M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00.
Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy nem tehető felelőssé az alábbiakban közölt adatok, illetőleg információk felhasználásával összefüggésben. Seveso Füzetek A hibafa számszerű kiértékelése A Seveso Füzetek sorozat szakmai tartalmának összeállítása a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet veszélyes anyagokkal kapcsolatos súlyos baleseti veszélyek szabályozásával (ún. Seveso irányelv) foglalkozó szerzői kollektívájának munkája. émavezető és szerkesztő: Cseh Gábor MBF. Budapest, 00.
ELŐSZÓ E füzet tárgya a hibafák számszerű kiértékeléséhez szükséges alapismereteket is összefoglaló CPR E Methods for determining and processing probabilities c. munka (az ún. Vörös Könyv), melyet a holland Környezetvédelmi Minisztérium elvi engedélyével használtunk fel. Ez az összeállítás a Seveso Füzetek sorozat kötetei között az első olyan, amely kifejezetten a műszaki rendszerek megbízhatóságának elméletével foglalkozik. A kiadvány jelenlegi formájában nem terjed ki sem a valószínűségelmélet, sem a matematikai statisztika alapjainak ismertetésére, sem pedig a megbízhatósági elemzéseknek olyan fontos részterületeire, mint az adatelemzések, a nem független meghibásodások elemzése vagy az emberi hibák hatásának elemzése. A rendszerek megbízhatósági mérőszámainak kiértékelésében alapvető jelentőségű bizonytalanság-, fontosság- és érzékenységelemzések részletes ismertetése szintén meghaladja e füzet kereteit. A Műszaki Biztonsági Főfelügyelet e kiadványának rendeltetése az, hogy az érdeklődőknek betekintést adjon a műszaki rendszerek hibamentességi számításainak és a hibafa-elemzéseknek az elméletébe. Az összeállítás a veszélyes létesítményekre, illetőleg veszélyes berendezésekre ma már szinte kizárólag számítógépi programokkal készített megbízhatósági (hibamentességi) elemzések eredményeinek megítéléséhez is segítséget nyújthat a hatósági munkában. Az első fejezet a megbízhatósági elemzésekben alkalmazott valószínűségi alapelvek megértéséhez szükséges ismeretanyagot tartalmazza. E fejezet olyan megbízhatósági jellemzőkkel foglalkozik mint a meghibásodási ráta, a meghibásodási sűrűség, a meghibásodáselőfordulási ráta, a hibamentesség (megbízhatóság), a meghibásodás valószínűsége, a használhatóság (üzemkészség), a használhatatlanság, a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége és az adott időszakaszon belül bekövetkező meghibásodások várható száma. A második fejezetben egy mintapéldán tanulmányozhatjuk a hibafa-elemzés lépéseit. Ennek során megismerhetjük a minőségi és a mennyiségi elemzés eljárási szakaszait. A harmadik fejezetben bemutatott eljárás a hibafák útján előállított metszethalmazok számszerűsítésére összpontosít. Az első melléklet a meghibásodások, a meghibásodás okainak, a meghibásodási mechanizmusoknak, a meghibásodási módoknak és a meghibásodások következményeinek összefüggésrendszeréről szól; a második melléklet a hibafa kidolgozása során figyelembe veendő irányelveket és egyéb szempontokat mutatja be, melyek nélkülözhetetlenek a valós rendszerek többségénél; az utolsó melléklet a minimális metszethalmazok időátlagolt használhatatlanságának kiszámításához, illetőleg azok adott időszakaszban bekövetkező meghibásodásai várható számának meghatározásához ad meg típusképleteket táblázatos formában. Az egyes fejezetek és mellékletek végén a forrást külön megjelöltük. 3
ARALOMJEGYZÉK 0. Jelölések, rövidítések...... 5. Megbízhatóság-elmélet........ 6.. Bevezetés........ 6.. A rendszerelem-meghibásodások modellezése... 6.3. Megbízhatósági jellemzők........ 0.4. Rendszerelem-meghibásodási modellek... 4.5. A PFD meghatározása nagyszámú működési igényt fogadó rendszerek esetében........ 0. Hibafa-elemzés...... 4.. Bevezetés........ 4.. A rendszer megismerése... 4.3. A hibafa felépítésének általános szabályai........ 6.4. Példa a hibafa összeállítására........ 6.5. A minimális metszethalmazok meghatározása... 8.6. A minimális metszethalmazok meghatározása a mintapéldában... 9.7. Meghibásodási, javítási, vizsgálati és karbantartási adatok gyűjtése........ 30.8. A minimális metszethalmazok kiszámítása... 30.9. Az eredmények kiértékelése; érzékenység- és bizonytalanságelemzés........ 33 3. A minimális metszethalmazok számszerűsítése...... 35 3.. Bevezetés........ 35 3.. A metszethalmazok számszerűsítéséhez használatos alapképletek........ 35 3.3. Az elsőrendű minimális metszethalmazok használhatatlanságának számszerűsítése........ 38 3.4. A magasabb rendű minimális metszethalmazok használhatatlanságának számszerűsítése........ 45 3.5. A meghibásodás-előfordulási rátának és a metszethalmaz meghibásodásai várható számának meghatározása...... 48. sz. melléklet: A meghibásodások osztályozása... 5. sz. melléklet: Irányelvek a hibafa kidolgozásához... 54 3. sz. melléklet: Számszerűsítő képletek... 59 Függelék: Példa folyamatos üzemmódú rendszer hibafa-elemzésére 4
0. JELÖLÉSEK, RÖVIDÍÉSEK Mértékegység λ meghibásodási ráta /óra ω meghibásodás-előfordulási ráta /óra μ javítási ráta /óra f meghibásodási sűrűség /óra τ vizsgálati időszakasz, amikor a rendszerelem nem használható óra θ javítási időtartam óra A használhatóság A (t) határérték-átlagos használhatóság Q az egy működési igényre vonatkozó meghibásodás valószínűsége P valószínűség PFD a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége F (0, t) a meghibásodás valószínűsége t időpontban N (0, t) a meghibásodások várható száma a (0, t) időszakaszban U időátlagolt használhatatlanság U (t) használhatatlanság a t időpontban vizsgálati intervallum óra MF átlagos működési idő a meghibásodásig óra MD átlagos belső eredetű működésképtelenségi idő óra MBF meghibásodások közötti átlagos működési idő óra MR átlagos helyreállítási idő óra Felsőindex m Alsóindex LD HD mcs sys fld unr rep tst előírt működési idő, mission kisszámú működési igényt fogadó nagyszámú működési igényt fogadó metszethalmazokra érvényes rendszerre érvényes működési igénytől függő meghibásodás miatti használhatatlanság nem észlelt meghibásodás miatti használhatatlanság javítás miatti használhatatlanság vizsgálat miatti használhatatlanság 5
. MEGBÍZHAÓSÁG-ELMÉLE.. Bevezetés E fejezet a mennyiségi megbízhatósági elemzésekben alkalmazott valószínűségi alapelvek megértéséhez szükséges alapvető ismeretanyagot tartalmazza. Az anyag egyúttal alapul szolgál a 3. fejezet ( A minimális metszethalmazok számszerűsítése ) tartalmához, a metszethalmazok számszerűsítéséhez. E fejezet feldolgozhatósága feltételezi a valószínűségelméleti és a matematikai statisztikai alapok ismeretét. Az itt bemutatott elmélet alapjában véve rendszerelemekkel foglalkozik, de ugyanezek az elvek és megbízhatósági jellemzők vezethetők le a rendszerek esetében is. Először az egy-per-óra mértékegységű megbízhatósági jellemzőkkel foglalkozunk, úm. meghibásodási ráta, meghibásodási sűrűség és meghibásodáselőfordulási ráta. Ezt követően azokat a megbízhatósági jellemzőket mutatjuk be, amelyek valószínűségek: hibamentesség (megbízhatóság), a meghibásodás valószínűsége, használhatóság (üzemkészség), használhatatlanság és a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége. Az utolsóként tárgyalt megbízhatósági jellemző pedig az adott időszakaszon belül bekövetkező meghibásodások várható száma. Ez utóbbi természetesen nem megbízhatóság, hanem csak egy mértékegység nélküli szám. A számszerűsítés során az egyik fontos szempont annak a legmegfelelőbb valószínűségi jellemzőnek a meghatározása, melyet ki kell számítani. A megbízhatósági probléma jellegétől függően kell dönteni arról, hogy egy adott (0, t) időszakaszon értelmezett megbízhatóságot vagy a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségét vagy éppen a használhatatlanságot kell számszerűen meghatározni. Általában a következő elveket lehet követni: A működési igénytől függő meghibásodás valószínűségét kell kiszámítani olyan biztonsági rendszereknél, amelyek működési igénye véletlenszerűen változik az időben. A hibamentességet (megbízhatóságot) vagy a meghibásodás valószínűségét kell kiszámítani akkor, ha a vizsgált rendszernek egy meghatározott időszakaszban ténylegesen meghibásodás nélkül kell működnie (előírt működési idő). A használhatatlanság és a meghibásodások várható száma a megfelelő megbízhatósági jellemző olyan termelőegység hibamentességének modellezésére, amely folyamatos üzemben működik. Hangsúlyozzuk, hogy a fenti irányelvek csak tájékoztató jellegűek; az elemzést végzőnek esetről esetre nagyon gondosan mérlegelnie kell azt, hogy a vizsgált rendszer hibamentességét (megbízhatóságát) mely megbízhatósági jellemzők reprezentálják megfelelően... A rendszerelem-meghibásodások modellezése E fejezet tárgyát azok a modellek képezik, amelyek a rendszerek elemeinek sztohasztikus meghibásodási folyamatait írják le. Annak meghatározása, hogy mit jelent egy rendszerelem meghibásodása, szükségessé teszi a rendszerelem jellemző tulajdonságainak rögzítését. Ez egyrészt a rendszerelemnek a rendszeren belüli, feltételezett határainak kijelölését, másrészt a meghibásodási mód meghatározását jelenti. A meghibásodási módot úgy határozzuk meg, mint a rendszerelem teljesítőképességének kedvezőtlen állapotát. A rendszerelem modellekkel általában annak a valószínűségét becsüljük meg, hogy a rendszerelem nem teljesíti előírt funkcióját, és e modelleket annak a rendszernek a működési módja határozza meg, amelyhez az adott rendszerelem tartozik. A rendszerelem-meghibásodási modellek két fő típusba sorolhatók: időfüggő modellek és működési igény függő modellek. Az időfüggő modellek olyan meghibásodási mechanizmusok leírására használatosak, amelyek az időbeli változással hozhatók kapcsolatba, mint például a kifáradás és a korrózió. A működési igény függő modellt akkor alkalmazzák, amikor a meghibásodások nem hozhatók kapcsolatba az idővel; ilyen például az emberi tevékenység. E szakaszban mindkét definiáljuk típust és ismertetjük alkalmazási területüket... Az időfüggő meghibásodások Az időfüggő meghibásodások modellezéséhez vezették be a kockázat- és megbízhatóság-elemzésben a meghibásodási ráta fogalmát. A meghibásodási rátával jellemezhető az idővel kapcsolatba hozható meghibásodási jelenségek miatt bekövetkező rendszerelem-meghibásodás valószínűsége. Három mérőszámot vizsgálunk, nevezetesen a meghibásodási rátát, a meghibásodási sűrűséget és a meghibásodás-előfordulási rátát. Mindhárom mennyiségnek egy-per-óra a mértékegysége. Abban különböznek, hogy más és más rendszerelem-halmaz esetében alkalmazhatók. A javítási rátának szintén egy-peróra a mértékegysége, azonban ezt a javítási folyamat jellemzésére használjuk. Az alábbiakban az egyes mennyiségek meghatározását és alkalmazási körét közöljük. 6
Meghibásodási ráta: λ (t) Az infinitezimális λ (t) dt annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem meghibásodik a t és t + dt időszakaszban, feltéve, hogy a rendszerelem t időpontig nem hibásodott meg. λ (t) dt = P [meghibásodás t és t + dt között előzőleg nem volt meghibásodás] (.) A meghibásodási ráta azokat a rendszerelemeket jellemzi, amelyek t időpontig nem hibásodtak meg. A meghibásodási ráta a rendszerelemeknek ama csoportjai esetében alkalmazható, amelyek még nem hibásodtak meg. Meghibásodási sűrűség: f (t) Az infinitezimális f (t) dt annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem a t és t + dt időszakaszban hibásodik meg először, feltéve, hogy a t = 0 időpontban nem következett be meghibásodás. f (t) dt = P [első meghibásodás t és t + dt között t = 0 időpontban nem volt meghibásodás] (.) A meghibásodási sűrűség értelmezhető a rendszerelemek teljes populációjára, függetlenül attól, hogy meghibásodtak-e vagy sem. Ez alapvetően megkülönbözteti a meghibásodási rátától, amely csak a még meg nem hibásodott rendszerelemekre vonatkozik. A meghibásodási sűrűséget a rendszerelemek eredeti populációja viszonylatában, míg a meghibásodási rátát a t időpontban éppen működő rendszerelemek átlagos számához viszonyítva értelmezzük. Ezt a következőképpen írhatjuk fel képlettel [n (t) a t időpontban működő rendszerelemek számát jelöli]: n (t) n (t+ t) λ( t) = lim (.3) t 0 n (t) t n (t) n (t+ t) f( t) = lim t 0 n (t= 0) t (.4) Meghibásodás-előfordulási ráta: ω (t) Az infinitezimális ω (t) dt annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem a t és t + dt időszakaszban meghibásodik, nem szükségképpen először, feltéve, hogy a t = 0 időpontban nem következett be meghibásodás. ω (t) dt = P [meghibásodás t és t + dt között t = 0 időpontban nem volt meghibásodás] (.5) A meghibásodási-előfordulási ráta definíciójában nem feltétel az, hogy a rendszerelem meghibásodás nélkül élte túl a t-ig tartó időszakaszt, miként az a meghibásodási ráta definíciójában szerepel. Ha a rendszerelem javítható, akkor előzőleg már többször is meghibásodhatott. Nem-javítható rendszerelem esetében a meghibásodási sűrűség és a meghibásodás-előfordulási ráta egyenlő. Az e szakaszban definiált mennyiségek közötti különbséget szemlélteti az.. sz. ábra, ahol az emberekre vonatkoztatott meghibásodási rátát és a meghibásodási sűrűséget ábrázoltuk. A 60 évhez tartozó meghibásodási sűrűség megadja a 60 és 65 év közötti halálozás valószínűségét az élve születés feltétele mellett. A 60 éves korhoz tartozó meghibásodási ráta pedig megadja a 60 és 65 év közötti halálozás valószínűségét, feltéve, hogy az ember a 60 éves kort megélte. Javítási ráta: μ (t) Az infinitezimális μ (t) dt annak a valószínűsége, hogy a rendszerelemet a t és t + dt időszakaszban helyreállítják, feltéve, hogy az a t időpontig javítás alatt állt. A javítási ráta ugyanolyan típusú mérőszám, mint a meghibásodási ráta. Míg azonban a meghibásodási ráta a meghibásodási folyamat leírására, addig a javítási ráta a javítási folyamat jellemzésére használható. Megjegyzés: Az egyes mennyiségek definíciói rendszerelemekre érvényesek. Azonban hasonló meghatározásokat lehet megfogalmazni minimális metszethalmazokra és rendszerekre is. 7
.. sz. ábra: Emberi egyedek meghibásodási rátája és meghibásodási sűrűsége.. Működési igénytől függő meghibásodások A rendszerelem-meghibásodások egy másik modelljét alkotja a működési igénytől függő meghibásodási modell. Ezt olyan rendszerelem-meghibásodás jellemzésére használják, amely a rendszerelem működésbe lépésére vonatkozó igény felléptekor következik be. Ezek leginkább inaktív állapotban lévő rendszerelemek, amelyeknek a működési igény megjelenésekor meg kell változtatniuk állapotukat; inaktív állapotból működő állapotba kell átmenniük. Itt többnyire védelmi rendszerek elemeiről van szó, mint például a nyomáscsökkentő szelepek, a visszacsapószelepek, stb. Az emberi tévedést (hibát) gyakran olyan működési igény függő meghibásodásnak tekintik, ahol az igény valamely meghatározott beavatkozás/cselekvés elvégzésének szükségességét jelenti. A működési igénytől függő meghibásodást Q-val jelölik. Hangsúlyozzuk, hogy a Q feltételes valószínűség, azaz a meghibásodás valószínűsége, feltéve hogy működési igény keletkezett. Az n darab működési igény feltétele melletti meghibásodás valószínűsége binomiális eloszlással írható le. Ez azon a feltevésen alapul, hogy minden egyes működési igény esetében a meghibásodás független attól, hogy bármelyik korábban fellépett működési igénynél bekövetkezett-e meghibásodás vagy sem. A binomiális eloszlást leíró képlet: n! x (n x) P( x) = Q ( Q) (.6) (n x)!x! A fenti kifejezés az n számú független kísérlet során bekövetkezett x darab meghibásodás valószínűségét adja meg, feltéve, hogy az egyetlen kísérlethez tartozó állandó meghibásodási valószínűség Q. Az egy működési igényre vonatkozó meghibásodás valószínűsége független a lehetséges meghibásodásoknak való kitettség időszakaszától, mint például a vizsgálatok (tesztelések) között eltelt időtől vagy attól az időtől, amíg a rendszerelem készenléti állapotban volt. A működési igénytől függő modellt olyan esetekben alkalmazzák, amikor a meghibásodások a rendszerelem sajátosságaiból következnek és bekövetkezésüket nem olyan külső mechanizmusok okozzák, amelyek összefüggésbe hozhatók az időbeli folyamatoknak való kitettséggel. A Q modell jól ismert alkalmazási területe a helyesbítő intézkedés megtételével megbízott kezelő tévesztésének (hibájának) valószínűsége...3 A kádgörbe Az.. szakaszban meghatározott mennyiségek rendszerint nem állandóak az időben. A meghibásodási ráta időbeli változásának lefolyását a rendszerelem életciklusában három szakaszra lehet osztani, nevezetesen a korai meghibásodások szakaszára, a véletlenszerű meghibásodások szakaszára és az elhasználódási meghibásodások szakaszára. ipikus példát mutatunk be az.. sz. ábrán. 8
.. sz. ábra: A λ (t) meghibásodási ráta vagy Q (t) és a t élettartam közötti kapcsolat A korai meghibásodások szakasza (csökkenő meghibásodási ráta): A rendszerelemek üzembe helyezését követően várható, hogy tervezési, gyártási, szerelési, üzembe helyezési és egyéb, üzemeltetési hibák miatt több meghibásodás is bekövetkezik. Ezeket nagymértékben ki lehet küszöbölni egy bizonyos előégetési (bejáratási) idő után. Ezekre a meghibásodási okokra jellemző, hogy egy kezdeti nagy érték után a meghibásodási ráta csökken az idővel. E szakaszt hívják bejáratódási vagy előégetési időtartamnak is. Véletlenszerű meghibásodások szakasza (állandó meghibásodási ráta): A rendszerelem létének második szakasza alatt a meghibásodások véletlenszerű okok miatt következnek be. Ezek között lehetnek külső meghibásodási okok és eseti tervezési és kezelői hibák, valamint a karbantartás során elkövetett vagy az eseti túlterhelésből eredő hibák. Ha ezek a meghibásodások egybeesése tisztán a véletlenen múlik, akkor e szakaszt állandó meghibásodási ráta jellemzi. Ez az időszak a rendszerelem élettartamának túlnyomó részét is kiteheti. Az elhasználódási meghibásodások szakasza (növekvő meghibásodási ráta): A rendszerelem élettartamának utolsó fázisában a meghibásodások túlnyomórészt időfüggők. A legfontosabb meghibásodási okok az elhasználódás, a korrózió, a kifáradás és a kúszás. Ezek eredményeként romlanak a rendszerelem szilárdsági és egyéb anyagszerkezeti paraméterei, mely a meghibásodási valószínűség növekedéséhez vezet. E szakaszt a növekvő meghibásodási ráta jellemzi. A kádgörbe idealizált képet fest a valóságról. Egy rendszerelem kádgörbéjének megszerkesztéséhez adatokat kell gyűjteni nagyszámú azonos típusú rendszerelemről azok teljes élettartamára vonatkozóan. A legtöbb esetben ez gyakorlatilag megoldhatatlan feladat. Emiatt a meghibásodási rátát és a javítási rátát többnyire időben állandó mennyiségnek tekintik a megbízhatósági elemzésekben. Bizonytalanságok: Valamely rendszerelem meghibásodási rátáját a legtöbb esetben azonos rendszerelemek (elektrotechnikai rendszerelemek) nagy számosságú csoportján elvégzett vizsgálatok eredményeinek statisztikai feldolgozásával vagy kisebb rendszerelem-csoportról elegendően hosszú időszakaszban gyűjtött karbantartási adatok statisztikai feldolgozásával (mechanikai rendszerelemek) határozzák meg. Az így nyert meghibásodási adatok alkalmazhatósága ritkán tekinthető teljes körűnek. A rendelkezésre álló adatokban sohasem tükröződnek a legutóbbi konstrukciós változtatások. Sőt, a rendszerelemek meghibásodási adatainak mennyisége korlátozott és azok a rendszerelem leírások, amelyekhez vannak adatok nem mindig egyeznek meg annak a rendszerelemnek a leírásával, amely a konkrét vizsgálat tárgyát képezi. Ez azt jelenti, hogy a rendelkezésre álló meghibásodási adatok bizonytalanok, és úgy kell tekinteni azokat, mint eloszlásokat és nem úgy, mint pontértékeket. 9
.3. Megbízhatósági jellemzők A megbízhatósági elemzésben az alábbi paramétereket alkalmazzák egy rendszerelem vagy rendszer hibamentességének (megbízhatóságának) jellemzésére: hibamentesség (megbízhatóság) vagy túlélési valószínűség : R (t) a meghibásodás valószínűsége : F (t) használhatatlanság : U (t) működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége : PFD a meghibásodások várható száma : N (t) A rendszerelem vagy rendszer típusától függően eldöntendő, hogy melyik megbízhatósági paraméter adja meg a kívánt információt. E tekintetben fontos különbséget tenni a biztonsági rendszerek és a folyamatos üzemmódú rendszerek között. A biztonsági rendszerek általában készenléti üzemmódban vannak és meghibásodásuk észrevétlenül is bekövetkezhet. A folyamatos üzemmódú rendszerek meghibásodását azonnal észlelik. Az egyes megbízhatósági paraméterek definícióját és alkalmazási területét az alábbiakban adjuk meg. A definíciók rendszerelemekre vonatkoznak, de ezekkel egyenértékű definíciókat lehet megadni a rendszer-megbízhatósági jellemzőkre is..3. Hibamentesség (megbízhatóság) vagy a meghibásodás valószínűsége A hibamentesség (megbízhatóság) és a meghibásodás valószínűségének definíciója a következő: Hibamentesség, R (t) : Annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem nem szenved el meghibásodást a (0, t) időszakaszban, feltéve, hogy a rendszerelem t = 0 időpontban újnak megfelelő állapotban volt. A hibamentességet (megbízhatóságot) néha túlélési valószínűségnek is nevezik. A gyakorlatban előfordulhat, hogy a rendszer javítása nem lehetséges, pl. egy repülőgépmotor vagy egy műhold esetében. Az előírt működési idő alatt a rendszernek meghibásodás nélkül kell ellátnia funkcióját. Ez esetben az előírt működési idő alatti meghibásodás valószínűsége tekinthető a jellemző megbízhatósági paraméternek. A meghibásodás valószínűsége, F (t) : Annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem elszenvedi első meghibásodását a (0, t) időszakaszban, feltéve, hogy a rendszerelem t = 0 időpontban újnak megfelelő állapotban volt. A hibamentesség (megbízhatóság) és a meghibásodás valószínűsége egyaránt valószínűség, ami azt jelenti, hogy a hozzájuk tartozó számszerű értékeknek 0 és közé kell esniük, mértékegységük pedig nincsen. Mivel a rendszerelem t időpontban vagy előírt állapotban marad vagy elszenvedi az első meghibásodást, ezért érvényes a következő összefüggés: R (t) + F (t) = (.7) együk fel, hogy egy bizonyos típusú rendszerelemre működési időtől függő, nagyszámú meghibásodási adat áll rendelkezésre. E rendszerelem esetében a hibamentesség (megbízhatóság) és a meghibásodás valószínűsége a következő képletekkel becsülhető: n f (t) R (t) (.8) n 0 nf (t) F(t) n0 (.9) ahol n f : a t időpont előtt bekövetkezett meghibásodások száma; n 0 : a rendszerelemek száma mindösszesen. Alkalmazási terület: Ezek a megbízhatósági ismérvek olyan rendszerek esetében alkalmazhatók, amelyek folyamatos működéssel teljesítik rendeltetésüket egy előre meghatározott időszakaszban. Ez az időszakasz üzemidő, ha a rendszer egy nap (hónap, év) valamely részében működik vagy naptári idő, ha a rendszer folyamatosan üzemben van. Az.3. sz. ábrán az emberi egyedek hibamentességét/megbízhatóságát (túlélési valószínűség) és meghibásodási valószínűségét (halálozási valószínűség) ábrázoltuk. 0
.3. sz. ábra: Emberi egyedek R (t) túlélési valószínűsége és F (t) halálozási valószínűsége.3. A meghibásodási ráta, a meghibásodási sűrűség és a meghibásodás valószínűsége közötti általános összefüggések ekintsük a valószínűségekre általánosan érvényes szorzási szabályt: P (A C) = P(C) P(A C) (.0) Ha csak egy W ismérvvel jellemzett populáció vizsgálatára szorítkozunk, akkor a (0) egyenlet átírható: P (A C W) = P(C W) P(A C,W) (.) Átrendezés után kapjuk, hogy P(A C W) P(A C,W) = P(C W) (.) Most tekintsük az A, C és W eseményeket, melyeket a következőképpen definiálunk: A : a rendszerelem meghibásodik (t, t + dt) időszakaszban; C : a rendszerelem előírásos állapotban van t időpontig; W : a rendszerelem t = 0 időpontban újnak megfelelő állapotban volt. Az infinitezimális λ (t) dt megfelel a P(A C,W) feltételes valószínűségnek. A P(C W) valószínűség nem más, mint az R (t) = F (t) hibamentesség (megbízhatóság). Az f (t) dt mennyiség pedig megfelel P(A C W)-nek. Az (.) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy f(t) dt λ (t) dt = F(t) (.3) Ez átírható a következőképpen: f(t) λ (t) = F(t) (.4) Az (.4) képletből látható, hogy a meghibásodási ráta mindig nagyobb, mint a meghibásodási sűrűség..3.3 Használhatóság, használhatatlanság és a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége A használhatóság, a használhatatlanság és a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének definíciója az alábbiak szerint fogalmazható meg: Használhatóság, A (t) : A használhatóságot kétféleképpen is meghatározhatjuk:. definíció: Annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem t időpontban előírásos állapotban van, feltéve, hogy t = 0 időpontban újnak megfelelő állapotban volt.. definíció: A használhatóság a időszakasznak az a része, amikor a rendszerelem képes teljesíteni előírt funkcióját.
Használhatatlanság, U (t) : A használhatatlanságot is kétféleképpen adhatjuk meg:. definíció: A használhatatlanság annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem t időpontban belső eredetű működésképtelen állapotban van és működési igény keletkezésekor nem képes működésbe lépni.. definíció: A használhatatlanság a időszakasznak az a része, amikor a rendszerelem nem képes teljesíteni előírt funkcióját. A működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége, PFD (t) : A működési igénytől függő meghibásodás valószínűségét úgy is lehet definiálni, mint annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem t időpontban belső eredetű működésképtelen állapotban van és működési igény keletkezésekor nem képes működésbe lépni. A különböző definíciók alkalmazási köre: A két definíció elvileg egyenértékű; az első meghatározás biztonsági védőberendezések esetén igen hasznos. Mivel a biztonsági védőberendezésen megjelenő működési igény az időben véletlenszerűen változik, ezért annak a valószínűsége, hogy a berendezés nem teljesíti az előírt biztonsági funkciót, hasznos paraméter az ilyen biztonsági védőberendezés hibamentességének (megbízhatóságának) jellemzésére. A használhatatlanságnak e típusát a gyakorlatban működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének is nevezik. A második definíció használata is lehetséges biztonsági védőberendezések esetében. Ekkor a használhatatlanságot úgy lehet meghatározni, mint az az időszakasz, amikor a termelőegység amelynek védelmét a biztonsági védőberendezés biztosítja a biztonsági védőberendezés nem megfelelő működése (helytelen beavatkozása) miatt nem képes működni. A használhatatlanságra adott második definíció általában akkor a legcélravezetőbb, amikor folyamatos működésű rendszert vizsgálunk. Ilyen alkalmazási körben a használhatatlanság megegyezik azzal az időszakasszal, amikor a rendszer nem volt képes működni. Pillanatnyi és átlagos használhatatlanság: Amikor a használhatatlansággal vagy a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségével foglalkozunk, akkor világosan meg kell különböztetnünk az átlagértékeket és a pontértékeket vagy másként pillanatnyi értékeket. Ha a használhatatlanság vagy a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége szóba kerül, akkor a legtöbb esetben átlagos értékekre kell gondolni. A t időpontbeli U (t) pillanatnyi használhatatlanság vagy működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége az a valószínűség, hogy a rendszerelem t időpontban nem képes működésbe lépni, ha működési igény keletkezett. Az U átlagos használhatatlanság vagy PFD működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége az az időátlagolt valószínűség, hogy a rendszerelem nem képes működésbe lépni, ha működési igény keletkezett. Átlagos használhatatlanság vagy a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége: Az átlagos használhatatlanságra két különböző definíció létezik. Az első az átlagos használhatatlanságot egy időszakaszra értelmezi és időátlagolt használhatatlanságnak nevezi, a második pedig határérték-átlagos használhatatlanságot fogalmaz meg. Az időátlagolt érték: t U = U(t) dt (.5) t t t A határérték-átlagos használhatatlanság: U = lim U ( t) dt (.6) 0 A továbbiakban nem teszünk különbséget az időátlagolt és a határérték-átlagos használhatatlanság között. Ez azzal igazolható, hogy valóságos, on-line javítható rendszerelemek esetében a határérték-átlagos használhatatlanság a határértéket az időben nagyon gyorsan eléri. A használhatatlanság és az MBF, MF és MD közötti összefüggések: ekintsünk egy javítható rendszerelemet. Meghibásodás felléptével olyan időszakasz következik, amikor a rendszerelem nem vehető igénybe (használhatatlan). A helyreállítás befejeztével a rendszerelem újra használható lesz egészen a következő meghibásodás bekövetkezéséig. Ezt mutatja az.4. sz. ábra.
Az.4. sz. ábrából közvetlenül látszik, hogy a helyreállítási időtartam, a belső eredetű működőképességi idő és a meghibásodások közötti idő között a következő összefüggés áll fenn: z = x + y (.7) Várható értékekkel felírva: z = x + y (.8).4. sz. ábra: A x, y és z időszakaszok meghatározása A (8) egyenlőségben z a meghibásodások közötti átlagos működési idő (MBF). Az x paraméter jelöli az MR átlagos helyreállítási időt vagy másként az MD átlagos belső eredetű működésképtelenségi időt. Az y paraméter az átlagos belső eredetű működőképességi idő (MU) vagy másként az MF átlagos működési idő a meghibásodásig. Az (.8) képletet tehát átírhatjuk a következő alakra: MBF = MD + MF (.9) Figyelembe véve a használhatatlanságra adott második definíciót, a következők szerint lehet felírni az időátlagolt használhatatlanságot: MD U = (.0) MF + MD.3.4 A használhatatlanságot befolyásoló tényezők A rendszerelemek vagy rendszerek használhatatlanságának három fő oka lehet: Nem észlelt meghibásodás: Nem észlelt meghibásodás esetén lesz egy olyan időszakasz, amikor a rendszerelem nem képes működni, de ez a tény a kezelők számára nem ismeretes. E szakaszban a rendszerelem használhatatlan. Ez az időszakasz vizsgálat vagy működési igény fellépése miatt ér véget. Vizsgálat vagy karbantartás: Amikor egy rendszerelemet rendszeres időközönként vizsgálnak vagy karbantartanak amikor is a rendszerelem egyáltalán nem használható vagy csak részlegesen használható, akkor a rendszerelem a vizsgálat vagy a karbantartás miatt használhatatlan vagy részben használhatatlan. A tartalékolási funkciójú rendszerelem használhatatlansága a vizsgálat vagy karbantartás időtartama alatt növekszik. Általános az a gyakorlat, hogy a tartalék rendszerelemeket egymás után vizsgálják. Ilyen esetben az n darab tartalékolási funkciójú rendszerelem ténylegesen (n-) tartalékolási funkciójú rendszerelemet jelent a vizsgálat vagy karbantartás során. Javítás (helyreállítás): A meghibásodott rendszerelemet helyre kell állítani vagy ki kell cserélni. A helyreállítás vagy a csere időt vesz igénybe, amikor is a rendszerelem nem használható. A javítás alatt maga a rendszerelem nem használható. 3
A tartalékolási funkciójú rendszerelemek használhatatlansága nagyobb lesz, ha egyszerre több rendszerelemet vesznek ki a működésből..3.5 A meghibásodások várható száma A meghibásodások várható száma a (0, t) időszakaszban: N (0, t) A meghibásodások várható száma valamely adott időszakaszra vonatkoztatva a meghibásodás-előfordulási ráta integrálásával határozható meg: t N ( 0, t) = ω( δ) dδ (.) 0 Hangsúlyozzuk, hogy a meghibásodások várható száma nem valószínűség. A meghibásodások várható száma - nél nagyobb értéket is felvehet, ami a valószínűségek esetében nem lehetséges. Nem-javítható rendszerelem esetében a (0, t) időszakaszban bekövetkező meghibásodás valószínűsége megegyezik a (0, t) időszakaszban bekövetkező meghibásodások várható számával..3.6 A meghibásodási ráta, a meghibásodás-előfordulási ráta és a használhatatlanság közötti általános kapcsolat ekintsük az (.) egyenletet: P(A C,W) P(A C W) = (.) P(C W) Definiáljuk A, C és W eseményeket a következőképpen: A : a rendszerelem meghibásodik (t, t + dt) időszakaszban; C : a rendszerelem előírásos állapotban van t időpontban; W : a rendszerelem t = 0 időpontban az előírásos állapotba került. A használhatatlanság, a meghibásodási ráta és a meghibásodás-előfordulási ráta definíciója szerint a következő összefüggések érvényesek: P (A C W) = ω (t ) dt P (A C,W) = λ (t ) dt (.3) P(C W) = U (t) Behelyettesítve (.3)-at az (.) egyenletbe és dt-vel való egyszerűsítés után a következő általános képletet kapjuk: ω(t) (.4) λ (t) = U(t) A használhatatlanság a gyakorlatban igen kis szám. Az (.4) egyenletből látható, hogy az esetek nagy többségében a meghibásodás-előfordulási ráta értéke majdnem megegyezik a meghibásodási rátáéval. Ha U (t) < 0,0, akkor λ (t) ω (t). (.5).4. Rendszerelem-meghibásodási modellek Az időfüggő meghibásodások modellezéséhez többnyire az állandó meghibásodási ráta modell használatos. Ennek alapvetően két oka van: Mind az elmélete, mind a szükséges számítások egyszerűek. Szinte egyetlen egy fajta rendszerelemre sem állnak rendelkezésre megfelelő adatok a meghibásodások időbeli lefolyásáról. E szakaszban az állandó meghibásodási ráta modellre érvényes egyenleteket közöljük. E mellett bemutatunk több olyan rendszerelem modellt is, amelyekben az állandó meghibásodási ráta modell használható. A szakasz végén az állandó (konstans) működési igény modell megbízhatósági ismérveit tekintjük át..4. Az állandó (konstans) meghibásodási ráta modell ismérvei Az állandó meghibásodási ráta modell nagyban leegyszerűsíti a különféle megbízhatósági ismérvek közötti összefüggéseket. E szakaszban azokat a fontos összefüggéseket vezetjük le, amelyek alapvető szerepet játszanak a metszethalmazok számszerűsítésében. (Lásd 3. fejezet). 4
Hibamentesség (megbízhatóság) és a meghibásodás valószínűsége: A hibamentesség (megbízhatóság) és a meghibásodás valószínűségének levezetéséhez állandó meghibásodási ráta mellett az (.3) egyenletet vesszük alapul. f(t) λ (t) = (.6) F(t) A meghibásodási sűrűség: df(t) f( t) = (.7) dt A meghibásodási sűrűséget az (.7) egyenlet szerint behelyettesítve az (.6) egyenletbe kapjuk, hogy [ df(t) ] d[ F(t) ] λ dt = = (.8) F F (t) (t) Mindkét oldalt a (0, t) időpontok között integrálva: F(t) λ t = ln[ F( t) ] = ln[ F(t) ] + ln() = ln[ F(t) ] (.9) F(0) Az (.9) kifejezés ekvivalens az alábbi egyenlettel: ln [ F( t) ] = λ t, azaz F (t) = e λt (.30) Az (.30) átrendezésével kapjuk az állandó meghibásodási rátával jellemzett rendszerelem meghibásodási valószínűségi függvényét: F (t) = e λt (.3) A gyakorlatban nagyon sokszor a következő egyszerűsítést alkalmazzák: F (t) = e λt 3 ( λ) ( λ) = λ + +...! 3! (.3) 3 ( λ) ( λ) = λ +...! 3! λ λ < 0, 0 A hibamentességi (megbízhatósági) függvényre pedig az adódik, hogy R (t) = F (t) = e λt (.33) A meghibásodási sűrűség: A meghibásodási sűrűség az (.3) egyenlet differenciálásával határozható meg: f (t) = λ e λt (.34) Az átlagos működési idő a meghibásodásig: A meghibásodásig tartó átlagos működési idő a következőképpen határozható meg: λt MF = t f( t) dt = t λ e dt (.35) 0 0 Az integrálás elvégzéséhez az alábbi általános képletet alkalmazhatjuk: n at n! t e dt =, n + 0 a ahol a, n > 0 és n egész szám (.36) Az integrálás eredménye: λ MF = = λ λ (.37) Az (.3), (.33), (.34) és (.37) képletek exponenciális meghibásodás-eloszlást mutatnak. Az exponenciális meghibásodás-eloszlás az állandó meghibásodási ráta mellett bekövetkező, egymástól független események időbeli eloszlását adja meg. Az állandó meghibásodási ráta modellre (λ = E-05 /óra) mutat tipikus példát az.5. sz. ábra. 5
.5. sz. ábra: ipikus példa a meghibásodási rátára és a meghibásodási sűrűségre az idő függvényében ábrázolva (állandó meghibásodási ráta).4. Rendszeres időközönként vizsgált, készenléti állapotban lévő rendszerelemek A biztonsági rendszerekre jellemző, hogy több rendszerelemük is készenléti üzemmódban van. Ez azt jelenti, hogy addig nem használják azokat, ameddig működési igény nem jelenik meg vagy éppen nem végeznek rajtuk vizsgálatot. Az ilyen rendszerelemekről gyakran feltételezik, hogy meghibásodásukra éppen az ilyen készenléti üzemmódban eltöltött időszakaszban kerül sor. A készenléti állapotban lévő rendszerelem meghibásodásának felderítéséhez a rendszerelemet vizsgálni kell. Emiatt a készenléti állapotban lévő rendszerelemeket rendszeres időközönként vizsgálják. A vizsgálatra például havonta egyszer, esetleg évente egyszer kerülhet sor. A vizsgálatok között eltelt idő az az időszakasz, amely alatt a komponens nem észlelt meghibásodásnak van kitéve; ezt jelenti a hibának való kitettség időszakasza. Ezt az időszakaszt vizsgálati intervallumnak nevezik és gyakran -vel jelölik. A vizsgálati intervallumot rendszerint üzemi eljárásrendekből határozzák meg. A készenléti rendszerelem modell legfigyelemreméltóbb megbízhatósági ismérve a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége. Miután minden egyes rendszerelemre melyek a készenléti állapotban való meghibásodást leíró modellel jellemezhetők meghatároztunk egy megfelelő vizsgálati intervallumot, definiálnunk kell a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségét, ami az egyes rendszerelemek meghibásodásainak időben véletlen eloszlásán alapul. A időszakaszban valamely rendszerelem működési igénytől függő meghibásodásának valószínűségét az adott rendszerelemre vonatkozó meghibásodásig eltelt idő kumulált eloszlásfüggvénye adja meg. PFD (t) = F (t) (.38) Például, ha egy rendszerelem meghibásodási rátája állandó, akkor a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének pillanatnyi értékét a következőképpen lehet meghatározni: PFD (t) = e λt 3 ( λ) ( λ) = λ + +...! 3! (.39) 3 ( λ) ( λ) = λ +...! 3! λ λ < 0, 0 Hangsúlyozzuk, hogy az (.39) képletben a λ a nem észlelt meghibásodások miatti meghibásodásokra utal. A biztonsági rendszereken és azok rendszerelemein az időben általában véletlenszerűen jelentkezik a működési igény. Így meg kell határozni a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének, mint valószínűségi függvénynek a viselkedését a meghibásodásnak való kitettség időszakasza alatt. Ha feltételezhető, hogy a működési igény egyforma valószínűséggel jelentkezik a vizsgálati intervallum bármely pontján miként ez rendszerint így igaz is, akkor a használandó valószínűség a időszakra vonatkozó működési igénytől függő meghibásodás gyakorisággal súlyozott valószínűsége. 6
ehát: PFD átlagos = PFD(t) dt (.40) 0 Az állandó meghibásodási ráta modell esetében az integrál eredménye: λt PFD = ( e ) dt 0 (.4) λ) = + (e ) λ A (4) képletet egyszerűbb alakra hozva a jól ismert formulát kapjuk: λ) PFD = + (e ) λ 3 λ ( λ) ( λ) = +... (.4)! 3! 4! λ Megjegyzendő, hogy a működési igénytől függő meghibásodás frekvenciával súlyozott vagy időátlagolt valószínűségére a rendszerelemek esetében fent bemutatott és gyakran alkalmazott közelítés feltételezi, hogy a meghibásodási ráta állandó (a meghibásodási sűrűség függvény exponenciális eloszlású); a zárt alakból sorba fejtéssel kapott összeg magasabbrendű tagjai elhanyagolhatók..4.3 On-line javítható rendszerelemek A folyamatos üzemmódú rendszerelemeknél a meghibásodást azonnal észlelik. Például olyan rendszerelem esetében, amely egy termelőegység része. Annak a valószínűsége, hogy egy ilyen rendszerelem nem használható akkor, amikor arra pedig szükség lenne, összefüggésbe hozható egyrészt a meghibásodás gyakoriságával, másrészt azzal az átlagos idővel, amely a rendszerelem újbóli működésbe állításához szükséges (átlagos helyreállítási idő). Ilyen típusú rendszerelemek szempontjából két folyamat fontos: a meghibásodás folyamata és a helyreállítás folyamata. A meghibásodás folyamata állandó meghibásodási rátával, a helyreállítás folyamata pedig állandó javítási rátával jellemezhető. Átlagos helyreállítási idő: Állandó javítási ráta esetén a következő érvényes: MR = θ = (.43) µ Feltételezzük, hogy az átlagos helyreállítási idő magába foglalja a meghibásodás azonosításának teljes időszükségletét, magát a javítást és a rendszerelem újbóli üzembe állítását. Használhatatlanság és használhatóság: A használhatatlanságra vonatkozó kifejezést Markov-folyamatok alkalmazása útján nagyon könnyen meghatározhatjuk. λ ( λ+µ )t U(t) = ( e ) (.44) λ + µ A határérték-átlagos használhatatlanság felírható: λ ( λ+µ )t λ U = lim ( e ) = (.45) t λ + µ λ + µ Gyakorlatilag majdnem minden esetben az (.44) képlet az alábbiak szerint egyszerűsíthető: Ha µ >> λ és 3 λ t, akkor U(t) µ µ Vagy : Ha θ << MF és t 3 θ, akkor U(t) λθ (.46) 7
A használhatóságra érvényes képletet a következőképpen lehet levezetni: ( λ+µ ) t µ + λe A (t) = U(t) = (.47) λ + µ A határérték-átlagos használhatóság tehát: ( λ+µ ) t µ + λe µ A = lim = (.48) t λ + µ λ + µ A meghibásodás-előfordulási ráta: Az (.44) összefüggést behelyettesítve az (.4)-be megkapjuk a rendszerelem meghibásodás-előfordulási rátáját állandó meghibásodási ráta mellett: λµ λ ( λ+µ )t ω ( t) = + e (.49) λ + µ λ + µ A gyakorlatban a legtöbb esetben az a helyzet, hogy valamely rendszerelem meghibásodásig tartó átlagos működési ideje sokkal hosszabb, mint ugyanannak a rendszerelemnek az átlagos helyreállítási ideje. Így általában érvényes a következő: μ >> λ (.50) Az (.49) és az (.50) alapján a meghibásodás-előfordulási ráta közelítőleg megegyezik a meghibásodási rátával: ω λ (.5) A meghibásodások előfordulásának száma: A meghibásodások előfordulásának a (0, t) időszakaszban várható száma a következő képlettel számítható ki: t N ( 0, t) = ω( δ) dδ (.5) 0 Behelyettesítve (.49)-et (.5)-be és elvégezve az integrálást megkapjuk a meghibásodások előfordulásának várható számát (állandó meghibásodási ráta modellt feltételezve): λµ λ ( λ+µ )t N( 0, t) = t + [ e ] (.53) λ + µ ( λ + µ ) Mivel általában érvényes, hogy μ >> λ, ezért a képlet egyszerűsíthető: N ( 0, t) λ t (.54) Az (.3) és (.54) szerinti összefüggések alapján belátható, hogy a (0, t) időszakaszbeli meghibásodások bekövetkezési valószínűsége megegyezik a (0, t) időszakaszban előforduló meghibásodások számával feltéve, hogy a (0, t) időszakasz rövid. Hangsúlyozzuk, hogy a meghibásodás valószínűsége mindig kisebb egynél, míg a meghibásodások előfordulásának várható száma egynél nagyobb érték is lehet (lásd az.6. sz. ábrát). 8
.6. sz. ábra: Az állandó meghibásodási ráta modellben tipikus N (0, t) és F (0, t) függvények.4.4 Az előírt működési idejű rendszerelemek Gyakorta van szükség arra, hogy kiértékeljük egy rendszerelem sikeres működésbe lépést követő, de még az előírt működési idő letelte előtt bekövetkező meghibásodásának valószínűségét. Ilyen rendszerelem például a veszélyhelyzeti dízelgenerátor. Az előírt működési időt m -mel jelöljük. Annak a valószínűsége, hogy a rendszerelem a m letelte előtt meghibásodik a kumulált eloszlásfüggvénnyel számítható ki. Állandó meghibásodási rátával (exponenciális eloszlás) jellemezhető rendszerelemek esetén az alábbi egyenlőség érvényes: m F ( ) = e λ (.55) λ λ < 0,0 Hangsúlyozzuk, hogy a λ meghibásodási ráta ez esetben nem azonos a készenléti állapotban értelmezhető meghibásodási rátával. Ahhoz, hogy a sikeres működésbe lépést követő meghibásodásokra jellemző meghibásodási ráta megbecsülhető legyen, az elemzést végzőnek figyelembe kell vennie a kedvezőtlen környezeti hatásokat, továbbá fel kell ismernie a készenléti állapotra jellemző meghibásodási ráta és a működési meghibásodási ráta közötti különbségeket..4.5 Az állandó (konstans) működési igény modell A Q modellel kapcsolatos megbízhatósági ismérvek viszonylag könnyen értelmezhetők és mindnek az alapja a Q működési igényre vonatkozó meghibásodás valószínűsége. A (0, t) időszakaszban fellépő n számú működési igény mellett, valamint független meghibásodásokat feltételezve, a meghibásodás valószínűsége és a használhatatlanság egyszerűen felírható az (.6) segítségével: F (0, t) = U (0, t) = P (x = ) = n Q ( Q) n (.56) Ha a (0, t) időszakaszban csak egyetlen működési igényt engedünk meg, ami biztonsági rendszer elemei esetében a leggyakoribb valós eset, akkor a meghibásodás valószínűsége és a használhatatlanság az alábbi: F (0, t) = U (0, t) = Q (.57) A működési igény modell alkalmazásakor több nagyon fontos tényezőt is figyelembe kell venni. Amennyiben a vizsgált esemény valóban bekövetkezhet a működési igény megjelenése előtt, akkor a működési igény modell besűríti a meghibásodási rátát a működési igény pillanatszerű időtartamába. Így különböző működési igény rátákhoz a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége is különböző lesz, és amennyiben a működési igény modellt használjuk, akkor csak abban az esetben kapunk használható becslést, ha a működési igény ráták hasonlóak. Olyan rendszerelem esetében, amely pontosan úgy viselkedik, mint a működési igény modell, a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége ugyanaz lesz akár egy óra alatt egyszer, akár egy évtized alatt egyszer lép fel működési igény. 9
Ha új működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének (Q ) a meghatározására van szükség egy új vizsgálati intervallumhoz, akkor a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége a következőképpen számítható ki: / Q = ( Q) (.58).5. A PFD meghatározása nagyszámú működési igényt fogadó rendszerek esetében Az ipari berendezések nagy részének működtetése nem lehetséges anélkül, hogy ne fogadnánk el egy bizonyos kockázatszintet. Ezt az elfogadható kockázatszintet többnyire egy vagy több biztonsági rendszer beépítésével érik el. A működéssel együttjáró kockázat kiszámítása kockázatelemzés útján lehetséges. A kockázatelemzésben fontos szerepe van a működési igény rátának és a biztonsági rendszerekre vonatkozó működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének. Egyetlen biztonsági védőberendezés esetében a veszélyráta a következő képlettel számítható ki: f H = f D PFD SD (.59) ahol f H : f D : a veszélyráta (a nem kívánt esemény gyakorisága); a biztonsági rendszerhez rendelhető működési igény ráta. A nem kívánt esemény gyakorisága, melyben benne foglaltatik az a kockázat, amely biztonsági rendszerek beépítése hiányában jelen lenne; PFD SD : a biztonsági védőberendezésre vonatkozó működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége. A működési igény ráta és a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége csak akkor tekinthető függetlennek, ha a működési igény ráta a biztonsági védőberendezés vizsgálati gyakoriságához viszonyítva alacsony. Nagyszámú működési igényt fogadó (vizsgálati intervallumonként egynél több működési igényt fogadó) rendszer esetében, a működési igény és a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége nem tekinthető függetlennek. A működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége: Egy biztonsági védőberendezés hibás állapotban lehet úgy, hogy azt a kezelők nem észlelik. Emiatt a biztonsági védőberendezést rendszeres időközönként vizsgálni szükséges. Közvetlenül a vizsgálat után a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége nulla. Ettől az időponttól távolodva a vizsgálati intervallumban a meghibásodás valószínűsége növekszik. Így általában a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége az idő függvénye lesz. PFD = PFD (t) (.60) Az.7. sz. ábra tipikus példát mutat a nem észlelt meghibásodás valószínűségének időtől való függésére. A működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége kisszámú működési igényt fogadó biztonsági rendszereknél: Amint azt az.4. szakaszban ismertettük, a biztonsági védőberendezésen az időben véletlenszerűen jelentkezik a működési igény. Ezért a vizsgálati intervallumban jelentkező működési igény miatt bekövetkező meghibásodás időátlagolt valószínűségét kell kiszámítani. Amennyiben feltételezzük, hogy a működési igény a vizsgálati intervallum bármely pontjában ugyanakkora valószínűséggel jelentkezik, akkor a működési igénytől függő meghibásodás időátlagolt valószínűségének kiszámításához az alábbi képlet a megfelelő: PFD LD = PFD(t) dt (.6) 0 Kisszámú működési igényt fogadó rendszerelemek (LD) esetében az állandó meghibásodási ráta alkalmazásával a következő jól ismert képletet lehet levezetni a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének kiszámításához: PFD LD = λ (.6) E képlet csak akkor érvényes, ha a vizsgálati intervallumra jutó működési igények száma nem nagyobb egynél. öbb működési igény esetén az (.6) képlet alkalmazása helytelen. 0
.7. sz. ábra: A működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének időtől való függése (tipikus példa) A működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége nagyszámú működési igényt fogadó biztonsági rendszerek esetében Nagyszámú működési igényt fogadó biztonsági rendszerek esetében a működési igénytől függő meghibásodás valószínűségének kiszámítása két feltevés teljesülésén alapul:. feltevés: Feltételezzük, hogy a biztonsági rendszer veszélyes mértékű meghibásodásának valószínűsége független a biztonsági rendszeren jelentkező működési igények számától.. feltevés: Feltételezzük, hogy amennyiben egy működési igényt a biztonsági védőberendezés meghibásodása követ, akkor a folyamatot megállítják, és a biztonsági védőberendezést helyreállítják az üzemelés folytatása előtt. A biztonsági rendszer t időpontban működési igényt kap. A működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége PFD (t). A. feltevéssel összhangban a t időpontbeli második működési igény csak akkor léphet fel, ha a t időpontbeli működési igényre a rendszer megfelelően reagált. Ez azt is jelenti, hogy a t időpontbeli igény esetében a biztonsági rendszer szükségképpen nem hibásodott meg a (0, t ) időszakaszban. Ez esetben a vizsgálati intervallum az ellenőrző vizsgálati intervallumot jelöli. Ellenőrző vizsgálatot a biztonsági rendszer meghibásodásainak feltárása érdekében végeznek, azért, hogy a rendszert ténylegesen új állapotnak megfelelő állapotba hozzák vagy ezt az állapotot a lehető leginkább megközelítsék. Ha több különböző vizsgálati csatornát használnak, akkor az ellenőrző vizsgálat azt jelenti, hogy minden egyes csatornát külön-külön vizsgálnak.
.8. sz. ábra: öbb működési igény megjelenése egy vizsgálati intervallumon belül A működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége a t időpontban: PFD ( t ) = F (t) (.63) ekintsük az A(0, t ) és a B (t, t ) időszakaszokat. Annak a valószínűsége, hogy nem észlelt meghibásodás következik be az A vagy a B időszakaszban: F(t ) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (.64) = PFD(t ) + PFD(t ) + 0 A P(A B) = 0, mert a. feltevéssel összhangban nem lehetséges az, hogy nem észlelt meghibásodás következik be az A időszakaszban és a B időszakaszban is (egymást kizáró események). A (64) képletből nyilvánvaló, hogy a működési igénytől függő meghibásodás valószínűsége a t időpontban: PFD( t ) = F (t ) PFD(t) (.65) Általánosan felírva: n PFD( t i ) = F() (.66) i= ahol n = az egy vizsgálati intervallumban fellépő működési igények száma. Nagyszámú működési igényt fogadó (HD) biztonsági rendszer esetében a működési igénytől függő meghibásodás átlagos valószínűségét a következőképpen számíthatjuk ki: F() PFDHD = n (.67) ahol F () = az egy vizsgálati intervallumban fellépő nem észlelt meghibásodás valószínűsége; = a vizsgálati intervallum; n = az egy vizsgálati intervallumban fellépő működési igények száma.