Matematika Első kötet 9 KÍSÉRLETI TANKÖNYV
A tankönyv megfelel az 5/0 (XII. ) EMMI-rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9 évfolyama számára..0 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9 évfolyama számára 6..0 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananyagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna Alkotószerkesztő: Barcza István Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné Pedagógiai lektor: Bánky Judit Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Korda Ágnes terve alapján készítette Orosz Adél Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Szabó Amanda, Szórády István Ödön Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: PIXABAY: 0., 5., 80., 8., 9, 96.,., 9. FLICKR:., 5., 8.,., 7., 8., 5, 5., 56., 58., 59., 60., 68., 69., 77., 87., 98., 99., 00., 0.,,,., 7.,,, 9.,.,., 50., 5., 5., 58., 60., 6., 65., 66., 69., 70., 7 WIKIPEDIA:,., 7., 8.,,., 6., 9.,.,., 5., 6., 66., 67., 7., 7., 75., 99.,,.,., 9., 6. SK:.,., 6., 7., 8., 0.,, 8., 50., 5., 58., 6, 69., 08. A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-96-68-77-8 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-500090 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László, Hontvári Judit Terjedelem:,66 (A/5 ív), tömeg: 55 gramm A könyvben felhasználásra került a Matematika 9. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könyvkiadó, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 0 Szerzők: dr. Korányi Erzsébet, dr. Marosvári Péter és Dömel András. Alkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa. kiadás, 0 Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma: 0000.9.0
Kedves kilencedik osztályos! Újfajta matematikakönyvet tartasz a kezedben. Száz leckét találsz a két idei kötetben, minden órára egyet. Igyekeztünk úgy válogatni, hogy sok újdonság, de régről ismert probléma is legyen benne. Szeretnénk megmutatni, hogy a valóság és a tananyag, a hétköznapi tapasztalat és matematikai szabály szoros kapcsolatban áll egymással. Segítünk abban, hogy más szemmel nézz szét a környezetedben és a világban; olyan kérdéseket tegyél fel, amelyek a matematikához tartoznak és amelyekre egy kis gondolkodás után magad is megadhatod a választ. Reméljük, hamar megszereted így ezt a tárgyat még akkor is, ha eddig hadilábon álltál vele. Mit találsz a 00 leckében? Mindenekelőtt egy sereg érdekes, gyakorlati problémát, amelyek többségével a mindennapokban is találkozhatsz. Változatos HÁZI FELADATOKAT, köztük sok könnyűt és szórakoztatót. Kérjük, mindig a füzetedben dolgozz, hogy az utánad érkező évfolyamok is használhassák a könyvet! RÁADÁS címen gyűjtöttünk össze számos olyan érdekességet, amelyet nem kérdeznek ugyan az érettségi vizsgán, de hasznodra válik, gazdagítja a műveltségedet. KIEGÉSZÍ- TŐ ANYAGOT is találsz, ezeket azoknak ajánljuk elsősorban, akik mélyebben érdeklődnek a matematika iránt: nélkülözhetetlen fogalmak, néhány nehezebb feladat, illetve a fontos matematikai tételek és bizonyításaik is kerültek ide. Könyvünk lapjait végigkíséri egy háttértörténet, megismerkedhetsz a tíztagú Arany családdal, tankönyvünk állandó szereplőivel. Arany Bence veled együtt kilencedik osztályos, a nővére, Hajni tizedikes, kishúguk, Csilla még óvodás. Bence szülei, nagyszülei minduntalan olyan problémákkal szembesülnek, amelyek megoldásához matematikai ismeretekre is szükségük van. Bence a testvéreivel és barátaival részt vesz ezek megoldásában. Az év során számítunk kreativitásodra, hogy minél ötletesebben oldj meg egy-egy kitűzött problémát. Sokszor szükség lesz együttműködési készségedre is, hogy a csoportos munkára kijelölt feladatokat sikeresen tudjátok közösen megoldani.a legfontosabb azonban, hogy legyen benned kíváncsiság, hogy meg akard ismerni a világot, és ezért szívesen dolgozz is. Sok örömöt és kitartást kívánnak a SZERZŐK. Kedves tanár kolléga! A könyv Dr. Marosvári Péter, Dr. Korányi Erzsébet, Dömel András és Környei László tankönyvének átdolgozása. Köszönjük munkájukat és támogató segítségüket. Igyekeztünk olyan könyvet írni, amely illeszkedik napjaink kihívásaihoz, ennek megfelelően szemléletében, tartalmában, kivitelében kissé formabontó is. Könyvünk készítésekor fontos szempont volt számunkra, hogy a tanári munkához is a lehető legtöbb segítséget adjuk, hogy a diákok zöme esetében eredményesen tanítható mennyiségű, ugyanakkor szakmai szempontból igényes tananyagot állítsunk össze. Nem számítunk különleges matematikai előképzettségű diákokra; szinte mindent átismétlünk, amit az általános iskolában már tanultak. Tapasztalataink szerint a száz lecke mindegyike feldolgozható egy-egy tanítási órán. Mindegyik lecke egy-egy lehetséges tanári óravázlat, együttesük akár tanmenet is lehet egyben. Úgy gondoljuk, hogy ha a tanár a könyv leckéi szerint halad, akkor heti legalább tanórával számolva a tanév végére biztosan befejezi az anyagot, és semmi sem marad ki abból, ami az érettségin előkerülhet. A könyv nagy szerepet szán a szövegértés fejlesztésére. Tudatosan törekedtünk arra, hogy ne a matematikai problémához találjunk ki mesterkélt feladatot, hanem fordítva, a hétköznapi tapasztatból kiindulva irányítsuk rá a figyelmet sok olyan problémára, amelyek matematikai eszközökkel már középiskolás szinten is megoldhatók. Sok feladathoz a számítógépes feldolgozást is ajánljuk. Tankönyvünkben a hagyományostól eltérő szemléletű, a tanulói kompetenciák bővebb halmazát igénylő feladatokat jelzéssel láttuk el. Könyvünkben BEVEZETŐ veti fel a lecke témáját, majd PÉLDA vezet el az új jgondolatokhoz. Újszerű a könyvben, hogy a FELADATOK nemcsak egyéni, de páros vagy csoportos munkára is alkalmasak. Ezekhez szükség lesz a tanár és a diák kreativitására, együttműködésére egyaránt. A CSOPORTMUNKÁ -ra szánt feladatokat külön megjelöltük, és sok segítséget is adunk hozzájuk. Kérjük, hívják fel diákjaik figyelmét, hogy a tankönyv tartós, ne írjanak bele! ELMÉLET címszóval foglaltuk össze a problémák megoldásából levont következtetéseket, amelyeket a középszintű érettségihez tudni kell. A közös munka sikerében bízva sok örömöt kívánnak a SZERZŐK. Előszó
MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? BEVEZETŐ Nézd meg könyvedben a száz lecke címét! Ugye mennyi minden ismerős? Ilyen lesz a tanév is: sok-sok régi baráttal találkozunk a matematikaórákon. A matematikai problémákkal is az a helyzet, mint az emberekkel; minél többször látjuk egymást, annál alaposabb képet formálhatunk a kedves ismerősökről. Talán már most is meg tudjuk oldani azokat a feladatokat, amelyek a hónapok során majd elénk kerülnek. Tegyünk egy próbát! 8. LECKE. A cukrásziskola vizsgájára előkészítettek,5 kg mazsolát. Ennek részét Klári dolgozza fel, majd Andi kapja a maradék részét. Ami még ezután maradt, annak az részét Zsolt használja fel, amit ő hagyott, annak a része kell Emese tortáihoz. Hányadrésze maradt meg a mazsolának? Első módszer Számold ki, melyik tanuló hány dkg mazsolát dolgoz fel, és mennyi marad! Ez hányadrésze a,5 kg-nak? Második módszer Számolj törtekkel! Hányadrésze maradt meg a mazsolának, amikor Klári elvitte a részét? Ennek mennyi a része? Hányadrész marad, ha Andi ezt elviszi? és így tovább. Harmadik módszer Gondolatban oszd el a mazsolát bögrébe egyenlően. Mennyit visz el Klári? Mennyi marad? Mennyi a maradék része? Mennyi marad? és így tovább. 5. LECKE. Az iskola kosárlabdaedzéseire az idén 5%-kal több lány jár, mint tavaly. Az edző úgy döntött, hogy jövőre csak annyi lánnyal akar dolgozni, mint tavaly. Hány százalékosos csökkenés lesz ez az idei évhez képest? Első módszer Szemléltesd téglalappal a tavalyi, az idei és a jövő évi létszámot! Az első téglalapot látod az ábrán. A harmadik téglalap is ugyanekkora. Hányadrészét kell hozzáadnunk, hogy megkapjuk a másodikat? Hányadrészével kell csökkentenünk a második téglalapot, hogy megkapjuk a harmadikat? Ez hány százalékos csökkenés? Második módszer Tételezzük fel, hogy tavaly N lány kosárlabdázott az iskolában. Akkor az idén hányan voltak? Mennyivel kell ezt a számot megszorozni, hogy a jövő évi létszámra újra N-et kapjunk? Ez hány százalékos csökkenést jelent? Negyedik módszer Kitalálsz egyet?
5. LECKE kőkerítés. Vili nagypapáék téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egyik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorára válasszák a téglalap oldalait, hogy a baromfiudvar a lehető legnagyobb legyen? kőkerítés a b a b Kísérletezz! Válaszd a falra merőleges oldal hosszát ½,,,,, méternek, számítsd ki a másik oldal hosszát és a baromfiudvar területét! Mekkora lehet a falra merőleges oldal hossza? Készíts táblázatot a füzetedben! a (méterben) ½ b (méterben) a + b (méterben) Terület (négyzetméterben) Mekkora a legnagyobb terület? 7. LECKE 9. LECKE. Balázs, Máté és az édesapjuk együtt 78 évesek. 6 év múlva az életkoruk aránya : : 7 lesz. Hány éves a két fiú? Első módszer Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Oszd fel ezt a számot : : 7 arányban! ( rész + rész + + 7 rész = rész, ebből rész jut Máténak, Balázsnak, 7 az édesapjuknak). Melyikük hány éves lesz 6 év múlva? Hány éves most Máté? Hány éves most Balázs?. Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek két csúcsa az A és a B pont, a harmadik csúcsa pedig az e egyenesen van! Hány megoldása van a feladatnak? A B e Második módszer Fogalmazd meg a feladatot egyenlettel! Ha 6 év múlva Máté x éves lesz, akkor Balázs éves, az édesapjuk éves lesz. Összesen hány évesek lesznek? Most összesen 78 évesek. Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Írd fel az egyenletet, és oldd meg! Hogyan kapod meg az x-ből Máté mostani életkorát? Harmadik módszer Kitalálsz egyet? Legyen a derékszögű csúcs először az A, azután a B. Ezeket a háromszögeket könnyű megszerkeszteni, mert hiszen az AB szakasz az egyik befogójuk. Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek a C pont a derékszögű csúcsa? Van, mégpedig kettő! Ezeknek a C csúcsát kísérletezéssel keresd meg az egyenesen! Mire eljutunk a 9. leckéhez, már nem kell kísérletezned, egyszerű módszert fogsz ismerni e feladat megoldására. lecke MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? 5
HÁZI FELADAT Válassz hármat a következő feladatok közül, és oldd meg őket!. Számold össze, hány ismeretlen szót találsz a Tartalomjegyzékben! Oldd meg a 76. lecke házi feladatát!.. Oldd meg a 8. lecke házi feladatát! Oldd meg a 99. lecke feladatát! 5 5 A B 7 millió forint 6 5 összköltség előállítási költség egyéb költség 0 b c 5 0 0 5 6 7 8 9 0 mennyiség (ezer kg) 6
Az Arany család lecke MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? 7
HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET? BEVEZETŐ Születésnapján a család tagjai felköszöntik a déd ma mát. Először Teri mama, majd Gyula papa. Ezután az Arany család öt tagja következik (Anya, Apa, Hajni, Bence és Csilla). Hányféle sorrendben köszönthetik fel ők a dédmamát, ha Csilla akar az első lenni a virágcsokor átadásával? Bence egy gráf segítségével lerajzolta az összes lehetőséget és megállapította, hogy különböző sorrendben követhetik Csillát. Cs Cs Cs Cs An Ap H B Ap H B An H B An Ap B An Ap H H B Ap B Ap H H B An B An H Ap B An B An Ap Ap H An H An Ap B H B Ap H Ap B H B An H An B Ap B An Ap An H Ap H An Ap An Hajni is ugyanerre az eredményre jutott, de ő így okoskodott: Csilla az első; Csilla után -féleképpen választhatjuk ki, hogy ki a má sodik; A. helyen álló ünneplőt már csak -féleképpen, mert ember már szerepelt; mind a korábbi kiválasztást folytathatjuk -féleképpen, ez eddig összesen lehetőség; A. helyen állót már csak -féleképpenválaszthatjuk, ez lehetőség; s az utolsó felköszöntő pedig már egyértelmű. Csilla: -féle -féle. Összesen: = -féle. -féle. -féle 5. 8 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák
FELADAT Hányféle sorrendben köszöntheti fel az Arany család öt tagja a dédmamát, ha közülük a virágcsokrot át adó első köszöntő nem csak Csilla lehet?. Hányféle felköszöntési sorrend lehetséges, ha a hét köszöntő családtag bármely sorrendben követheti egymást? PÉLDA Egy 0-tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hány kézfogás történt?. a) Mennyi az ábrán látható tízszög szögeinek összege? b) Hány átlója van az ábrán látható tízszögnek? Megoldás a) Az egyik csúcsból meghúzott 7 átlóval 8 háromszögre bontottuk fel a tízszöget. A nyolc háromszög szögeinek összege éppen a tízszög szögeinek összegét adja meg, ami tehát 8 80 = 0. b) Minden egyes csúcsból 7 átló indul ki, mert önmagához és a két szomszédos csúcshoz nem vezet átló. A 0 csúcsból ez összesen 0 7 = 70 átló lenne, de mivel minden átlót két csúcsnál is figyelembe vettünk, ennek a fele a megoldás. A tízszögnek tehát 5 átlója van összesen. Megoldás Emese 9-szer nyújtotta a kezét, ugyanígy a többiek is. Ez összesen 90 kéznyújtás. Egy kézfogás kéznyújtás eredménye, ezért minden kézfogást kétszer számoltunk. A kézfogások száma tehát 90 : = 5. FELADAT. a) Mennyi egy konvex négyszög, illetve egy konvex ötszög szögeinek összege? b) Mennyi a. feladat ábráján látható nyolcszög belső szögeinek összege?. Hány átlója van összesen az ábrán látható nyolcszögnek? (Az egyik csúcsba futó átlókat már berajzoltuk.). lecke HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET? 9
ELMÉLET n(n ) Az n-oldalú konvex sokszögnek összesen átlója van. Az n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n ) 80º. A konvex sokszög valamely szögének a mellékszögét a sokszög külső szögének nevezzük. A külső szögek összege minden konvex sokszög esetében 60º. A külső szögekhez viszonyítva a sokszög szögeit sokszor belső szögeknek nevezzük. FELADAT 5. 6. Öt nagyvárost közvetlen repülőjáratok kötnek össze, azaz bármelyikből bármelyikbe egyetlen repülőúttal el lehet jutni. Hány repülőjárat van összesen az öt város között? Töltsd ki az alábbi táblázatot a füzetedben! Szabályos sokszög oldalainak száma 5 6 8 0 0 Ennyi átlója van a sokszögnek összesen 0 0 5 A szabályos sokszög egy belső szöge ennyi fokos 60 90 5 HÁZI FELADAT. Az Arany család autóba ül. Elöl ül anya és apa, hátul a három gyerek. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a kocsiban, ha anyának és apának is van jogosítványa? A születésnapi ebédnél a család nyolc tagja egy asztal köré ült. Hány különböző módon ülhettek le, ha dédmama az asztalfőn foglalt helyet, jobbján Csilla, balján pedig Hajni ült? 0 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák
. a) Hány átló húzható egy konvex 6-szögben? b) Mennyi a konvex 6-szög belső szögeinek öszszege? És mennyi a külső szögeinek az összege? c) Hány fokos a szabályos 6-szög egy belső szöge? Hat település mindegyikéből pontosan három másik településre lehet eljutni közvetlen, egyenes műúton. Hány közvetlen út vezet a települések között? Rajzolj egy lehetséges esetet!. KIEGÉSZÍTŐ ANYAG Bizonyítsuk be a konvex sokszögek néhány tulajdon ságát! II. Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 60º. I. Minden n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n ) 80º. Bizonyítás Legyen az n a -nél nagyobb egész szám. Egy n-oldalú konvex sokszögben egy csúcsból (n ) átló húzható, mert átlót kapunk, ha a kiválasztott csúcsot nem önmagával vagy a szomszédos csúcsokkal kötjük össze. Bizonyítás Egy külső szög és a hozzá tartozó belső szög összege 80º, ezért az n-oldalú konvex sokszögben az n belső és külső szög összege n 80º, ebből a belső szögekre jut (n ) 80º, tehát a külső szögek összege 80º = 60º. Ezek az átlók felbontják a sokszöget (n ) háromszögre. E háromszögek szögeinek összege adja meg a sokszög szögeinek az össze gét. Ezért az n-oldalú konvex sokszög szögeinek az összege: (n ) 80º. III. Minden n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: n(n ). Bizonyítás Egy n-oldalú konvex sokszög mindegyik csúcsából meghúzzuk az (n ) átlót. Mivel mindegyik átló két csúcshoz tartozik, ezért mindegyik átlót kétszer húztuk meg. n(n ) Így az összes átló száma:.. lecke HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET?
SZÁMZÁRAK BEVEZETŐ (Csoportmunka - fős csoportokban; mindegyik csoport mind a három feladatot megoldja, vagy kooperatív módszerrel, például szakértői csoportok* létrehozásával dolgozzák fel.). A számzáras lakat négy kereke egymástól függetlenül elforgatható. Mindegyik keréken 0 számjegy van 0-tól 9-ig. a) Hány különböző számnégyes állítható be ezen a záron? b) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben mind a négy számjegy különböző? c) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben három számjegy egyforma? d) Hány olyan számnégyes állítható be, ami egyben egy négyjegyű természetes szám? Egy széfet elektronikus számzárral védenek. A számzáron beállítható számkombináció 6, 7, 8, 9 vagy 0 számjegyből állhat. a) X úr babonás, ezért csak a szerencseszámai, a -as és a 7-es számjegyek fordulhatnak elő az ő kódjában, ráadásul a kód is csak 7 számjegyű lehet. Hány lehetősége van?. b) Hány tízjegyű kód állítható be a záron, ha mind a 0 számjegyet felhasználjuk a kód elkészítéséhez? c) Összesen hányféle kód állítható be az elektronikus záron? Az elektronikus számzárat biztonsági megoldásokkal is fel lehet vértezni az illetéktelen behatolással szemben. Egy ilyen megoldás a reteszelés, ami azt jelenti, hogy ha rossz kóddal próbálkoznak, akkor az elektronika bizonyos ideig nem enged újabb számbevitelt. Egy elektronikus számzár használati útmutatójából való a következő részlet. Amennyiben egymás utáni esetben rossz kódot adott meg, perces reteszelési idő lép életbe (piros LED villog). Minden további hibás kódbevitel esetén duplázódik a reteszelés ideje (max. 6 perc). Amenynyiben a reteszelési idő lejárt, a helyes kóddal a szokott módon nyitható a széf. Legalább mennyi ideig tartana véletlenszerű próbálkozással egy számjegyű kóddal védett széfet kinyitni, ha csak az utolsó próbálkozás lenne sikeres? * Szakértői csoport létrehozása és működése: Minden csoportban A, B, C, D betűjelek kiosztása. Az azonos betűjelűek ugyanazt a feladatot kapják. Mindenki elolvassa a saját feladatát. Az azonos betűjelűek egy-egy szakértői csoportba gyűlnek, és a feladatukat közösen megoldják. A megoldásból a szakértői csoport mindegyik tagja vázlatot készít. Mindenki visszamegy az eredeti csoportjába, és megtanítja a többieknek a saját feladatát. MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák
HÁZI FELADAT. Az 5 éves Csilla is szeretne jelszót készíteni, amit Bencének kell kitalálnia. Csilla csak az A és a B betűt ismeri fel biztonságosan, ezért a következő négy betűkártyát használja: A A B B a) Hányféle jelszót készíthet Csilla, ha a színek is számítanak, illetve ha csak a betűk sorrendje számít? b) Bence azt mondja, hogy a jelszó BABA. Mekkora az esélye annak, hogy eltalálta a betűk sorrendjét? (Azt kell kiszámítanod, hogy az összes lehetséges eset hányadrészében találja meg Bence a jelszót.) Kerékpárunkat számzáras védelemmel láttuk el. Biztonságban van-e a kerékpár, ha órán keresztül őrizetlenül hagyjuk, tudván azt, hogy egy gyakorlott zárfeltörő percenként kb. 50 lehetőséget is meg tud vizsgálni?. Egy megadott jelszót egy bizonyos rendszer 6 biten tárol (egy bit értéke 0 vagy lehet). Pl. ez egy jelszó: 0 0 0 0 0 0 0 a) Hány különböző jelszó adható meg ebben a rendszerben? b) Egy gyors kódfeltörő program másodpercenként 600 000 próbálkozást végez. Legfeljebb mennyi idő kell a programnak a jelszó feltöréséhez (ha tudja, hogy 6 bites a jelszó)? c) Egy interneten is elérhető film megnézéséhez jelszó szükséges. A megadott jelszó 0 bites. Mennyi idő alatt tudná ezt a kódot egy olyan kódvisszafejtő program feltörni, amely másodpercenként 900 000 próbálkozást hajt végre (ha tudja, hogy 0 bites a jelszó)? RÁADÁS Egy PISA-mérés feladata nyomán Pizzás feladat Egy pizzériában az alappizzát kétféle feltéttel kínálják: sajttal és paradicsommal. Ezenkívül összeállíthatjuk saját pizzánkat extra feltétekből. Négy különböző extra feltétből választhatunk: olajbogyó, sonka, gomba és szalámi. Gabi kétféle extra feltétet szeretne rendelni a pizzájára. Hány különböző kombináció közül választhat Gabi?. lecke SZÁMZÁRAK
FOLYTATJUK AZ ÖSSZESZÁMLÁLÁST BEVEZETŐ Bence új jelszót állít be a számítógépén. Szereti az érthetetlen, szerinte mások által megjegyezhetetlen jelszavakat. Kitalálta, hogy most az f, h, j, l betűkből és a -as számból fog állni a jelszava. Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de nem akar számjeggyel kezdeni? Bence azt gondolta végig, hány olyan eset van, melyre NEM teljesül az állítás, s ezt vonta ki az összes eset számából. Összesen az 5 karaktert 5 = 0-féleképpen állíthatjuk sorba. Ezek közül a hármas számjeggyel kezdődő jelszavak száma: =, mert a hármas után -féleképpen, majd utána -féleképpen, majd utána -féleképpen, majd végül -féleképpen folytathatjuk a jelszót. Azoknak az eseteknek a száma tehát, amelyek NEM hármassal kezdődnek: 0 = 96. Hajni úgy gondolkodott, hogy : az a. a. a. az 5. karakter karakter karakter karakter karakter -féle -féle -féle -féle -féle Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de ezen kívül úgy gondolja, hogy a számjegy vagy a jelszó közepére, vagy a végére kerüljön? Most két jól elkülönülő csoportra lehet szétválasztani a lehetséges jelszavakat. Nagyon fontos, hogy olyan csoportokat keressünk, amelyekben egy jelszó csak egyszer fordul elő, de mindegyik benne van valamelyik csoportban. Mindkét csoport elemeit külön összeszámoljuk, s az eredményeket összeadjuk. Az egyik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy a középső, és a többi betűt helyezem el a maradék helyre. Ezt az elrendezést megtehetem = -féleképpen. A másik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy az utolsó. Ilyen jelszó is -féle lehet, ekkor az első helyre kell be- sorolni a betűt. Összesen + = 8 lehetőség van. lehet, ezért az összes lehetőség száma: = 96. FELADAT Hajnit születésnapján felköszöntik a barátai. Heten jönnek el a születésnapi vendégségbe: Klári, Detti, Luca, Pali, Jocó, Isti és Ádám. a) Hányféle sorrendben köszönthetik fel Hajnit, ha Luca nem akar első lenni a sorban? b) Hányféle lehet a sorrend, ha Luca ragaszkodik hozzá, hogy ő legyen a negyedik? c) Hányféle lehet a sorrend akkor, ha Luca inkább úgy dönt, hogy vagy negyedik, vagy utolsó? d) S úgy hányféle sorrend van, ha Luca ahhoz ragaszkodik, hogy ő következzen Detti után?. a) Hány darab hatjegyű természetes szám van? b) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, melynek minden számjegye különböző? c) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben nem szerepel az 5-ös számjegy? d) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amely 0-zel osztható? e) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelynek minden számjegye páratlan? f) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben 7-es az első vagy az utolsó számjegy (lehet mindkettő is hetes)? MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák
. g) Hány olyan természetes szám van, amely legföljebb hatjegyű? Négy számkártya van az asztalon. Az egyiken egyes, a másikon hármas, a harmadikon hatos, a negyediken hetes szerepel. Csilla egy négyjegyű számot rakott ki a négy kártyával. 6 7 a) Hány különböző négyjegyű számot tud kirakni? b) Vajon hány olyan szám van ezek között, amelyik nyolccal osztható? c) Felírta egy papírra az összes így kapott számot. Mennyi ezeknek a számoknak az összege? Keress többféle ötletet, hogyan lehetne ezt kiszámolni!. Egy társasjáték egyik szerencsekártyáján ez olvasható: Dobj újra! Ha egyest dobsz, nyertél egy aranyat. Ha kettest, vesztettél egy aranyat. Ha hármast, nyertél három aranyat. Ha négyest vagy ötöst vagy hatost, akkor dobj újra addig, amíg végül egyest, kettest vagy hármast nem dobsz! Hajninak háromszor kellett dobnia. Mit dobhatott elsőre és másodikra? Bencének négyszer kellett dobnia, s végül vesztett egy aranyat. Hányféle dobássorozata lehetett? Csilla is kihúzta ezt a szerencsekártyát. Ő csak háromszor dobott, végül nyert. Hányféle dobássorozata lehetett? HÁZI FELADAT. Bence és két barátja egy csocsóbajnokságon mérik össze ügyességüket. Hányféle végeredmény alakulhatott ki, ha tudjuk, hogy nincs holtverseny, és nem Bence lett az első? Hány mérkőzésre került sor, ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott? Csupa páratlan számjegyből szeretnénk négyjegyű számokat alkotni. Hány különböző számot alkothatunk? Ezek közül hány olyan van, amely nem osztható öttel? S hány olyan van, amely nem osztható öttel, és amelynek minden számjegye különböző?. Egy társasjáték táblája úthálózatot ábrázol, a csomópontok egy-egy kisvárost jelentenek. Az a feladat, hogy mindenki húz öt különböző várost, és a kiinduló helyéről tetszőleges sorrendben mind az öt városba el kell jutnia a játék folyamán. Bencének nagy szerencséje van, mert az egyik város szomszédos az indulási helyével. Van ezen kívül még két másik, amelyik szomszédos egymással. Ezért elhatározza, hogy elsőként az indulási helyével szomszédos városba lép, s a másik két szomszédost pedig majd a játék folyamán egymás után fogja teljesíteni. Így hányféle sorrendben járhatja be az általa húzott öt várost?. Hadd legyek én az első vagy az utolsó! ez volt Hajni kérése, amikor az iskolai fogászatra vártak. Ha figyelembe vették Hajni kérését, hányféle sorrendben mehetett be a rendelőbe az ott várakozó kilenc gyerek?. lecke FOLYTATJUK AZ ÖSSZESZÁMLÁLÁST 5
5 HALMAZOK BEVEZETŐ Néhány egyszerű, már ismert fogalom Akkor mondjuk, hogy megadtunk egy halmazt, ha minden dologról pontosan el lehet dönteni, hogy a halmazhoz tartozik-e (eleme-e), vagy nem. A 0 elemű halmazt üres halmaznak nevezzük. Egy halmazt véges halmaznak mondunk, ha van olyan szám, amelynél nincs több eleme. Az üres halmaz is véges halmaz. Ha egy halmaz nem véges, akkor végtelen halmaznak nevezzük. Halmaz megadása történhet a halmaz elemeinek felsorolásával (véges halmaz esetén). Megadhatjuk szavakkal vagy jelekkel, hogy mely elemek tartoznak a halmazba. Szemléltehetjük a halmazt Venn-diagrammal. Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik. Üres halmazból egy van bár sokféle módon megadható. Ha egy halmaz mindegyik eleme benne van egy másik halmazban, akkor ezt a halmazt a másik halmaz részhalmazának nevezzük. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Ha egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, de A B, akkor A-t a B valódi részhalmazának mondjuk. Például a természetes számok halmazt alkotnak, osztályod tanulói halmazt alkotnak, a Nap bolygói halmazt alkotnak. De: a szép őszi napok nem alkotnak halmazt, a nagy számok nem alkotnak halmazt (mert nem lehet egyértelműen eldönteni, melyik őszi nap szép vagy melyik szám nagy). Jele: Ø vagy { }. Például egy téglalap csúcsainak a halmaza véges (-elemű) halmaz. Például egy körvonal pontjainak a halmaza végtelen halmaz. Halmaz megadása az elemek felsorolásával: {Anikó, Kriszti, Béla, Zsombor, Dóri}. Szemléltetés halmazábrával: Péterék kerékpárjainak a halmaza (-elemű halmaz) Sanyiék kerékpárjainak a halmaza (0-elemű halmaz) Például az egyjegyű prímszámok halmaza egyenlő a {; ; 5; 7} halmazzal. Például a Békés megyei városok halmaza részhalmaza az európai városok halmazának; a prímszámok halmaza részhalmaza az egész számok halmazának; az osztályod tanulóinak halmaza részhalmaza az U iskolád tanulóiból álló halmaznak. V Jelölés: V halmaz részhalmaza U-nak: V U. Például a prímszámok halmaza valódi részhalmaza az egész számok halmazának; a {; ; 5; 7} nem valódi részhalmaza az egyjegyű prímszámok halmazának (egyenlő a két halmaz). egész számok,, 6, prímszámok,, 5, 7,, 8, 9, 0,,, 0 6 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák
PÉLDA Olvassuk le az ábráról, melyik betűk az U halmaz elemei, és melyik betűk a V halmaz elemei! a) b) a U U h g b e h k c d n m z f V V y Megoldás a) Az U elemei: a, b, c, d, e, g, h; a V elemei: c, d, f; b) az U elemei: h, k, m, n, y, z; a V elemei: k, m, z. A b) esetben a V mindegyik eleme benne van az U-ban is, tehát a V részhalmaza az U-nak: V U. Az U halmaznak azok az elemei, amelyek nincsenek benne a V-ben, alkotják a V-nek az U-ra vonatkozó kiegészítő (komp lementer) halmazát. Ez a b) feladatban a {h; n; y} halmaz. FELADAT. Legyen A = {h, a; j; n; i}. Ennek a halmaznak hány kételemű részhalmaza van? Hány háromelemű részhalmaza van? Milyen kapcsolatot fedezel fel a háromelemű és a kételemű részhalmazok között? Melyik véges, melyik végtelen halmaz? a) A tanteremben lévő vízmolekulák halmaza. b) Az egész számok halmaza. c) A Föld 8950 méternél magasabban fekvő hegycsúcsainak halmaza. d) A 00-zal osztható pozitív egész számok halmaza. e) A 0 és az közötti számok halmaza (beleértve a 0-t és az -et is). f) A Naprendszer összes bolygójának halmaza. g) Azoknak az embereknek a halmaza, akik a 008. évi pekingi olimpia 00 méteres férfi gyorsúszás döntőjét televízión keresztül, elejétől a végéig látták. PÉLDA. Soroljuk fel az {a; b; c; d} halmaz részhalmazait! Megoldás -elemű részhalmazok: {a}, {b}, {c}, {d} ( db). -elemű részhalmazok: {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d} (6 db). -elemű részhalmazok: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d} ( db). -elemű részhalmaz: {a; b; c; d} ( db). Ez 5 részhalmaz. Rajtuk kívül még az üres halmaz is részhalmaza az adott halmaznak, vagyis van még egy 0-elemű részhalmaz is: { } ( db). Tehát az {a; b; c; d} halmaznak 6 részhalmaza van. 5. lecke HALMAZOK 7
FELADAT. Szotyi kutyát sétáltatni kell. Ez a feladat Hajnira, Bencére és apára vár. Ha nagyon csúnya az idő, akkor persze Szotyi otthon marad. Van úgy, hogy mindhárman együtt sétálnak Szotyival, van, hogy ketten, és van, hogy egyetlen sétáltatója van csak. Hányféleképpen alakulhat a sétáltatók csapata? Add meg az összes lehetőséget!. Van-e olyan halmaz, és ha igen, hány elemű az a halmaz, amelynek a) ; b) ; c) ; d) részhalmaza van? HÁZI FELADAT. Halmazt adunk-e meg a következő meghatározásokkal? a) Az idei iskolai szünnapok. b) A múlt év legszebb hónapja. c) Az Arany család tagjainak születésnapja. d) Az idei holdtölték napja. Egy gazdaság 8-féle terméke közül 7-félét kizárólag hazai fogyasztásra gyárt. -féle terméket szállítanak Horvátországba, -félét Szlovákiába. Más országokkal nem állnak üzleti kapcsolatban. Hányféle árut szállítanak Horvátországba is és Szlovákiába is?.. Az egyjegyű prímszámok is és az egyjegyű összetett számok is halmazt alkotnak. Sorold fel mindkét halmaznak a -elemű és a -elemű részhalmazait! Rajzolj egy koordináta-rendszert! a) Színezd kékre azokat a pontokat, amelyek az x tengelytől egység távolságra vannak! b) Színezd zöldre azokat a pontokat, amelyek az y tengelytől egység távolságra vannak! c) Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek mindkét tengelytől egység távolságra vannak! d) Melyik ponthalmaz véges és melyik végtelen? ELMÉLET Kiegészítő halmaz A egy halmaz, és H ennek egy részhalmaza. Azoknak az A-beli elemeknek a halmazát, amelyek nem elemei a H-nak, a H halmaz A-ra vonatkozó kiegészítő vagy komplementer halmazának nevezzük. Itt az A halmazt alaphalmaznak is mondjuk. Például az {; ; ; 5; 7} halmaznak a {0; ; ; ; ; 5; 6; 7} halmazra vonatkozó kiegészítő halmaza a {0; ; 6} halmaz; a páros számok halmazának az egész számok halmazára vonatkozó kiegészítő halmaza a páratlan számok halmaza. H A kiegészítő halmaz 8 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák
RÁADÁS Állítsuk párba a pozitív egész számok halmazának az elemeit és a pozitív páros számok halmazának az elemeit! A pozitív egész számok:,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, a pozitív páros számok:,, 6, 8, 0,,, 6, 8, 0,,. Az egymás alatti számokból alkotjuk a párokat: (; ), (; ), (; 6), (; 8), (5; 0), (6; ), (7; ), (8; 6), (9; 8), (0; 0), (; ),. Érdekes: azt gondolnánk, hogy kétszer annyi pozitív egész szám van, mint ahány pozitív páros szám, mégis párba állíthatók a két halmaz elemei. Ilyesmi csak végtelen halmazoknál lehetséges, végeseknél nem. KIEGÉSZÍTŐ ANYAG FELADAT A-val jelöljük a kétjegyű pozitív egész számok halmazát, B-vel a 65-nél nagyobb egész számok halmazát, C-vel a 50-nél kisebb pozitív egész számok halmazát. Hány olyan szám van, amely a) A-nak is, B-nek is és C-nek is eleme; b) A, B, C közül legalább az egyikben benne van; c) A-ban és C-ben benne van, de B-ben nincs benne; d) A-ban benne van, de B-ben és C-ben nincs benne? ELMÉLET Ekvivalens halmazok Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha elemeik párba állíthatók. Úgy is szokták definiálni a végtelen halmazt, hogy ekvivalens valamely valódi részhalmazával... Állítsd párba a pozitív egész számokat és a pozitív négyzetszámokat! Helytálló-e az alábbi okoskodás? A kilencjegyű számokból pont annyi van, mint a tízjegyűek ből. Állítsuk ugyanis párba őket a következő módon: 00 000 000 000 000 000 00 000 00 000 000 00 00 000 00 000 000 00 999 999 999 9 999 999 999. 5. 6. Lehet-e egy körlemez és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz? Lehet-e egy körvonal és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz? Meglepő, de az is bizonyítható, hogy az egész számok halmaza ekvivalens a pozitív egész számok halmazával. Hogyan kellene sorba rakni az egész számokat és a pozitív egész számokat, hogy az állítás igazsága látható legyen? 5. lecke HALMAZOK 9
6 HALMAZOK UNIÓJA, METSZETE, KÜLÖNBSÉGE BEVEZETŐ Anya és Csilla Identikit társasjátékot játszanak. A játék lényege, hogy a játékosok a megadott személy tulajdonságaira kérdeznek rá egymástól, így próbálják egyre szűkíteni a kört, és végül kitalálni, hogy melyik személyre gondolt a másik játékos. Az nyer, akinek ez kevesebb kérdésből sikerül. Csilla már jó sokat kérdezett, és így csak hét személy maradt, de most már türelmetlen, és egyszerre két kérdést is feltesz: Férfi? Fekete a haja? Igen, férfi, és igen, fekete a haja, de egyszerre csak egyet szabad kérdezni! Vajon kire gondolt Anya és vajon számít-e, hogy melyik kérdést teszi fel először Csilla? Rendezzük csoportokba (halmazokba) a még szóba jöhető személyeket: Mária fekete hajúak férfiak Dániel között: János, és egyetlen fekete hajú van a férfiak között: ugyancsak János. Úgy is mondhatjuk, hogy a fekete hajúak és a férfiak halmazának metszetében egyetlen elem található. Vajon ha a kitalálandó személy férfi, de nem fekete a haja, akkor is egyértelmű lenne, hogy kiről van szó? Ebben az esetben a férfiak halmazának (pöttyös) és a nem fekete hajúak halmazának (zöld) a metszetében már három elem áll, ezért nem tudjuk egyértelműen eldönteni, hogy kire gondolt Anya. Lenke János Péter Mária fekete hajúak férfiak Dániel Anna Gábor Lenke János Péter Láthatóan mindegy, hogy először a fekete hajúakat karikázzuk be és aztán a férfiakat, vagy fordítva, az eredmény mindenképpen ugyanaz. Egyetlen férfi van a fekete hajúak Anna Gábor FELADAT Kitalálható-e, hogy ki a keresett személy, ha azt tudjuk, hogy: a) fekete hajú, de nem férfi; b) nem fekete hajú, és nem is férfi? 0 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák