Esettanulmányok és modellek Termelésprogramozás az iparban Készítette: Dr. Ábrahám István
Egyszerű termelésprogramozási feladatok.) gép felhasználásával kétféle terméket állítanak elő. Az egyes termékekhez szükséges gépidő órában:, 0,,, illetve,,,. Az összes gépóra kapacitás: 0, 60, 80, 00, amelyek közül az első kettő felső korlátot jelent, a harmadikat teljesen ki akarjuk használni, a negyedik gépet pedig legalább 00 órában működtethetjük. Az egyes termékek hozama darabonként 0, illetve 0 Ft. Az első termékre már beérkezett egy 0 darabos megrendelés. Szeretnénk elérni, hogy a hozam legalább 000 Ft legyen. Írjuk fel a maimális árbevételt biztosító termelési program matematikai modelljét! Megoldás: A döntési változók a gyártandó termékek darabszámai: és. A matematikai modell:, 0 0 0 z=0 0 ma. = 0 60 80 00 0 000
.) Egy üzem termelési programjához a következő A mátri tartozik: 0 A = 0 0 0 Az A matri a ij eleme azt jelenti, hogy az i-edik erőforrásból mennyi épül be a j-edik termékbe. A kapacitásvektor: b = [ 00 00 50 ]*, a termékek eladási árvektora, amelynek maimalizálására törekszünk: p = [ 6 5 8 7 ]*. Írjuk fel az adatok alapján az LP modellt, ha az erőforrások felhasználása a kapacitásokat nem lépheti túl, valamint az első és a második termékből összesen annyit kell termelni, mint a negyedikből. Feltétel továbbá, hogya második termékből legalább egységgel többet kell termelni, mint a negyedikből! Megoldás: A döntési változók a gyártandó termékek darabszámai: i A matematikai modell:,,, 0 00 00 50 = 0 z=6 5 8 7 ma.
.) (Gáspár-Temesi könyvből, 7-8. oldal): A Műszeripari Szövetkezet négyfajta finommechanikai tengelykapcsoló gyártásával foglalkozik. Termékei sokféle műszerbe kerülnek beépítésre. Gyártott termékei: Dilatációs tengelykapcsoló (T ) Golyós biztonsági tengelykapcsoló (T ) Szabadon futó tengelykapcsoló (T ) Oldham-tengelykapcsoló (T ) A felsorolt termékek közül az első és a negyedik kifutott típusok alkatrészei. A kötelező alkatrészellátás miatt az említett tengelykapcsolókból havi 00 db, illetve 00 db gyártása kötelező. Kooperációs partnerükkel a golyós biztonsági tengelykapcsoló gyártására szerződést kötöttek éves szinten 60 darabra, amelynek szállítását havi egyenletes bontásban vállalták. A termékek gyártásához műszeresztergára, marógépre és köszörűgépre van szükség. Az egyes termékek egy darabjának gépidő szükségletét, a gépek kapacitását órákban kifejezve a következő táblázat mutatja: Gépek Eszterga Marógép Köszörű T T T T A táblázatban szereplő kapacitások 0, 0,6 0, 0, 76 0, 0, Termékek 0, 0, 0, 0, 0, 0, Gépkapacitás 9 5 egy hónapra vonatkoznak. Melyik termékből mennyit kell gyártania a szövetkezetnek, ha a nyereség maimalizálására törekszik? Az egyes termékek darabonkénti hozadéka rendre: 90, 0, 90, 60 forint.
A matematikai modellben a döntési változók darabszámok. 0, 0, 0, z = 0,6 0, 0, 90 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 90 60 00 50 0 00 76 9 5 ma Alternatív optimum van, a bázismegoldások: 0 =[00 00 600 00]* 0 =[800 00 0 00]* z o = 00 Az általános megoldás: 0 =λ 0 =(- λ) 0, ahol 0 λ. Az eltérésváltozók értékei szükség szerint kiszámolhatók. 5
.) Egy gyárban -féle terméket állítanak elő és a gyártáshoz gépsort üzemeltetnek. Az egyes termékek egy-egy darabjának előállításához szükséges időt a különböző gépsorokon a következő táblázat tartalmazza: T T T G G G G Az egyes gépsorok üzemeltetési ideje rendre legfeljebb: 5 0 0 00, 00, 50, 50. 0 8 0 Az. termékből pontosan 0, a másodikból legalább 0, 0 5 8 a harmadikból legfeljebb 5 darab az igény. Vegyük fel a matematikai modellt, ha a cél a gyártási összidő minimuma! Megoldás: A döntési változó, ij jelentse azt, hogy hány darabot gyárt az i-edik termékből a j-edik gépsor. ij N Üzemidő feltételek: 5 0 0 00 0 8 5 00 0 8 50 0 50 Az igényhez tartozó feltételek: = 0 0 5 A célfüggvény: z=5 0 8 min. 6
5. (Raffai Mária: Döntéselőkészítés c. könyv 5.. feladata nyomán): erőforrás felhasználásával géptípust gyártanak. Egy-egy géphez felhasznált erőforrás mennyiségét a következő táblázat mutatja: A B C D I II III 5 6 Az erőforrásokból 600, 000, 800, 600 egységnyi használható fel maimálisan. A termékek fajlagos hozama 0, 80, 00 pénzegység, de csak akkor, ha a gépenként gyártott mennyiség legalább 50, 00, 0 darab. Így a cég vezetői úgy döntöttek, hogy ha a megrendelés nem éri el a fenti értékeket, akkor azt a géptípust nem gyártják. Ismert, hogy az egyes típusokból legfeljebb 660, 800, 0 darabot gyárthatnak. Mennyit gyártsanak az egyes termékekből, hogy az összes hozam a lehető legnagyobb legyen? Megoldás: A döntési változók a gyártandó darabszámok:,, és a vezetői állásfoglalás miatt: y, y, y. Az induló feltételek: i N (integer feltétel) és y i bináris (0 és lehet). A gyártási technológiából adódó korlátozó feltételeket a szokásos módon 7 egyszerűen felírhatjuk:
5 600 000 800 6 600 A baloldalakat a technológiai mátri és a darabszám oszlopvektor szorzatából írtuk fel, a jobboldalakon a kapacitások mind felső korlátok. Az első terméket akkor gyártjuk, ha a mennyisége legalább 50 darab, azaz: 50y 660y Az y 0 és lehet, ha, akkor érvényes a 50, mint alsó korlát. Ha az y =, akkor lesz a 660 a felső korlát. Ha y =0: nincs gyártás. Hasonlóan a másik két termékre a korlátok a vezetői döntés miatt: 00y 800y 0y 0y A relációkat átírhatjuk a matematikai modellek szabványszerű alakjára, de ha a Ligoval oldjuk meg a feladatot, akkor maradhat ez az alak. A célfüggvény felvételénél is a gyártási feltételt alkalmazzuk: z=0 y 80 y 00 y ma. Az optimális alapmegoldás: o =[08 96 0]* y o =[ ]* z o =9660. A feladat paramétereinek megváltoztatásával variánsokat kaphatunk. A fejezet tárgyalását befejeztük 8