Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 6 Hetedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0
Tartalomjegyzék Oszthatóság. A természetes számok többszörösei és osztói (ismétlés)... 0. Vizsgáljuk a maradékot!.... Az összeg, a különbség és a szorzat oszthatósága... 9. Oszthatósági szabályok.... Oszthatóság a szám számjegyeinek összege alapján... 6. További oszthatósági szabályok... 8. Prímszámok, összetett számok... 8. Összetett számok felírása prímszámok szorzataként... 6 9. Közös osztók, legnagyobb közös osztó... 0 0. Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös.... Vegyes feladatok... 9 Hogyan oldjunk meg feladatokat?. Mi a kérdés?... 6. Vizsgáljuk meg az adatokat!... 66. Következtessünk visszafelé!... 0. Készítsünk ábrát!.... Tartsunk egyensúlyt!... 9 6. Ellenõrizzük a megoldást!... 8. Válaszoljunk a kérdésre!... 86 8. A feladatmegoldás lépései... 89 9. Vegyes feladatok... 9 A racionális számok I.. Az egész számok (ismétlés)... 98. Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés)... 0. Az összevonás... 06. Az egész számok szorzása... 09. Az egész számok osztása... 6. A tizedes törtek összevonása... 8. A tizedes törtek szorzása... 8. Osztás a tizedes törtek körében... 6 9. Vegyes feladatok... 0 6
Tengelyes szimmetria. A tengelyes szimmetria a környezetünkben.... A tengelyesen szimmetrikus háromszögek... 8. A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör.... A körzõ és a vonalzó használata.... Merõleges egyenesek szerkesztése... 6 6. Párhuzamos egyenesek szerkesztése... 6. Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés... 6 8. Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése... 9. Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése... 0. Vegyes feladatok... 8 A racionális számok II.. A törtekrõl tanultak ismétlése... 86. Mûveletek törtekkel (ismétlés)... 9. A negatív törtek... 98. Tört szorzása törtszámmal... 0. A számok reciproka... 0 6. Osztás törttel... 0. Mûveleti sorrend... 8. A racionális számok... 8 9. Vegyes feladatok... Arányosság. Az egyenes arányosság... 6. Egyenes arányossággal megoldható feladatok... 0. A fordított arányosság.... Fordított arányossággal megoldható feladatok... 8. Az arány... 6. Arányos osztás.... Vegyes feladatok... 8
Százalékszámítás. A tört kiszámítása.... Az egész kiszámítása... 6. A százalék fogalma... 60. A százalékérték kiszámítása... 6. A százalékalap kiszámítása... 6 6. A százalékláb kiszámítása... 0. Vegyes feladatok... Valószínûség, statisztika. Biztos esemény, lehetetlen esemény... 8. Diagramok... 8. Grafikonok... 88. Átlagszámítás... 9. Vegyes feladatok... 9 Kiegészítõ anyagek. Nyitott mondatok... 96. Szimmetria a térben... 98. Sorozatok... 0 Az új szakszavak jegyzéke... 0 Elõszó és útmutató a tankönyv használatához Gondolkodni jó! De ne higgyétek, hogy ezt csak azok érezhetik, akiknek jó jegyük van matekból! Mindenki, aki örült már annak, hogy következetes és logikus gondolkodással meg tudott birkózni egy megoldhatatlannak tûnõ problémával, átélhette a siker élményét. Ebben az évben nagyon sok gyakorlati feladattal találkozhattok. Megérthetitek majd például, mit jelent a hirdetésekben naponta látott-hallott százalék fogalma; megtanultok egyszerû diagramokat készíteni; körzõvel és vonalzóval alakzatokat szerkeszteni. És legfõképpen a sok-sok feladat megoldása során fejleszthetitek a gondolkodásotokat. A leckék legtöbbször kidolgozott példákkal kezdõdnek. Ezeket érdemes elemezni és megérteni, mert mintát nyújtanak a további feladatok megoldásához is. A megtanulandó legfontosabb szabályokat és meghatározásokat a könyv zöld aláfestéssel és vastag betûs kiemeléssel jelzi. A *-gal jelölt gyakorló feladatok megoldásához ügyes ötletek szükségesek. A lapszélen olvasható apró betûs információk a mindennapi élettel, a matematika alkalmazásával kapcsolatos érdekességek, magyarázatok, kiegészítõ ismeretek vagy kérdések. 8
. Oszthatósági szabályok Az oszthatóság megállapítása az utolsó számjegy alapján A 0; 0 és 00 számok utolsó számjegye 0. Ezek a számok felírhatók 0 = 0; 0 = 0; 00 = 0 0 alakban, ezért oszthatók 0-zel. El tudják-e egyenlõen osztani a gyerekek az ajándékkosár árát? Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0, akkor osztható 0-zel. Ha egy természetes szám osztható 0-zel, akkor felírható egy természetes szám tízszereseként. Például 0 =0; 96 0 =960; 0 0 = 00. Minden természetes szám tízszeresének utolsó számjegye 0. Ha egy természetes szám osztható 0-zel, akkor az utolsó számjegye 0. A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 0-zel, ha az utolsó számjegye 0.. példa Jóska sétálni indul. Melyik lábbal teszi meg a., az 8. és a 8. lépést, ha az elsõ lépést jobb lábbal teszi meg? Megoldás Jobb lábbal teszi meg az.,.,.,., 9.,... lépést. Bal lábbal teszi meg a.,., 6., 8., 0.,... lépést, köztük a 0 valamennyi többszörösét is. Minden további lépésszámot felbonthatunk olyan kéttagú összegre, melynek az elsõ tagja 0 valamely többszöröse, a második tagja pedig egyjegyû szám. = 0 + 8 = 0 + 8 8 = 80 + bal jobb bal bal bal jobb Jóska a. és a 8. lépést jobb, az 8. lépést bal lábbal teszi meg. -vel nem osztható számok: ; ; ; ; 9;... -vel osztható számok: 0; ; ; 6; 8; 0;...
OSZTHATÓSÁG Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0; ; ; 6 vagy 8, akkor osztható -vel. Ha egy természetes szám osztható -vel, akkor az utolsó számjegye 0; ; ; 6 vagy 8. A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva: Egy természetes szám pontosan akkor osztható -vel, ha az utolsó számjegye 0; ; ; 6 vagy 8. = ( )+. példa Gyöngyi egy könyvet olvasott, és észrevette, hogy minden olyan oldalon (és csak azokon) van kép, amelyek oldalszáma -tel osztható. Soroljuk fel, hányadik oldalakon talált képet Gyöngyi, ha a könyv 8 oldalas! Mit veszünk észre? Megoldás A képet tartalmazó oldalszámok: 0; 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 60; 6; 0; ; 80. Észrevehetõ, hogy azokon az oldalakon van kép, amelyek sorszáma 0-ra vagy -re végzõdik. 0 0 0 0 0 A 0-nek osztója az. Magyarázzuk meg a példában szereplõ észrevételt! A 0-ra végzõdõ számok (0; 0; 0; 0; 0; 60;...) tízzel oszthatók, ezért a 0 osztójával, az -tel is oszthatók. Az -re végzõdõ számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban: Pl.: = 0 + ; = 0 + ; = 0 + ;... = 0 +. Az összeg mindkét tagja osztható -tel, ezért az összeg is osztható -tel. A 0-ra és az -re végzõdõ számok oszthatók -tel. Ha a szám ; ; ; ; 6; ; 8; 9-re végzõdik, akkor nem osztható -tel. = ( )+ Egy természetes szám -ös maradéka megegyezik utolsó jegyének ötös maradékával. ötös osztási ötös osztási maradék maradék Például: = 0 + 6 = 0 + 6 = 0 + = 0 + = 0 + 8 = 0 + 8 = 0 + 9 = 0 + 9 ² ² osztható nem osztható osztható nem osztható -tel -tel -tel -tel Egy természetes szám pontosan akkor osztható -tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy. 8
Az oszthatóság megállapítása az utolsó két számjegy alapján Egy természetes szám pontosan akkor osztható 00-zal, ha az utolsó két számjegye nulla. Például: 0000000 = 00 00 0 00 = 0 00 0000000 = 00 00 800 00 = 80 000 ² ² az utolsó osztható osztható az utolsó két számjegy 0 00-zal 00-zal két számjegy 0 Ha egy szorzat egyik tényezõje 00, akkor a szorzat osztható 00-zal és a 00 valamennyi osztójával, így a -gyel, -tel, 0-szal és 0-nel is. 00 0 00 0 00 0 0 0 00 0 00. példa Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy a 8, az 8 és az 8 osztható-e -gyel! Megoldás A számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban a következõképpen: 08 = 0 00 + 8 8 = 8 00 + 8 = 8 00 + A szorzat osztható 00-zal, ezért a 00 osztójával, a -gyel is. Az utolsó két számjegybõl álló számot kell vizsgálni! 8-nak osztója a ; -nek osztója a ; -nek nem osztója a. A 8 és az 8 osztható -gyel, az 8 nem osztható -gyel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható -gyel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -gyel. Ha egy természetes szám utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -gyel, akkor a szám osztható -gyel. Ha egy természetes szám osztható -gyel, akkor az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -gyel. Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 0-szal, -tel és 0-nel való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû számot vizsgálnunk. Például a osztható -tel, mert: = 00 + A szorzat osztható 00-zal, ezért a 00 osztójával, a -tel is. Az utolsó két számjegybõl álló szám osztható -tel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható -tel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -tel. 9
OSZTHATÓSÁG Egy természetes szám -gyel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám. Pl.: = 00 + és = 8 + 0, tehát a négyes maradéka 0; 69 = 00 + 69 és 69 = +, tehát a 69 négyes maradéka. Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 0-szal, -tel, 0-nel és 00-zal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám. Az oszthatóság megállapítása az utolsó három számjegy alapján Egy természetes szám pontosan akkor osztható 000-rel, ha az utolsó három számjegye 0. Például: 000 = 000 000 0090 000 = 00 90 000 00 000 = 00 000 80 000 = 80 000 ² ² az utolsó osztható osztható az utolsó számjegy 0 000-rel 000-rel számjegy 0 000 0 000 0 000 0 00 0 000 08 0 0 000 0 000 000 Az 000-nek osztója a 8. Ha egy szorzat egyik tényezõje 000, akkor a szorzat osztható 000-rel és az 000 valamennyi osztójával, így a 8-cal, a -tel, a 0-nel és az 00-zal is.. példa Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy az, a 8 és a osztható-e 8-cal! Megoldás Írjuk fel a számokat kéttagú összeg alakban a következõ módon: 0 = 0 000 + 8 = 000 + 8 0 = 0 000 + A szorzat osztható 000-rel, ezért az 000 osztójával, a 8-cal is. Az utolsó három számjegybõl álló számot kell vizsgálni. = 8 -nek osztója a 8; 8 = 6 8 8-nak osztója a 8; = 0 8+ -nek nem osztója a 8. Az és a 8 osztható 8-cal, a nem osztható 8-cal. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 8-cal. 0
Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám -tel, 00-zal, 0-nel és 00-zal való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû számot vizsgálnunk. Például a 6 0 osztható -tel, mert: 6 0 = 6 000 + 0 A szorzat osztható 000-rel, ezért az 000 osztójával, a -tel is. Az utolsó három számjegybõl álló szám osztható -tel. Az 000-nek osztója a. Egy természetes szám pontosan akkor osztható -tel, ha az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható -tel. Egy természetes szám 8-cal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyébõl álló szám. Pl.: = 000 + és = 9 8+0, tehát a 8-as maradéka 0, 69 = 000 + 69 és 69 = 8 8+, tehát a 69 8-as maradéka. Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 0-nel, -tel, 00-zal, 0-nel, 00-zal és 000-rel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyébõl álló szám. Mennyi maradékot ad a 6 és az 6, a) -tel; b) 00-zal; c) 00-zal osztva? a) 6 = + 06 6 = 000 + 6 = 8 + + 6 b) 6 = 00 + 06 6 = 000 + 6 = 00 + 00 + 6 c) 6 = 0 00 + 6 6 = 000 + 6 = 00 + 6 A maradékokat szemléltethetjük számegyenesen: a) 6 6 b) 0 0 00 6 0 8 000 6 0 00 6 6 c) 0 00 00 600 800 6 000 00 00 600 6 0 00 000 00 Feladatok. a) Hová kerülne a halmazábrán a 0 000-rel osztható számok halmaza? b) Írjunk igaz, illetve hamis állításokat a halmazábra alapján! 0-zel osztható számok 0 0 00-zal oszthatók 600 000-rel oszthatók 00 000 900 000 8 000 000 000
OSZTHATÓSÁG. a) Soroljuk fel azokat a kétjegyû számokat, amelyek a -gyel osztható számok végzõdései lehetnek! b) Mely számokkal oszthatók azok a számok, melyek a következõ háromjegyû számokra végzõdnek: 000,, 0,, 00, 6, 0, 8?. Soroljuk fel azokat a -tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek, mint 00, és nem nagyobbak, mint 6 000! Hány ilyen szám van?. Soroljuk fel azokat a -tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek 0-nél, de nem nagyobbak 80-nél!. Állapítsuk meg a 8; 689; 9; 80; 999 számok a) -es; b) -es; c) -ös; d) 8-as; e) -ös; f) -ös maradékát! 6. Mennyi a 8 + 08 + 9 összeg a) -es; b) -es; c) -ös; d) -ös; e) -ös; f) 8-as maradéka?. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 0; ; ; ; 0; 8; 60; 9; 8; ; 9; ; 900. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös ébe! Az adott számok halmaza -vel oszthatók -tel oszthatók 8. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 6; 800; 9 00; 0; 8; ; 9; 000; 8; ; ; 0 900; 9. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös ébe! Az adott számok halmaza -gyel oszthatók -tel oszthatók 9. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 8; ; 6; 0; 6; ; 0; 9 ; 000; 00; 6 06; 6 8; 0000. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös ébe! Az adott számok halmaza 8-cal oszthatók -tel oszthatók 0. Jelöljük halmazábrán a -gyel és 8-cal osztható számok halmazát, majd írjuk be a következõ számokat! Mit vehetünk észre? 6; 0; 00; ; 6; ; 900; 9; 000; 8; 0 000; ; 680 6; 0.
. Állapítsuk meg a következõ számok hiányzó számjegyeit úgy, hogy -gyel és -tel is oszthatók legyenek! Mit állapíthatunk meg a -gyel és -tel osztható számokról? a) ÂÒ0 ÂÒ = b) ÀÐ8 ÀÐ = 0. A számkártyákból képezzük az összes lehetséges háromjegyû számot! Készítsünk halmazábrát, jelöljük a -vel és az -tel osztható számok halmazát, és írjuk be a számokat! 0. A számkártyákból alkossunk a) -gyel osztható háromjegyû számokat! Ezek közül melyek oszthatók -tel is? Mit mondhatunk a -gyel is és -tel is osztható számokról? b) -tel, -tel és 0-nel osztható háromjegyû számokat, és írjuk ezeket halmazábrába! Mondjunk igaz állításokat a halmazábra alapján!. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -gyel, akkor maga a szám is osztható -gyel. b) Egy szám akkor osztható -gyel, ha utolsó két számjegye osztható -gyel. c) Ha egy szám -gyel és -tel is osztható, akkor 0-szal is osztható. d) Ha egy szám -gyel és -vel is osztható, akkor 8-cal is osztható.. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám osztható 0-nel, akkor -tel is osztható. b) Minden -tel osztható szám 0-nel is osztható. c) Ha egy szám többszöröse -nek, akkor -nek is többszöröse. d) Van olyan -tel osztható szám, amelynek minden számjegye páratlan. 6. Egy országos matematikaverseny szervezõi tréfás kiszámolóba rejtve közölték a tvevõkkel, hogy mi a fõdíj. Számoljatok balról jobbra és jobbról balra egyesével -tõl kezdve a következõ módon:. A,. B,. C,. D,. E, 6. D,. C, 8. B, 9. A, 0. B,. C...! Ha így haladtok tovább, akkor 000-hez érve éppen a fõdíjra mutattok. Mi a verseny fõdíja? E) B) D) A) C) Rejtvény Egy vastag könyvbõl kiesett néhány egymás után következõ lap. A legelsõ a. oldal volt, a legutolsó kiesett oldalon pedig ugyanezek a számjegyek szerepeltek, csak más sorrendben. Hány lap esett ki a könyvbõl?
HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT?. Következtessünk visszafelé! Géza a térképvázlat alapján haladt, és minden útelágazásnál eldöntötte, hogy milyen irányban menjen tovább. Melyik pontból indult, ha az útelágazásoknál az alább jelölt irányokba fordulva ért a sajthoz? Több probléma megoldásakor segítséget jelenthet, ha a végsõ helyzetbõl kiindulva visszafelé következtetünk. Játsszátok el a feladatot, majd találjatok ki hasonlókat!. példa Gondoltam egy számra, elosztottam -tel, hozzáadtam 6-ot, ezt megszoroztam 8-cal, és így 80-at kaptam. Melyik számra gondoltam? Megoldás Kövessük nyomon az eredeti szám változását! a gondolt szám +6 8 a kapott szám. szám. szám. szám. szám =0 µ6 8 0µ 6= 80 8=0 80 Az eredeti szám a 0. Ellenõrzés: Válasz: 0 = ; + 6 = 0; 0 8 = 80, ami a feladat szövegének megfelel. Tehát a 0-ra gondoltam. 0
. példa A házunk elõtt három fa áll, egy barack-, egy dió- és egy meggyfa. Reggel 8 veréb repült a házunkhoz, és leszállt a három fára. Késõbb 8 veréb a barackfáról átszállt a diófára, majd 6 veréb átszállt a diófáról a meggyfára. Ekkor mindegyik fán ugyanannyi veréb ült. Hány veréb telepedett le eredetileg a barackfán, a diófán és a meggyfán? Megoldás A röpködések után a 8 veréb úgy helyezkedett el a három fán, hogy mindegyiken ugyanannyi veréb ült, vagyis mindhárom fán 8 =6 veréb volt. Foglaljuk táblázatba a verebek számát a fákon! Végsõ állapot Közbülsõ állapot Eredeti helyzet barackfa diófa meggyfa 6 6 6 6+ 6= µ8 +8 µ8 +8 6 + 8 = µ 8 = 6 µ6 +6 µ6 +6 6µ 6=0 0 Ellenõrzés: A barackfán µ 8 = 6 veréb maradt. A diófán + 8 µ 6 = 6 veréb maradt. A meggyfán 0 + 6 = 6 veréb lett. Válasz: A táblázatból leolvasható a megoldás: eredetileg a barackfára veréb szállt le, a diófára, a meggyfára pedig 0.. példa Egy tál teli volt gombóccal. Elõször Bence ért haza, és megette a gombócok felét és még egy fél gombócot. Majd megjött Ákos, és megette a maradék gombócok felét. Ezután gombóc maradt. Hány gombóc volt eredetileg a tálban? Megoldás Jelöljük egy szakasszal az összes gombócot! az összes gombóc fele a maradék ez is a maradék Bence ennyi gombócot evett fele fele Ákos ennyi gombócot evett Hogyan ehette meg Bence a gombócok felét és még egy fél gombócot úgy, hogy egy gombócot sem kellett kettévágnia? Ákos a Bence által meghagyott gombócok felét ette meg. A másik fele a maradék gombóc, azaz Ákos is gombócot evett meg. Így Bence = 0 gombócot hagyott. Ha Bence nem ette volna meg a fél gombócot, akkor épp az összes gombóc felét ette volna meg, ami 0. Tehát a tálon eredetileg 0 = gombóc volt.
HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Ellenõrzés: A tálon gombóc volt. Bence megevett + = 0 + = gombócot. Maradt 0 gombóc. Ákos megevett 0 = gombócot. Valóban gombóc maradt. Válasz: Eredetileg gombóc volt a tálban. Feladatok. Gondoltam egy számot, elvettem belõle 9-et, megszoroztam -tel, elosztottam - gyel, és -et kaptam. Melyik számra gondoltam?. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 8-at, elosztottam 0-zel, a kapott számot megszoroztam 9-cel, majd hozzáadtam 9-et, és 00-at kaptam. Melyik számra gondoltam?. Melyik az a szám, amelyiknek a felénél -tel kisebb szám a?. Peti egy mûveletsor végén 0-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet eltévesztette, és ahelyett, hogy 89-et kivont volna, 89-et hozzáadott. Mennyi a helyes végeredmény?. Pali egy mûveletsor végén 80-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet eltévesztette, és ahelyett, hogy -gyel osztott volna, -gyel szorzott. Mennyi a helyes végeredmény? 6. András, Béla és Csaba társasjátékot játszottak. A játékszabály szerint aki egy fordulót megnyert, az a vesztesektõl kapott - zsetont. A 6. kör végén egyformán osztoztak a 60 zsetonon. A 6. kört Béla nyerte, az. kört Csaba, a. kört András. Kinek hány zsetonja volt a. kör végén?. Egy méhraj repült az udvarunkba. A méhek fele a barackfára szállt, a maradék fele az aranyvesszõre, a többi 8 méh pedig a tulipánokra. Hány méh röpült az udvarunkba? 8. A párizsi kiránduláson Réka és Árpi sokat fotózott. Szerdán a képek felét az Eiffeltoronynál, a maradék kétharmad ét a Notre Dame-nál, a maradék 8 képet pedig a Diadalívnél készítették. Összesen hány képet készítettek szerdán?
9. Egy vég szövetbõl az üzletben elõször m-t, aztán m-t, majd, m-t adtak el. Utána egy varrónõ megvette a maradék szövet felét, majd egy másik is elvitt 0 m-t, így az utolsó vevõnek m maradt. Hány méter szövet volt a végben? 0. Ha egy téglalap egyik szemközti oldalpárját kétszeresére, másik szemközti oldalpárját pedig háromszorosára növeljük, akkor egy olyan négyzetet kapunk, amelynek a kerülete 8 cm. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai?. A 6. C osztályban a tanulók harmada lány. A fiúk negyede kosárlabdázik. Ha olyan fiú van, aki nem kosárlabdázik, akkor hány tanuló jár az osztályba? *. Egy használtautó-kereskedõ egy hétig nem vett autót, csak eladott. Hétfõn eladta az autók felét meg még egy fél autót, kedden a maradék felét meg még egy fél autót, szerdán a maradék felét meg még egy felet, így egy autója maradt, amivel elment nyaralni. Hány autót adott el hétfõn? *. Egy gazdag ember a vagyona felét és még 000 aranyat a feleségére hagyott. A maradék felét és még 000 aranyat a leányára, a maradék felét és még 000 aranyat az inasára, a maradék felét és még 000 aranyat a kutyájára, a megmaradt 0 000 aranyat pedig jótékonysági célra hagyományozta. Hány arany volt a gazdag ember vagyona? Játék Ezt a játékot ketten játsszátok egy bábuval! A bábu a START-ról indul, és felváltva léphettek vele egyszerre legalább -et, de legfeljebb -öt. Az gyõz, aki be tud lépni a CÉL-ba. Tud-e a kezdõ játékos úgy játszani, hogy biztosan gyõzzön? Rejtvény Egy hordóban 0 liter drága olaj van. Hogyan lehet ebbõl egy literes és egy 9 literes edény segítségével pontosan 6 litert kimérni, ha nincs más edényünk, és egyetlen cseppje sem veszhet kárba?
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.. A tizedes törtek szorzása Beszélgessetek a fotókon látható mérõeszközökrõl! Fogalmazzatok meg szorzásokat! Tizedes tört szorzása egész számmal. példa Egy lépcsõs piramis alsó három lépcsõfokát betemette a sivatag homokja. A piramis egy lépcsõfoka,8 m magas. a) Milyen magasan van a piramis csúcsa a homokfelszín felett, ha a piramis összesen lépcsõbõl áll? b) Hol kezdõdik a piramis elsõ lépcsõje a homokfelszínhez képest? Megoldás a) A piramis lépcsõbõl áll, ezért lépcsõ van a homokfelszín felett., 8 8,,8 +,8 +,8 +,8 = =,8 = 8,. A piramis csúcsa 8, m magasan van a sivatag homokfelszíne felett. b) A homokfelszín alatti elsõ lépcsõ µ,8 méteren van., 8, (µ,8) + (µ,8) + (µ,8) = (µ,8) = µ,. A piramis alja a homokfelszínhez képest µ, méteren van. Ha tizedes törtet egész számmal szorzunk, a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk, amennyi a tizedes törtben van. A szorzat elõjelét ugyanúgy állapítjuk meg, mint az egész számok szorzásakor.
Tizedes tört szorzása tizedes törttel. példa Egy téglalap alakú terasz méretei láthatóak az ábrán. Hány négyzetméter területû ez a terasz?,6 m Megoldás a =,6 m b =, m, m b T =? Becslés: T = a b T» 6 m = 8 m a T =,6, m Induljunk ki az egész számok szorzásából, és figyeljük meg a szorzat változásait! A mértékegységek közti összefüggések alapján a terület: T = 6 dm T = 9 dm T =,9 m 6 = 9 0 0,6 = 9, 0 0,6, =, 9 00 06 68 9 Tizedes törttel számolva: T =,6, m T =,9 m, 6, 6 8, 9 A terasz területe,9 m.. példa A. példában szereplõ teraszt a kert felõli szélén zöld, a többi en drapp színû járólappal akarjuk lefedni. Hány négyzetméter lesz a zöld színû téglalap, ha a hossza,6 m, a szélessége cm? Megoldás A zöld színû téglalap egyik oldala,6 m, a másik cm hosszú., m a =,6 m c = cm = 0, m cm T =? Becslés: T = a c T» 6 0, m =,8 m T =,6 0, m,6 m a b c A mértékegységek közti összefüggések alapján a terület: T = 60 cm T = 90 cm T =,9 m A szorzat változásai alapján: 6 = 9 0 00 000,6 0, =,9 A zöld színû területe,9 m. Tizedes törttel számolva: T =,6 0, m T =,9 m, 6 0, 6 8, 9
A RACIONÁLIS SZÁMOK I. Tizedes törtek szorzásakor a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk, amennyi a tényezõkben összesen van. Például:, 6, 0 8, 8 8, 9 0 8 9, 8 6, 0, 6 6 0 0, 9 0 A többtényezõs szorzatokat lépésenként számoljuk. (µ0,), (µ,) = (µ,8) (µ,) =,69 µ,8 +,69 Feladatok. Hány tizedesjegy szerepel a következõ szorzatokban, ha a szorzatot nem egyszerûsítjük vagy nem bõvítjük? Becsüljük meg a szorzatot! Végezzük el a szorzást! a), ; b) 0,0 06; c), (µ); d), 0; e),6,; f),8,; g) 0,6,; h) 0, 0; i),0,0; j),0 00; k),,,8; l), 0,6.. Számítsuk ki a szorzatokat! Mit veszünk észre? a) 68 ; b) 6,8 ; c) 6,8,; d) 6,8 ; e),68 ; 6,8 ;,68 ;,68,;,68 0,;,68 0,0;,68 ; 0,68 ; 0,68,; 0,68 0,0;,68 0,00.. Végezzük el a szorzást! Elõtte becsüljük meg a szorzatot! a) (+,) (+0,8) (µ); b) (µ,) (+) (µ0,08) (µ000).. Végezzük el a,, szorzást! Változtassuk úgy valamelyik tényezõt, hogy a szorzat a) kétszeresére; b) négyszeresére; c) tízszeresére változzon!. Rendezzük a szorzatokat csökkenõ sorrendbe! Hányszorosa a legnagyobb a legkisebbnek? (Próbáljunk a szorzatok kiszámítása nélkül válaszolni!) a) A),,8 ; B),,8 ; C) µ,,8 ; D) 0,,8 ; b) A) 0,, ; B) µ0,, ; C) 0, 0, ; D) 0, 0, 0 ; c) A) µ,6 8, ; B) µ,6 (µ0,8), ; C) µ,6 (µ0,8) (µ,).
6. Döntsük el, hogy melyik szorzat, illetve összeg a nagyobb! Számolással ellenõrizzük a döntésünk helyességét! a), vagy,0 0; b) 6, 0, vagy 0,6,; c) 6,8, vagy,68 ; d) µ, +,, vagy (µ, +,),.. A gyógyszeek a gyógyszerek elõállításánál nagyon kis tömegekkel dolgoznak. Az egyik gyógyszer tablettájában 0, mg hatóanyag és, mg tejcukor van. Hány grammot fogyaszt egy évben a hatóanyagból és a tejcukorból az a beteg, aki minden nap tablettát szed be ebbõl a gyógyszerbõl? 8. Péter és apukája az országúton egyszerre indulnak el kerékpárral a faluból a városba. Péter 8, km-t, az apukája 6,8 km-t tesz meg óránként. Péter, óra múlva beér a városba. Mennyi utat kell még megtennie az apukájának, hogy õ is a városba érjen? 9. Egy villanyszerelõ-mûhelyben elosztókat állítanak össze. Egy elosztó vezetéke, m hosszú, és a szereléshez még 8 cm vezeték kell. Egy mûszak alatt 8 elosztó készül el. Hány méter vezetéket használnak fel? Számoljunk többféleképpen! 0. Egy méteráruboltban függönyöket veszünk. Sötétítõ függönynek, m-t vásárolunk,, m-rel kevesebbet, mint csipkefüggönynek. A sötétítõ függöny méterének ára 60 Ft, a csipkefüggönyé 6 Ft. Mennyit fizetünk?. Egy négyzet alakú asztalterítõ oldalai,6 m hosszúak. A terítõre csipkeszegélyt varrunk. Hány méter csipkét vegyünk, ha a terítõ sarkainál - cm a ráhagyás?. A házunk olyan téglalap alakú telekre épül, amelynek egyik oldala, m, a másik ennek a,-szerese. Hány méteren kell kerítést készíteni, ha a ház a telekhatárból,6 m-t, a kapu pedig, m-t foglal el? Hány m a telek területe? a =, m Kapu Ház. Számítsuk ki a téglalapok területét négyzetméterben, ha oldalaik hossza:. a = 6 m dm;. a = 9 dm;. a = 0 cm; b = 0 m dm; b =, dm; b =,8 m!. Hány négyzetcentiméter a felszíne és hány köbcentiméter a térfogata egy olyan fakockának, amelynek egy éle, cm? Ezekbõl a fakockákból egy olyan nagyobb kockát építünk, amelyik kis kockából áll. Mekkora a nagyobb kocka felszíne és térfogata?. Egy akvárium hossza 8, dm; szélessége cm; magassága pedig mm. Hány négyzetdeciméter területû üveglapot használtak fel a készítésekor, ha az akváriumnak nincs teteje? Hány literes az akvárium? (Az üveg vastagságától eltekinthetünk.) Rejtvény Melyik kétjegyû számra igaz, hogy az,-szerese ugyanazokból a számjegyekbõl áll, mint maga a szám?
A RACIONÁLIS SZÁMOK II. 6. Osztás törttel 6 = = 60 = = reciproka. példa Hány embert tudunk megkínálni pizzából, ha mindenkinek a) ; b) ; c) pizzát adunk?. megoldás A fenti ábráról leolvashatjuk a keletkezett szeletek számát. Ugyanezt osztással is megkaphatjuk: a) =; b) =6; c) =.. megoldás A hányados tulajdonságai alapján tudjuk, hogy ha az osztandó változatlan és az osztó felére, ötödére csökken, akkor a hányados kétszeresére, ötszörösére nõ. b) = c) = ² ² = ² ² =. Az egész pizzákkal, a fél pizzákkal 6, az egyötöd pizzákkal embert tudunk megkínálni. Az -del való osztás -vel való szorzást, az -del való osztás -tel való szorzást jelent.. példa Négy liter õszibaracklevet áttöltünk a) literes üvegekbe; b) literes poharakba; c) literes korsókba. Hány üveg, hány pohár és hány korsó telik meg? 0
Megoldás üvegek poharak korsók egész számot osztunk Az ábra alapján: a) az üvegek száma: =. b) a poharak száma: = =. c) a korsók száma: = 6. A hányados változása alapján: = ² ² = ² ² =. 6 A -dal való osztás -del való szorzást jelent. A a reciproka.. példa Végezzük el a következõ osztásokat! a) ; b) ; c). Megoldás a) Az elsõ példában láttuk, hogy = =. b) A hányados változásai alapján számolunk. = az osztó -szeresére nõ ² ² a hányados -ed ére csökken = ( ) = = = = c) A hányados változásai alapján számolunk. A b) esetbõl indulunk ki. = az osztandó -ed ére csökken ² ² a hányados -ed ére csökken = = 8 = egész számot osztunk törtet osztunk 8 Törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk.
Feladatok A RACIONÁLIS SZÁMOK II. Törttel való osztáskor az egyszerûsítést akkor végezhetjük el, ha az osztást átírtuk reciprokkal való szorzásra. Ha az osztásban vegyes szám szerepel, akkor a vegyes számot elõször törtté alakítjuk. 9 8 9 = = = = 8 Ha elõjeles számokat osztunk, a hányados elõjelét az egész számoknál tanult módon állapítjuk meg. = = = Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ 6 µ = µ =µ Á =µ =µ Ë Á Ë Á Á Ë Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ µ µ = µ µ = = = Ë Á 8 Ë Á Ë Á 8 Ë Á 8 6 6. Végezzük el a kijelölt osztásokat, majd ellenõrizzük számításunk helyességét! 8 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) Ê ˆ ( µ ) µ ; g) Ê ˆ Ê ˆ µ µ ; h). Ë Ë Ë. Mennyi a hányados? Ellenõrizzük! 6 0 a) ; b) ; c) ; d) Ê ˆ µ ; 9 Ë 0 e) ; f) Ê ; g) Ê ; h) Ê µ8 ˆ µ ˆ µ 9 ˆ Ê µ ˆ. 8 Ë Ë 9 Ë 0 8 Ë. Mekkora számot visznek a teljes szerelvényen? 6 9 6 0 6
. Milyen számot írhatunk a jelek helyére, hogy az egyenlõség igaz legyen? 9 a) Ò = ; b) Ê ˆ µ Ò = ; c) Ò = ; Ë 0 8 d) Ê µ ˆ Ò = ; e) Ò = ; f) Ò = 9. Ë 6 0 Ê. a) Mennyi a hányados, ha a µ6 ˆ -et -dal osztjuk? Ë 6 Ê b) Hányszorosa a µ6 ˆ a -nak? Ë 6 Ê c) Hányszorosa a a µ6 ˆ -nek? 6 Ë Ê d) Mennyivel kell szorozni a -ot, hogy µ6 ˆ -et kapjunk? 6 Ë 6. Végezzük el az osztásokat! Állapítsuk meg, hogy az osztandó vagy a hányados a nagyobb! 9 a) ; ;. b) ; ;. 8 9. Egy téglalap területe m. Mennyi a téglalap kerülete, ha az egyik oldala 8 m? 8. Írjunk fel minél több osztást, ha a tényezõket és a hányadost is az alábbi számok közül választhatjuk! 9 6 ; µ; ; ; ; µ ;. 8 8 9. Vince és Csabi már másfél órája bicikliznek, amikor a túrájuk énél tartanak. Hányad ét tették meg az útjuknak óra alatt? Mennyi idõ telik el a túra befejezéséig, ha az eddigi tempóban haladnak tovább? Rejtvény Egy számot megszoroztunk -del, utána elosztottuk -del. Az alábbiak közül melyik mûvelettel helyettesíthetõ ez a két mûvelet? 9 9 A) osztás -dal; B) osztás -dal; C) szorzás -dal; D) szorzás -del; E) osztás -del. 0 0
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. Az egész kiszámítása. példa Egy alpinista már 80 m magasra mászott, amikor a szikla jutott. Hány méter magas a szikla? éig Megoldás egész = 80 m?m 80m =60m 60 m = 0 m Az alpinista 0 m magas sziklára mászik fel. 80 m Mennyi a 0-nek a e? Mennyi a 80 és a hányadosa? 6 0 80 80 = 80 = 0 Melyik szám e a 80? Ha a 80 az egésznek a e, akkor az egész t úgy is kiszámít- hatjuk, hogy a 80-at elosztjuk -del. 60
. példa Ádám a hónap elején megkapta a havi zsebpénzének 800 Ft-ot. Hány forint Ádám havi zsebpénze?. megoldás (következtetéssel) A zsebpénz e. megoldás (osztással) egész = 800 Ft?Ft ét, azaz Ha 800 Ft; 00 a 800 Ft = 800 Ft = 00 Ft. Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kaptuk. Ádám havi zsebpénze 00 Ft. 800 Ft = 00 Ft 00 Ft = 00 Ft ( ) 800 = 800 800 = = = = 800 Egy szám ébõl úgy számítjuk ki az egész ét, hogy a számot el- osztjuk -dal.. példa Egy kerékpártúra elsõ napján az egész út, a második napon pedig a ét tettük meg. Hány kilométer van még hátra, ha az elsõ nap 0 km-t haladtunk? Megoldás Az elsõ nap megtett út az egész út Az egész út 0 km. e, azaz 0 km. 0 km?ft 0km =km km = 0 km