V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel? Megoldás: Ha a leejtett labda ötödször 10 cm magasra pattant fel, és minden egyes esésénél feleakkora magasságra pattan fel mint, ahonnan leejtettük, akkor az ötödik esésnél a földt l 20cm-re van..................................... 3 pont a negyediknél 40 cm-re................................................................................... 1,5 pont harmadiknál 80cm-re..................................................................................... 1,5 pont a másodiknál 160 cm-re................................................................................... 1,5pont az els nél pedig 320 cm-re................................................................................. 1,5pont Tehát a labdát 320 cm magasságból ejtették le. 2. feladat. Van 8 kis kockánk, mindegyiknek 1 cm az éle. a) Hogyan színezzük ki a kis kockák lapjait, hogy ugyanazokkal a darabokkal akár kék, akár zöld 2cm él kockát tudjunk összeállítani? b) Meg tudunk-e színezni 27 kis kockát úgy, hogy azokból akár kék, akár zöld 3 cm él kockát lehessen összeállítani? c) Meg tudunk-e színezni 27 kis kockát úgy, hogy azokból akár kék, akár piros, akár zöld 3 cm él kockát lehessen összeállítani? Megoldás: a) Minden kiskockának 3 lapja látszik, tehát ha mindeniknek a látszó 3 szomszédos lapját kékre, a többit zöldre festjük a kirakás megvalósítható....................................................................... 3 pont b) Egy zöld 3 cm él kockában 8 darab olyan kiskocka van, melynek 3 lapja látszik, 12 darab olyan amelynek 2 lapja látszik, 6 darab amelynek 1 lapja látszik és egy amelynek nem látszik egyetlen lapja sem. Így ha a kiskockák el bbi színezését használjuk a kirakás mindkét színnel megvalósítható, mert 8 kiskockának van 3 egyszín laja, 12-nek legalább 2 egyszín lapja(ami látszhat), 6-nak legalább egy kék vagy zöld lapja, az utolsó nem is látszik........................................................................................................ 3 pont c) Mivel a 27 kiskockának 162 lapja van, és egy 3x3-as kocka felszínén pontosan 54 ilyen lap látszik, és 3x54 = 162 világos, hogy egyetlen színb l sem lehet 54 lapnál több kiszínezve. Egy ilyen színezés: 1
1 db. kocka 3 piros+3 kék lap 1 db. kocka 3 kék+3 zöld lap 1 db. kocka 3 zöld+3 piros lap 6 db. kocka 3 kék+2 piros+1 zöld lap 6 db. kocka 3 zöld+2 kék+1piros lap 6 db. kocka 3 piros+2 zöld+1kék lap 6 db. kocka 2 piros+2 zöld+2 kék lap............................................................ 3 pont 3. feladat. Vágd szét a négyzetet minél többféleképpen két részre úgy, hogy azok egyforma nagyságúak és alakúak legyenek! Csak a kis négyzetek oldalai mentén vághatsz! Megoldás: Minden helyes szétvágás 1,5 pont. 4. feladat. Egy kis faluban három egymás melletti házban három különböz foglalkozású ember lakik (ORVOS, MATEKTANÁR, HOKISTA). A házak más-más szín ek (SÁRGA, ZÖLD, PIROS), minden háztulajdonos más-más állatot tart (MACSKA, KECSKE, KUTYA), más-más a kedvenc itala (TEA,, GYÜMÖLCSLÉ), más-más járm vel mennek dolgozni (BICIKLI, MOTOR, ) és igazak az alábbi állítások: 1. Az ORVOS a PIROS házban lakik. 2
2. A KUTYA és a MACSKA nem szomszédok. 3. Az els házban lakó ember T vezet és nem tart KUTYÁT. 4. A SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE. 5. A MATEKTANÁR KECSKÉT tart. 6. A PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik. 7. A KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik. 8. A középs házban lakó ember ZIK. Ki MOTOROZIK? Ki iszik GYÜMÖLCSLEVET? Megoldás: ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD GYÜMÖLCSLÉ TEA MOTOR BICIKLI Részletesebben (egy lehetséges megoldás a sok közül): A h. állítás alapján a 2. házban lakó ember ZIK. A c. állítás alapján az 1. házban lakó ember T vezet.1 pont Állat A b. állítás alapján a KUTYA és a MACSKA nem szomszédok, azaz a középs házban lakik a KECSKE.... 1 pont Állat KECSKE Az e. állítás alapján a MATEKTANÁR KECSKÉT tart, tehát a 2. házban lakik.......................... 1 pont MATEKTANÁR Állat KECSKE A c. állítás alapján az 1. házban lakó ember nem tart KUTYÁT, tehát a KUTYA a 3. házban lakik és így a MACSKA lakik az 1. házban................................................................................ 1 pont MATEKTANÁR A g. állítás alapján a KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik, tehát a 3. ház ZÖLD.................... 1 pont 3
MATEKTANÁR ZÖLD Az a. állítás alapján az ORVOS a PIROS házban lakik, így ez a páros csak az 1. házba tehet be............ 1 pont ORVOS MATEKTANÁR PIROS ZÖLD Következik, hogy a 3. házban lakik a HOKISTA, illetve a 2. ház SÁRGA.................................... 1 pont ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD A d. állítás alapján a SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE, tehát a BICIKLI a 3. házban van és így a MOTOR a 2. házban........................................................................................ 1 pont ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD MOTOR BICIKLI Az f. állítás alapján a PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik, tehát a TEÁT a 3. házban isszák. Így pedig a GYÜMÖLCSLEVET az 1. házban.......................................................................... 1 pont ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD GYÜMÖLCSLÉ TEA MOTOR BICIKLI 4
VI. osztály 1. feladat. Az 1, 1, 1, 1, 1 2 4 6 8 számok összege 1 legyen?, 1 10 12 számok közül melyiket (melyeket) kell eltávolítani ahhoz, hogy a a megmaradt 1. megoldás Mivel 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + 1 10 + 1 12 = 60 120 + 30 120 + 20 120 + 15 120 + 12 120 + 10 120 = 147 120,............................................................................................................. 4 pont Ezért a 60 + 30 + 20 + 15 + 12 + 10 = 147 összegb l 27-et kell levenni. A 60 és a 30 nem húzható ki, mivel nagyobbak, mint 27. Marad a 20, 15, 12, 10............................. 1 pont Pontosan két számot kell kihúzzunk ezekb l, mivel egy nem elég (még a legnagyobb is kisebb 27-nél), három pedig már túl sok (a három legkisebb szám összege: 15 + 12 + 10 = 37 > 27). A 20-as viszont nem lehet egy párosnak sem tagja, mivel 20 + 10 = 30 > 27.............................................................................. 2 pont Maradnak a 15, 12, 10. Az ezekb l a számokból alkotható három pár közül ((15, 12), (15, 10) és (12, 10)) csak a (15, 12) jó. Tehát az 1-ot és az 1 8 10-et kell kihúzzuk ahhoz, hogy a megmaradt törteknek az összege 1 legyen............. 1 pont Valóban: 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 12 = 60 120 + 30 120 + 20 120 + 10 120 = 1. 2. megoldás A számok összege 147 120 = 49 40 = 1 + 9......................................................... 4 pont 40 9 Ahhoz, hogy a megmaradt számok összege 1 legyen, összeg számokat kell eltávolítani. Ehhez a 9 40 40 törtet olyan törtek összegére kell bontani, amelyek nevez i 2, 4, 6, 8, 10, 12 lehetnek, a számlálók pedig (egyszer sítés után) mind 1 legyen...................................................................................................... 1 pont 40 = 2 3 5, az 5-ös egyetlen tört nevez jében szerepel, ez biztosan kell szerepeljen az eltávolításban, és mivel 9 40 1 10 = 1, a két tört, amit el kell távolítani az 1 és az 1 8 10 8..................................................4 pont Javítási javaslat: ha nem indokol a tanuló, de megtalálja a megoldást, 7-8 pontot kaphat. 2. feladat. A SIMPLEX szó bet inek hány darab különb öz átrendezésében van mindkét magánhangzó el l? (Például IESMPLX egy ilyen átrendezés, de ISMPLEX nem.) Megoldás. A magánhangzókat (E, I) el l kétféleképpen lehet elhelyezni: EI, IE........................... 2 pont A mássalhangzók a magánhangzók után 5 helyre tehet ek be:. Ez 5 4 3 2 1 = 120 féleképpen lehetséges.................................................................................................. 5 pont Tehát 2 120 = 240 különböz átrendezés van a feladat feltételeinek megfelel en............................. 2 pont 3. feladat. Van 216 egyforma kis kockánk. Hány különböz alakú téglatestet építhetünk ezekb l, ha mindenik kockát fel kell használni? Megoldás: 216 = 2 3 3 3 Meg kell keresni az összes olyan felbontást, amely a b c alakú és a b c, ezekb l mind különböz alakú téglatesteket kapunk. Összesen 19 téglatestet kapunk, közvetlen felsorolással is megkaphatjuk: 1 1 216, 1 2 108, 1 3 72, 1 4 54, 1 6 36, 1 8 27, 1 9 24, 1 12 18................................ 4 pont 2 2 54, 2 3 36, 2 4 27, 2 6 18, 2 9 12............................................................... 2 pont 3 3 24, 3 4 18, 3 6 12, 3 8 9......................................................................... 2 pont 4 6 9, 6 6 6............................................................................................. 1 pont 4. feladat. Egy kis faluban három egymás melletti házban három k ülönböz foglalkozású ember lakik (ORVOS, MATEKTAN ÁR, HOKISTA). A házak más-más szín ek (SÁRGA, Z ÖLD, PIROS), minden háztulajdonos más-más állatot tart (MACSKA, KECSKE, KUTYA), más-más a kedvenc itala (TEA,, GYÜMÖLCSLÉ), más-más járm vel mennek dolgozni (BICIKLI, MOTOR, ) és igazak az alábbi állítá sok: 1. Az ORVOS a PIROS házban lakik. 2. A KUTYA és a MACSKA nem szomszédok. 3. Az els házban lakó ember T vezet és nem tart KUTYÁT. 5
4. A SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE. 5. A MATEKTANÁR KECSKÉT tart. 6. A PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik. 7. A KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik. 8. A középs házban lakó ember ZIK. Ki MOTOROZIK? Ki iszik GYÜMÖLCSLEVET? Megoldás: ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD GYÜMÖLCSLÉ TEA MOTOR BICIKLI Részletesebben (egy lehetséges megoldás a sok közül): A h. állítás alapján a 2. házban lakó ember ZIK. A c. állítás alapján az 1. házban lakó ember T vezet.1 pont Állat A b. állítás alapján a KUTYA és a MACSKA nem szomszédok, azaz a középs házban lakik a KECSKE.... 1 pont Állat KECSKE Az e. állítás alapján a MATEKTANÁR KECSKÉT tart, tehát a 2. házban lakik.......................... 1 pont MATEKTANÁR Állat KECSKE A c. állítás alapján az 1. házban lakó ember nem tart KUTYÁT, tehát a KUTYA a 3. házban lakik és így a MACSKA lakik az 1. házban................................................................................ 1 pont MATEKTANÁR A g. állítás alapján a KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik, tehát a 3. ház ZÖLD.................... 1 pont MATEKTANÁR ZÖLD 6
Az a. állítás alapján az ORVOS a PIROS házban lakik, így ez a páros csak az 1. házba tehet be............ 1 pont ORVOS MATEKTANÁR PIROS ZÖLD Következik, hogy a 3. házban lakik a HOKISTA, illetve a 2. ház SÁRGA.................................... 1 pont ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD A d. állítás alapján a SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE, tehát a BICIKLI a 3. házban van és így a MOTOR a 2. házban........................................................................................ 1 pont ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD MOTOR BICIKLI Az f. állítás alapján a PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik, tehát a TEÁT a 3. házban isszák. Így pedig a GYÜMÖLCSLEVET az 1. házban.......................................................................... 1 pont ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA PIROS SÁRGA ZÖLD GYÜMÖLCSLÉ TEA MOTOR BICIKLI 7
VII. osztály 1. feladat. A SIMPLEX szó bet inek hány darab különböz átrendezésében van mindkét magánhangzó el l? (Például IESMPLX egy ilyen átrendezés, de ISMPLEX nem.) Megoldás. A magánhangzókat (E, I) el l kétféleképpen lehet elhelyezni: EI, IE........................... 2 pont A mássalhangzók a magánhangzók után 5 helyre tehet ek be:. Ez 5 4 3 2 1 = 120 féleképpen lehetséges.................................................................................................. 5 pont Tehát 2 120 = 240 különböz átrendezés van a feladat feltételeinek megfelel en............................. 2 pont 2. feladat. Van 12 egyforma gyufaszálunk. Tekintsük egy területegységnek annak a négyzetnek a területét, amelyet négy gyufaszálból készítünk. Készíts olyan sokszögeket az összes gyufaszál felhasználásával, amelynek területe: a) 5 területegység b) 9 területegység c) 6 területegység d) 4 területegység e) 3 területegység a) megfelel pl. az 1 5-ös téglalap. Megoldás........................................................................................................ 2 pont b) megfelel pl. a 3 3-as négyzet........................................................................................................ 2 pont c) egy 2 3-as téglalap oldalaira kifele illetve befele egyenl oldalú háromszögeket állítunk, pl. a rajzon látható módon:....................................................................................................... 2 pont d) hasonló módszerrel kapunk 4 terület sokszöget egy 1 4-es téglalapból..................................................................................................... 1,5 pont 8
e) egy 1 3-as téglalapbó két egyenl oldalú háromszöget vágunk ki...................................................................................................... 1,5 pont Minden alpontnál a maximális pontot megfelel indoklás esetén lehet elérni. 3. feladat. Amikor a nagyapám már elmúlt 65 éves, de még nem volt 90, a következ t mondta: Minden gyerekemnek annyi gyermeke van, mint testvére. Éveim száma pedig pontosan annyi, ahány gyermekem és unokám van összesen." Hány éves volt ekkor a nagyapám? Megoldás. Jelöljük a nagyapa gyerekeinek számát x-szel. Ebben az esetben minden gyermeknek x 1 testvére van, így x 1 gyermeke is....................................................................................... 2 pont Tehát összesen x(x 1) az unokák száma................................................................... 3 pont A gyermekek és az unokák száma így x + x (x 1) = x + x 2 x = x 2....................................... 2 pont Olyan négyzetszámot keresünk, amely 65-nél nagyobb és 95-nél kisebb. Ilyen négyzetszám csak egy van, a 81....................................................................... 2 pont 4. feladat. Az ábrán négy fogaskerék látható. A rajtuk lev számok a fogak számát mutatják. Amíg a legnagyobb egyszer körbefordul, hányszor fordul körbe a legkisebb? Megoldás. Mivel a fogaskerekek a fogak által össze vannak "kötve", ezért a mozgásuk is összekötött, egyszerre mozognak.................................................................................................. 2 pont Tehát függetlenül attól, hogy a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék között hány fogaskerék van, a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék egyszerre mozog. Azaz akár az ábrán látható módon is elhelyezhetnénk ezeket és ez a feladaton nem változtatna............................................................................................ 2 pont Amíg a nagy egyszer körbefordul, addig a kicsi 78 13 = 6-szor fordul körbe..................................... 2 pont Indoklás (Ez azért van így, mert a kicsi fogaskerék egyszeri körbefordulása a nagyot éppen a kicsi fogaskerék hosszával viszi el re. Tehát meg kellene nézzük, hogy a kicsi fogaskerék hossza hányszor fér rá a nagyra. A nagy fogaskereket tekinthetjük 78 egység hosszúnak, a kicsit pedig 13-nak, mert ha például a nagy körre rajzolunk 78 9
fogat (azaz vonalkát), egy fog mentén "elvágjuk" a fogaskereket és kiegyenesítjük, akkor 79 vonalka keletkezik, ami 78 egységszakaszt határoz meg. Ugyanez van a kicsi fogaskerékkel is, amin - ahhoz, hogy a fogaskerekek m ködjenek - az egységek ugyanazok kell legyenek, mint a nagyon. Tehát csak azt kell megnézni, hogy a 13 hányszor van meg a 78-ban.).................................................................................................... 3 pont Kibontottabb megoldás. (Ha nem veszi észre a gyermek hogy mindegy, hogy középen hány fogaskerék van.) Mivel a fogaskerekek egyszerre mozognak, amíg az els egyszer körbefordul, addig a második 78 21-szer fordul körbe. Amíg a második egyszer körbefordul, addig a harmadik 21 44-szer fordul körbe. Amíg a harmadik egyszer körbefordul, addig a negyedik 44 13-szor fordul körbe. Tehát amíg a legnagyobb fogaskerék egyszer körbefordul, addig a legkisebb 78 21 21 44 44 13 = 6-szor fordul körbe. 10
VIII. osztály 1. feladat. Legyen n és k két darab háromjegy természetes szám úgy, hogy n + k = 1000. Igazold, hogy az n 2 és k 2 természetes számok utolsó három számjegye megegyezik! Megoldás Ha k = abc n 2 = (1000 k) 2 = 1000000 2000k + k 2 n 2 = 1000000 2000abc + k 2 = 1000000 2 abc000 + k 2................................................... 3 pont Ha n > k, akkor k 499 és 1000000 2 abc000 = xy...000 alakú, tehát n 2 utolsó három számjegyét épp a k 2 utolsó három számjegye adja...................................................................................... 4 pont Ha n < k hasonlóan járunk el felcserélve n és kszerepét Ha n = k az állítás azonnali.........................2 pont Megjegyzés: Konkrét értékekkel való kisérletezés legtöbb 2pontot ér (+1). Minden más olyan megoldási kisérlet amely elvezet a megoldáshoz pontozandó. 2. feladat. Az ábrán négy fogaskerék látható. A rajtuk lev számok a fogak számát mutatják. Amíg a legnagyobb egyszer körbefordul, hányszor fordul körbe a legkisebb? Megoldás. Mivel a fogaskerekek a fogak által össze vannak "kötve", ezért a mozgásuk is összekötött, egyszerre mozognak.................................................................................................. 2 pont Tehát függetlenül attól, hogy a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék között hány fogaskerék van, a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék egyszerre mozog. Azaz akár az ábrán látható módon is elhelyezhetnénk ezeket és ez a feladaton nem változtatna............................................................................................ 2 pont Amíg a nagy egyszer körbefordul, addig a kicsi 78 13 = 6-szor fordul körbe..................................... 2 pont Indoklás (Ez azért van így, mert a kicsi fogaskerék egyszeri körbefordulása a nagyot éppen a kicsi fogaskerék hosszával viszi el re. Tehát meg kellene nézzük, hogy a kicsi fogaskerék hossza hányszor fér rá a nagyra. A nagy fogaskereket tekinthetjük 78 egység hosszúnak, a kicsit pedig 13-nak, mert ha például a nagy körre rajzolunk 78 fogat (azaz vonalkát), egy fog mentén "elvágjuk" a fogaskereket és kiegyenesítjük, akkor 79 vonalka keletkezik, ami 78 egységszakaszt határoz meg. Ugyanez van a kicsi fogaskerékkel is, amin - ahhoz, hogy a fogaskerekek m ködjenek - az egységek ugyanazok kell legyenek, mint a nagyon. Tehát csak azt kell megnézni, hogy a 13 hányszor van meg a 78-ban.).................................................................................................... 3 pont Kibontottabb megoldás. (Ha nem veszi észre a gyermek hogy mindegy, hogy középen hány fogaskerék van.) Mivel a fogaskerekek egyszerre mozognak, amíg az els egyszer körbefordul, addig a második 78 21-szer fordul körbe. Amíg a második egyszer körbefordul, addig a harmadik 21 44-szer fordul körbe. Amíg a harmadik egyszer körbefordul, addig a negyedik 44 13-szor fordul körbe. Tehát amíg a legnagyobb fogaskerék egyszer körbefordul, addig a legkisebb 78 21 21 44 44 13 = 6-szor fordul körbe. 11
3. feladat. Egy konvex sokszögnek pontosan három szöge tompaszög. Legfennebb hány oldala lehet a sokszögnek? Megoldás. Egy n oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n 2) 180....................................2 pont Ha a sokszögnek pontosan három tompaszöge van, akkor (n 3) a hegyesszögek száma...................... 1 pont Ezért (n 2) 180 < 3 180 + (n 3) 90, ahonnan következik, hogy n < 7. Tehát a sokszögnek legfennebb 6 oldala lehet................................................................................................. 3 pont Ilyen sokszöget valóban lehet rajzolni:............................................................................................................. 3 pont 4. feladat. Az ABCD négyzet oldalhossza 12m. Az A csúcsból egyszerre induló két kutya (K 1 illetve K 2 ) a négyzet oldalain úgy szalad, hogy a K 1 kutya a D felé kétszer akkora sebességgel iramodik, mint K 2 a B felé. Közben az A pontból induló R robot úgy mozog, hogy minden pillanatban a két kutyát összeköt szakasz felez pontjában helyezkedik el. a) Hol találkoznak a kutyák? b) Rajzold meg a robot útját, közben részletesen indokolj! c) Igazold, hogy ennek az útnak a hossza nagyobb, mint 17m. Megoldás. Legyen E az AB, F a DE,Ma BC, Ra K 1 K 2 felez pontja K 1 D-be ér mígk 2 E-be, K 1 végigmegy DC-n míg K 2 az EB-n végülk 1 megteszi a CN, K 2 a BN távolságot ahol CN = 2BN. Tehát a kutyák a BC oldal N harmadoló pontjában találkoznak...................................................................................... 2 pont Ha K 1 az AD-n mozog, akkor: AK1 AK 2 = AD AE = 1tehát 2 K 1K 2 DE minden pillanatban. Mivel AF oldalfelez ADE háromszögben felez minden DE-vel párhuzamos szakaszt, tehát K 1 K 2 -t is ( hasonlósággal igazolható tulajdonság). Tehát a K 1 K 2 szakasz Rfelez pontja az AF szakaszon mozog................................................ 2 pont Ha K 1 az DC-n mozog, akkor: az RMszakasz mindig a K 1 K 2 BCtrapéz középvonala, tehát a K 1 K 2 szakasz Rfelez pontja az F Mszakaszon mozog. Ha K 1 és K 2 a BC-n mozog, akkor az Raz MNszakaszon mozog..... 2 pont Megjegyzés: csak a rajz indoklások nélkül legtöbb 1pontot ér. ADE derékszög háromszögben F a háromszög köré írható kör középpontja, ezért AF = 1 2 DE = 180 2 = 3 5................................................... 1 pont F M a DEBCtrapéz középvonala, tehát F M = DC+EB 2 = 9 MN = MB NB = 6 4 = 2................ 1 pont AF + F M + MN = 3 5 + 11 > 3 2 + 11 = 17............................................................ 1 pont 12