Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások 1. Határozd meg az e: 3x 2y = 5 egyenes egy normálvektorát, egy irányvektorát, iránytangensét és irányszögét! Az e egyenes egy normálvektora leolvasható az egyenletéből: n e (3; 2). Ekkor az e egyenes egy irányvektora: v e (2; 3). Ezek alapján az e egyenes iránytangense: m = tg α = v 2 v 1 = 3 2. Ebből adódik, hogy az e egyenes irányszöge: tg α = 3 2 α 56,3. 2. Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (3; 8) ponton és normálvektora n e (2; 5)! Írjuk fel a normálvektoros egyenletet: 2x 5y = 2 3 5 ( 8) 2x 5y = 46 3. Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az A ( 1; 2) ponton és irányvektora v e (4; 5)! Írjuk fel az irányvektoros egyenletet: 5x 4y = 5 ( 1) 4 2 5x 4y = 13 Másik módszer: Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (5; 4). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 5x 4y = 5 ( 1) + ( 4) 2 5x 4y = 13. 4. Határozd meg az e: 5x 7y = 11 egyenes tengelyekkel vett metszéspontjait! Alakítsuk át az e egyenes egyenletét úgy, hogy a tengelymetszetes alakot kapjuk: 5 x 7 y = 1 x 11 y 11 = 1 11 11 5 7 Ezek alapján az x - tengelyt a P ( 11 11 ; 0), az y - tengelyt pedig a Q (0; ) pontban metszi. 5 7 1

5. Írd fel a P 0 (0; 7) pontra illeszkedő egyenes egyenletét, ha irányszöge 60! Először számítsuk ki az egyenes iránytangensét: m = tg 60 = 3. Az egyenes az y tengelyt a 7 ben metszi. Ezek alapján az egyenes iránytényezős egyenlete: y = 3 x + 7. 6. Írd fel az e: x = 3 egyenes iránytangenses egyenletét! Az e egyenes egy normálvektora: n e (1; 0). Az egyenes iránytangense: m = 1 0. Mivel a 0 val való osztást nem értelmezzük, így az egyenlet nem adható meg a kívánt alakban. 7. Határozd meg az e egyenes iránytényezős alakját, ha átmegy a P (2; 3) ponton és meredeksége m = 1 2! Írjuk fel az e egyenes iránytangenses alakját: y 3 = 1 (x 2). 2 Ezek alapján átrendezéssel megkapjuk az e egyenes iránytényezős alakját: y = 1 x + 2. 2 8. Illeszkedik e a P 0 (2; 3) ponton átmenő, n (1; 5) normálvektorú egyenesre a P ( 3; 4) pont? Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét: x + 5y = 1 4 + 5 3 x + 5y = 19. Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük be a P pont koordinátáit az egyenes egyenletébe: 3 + 5 4 = 17 19. Mivel ellentmondást kaptunk, így a P pont nem illeszkedik az egyenesre. 2

9. Határozd meg az A pont abszcisszáját, ha ordinátája 2 és a pont illeszkedik az e: 8x + y = 22 egyenesre! Az A pont koordinátákkal felírva: A (x; 2). Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük be az A pont y koordinátáját az e egyenes egyenletébe: 8x + 1 2 = 22. Ebből kapjuk, hogy x = 20 = 5, vagyis az e egyenesre illeszkedő A pont: A 8 2 (5 ; 2). 2 10. Add meg az e: 3x + 5y = 15 egyenletű egyenesnek azt a P pontját, amelynek abszcisszája kétszer akkora, mint az ordinátája! A keresett P pont koordinátákkal felírva: P (2y; y). Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük be a P pont koordinátáit az e egyenes egyenletébe: 3 2y + 5y = 15. Ebből azt kapjuk, hogy y = 15 30, amiből a visszahelyettesítés után adódik, hogy x = 11 11. Ezek alapján az e egyenesre illeszkedő P pont: P ( 30 11 ; 15 11 ). 11. Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a P (1; 3) és Q ( 5; 9) pontokra! Az egyenes egyenletéhez kell egy pontja és egy normálvektora (vagy irányvektora). Legyen az e egyenes egy pontja: P (1; 3). A PQ vektor illeszkedik az e egyenesre, így annak egy irányvektora: PQ ( 6; 6) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (6; 6) n e (1; 1). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x + y = 1 1 + 1 3 x + y = 4. 3

12. Határozd meg az a és a b paraméterek értékét, ha tudjuk, hogy a P (4; 6) és a Q ( 6; 21) pontok illeszkednek az ax + by = 4 egyenesre! Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük a pontok koordinátáit az egyenes egyenletébe: 4a + 6b = 4 6a + 21b = 4 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 1 2 és b = 1 3. 13. Írd fel a P (2; 5) ponton átmenő, az e: x 2y = 7 egyenesre merőleges, illetve párhuzamos f egyenes egyenletét! Az f egyenes egy pontja: P (2; 5). Merőleges f esetén az e egyenes normálvektora az f egyenes irányvektora: n e (1; 2) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (2; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 2x + y = 2 2 + 1 5 2x + y = 9. Párhuzamos f esetén az e egyenes normálvektora az f normálvektora: n e (1; 2) = n f. Ezek alapján az f egyenes egyenlete: x 2y = 1 2 + ( 2) 5 x 2y = 8. 14. Az e egyenes áthalad az A (4; 3) és B (x; 6) pontokon, továbbá merőleges az f: 4x y 3 = 0 egyenletű egyenesre. Számítsd ki a B pont első koordinátáját! Írjuk fel az e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: A (4; 3). Az f egyenes normálvektora az e egyenes egy irányvektora: n f (4; 1) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (1; 4). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x + 4y = 1 4 + 4 ( 3) x + 4y = 8. 4

Helyettesítsük a B pont y koordinátáját az e egyenes egyenletébe: x + 4 6 = 8. Ebből azt kapjuk, hogy x = 32, vagyis a B pont: B ( 32; 6). 15. Számítsd ki, hogy milyen helyzetűek egymáshoz viszonyítva a következő egyenesek! a) a: 2x + y = 5 és a b: 2x 2y = 6 b) c: 3x 5y = 1 és d: 3 x y = 4 5 c) e: 7x 2y = 4 és f: 14x 4y = 8 d) g: 6x y = 1 és h: x + y = 8 a) Az a egyenes normálvektora n a ( 2; 1), vagyis a meredeksége: m a = 2 = 2. 1 A b egyenes normálvektora n b ( 2; 2), vagyis a meredeksége: m b = 2 = 2. 2 2 Mivel m a m b = 2 2 2 = 1, így a két egyenes merőleges egymásra. b) A c egyenes normálvektora n c (3; 5), vagyis a meredeksége: m c = 3 = 3. 5 5 A d egyenes normálvektora n d ( 3 3 ; 1), vagyis a meredeksége: m 5 5 d = = 3. 1 5 Mivel m c = m d, így a két egyenes párhuzamos. c) Az e egyenes normálvektora n e (7; 2), vagyis a meredeksége: m e = 7 = 7. 2 2 Az f egyenes normálvektora n f (14; 4), vagyis a meredeksége: m f = 14 = 7. 4 2 Mivel m e = m f, s az f egyenlet az e kétszerese, így a két egyenes párhuzamos és egybeesik. d) A g egyenes normálvektora n g (6; 1), vagyis a meredeksége: m g = 6 = 6. 1 A h egyenes normálvektora n h ( 1; 1), vagyis a meredeksége: m h = 1 = 1. 1 Mivel m g m h és m g m h 1, így a két egyenes metsző, de nem merőleges. 5

16. Add meg az e: 3x y = 2 egyenesre merőleges, illetve azzal párhuzamos f egyenes iránytangensét (meredekségét)! Az e egyenes egy normálvektora n e (3; 1), amiből az iránytangense: m e = 3 = 3. 1 Ha a két egyenes merőleges, akkor felírhatjuk a következőt: m e = 1 m f, vagy m e m f = 1. Ezek alapján az f egyenes iránytangense: m f = 1 3. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor felírhatjuk a következőt: m e = m f. Ezek alapján az f egyenes iránytangense: m f = 3. 17. Az a paraméter mely értéke esetén lesznek az e: x + ay = 18 és az f: ax + 4y = 7 egyenletű egyenesek egymással párhuzamosak? Az e egyenes egy normálvektora n e (1; a), vagyis az iránytangense: m e = 1. a Az f egyenes egy normálvektora n f (a; 4), vagyis az iránytangense: m f = a. 4 Mivel a két egyenes párhuzamos, így felírhatjuk a következőt: 1 a = a 4. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 2 és a 2 = 2. 18. A p paraméter mely értéke esetén lesznek az e: px 2y = 5 és az f: px + 8y = 10 egyenletű egyenesek egymásra merőlegesek? Az e egyenes egy normálvektora n e (p; 2), vagyis az iránytangense: m e = p = p. 2 2 Az f egyenes egy normálvektora n f (p; 8), vagyis az iránytangense: m f = p. 8 Mivel a két egyenes merőleges, így felírhatjuk a következőt: p 2 ( p 8 ) = 1. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy p 1 = 4 és p 2 = 4. 6

19. Határozd meg, hogy az e: ax 2y = 1 és f: 6x 4y = b egyenesek az a és b milyen értéke esetén esnek egybe / párhuzamosak, de nem esnek egybe / metszik egymást! Két egyenes akkor esik egybe, ha az egyenletük egymásnak λ szorosa. Az y együtthatója alapján azt kapjuk, hogy λ = 4 = 2. Így adódik, hogy a = 6 = 3 és b = 1 2 = 2 esetén esnek 2 2 egybe az egyenesek. Két egyenes párhuzamos, ha normálvektoruk megegyezik, vagyis az egyenesek egyenletének bal oldala egymásnak λ - szorosa. Az előzőek alapján az a = 3, de a b értéke tetszőleges valós szám (b = 2 kivételével, mert akkor egybe esne a két egyenes). Két egyenes metsző, ha nem párhuzamosak, illetve nem is esnek egybe. Ezek alapján az a értéke tetszőleges valós szám (a = 3 kivételével, mert akkor párhuzamos a két egyenes), míg a b értéke ekkor már egy tetszőleges valós szám. 20. Írd fel a P (2; 11) ponton átmenő, az x tengellyel, illetve az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! Az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete: y = 11. Az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete: x = 2. 21. Határozd meg az a értékét úgy, hogy az e: (3a + 2) x + (1 4a) y = 8 és az f: (5a 2) x + (a + 4) y = 7 egyenesek merőlegesek / párhuzamosak legyenek! Az e egyenes normálvektora n e (3a + 2; 1 4a), amiből a meredeksége: m e = 3a + 2. 1 4a Az f egyenes normálvektora n f (5a 2; a + 4), amiből a meredeksége: m f = 5a 2. a + 4 A kifejezések értelmezési tartománya: 1 4a 0 és a + 4 0, vagyis a 1 és a 4. 4 Mivel a két egyenes merőleges, így felírhatjuk a következőt: ( 3a + 2 5a 2 ) ( ) = 1. 1 4a a + 4 Rendezés után a következő adódik: 11a 2 11a = 0. Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 0 és a 2 = 1, s megfelelnek a feltételnek. 7

Mivel a két egyenes párhuzamos, így felírhatjuk a következőt: 3a + 2 1 4a = 5a 2 a + 4. Rendezés után a következő adódik: 23a 2 + a + 10 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása. Ezek alapján nincs olyan a érték, melyre a két egyenes párhuzamos lenne egymással. 22. Az e egyenes egy irányvektora v e (1; 3) az f egyenes egy irányvektora v f ( 6; y). Számítsd ki y t, ha tudjuk, hogy e és f párhuzamosak, illetve merőlegesek! Ha a két egyenes párhuzamos, akkor felírhatjuk a következőt: v f = λ v e. A megfelelő koordináták segítségével számítsuk ki a λ értékét: λ 1 = 6 λ = 6. Ezek alapján a hiányzó koordináta értéke: y = ( 6) 3 = 18. Ha a két egyenes merőleges, akkor felírhatjuk a következőt: v e v f = 0. Írjuk fel a vektorok skaláris szorzatát a koordináták segítségével: 1 ( 6) + 3y = 0. Ezek alapján a hiányzó koordináta értéke: y = 2. 23. Számítsd ki az e: 2x + 3y = 1 és f: x 4y = 5 egyenesek metszéspontját! Írjuk fel a két egyenes egyenletét egyenletrendszerként: 2x + 3y = 1 x 4y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 1, vagyis a metszéspont: M ( 1; 1). 24. Számítsd ki a P (8; 5) pont távolságát az e: x + 2y = 8 egyenestől! Első módszer: Legyen az e egyenesre merőleges, P pontra illeszkedő egyenes f. 8

Írjuk fel az f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (8; 5). Az e egyenes egy normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e (1; 2) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (2; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 2x y = 2 8 + ( 1) 5 2x y = 11. Határozzuk meg az e és az fegyenes metszéspontját: x + 2y = 8 2x y = 11 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 6 és y = 1, vagyis a metszéspont koordinátái: M (6; 1). A keresett távolság a P és M pontok távolsága: PM = (6 8) 2 + (1 5) 2 = 20. Második módszer: Írjuk fel az e egyenes normálegyenletét: x + 2y 8 1 2 + 2 2 = 0. Ezek alapján a P pont és az e egyenes távolsága: d(p; e) = 8 + 2 5 8 1 2 + 2 2 = 10 5 = 20. 25. Számítsd ki az e: 3x + 2y = 12 és f: 3x + 2y = 6 egyenesek távolságát! Első módszer: Legyen az e és f egyenesre merőleges egyenes g, amely illeszkedik egy tetszőlegesen választott P pontra. Legyen a választott pont az origó. Írjuk fel a g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: P (0; 0). Az e egyenes normálvektora a g egyenes egy irányvektora: n e (3; 2) = v g. Az g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g (2; 3). Ezek alapján az g egyenes egyenlete: 2x 3y = 2 0 + ( 3) 0 2x 3y = 0. 9

Határozzuk meg az e és a g egyenes metszéspontját: 3x + 2y = 12 2x 3y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 36 13 és y = 24 13, vagyis a metszéspont: M 1 ( 36 13 ; 24 13 ). Határozzuk meg az f és a g egyenes metszéspontját: 3x + 2y = 6 2x 3y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 18 13 és y = 12 13, vagyis a metszéspont: M 2 ( 18 13 ; 12 13 ). A keresett távolság a két metszéspont távolsága: M 1 M 2 = ( 18 13 36 13 )2 + ( 12 13 24 13 )2 5. Második módszer: Legyen az f egyenes egy tetszőleges pontja: P ( 2; 0). Írjuk fel az e egyenes normálegyenletét: 3x + 2y 12 3 2 + 2 2 = 0. Ezek alapján a P pont és az e egyenes távolsága: d(p; e) = 3 ( 2) + 2 0 12 3 2 + 2 2 = 18 13 5. 26. Számítsd ki az e: 2x 3y = 6 és az f: 4x + y = 8 egyenesek hajlásszögét! Az e egyenes egy normálvektora n e (2; 3), amiből egy irányvektora: v e (3; 2). Az f egyenes egy normálvektora n f (4; 1), amiből egy irányvektora: v f (1; 4). Számítsuk ki a két irányvektor által bezárt szöget a skaláris szorzat segítségével: cos φ = 3 1 + 2 ( 4) 3 2 + 2 2 1 2 + ( 4) 2 = 5 13 17 φ 109,6 Ezek alapján az egyenesek hajlásszöge: 180 109,6 = 70,4. 10

27. Határozd meg az e: x + 3y = 20 egyenletű egyenesnek azt a pontját, amely egyenlő távolságra van az A ( 4; 5) és B (3; 2) pontoktól! A két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a szakasz felezőmerőlegese. Írjuk fel az f felezőmerőleges egyenletét: Az f egy pontja: F AB ( 1 2 ; 7 2 ). Az AB vektor az f egy normálvektora: AB (7; 3) = n f. Ezek alapján az f egyenlete: 7x 3y = 7 ( 1 2 ) 3 7 2 7x 3y = 14. A keresett pont illeszkedik az e és az f egyenesre is. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: x + 3y = 20 7x 3y = 14 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 7, vagyis a keresett pont: M (1; 7). 28. Egy egyenesre illeszkednek - e az A (7; 6), B (3; 4) és C(1; 9) pontok? Válasszunk ki tetszőlegesen két pontot, írjuk fel az ezeken átmenő egyenes egyenletét, majd vizsgáljuk meg, hogy erre illeszkedik - e a harmadik pont. Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: A (7; 6). Az AB vektor illeszkedik az e egyenesre, így annak egy irányvektora: AB ( 4; 10) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (10; 4) n e (5; 2). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 5x 2y = 5 7 + ( 2) 6 5y 2y = 23. A C pont koordinátáit helyettesítsük be az e egyenes egyenletébe: 5 1 2 ( 9) = 23. Mivel azonosságot kapunk, így a három pont egy egyenesre esik. 11

29. Három egyenes közül az első áthalad az origón és irányvektora v (1; 1), a második tengelymetszetei 3 és 6 (az egyenes áthalad a (3; 0) és a (0; 6) koordinátájú pontokon), a harmadik egyenesre illeszkednek a P ( 5 ; 1 ) és a Q ( 1; 1) 2 2 koordinátájú pontok. Van e közös pontja a három egyenesnek? Határozzuk meg tetszőlegesen választott két egyenes metszéspontját, s vizsgáljuk meg ez illeszkedik e a harmadik egyenesre. Írjuk fel az első e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: P (0; 0). Az e egyenes egy irányvektora: v e (1; 1). Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (1; 1). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x y = 0. Írjuk fel a második f egyenes egyenletét: Az f egyenes tengelymetszetes alakja: x + y = 1 2x + y = 6. 3 6 Írjuk fel a harmadik g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: Q ( 1; 1). A PQ vektor a g egyenes egy irányvektora: v g ( 3 ; 1 ). 2 2 A g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g ( 1 ; 3 ) n 2 2 g (1; 3). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x 3y = 1 ( 1) + ( 3) 1 x 3y = 4. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: x y = 0 2x + y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 2, vagyis a metszéspont: M (2; 2). Helyettesítsük az M pont koordinátáit a g egyenes egyenletébe: 2 3 2 = 4. Mivel azonosságot kapunk, így az M (2; 2) pont illeszkedik mindhárom egyenesre. 12

30. Hogyan kell az m paraméter értékét megválasztani, hogy az e: mx y + 4 = 0 egyenletű egyenes áthaladjon az f: 2x y + 1 = 0 és a g: x y + 5 = 0 egyenletű egyenesek metszéspontján? Határozzuk meg az f és a g egyenes metszéspontját: 2x y = 1 x y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 és y = 9, vagyis a metszéspont: M (4; 9). Helyettesítsük az M pont koordinátáit az e egyenes egyenletébe: 4m 9 + 4 = 0. Ezek alapján a megoldás: m = 5 4. 31. Add meg a P (3; 1) és Q ( 6; 5) ponton átmenő e egyenes, illetve a 2 meredekségű az y tengelyt 1 pontban metsző f egyenes iránytényezős alakját! Ábrázold közös koordináta rendszerben a grafikonjaikat! Írjuk fel az adott paraméterek alapján az f egyenes iránytényezős egyenletét: y = 2x 1. Az e egyenes esetében helyettesítsük az adott pontok koordinátáit az iránytényezős alakba: 1 = 3m + b 5 = 6m + b } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy m = 2 és b = 1. 3 Ezek alapján az e egyenes egyenlete: y = 2 x + 1. 3 13

32. Tükrözzük a P (3; 2) pontot az e: x + y + 8 = 0 egyenletű egyenesre. Számítsd ki a tükörkép koordinátáit! Rendezzük át az e egyenes egyenletét: x + y = 8. Írjuk fel a P ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (3; 2). Az e egyenes normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e (1; 1) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (1; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: x y = 1 3 + ( 1) 2 x y = 1. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x + y = 8 x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 7 2 és y = 9 2, vagyis a metszéspont: M ( 7 2 ; 9 2 ). Az M pont a PP szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a P koordinátáit: P ( 10; 11). 33. Add meg az A (1; 8) ponton átmenő e egyenes egyenletét, amely egyenlő távolságra van a P ( 3; 5) és Q (9; 1) pontoktól. Mennyi megoldás van? A feladatnak két megoldása van. Az első párhuzamos a P és Q pontokra illeszkedő egyenessel, a második pedig áthalad a PQ szakasz felezőpontján. Írjuk fel az első e 1 egyenes egyenletét: Az e 1 egyenes egy pontja: A (1; 8). A PQ vektor az e 1 egyenes egy irányvektora: PQ (12; 6) = v e. Az e 1 egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e1 (6; 12) n e1 (1; 2). Ezek alapján az e 1 egyenes egyenlete: x + 2y = 1 1 + 2 8 x + 2y = 17. 14

Írjuk fel a második e 2 egyenes egyenletét: Az e 2 egyenes egy pontja: F PQ (3; 2). Az AF vektor az e 2 egyenes egy irányvektora: AF (2; 6) = v f. Az e 2 egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e2 (6; 2) n e2 (3; 1). Ezek alapján az e 2 egyenes egyenlete: 3x + y = 3 3 + 1 2 3x + y = 11. 34. Milyen hosszúságú az e: y = 8 x 16 egyenletű egyenesnek az f: y = 2 x + 2 és a 3 3 g: y = 2 x 4 egyenletű egyenesek közé eső szakasza? 3 Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: y = 8 x 16 3 y = 2 x + 2 } 3 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 9 és y = 8, vagyis a metszéspont: M 1 (9; 8). Határozzuk meg az e és a g egyenes metszéspontját: y = 8 x 16 3 y = 2 x 4 } 3 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 6 és y = 0, vagyis a metszéspont: M 2 (6; 0). Ezek alapján a keresett szakasz hossza: M 1 M 2 = (6 9) 2 + (0 8) 2 = 73. 35. Adott az A (2; 9) és a B ( 3; 8) pont. Hol vannak azok a P (x; y) pontok a síkban, amelyekre teljesül az AP 2 BP 2 = 10 összefüggés? Írjuk fel az összefüggésnek megfelelő egyenletet: ( (x 2) 2 + (y 9) 2 ) 2 ( (x + 3) 2 + (y 8) 2 ) 2 = 10 Ezek alapján a megoldás egy egyenes, melynek egyenlete: 5x + y = 1. 15

36. Az e: y = x + 6 egyenletű egyenes melyik pontja van egyenlő távolságra az f: 3x 4y = 12 és a g: 3x 4y = 8 egyenletű egyenesektől? Az adott f és g egyenesek párhuzamosak, így a keresett pont illeszkedik a középpárhuzamosra. A két egyenes k középpárhuzamosának egyenlete: 3x 4y = 2. Határozzuk meg az e egyenes és a k középpárhuzamos metszéspontját: y = x + 6 3x 4y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 22 7 20 és y =, vagyis a keresett pont: P (22 ; 20 ). 7 7 7 37. Az a mely értékére metszi egymást az e: ax y = 2 és az f: x ay = 3a 1 egyenletű egyenes az g: y = 2x egyenesen? Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját az a paraméter segítségével: ax y = 2 x ay = 3a 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5a + 1 és y = 3a2 + a + 2, ahol a ±1. a 2 1 a 2 1 Mivel a keresett metszéspont illeszkedik a harmadik egyenesre, így felírhatjuk a következőt: 3a 2 + a + 2 a 2 1 = 2 5a + 1 a 2 1. Rendezés után a következő adódik: 3a 2 9a = 0. Az egyenlet megoldása a 1 = 0 és a 2 = 3, s megfelelnek a feltételnek. 38. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (3; 4) ponton és a koordinátatengelyekből egyenlő szakaszokat vág le! A feladatnak három megoldása lehetséges, a meredekségtől függően. Ha m = 1, akkor az egyenes iránytangenses egyenlete: y 4 = x 3 x y = 1 16

Ha m = 1, akkor az egyenes iránytangenses egyenlete: y 4 = (x 3) x + y = 7 Ha átmegy az origón, akkor m = 4, vagyis az egyenlete: y 4 = 4 (x 3) 4x 3y = 0 3 3 39. Írd fel azoknak az egyeneseknek az egyenletét, amelyek párhuzamosak az e: 2x 3y = 0 egyenletű egyenessel, és attól mért távolságuk 3 egység! Írjuk fel az e egyenes iránytényezős egyenletét: y = 2 3 x. Tekintsük a következő ábrát: A két háromszög egybevágó, így pitagorasz tétel segítségével számítsuk ki a b értékét: 2 2 + 3 2 = b 2 b = ± 13. Ezek alapján a két párhuzamos egyenes egyenlete: y = 2 x + 13 és y = 2 x 13. 3 3 40. Határozd meg annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (5; 1) ponton és a P pont felezi az egyenesnek az f: x + 3y = 6 és a g: 2x y = 3 egyenletű egyenesek közé eső szakaszát! Legyen az e és f egyenesek metszéspontja M 1 (x 1 ; y 1 ), az e és g egyeneseké pedig M 2 (x 2 ; y 2 ). 17

Az adatok segítségével írjuk fel a következő egyenletrendszert: x 1 + 3y 1 = 6 2x 2 y 2 = 3 x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 = 5 = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 9; x 2 = 1; y 1 = 1 és y 2 = 1. Ezek alapján az egyenes illeszkedik az M 1 (9; 1) és M 2 (1; 1) pontokra, vagyis az egyenlete: y = 1. 41. Adott az A (4; 6) és a B (6; 2) pont. Keresd meg az ordinátatengelynek azt a P pontját, melyre az APB töröttvonal hossza a lehető legrövidebb lesz! A feladathoz használjuk fel a tengelyes tükrözés távolságtartó tulajdonságát, továbbá azt, hogy két pont között a legrövidebb út az egyenes. Tükrözzük a B (6; 2) pontot az y tengelyre: B ( 6; 2). Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: A (4; 6). Az AB vektor az e egyenes egy irányvektora: AB ( 10; 8) = ve v e (5; 4). Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (4; 5). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 4x 5y = 4 4 5 6 4x 5y = 14. Határozzuk meg az e egyenes és az y tengely metszéspontját: 4x 5y = 14 } x = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 0 és y = 14 14, vagyis a keresett pont: P (0; ). 5 5 18

42. Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (3; 5) ponton és a tengelyek közé eső szakaszát a P pont felezi! Mennyi a P ponton átmenő egyenesek által a koordinátatengelyekkel bezárt területek minimális értéke? A feladathoz használjuk fel, hogy a háromszög középvonala párhuzamos a szemben fekvő oldallal és hossza annak a fele. Mivel a P pont az átfogó felezőpontja, így a befogók felezőpontja: F 1 (3; 0) és F 2 (0; 5). Az egyenes a tengelyekkel egy derékszögű háromszöget határoz meg, amely átfogóval szembeni csúcsa éppen az origó: C (0; 0). A felezőpontok segítségével számítsuk ki a hiányzó csúcsok koordinátáit: A (6; 0) és B (0; 10). Ezek alapján az e egyenes tengelymetszetes alakja: x 6 + y 10 = 1. Mivel a minimális területű derékszögű háromszög éppen a feladatnak megfelelő egyenessel keletkezik, így a háromszög területe: T = 6 10 = 30. 2 43. Egy egyenes egyenlete e: 2y x = 1. Az egyenesre nem illeszkedő két pont koordinátái: P (1; 4) és Q (5; 5). Keress az egyenesen olyan S pontot, hogy a PS egyenes ugyanakkora szöget zárjon be az adott egyenessel, mint a QS egyenes, de PS nem párhuzamos QS sel! Melyek az S pont koordinátái? A feladathoz használjuk fel a tengelyes tükrözés távolságtartó és szögtartó tulajdonságát. Tükrözzük a P pontot az e egyenesre. Írjuk fel a P ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (1; 4). Az e egyenes normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e ( 1; 2) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (2; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 2x + y = 2 1 + 1 4 2x + y = 6. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: 2y x = 1 2x + y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 11 és y = 8, vagyis a metszéspont: M (11 ; 8 ). 5 5 5 5 19

Az M pont a PP szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a P koordinátáit: P ( 17 5 ; 4 5 ). Írjuk fel a Q és P pontra illeszkedő g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: Q (5; 5). A QP vektor a g egyenes egy irányvektora: QP 8 ( ; 29 ) = v 5 5 g v g (8; 29). A g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g (29; 8). Ezek alapján a g egyenes egyenlete: 29x 8y = 29 5 8 5 29x 8y = 105 Határozzuk meg az e és a g egyenes metszéspontját: 2y x = 1 29x 8y = 105 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 109 25 67 és y =, vagyis a keresett pont: S (109 ; 67 ). 25 25 25 44. Egy beeső fénysugár átmegy a P (3; 4) ponton és visszaverődik az e: 2x + y = 2 egyenesen. A visszaverődés után átmegy a Q (5; 2) ponton. Írd fel a visszaverődő fénysugár egyenletét! A feladathoz használjuk fel, hogy a visszavert fénysugár illeszkedik a P Q egyenesre. Tükrözzük a P pontot az e egyenesre. Írjuk fel a P ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (3; 4). Az e egyenes normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e (2; 1) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (1; 2). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: x 2y = 1 3 + ( 2) 4 x 2y = 5. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: 2x + y = 2 x 2y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 5 és y = 12 5, vagyis a metszéspont: M ( 1 5 ; 12 5 ). 20

Az M pont a PP szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a P koordinátáit: P ( 17 5 ; 4 5 ). Írjuk fel a Q és P pontonokra illeszkedő g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: Q (5; 2). A QP vektor a g egyenes egy irányvektora: QP 42 ( ; 6 ) = v 5 5 g v g (7; 1). A g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g (1; 7). Ezek alapján a g egyenes egyenlete: x 7y = 1 5 7 2 x 7y = 9 45. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ( 4; 3) ponton és a koordinátatengelyekkel 25 egységnyi területű háromszöget zár be! Legyenek a keresett egyenes tengelymetszetei az A (a; 0) és B (0; b) pontok. Az egyenes a tengelyekkel egy derékszögű háromszöget határoz meg, amelynek befogói a és b hosszúságúak (a, b 0). Az adatok segítségével írjuk fel a következő egyenletrendszert: 4 a + 3 b = 1 a b 2 = 25 } Ezt megoldva a következő számpárok adódnak: (20; 5 10 20 ), ( ; 15), ( 10; 5), ( ; 15 ). 2 3 3 2 Ezek alapján a következő négy egyenes a megoldás: x + y 5 20 2 = 1 x 10 + y = 1 15 3 x 10 + y 5 = 1 x 20 + y 15 = 1 3 2 46. Egy háromszög oldalegyenesei a: y = 1, b: x + y = 6 és c: 5x + 3y = 15. Számítsd ki a háromszög csúcsainak koordinátáit! A háromszög csúcsainak koordinátáit megkapjuk a megfelelő oldalak metszéspontjaként. 21

Határozzuk meg a b és a c egyenes metszéspontját: x + y = 6 5x + 3y = 15 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 8 és y = 45 8, vagyis a metszéspont: A (3 8 ; 45 8 ). Határozzuk meg az a és a c egyenes metszéspontját: y = 1 5x + 3y = 15 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 12 5 és y = 1, vagyis a metszéspont: B ( 12 5 ; 1). Határozzuk meg az a és a b egyenes metszéspontját: y = 1 x + y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 és y = 1, vagyis a metszéspont: C (5; 1). 47. Határozd meg a háromszög m a magasság talppontjának koordinátáit, ha csúcsai: A ( 2; 0); B (4; 0); C (0; 4)! Írjuk fel az a oldal egyenes egyenletét: Az a oldal egyenes egy pontja: B (4; 0). A BC vektor az a oldal egyenes egy irányvektora: BC ( 4; 4) = v a v a ( 1; 1) Az a oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (1; 1). Ezek alapján az a oldal egyenes egyenlete: x + y = 1 4 + 1 0 x + y = 4 Írjuk fel az m a magasságvonal egyenletét: Az m a magasságvonal egy pontja: A ( 2; 0). A BC vektor az m a magasságvonal egy normálvektora: BC ( 4; 4) = n ma n ma (1; 1) Ezek alapján az m a magasságvonal egyenlete: x y = 1 ( 2) + 1 0 x y = 2 22

Határozzuk meg az a és az m a egyenes metszéspontját: x + y = 4 x y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 3, vagyis a keresett pont: M a (1; 3). 48. Bizonyítsd be, hogy az A ( 3; 0), B (5; 0) és C (3; 6) csúcsokkal megadott háromszög súlypontja, a körülírt kör középpontja és a magasságpontja egy egyenesen, az úgynevezett Euler - féle egyenesen van! Írjuk fel az m a magasságvonal egyenletét: Az m a magasságvonal egy pontja: A ( 3; 0). A BC vektor az m a magasságvonal egy normálvektora: BC ( 2; 6) = n ma. Ezek alapján az m a magasságvonal egyenlete: 2x + 6y = 6 x 3y = 3. Írjuk fel az m c magasságvonal egyenletét: Az m c magasságvonal egy pontja: C (3; 6). Az AB vektor az m c magasságvonal egy normálvektora: AB (8; 0) = n mc. Ezek alapján az m c magasságvonal egyenlete: 8x = 24 x = 3. Határozzuk meg az m a és az m c magasságvonalak metszéspontját: x 3y = 3 } x = 3 Ezt megoldva azt kapjuk, hogyx = 3 és y = 2, vagyis a magasságpont koordinátái: M (3; 2). Írjuk fel az AB oldal f c felezőmerőlegesének egyenletét: Az AB oldal felezőmerőlegesének egy pontja: F AB (1; 0). Az AB vektor az AB oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora: AB (8; 0) = n fc. Ezek alapján az AB oldal felezőmerőlegesének egyenlete: 8x = 8 x = 1. 23

Írjuk fel a BC oldal f a felezőmerőlegesének egyenletét: A BC oldal felezőmerőlegesének egy pontja: F BC (4; 3). A BC vektor a BC oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora: BC ( 2; 6) = n fa. Ezek alapján a BC oldal felezőmerőlegesének egyenlete: 2x + 6y = 10 x 3y = 5. Határozzuk meg az f a és az f c felezőmerőlegesek metszéspontját: x 3y = 5 } x = 1 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 2, vagyis a köré írható kör középpontja: K (1; 2). Írjuk fel az s b súlyvonal egyenletét: Az s b súlyvonal egy pontja: F AC (0; 3). Az FB vektor az s b súlyvonal egy irányvektora: FB (5; 3) = v sb. Az s b súlyvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n sb (3; 5). Ezek alapján az s b súlyvonal egyenlete: 3x + 5y = 15. Írjuk fel az s c súlyvonal egyenletét: Az s c súlyvonal egy pontja: F AB (1; 0). Az FC vektor az s c súlyvonal egy irányvektora: FC (2; 6) = v sc. Az s c súlyvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n sc (6; 2). Ezek alapján az s c súlyvonal egyenlete: 6x 2y = 6 3x y = 3. Határozzuk meg az s b és s c súlyvonalak metszéspontját: 3x + 5y = 15 3x y = 3 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 3 és y = 2, vagyis a súlypont koordinátái: S (5 3 ; 2). 24

Írjuk fel a K és M pontra illeszkedő e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: K (1; 2). A KM vektor az e egyenes egy irányvektora: KM ( 2; 0) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (0; 2). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 2y = 4 y = 2. Mivel a K és M pontra illeszkedő egyenes egyenletébe behelyettesítve az S pont koordinátáit 2 = 2 azonosságot kapunk, így a három pont egy egyenesre illeszkedik. 49. Az ABC háromszögben az AC oldal egyenes egyenlete b: 7x + 5y = 54, az A csúcsból kiinduló súlyvonal egyenlete 6x + y = 20, a C csúcsból kiinduló súlyvonal egyenlete 9x + 13y = 30. Számítsd ki a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátáit! Határozzuk meg a b egyenes és az s a súlyvonal metszéspontját: 7x + 5y = 54 6x + y = 20 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 8, vagyis a metszéspont: A (2; 8). Határozzuk meg a b egyenes és az s c súlyvonal metszéspontját: 9x + 13y = 30 7x + 5y = 54 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 12 és y = 6, vagyis a metszéspont: C (12; 6). Határozzuk meg az s a és az s c súlyvonalak metszéspontját: 9x + 13y = 30 6x + y = 20 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 10 3 és y = 0, vagyis a súlypont koordinátái: S (10 3 ; 0). Az S súlypont segítségével számítsuk ki a B csúcs koordinátáit: B ( 4; 2). 25

50. Írd fel az A ( 4; 2), B(12; 8) és a C (6; 4) koordinátájú pontoktól egyenlő távol haladó egyenesek egyenletét! A három ponttól egyenlő távolságra haladó egyenesek éppen a háromszög középvonalai. Írjuk fel először az F AB (4; 3) és F BC (9; 2) pontokra illeszkedő k 1 középvonal egyenletét: A k 1 középvonal egy pontja: F AB (4; 3). Az F AB BC vektor a k 1 középvonal egy irányvektora: F AB BC (5; 1) = v k1. A k 1 középvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n k1 (1; 5). Ezek alapján az k 1 középvonal egyenlete: x 5y = 1 4 5 ( 3) x 5y = 19 Írjuk fel most az F AB és F AC pontokra illeszkedő k 2 középvonal egyenletét: A k 2 középvonal egy pontja: F AB (4; 3). A BC vektor a k 2 középvonal egy irányvektora: BC ( 6; 12) = v k2. A k 2 középvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n k2 (12; 6) n k2 (2; 1). Ezek alapján az k 2 középvonal egyenlete: 2x + y = 2 4 + 1 ( 3) 2x + y = 5 Írjuk fel végül a F AC és F BC pontokra illeszkedő k 3 középvonal egyenletét: A k 3 középvonal egy pontja: F BC (9; 2). Az AB vektor a k 3 középvonal egy irányvektora: AB (16; 10) = v k3. A k 3 középvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n k3 (10; 16) n k3 (5; 8). Ezek alapján az k 3 középvonal egyenlete: 5x + 8y = 5 9 + 8 ( 2) 5x + 8y = 29 51. Számítsd ki annak a háromszögnek a területét, amelyet az e: 4x + 3y = 24 egyenletű egyenes zár be a koordináta rendszer tengelyeivel! Írjuk fel az e egyenes tengelymetszetes alakját: x 6 + y 8 = 1. 26

Ebből adódik, hogy az x - tengelyt a P (6; 0), az y - tengelyt pedig a Q (0; 8) pontban metszi. A háromszög harmadik csúcsa az origó R (0; 0) pont. Számítsuk ki a befogók hosszát: RP = (6 0) 2 + (0 0) 2 = 36 = 6 RQ = (0 0) 2 + (8 0) 2 = 64 = 8 Ezek alapján a derékszögű háromszög területe: T = 6 8 2 = 24. 52. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha a csúcspontjainak koordinátái: A ( 1; 1), B (1; 5) és C (7; 2)! Számítsuk ki a c oldal és az m c magasság hosszát, s így megkapjuk a háromszög területét. A c oldal hossza megegyezik az AB szakasz hosszával: c = AB = (1 ( 1)) 2 + (5 ( 1)) 2 = 40. Írjuk fel az m c magasságvonal egyenletét: Az m c magasságvonal egy pontja: C (7; 2). Az AB vektor a magasságvonal egy normálvektora: AB (2; 6) = n mc n mc (1; 3). Ezek alapján az m c magasságvonal egyenlete: x + 3y = 1 7 + 3 ( 2) x + 3y = 1. Írjuk fel a c egyenes egyenletét: A c egyenes egy pontja: A ( 1; 1). Az AB vektor a c egyenes egy irányvektora: AB (2; 6) = v c. Az c egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (6; 2) n c (3; 1). Ezek alapján a c egyenes egyenlete: 3x y = 3 ( 1) + ( 1) ( 1) 3x y = 2. 27

Határozzuk meg a c egyenes és az m c magasságvonal metszéspontját: 3x y = 2 x + 3y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 2 éy = 1 2, vagyis a magasság talppontja: M c ( 1 2 ; 1 2 ). Az m c magasság hossza megegyezik az CM c szakasz hosszával: m c = CM = ( 1 2 7)2 + ( 1 2 + 2)2 = 250 4. Ezek alapján a háromszög területe: T = c m c 2 = 40 250 4 2 = 25. 53. Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái A ( 6; 2) és B (2; 2). A magasságpontja M (1; 2). Számítsd ki a harmadik csúcspont koordinátáit! Írjuk fel az m c magasságvonal egyenletét: Az m c magasságvonal egy pontja: M (1; 2). Az AB vektor az m c magasságvonal egy normálvektora: AB (8; 4) = n mc. Ezek alapján az m c magasságvonal egyenlete: 8x 4y = 0 2x y = 0. Írjuk fel a b oldal egyenes egyenletét: A b oldal egyenes egy pontja: A ( 6; 2). Az MB vektor a b oldal egyenes egy normálvektora: MB (1; 4) = n b. Ezek alapján a b oldal egyenes egyenlete: x 4y = 1 ( 6) 4 2 x 4y = 14 Határozzuk meg az m c magasságvonal és a b oldal egyenes metszéspontját: 2x y = 0 x 4y = 14 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 4, vagyis a harmadik csúcs: C (2; 4). 28

54. Az ABC háromszög AB oldal egyenesének egyenlete c: 2x 3y 9 = 0. Az A és a B csúcsok abszcisszái 3, illetve 9. A súlypont koordinátái: S (5; 4). Írd fel az AC és a BC oldal egyenesének egyenletét! Számítsd ki a háromszög kerületét és a szögeit! Az A és B csúcsok koordinátákkal felírva: A (3; y) és B (9; y). Mivel az A és B csúcsok illeszkednek a c oldal egyenesre, így helyettesítsük be a koordinátákat az egyenes egyenletébe. Az A csúcs esetén: 2 3 3y 9 = 0 y = 1 A (3; 1) A B csúcs esetén: 2 9 3y 9 = 0 y = 3 B (9; 3) Számítsuk ki a súlypont segítségével C csúcs koordinátáit: C (3; 10). Számítsuk ki az oldalak hosszát: a = BC = (3 9) 2 + (10 3) 2 = 85 b = AC = (3 3) 2 + (10 ( 8)) 2 = 121 = 11 c = AB = (9 3) 2 + (3 ( 1)) 2 = 52 Ezek alapján a háromszög kerülete: K = 85 + 11 + 52 27,4. Számítsuk ki a C csúcsnál levő γ szöget a CA (0; 11) és CB (6; 7) skaláris szorzatával: cos γ = 0 6 + ( 11) ( 7) 0 2 +( 11) 2 6 2 +( 7) 2 γ 40,6. Számítsuk ki a B csúcsnál levő β szöget a BC ( 6; 7) és BA ( 6; 4) skaláris szorzatával: cos β = ( 6) ( 6) + 7 ( 4) ( 6) 2 +7 2 ( 6) 2 +( 4) 2 β 83,1. Ezek alapján az A csúcsnál levő α szög nagysága: α = 180 40,6 83,1 = 56,3. 29

Írjuk fel az BC oldal egyenes egyenletét: Az a oldal egyenes egy pontja: C (3; 10). A BC vektor az a egyenes egy irányvektora: BC ( 6; 7) = v a. Az a egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (7; 6). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: 7x + 6y = 7 3 + 6 10 7x + 6y = 81. Írjuk fel a AC oldal egyenes egyenletét: A b oldal egyenes egy pontja: A (3; 1). Az AC vektor a b egyenes egy irányvektora: AC (0; 11) = v b. A b egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n b (11; 0) n b (1; 0). Ezek alapján az AC oldal egyenes egyenlete: x = 3. 55. Az ABC háromszögben az AB oldal egyenes egyenlete c: 3x 2y + 1 = 0, az AC oldal egyenes egyenlete b: x y + 1 = 0, a C csúcsból induló súlyvonal egyenlete 2x y 1 = 0. Írd fel a BC oldal egyenes egyenletét! Határozzuk meg a c és a b oldal egyenes metszéspontját: 3x 2y = 1 x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 2, vagyis a metszéspont: A (1; 2). Határozzuk meg a b oldal egyenes és az s c súlyvonal metszéspontját: x y = 1 2x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 3, vagyis a metszéspont: C (2; 3). Határozzuk meg a c oldal egyenes és az s c súlyvonal metszéspontját: 3x 2y = 1 2x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 5, vagyis a metszéspont: F AB (3; 5). 30

Számítsuk ki a felezőpont segítségével a B csúcs koordinátáit: B (5; 8). Írjuk fel a BC oldal egyenes egyenletét: Az a oldal egyenes egy pontja: C (2; 3). A BC vektor az a oldal egyenes egy irányvektora: BC ( 3; 5) = v a. Az a oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (5; 3). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: 5x 3y = 5 2 + ( 3) 3 5x 3y = 1. 56. Egy háromszög egyik csúcsa A ( 3; 1). A C csúcsból induló magasságvonal egyenlete m: 2x + y = 3, és az ugyanonnan induló súlyvonal egyenlete s: x y = 1. Számítsd ki a két hiányzó csúcspont koordinátáit! Határozzuk meg az m magasságvonal és az s súlyvonal metszéspontját: 2x + y = 3 x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 3 és y = 1 3, vagyis a metszéspont: C (4 3 ; 1 3 ). Írjuk fel az m magasságra merőleges c oldal egyenes egyenletét. A c egyenes egy pontja: A ( 3; 1). Az m egyenes normálvektora a c egyenes egy irányvektora: n m (2; 1) = v c. A c egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (1; 2). Ezek alapján a c egyenes egyenlete: x 2y = 1 ( 3) 2 ( 1) x 2y = 1 Határozzuk meg az s súlyvonal és a c oldal egyenes metszéspontját: x y = 1 x 2y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 2, vagyis a metszéspont: F AB (3; 2). Számítsuk ki a felezőpont segítségével a B csúcs koordinátáit: B (9; 5). 31

57. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának végpontjai A ( 2; 1) és B (4; 3). Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit, ha illeszkedik az e: 3x 2y = 10 egyenesre! Számítsuk ki az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit: F AB (1; 2). Írjuk fel az AB oldal f felezőmerőlegesének egyenletét: Az f egyenes egy pontja: F AB (1; 2). Az AB vektor az f egyenes egy normálvektora: AB (6; 2) = n f. Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 6x + 2y = 6 1 + 2 2 3x + y = 5 Határozzuk meg az f felezőmerőleges és az e egyenes metszéspontját: 3x 2y = 10 3x + y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 0 és y = 5, vagyis a keresett csúcs: C (0; 5). 58. Egy derékszögű háromszög két csúcspontja A ( 1; 1) és B (7; 1). Az egyik befogó egyenlete b: x 2y = 3. Számítsd ki a harmadik csúcspont koordinátáit! A pontok koordinátáinak behelyettesítésével azt kapjuk, hogy az A csúcs illeszkedik a befogóra. Írjuk fel a másik befogóra illeszkedő a oldal egyenes egyenletét: Az a egyenes egy pontja: B (7; 1). A b egyenes normálvektora az a egyenes egy irányvektora: n b (1; 2) = v a. Az a egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (2; 1). Ezek alapján az a oldal egyenes egyenlete: 2x + y = 2 7 + 1 ( 1) 2x + y = 13 Határozzuk meg az a és a b oldal egyenes metszéspontját: 2x + y = 13 x 2y = 3 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 23 5 19 és y =, vagyis a keresett csúcs: C (23 ; 19 ). 5 5 5 32

59. Egy egyenlőszárú háromszög szárszögének felezője a f: 2x + 3y = 7 egyenes, a szárak közös csúcsának, A nak az abszcisszája 1, az alapon fekvő egyik csúcs a B (2; 1) pont. Mi az AC oldal egyenlete? Mivel az A csúcs illeszkedik a szögfelezőre, így számítsuk ki koordinátáit: A (1; 3). Írjuk fel a c oldal egyenes egyenletét: A c egyenes egy pontja: B (2; 1). Az f egyenes normálvektora a c egyenes egy irányvektora: n f (2; 3) = v c. Az c egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (3; 2). Ezek alapján az AB oldal egyenes egyenlete: 3x 2y = 3 2 2 1 3x 2y = 4 Határozzuk meg a c oldal egyenes és az f szögfelező metszéspontját: 3x 2y = 4 2x + 3y = 7 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 13 és y = 29 13, vagyis a metszéspont: F BC ( 2 13 ; 29 13 ). Számítsuk ki a felezőpont segítségével a C csúcs koordinátáit: C ( 30 13 ; 71 13 ). Írjuk fel az AC oldal egyenes egyenletét: A b egyenes egy pontja: A (1; 3). Az AC vektor a b egyenes egy irányvektora: AC ( 43 ; 32 ) = v 13 13 b. v b (43; 32) A b egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n b (32; 43). Ezek alapján az AC oldal egyenes egyenlete: 32x 43y = 161. 60. Az ABC háromszög AB vel párhuzamos középvonala k: x 2y + 6 = 0, a háromszög súlypontja S (3; 2), egyik csúcsa C ( 1; 10) és egy további csúcs az x tengelyen van. Mik az A és B koordinátái? Legyen a háromszög x tengelyen levő csúcsa: B (x; 0). 33

Mivel a súlypont a háromszög csúcsától távolabbi harmadolópontja, így számítsuk ki az AB oldal felező pontjának koordinátáit: F AB (5; 2). Írjuk fel a k középvonallal párhuzamos c oldal egyenes egyenletét. A c egyenes egy pontja: F AB (5; 2). A k egyenes normálvektora a c egyenes egy normálvektora: n k (1; 2) = n c. Ezek alapján a c egyenes egyenlete: x 2y = 1 5 2 ( 2) x 2y = 9 Számítsuk ki az illeszkedés segítségével a B csúcs hiányzó koordinátáját: B (9; 0). Számítsuk ki az F AB felezőpont segítségével a hiányzó csúcs koordinátáit: A (1; 4). 61. Egy háromszög két csúcsa A (2; 5) és B (8; 2), egyik szögfelezője az s: y = x egyenletű egyenes. Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáját! Az adott pontok koordinátáit behelyettesítve azt kapjuk, hogy nem illeszkednek a szögfelezőre. A feladathoz azt használjuk fel, hogy az adott csúcsot tükrözve a szögfelezőre, a képpont illeszkedik a háromszög harmadik oldalára. Számítsuk ki az A pont s egyenesre vonatkozó tükörképének a koordinátáit: A (5; 2). Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő a oldal egyenes egyenletét: Az a egyenes egy pontja: B (8; 2). Az A B vektor az a egyenes egy irányvektora: A B (3; 0) = va. Az a egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (0; 3). Ezek alapján az a egyenes egyenlete: 3y = 6. Határozzuk meg az s szögfelező és az a oldal egyenes metszéspontját: x = y 3y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 2, vagyis a keresett csúcs: C (2; 2). 34

62. Egy háromszög két csúcspontja A (3; 2) és B (5; 3). A harmadik csúcsnál levő szöget az abszcisszatengely felezi. Határozd meg a harmadik csúcspont koordinátáit! Legyen a háromszög x tengelyen levő csúcsa: C (x; 0). Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő c oldal egyenes egyenletét: A c oldal egyenes egy pontja: A (3; 2). Az AB vektor az c oldal egyenes egy irányvektora: AB (2; 5) = v c. A c oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (5; 2). Ezek alapján a c egyenes egyenlete: 5x + 2y = 5 3 + 2 2 5x + 2y = 19 Határozzuk meg a c oldal egyenes és az x tengely metszéspontját: 5x + 2y = 19 } y = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 19 5 és y = 0, vagyis a metszéspont: M (19 5 ; 0). A szögfelező tétel segítségével írjuk fel a következő aránypárt: CA = MA CB MB (3 x) 2 +(2 0) 2 = 19 (3 5 )2 +(2 0) 2 (5 x) 2 +( 3 0) 2 (5 19 5 )2 +( 3 0) 2 Rendezés után azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 1 és x 2 = 3,8. Mivel az x 2 = 3,8 esetén nem kapunk háromszöget, így a keresett csúcs: C ( 1; 0). 63. Egy háromszög két oldalegyenesének egyenlete a: 5x + 4y 11 = 0 és b: x 2y + 9 = 0. Súlypontjának koordinátái S ( 1; 5 ). Írd fel a háromszög 3 csúcsainak koordinátáit! Határozzuk meg az a és a b oldal egyenes metszéspontját: 5x + 4y 11 = 0 x 2y + 9 = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 4, vagyis a metszéspont: C ( 1; 4). 35

Legyenek a háromszög további keresett csúcsai: A (a 1 ; a 2 ) és B (b 1 ; b 2 ). Az adatok segítségével írjuk fel a következő egyenletrendszert: 5a 1 + 4a 2 11 = 0 b 1 2b 2 + 9 = 0 a 1 +b 1 +( 1) 3 a 2 +b 2 +4 3 = 1 = 5 3 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 5; a 2 = 2; b 1 = 3 és b 2 = 1. Ezek alapján a keresett csúcsok koordinátái: A ( 5; 2) és B (3; 1). 64. Adott az e: x y + 8 = 0 és az f: x + 2y = 6 egyenletű egyenes. Számítsd ki a két egyenes metszéspontját, hajlásszögét és annak a síkidomnak a területét, amelyet a két egyenes a koordinátatengelyekkel bezár! Tekintsük a következő ábrát: Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: x y = 8 x + 2y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 10 3 14 10 és y =, vagyis a metszéspont: M ( ; 14 ). 3 3 3 36

Számítsuk ki a két egyenes hajlásszögét. Az e egyenes egy normálvektora n e (1; 1), az f egyenes egy normálvektora: n f (1; 2). Skaláris szorzat segítségével a vektorok szöge: cos φ = Ebből a két egyenes hajlásszöge: 180 108,4 = 71,6 1 1 + ( 1) 2 1 2 + ( 1) 2 1 2 + 2 2 φ 108,4. Írjuk fel az e egyenes tengelymetszetes alakját: x 8 + y 8 = 1. Ebből adódik, hogy a koordináta - tengelyeket a P ( 8; 0) és Q (0; 8) pontokban metszi. Írjuk fel az f egyenes tengelymetszetes alakját: x 6 + y 3 = 1. Ebből adódik, hogy a koordináta - tengelyeket az R (6; 0) és S (0; 3) pontokban metszi. Számítsuk ki a keletkező derékszögű háromszögek területét: T 1 = 14 14 3 2 = 98 3 T 2 = 5 10 3 2 = 25 3 Ezek alapján a keletkező síkidom területe: T = 98 3 + 25 3 = 123 3 = 41. 65. Egy négyzet egyik csúcspontja A (12; 7), egyik átlójának egyenlete e: 5x + y = 28. Számítsd ki a hiányzó csúcsok koordinátáit! A koordináták behelyettesítése után azt kapjuk, hogy az A pont nem illeszkedik az adott átlóra. Írjuk fel a négyzet másik f átlójának egyenletét: Az f átló egy pontja: A (12; 7). Az e átló normálvektora az f átló egy irányvektora: n e (5; 1) = v f. Az f átló irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (1; 5). Ezek alapján az f átló egyenlete: x 5y = 1 12 5 7 x 5y = 23 Határozzuk meg az e és az f átlók metszéspontját: 37

5x + y = 28 x 5y = 23 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 9 2 és y = 11 2, vagyis a metszéspont: M (9 2 ; 11 2 ). Az MA ( 15 ; 3 ) vektor +90 - os elforgatásával adódik az MB ( 3 ; 15 ). 2 2 2 2 Az MA ( 15 ; 3 ) ellentettje az MC ( 15 ; 3 ), az MB ( 3 ; 15 ) ellentettje az MD ( 3 ; 15 ). 2 2 2 2 2 2 2 2 Ezek alapján számítsuk ki a hiányzó csúcsok koordinátáit: B (3; 13), C ( 3; 4) és D (6; 2). 66. Az ABCD szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai AB és CD. (A szimmetriatengely merőlegesen felezi az AB oldalt.) Számítsd ki a hiányzó csúcs koordinátáit, ha A ( 2; 3), B (4; 1), C (1; 2)! Írjuk fel a CD oldal egyenes egyenletét: A CD oldal egyenes egy pontja: C (1; 2). Az AB vektor a CD oldal egyenes egy irányvektora: AB (6; 4) = v CD A CD oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n CD (4; 6) n CD (2; 3). Ezek alapján a CD oldal egyenes egyenlete: 2x 3y = 4. Írjuk fel az s szimmetriatengely egyenletét: Az s szimmetriatengely egy pontja: F AB (1; 1). Az AB vektor az s szimmetriatengely egy normálvektora: AB (6; 4) = n s n s (3; 2). Ezek alapján az s szimmetriatengely egyenlete: 3x + 2y = 1. Határozzuk meg a CD oldal egyenes és az s szimmetriatengely metszéspontját: 2x 3y = 4 3x + 2y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 13 és y = 14 13, vagyis a metszéspont: M ( 5 13 ; 14 13 ). Az M pont a CD szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a D koordinátáit: D ( 23 13 ; 2 13 ). 38

67. Az ABCD téglalap AB oldal egyenesének egyenlete y = 3x, átlói az M (12; 6) pontban metszik egymást; az AC átló párhuzamos az x - tengellyel. Határozd meg az A, B, C, D csúcsok koordinátáit! Írjuk fel az AC átló egyenletét: Az AC átló egy pontja: M (12; 6). Az x - tengely egyenletének normálvektora az AC átló egy normálvektora: n x (0; 1) = n AC. Ezek alapján az AC átló egyenlete: y = 6. Határozzuk meg az AC átló és az AB oldal egyenes metszéspontját: y = 3x y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2, vagyis a metszéspont: A (2; 6). Mivel az M pont az AC szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a C koordinátáit: C (22; 6). Írjuk fel a BC oldal egyenes egyenletét: A BC oldal egyenes egy pontja: C (22; 6). Az AB oldal egyenes normálvektora a BC oldal egyenes egy irányvektora: n AB ( 3; 1) = v BC. A BC oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n BC (1; 3). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: x + 3y = 40. Határozzuk meg az AB és a BC oldal egyenes metszéspontját: y = 3x x + 3y = 40 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 és y = 12, vagyis a metszéspont: B (4; 12). Mivel az M pont a BD szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a D koordinátáit: D (20; 0). 39

68. Az ABCD paralelogramma csúcsai A (1; 4) és B (6; 6). A BC oldalegyenes egy pontja P (10; 18), a CD oldalegyenes egy pontja R ( 1; 11). Mekkora a négyszög kerülete? Írjuk fel a BC oldal egyenes egyenletét: A BC oldal egyenes egy pontja: B (6; 6). A BP vektor a BC oldal egyenes egy irányvektora: BP (4; 12) = v BC A BC oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n BC (12; 4) n BC (3; 1). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: 3x y = 12. Írjuk fel a CD oldal egyenes egyenletét: A CD oldal egyenes egy pontja: R ( 1; 11). Az AB vektor a CD oldal egyenes egy irányvektora: AB (5; 2) = v CD A CD oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n CD (2; 5). Ezek alapján a CD oldal egyenes egyenlete: 2x 5y = 57. Határozzuk meg a BC és a CD oldal egyenes metszéspontját: 3x y = 12 2x 5y = 57 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 9 és y = 15, vagyis a metszéspont: C (9; 15). A paralelogramma K középpontja az AC átló felezőpontja: K (5; 19 2 ). A K pont a BD átló felezőpontja, így számítsuk ki a D csúcs koordinátáit: D (4; 13). Számítsuk ki az oldalak hosszát: AB = CD = (6 1) 2 + (6 4) 2 = 29 BC = AD = (9 6) 2 + (15 6) 2 = 90 Ezek alapján a paralelogramma kerülete: K = 2 29 + 2 90 29,7. 40