VII. CSAPATVERSENY 2011. ősz Mert kell egy csapat Üdvözlünk Téged az immár hetedszer megrendezett DigitalAge csapatverseny alkalmából. Az elkövetkező két órában rengeteg feladat és reméljük rengeteg sikerélmény vár majd Rád. Kedves Csapatok! A verseny hét feladatból áll, ezek megoldására az első bejelentkezéstől számítva 2 óra áll rendelkezésetekre. A hét feladatot egymás között kell szétosztanotok, és ha lehetséges, mindegyiket sikerrel megoldanotok. A verseny során bármilyen segédeszköz használható. Az egyes feladatoknál minden részeredményhez tartozó részpontszám is fel van tüntetve, így akkor is küldjétek be a megoldást, ha azt nem sikerült teljes mértékben befejezni. Az indoklásokat, bizonyításokat és magyarázatokat érthetően, követhetően és egyértelműen írjátok le, hiszen ez képezi a megoldásokért járó pontok oroszlánrészét. Az indoklásnál semmilyen külső forrásra való hivatkozást nem tudunk elfogadni! Bizonyos esetekben a hibás megoldásokért is lehet pontszámot szerezni, ilyen esetekben a javítók utólag döntenek. Javasoljuk, hogy a már megoldott példákat is ellenőrizzétek le, ha van rá mód, egymásét. Fontos! Minden feladatnak van egy betűjele! Kérjük, ezt a betűt minden egyes megoldás feltöltésekor adjátok meg! A megoldásokat azon az oldalon kell beküldeni, ahonnan ezt a fájlt is letöltöttétek. Ezen az oldalon egyúttal láthatjátok már a csapatotok által korábban beküldött megoldásokat is (elkerülendő hogy ketten küldjétek be ugyanazt). Ehhez néha szükséges az oldalt frissíteni, mert csak így jelennek meg a változások. Eredményes versenyzést kíván: A DigitalAge szerkesztősége.
A. Bevezetés Ismert feladat a szóboncolás, vagy más néven az áthallás. Ennek legegyszerűbb fajtája az, amikor a szavakban helyet foglaló betűket ide-oda tologatva a betűk sorrendje nem változik, de a szóközök helyének változtatásával új jelentést kapunk. Pl. tenyered te nyered Gyűjtsünk ilyeneket, 1-1 pontért, maximum 15 pont. A DIAG-on fórumokon, megjelent áthallásokat nem fogadunk el. vagy egyéb B. Zsuga Bubus Hajdanában a vadnyugaton az alábbi játékot is játszották az ivóban megfáradt cowboyok. Két pakli - egyformán kék hátlapú - francia kártyából, amely a dzsókereket nem tartalmazta, tehát 104 lapból a csapos kiválasztott 52 lapot. Az 52 lap lehetett mind piros (kőr és káró), mind fekete (pikk és treff) de lehetett az 52 lapban vegyesen piros és fekete lap. Majd az 52 lapot lefelé fordítva, vagyis csak a hátoldaluk volt látható, kirakta a pultra szigorúan ügyelve arra, hogy balról csupa fekete lap legyen, és utána következzenek a piros lapok. A játékosnak az volt a feladata, hogy néhány kártya felfordítása után mondja meg, hogy a kiválasztott 52 lap közül hány volt a piros. A játékos bármelyik lapot megfordíthatta, és bármikor nyilatkozhatott a piros lapok számáról, de ha már a második piros lapot is megfordította, akkor nyilatkoznia kellett a piros lapok számáról. Ha eltalálta, akkor nyert. De ehhez némi szerencse is kellett, ha vaktában, véletlenszerűen forgatta meg a lapokat. Ugyanis például ha a 27-dik lappal kezdett, és az piros volt, majd a 26-dikkal folytatta, és az fekete volt, akkor biztosan kijelenthette, hogy 26 piros lap van a pulton. De ha a 26-dik lap is piros volt, akkor csak tippelni tudott. A játékot az a cowboy nyerte, aki a legkevesebb megfordításból eltalálta a piros lapok számát. Döntetlen esetén új leosztás következett. Volt akinek pechje volt, és az első két megfordításra is piros lap jött, így nyilatkoznia kellett. Érezték a cowboyok, hogy biztos van olyan stratégia, amivel N megfordítás után bátran lehet nyilatkozni. De ezt az N számot nem ismerték, és a stratégiát sem. Szerencséjükre arra járt a híres kártyás, Zsuga Bubus, aki ismerte ezt az N számot, és ismerte a stratégiát is, amellyel elbűvölte az ivó társadalmát. Mi volt Zsuga Bubus stratégiája, amellyel N megfordítás után biztosan meg tudta mondani a piros lapok számát. Mennyi N értéke? N minimális voltát nem kell igazolni, de törkedjünk minél kisebb N érték megadására. (Stratégia 6 pont, N értéke 6 pont)
C. Bergenring Bergengócia híres autóversenypályáján, a Bergenringen, nem csak a Forma 1 versenyzői száguldozhattak, hanem bárki kérhette, hogy körbe autózhassa a pályát. Ha egy földi halandó szeretné körbe autózni a pályát, akkor a Safety Car (továbbiakvan SC) kihelyez a pályán N számú depóba összesen X liter üzemanyagot. Az N értékét nem mondja meg senkinek, és azt, hogy a depók milyen távolságra vannak egymástól, sőt azt se, hogy melyik depóba mennyi liter benzint tett le, de X értéke pontosan annyi, amennyi egy autónak pontosan elegendő a körút megtételéhez. Ezután az SC, a box utcába szigorúan üres tankkal érkező autót elvontatja egy tetszőleges depóhoz, majd a körút befejeztével érte megy, és visszavontatja a box utcába. A hétvégén Berg Egon vadonatúj autójával, amelyet megtakarított tallérjaiból és fabatkáiból vásárolt, szeretné körbeautózni a pályát. Az SC kihelyezte az N depóba az X liter benzint, amely egyébként teljes egészében belefér Egon autójának tankjába. Igazoljuk, hogy akárhogy is helyezte el az SC az N depót és akármilyen arányban osztotta szét az X litert benzint, Egon mindig ki tud választani egy depót, ahonnan ha elindul, pusztán a depókban lévő benzinmennyiségekre támaszkodva, körül tudja autózni a Bergenringet; vagy adjunk egy olyan konstrukciót, hogy egyetlen depóból se tudja Egon a körutat teljesíteni. (14 pont) D. Az Y függvény A diagos játékosok ötletei nyomán a DigitalAge matematikai szekciója egy új, eddig ismeretlen számelméleti függvényt definiált, amelyet alapító főszerkesztőjének, Yodának a tiszteletére, Y függvénynek nevezett el. Az Y függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Egy tetszőleges n pozitív egész számhoz az Y(n) függvény annak a H halmaznak a számosságát rendeli, amely egész számokból képzett számpárokból áll, és a H halmaz minden elemére igaz az, hogy ha az elemet alkotó két szám összegéhez hozzáadjuk a két szám szorzatát, akkor n-et kapunk. Két számpárt nem tekintünk különbözőnek akkor, ha csak sorrendjükben térnek el egymástól. A. Mennyi Y(20) értéke? Adjuk meg a H halmaz minden elemét. (6 pont) B. Adjunk példát olyan pozitív n egész számra, hogy Y(n) páratlan legyen! (3 pont) C. Hány olyan pozitív n szám van amelyre Y(n)=Y(20), és melyek ezek? (4 pont) D. Az 1000-nél kisebb számokra mennyi Y(n) maximuma, és ezt hol veszi fel? (5 pont) Az utolsó kérdést kivéve indoklást is kérünk.
E. Nomen est omen Príma Liza úgy döntött, hogy regisztrál a DigitalAge-re. Legelőször az alábbi végtelen számsorozat első 10 tagját küldte be feladványként. 3, 10, 24, 44, 85, 108, 147, 136, 108, 30 Mi a számsorozat következő tagja (4 pont), és miért (10 pont)? F. SZÚR A múlt század hatvanas éveinek nagy sikerű rendezvénye volt a Színészek, Újságírók Rangadója, a SZÚR, amelyet a Népstadionban rendeztek. Történt, hogy egy alkalommal a félidőben, a kor neves futballistái mezt öltöttek, és összemérték erejüket egy 3000 méteres akadályfutásban. Öt méltán híres labdarúgó öltött mezt, természetesen a saját egyesületük színeit, mégpedig: Bene Ferenc (lila-fehér, Újpesti Dózsa), Albert Flórián (zöld-fehér, FTC), Sándor Csikar (kék-fehér, MTK), Tichy Lajos (piros-fehér, Honvéd) és Mészöly Kálmán (piros-kék, Vasas). A két szín egyikét mindenütt a trikó, a másikét a nadrág képviselte, és a fehér mindig a nadrág volt. A Népsport is szeretett volna beszámolni a versenyről, de tudósítójuk lekéste a versenyt, és csak a második félidőre várakozó népes szurkolóseregtől kapott néhány felvilágosítást a végeredménnyel kapcsolatban: (1) Az elsőt és az utolsót nem láttam jól, de a többieknek egyforma színű nadrágja volt. (2) Az első és a negyedik nem viselt közös színt. (3) Az első háromnak egyformán fehér volt a nadrágja. (4) Az utolsó előttinek lila volt a trikója. (5) A győztesnek és a sereghajtónak egyforma színű volt a trikója. (6) Az utolsó kettőn piros színt láttam. (7) A két utolsónak egyforma színű nadrágja volt. (8) A harmadiknak piros volt a trikója. (9) Az elsőt és az utolsót nem láttam jól, de többieken nem volt kék szín. A tudósító elszontyolodott, mert ezen állítások között nem tudott kiigazodni, márpedig legalább a végeredményről be kellett számolnia a sportrovatnak. Szerencsére megtudta, hogy a kilenc állítás közül kettő hamis, hét igaz állítás, és az is, hogy holtverseny nem volt. Mi volt a verseny végeredménye? (Indoklással) (Indoklás nélkül 2 pont, indoklás 10 pont)
G. Levezetés Levezetésképpen következzék néhány kvíz kérdés. (Mindegyik 1 pont) 1. Ki az a világhírű matematikus, akinek a vezetéknevét már a Teremtés Könyve is megemlíti? (vezetéknév, keresztnév, születési év). 2. Két híres ember is az azóta lebontott budapesti V. kerület Váci utca 19. szám alatt halt meg. Kik ők? 3. Egy Nobel díjas ír származású és egy amerikai írónak közös a vezetékneve. Kikről van szó, és mit jelent a közös vezetéknév magyarul? 4. Egy német sportoló több, mint 24 évig volt világbajnok. Ki ő, és milyen sportágról van szó? 5. Milyen fogyatékossága volt Charles Robert Darwin angol természettudósnak? 6. Ki az a férfi atléta, aki 1977 és 1987 között nem talált legyőzőre? 7. Melyik ország miniszterelnöke és külügyminisztere volt zongoraművész, és ki ő? 8. 1978-ban egy film készült egy ápolónőről, akinek a filmbeli keresztneve és a szerepet játszó színésznő keresztneve azonos. Kikről van szó? 9. Melyik monarchiában választják az államfőt? 10. Melyik az az aprósütemény, amely Johann Wolfgang von Goethe és Ambroise Thomas francia zeneszerzőt juttatja eszünkbe, és persze miért? 11. A mai napig egyetlen labdarúgókapus vett rész 5 világbajnokságon. Ki ő, és melyik ország színeiben védett? 12. Mi az index az orvostudományban? 13. Egy gyermeknek vagy egy felnőttnek van-e több csontja, és miért? 14. Charlie Chaplint az Aranyláz című filmben milyen állat kergeti? 15. Ki az a magyar színész, aki felment a miniszterhez, és mikor?