VI.9. KÖRÖK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői A kör területe, arányok változatlansága sokszorozás esetén. Előzmények Cél A kör részeinek területe egyszerű esetben, szimmetriák, a négyzet és átlójának aránya. Megfigyelés és következtetés fejlesztése gyakorlati feladatokban, a geometriai modellekben fellépő azonos alakzatok felismerése és a számításokban való alkalmazása; kör és részei területének kiszámítása. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához használjunk körzőt, vonalzót, a fóliamellékletet, (digitális konyhai) mérleget! Az 1. feladat alkérdéseiből elég néhányat megoldani az órán, érdemes őket összehasonlítani egymással, a többit önálló munkában dolgozhatják fel a tanulók, az általánosítással együtt. A 2. feladat órai munka, a 3. feladat a korábban szerzett tapasztalatok összegzésére és további alkalmazására szolgál (akár önálló munka, otthoni feladat is lehet). A 2. feladathoz használható konyhai mérleg is, a megoldásban mutatott módon a becslést a darabokat lemérve alakíthatjuk ki. A 2. feladat a) b) c) része összefügg(het), ezért érdemes sorban haladni. Érdemes itt is többféle megoldást kérni és adni. A 2. feladat feldolgozását segítik a mellékletek, ezeket fóliára lehet másolni, kivágni, és a diákok kezébe adni, hogy az érintett részek kétszeres fedettségét szemléletesen is lássák. (Lehet sima papírra nyomtatva is kivágni, de átlátszó formában jobban látszik az átfedés.) Az 1. feladat megoldásakor lehet számolásos vagy egyéb okoskodásos megoldást várni a diákoktól. Az általánosításkor (is) kiderül, hogy mi a helyzet például 100 db kis pötty esetén, vagy n 2 pötty esetén, valamint a különböző megoldások használhatóságára is szép példa. A feladat szövegében nincsen ott az általánosítás instrukciója, történjék ez a gyerekek igénye szerint. VI. Síkgeometria VI.9. Körök 1.oldal/8
A feladatok megoldása során a diákok felismerhetik a megoldáshoz alkalmazható elveket, korábbi feladatok részeredményeinek szükségességét, illetve alkalmazhatóságát. Ha nem, akkor hívjuk fel erre a figyelmet, és kövessük nyomon lépésről lépésre haladva a tanulók munkáját. Nagyon alapos és odafigyelő munkát igényel ez a tanártól, de a végére a gyerekek sokat fejlődhetnek, szemléletükben is. A feladatok címe esetleg némi magyarázatra szorul. A 3. feladatban egy fraktálszerű alakzat bukkan elő. A fraktálok önhasonló, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlődés tapasztalható. Az elnevezést 1975-ben Benoît Mandelbrot adta. Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész. Ilyen például a természetben a villámok mintázata, a levél erezete és még sok más. A fraktál szóval rendszerint az önhasonló alakzatok közül azokra utalnak, amelyeket egy megfelelő matematikai formulával meg lehet alkotni. Ezt az elnevezést kombináltuk kedvenc rajzfilm-kutyánk nevével. VI. Síkgeometria VI.9. Körök 2.oldal/8
KÖRÖK SEGÍTSEK EGY PÖTTYET? A matricagyárban dekormatricákat gyártanak a konyhai és a fürdőszobai csempékhez. A legújabb divat a színes pöttyök felragasztása, ezért mindenféle méretben készítik őket. Tűnődő Tódor vezető tervező az alábbi mintákat javasolja sorozatgyártásra. (A pöttyök kivágása után maradó háttér hulladékká válik.) 1. Melyik pöttyméret esetén lesz a legnagyobb kihasználtságú a 10 cm oldalú négyzet alakú matricalap, ha minden lapon érintkező körmatricák vannak? a) A B b) C D c) d) e) E F f) VI. Síkgeometria VI.9. Körök 3.oldal/8
FEJLESZTÉS Múlóban a pöttyőrület, ezért újfajta mintákat fejlesztenek a matricagyárban. Az alábbi minták mindegyike egy-egy 10 cm oldalú négyzetbe készült. (Az ábrákat körívek határolják, melyek középpontjai a négyzet csúcsaiban, illetve a c) esetben az oldalfelező pontban vannak.) a)a b) B C c) 2. a) Becsüld meg ránézésre, hogy a színes rész hány százaléka a négyzet területének! b) Szerkeszd meg az ábrát, és mérd meg, hogy (megközelítőleg) hány cm 2 a színes rész területe! Találj ki ügyes módszert a mérésre! Használd a mellékletet! c) Számold ki, hogy mekkora területű az egyes matricákon a színes rész! Hány százaléka ez a négyzet területének? FRAK(K)-TÁL 3. A matricagyár speciális kerámiára égethető matricái közül láthatunk két klasszikus mintát. Mindkét négyzet alakú csempe oldala 20 cm. Melyik csempén nagyobb a színes részek területe? Mekkora ez a terület? VI. Síkgeometria VI.9. Körök 4.oldal/8
MELLÉKLET A 2. b) FELADATHOZ VI. Síkgeometria VI.9. Körök 5.oldal/8
MEGOLDÁSOK 1. Az eredmények számolással és okoskodással is megkaphatóak. Számolással A) A kör sugara 5 cm. T = 25 (cm 2 ). B) A körök sugara 2,5 cm. T = 4 2,5 2 = 25 (cm 2 ). 2 10 5 5 C) A körök sugara (cm). T = 9 = 25 (cm 2 ). 6 3 3 2. 2 10 5 5 D) A körök sugara (cm). T = 16 = 25 (cm 2 ). 8 4 4 E) A körök sugara 1 cm. T = 25 1 2 = 25 (cm 2 ). Tehát az eddigi összes ábrán ugyanannyi a körök összterülete, vagyis a matricalapok kihasználtsága. F) Az E ábra esetén megfogalmazott állítás az F ábrára is igaz, mert a négy kisebb részben ugyanaz a kihasználtság az előzőek alapján, azaz a nagy négyzetben is. Okoskodással Mindegyik ábra felbontható kis négyzetekre, melyekben egy-egy érintőkör van, mint az a) ábrán. Mivel mindegyik kis részben ugyanakkora a kör és a négyzet területének aránya, így a teljes ábrán is ez az arány érvényesül, vagyis a kihasználtság egyenlő a különböző matricákon. a) Jó becslések: A) 70 85% B) 50 60% C) 50 60%, azaz ugyanannyi, mint B)-nél D) 55 65% b) Érdemes négyzethálós füzetben valós méretben megszerkeszteni és megszámolni, hány cm 2 a színes rész területe megközelítőleg, vagy kartonból kivágni és háztartási (digitális) mérlegen lemérni. Sőt, érdemes az összes gyerek négyzetlapját megmérni a kivágás előtt és a megfelelő részeket a kivágás után is együttesen. Ezzel (reményeink szerint) jobb lesz a mérés pontossága. 1 2 c) T A = 10 = 25 78,54 (cm 2 ), azaz 78,54%-a a négyzet területének. 4 T B = 2 T A 10 2 = 2 25 100 = 50 100 57,08 (cm 2 ), azaz 57,08%-a a négyzet területének. Másképp: A színezett terület éppen akkora, amennyivel két negyedkörlap összterülete nagyobb a négyzet területénél. VI. Síkgeometria VI.9. Körök 6.oldal/8
1 2 T B = 2 10 π 10 2 = 50 100 (cm 2 ) 57,08 (cm 2 ). 4 T C kiszámítása Első megoldás A négyzetet négy kis négyzetre vágva a B) ábrát látjuk négyszer, csak feleakkora méretben. 1 2 T C = 4 (2 5 π 5 2 ) = 50 100 57,08 (cm 2 ), azaz 57,08%. (T b = T c!) 4 Második megoldás Csakúgy, mint a B) második megoldásában, itt is észrevehetjük, hogy tulajdonképpen négy félkörlappal fedjük le a négyzetet, és a kétszeres fedések adják a mintát. Vagyis T = 4 T félkör T négyzet = 2 T o T négyzet = 2 5 2 100 = 50 100 57,08 (cm 2 ). Az első feladat mintája itt is működik, ha önmagához hasonló az ábra (fraktálszerű), a területek egyenlők lesznek, azaz B) és C) számszerűen egyenlő. VI. Síkgeometria VI.9. Körök 7.oldal/8
3. A rajzon észrevehetjük a 2. C) ábrát, vagy ennek az előzményét, a 2. B) ábrát, így a színes rész területe mindkét csempén elvileg ugyanakkora, mint ott, de mivel a négyzet oldala nem 10 cm, hanem 20 cm, így a terület négyszer akkora lesz, vagyis megközelítőleg 4 57,08, azaz kb. 228,3 (cm 2 ). VI. Síkgeometria VI.9. Körök 8.oldal/8