszöget. Jelölje r a háromszög köré írható kör sugarát és m a az a = BC oldalhoz tartozó magasságot. Bizonyítsuk be, hogy fennáll a 2r m a = bc egyenlőség. 5) Adva van a síkban egy ABCDEF általános hatszög. A hatszög oldalainak felezőpontjai sorrendben legyenek P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6. Igazoljuk, hogy a P 1 P 3 P 5 és P 2 P 4 P 6 háromszögek súlypontja megegyezik. 6) Egy ABC háromszög oldalai ismertek a = BC = 6, b = CA = 4, c = AB = 5. Vegyük az A csúcsból kiinduló AF súlyvonalat és a C csúcsbeli CT szögfelezőt. Jelölje P a súlyvonal és a szögfelező metszéspontját. Határozzuk meg, hogy a P metszéspont milyen arányban osztja a szakaszokat (AP : AF =?, CP : CT =?). A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 8p + 8p + 9p + 8p + 9p. A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt 50 50 pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 10
I. Zh. dolgozat 2012. március 21. 1) A térben adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, melynek ABCD alaplapja egy négyzet. Az M csúcsba befutó élek hossza b = 3 5, továbbá az oldallapok síkjainak az alaplap síkjával bezárt szöge ϕ = 60. Határozzuk meg az alaplapi élek hosszát (a =?). 2) Tekintsünk egy ABC háromszöget és a köré írt k kört. Az A csúcsból kiinduló szögfelező félegyenes a BC oldalt messe a T pontban, a k kört pedig az M pontban. Bizonyítsuk be, hogy fennáll a BM 2 = AM TM összefüggés. 3) Adva van a síkban egy olyan ABC derékszögű háromszög (γ = 90 ), amelynél a köré írt kör sugara r = 8, 5 és a háromszögbe írt kör sugara = 3. Határozzuk meg a derékszögű háromszög befogóinak hosszát (a =?, b =?). 4) Tekintsünk egy ABC hegyesszögű háromszöget, melynek magasságvonalai legyenek az AA 1, BB 1 és CC 1 szakaszok. Bizonyítsuk be, hogy az A 1 A félegyenes felezi a C 1 A 1 B 1 szöget. 5) Adva van a síkban egy ABCDEF általános hatszög. A hatszög oldalainak felezőpontjai sorrendben legyenek P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6. Igazoljuk, hogy fennáll P 1 P 2 + P 3 P 4 + P 5 P 6 = 0. 6) A térben adva vannak az O, A, B, C pontok, amelyek nincsenek egy síkon. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben a tér egy P pontja rajta van az A, B, C pontok síkján, akkor az OP = α OA+β OB +γ OC lineáris kombinációban szereplő együtthatókra teljesül α + β + γ = 1. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 8p + 8p + 9p + 8p + 9p. A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt 50 50 pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 11
I. Zh. dolgozat 2012. március 21. 1) Vegyünk egy síkot és abban egy r = 5 2 sugarú kört. Irjunk a körbe egy ABCD négyzetet. Ezt követően az AB húrral lemetszett körszeletbe írjunk egy olyan A 1 B 1 C 1 D 1 négyzetet, melynek A 1 B 1 oldala az AB szakaszon van, a C 1, D 1 csúcsok pedig a köríven vannak. Számítsuk ki a kis négyzet oldalainak hosszát (A 1 B 1 =?). 2) Adva van a síkban egy ABC egyenlő szárú háromszög, ahol AB = AC. Vegyük az AB oldal felező merőlegesét, amely a P pontban metszi el a BC oldal egyenesét. Bizonyítsuk be, hogy az AB oldal mértani közepe a BC és BP hosszaknak (azaz fennáll AB 2 = BC BP). 3) Vegyünk egy ABCD trapézt, amelynél az AB és CD oldalegyenesek párhuzamosak egymással, továbbá a B, C csúcsoknál lévő szög derékszög. Az oldalak hosszai legyenek a = AB, b = BC, c = CD, d = DA. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben a trapézba lehet kört írni, akkor fennáll az 1 b = 1 (1 2 a + 1 ) egyenlőség. c 4) Egy síkban adva van két kör k 1 és k 2, melyek az M, N pontokban metszik egymást. Az M ponton át vegyünk olyan a, b szelőegyeneseket, melyek tengelyesen szimmetrikusak az M,N egyenesre. Az M pont mellett az a szelő messe a k 1, k 2 köröket az A 1, A 2 pontokban, a b egyenes pedig a B 1, B 2 pontokban. Bizonyítsuk be, hogy fennáll A 1 A 2 = B 1 B 2. 5) Vegyünk egy parallelepipedont, ahol az egyik lap csúcsai sorrendben A, B, C és D, továbbá a szemköztes lap csúcsai E, F, G és H. A B, D, E pontokon átmenő sík és az AG testátló metszéspontját jelölje P. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy ez a P pont az AG szakasz egyik harmadolópontja. 6) A síkban adva van egy ABC háromszög. Vegyük a síkban a BCLM és ACPQ négyzeteket, melyek a háromszögön kívül vannak. A négyzetek középpontjai legyenek O 1, O 2, az AB oldal felezőpontja legyen C 1, az LP szakasz felezőpontja pedig F. Bizonyítsuk be, hogy a C 1 O 1 FO 2 négyszög egy négyzet. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 8p + 8p + 9p + 8p + 9p. A két Zárthelyi dolgozaton egyaránt 50 50 pontot lehet maximálisan szerezni. A két dolgozaton elért összpontszám alapján fogjuk majd meghatározni a gyakorlati jegyet. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell. 12
II. Zh. dolgozat 2012. május 9. A dolgozat koordinátageometriai feladatainál feltesszük, hogy a térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok Descartes féle koordinátái A (1, 3, 0), B (4, 5, 2), C (1, 1, 4) és D (9, 4, 6). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a tetraéder D csúcshoz tartozó magasságát (V =?, m =?), továbbá adjuk meg az ABC háromszöget tartalmazó sík egyenletét. 2) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 7 2t, y = 5+t, z = 7+3t, illetve x = 7 4τ, y = 10+τ, z = τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 3) Tekintsük a térben azt az ABCD rombuszt, amelynél ismertek az A ( 2, 1, 1), B (4, 1, 7) csúcspont koordináták és az A csúcsbeli szög α = 60. Az AD élvektor azonos irányú a v( 1, 1,z) vektorral. Határozzuk meg z értékét és a C, D pontok koordinátáit. 4) A szabad vektorok terében legyenek adva az a, b, c és u, v, w tetszőleges vektorok. Jelölje [a,b,c] az első három vektor vegyes szorzatát és au az a, u vektorok skaláris szorzatát. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az au av aw [a,b,c] [u,v,w] = bu bv bw cu cv cw egyenlőség. (Az összefüggés jobb oldalán egy 3 3 as mátrix determinánsa szerepel.) 5) A síkban adva van egy AB szakasz és egy azzal párhuzamos e egyenes. A C pont haladjon végig az e egyenesen, és vegyük az így nyert ABC háromszögek magasságpontjait. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögek magasságpontjai egy kúpszeletet írnak le, és adjuk meg ezen görbe típusát. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 10p + 10p + 10p + 12p. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet. 30 44 pont elégséges(2), 45 59 pont közepes(3), 60 74 pont jó(4), 75 100 pont jeles(5) 13
II. Zh. dolgozat 2012. május 9. A dolgozat koordinátageometriai feladatainál feltesszük, hogy a térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok Descartes féle koordinátái A ( 2, 1, 3), B (2, 3, 0), C (1, 5, 2) és D (3, 1, 11). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát és a tetraéder D csúcshoz tartozó magasságát (V =?, m =?), továbbá adjuk meg az ABC háromszöget tartalmazó sík egyenletét. 2) A térben adva van egy g egyenes, amelynek paraméteres előállítása x = 9 + t, y = 12 4t, z = 6 + t, továbbá egy sík, amelynek egyenlete x + by 2z = 0. Az egyenes és a sík hajlásszöge 45. Határozzuk meg a b (b > 0) együttható értékét, továbbá a g egyenes síkra eső vetületének az egyenletrendszerét. 3) Adva van egy ABCDM szabályos négyoldalú gúla, ahol két átellenes csúcspont A( 3, 1, 2) és C(4,y C, 2) ismert. Az ABCD alapnégyzet benne van a 4x 8y z + 22 = 0 egyenletű síkban és a gúla magasságára fennáll m = 2 2AB. Határozzuk meg a gúla másik három csúcsának a koordinátáit. 4) Egy síkban adva van három nem kollineáris pont A, B és C. Vegyük a sík egy tetszőleges P pontját és az AP 2 + BP 2 + CP 2 összeget. Döntsük el, hogy a sík mely P pontja esetében lesz minimális ez az összeg. (A megoldást indokolni kell.) 5) A síkban legyen adva egy ellipszis, amelynek fókuszpontjai F 1 és F 2, a tengelypontjai pedig A 1 és A 2. Legyen P az ellipszis egy olyan pontja, amely nincs rajta az F 1,F 2 egyenesen. Tekintsük az F 1 F 2 P háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F 1 F 2 P háromszögnek az F 1 P oldalhoz hozzáírt köre áthalad az A 1 tengelyponton. A feladatok pontértéke sorrendben: 8p + 10p + 10p + 12p + 10p. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet. 30 44 pont elégséges(2), 45 59 pont közepes(3), 60 74 pont jó(4), 75 100 pont jeles(5)
II. Zh. dolgozat 2012. május 14. A dolgozat koordinátageometriai feladatainál feltesszük, hogy a térben rögzítve van egy (O, i, j, k) Descartes féle koordináta rendszer. 1) Adva van egy ABCD tetraéder, ahol a csúcspontok koordinátái A (0, 3, 1), B (4, 4, 0), C ( 4, 6, 6) és D (8, 5, 5). Határozzuk meg a tetraéder térfogatát, továbbá azon sík egyenletét, amely párhuzamos az ABC lap síkjával és a tetraédert egy t = 3 területű háromszögben metszi. 2) A térben adva van két kitérő helyzetű egyenes, amelyek paraméteres egyenletrendszere x = 6 + 5t, y = 7 + 3t, z = 4 t, illetve x = 1 + 2τ, y = 2 + 3τ, z = 11 + 5τ. Határozzuk meg a két egyenes normális transzverzálisának a paraméteres egyenletrendszerét. 3) Adva van egy egyenlő szárú ABC háromszög (AC = BC), amelyet tartalmaz az 5x+7y+z 10 = 0 egyenletű sík. Két csúcspont ismert A( 4, 5, 5) és B(6, 2,z), a C csúcsnál lévő szög γ = 120. Számítsuk ki a C csúcspont koordinátáit. (Mindkét megoldást adjuk meg.) 4) A térben adva van egy olyan OABC tetraéder, amelynél az OA, OB és OC élek páronként merőlegesek egymásra. Az O csúccsal szemközti ABC lap területét jelölje t O, az A csúccsal szemközti OBC lap területét jelölje t A, a B csúccsal szemközti OCA lap területét jelölje t B, végül a C csúccsal szemközti OAB lap területét jelölje t C. Vektorok alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy fennáll a összefüggés. t 2 O = t 2 A + t 2 B + t 2 C 5) A síkban adva van két egymást metsző egyenes e és f, amelyek nem merőlegesek egymásra. Emellett adva van még egy h (h > 0) pozitív valós szám. Tekintsük a síkban a H = { P σ d(e,p) 2 + d(f,p) 2 = h 2 } alakzatot. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy ez a H alakzat egy ellipszis. A feladatok pontértéke sorrendben: 10p + 10p + 10p + 10p + 10p. A gyakorlati jegy megszerzéséhez legalább 30 pontot kell elérni a két dolgozatból. Az összpontszám alapján az alábbiak szerint határozzuk meg a gyakorlati jegyet. 30 44 pont elégséges(2), 45 59 pont közepes(3), 60 74 pont jó(4), 75 100 pont jeles(5)