Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón és párhuzamos a b(3, 3) vektorral; (iii) áthalad az A(1, 7) ponton és párhuzamos az Oy tengellyel; (iv) áthalad az M 1 (2, 4) és M 2 (2, 5) pontokon. 5.2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg az egyenes irányvektorát és irénytényezőjét. 5.3. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek (i) iránytényezője m = 5 és átmegy az A(1, 2) ponton; (ii) iránytényezője m = 8 és az Oy tengelyen egy 2 hosszúságú szakaszt határoz meg; (iii) áthalad az A( 2, 3) ponton és az Ox tengellyel 60 -os szöget zár be. (iv) átmegy a B(1,7) ponton és merőleges az n(4, 3) vektorra. 5.4. Adott az ABC háromszög: A(1, 1), B( 2, 3), C(4, 7). Írjuk fel az oldalak valamint az A csúcshoz tartozó oldalfelező és magasság egyenleteit! E: x = 1, x + y 3 = 0. 5.5. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A( 2, 5) ponton és a koordinátatengelyeken egyenlő hosszúságú szakaszokat határoz meg. E: x + y 3 = 0. 5.6. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(12, 6) ponton és az egyenes valammint a koordinátatengelyek által meghatározott háromszög területe 150. E: 3x + 4y 60 = 0, x + 3y 30 = 0. 5.7. Adottak az ax + by + c = 0 és x = x 0 + lt, y = y 0 + mt egyenesek. Adjunk meg szükséges és elégséges feltételt ahhoz, hogy az egyenesek legyenek (1) metszőek; (2) párhuzamosak. 5.8. Adottak egy háromszög oldalainak az M 1 (1, 2), M 2 (3, 4), M 3 (5, 1) felezőpontjai. Határozzuk meg az oldalak egyenleteit! 5.9. Egy paralelogramma két oldalának egyenletei: x+y 2 = 0 és 2x y +5 = 0. Írjuk fel a paralelogramma másik két oldalának az egyenletét, ha tudjuk, hogy az átlók az M(3, 1) pontban metszik egymást. E: x + y 6 = 0, 2x y 3 = 0. 5.10. Igazoljuk, hogy az a háromszög, amelynek csúcsai az A(3, 3), B(6, 3) és C(3, 6) pontok derékszögű és egyenlőszárú! Írjuk fel a háromszög oldalfelező merőlegeseinek az egyenleteit! 5.11. Az origóból egy d egyenesre húzott merőleges talppontja az A(1, 2) pont. Írjuk fel a d egyenes egyenletét! E: x + 2y 5 = 0. 5.12. Határozzuk meg a B( 2, 1) pontnak a d : 2x + y + 1 = 0 egyenesre eső vetületét!
( E: B 6 5, 7 ). 5 5.13. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a C(1, 3) ponton és egyenlő távolságra van az M 1 ( 1, 0) és M 2 (1, 1) pontoktól! E: x + 2y 7 = 0, 7x + 2y + 1 = 0. 5.14. Határozzuk meg a D( 1, 2) pont szimmetrikusainak a koordinátáit a d : x+y +1 = 0 egyenesre, majd az E( 1, 4) pontra vonatkozóan! E: D 1 ( 3, 0), D 2 ( 1, 10). 5.15. Határozzuk meg a d 1 : x + 2y 1 = 0 egyenes szimmetrikusát a d 2 : x y = 0 egyenesre majd az A( 2, 5) pontra vonatkozóan! E: 2x + y 1 = 0, x 2y + 23 = 0. 5.16. Adott három, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok felezőpontjai kollineárisak! 5.17. Adott egy háromszög két csúcsa: A( 6, 2) és B(2, 2), valamint a H(1, 2) ortocentrum. Határozzuk meg a harmadik C csúcs koordinátáit! E:C(2, 34). 5.18. Határozzuk meg az ABC háromszög köré írt kör középpontjának koordinátáit, ( ha 16 A(1, 2), B(3, 2) és C(5, 6). E: 3, 5 ). 3 5.19. Határozzuk meg az alábbi egyenesek által bezárt szögeket 1) y = 2x + 1 és y = x + 2; 2) y = 3x 4 és x = 3 + t, y = 1 2t; 3) y = 2x/5 + 1 és 4x + 3y 12 = 0; 4) 2x + 3y = 0 és x y + 5 = 0; 5) x 3y + 2 = 0 és x = 2 t, y = 3 + 2t. 26 E: 1) arctg( 3); 2) 135 ; 3) arctg2; 4) arccos ; 5) arctg7. 26 5.20. Határozzuk meg azt az A(3, 1) ponton áthaladó egyenest, amely 45 -os szöget zár be a 2x + 3y 1 = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x 5y + 2 = 0, 5x + y 16 = 0. 5.21. Határozzuk meg az x + 3y = 0, x = 3, x 2y + 3 = 0 egyenesek által meghatározott háromszög csúcsait és szögeit. 5.22. Adott az A(1, 2), B(5, 4) és C( 2, 0) csúcsú háromszög. Határozzuk meg az A szög külső és belső szögfelezőjének az egyenletét! E: x + 5y + 11 = 0, 5x + y 3 = 0. 5.23. Határozzuk meg az O(0, 0), A(1, 2) és B( 5, 7) pontok távolságát a 6x + 8y 15 = 0 egyenestől. 5.24. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(8, 9) ponton és amelynek az x 2y + 5 = 0 valamint az x 2y = 0 egyenesek közé eső szakaszának hossza 5. 5.25. Határozzuk meg az alábbi párhuzamos egyenesek közti távolságot 2
1) x 2y + 3 = 0 és 2x 4y + 7 = 0; 2) 3x 4y + 1 = 0 és x = 1 + 4t, y = 3t ; 3) x = 2 t, y = 3 + 2t és x = 2s, y = 5 4s. E: 1) 1 2 5. 5.26. Határozzuk meg az x + 2y 10 = 0 és x 2y + 2 = 0 egyenesek által meghatározott szög azon szögfelezőjét, amely áthalad az A(1, 3) ponton. 5.27. Egy ABC háromszög esetén A(2, 5), B(1, 3), C(7, 0). Határozzuk meg a magasságok hosszát! E: 5, 3 2 2, 3 5. 5.28. Adottak az A( 2, 1), B(3, 1), C(1, 5) pontok. Határozzuk meg a B pont távolságát az A csúcshoz tartozó oldalfelezőtől! E: 5. 5.29. Igazoljuk, hogy az x 3y + 1 = 0, x 3y + 12 = 0, 3x + y 1 = 0 és 3x + y + 10 = 0 egyenesek által meghatározott négyszög egy négyzet. Határozzuk meg a területét! E: 12.1. 5.30. Egy négyzet egyik oldalának egyenlete x + 3y 5 = 0. Határozzuk meg a négyzet többi oldalának az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a négyzet szimmetriaközéppontja a P ( 1, 0) pontban található. E: 15x + 5y + 15 = 0, 15x + 5y + 9 = 0, x + 3y + 35 3 = 0. 5.31. Adottak egy háromszög két oldalának egyenletei: 3x 2y + 1 = 0 és x y + 1 = 0 valamint az egyik oldalfelezőjének az egyenlete 2x y 1 = 0. Határozzuk meg a harmadik oldal egyenletét! E: 5x 3y 1 = 0 vagy x = 3. 5.32. Határozzuk meg egy háromszög oldalainak egyenletét, ha ismerjük az egyik csúcsot: B(2, 1) valamint a különböző csúcsokhoz tartozó magasság 3x 4y + 27 = 0 és szögfelező x 2y 5 = 0 egyenleteit! 5.33. Állapítsuk meg, hogy az M( 3, 2) pont az x+y 4 = 0, 3x 7y+8 = 0, 4x y+31 = 0 egyenesek által meghatározott háromszög belsejében van-e. 5.34. Adottak az x + 2y 1 = 0, 5x + 4y 17 = 0, x 4y + 11 = 0 egyenesek. Határozzuk meg a magasságok egyenleteit anélkül, hogy kiszámítanánk a csúcsok koordinátáit. 5.35. Adott egy M(3, 3) pont és egy ABC háromszög az oldalak egyenleteivel: AB : x + 2y 4 = 0, BC : 3x + y 2 = 0, AC : x 3y 4 = 0. 1) Számítsuk ki az ABC háromszög területét! 2) Az M pontnak az AO, OB és AB egyeneskre eső vetületét rendre P, Q, R-rel jelölve, bizonyítsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak. 3) Írjuk fel az AB és P Q egyenesek által meghatározott sugársor egyenletét. Határozzuk meg a sugársor N(0, 5) ponton átmenő egyenesének az egyenletét. 5.36. Igazoljuk, hogy bármely ABC háromszögben a H magasságpont, a G súlypont és az O oldalfelező merőlegesek metszéspontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes). 5.37. Egy ABCD négyszög csúcsai az A(4, 3), B(5, 4), C( 1, 3), D( 3, 1) pontok. 3
1) Számítsuk ki az E és F pontok koordinátáit, ha {E} = AB CD és {F } = BC AD. 2) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] és [EF ] átlók felezőpontjai kollineárisak. (Az ABCDEF alakzatot teljes négyszögnek nevezzük.) 5.38. Egy ABC háromszög területe 3, két csúcsa pedig az A(3,1) és B(1, 3) pontok. Határozzuk meg a C csúcs koordinátáit az alábbi esetekben: 1) a C csúcs az Oy tengelyen van; 2) az ABC háromszög súlypontja az Ox tengelyen fekszik. 5.39. Egy paralelogramma területe 18, két csúcsa az A(2, 1) és B(5,-3) pont. A két átló az Oy tengelyen metszi egymást. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit! 5.40. Írjuk fel az A(1, 1) ponton áthaladó és a B( 1, 0) és C( 1, 1) pontoktól egyenlő távolságra levő egyenesek egyenletét! 5.41. Az xoy síkban adottak az A(6, 0), B(1, 5) és C(0, 4) pontok. a) Számítsuk ki az ABC háromszög oldalainak hosszát! b) Igazoljuk, hogy az OABC négyszög körbeírható! c) Igazoljuk, hogy az O-ból a háromszög oldalaira bocsájtott merőlegesek talppontjai kollineárisak. 5.42. Egy derékszögű xoy koordináta-rendszerben adottak az A(a, 0), B(b, 0) rögzített pontok és az M(0, λ), λ R pontok. Határozzuk meg: a) az AM egyenes egyenletét; b) a B ponton áthaladó és AM-re merőleges egyenes egyenletét; c) az előző két pontban meghatározott egyenesek metszéspontjának mértani helyét! 5.43. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és M a [BC] szakasz felezőpontja. Jelöljünk N-nel egy olyan pontot az AB egyenesről, amelyre A (BN). Az ABC háromszög H ortocentrumának a vetületei a BAC illetve a ĈAN szögek szögfelezőire legyenek P illetve Q. Igazoljuk, hogy az M, P és Q pontok kollineárisak. 5.44. Adottak a C 1 és C 2 körök, amelyek kivülről érintik egymást a T pontban. Tekintjük az M illetve az N változó pontokat a C 1 illetve a C 2 körökről úgy, hogy az MT és NT egyenesek legyenek merőlegesek egymásra a T pontban. Határozzuk meg az [M N] szakasz felezőpontjának mértani helyét! Affin koordináta-rendszer használata 5.45. (Meneláosz tétele) Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és A, B C három kollineáris pont úgy, hogy A BC, B AC, C AB. Ekkor igazoljuk, hogy A B A C B C B A C A C B = 1. (1) Fordítva, ha az A, B és C pontok úgy helyezkednek el a BC, CA, AB egyeneseken, hogy kettő közülük a háromszög oldalain és a harmadik pedig az egyik oldal meghosszabításán van, vagy mindhárom az oldalak meghosszabításán található és fennáll az (1) összefüggés, akkor a három pont kollineáris. 4
5.46. (Ceva tétele) Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és AA, BB CC hátom összefutó egyenes, ahol A BC, B AC és C AB. Ekkor fennáll a következő összefüggés: A B A C B C B A C A C = 1. B (2) Fordítva, 1. ha az A BC, B AC, C AB pontok a háromszög oldalain vannak és fennáll a (2) összefüggés, akkor az AA, BB és CC egyenesek összefutóak; 2. ha az A, B és a C pontok közül az egyik pont a háromszög egyik oldalán és a másik kettő a másik két oldal meghosszabbításán található és fennáll a (2) összefüggés, akkor az AA, BB és CC egyenesek összefutóak vagy párhuzamosak. 5.47. Legyen ABCDEF egy teljes négyszög (ABCD négyszög és AB CD = {E}, AD BC = {F }). Igazoljuk, hogy az AC, BD és EF átlók felezőpontjai kollineárisak (Gauss- Newton egyenes)! 5.48. (Pappusz tétele) Legyen a, b két metsző egyenes és A 1, A 2, A 3 a, B 1, B 2, B 3 b. Igazoljuk, hogy a {C 1 } = A 2 B 3 A 3 B 2, {C 2 } = A 1 B 3 A 3 B 1 és {C 3 } = A 1 B 2 A 2 B 1 pontok kollineárisak! 5.49. Legyen ABCD egy paralelogramma és legyen P (AB), Q (BC), R (CD) és S (DA) úgy, hogy P R AD, QS AB. Igazoljuk, hogy a P Q és RS egyenesek vagy párhuzmosak az AC átlóval vagy a metszéspontjuk az AC átlón található! 5