Fejezetek a Matematika

Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2013 október 25

Az ókori Görögország matematikája 2 rész

Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló

Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló az AD szakasz egyenletesen forog az A pont körül

Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló az AD szakasz egyenletesen forog az A pont körül a DC szakaszt egyenletesen mozog a DA szakasz mentén

Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló az AD szakasz egyenletesen forog az A pont körül a DC szakaszt egyenletesen mozog a DA szakasz mentén a szakaszok metszéspontjainak mértani helye a kvadratrix vagy Hippiász-féle görbe

Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője

Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg

Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt

Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt matematikus, orvos, csillagász, jeles szónok, filozófus és geográfus (vö: Endoxosz)

Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt matematikus, orvos, csillagász, jeles szónok, filozófus és geográfus (vö: Endoxosz) görbe vonalak segítségével megoldotta a kockakettőzés problémáját

Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt matematikus, orvos, csillagász, jeles szónok, filozófus és geográfus (vö: Endoxosz) görbe vonalak segítségével megoldotta a kockakettőzés problémáját a kimerítés módszere (Euklidész XII), arányelmélet (Euklidész V)

Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere

Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere 325 265

Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere 325 265 a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester )

Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere 325 265 a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester ) a klasszikus kor matematikájának enciklopedikus összefoglalása az ELEMEK című művében

Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere 325 265 a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester ) a klasszikus kor matematikájának enciklopedikus összefoglalása az ELEMEK című művében A geometriához nem vezet királyi út

Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere 325 265 a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester ) a klasszikus kor matematikájának enciklopedikus összefoglalása az ELEMEK című művében A geometriához nem vezet királyi út Kétségtelen, hogy Euklidész nem nagy matematikus (BL van der Waerden)

Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz)

Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII)

Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn

Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források

Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források a legrégibb teljes kézirat a X századból való és a Vatikáni Könyvtárban őrzik

Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források a legrégibb teljes kézirat a X századból való és a Vatikáni Könyvtárban őrzik az Elemek tizenhárom könyvből áll

Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források a legrégibb teljes kézirat a X századból való és a Vatikáni Könyvtárban őrzik az Elemek tizenhárom könyvből áll elődeitől eltérően nem elégszik meg azzal, hogy feltételezi tételeinek igaz voltát, hanem bizonyítja is őket

Alexandria Euklidész: Elemek

Alexandria Euklidész: Elemek Az Oxyrhynchus papyrus (POxy I 29), benne Euklidesz Elemeinek részleteivel

Alexandria Euklidész: Elemek Az Oxyrhynchus papyrus (POxy I 29), benne Euklidesz Elemeinek részleteivel Az Elemek arab nyelvű fordítása

Alexandria Euklide sz: Elemek Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)

Alexandria Euklide sz: Elemek Re szlet Bath-i Adelard (1080 1152) latin nyelvu fordı ta sa nak elo lapja bo l Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)

Alexandria Euklide sz: Elemek Re szlet Bath-i Adelard (1080 1152) latin nyelvu fordı ta sa nak elo lapja bo l Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l Az Elemek elso angol nyelvu fordı ta sa nak elo lapja (1570) 3 A Go ro go k (II)

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók:

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság D 11 : Tompaszög az, amelyik nagyobb a derékszögnél

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság D 11 : Tompaszög az, amelyik nagyobb a derékszögnél D23 : Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban vannak és mindkétoldalt végtelenül meghosszabbítva egyiken sem találkoznak

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok:

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak A1 : Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak A1 : Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők A8 : Az egész nagyobb a résznél

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek:

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T5 : Az egyenlőszárú háromszögeknek az alapon fekvő szögei egyenlők egymással, és ha meghosszabbítjuk az egyenlő oldalakat, akkor az alap alatt egymással egyenlő szögek keletkeznek ( Pons Asinorum )

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T5 : Az egyenlőszárú háromszögeknek az alapon fekvő szögei egyenlők egymással, és ha meghosszabbítjuk az egyenlő oldalakat, akkor az alap alatt egymással egyenlő szögek keletkeznek ( Pons Asinorum ) T 29 : Ha párhuzamos egyeneseket metsz egy egyenes, akkor egymással egyenlő váltószögek keletkeznek, és a szemközti belső szöggel egyenlő külső szög keletkezik, és ugyanazon az oldalon (együtt) két derékszöggel egyenlő belső szögek keletkeznek (V Posztulátum)

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek:

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T47 : A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével (Pitagorasz-tétel)

Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T47 : A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével (Pitagorasz-tétel) T 48 : Ha egy háromszögben az egyik oldalra emelt négyzet egyenlő a háromszög másik két oldalára emelt négyzetek összegével, akkor derékszög a háromszög másik két oldala által közrefogott szög (a Pitagorasz-tétel megfordítása)

Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek:

Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek: T1 : Ha van két szakasz, és az egyiküket valahány részre osztjuk, akkor a két szakasz által közrefogott téglalap egyenlő a fölosztatlan szakasz és az egyes részek által közrefogott téglalapok összegével

Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek: T1 : Ha van két szakasz, és az egyiküket valahány részre osztjuk, akkor a két szakasz által közrefogott téglalap egyenlő a fölosztatlan szakasz és az egyes részek által közrefogott téglalapok összegével T4 : Ha egy egyenesszakaszt tetszőlegesen kettéosztunk, akkor a teljes szakaszra emelt négyzet egyenlő az egyes részekkel szerkesztett négyzeteknek meg a két rész által közrefogott téglalap kétszeresének összegével

Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek:

Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad

Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad III T20 : Egy körben a középponti szög kétakkora, mint a kerületi, ha e szögek ugyanazon íven nyugszanak

Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad III T20 : Egy körben a középponti szög kétakkora, mint a kerületi, ha e szögek ugyanazon íven nyugszanak IV T15 : Írjunk adott körbe egyenlő oldalú és egyenlő szögű hatszöget

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket Azaz, bármely m és n természetes számokra

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket Azaz, bármely m és n természetes számokra a b = c ma < nb = mc < nd, d ma = nb = mc = nd, ma > nb = mc > nd

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket Azaz, bármely m és n természetes számokra a b = c ma < nb = mc < nd, d ma = nb = mc = nd, ma > nb = mc > nd Tíz láb tíz hüvelyk az tízszer annyi, mint egy láb egy hüvelyk (Agustus De Morgan, 1806 1871)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet) X könyv (az irracionálisok ókori elmélete, Eudoxosz és Theaitetosz)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet) X könyv (az irracionálisok ókori elmélete, Eudoxosz és Theaitetosz) Euklidesz e könyvben összegzi az összes olyan szakaszra vonatkozó ismeretet, amelyek (modern terminológiával) megadhatók, mint a ± b, ahol a, b összemérhető szakaszok (Agustus De Morgan)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet) X könyv (az irracionálisok ókori elmélete, Eudoxosz és Theaitetosz) Euklidesz e könyvben összegzi az összes olyan szakaszra vonatkozó ismeretet, amelyek (modern terminológiával) megadhatók, mint a ± b, ahol a, b összemérhető szakaszok (Agustus De Morgan) X27 Függelék Mutassuk meg, hogy a négyzetekben az átló lineárisan összemérhetetlen az oldallal

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) XI-XIII könyvek (térgeometria)

Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) XI-XIII könyvek (térgeometria) a XIII könyv vélhetően Theaitetosz eredményeit tartalmazza, két fő témája: (1) A szabályos sokszögek tulajdonságai, az aranymetszés; (2) Hogyan írhatjuk be adott gömbbe az 5 szabályos testet

Szürakuszai Arkhimédész

Szürakuszai Arkhimédész 287 212

Szürakuszai Arkhimédész 287 212 az ókori matematikusok legnagyobbika

Szürakuszai Arkhimédész 287 212 az ókori matematikusok legnagyobbika kiváló mérnök a matematika alkalmazása a természetes világra

Szürakuszai Arkhimédész 287 212 az ókori matematikusok legnagyobbika kiváló mérnök a matematika alkalmazása a természetes világra hozzá kötjük a π szám felfedezését, 3 10 71 < π < 3 1 7

Szürakuszai Arkhimédész 287 212 az ókori matematikusok legnagyobbika kiváló mérnök a matematika alkalmazása a természetes világra hozzá kötjük a π szám felfedezését, 3 10 71 < π < 3 1 7 gömbökre vonatkozó munkái különösen érdekesek (A gömbről és a hengerről)

Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról,

Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről,

Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről,

Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés,

Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról,

Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról, Az úszó testekről,

Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról, Az úszó testekről, Homokszámítás és a

Szürakuszai Arkhimédész Johan Ludvig Heiberg (1854 1928) ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról, Az úszó testekről, Homokszámítás és a A módszer

Szu rakuszai Arkhime de sz Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)

Szürakuszai Arkhimédész ΣP 2 + ΣO 2 = ΣA 2 + ΣO 2 = AO 2 = AΣ AΓ, (ΣP 2 + ΣO 2 ) : ΣN 2 = (AΣ AΓ) : AΓ 2 = AΣ : AΓ