Kvantitatív módszerek II. Fejezetek az operációkutatásból

Kvantitatív módszerek II. Fejezetek az operációkutatásból Szerzők: Bakos Viktor Bánhalmi Árpád Fejes Ferenc Dr. Fenyves Ferenc Horváth Gézáné dr. Pákolicz Orsolya

Kvantitatív módszerek II. Fejezetek az operációkutatásból Szerzők: Bakos Viktor Bánhalmi Árpád Fejes Ferenc Dr. Fenyves Ferenc Horváth Gézáné dr. Pákolicz Orsolya PR-405-II/11

Szerzők: c Bakos Viktor 2011. (1. fejezet) c Bánhalmi Árpád 2011. (5. fejezet) c Fejes Ferenc 2011. (2. és 3. fejezet) c Dr. Fenyves Ferenc 2011. (1. fejezet) c Horváth Gézáné dr. 2011. (6. fejezet) c Pákolicz Orsolya 2011. (4. fejezet) Alkotó szerkesztő Horváth Gézáné dr. ISBN 978-963-394-677-0 A kiadvány szerzői jogi védelem alatt áll, arról másolat készítése a kiadó előzetes írásbeli engedélye nélkül tilos. A kiadvány másolása és jogosulatlan felhasználása bűncselekmény! Kiadja a Perfekt Gazdasági Tanácsadó Oktató és Kiadó Zártkörűen Működő Részvénytársaság a Sanoma company A kiadásért felelős: Kiss János Tamás vezérigazgató Borítóterv: Korda Ágnes Felelős szerkesztő: Budavári Andrea Műszaki szerkesztő: Fried Katalin Terjedelem: (A/5) ív Prospektkop Nyomda A kiadványt újrahasznosított papírra nyomtattuk.

TARTALOM Bevezetés ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 7 1. A lineáris algebra alapjai (Dr. Fenyves Ferenc) :::::::::::::::::: 9 1.1. Mátrixaritmetika :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 9 1.2. Lineáris terek (vektorterek) ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 26 1.3. Elemi bázistranszformáció (Bakos Viktor) :::::::::::::::::::: 32 1.4. Mátrixaritmetikai példák :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 41 1.5. Gazdasági feladatok megoldása mátrixaritmetikával ::::::::::: 44 1.6. Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 55 1.7. Megoldások az 1. fejezet feladataihoz ::::::::::::::::::::::::: 65 2. Bevezetés a lineáris programozásba (Fejes Ferenc) ::::::::::::::: 75 2.1. Lineáris modellek :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 77 2.2. Grafikus módszer ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 79 2.3. Dualitás :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 87 2.4. Többváltozós lineáris programozási feladat :::::::::::::::::::: 93 2.5. Szimplex módszer :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 95 2.6. Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 107 2.7. Megoldások a 2. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: 118 3. Hozzárendelési feladat (Fejes Ferenc) :::::::::::::::::::::::::::: 138 3.1. Magyar módszer ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 140 3.2. Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 148 3.3. Megoldások a 3. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: 152 4. Szállítási feladat (Pákolicz Orsolya) :::::::::::::::::::::::::::::: 163 4.1. A kiegyensúlyozott feladat matematikai modellje :::::::::::::: 163 4.2. Nem kiegyensúlyozott szállítási feladatok ::::::::::::::::::::: 173 4.3. Szállítási modellek további vizsgálata ::::::::::::::::::::::::: 175 4.4. Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 178 4.5. Megoldások a 4. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: 182 5

KVANTITATÍV MÓDSZEREK 5. Hálótervezés (Bánhalmi Árpád) ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 185 5.1. Irányított gráfok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 185 5.2. Súlyozott élű irányított gráfok mátrixreprezentációja :::::::::: 187 5.3. Hálótervezés ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 189 5.4. A háló kiértékelése ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 192 5.5. Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 201 5.6. Megoldások az 5. fejezet feladataihoz ::::::::::::::::::::::::: 205 6. Döntésanalízis döntési fa alkalmazásával (Dr. Horváth Gézáné Ph.D) ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 213 6.1. Bayes-elemzés szerepe a döntéshozatalban :::::::::::::::::::: 213 6.2. Egyszerű döntési diagram szerkesztésének bemutatása ::::::::: 215 6.3. A Bayes-tételen alapuló döntési modell ::::::::::::::::::::::: 217 6.4. Esettanulmány a Bayes-döntési modell bemutatására :::::::::: 231 6.5. Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 237 6.6. Megoldások a 6. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: 243 6

BEVEZETÉS Ez a könyv bővített és átdolgozott kiadása a 2005-ben megjelent Kvantitatív módszerek II. tankönyvnek. Az új kiadás a bolonyai képzés operációkutatás tananyagát az eredetihez képest kibővítve tárgyalja. Mielőtt ezekkel a módszerekkel foglalkozunk, tisztáznunk kell az operációkutatás fogalmát. Több évtized elteltével sem sikerült minden szakembert kielégítő definíciót adni erre a fogalomra. A sokféle definíció közül vizsgáljunk meg néhány számunkra megfelelőt. Az operációkutatás a döntés előkészítés tudománya. Ez a definíció keveset árul el magáról az operációkutatásról; csupán azt jelzi, hogy milyen célra használható. Az operációkutatás az a tudomány, amely az optimális döntések előkészítésében matematikai módszereket használ. Az optimális szóval utalás történik a döntés előkészítés minőségére, illetve ebből a definícióból megtudjuk, hogy ez az új tudományág kapcsolatban van a matematikával. Az operációkutatás tudományos módszerek alkalmazása az ipar, a kereskedelem, az államigazgatás és a honvédelem területén, olyan komplex problémák megoldására, amelyek emberekből, gépekből, anyagokból és pénzeszközökből álló nagy rendszerek irányítása és vezetése során lépnek fel. Ebből a definícióból kitűnik, hogy az operációkutatás mely területeken alkalmazható, amelyeket a XXI. században kiegészíthetünk a szolgáltatások további területeivel is (oktatás, egészségügy, kultúra stb.). További információ, hogy ez a tudomány komplex, bonyolult problémáknak, nagy rendszereknek az optimális megoldását keresi. Az operációkutatás kezdettől olyan team munkát jelent, amelyben a matematikus a különböző szakterületek gazdasági, számítástechnikai szakembereivel együtt dolgozik. Az új tudományág határterület a matematika, a gazdaságtudomány és a számítástudomány között. Az operációkutatás középpontjában a közgazdasági és a matematikai modell áll. Hosszú az út a döntési probléma megfogalmazásától a modell megalkotásáig. A feladat a probléma részletes leírásával a változók, a korlátozó feltételek megadásával kezdődik, majd a célra vonatkozó ismeretek mélyítésével, pontosításával folytatódik. A szükséges adatok megszerzése és pontosságuknak ellenőrzése után következik az adott körülményeknek 7

KVANTITATÍV MÓDSZEREK legjobban megfelelő modell számszerűsítése és megoldása. A modell helyességét a gyakorlattal való egybevetéssel ellenőrizzük. A döntéshozó szempontjából a modelleknek kettős hasznuk van. Egyik oldalról a döntéshozó a rendszer részletekbe menő vizsgálatára kényszerül; a modell előkészítése során fel kell tárnia a rendszer összefüggéseit, és így a modell a gazdasági folyamat elemzésének eszközévé válik. Másrészt viszont az operációkutatási modell alkalmas a vizsgált paraméterek különböző kritériumok szerinti optimális értékeinek meghatározására, ezért képes a döntés orientálására is. Könyvünk a gazdasági felsőoktatás hallgatóit bevezeti a lineáris algebrai alapok után (amit kibővítettünk az elemi bázistranszformáció eljárásának és alkalmazásainak bemutatásával) a lineáris programozásba, a hozzárendelési probléma modellezésébe, a szállítási probléma disztribúciós megoldásába, a hálótervezésbe és a Bayes-döntésanalízisbe. A fejezetek végén található feladatok és azok részletes megoldásai hozzásegítik a BA képzések hallgatóit a sikeres megmérettetéshez. A szerzők várják és előre köszönik a tisztelt Olvasók észrevételeit, megjegyzéseit. Budapest, 2011. május A szerkesztő BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály 8

A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL a 0 megrendel = 7000 = 8000 s 3 = 8000 P( )=0 15 P( )=0 45 P(s 3 )=0 4 56 000 64 000 72 000 gyártás (automata) = 7000 = 8000 s 3 = 8000 P( )=0 15 P( )=0 45 P(s 3 )=0 4 42 500 47 500 52 500 a 2 gyártás (hagyományos) = 7000 = 8000 s 3 = 8000 P( )=0 15 P( )=0 45 P(s 3 )=0 4 46 000 52 000 58 000 6.2. ábra Döntési fa a vásárolni, vagy gyártani jellegű problémához M (C 2 )=0 15 46 000 + 0 45 52 000 + 0 40 58 000 = 53 500 A legalacsonyabb várható költsége az automata gépsoron történő gyártásnak van, tehát a legkedvezőbb az döntési alternatíva. 6.3. A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL Az üzleti életben rendszeresen előforduló, nagy kockázattal járó döntési helyzetek megoldásához az összes lehetséges információt figyelembe vevő leghatékonyabb eszköz a Bayes-tételen alapuló döntési modell. A módszer lényege, hogy az a priori (előzetes) val sz n s gek és az ehhez további inform ci k beszerzésével meghatározható felt teles val sz n s gek birtok ban a Bayes-tétel alkalmazásával a posteriori (utólagos, felülvizsgált) val sz n s gek és felt teles val sz n s gek sz m that k. Ezek a posteriori, többlet információt tartalmazó val sz n s gek r szei a Bayes-d nt si modell bemeneteli adatainak. Jelölje a döntési modellben: 217

DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL az (e) információszerzésre vonatkozó d nt si lehet s gek halmaz t E = = {e 1 e 2 : : : e k }; a beszerezhet inform ci k összes lehetséges (z) kimenetel nek halmaz t Z = {z 0 z 1 : : : z l }; az (a) döntési változók halmazát A = {a 0 : : : a m }; a döntéseket követő (s)esem nyek halmaz t S = { : : : s n }! A Bayes-d nt si modell strukt r ja döntési diagrammal reprezentálható. A d nt si diagram, fa csom pontokb l: kezdőpontból, elágazási pontokból, végpontokból; gakb l s utakb l ll. Bizonyos csomópontokat g köt össze. Az t a kezdőpontból valamely végpontba vezető ágak egymásutánja. v(e 0 z 0 ) e 0 z 0 v(e 0 z 0 ) a 0 s 0 v(e 0 z 0 a 0 s 0 ) v(e 1 z 1 ) z 1 v(e 1 z 1 ) a 0 s 0 v(e 1 z 1 a 0 s 0 ) e 1 v(e 1 z 2 ) z 2 v(e 1 z 2 ) a 0 s 0 v(e 1 z 2 a 0 s 0 ) kezdőpont elágazási pontok végpontok utak 6.3. ábra Döntési diagram szerkezete A kezdőpontból kiinduló ágak az információszerzésre vonatkozó döntési változó (e) értékeit jelzik és az információ megszerzésének a költségét is 218

A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL tartalmazzák. Ezen elágazási pontokat követő ágak a beszerezhető információk kimeneteleit (z j ) jelölik, és a P(z j ) valószínűségeket is tartalmazzák minden j -re. A következő lépcsőben az újabb elágazási pontokból induló ágak a döntési változó (a) lehetséges értékeit, a cselekvési lehetőségeket reprezentálják. Az utolsó szintnél minden elágazási pontból a lehetséges (s i ) események ágaznak ki P(s i ) valószínűségeivel vagy P(s i z j ) feltételes valószínűségeivel. A végpontokhoz v(s) becsült nyereség, illetve veszteség értékek rendelhetők. A végpontok v(e z a s) utakkal azonosíthatók. A döntési probléma megoldását a döntési fa számszerűsítésével kezdjük. Ezt követően minden elágazási pontra ki kell számítani a várható nyereség/veszteség értékét. Az egyes döntési pontokban a legnagyobb értéket választva, majd a fán tovább haladva ezeket kell versenyeztetni. Végül a nem tökéletes e i információ értéke az e i (i = 0) ághoz tartozó maximális várható nyereség érték és az e 0 (nincs többlet információ) ágon elérhető maximális nyereség várható értéke különbségeként megbecsülhető, és összehasonlítandó az e i információ költségével. A döntési fa alkalmazható a termelés, a szolgáltatás, a marketingkutatás és az üzleti élet egyéb területein. Az oktatásban, az egészségügyben és a politikában is széles körben alkalmazható a döntések megalapozott előkészítésére. A továbbiakban először egy egyszer bb esetet t rgyalunk. A döntési diagram szerkezete egyszerűbbé válik, ha pl. termel v llalatok kapacit s nak b v t sekor a menedzsment a döntés-előkészítésbe külső céget nem von be. A döntési modell ilyenkor nem tartalmazza az információszerzésre vonatkozó e döntési változót és a beszerezhető információ z j lehetséges kimeneteleit. A döntési fa kezdőpontjából az a döntési változó (kapacitásbővítés) értékeihez tartozó ágak indulnak ki és ezek mindegyikéhez elágazási pontok tartoznak. Az elágazási pontokból kiinduló ágak jelölik a döntést követő eseményeket a hozzájuk rendelt P(s i ) szubjektív valószínűségekkel. A v(s i ) végpontokhoz a becsült nyereség értékek tartoznak. A végpontok v(a j s i ) utakkal azonosíthatók. 6.1. példa. A) A Csepel Kerékpárgyár főmérnökének egy fontos alkatrész gyártásáról, vagy beszállítatásáról kell döntenie. Ez a döntés és az elérhető profit nagysága összefügg az újonnan kifejlesztett kerékpár iránt várható kereslettel. 219

DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL Az alábbi táblázat tartalmazza a becsült profitot, illetve veszteséget 1000 - ban a döntési alternatíva és a kereslet nagyságának függvényében. Döntési lehetőségek Kereslet nagysága alacsony ( ) közepes ( ) magas (s 3 ) Gyártás ( ) 20 40 100 Beszerzés (a 2 ) 10 45 70 Az új kerékpár iránti kereslet valószínűsége, ha a kereslet alacsony 0 35, ha a kereslet közepes 0 35, ha a kereslet magas 0 30. Keresse meg az optimális döntési alternatívát döntési fa alkalmazásával! Megold s. A modell változóinak és eseményeinek halmaza: A = {a 0 }, S = { s 3 }. Az alkatrészellátásra vonatkozó döntések: : Csepel Kerékpárgyár állítja elő a 2 : Beszállítóval gyártatja le Lehetséges események és valószínűségei: : alacsony kereslet P( )=0 35 : közepes kereslet P( )=0 35 s 3 : magas kereslet P(s 3 )=0 30 A döntési fa kezdőpontja: d nt si pont. A döntési pontból a 2 döntési változatoknak megfelelő ágak indulnak ki. Az ágak csomópontokban végződnek. A döntési fa csomópontjaiból a döntéshozótól és a döntéstől független,, s 3 eseményeknek megfelelő ágak következnek. Mivel ezen események valamelyike a majdani döntéstől függetlenül bekövetkezik, ezért mind a három döntési alternatívát P(s i ) valószínűséggel követik az s i események. Az események ágai végpontokban végződnek. Ezekhez a végpontokhoz hozzárendeljük a várható nyereségeket, illetve veszteséget. A döntési fánknak hat végpontja van. A döntési diagram információinak felhasználásával az egyes döntési alternatívákhoz kiszámíthatjuk a várható nyereség értékét. M ( )=0 35 ( 20 000) + 0 35 40 000 + 0 30 100 000 = 37 000 M (a 2 )=0 35 (10 000) + 0 35 45 000 + 0 30 70 000 = 40 250 A várható nyereség értéke magasabb, ha beszállítókkal gyártatják az alkatrészt. 220

A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL Gyártás Kereslet alacsony P( )=0 35 közepes P( )=0 35 magas P(s 3 )=0 30 Nyereség 20 000 40 000 100 000 Rendelés alacsony közepes magas P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 10 000 45 000 70 000 6.4. ábra. Döntési fa vásárolni vagy gyártani jellegű problémához 6.1. példa. B) A Csepel Kerékpárgyár főmérnöke nincs megelégedve az egyszerű döntési modell alapján készített döntés megalapozottságával. Kíváncsi, hogy megérné-e a cégnek egy előzetes piackutatást lebonyolítani. Ismeretes a marketing osztály eddigi sokéves tevékenysége alapján, hogy magas kereslet esetén 0 6 valószínűséggel lesz kedvező a piackutatás eredménye; közepes kereslet esetén 0 6 valószínűséggel lesz kedvezőtlen ez; és alacsony kereslet mellett 0 9 valószínűséggel lesz kedvezőtlen a piackutatás eredménye. Mi a valószínűsége, hogy a piackutató részleg jelentése kedvező? Mi a cég optimális stratégiája a Bayes-döntési fa kiértékelése alapján? Megold s. A modell változóinak és eseményeinek halmaza bővül: E = {e 1 e 2 : : : e k } Z = {z 0 z 1 : : : z l }: Az előzetes információszerzésére vonatkozó döntés: e 0 : nem alkalmazunk előzetes vizsgálatot, e 1 : megszervezzük az előzetes piackutatást. A beszerezhető információk kimenetele: z 0 : a piackutatás eredménye kedvezőtlen, z 1 : a piackutatás eredménye kedvező. Rajzoljuk fel a Bayes-döntési fát! (6.5. ábra) A Bayes-döntési fa e 1 ágának számszerűsítéséhez szükségünk van a val sz n s gi fa megrajzol s ra s az inverz felt teles val sz n s gek kisz m t s ra. 221

DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL e 0 e 1 M (e 0 ) = 40 250 P(z 0 )=0 645 P(z 1 )=0 355 a 2 a 2 a 2 P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( z 0 ) P( z 0 ) P(s 3 z 0 ) P( z 0 ) P( z 0 ) P(s 3 z 0 ) P( z 1 ) P( z 1 ) P(s 3 z 1 ) P( z 1 ) P( z 1 ) P(s 3 z 1 ) 20 000 40 000 100 000 10 000 45 000 70 000 20 000 40 000 100 000 10 000 45 000 70 000 20 000 40 000 100 000 10 000 45 000 70 000 6.5. ábra. Bayes-döntési fa struktúrája (hiányzó valószínűségekkel) A rendelkezésünkre álló valószínűségek P( )=0 35, P( )=0 35, P(s 3 )= =0 30 A feltételes valószínűségek: P(z 1 s 3 )=0 6, P(z 1 )=0 4, P(z 1 )= =0 1, P(z 0 s 3 )=0 4, P(z 0 )=0 6, P(z 0 )=0 9 Számszerűsítsük a valószínűségi fát! (6.6. ábra) P( )=0 35 P(z 0 )=0 9 P(z 1 )=0 1 P( z 0 )=0 315 P( z 1 )=0 035 P( z 0 )=0 488 P( z 1 )=0 099 P( )=0 35 P(z 0 )=0 6 P(z 1 )=0 4 P( z 0 )=0 21 P( z 1 )=0 14 P( z 0 )=0 326 P( z 1 )=0 394 P(s 3 )=0 30 P(z 0 s 3 )=0 4 P(z 1 s 3 )=0 6 P(s 3 z 0 )=0 12 P(s 3 z 1 )=0 18 P(s 3 z 0 )=0 186 P(s 3 z 1 )=0 507 6.6. ábra. Valószínűségi fa 222

A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL e 0 e 1 M (e 0 ) = 40 250 P(z 0 )=0 645 P(z 1 )=0 355 a 2 a 2 a 2 6.7. ábra. Bayes-döntési fa P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( z 0 )=0 488 P( z 0 )=0 326 P(s 3 z 0 )=0 186 P( z 0 )=0 488 P( z 0 )=0 326 P(s 3 z 0 )=0 186 P( z 1 )=0 099 P( z 1 )=0 394 P(s 3 z 1 )=0 507 P( z 1 )=0 099 P( z 1 )=0 394 P(s 3 z 1 )=0 507 20 000 40 000 100 000 10 000 45 000 70 000 20 000 40 000 100 000 100 000 45 000 70 000 20 000 40 000 100 000 10 000 45 000 70 000 Az input adatok ismeretében rajzoljuk fel és számszerűsítsük a Bayesdöntési fát! (6.7. ábra) A várható nyereség a z 0 ágon: M ( z 0 )=0 488 ( 20) + 0 326 40 + 0 186 100 = 21 88 ezer M (a 2 z 0 )=0 488 10 + 0 326 45 + 0 186 70 = 32 57 ezer A várható nyereség a z 1 ágon: M ( z 1 )=0 099 ( 20) + 0 394 40 + 0 507 100 = 64 48 ezer M (a 2 z 1 )=0 099 10 + 0 394 45 + 0 507 70 = 54 21 ezer A várható nyereség az e 1 ágon: M (e 1 )=0 655 32 57 + 0 355 64 48 = 44 223 75 ezer A Bayes-döntési modell kiértékelése alapján javasolható, hogy végeztessék el az előzetes piackutatást, és annak kedvező kimenetele esetén a Csepel Kerékpárgyárban gyártsák le az adott alkatrészeket; amennyiben a piackutatási eredmény kedvezőtlen, érdemes beszállítóra bízni a gyártást. 223

DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL 6.2. példa. Az University Press könyvkiadó szerkesztője megkapta a Bevezetés az operációkutatásba című egyetemi tankönyv kéziratát. A szerkesztő már ismeri a szerzőket, a könyv sikerét 0 65 valószínűségűre becsülte. Ha a tankönyv sikeres lesz, akkor a várható profit 750 000. Haakiadó a tankönyv kiadása mellett dönt és ez a hallgatók körében nem arat sikert, akkor 250 000 veszteségre számítanak. Mielőtt a kiadásról döntenének, lehetőség van a kézirat felülvizsgálatára. A felülvizsgálati folyamat kimenetele lehet kedvező vagy kedvezőtlen. Múltbeli tapasztalatok alapján annak a valószínűsége, hogy a felülvizsgálati folyamat eredménye kedvező, feltéve, hogy a könyv sikeres 0,7; annak a valószínűsége, hogy a felülvizsgálati folyamat eredménye kedvezőtlen, feltéve, hogy a könyv nem arat sikert 0,75. Szerkesszük meg a Bayes-döntési fát, feltételezve, hogy először dönteni kell a kézirat felülvizsgálatáról, illetve annak elfogadásáról, vagy visszautasításáról! Elemezzük ki a döntési fát és határozzuk meg az optimális stratégiát a kiadó részére! Ha a kézirat felülvizsgálata 5000 -ba kerül, akkor miként alakul a javaslat? Megold s. A modell változóinak és eseményeinek a halmaza: E = {e 0 e 1 } A = {a 0 } Z = {z 0 z 1 } S = {s 0 }: A kézirat felülvizsgálatára vonatkozó döntési alternatívák: e 0 : nem küldik a kéziratot felülvizsgálatra; e 1 : megrendelik a kézirat felülvizsgálatát. A kézirat kiadására vonatkozó döntési alternatívák: a 0 : nem fogadják el a kéziratot kiadásra; : kiadják az egyetemi tankönyvet, A kézirat felülvizsgálatának lehetséges eredménye: z 0 : kedvezőtlen; z 1 : kedvező. Az egyetemi tankönyv iránti kereslet: s 0 : a könyv nem lesz sikeres az egyetemi hallgatók körében; ennek valószínűsége 0 35, a várható veszteség 250 000. : a tankönyv sikert arat; ennek valószínűsége 0 65, a várható profit 750 000. 224

A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL Adottak továbbá a következő a priori valószínűségek: P(z 1 ) = 0 7, P(z 0 s 0 )=0 75, amelyekből kiszámíthatók a komplementer feltételes valószínűségek: P(z 0 )=0 3, P(z 1 s 0 )=0 25. (6.8. ábra) e 0 P(z 1 ) a 0 P(s0) =0 35 P( )=0 65 P(s 0 z 1 ) 0 250 000 750 000 0 250 000 e 1 P(z 0 ) P( z 1 ) P(s 0 z 0 ) 750 000 0 250 000 P( z 0 ) 750 000 6.8. ábra. Bayes-döntési fa szerkezete Az a priori P(s i ) valószínűségek revíziója elvégezhető a felülvizsgálatra vonatkozó feltételes valószínűségek formájában megadott referenciák (új információk) figyelembevételével. Az a priori P(s i ) valószínűségek a Bayestétel alkalmazásával meghatározott, nagyobb biztonságot adó P(s i z j ) a posteriori valószínűségekkel helyettesíthetők a döntési fa számszerűsítésénél. Tehát írjuk fel a rendelkezésre álló valószínűségek segítségével a valószínűségi fát! (6.9. ábra) P(s 0 )=0 35 P(z 1 )=0 25 P(z 0 s 0 )=0 75 P(s 0 z 1 )=0 0875 P(s 0 z 0 )=0 2625 P( )=0 65 P(z 1 )=0 7 P(z 0 )=0 3 P( z 1 )=0 4550 P( z 0 )=0 1950 6.9. ábra. Valószínűségi fa 225

DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL A valószínűségi fából kiszámítható, hogy milyen valószínűséggel lesz a piackutatás eredménye kedvező P(z 1 ), illetve kedvezőtlen P(z 2 ). P(z 1 )=P( z 1 )+P( z 1 )=0 5425 P(z 2 )=1 P(z 1 )=0 4575 A valószínűségi fa alapján egyszerűen meghatározhatók az a posteriori valószínűségek, amelyek a döntési fa döntési alternatíváit követő eseményekhez rendelendők. P( z 1 )= P( z 1 ) P(z 1 ) P( z 0 )= P( z 0 ) P(z 0 ) =0 8387 P(s 0 z 1 )= P(s 0 z 1 ) P(z 1 ) =0 4262 P(s 0 z 02 )= P(s 0 z 0 ) P(z 0 ) =0 1613 =0 5738 Most már képesek vagyunk számszerűsíteni a Bayes-döntési fát. (6.10. ábra) 400 000 a 0 P(s 0 )=0 35 0 250 000 e 0 394 987 25 P(z 0 )=0 4575 a 0 P( )=0 65 P(s 0 z 0 )=0 5738 750 000 0 250 000 e 1 P( z 0 )=0 4262 750 000 P(z 1 )=0 5425 P(s 0 z 1 )=0 1613 0 250 000 P( z 1 )=0 8387 750 000 6.10. ábra. Bayes-döntési fa M (e 0 ) >M (e 1 ). Teljesen fölösleges a kézirat felülvizsgálatára pénzt és időt pazarolni, hiszen mindenképpen a kiadás mellett kell dönteni a Bayesmodell alapján is. Ezt a döntést a szerkesztő bátran vállalhatja. A Bayesdöntési fa eredményeivel az University Press menedzsmentje is meggyőzhető a szerkesztő döntésének helyességéről. 226

A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL 6.3. példa. A) Egy szolgáltató cég felméréseik kiértékelésére számítógépes rendszert akar telepíteni. A cél a rendszer méretének optimalizálása. Dönteni kell nagyméretű, közepes méretű, vagy kisméretű rendszer lízingelése között. A döntési alternatíva kiválasztása a cég szolgáltatása iránt várhatóan jelentkező alacsony, vagy magas igénytől függ. A szakemberek a magas igény bekövetkezésének valószínűségét 30%-ra becsülik. Az alábbi táblázat tartalmazza a nyereség várható nagyságát a döntési alternatívák és a lehetséges események szerint csoportosítva. Döntési alternatíva Magas várható igény Alacsony várható igény Nagyméretű rendszer 200 000 20 000 Közepes méretű rendszer 150 000 20 000 Kisméretű rendszer 100 000 60 000 Rajzoljuk fel a döntési fát, és határozzuk meg a kiépítendő számítógépes rendszer optimális méretét! Megold s. A döntési alternatívák: : nagyméretű számítógépes rendszer lízingelése, a 2 : közepes méretű számítógépes rendszer lízingelése, a 3 : kisméretű számítógépes rendszer lízingelése. Az s i esemény lehetséges kimenetelei: : az igény magas a cég szolgáltatásai iránt P( )=0 30, : az igény alacsony a cég szolgáltatásai iránt P( )=0 70. Az egyes ágakhoz tartozó várható nyereség nagyságának számítása: M ( )=0 3 20 0000 + 0 7 ( 20 000) = 46 000 M (a 2 )=0 3 15 0000 + 0 7 20 000 = 59 000 M (a 3 )=0 3 10 0000 + 0 7 60 000 = 72 000 A legkedvezőbb döntés: a kisméretű rendszer kiépítése. (6.11. ábra) Újabb információk beszerzésével pontosítani lehet a kereslet nagyságára vonatkozó valószínűségeket. 6.3. példa. B) [Módosított változata a 6.3. példa A) pontjának] Tegyük fel, hogy a szolgáltató cég felkér egy piackutató szakembert, hogy végezzen vizsgálatot a bevezetendő új szolgáltatások potenciális felhasználóira vonatkozóan! 227

DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL Várható profit 46 000 nagy P( )=0 3 Profit 200 000 P( )=0 7 20 000 59 000 a 2 közepes P( )=0 3 150 000 P( )=0 7 20 000 72 000 a 3 kicsi P( )=0 3 P( )=0 7 6.11. ábra. Döntési fa 100 000 60 000 A piackutatói vizsgálat új információi feltételes valószínűségek az a priori P(s i ) valószínűségekkel együtt a Bayes-tétel alkalmazása után a poszteriori valószínűségeket eredményeznek, amelyek pontosítják a cég becslését a várható kereslet nagyságára vonatkozóan. A piackutató szakember vizsgálatának eredménye lehet kedvező (z 1 ) és kedvezőtlen (z 0 ). A kapott eredményeket táblázatba rendeztük. Az új információk feltételes valószínűségek formájában: Események Piackutatási eredmény kedvező Piackutatási eredmény kedvezőtlen (z 1 ) (z 0 ) A várható kereslet magas ( ) P(z 1 )=0 8 P(z 0 )=0 2 A várható kereslet alacsony ( ) P(z 1 )=0 1 P(z 0 )=0 9 Rajzoljuk fel a döntési fát, és adjuk meg az optimális döntési változatot! Megold s. Az új információk figyelembevétele mellett a döntési diagram szerkezete az alábbiak szerint módosul (6.12. ábra): AzaprioriP(s i ) valószínűségek revíziója elvégezhető a piackutatás eredményeinek figyelembevételével. Az a priori P(s i )valószínűségek a Bayestétel alkalmazásával meghatározott, nagyobb biztonságot adó P(s i z j )a posteriori valószínűségekkel helyettesíthetők a döntési fa számszerűsítésénél (6.13. ábra). 228

A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL 200 000 20 000 150 000 z 1 a 2 20 000 100 000 a 3 60 000 200 000 20 000 150 000 z 2 a 2 20 000 100 000 a 3 60 000 6.12. ábra. A döntési diagram (e 1 ) új ágának szerkezete P( )=0 3 P(z 1 )=0 8 P(z 0 )=0 2 P( z 1 )=0 24 P( z 2 )=0 06 P( )=0 7 P(z 1 )=0 1 P(z 0 )=0 9 P( z 1 )=0 07 P( z 2 )=0 63 6.13. ábra. Valószínűségi fa A döntési fából kiszámítható, hogy milyen valószínűséggel lesz a piackutatás eredménye kedvező P(z 1 ), illetve kedvezőtlen P(z 0 ). P(z 1 )=P( z 1 )+P( z 1 )=0 31 P(z 0 )=1 P(z 1 )=0 69 A valószínűségi fa alapján egyszerűen meghatározhatók a posteriori valószínűségek, amelyek a döntési fa döntési alternatíváit követő eseményekhez rendelendők. P( z 1 )= P( z 1 ) P(z 1 ) P( z 0 )= P( z 0 ) P(z 0 ) =0 7742 =0 087 P( z 1 )= P( z 1 ) P(z 1 ) P( z 0 )= P( z 0 ) P(z 0 ) =0 2258 =0 913 229

DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL A várható nyereség nagysága a z 1 ágon: M ( z 1 )=0 772 200 + 0 228 ( 20) = 15 0324 M (a 2 z 1 )=0 772 150 + 0 228 20 = 120 645 M (a 3 z 1 )=0 772 100 + 0 228 60 = 90 968 A várható nyereség nagysága a z 0 ágon: M ( z 0 )=0 913 200 + 0 087 ( 20) = 860 M (a 2 z 0 )=0 913 150 + 0 087 20 = 31 310 M (a 3 z 0 )=0 913 100 + 0 087 60 = 63 480 M (e 1 )=0 31 15 0324 + 0 69 63 480 = 90 401 A szolgáltató cég döntési stratégiája a döntési alternatívákhoz kiszámított várható nyereség értékei alapján (6.14. ábra): Várható profit s 150 324 1 P( z 1 )=0 7742 profit 200 000 z 1 z 0 P(z 1 )=0 31 P(z 0 )=0 69 a 2 a 3 a 2 a 3 120 646 90 968 860 31 310 63 480 P( z 1 )=0 2258 P( z 1 )=0 7742 P( z 1 )=0 2258 P( z 1 )=0 7742 P( z 1 )=0 2258 P( z 0 )=0 913 P( z 0 )=0 087 P( z 0 )=0 913 P( z 0 )=0 087 P( z 0 )=0 913 20 000 150 000 20 000 100 000 60 000 200 000 20 000 150 000 20 000 100 000 P( z 0 )=0 087 60 000 6.14. ábra. Döntési fa (e 1 ) előzetes vizsgálat esetére vonatkozó ága ha a piackutatás eredménye kedvező, akkor ajánlott egy nagy kapacitású számítógépes rendszer lízingelése; ha a piackutatás eredménye kedvezőtlen, akkor kis kapacitású számítógépes rendszer kiépítése is elegendő. 230