X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Abszolút értékes egyenletek A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise/ 1 A feladat sorszáma * Az alapszintnél összetettebb feladatok megoldásának eredményei a 15. oldalon Oldal Téma A feladat sorszáma 1 3 Törtes egyenletek 4* 3 * 3 megoldása 5 3 3 3 6 3 7* 3 0* 5 8 3 1 5 9* 4 Trigonometrikus 56 11 10 4 egyenletek 57 11 11* 4 58 11 1* 4 59* 11 13* 4 60 1 15* 4 61 1 16* 5 6 1 17* 5 63 1 64 1 38 8 Logaritmusos 48 10 39 9 egyenletek 49* 10 40 9 50* 10 41* 9 51 10 FOLYTATÁS! Oldal
X. Témakör: feladatok Huszk@ Jenő Téma Egyenlőtlenségek algebrai megoldása Másodfokú egyenlettel kapcsolatos problémák, egyszerűbb modellalkotást igénylő szöveges feladatok Exponenciális egyenletek A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise/ A feladat sorszáma Oldal Téma A feladat sorszáma 18 5 Négyzetgyökös 3 7 19 5 egyenletek 33 8 31 7 34 8 4 9 35 8 54 11 36* 8 55* 11 37 8 14 4 6 3* 6 Egyszerűbb 65* 1 4* 6 modellalkotást 66* 1 igénylő, 5 6 egyenletrendszerre 67* 13 6 6 vezető szöveges 68* 13 feladatok 7 7 69 13 8 7 70 13 9 7 71* 13 30 7 7* 13 43 9 73* 14 44 9 74* 14 45 9 46 9 47 10 5 10 53* 11 * Az alapszintnél összetettebb feladatok megoldásának eredményei a 15. oldalon Oldal
X. Témakör: feladatok 3 Huszk@ Jenő 1. Oldja meg grafikusan a következő egyenleteket! a) x + x 1 = b) x = x c) x = x-3 x.* Egy faluból egyszerre indul a városba egy lovas kocsi és egy kerékpáros. Az előbbi 1 km-t, az utóbbi 0 km-t tesz meg óránként. Így a kerékpáros órával előbb ért célba. Mennyi idő alatt értek a városba és mekkora utat tettek meg? Grafikusan is oldja meg a feladatot! 3. Oldja meg grafikusan: ( x ) > x 4.* Oldja meg a következő egyenletet: x x 4 = x 4 x x x + x 7 x 5. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: = + 3. x 5 x 5 6. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: x + 6x + 9 = x + x + 3 7.* Egy négyjegyű szám utolsó jegye 8. Ha ezt a szám végéről az elejére írjuk, akkor az eredetinél 304-gyel nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? 8. Egy telket Antal egyedül 4 óra, Béla egyedül 6 óra alatt ás fel. Hány óra alatt készülnek el a munkával, ha együtt dolgoznak?
X. Témakör: feladatok 4 Huszk@ Jenő 9.* Három testvér közül a középső 11 éves, a legidősebb, pedig ötször olyan idős, mint a legfiatalabb. A három testvér együttes életkora eggyel kevesebb, mint amennyi idős lesz a legidősebb akkor, ha kétszer olyan idős lesz, mint jelenleg. Hány évesek most a testvérek? 10. Egy szállodában 4 szoba van, összesen 64 férőhellyel. A szobák két-, illetve háromágyasak. Hány kétágyas szoba van? 11*. Öt marógép 15 munkadarabot 60 perc alatt munkál meg. Hány perc alatt munkál meg 8 ugyanilyen teljesítményű marógép 40 ugyanilyen munkadarabot? 1.* Egy diák egy 750 Ft-os könyvre gyűjtött. Perselyébe csupa 0 és 50 Ft-os érme került, összesen 4 darab. Megszámolta pénzét, s megállapította, hogy ha csak 50 Ft-osai lennének, de annyi, amennyi 0 Ft-osa van, akkor is ugyanennyi lenne a pénze. Döntse el, hogy meg tudja-e vásárolni már a könyvet a diák? 13.* Hányan járnak a 11.A osztályba, ha a tanulók 5%-ának lett jeles a dolgozata és tudjuk, hogy ha 4-gyel kevesebbnek sikerült volna jelesre a dolgozata, akkor a nem jelesek száma 7-szer akkora lett volna, mint a jeleseké? 14. Egy park alaprajza U alakú, és 7 darab egybevágó négyzetből áll. A parkot körülvevő kerítés annyi méter hosszú, mint ahány négyzetméter a park területe. Milyen hosszú a kerítés? 15.* Kétlépcsős rakétának a kilövéstől számított 5 perc alatt összesen 1500 km-t kell megtennie. Az első lépcsőben 0, 8 km/sec a sebessége, a második lépcső beindulása után, pedig 1, km/ sec. Mekkora út megtétele után kell beindítani a második fokozatot?
X. Témakör: feladatok 5 Huszk@ Jenő 16.* Két államkötvényünk van, összesen 70 ezer forint értékben. Az egyik hozama egy év alatt 10%-os, a másiké 9%-os. Ha a két százaléklábat felcserélnénk, akkor az egy éves hozam 300 forinttal kevesebb lenne. Mekkora a két kötvény névértéke? 17.* Egy uszoda vízkeringető rendszerének két be- és egy kifolyója van. A nagyobbik teljesítményű befolyó 4 óra alatt, a másik, kisebb teljesítményű 10 óra alatt tölti fel a medencét. A kifolyó maximális kapacitása mellett, ha mindkét befolyó is működik, éppen szinten tudja tartani a vizet. Mennyi az a legrövidebb idő, ami alatt le lehet engedni a teljes medencét? 3x + 8 18. Oldja meg az egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: > 0! x 3 19. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget, és ábrázolja a 7 5 megoldáshalmazt számegyenesen: <! x 3 x 9x + 0 x 5 x 4x 0. Oldja meg a következő egyenletet: =! x x 1.* Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 1 1 6 x 1 = x x 3x 1
X. Témakör: feladatok 6 Huszk@ Jenő 4. a) Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek a ; 5 a 5 megoldáshalmaza! b) Másodfokú egyenlet két valós gyökének szorzata, hányadosa 98. Írjon fel egy ilyen másodfokú egyenletet! 3.* Határozza meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy a 3 x 6x + p = 0 egyenletnek a) egy valós gyöke legyen (két egyenlő valós gyöke) b) a (különböző) gyökei pozitívak legyenek; c) két valós gyöke közül az egyik pozitív, a másik negatív legyen; d) ne legyen valós gyöke! 4. Egy konvex sokszögben összesen 90 átló húzható. Határozza meg a sokszög oldalszámát! 5.* Egy függőlegesen felfelé kilőtt kő sebességének nagysága 40 m magasságban 10 g m/sec. Mennyi idő múlva ér talajt, ha a mozgását a, h= t v t egyenlet írja le, m ahol h a test talajszint feletti magassága, g a nehézségi gyorsulás, 10 s, v a test sebessége előjelhelyesen (felfelé pozitív, lefelé negatív), t pedig a földet érésig hátralévő idő? 6. A 150 km hosszú útszakaszon az egyik gépkocsi 10 km/óra sebességgel gyorsabban halad, ezért fél órával hamarabb ért célba, mint a másik, pedig egyszerre indultak. Mekkora sebességgel haladt a két gépkocsi?
X. Témakör: feladatok 7 Huszk@ Jenő 7. 50 csavar annyi forintba kerül, ahány csavart 7 Ft-ért kapunk. Mennyibe kerül egy csavar? 8. a) Téglalap alakú lemezből dobozt készítünk úgy, hogy a lemez sarkaiból 5-cm-es négyzeteket vágunk ki, és azután az oldalakat felhajtjuk. Mekkora térfogatú dobozt kapunk, ha 0 cm x 30 cm-es téglalapból indulunk ki? b) Négyzet alakú lemezből az a)-ban leírt módon 900 cm 3 térfogatú dobozt tudunk készíteni. Mekkora volt a négyzet oldala? 9. A piacon almát vásárolunk télire 5400 Ft-ért. Ha ugyanennyiért a kilónként 1 Fttal drágább fajtából vásároltunk volna, akkor 5 kg-mal kevesebbet kaptunk volna. Hány kg almát vettünk? 30. Egy szakmunkás 3 nappal előbb végez egy munkával, mint egy betanított munkás. Ha együtt dolgoznak, akkor két nap alatt készen vannak. Hány nap alatt végzi el a munkát a két munkás egyedül? 31. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x + 3x + < 0 x + x 3. Oldja meg az alábbi egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget! a) 3x 1 = 3x 1 b) 3x 1 = 1 3x 3x 1 < 3x c) 1
X. Témakör: feladatok 8 Huszk@ Jenő 33. Oldja meg a következő egyenletet a negatív számok halmazán! 1 1 x x = 0 3 34. Oldja meg a következő egyenletet: 3 x + x 3 = x + 35. Oldja meg a következő egyenleteket: a) 4 4x + 1 = x 1 b) x x 6 = 0 36.* Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! x + 1 x + 3 = 5 x x + 1 37. A mai személyautók maximális fékezéskor 8 m/sec lassulásra képesek. Mekkora úton tud a városban engedélyezett 50 km/óra sebességre lelassulni az autós, ha a) 60 km/ óra b) 70 km/ óra c) 80 km/ óra sebességgel halad, amikor észreveszi a várostáblát? (A mozgást a v = v as egyenlet írja le, ahol v az elért sebesség, v 0 a kezdő sebesség, a, a lassulás, s pedig a megtett út; (1 m/sec= 3, 6 km/ óra) 0 38. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) ( x + 3,) = 4, 8 b) ( ) x,8 = 3, c) ( x + 5,4) = 11, 6
X. Témakör: feladatok 9 Huszk@ Jenő x 39. Milyen természetes számra igaz, hogy 3 =? 40. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3x x+5 = 7! 41.* Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) x 4 + x+3 + 1 = 0 b) 5 3 x + = 0 4. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! Eredményeit ábrázolja számegyenesen! a) x 0, 4 0, 6 b) x + 0,3 0, 7 c) x 5 7 43. Oldja meg az alábbi egyenleteket! x a) + 3 + 3 x x 4 x 8 3x = 80 b) 6 + + = 3 c) x + 1 x + 1 x 4 + 8 = 0 44. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: x+ 1 3 x + 4 = 0 45. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 9 x 1 =3 6 3 x 1 46. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 11 x =4 x 4
X. Témakör: feladatok 10 Huszk@ Jenő 47. Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) lg (-9+18)= (lg 3+lg x) b) (lg 6 lg x) = lg 9+lg 4 x 1 48. Oldja meg a valós számok halmazán: lg x 5x 3 = lg 3 x 49.* Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: log 5 [ 1 log 16 x ]=1 50.* Hányadrésze van meg egy kőzetben az időszámításunk kezdetén még meglévő radioaktív tóriumizotópnak? (A radioaktív anyagok bomlását az T m=m0 egyenlet írja le, ahol m a pillanatnyi tömeg, m 0 a kezdeti tömeg, t az eltelt idő, T, pedig az anyag felezési ideje, amely ezen tóriumizotóp esetén 80 ezer év.) t 51. Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért légnyomás kétharmadára csökkenjen? A kilométerben megadott h magasságban uralkodó nyomást a p= p 0 e 0,175h formulával kapjuk ( e, 718, ez a természetes alapú logaritmus alapszáma). 5. Ha D összeget heti %-os kamatozással befektetünk, akkor n hét elteltével D 1 p 100 n összeget vehetünk fel. Mennyi idő múlva lesz befektetésünk értéke D, ha p = 0, 5?
X. Témakör: feladatok 11 Huszk@ Jenő 53.* Két telefonszolgáltató cég közül az első most egy év alatt annyi nyereségre tesz szert, mint a másik 10 hónap alatt. Az első szolgáltató nyeresége évente 10%-kal, míg a másodiké 5%-kal nő. Hány év alatt éri utol az első cég a második cég éves nyereségét a fent említett tendencia mellett? 54. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: x 1 x 1 55.* Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) log (x )< log 4 b) log 1 x 1 1 56. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) cos x 1 = 0 b) cos x ( cos x 1 ) = 0 c) cos x 0, 5 = 0 57. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: cos x π 3 = 1 58. Adja meg az alábbi egyenlet [0; 0] intervallumba eső megoldásait! cos x π 1 3 =sin x π 1 59.* Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin x cos x cos x sin x =3 b) ctg x = 4 tg x
X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő 60. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin x + cos x-1 = 0 b) 3 sin x cos x = 3 c) 3 cos x sin x = 61. Egy háromszög β szögére a következő összefüggést kaptuk: sin ( β 15 0 ) = 0, 3588. Mekkora lehet a β? 6. Egy derékszögű háromszög α és β hegyesszögeire fennáll, hogy sin α + cos β = 1, 389. Határozza meg a hegyesszögek nagyságát! 63. Számítsa ki az α tompaszög szinuszát és koszinuszát az α szög kiszámítása nélkül, ha tg α = 1,! 64. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 8, 4 dm, a hozzá tartozó magasság 6 dm, másik oldala 7, dm. Mekkorák a szögei? 65.* Egy gép lefestéséhez 7 doboz festék kell. Ha 3 doboz sárga és 4 doboz kék festéket veszünk, az 7840 Ft-ba kerül, ha 4 doboz sárgát és 3 kéket veszünk, az 8050 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül egy-egy doboz festék? 66.* Egy róka üldözőbe vesz egy nyulat. Kezdetben a róka háromszor olyan gyorsan fut, mint a nyúl. Amikor a nyúl észreveszi, hogy a róka elért odáig, ahol ő volt kezdetben, megkétszerezi sebességét. Milyen távolról vette üldözőbe a róka a nyulat, ha a) a saját, b) a nyúl kiindulási helyétől számítva 10 m utat tett meg, míg utolérte?
X. Témakör: feladatok 13 Huszk@ Jenő 67.* Egy előadóteremben egy csoport tanuló szeretne helyet foglalni. Ha minden asztalhoz 8 tanuló ül, akkor 9 embernek nem jut hely. Ha minden asztalhoz 10-en ülnek, akkor pedig 15 hely üresen marad. Hány asztal van az előadóban és hány személyből áll a csoport? 68.* Azt mondja egy apa a fiának: 3 évvel ezelőtt én 9-szer olyan idős voltam, mint te, viszont 6 év múlva 1-szer annyi éves leszek, mint te voltál 3 évvel ezelőtt. Hány éves most az apa és a fia? 5 69. Két szám reciprokának az összege 4. A két szám összegének és különbségének hányadosa, pedig 5. Határozza meg a számokat! 70. Két osztály kirándulást szervez. Mindkét osztályban 400 Ft-ot gyűjtöttek be. Abban az osztályban, amelyből 4 tanulóval több megy kirándulásra, fejenként 100 Fttal kevesebbet kell fizetni. Hány tanuló jár az egyes osztályokba? 71.* Két kerékpáros halad az egymásra merőleges utcákban ugyanazon utcasarok felé. Egy adott pillanatban 60, illetve 80 méterre vannak a saroktól. 3 másodperc múlva a köztük lévő távolság 70 m, további két másodperc múlva 50 m. Határozza meg a kerékpárosok sebességét, ha mindketten még a kereszteződés előtt vannak! 7*. Két csoportnak együtt egy adott földterületről 16 óra alatt kellett volna felszednie a burgonyát. Azonban csak az egyik csoport állt munkába, s már 36 órát dolgozott, amikor a másik csoport is megérkezett, és csatlakozott hozzá. Így közös erővel 4 óra alatt elvégezték a hátralévő munkát. Hány óra alatt tudták volna egyedül felszedni a burgonyát az egyes csoportok az egész területről?
X. Témakör: feladatok 14 Huszk@ Jenő 73*. Ha egy téglalap oldalait 3 m-rel növeljük, akkor területe 30 m -rel lesz nagyobb. Ha viszont egyik oldalát 3 m-rel növeljük, a másikat, pedig ugyanennyivel csökkentjük, akkor a keletkezett téglalap területe 9 m rel lesz kisebb. Mekkora az eredeti téglalap kerülete? 74*. Egy motorcsónak 4 óra alatt 0 km-t halad a folyón felfelé, majd 4 km-t lefelé. Egy másik alkalommal 30 km-t tett meg felfelé és ugyanennyit lefelé összesen 4 óra 10 perc alatt. Mekkora a folyó sebessége és milyen sebességgel halad a motorcsónak az állóvízben?
X. Témakör: feladatok 15 Huszk@ Jenő *Összetettebb feladatok megoldásának eredményei:. 60 km, 5 óra. 4. x= 4 3. 7. 538. 9. 3, 11, 15 évesek. 11. 8 marógép 100 perc alatt. 1. meg tudja vásárolni. 13. 3 fő. 15. 600 km után. 16. 150 ezer és 10 ezer forint névértékűek. 17. óra 51 perc 6 másodperc. 1. 3 és 3. 3. a) p = 0, b) 0 <p <3, c) p < 0, d) p > 3. 5. ha az adott pillanatban a test felfelé megy akkor 4 sec múlva, ha lefelé, akkor sec múlva ér földet. 36. 5. 41. nincs megoldása. 49.. 50. kb. 98, 33%-a van meg. 53. kb. a 4. évben éri utol. 55. a x 6 ; b 1 x 1. 59. a x 1 =0,9 0 k 360 0 x =69,01 0 k 180 0 b x 1 =75 0 k 180 0 x =15 0 k 180 0 65. sárga: 140 Ft, kék:1030 Ft. 66. a) 60 méter; b) 10 méter. 67. 1 asztal, 105 fő. 68. a fiú 6 éves, az apa 30 éves. 71. 6m/sec, 8 m/sec, ha 5 sec múlva még a kereszteződés előtt vannak. 7. 4 illetve 48 óra. 73.a téglalap oldalai egyenlők a = b = 3,5, kerülete 14 méter. 74.a folyó sebessége 3 km/óra; a csónak sebessége 15 km/óra.