A aplac razormáció é gy alkalmazáai A PTE PMMFK villamomérök zako lvző agozao allgaói zámára kéziraké özállíoa Ki Mikló őikolai adjuku 3 Irodalomjgyzék: Bako Ivá: Elkrocika I-II (KKVMF Budap 969 Duca J: Bvzé a komplx üggvéyaba (Műzaki Köyvkiadó Budap 97 Dömöör Gábor dr (zrk: Mamaika I-II (Műzaki Köyvkiadó Budap 975 Kovác J Takác G Takác M: Aalízi (Műzaki Köyvkiadó Budap 989 Scarizky V: Vkorgomria é liári algbra (Műzaki Köyvkiadó Budap 989 Slmczi K dr Scöllr A: Villamoága I-II (Műzaki Köyvkiadó Budap 999 Sréré dr ukác Z (zrk: Mamaika ladagyűjméy (BMF KKVFK Bp
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 A aplac razormáció gy üggvéy razormáció: gyválozó való üggvéyz rövid üggvéyz komplx zám válozó komplx zám érékű üggvéy rövid komplx üggvéy rdl (A ovábbiakba az gyválozó való üggvéy ké razormáladó üggvéyké az z ozzárdl komplx üggvéy pdig razormál üggvéyké ogjuk mlíi A aplac razormáció gy ajáoágaiak é gyakorlai alkalmazááak imr azér oo a villamomérökök zámára mr a dirciálgyll modllz zabályozái rdzrk ulajdoágai é ulajdoágok vizgálai módzri a zakirodalom az z alapuló bből kijlz ylv írja l Ezér a mamaikába álaláoa zokáo ljégr az alábbiakba m örkdük azaz a aplac razormáció lmélék rézl é mélyraó ldolgozáa ly mglégzük a gyakorlai alkalmazái módzrk é az zk zmpojából lgooabb ulajdoágok imréévl A aplac razormáció érlmzé é diíciója gy az ( gy olya üggvéy amly a mgaív való zámok almazáak lj gézé érlmz azaz érlmzéi aromáya: D { } R gy ( igrálaó az érlmzéi aromáyáak mid korláo rézirvallumá ézzk olya M R é λ R az ( üggvéyől üggő való zámok ogy mid D λ é ljüljö az ( M gylőlég Jl végül gy olya komplx zámo vagyi α j β aol α R β R é j amly ljíi az α > λ lél Nyilvávaló ogy gy a i ulajdoágokkal rdlkző mgaározo ( üggvéy é mgado é az ( d > gy olya a komplx zám -ől mi üggl válozóól üggő ϕ ( üggvéy amlyk érék i komplx zám Állíá: Az igrálá rdméyké kapo ϕ ( üggvéy abzolú érékék mid olya α j β (komplx zám üggl válozó érék é lézik lő korlája amlyik mgll az α > λ lélk azaz M ( α λ ϕ( ( d ( α λ Bizoyíá: Az ( üggvéy igrálaóága kövkzéb valami az igrál ulajdoágai é az xpociáli alakú komplx zám abzolú érékék érlmzé azaz az ( α j β α j β α alapjá: ( d ( ( α j β d ( ( α j β d M λ α d
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 ( α λ ( α λ M ( α λ M ( α λ M d M ( ( ( α λ ( α λ α λ Mivl α > λ azaz a vző m ulla zér a lő korláké kapo kijzé érlmz Állíá: A korláoág áll az ( üggvéy érlmzéi aromáyáak lj gézé vagyi M ( d α λ Bizoyíá: Az α λ > mia ( α λ ( α λ zér az állíá lyég yilvávaló a gy az igrálá lő aára válozó kkor az ( d ϕ( ; válozóba olyoo zér érlmz i mid { } R é A ikr igylmml mgadaó a aplac razormáció diíciója üggvéy Diíció: gy az ( üggvéy érlmzéi aromáya { } D R lgy ( igrálaó az érlmzéi aromáyáak mid korláo rézirvallumá ézzk az M R é a λ R olya való zámok ogy az ( üggvéyr mid D é ljüljö az válozó amly mgll az Ekkor az ( λ ( M gylőlég gy az α j β olya komplx zám α > λ lélk ( aplac razormálja lézik é az az üggvéy [ ] [ ( ] ( d özüggé diiálja A aplac razormáció álal az ( üggvéyz rdl komplx válozó üggvéy a razormál üggvéy rövid ( i jlöli á [ ( ] ( Mgjgyzzük ogy az ( abzolú érékér voakozó diícióbli gylőlég a razormál üggvéy lézéék m zükég d légég lél A zükég lél(kr m érük ki mr a gyakorlai alkalmazá orá öbbyir olya üggvéykkl alálkozuk amlyk mgllk az légég lélk A aplac razormáció alapvő ooágú ulajdoágá az alábbiakba gy állíáké adjuk mg 3 Állíá: A aplac razormáció liári ulajdoágú azaz a az ; ( ; ( üggvéykk lézik a aplac razormálja é k ( k c ; c; c ado komplx zámok akkor [ c c ( c ( ] c [ ( ] c [ ( ] c [ ( ] ( k k k k (A liariá léygé rövid úgy oglalajuk öz ogy az özg agoké razormálaó é a koa zorzó kimlő a razormációból Bizoyíá: A aározo igrál ulajdoágai alapjá az állíá lyég yilvávaló 3
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 Néáy a gyakorlaba oo üggvéy aplac razormálja (Az alábbiakba az α jβ komplx zám válozó való illv képz rézé ké R illv Im ogja jlöli á α R illv β Im Expociáli é rigoomriku üggvéyk Állíá: Ha a R ado való zám é R > a a [ ] a Bizoyíá: A diíció zri: akkor ( a a a ( a [ ] d d ( a ( a a ( a ( a ( a ( a Téyzőké vizgáljuk a aárérék aralmazó lő ago Mivl R α > a zér az ( a α j β ( a α j β ( a a ( α j β ( a α j β ( a α j β ( a α β algbrai alakú komplx zám abzolú érék ( a α j β ( a α β ( a ( a α β ( a α β ( a α β érlmz iráyzög pdig β ϕ π arcg a α azaz a i komplx zám korláo abzolú érékű é -ól üggl Tkiv ovábbá ogy j ( a (( a j ( a j ( a ( a β α β α β α α amlyk aárérék ( a α mivl R α > a Ezér ( ( a a vagyi az állíábli üggvéy az xpociáli üggvéy razormálja A ik alapjá bizoyíá élkül mgadjuk az alábbi razormálaka i: a [ ] a R > a ; j a a [ ] é [ ] j a R > a j a j a A komplx zámok rigoomriku é xpociáli alakja közöi özüggé líró jϕ co ϕ j iϕ Eulr ormula alapjá a rigoomriku üggvéyk kijzők xpociáli üggvéykkl gy ϕ a aol a R zőlg ado kkor
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 co a j i a j a j a co a j i a Az özüggék özadva illv az lőből a máodika kivova mgkapjuk a rigoomriku üggvéyk kijzéé xpociáli üggvéykkl: j a j a j a j a coa é i a j Ezk alapjá állapíjuk mg a rigoomriku üggvéyk razormáljá Állíá: Ha a R ( a zőlg ado való zám akkor mid é a [ co a] é [ i a ] a a Bizoyíá: A rigoomriku üggvéyk kijzv xpociáli üggvéykkl é a razormáció liári ulajdoága mia: j a j a j a j a [ co a] ( [ ] [ ] j a j a ( j a ( j a ; ( j a ( j a j a a j a j a j a j a [ i a] ( [ ] [ ] j j j j a j a ( j a ( j a j a a j ( j a( j a j j a a Impulzuüggvéyk A zabályozái rdzrk vizgálaa orá gyakra alkalmazzák az ( jlöléű (azimmriku gaív gyégugrá üggvéy Ek diíciója: a < ( a Ami láaó az ( gyégugrá üggvéy a való zámok lj almazá a razormáció lélk mgllő módo érlmz ovábbá M é λ válazáával yilvávalóa ( M λ Állíá: Az gyégugrá üggvéy aplac razormálja: [ ( ] aol R > Bizoyíá: A aplac razormáció diíciója zri: [ ( ] ( d d iz ami az az xpociáli üggvéy aplac razormáljáak bizoyíáa orá már bláuk az igrálá rdméyéb álló aárérék ulla Ugyacak oo a δ ( jlöléű (azimmriku gyégimpulzu üggvéy má év a Dirac-él dla üggvéy amlyk diíciója: 5
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 6 < < < a a a a ( δ aol A Dirac-él dla üggvéy zmlél: gy zimmriku áromzög alakú mgaív érékű impulzu a gly poziív lék ljé amlyk zélég -oz a magaága -z ar d ől ügglül a graikoja é a gly közöi íkidom rül Állíá: A Dirac-él dla üggvéy aplac razormálja [ ] ( δ Bizoyíá: A aplac razormáció diíciója zri arra igylmml ogy : [ ] d d d ( ( δ δ Az igrál kizámíááoz zükég primiív üggvéyk: C C d é C C d Folyava a aplac razormál kizámíáá: [ ] ( δ 8 adódik a blyíé az özvoá é a kimlé uá A kapo ör zámlálója é vzőj gyará ulláoz ar zér a aárérék kizámíáára alkalmazzuk kézr a Hopial él! [ ] ( ( ( δ
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 3 Haváyüggvéy 3 Állíá: A aváyüggvéy aplac razormálja:! [ ] aol ; ; 3; é R > Bizoyíá: Számíuk ki az lőokú aváyüggvéy razormáljá! [ ] d mr a Hopial él alkalmazva az lő agra adódik ogy ( ( á a máodik ag aárérék i Ha a zőlg poziív géz kivő aváyüggvéyr alkalmazzuk a aplac razormáció diíciójá é a primiív üggvéy a parciáli igrálá zabálya zri aározzuk mg akkor rdméyül az alábbiaka kapjuk: [ ] d d A máodik özadadóbli igrál épp a [ ] [ ] aváyüggvéy razormálja á így cak a aárérék kll kizámíauk Az aló aáro v lyíéi érék yilvávalóa a lő aáro v lyíéi érék aáréréké pdig a Hopial él -zri alkalmazáával zámíajuk ki: ( ( ( ( ( ( ( 33! ( A aváyüggvéy aplac razormáljára á az alábbi özüggé kapuk: [ ] [ ] Alkalmazzuk z az özüggé rdr a ; ; 3 ; aváyüggvéykr: 3 [ ] [ ] [ ] [ ] 3 3 3 [ ] [ ] [ ] Ha igylmb vzük ogy [ ] akkor [ ] 3! ami az állíouk ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 7
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 Szorzaüggvéyk a xpociáli üggvéyl é a a- A gyakorlaba oo ogy imrjük az váyüggvéyl zorzo ( razormál üggvéyk a Állíá: [ ( ] ( a a üggvéy razormáljá az [ ( ] é az [ ( ] aol a R zőlg ado é R > a (A razormál üggvéybli jlölé érlmzé: az ( imr ( razormál üggvéyéb az üggl válózó lyéb blyíjük az a külöbég azaz a razormál üggvéy m közvlül -ől am a -ól ügg Bizoyíá: Az állíá lyég yilvávaló a a diiáló özüggéb alkalmazzuk az gylő alapú aváyok zorzaára voakozó azooágo: a a ( a [ ( ] ( d ( d ( a ( Állíá: [ ( ] ( ( aol ; ; 3; ado é R > (A jlölé érlmzé: az ( imr ( razormál üggvéyék a aváykivővl mggyző rdű -zrii driválüggvéyé képzzük é z aól üggő vzük poziív vagy gaív lőjlll ogy a aváykivő páro vagy párala zám Bizoyíá: Tkiük az ( üggvéy aplac razormáljá diiáló ( d ( özüggé é dirciáljuk az válozó zri midké oldal (A bizoyíá orá a driválak rdjé m vzőkkl am a rdk a magaabb rdű driválak é zokáo módo zárójlb orzámával jlöljük Ekkor ( ( d ( ( adódik iz a driválá zmpojából koa Midké oldal zorozva -gyl é a éyzők orrdjé mgválozava a ( özüggé kapjuk azaz d ( [ ( ] ( ( ( á é az állíá igaz Az árdzé uá kapo özüggé midké oldalá dirciáljuk imé az válozó zri Ekkor a kapo ( ( d ( ( özüggé ugyaúgy mi az lőbb árdzük: ( d ( ( Tá é i igaz az állíá: 8
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 ( [ ( ] ( Tgyük l ogy ér igaz az állíá blájuk ogy akkor igaz -r i Tá ( [ ( ] ( ( a lvé zri igaz állíá azaz ( ( d ( ( Újra dirciáljuk az válozó zri midké oldal: ( ( ( d ( ( z a már mgzoko módo árdzzük: azaz ( d ( ( [ ( ] ( ( miké az állíouk ( ( 5 Az igrálüggvéy é a driválüggvéyk Tkiük az F( ( x dx (aol {} R válozó özüggél diiál F ( üggvéy amly a bvzőb mgaározo ulajdoágokkal rdlkző ( üggvéy [ ; ] irvallumo v igrálüggvéyék vzük Emlékzük arra ogy az igrálüggvéy driválüggvéy a ] ;[ irvallumo ( azaz F ( ( x dx ( (Azér yíl az irvallum mr az igrálüggvéy az irvallum kzdőpojába lg cak jobbról végpojába balról dirciálaó 5 Állíá: Az igrálüggvéy aplac razormálja: [ F( ] ( x dx ( λ a lézik M R é λ R ogy ( M é R R( α j β α > max{; λ} Bizoyíá: A razormáció diíciójá alkalmazzuk: [ F ] x dx x dx d ( ( ( amlyb a parciáli igrálá módzrévl aározuk mg a primiív üggvéy Ekkor 9
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 x dx d x dx d ( ( ( Blájuk ogy bb az lő ag Mivl a ( x dx x dx ( külöbégb a kivoadó yilvávalóa iz ( x dx ( x dx zér cak a kibbídő kll mgvizgáluk Az ( üggvéy igráljáak ulajdoága alapjá kéél kll mgkülöbözi Ha a ( x dx kizámíáa uá gy (vég agyágú való zámo kapuk rdmé- yül akkor a kibbídő iz R > mia a vző Ha a ( x dx m vég akkor az igrál abzolú éréké kijük é az így kapo ör aárérékék kizámíáára a Hopial él alkalmazzuk: ( x dx ( x dx λ ( M ( j α β ( α j β M ( j β α λ ( α j β mr az lő ké zorzóéyző gy-gy korláo abzolú érékű komplx zám a armadikak pdig a aárérék mivl R α > λ Vizaérv a aplac razormál diíciójáak alkalmazáával yr ( x dx x dx d ( ( özüggér lévé az lő ag zér az állíáak mgllő ( x dx ( d ( d ( Tkiük a bvzőb mlí ulajdoágú ( üggvéy amlyről az i lélzzük ogy a lj érlmzéi aromáyá dirciálaó é ( driválüggvéy midü kivév a -ba mr o lg cak jobbról olyoo 5 Állíá: A i ulajdoágokkal rdlkző driválüggvéy aplac razormálja ( ( ( [ ] Bizoyíá: A aplac razormáció diíciójába álló igrál a parciáli igrálá módzrévl zámíjuk ki:
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 [ ] ( d [ ( ] ( ( d ( Mgvizgáljuk az lő ago: ( [ ( ] ( ( λ azaz a aárérék mivl ( M é R > λ iz az ( üggvéyk lézik a razormál üggvéy amly épp a máodik ag -zr Tá ami az állíouk [ ( ] ( ( ( d ( ( Mo az ( üggvéyről az lélzzük ogy a lj érlmzéi aromáyá kézr dirciálaó é ( máodrdű driválüggvéy midü kivév a -ba mr o lg cak jobbról olyoo 53 Állíá: A i ulajdoágokkal rdlkző máodrdű driválüggvéy aplac razormálja ( ( ( ( [ ] Bizoyíá: A razormáció diíciójába álló igrál a parciáli igrálá módzrévl zámíjuk ki: [ ( ] ( d [ ( ] ( ( d ( ( ( ( ( ( ( ( ami az állíouk mivl a aárérék ugyaazér mi amily okra az lőző állíá bizoyíáába ivakozuk Bizoyíá élkül mgmlíjük az -drdű driválüggvéy aplac razormáljá amly [ ( ] ( ( ( ( ( ( ( 3 ( ( ( lév ogy az ( üggvéy a lj érlmzéi aromáyá -zr dirciálaó ( é ( az -drdű driválüggvéy midü kivév a -ba mr o lg cak jobbról olyoo 6 További a üggl válozó liári razormációja rdméyképp kapo üggvéyk aplac razormálja A gyakorla zmpojából lgooabb üggvéyk razormáljaiak loroláá bjzv ké émiképp az lőző üggvéyk álaláoíó mgjgyzé zük Ha valamly g ( üggvéy érlmzéi aromáya bővbb vagyi D g {} R akkor kiük k az alábbi ( lzűkíéé a poziív való zámok almazára: a < ( g( a Ha a ( üggvéy érlmzéi aromáya él zűkbb vagyi D {} R akkor ly kiük aak alábbi ( kirjzéé a poziív való zámok almazára:
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 ( a D ( a {} R \ D Ily kb a g ( é a ( üggvéy ly a lzűkíél illv a kirjzél adódó ( üggvéy aplac razormáljá képzzük Ez alapul az alábbi állíá az úgyvz lolái él 6 Állíá: Rdlkzz az ( üggvéy a bvzőb mgaározo ulajdoágokkal ovábbá [ ( ] ( Tkiük az ( üggvéyk gy az alábbi érlmb v loláá: a < a g( ( a a a Ekkor a g ( üggvéy aplac razormálja: a [ g( ] ( Bizoyíá: A aplac razormáció diíciójá alkalmazzuk: [ g( ] g d a d ( ( a iz az igrál érék a [ ; a [ irvallumo mr i g ( A primiív üggvéy lyíé igráláal zámíajuk ki: bvzjük az u a lyíé Ekkor a ( a ami az állíouk d u u ( u Az alábbi állíá a aolóági él ( u a du a u u ( u u du a ( 6 Állíá: Rdlkzz az ( üggvéy a bvzőb mgaározo ulajdoágokkal ovábbá [ ( ] ( gy az ( üggvéy üggl válozójáak liári razormálja a aol a > ado való zám é kiük az ( a üggvéy Ek aplac razormálja: [ ( a ] a a Bizoyíá: A aplac razormáció diíciója zri: [ a ] ( a d ( amly a lyíé igrálá módzrévl zámíuk ki gy lyíé τ τ a ( a d ( τ dτ τ a a a adódik ami az állíouk τ a é lvégzv a Végzül mgmlíjük ogy az lolái é a aolóági él a aplac razormáció ozzárdléi zabálya iráyáak mgordíáába az ivrz aplac razormáció érlmzééb é az ivrz razormál mgaározáába jázik oo zrp
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 7 A aplac razormáció özoglaláa Az alábbiakba a lélk mllőzv cak loroljuk az lőzőkb állíáokké mgogalmazo razormáció özüggék Diíció é jlölé: [ ( ] ( ( d 3 iariá: [ c c ( ] c [ ( ] c [ ( ] Expociáli üggvéy: [ ] a ( a Trigoomriku üggvéyk: [ co a] é [ i a ] a Impulzuüggvéyk: [ ( ] é [ δ ( ] Haváyüggvéy: [ ]! a Szorzaüggvéyk: [ ( ] ( a é [ ( ] ( ( Igrálüggvéy: [ F( ] ( x dx ( Driválüggvéyk: [ ( ] ( ( [ ( ] ( ( ( a Elolái él: [ g( ] ( a a ( ( ( [ ( ] ( ( ( ( aol a a Haolóági él: [ ] ( a g( ( a 8 Gyakorló ladaok a razormál üggvéy mgaározááoz i 5 co3 3 5 a [ ] 3 b [ ] 3 c [ co ] d 3i [ 3 ( i ] [ co ] g [ g( ] a [ g( ] a g ( 3 ( a a < 3 3 π a < g( 3 π π co a 3 3 a a ( < a a
Ki Mikló: A aplac razormáció (Kézira 3 Az alábbi razormálaka aározza mg a aolóági élll é a kapo rdméy llőrizz a üggvéyr voakozó razormáció zabály alapjá! 6 a [( 3 ] b [ co 5] 3 Az alábbi razormálaka aározza mg a driválüggvéy razormáció zabályaival é a kapo rdméy llőrizz a üggvéy kizámío driváljáak razormációja újá! a [( ] b [(co ] c [( i ] d [ ( co3 ]