Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010
Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP - 412-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Tartalom 2 Metrikus feladatok 1 21 Bevezet 1 211 Alapvető fogalmak 1 212 Összefüggek tételek képletek 2 22 Metrikus feladatok 6 221 Szögekkel kapcsolatos feladatok 6 222 Távolsági feladatok 8 23 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK 12 231 Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) 12 232 Távolsági feladatok (Megoldások) 14
2 fejezet - Metrikus feladatok 21 Bevezet Ez a modul az analitikus geometria azon feladatait gyűjtötte egybe amelyek az egyes térelemek távolságának hajlásszögének a meghatározását igénylik A feladatok előtt rövid elméleti összefoglalást adunk az egyes fogalmakról tételekről 211 Alapvető fogalmak Két pont távolsága: alapfogalom Szakasz hosszán a két végpontjának távolságát értjük Két ponthalmaz távolsága: A két ponthalmaz pontjai között behúzható összes szakasz hosszának infimuma (alsó határa) Zárt alakzatok esetén ez a legrövidebb szakasz Két ponthalmaz távolsága nulla ha van közös pontjuk vagy közös határuk Tehát metsző illetve illeszkedő térelemek távolsága nulla Pont egyenes távolsága: A pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza Pont sík távolsága: A pontból a síkra állított merőleges egyenes döfpontjának az adott pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága: Az egyik egyenes tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága Kitérő egyenesek normáltranszverzálisa: Bizonyítható hogy két kitérő egyenes esetében pontosan egy olyan egyenes létezik amelyik mindkettőt metszi mindkét egyenesre merőleges Ez az egyenes a két kitérő egyenes normáltranszverzálisa Két kitérő egyenes távolsága: A normáltranszverzálisnak a kitérő egyenesekkel alkotott metszpontjai közé eső szakasza Egyenes vele párhuzamos sík távolsága: Az egyenes tetszőleges pontjának a síktól vett távolsága Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolságát értjük Két metsző egyenes hajlásszöge: A metszpont körül keletkezett szögtartományok (2-2 egybevágó szög) közül a kisebbik Két kitérő egyenes hajlásszöge: Az a szög melyet úgy kapunk hogy az egyik egyenest önmagával párhuzamosan eltolva a másikkal metsző helyzetbe hozzuk az így keletkező immáron metsző egyenesek hajlásszöge lesz a két kitérő egyenes hajlásszöge Egyenes sík merőleges helyzete: Egy egyenes akkor merőleges egy síkra ha merőleges a sík összes egyenesére Bizonyítható hogy ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére akkor merőleges az összes egyenesére azaz merőleges a síkra Egyenes sík hajlásszögén az egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületének az adott egyenesnek a hajlásszögét értjük Két metsző sík hajlásszöge: A két sík metszvonalának egy pontjában a metszvonalra merőleges egyeneseket állítunk mindkét síkban az így nyert egyenesek hajlásszöge lesz a síkok hajlásszöge Ez a szög pótszöge az egyenes a sík normálisa által bezárt szögnek
Geometriai példatár 2 2010 Párhuzamos illetve egybeeső térelemek (sík egyenes) hajlásszöge nulla 212 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza (térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: GEM2-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-3
Geometriai példatár 2 2010 Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol tengely pedig az az ellipszis középpontja tengellyel párhuzamos fél- tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg az ellipszis féltengelyeire: Az az ellipszis ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol féltengely pedig az a hiperbola középpontja tengellyel párhuzamos tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg a hiperbola féltengelyeire: A az hiperbola ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza ahol tengellyel párhuzamos féltengelye a hiperbola középpontja pedig az tengellyel párhuzamos féltengely A parabola általános egyenletei (elhelyezkedtől függően: - az tengely pozitív irányába nyitott tengelye párhuzamos az ja tengellyel: ahol tengely negatív irányába pedig a fókuszpont a vezéregyenes távolsága (paraméter) - az nyitott tengelye párhuzamos az tengellyel: irányába nyitott tengelye párhuzamos az a parabola tengelypont- - az tengellyel: tengellyel: Az szimmetriatengelyű párhuzamos tív irányába nyitott parabola tengely ne- - az gatív irányába nyitott tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel tengely pozitív az tengely pozi- pontjában húzható érintőjének az egyenlete: Az irányába koordináta-tengellyel nyitott párhuzamos parabola szimmetriatengelyű pontjában húzható az érintőjének tengely az pozitív egyenlete: GEM2-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok A pontra illeszkedő sík egyenlete normálvektorával felírva: A sík normálegyenlete: Ha a síkot általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer- jük: illetve ugyanez tömörebb formában: A pont egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora valamint 0) ahol (tehát az irányvektor egyik koordinátája sem pedig az egyenes egy adott pontja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere ha pedig az egyenes egy adott pontja: az egyenes irányvektora ahol valós paraméter Itt is lehet azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0 Két egyenes párhuzamos ha irányvektoraik párhuzamosak azaz: Egy egyenes egy sík párhuzamos ha az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára azaz: Két sík ( Két egyenes merőleges ha irányvektoraik merőlegesek egymásra azaz: Egy egyenes merőleges az azaz: ) párhuzamos ha normálvektoraik párhuzamosak azaz: Két sík ( síkra ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával ) merőleges ha normálvektoraik merőlegesek azaz: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-5
Geometriai példatár 2 2010 Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora ahol Általános helyzetű egyenes sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora ahol az pedig a sík normálvektora Két általános helyzetű sík ( ) hajlásszögének meghatározása: a két sík normálvektora A gömb egyenlete: pedig a sugara A ahol ahol gömb pontjában a gömb középpontja húzható érintősík egyenlete: Az ellipszoid egyenlete: pontja az Az ahol az ellipszoid közép- a három féltengelye ellipszoid pontjában húzható érintősík egyenlete: 22 Metrikus feladatok 221 Szögekkel kapcsolatos feladatok 1 Adott két vektor Határozzuk meg az általuk bezárt c) 2 Legyen zárjon be egymással! szöget! a) b) Határozzuk meg az abszcisszáját úgy hogy a két vektor 60o-os szöget 3 Határozzuk meg a következő két-két egyenes által bezárt GEM2-6 c) e) szöget! a) b) d) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok 4 Adjuk meg azon egyenes egyenletét amelyik áthalad a ponton a harmadik síknegyedben a koordinátatengelyekkel olyan háromszöget alkot amelyiknek a területe területegység 5 Két egyenes egyenlete: e: f: Határozzuk meg az f egyenes m meredekségét úgy hogy a két egyenes által bezárt szög 6 Legyen e: f: legyen! Határozzuk meg az f egyenes egyenletében szereplő úgy hogy a két egyenes által bezárt szög értékét legyen 7 Határozzuk meg a f: következő két egyenes hajlásszögét! e: 8 Számítsuk ki az alábbi térelemek által bezárt szöget! e: S: 9 10 Mekkora a hajlásszögük a következő síkoknak? S: Adjuk meg az alábbi síkok hajlásszögét! S: R: R: 11 Adott egy egyenes egy S: 12 sík Mekkora az egymással bezárt szögük? e: Milyen szög alatt látjuk a pontból a g: ellipszist? 13 Milyen szög alatt látjuk a pontból a g: egyenletű görbét? 14 Határozzuk meg a g: egyenletű görbének a pontból való látószögét! 15 Milyen szög alatt látható a 16 pontból a egyenletű ellipszis? Adjuk meg annak az origó középpontú hiperbolának az egyenletét amelyiknek egyik pontja a aszimptotái 60o-os szöget zárnak be egymással! 17 Hány fokos szögben látható a pontból a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 egyenletű hiperbola jobb oldali ága? GEM2-7
Geometriai példatár 2 18 19 20 21 22 23 24 2010 Milyen szög alatt látható a g: parabola a Hány fokos szögben látható a pontból a g: pontból? egyenletű görbe? Adott egy f: egyenes egy g: egyenletű ellipszis Az egyenes két pontban metszi a görbét Határozzuk meg mind a két metszpontban az egyenes a görbe által bezárt hajlásszöget! Megjegyz: Egymást metsző görbe egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük melyet a metszpontban húzható érintő az adott egyenessel zár be Adott egy g: egyenletű hiperbola egy f: görbe egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszpontban! Adott egy g: egyenletű parabola egy f: az egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszpontban! Adott az origó középpontú hiperbola h: meg a metszpontjaikban keletkezett hajlásszögeket! Adott két parabola:g: letkezett hajlásszögeket! egyenes Határozzuk meg a egyenes Határozzuk meg a görbe g: h: ellipszis Határozzuk Határozzuk meg a metszpontjaikban ke- 222 Távolsági feladatok 1 Határozzuk meg azon háromszögek területét amelynek csúcsai: a) 2 3 c) Adott két pont továbbá három pont egy egyenesen legyen! b) Határozzuk meg a Adott két pont továbbá koordinátáját úgy hogy a három pont egy egyenesen legyen! pont ordinátáját úgy hogy a Határozzuk meg a pont ismeretlen 4 Egy háromszög csúcsai: területe T= ordinátáját úgy hogy a háromszög területe a megadott érték legyen! 5 Határozzuk meg azon gúlák térfogatait amelyeknek csúcsai: a) b) 6 Egy gúla csúcsai: Határozzuk meg a 7 8 Határozzuk meg a csúcs térfogata térfogategység csúcs applikátáját úgy hogy a térfogat a megadott érték legyen! Legyen hogy a négy pont egy síkban legyen Határozzuk meg a C pont abszcisszáját úgy Adott az háromszög Határozzuk meg: a) a C csúcsra illeszkedő magasságvonal egyenletét b) az mc magasság hosszát! GEM2-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok 9 Adott egy e: hogy a 10 pont Határozzuk meg a pont ordinátáját úgy pont távolsága az adott egyenestől 5 egység legyen! Adott az e: egyenes egy egyenes az pontpár Melyek azok a pontok amelyek az pontoktól egyenlő távolságra az e egyenestől pedig 5 egységre vannak? 11 Határozzuk meg a 12 Számítsuk ki a pontnak az e: egyenestől való távolságát! pontnak az S: síktól való távolságát! 13 Adott S sík egy e egyenes S: e: a) Állapítsuk meg kölcsönös helyzetüket! b) Ha metszőek határozzuk meg a metszpont koordinátáit! Ha párhuzamosak számítsuk ki a távolságukat! 14 15 Adott két párhuzamos sík: S: ; R: Adott egy S: sík Határozzuk meg a való távolsága 3 koordináta egység legyen! Határozzuk meg a távolságukat! pont ordinátáját úgy hogy a pont síktól 16 Létezik-e s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága? e: f: 17 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! b) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! c) Számítsuk ki távolságukat! 18 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 19 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 20 Határozzuk meg az egyenes egyenletében az ordináta-szelet ( ) értékét úgy hogy az egyenes az origótól 5 koordináta egységre legyen! Mekkora területű háromszöget alkot a koordináta-rendszer tengelyeivel a kapott egyenes? 21 Határozzuk meg az egyenes egyenletében a meredekség ( az origótól való távolsága 2 koordináta egység legyen! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 ) értékét úgy hogy az egyenesnek GEM2-9
Geometriai példatár 2 2010 22 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 23 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 24 Adott az A B sík egy e egyenes A: B: e: Határozzuk meg az e egyenes azon pontját amely mind a két síktól egyenlő távolságra van! 25 26 27 28 Adott három sík: A: B: C: Határozzuk meg mindazon pontokat amelyek egyrzt az A B síkoktól egyenlő távolságra másrzt a C síktól 1 koordináta egységre vannak! Adott két pont egy S: sík Határozzuk meg azon pontokat amelyek az adott pontoktól egyenlő távolságra az S síktól pedig 2 egységre vannak! Határozzuk meg az S: távolságát! síknak az Határozzuk meg az S: egyenletű gömbfelülettől való síknak a távolságát a következő gömbfelülettől: 29 30 Adjuk meg az S: síknak az ellipszoidtól való távolságát! Határozzuk meg az távolságát! egyenletű görbének az f: egyenestől való Határozzuk meg a g: egyenes távolságát! egyenletű hiperbola jobb oldali ága 31 az f: 32 Adott az 33 34 35 36 Adjuk meg az f: Határozzuk meg az egyenes távolságát! egyenletű ellipszis egy f: egyenesnek a g: egyenes Határozzuk meg távolságukat! egyenletű görbétől való távolágát! egyenletű hiperbola jobb oldali ága az egyenletű Adott az egyenletű hiperbola Mekkora annak a háromszögnek a területe amelyet az pontjára illeszkedő érintő az I III síknegyedben lévő aszimptota az x tengely zár be? Határozzuk meg az GEM2-10 parabola az egyenes távolságát! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok 37 38 Adjuk meg a g: görbe az f: Határozzuk meg az egyenes távolságát! ellipszisnek a egyenestől való távolságát! 39Az e egyenes mentén beeső fénysugár a tükör S síkjáról visszaverődve az e* egyenes mentén halad tovább Adjuk meg a visszavert fénysugár (e*) egyenletrendszerét ha: e: 40 Tükrözzük az S: S: pontra Adjuk meg a sík tükörképének (S*) egyenletét! síkot a 41 Tükrözzük az e: (e*) az egyenletrendszerét! egyenest a pontra! Adjuk meg az egyenes tükörképének 42 Tükrözzük a ( pontot a t: egyenesre! Adjuk meg a pont tükörképének ) koordinátáit! 43 44 Adott két párhuzamos egyenes: e: f: az adott egyenesekre illeszkednek Az egyik szára az van Határozzuk meg a trapéz területét! koordináta-síkon a másik pedig az Egy gúla egyik csúcsa az origó további három csúcsát az S: tengelyekkel alkotott metszpontjaiban nyerjük Mekkora a gúla térfogata? Egy trapéz csúcsai síkon síknak a koordináta- 45Egy háromszög két oldala az alább adott e f - egyeneseknek szakaszai a harmadik oldala párhuzamos az koordináta-síkkal fölötte egységnyi távolságra van Mekkora a háromszög kerülete? e: f: 46 Az e: egyenletrendszereit! 47 egyenest tükrözzük mind a három koordináta-síkra Adjuk meg a tükörképek Létezik-e s ha igen mekkora a térfogata annak a tetraédernek amelynek alaplapja S: síkon van három éle az alábbi (e; f; g) egyenesek szakaszai? e: f: g: 48 Adott két metsző egyenes: e: f: Határozzuk meg azon egyenlőszárú háromszög csúcsait amelynek szárai az adott egyenesek szakaszai a szárak hossza 7 koordináta egység Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-11
Geometriai példatár 2 2010 23 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK 231 Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1 a) b) c) 2 3 a) b) e) c) d) 4 5 6 7 A hajlásszöget az egyenesek irányvektorai által bezárt szög segítségével állapítjuk meg (figyelembe véve hogy két térelem nem zárhat be 90o-nál nagyobb szöget viszont két vektor szöge lehet 90o-nál nagyobb) Megjegyz: Két térbeli egyenes által bezárt szöget attól függetlenül meg tudjuk állapítani hogy tudnánk hogy metszők avagy kitérők (ugyanis a párhuzamosság az irányvektorok ismeretében kizárt) 8 9 10 11 12 A keresett látószöget a P pontra illeszkedő két érintő zárja be Az érintők e1: A keresett szög: GEM2-12 e2: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok 13 A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 14 A P pontra illeszkedő érintők: e1: 15 e2: A keresett látószög: A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 16 Két ilyen hiperbola van: 17 A P pontra illeszkedő érintők: e1: 18 e2: A keresett látószög: e 2: A keresett látószög: A P pontra illeszkedő érintők: e1: 19 A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 20 A görbe egyenes metszpontjai: Az metszpontnál létrejövő hajlásszög: e2: 21 A Az metszpontnál létrejövő hajlásszög: 22 A metszpontnál létrejövő hajlásszög: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 Az pontra illeszkedő érintő: pontra illeszkedő érintő: e1: Az A metszpontnál létrejövő hajlásszög: A görbe egyenes metszpontjai: Az A metszpontnál létrejövő hajlásszög: A görbe egyenes metszpontjai: e2: pontra illeszkedő érintő: e1: Az pontra illeszkedő érintő: pontra illeszkedő érintő: e1: A pontra illesz- GEM2-13
Geometriai példatár 2 2010 kedő érintő: e2: A metszpontnál létrejövő hajlásszög: 23A két görbe 4 (különböző síknegyedbe eső) pontban metszi egymást Ezen metszpontok koordinátái a közös szimmetriatengelyek miatt csak előjelben különböznek A keresett hajlásszögek ezért egyenlők tehát elegendő csak az I síknegyedben vizsgálódni A görbék metszpontja az I síknegyedben: M(4;2) Az ellipszis érintője az M pontban: e1: A hiperbola érintője az M pontban: e2: hajlásszöge az M pontban: A görbék 24Az y tengely a két parabola közös szimmetriatengelye ezért a két metszpont csupán az első koordinátáik előjelében térnek el egymástól Másrzt a két metszpontban keletkezett hajlásszögek megegyeznek A görbék metszpontja az I síknegyedben: Az egyik érintő: e1: A keresett hajlásszög: A másik érintő: e2: 232 Távolsági feladatok (Megoldások) 1 a) területegység b) területegység c) Megjegyz: Hogy a c) feladat háromszögének 0 a területe már abból is feltűnhet hogy az meghatározásával 2 vektorok koordinátáinak adódik ami csak úgy lehet ha a három pont egy egyenesre illeszkedik Ha a három pont egy egyenesen van három féle módon is megoldhatjuk a feladatot: a) Az területe 0 alkalmazzuk a terület-képletet b) háromszög Mivel a C egyik koordinátája ismert ezért eb- ből meghatározható majd az ismeretlen koordináta is számolható c) A C illeszkedik az AB egyenesre ezért annak egyenletét felírva majd a C koordinátáit behelyettesítve kiszámítható az ismeretlen koordináta Megoldás: 3 A feladat szövege azonos az előző feladatéval A különbség az hogy most három dimenzióban vagyunk Térben az előbbi megoldás a) variációja nem használható mert itt a T=0 egyenlet két ismeretlent tartalmaz A b) c) megoldást itt is alkalmazhatjuk Eredmények: 4 vagy 5 a) V=3 térfogategység b) 6 vagy térfogategység 7 Ha a négy pont egy síkban van akkor az általuk meghatározott gúla térfogata 0 Másik megoldás: Írjuk fel az A B D pontok közös síkjának egyenletét majd mivel a C pont ezen sík eleme a kapott egyenletbe helyettesítsük be a C pont koordinátáit Megoldás: GEM2-14 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok 8 a) b) mc=5 egység 9 Két megoldás van: az egyik az egyenes fölött : 10 a másik az egyenes alatt : Az A B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az f: szakaszfelező merőleges Az e egyenestől 5 egységre lévő pontok mértani helye két egymással az e egyenessel is párhuzamos h g egyenes h: g: Megoldás: az említett mértani helyek metszpontjai: 11Célszerű előbb meghatározni az egyenesnek azt a pontját amelyik a legközelebb van az adott ponthoz Ezt a pontot a P pontra illeszkedő az e egyenesre merőleges S: nesből: sík metszi ki az adott egye- Ezzel a feladatot visszavezettük két pont távolságának kiszámítására ami azonos a vektor hosszával: d=pm=7 egység 12A távolság: d=3 egység 13 a) Mivel ezért a két vektor merőleges az S sík az e egyenes párhuzamos egymással b) A távolságot az egyenes egy tetszőleges pontjának pl tartópontjának a síktól való távolságával mérjük: d=1 egység 14A távolság: d=3 egység 15 Az S síktól 3 egységre lévő pontok mértani helye a következő két sík: A: A P pont illeszkedik ezen síkokra: 16 A két egyenes párhuzamos mert van közös irányvektoruk: vagy B: Így létezik a távolságuk: d=7 egység 17a) Két kitérő egyenes normáltranszverzálisát a Geometria I jegyzet 73-75 oldalain leírt megoldási elv alapján számíthatjuk lásd az ott kidolgozott feladatot A kapott normáltranszverzális egyenletrendszere: Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás b) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre c) d=7 egység 18 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik az f egyenesre b) Megjegyz: Lásd 17/a megjegyzét c) d=3 egység 19 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) d=7 egység 20 A keresett érték: A meredekség: területegység 21 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-15
Geometriai példatár 2 2010 22 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) ség egy- 23 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) ség 24 egy- Két párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az az F: egyenletű sík amelynek az origótól való távolsága számtani közepe az adott síkok origótól való távolságának Megoldás: az e egyenesnek az F síkkal való metszpontja: 25Az A B síkoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye SZ F szögfelező síkok SZ: S: F: A C síktól egy egységre lévő pontok mértani helye az R: síkok A megoldás 4 olyan egyenes (e; f; g; h) amelye- ket az előbb említett síkok metszvonalaiként az alábbiak szerint nyerünk: e: az S F síkok metszvonala f: az S SZ síkok metszvonala g: az R F síkok metszvonala h: az R SZ síkok metszvonala Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 26Az A B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az AB szakasz felezőmerőleges síkja: F: L: Az S síktól 2 egységre lévő pontok mértani helye a H: síkok A megoldás: h: az F H síkok metszvonala l: az F L síkok metszvonala Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 27Két megoldási módot is adunk: a) Az S sík normálegyenletéből leolvassuk a síknak a gömb középpontjától jelen esetben az origótól való távolságát (9 egység) Ebből levonva a gömb sugarát (r=3 egység) kapjuk a sík a gömbfelület távolságát: d=6 egység b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik a gömb középpontjára merőleges az S síkra: f: f egyenesnek a gömbfelülettel alkotott metszpontjait: Meghatározzuk az Megvizsgáljuk hogy a két pont közül melyik van a síkhoz közelebb ( ) illetve távolabb ( ) a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=6 egység 28Két megoldási módot adunk: a) Megadjuk a gömb középpontjára illeszkedő S síkkal párhuzamos R síkot R: Meghatározzuk a két sík egymástól való távolságát (origótól való távolságuk különbségét 18-6=12 egység) Ebből a gömb sugarát (r=3 egység) levonva kapjuk az S síknak a gömbfelülettől való távolságát d=9 egység b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik GEM2-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok a gömb középpontjára merőleges az S síkra: f: a gömbfelülettel alkotott metszpontjait: Meghatározzuk az f egyenesnek Megvizsgáljuk hogy a két pont közül melyik van a síkhoz közelebb ( ) illetve távolabb ( ) a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=9 egység Megjegyz: Az előző feladat a) megoldási módszerét is alkalmazhattuk volna 29 Legyen egyenletéből (az az a felületi pont amelyhez tartozó érintősík párhuzamos az S síkkal A felület pont koordinátáinak segítségével) felírható egy E: említett párhuzamos síkok normálvektoraira: érintősík Az vektoregyenletnek kell teljesülnie A megfelelő koordinátákra hasonló egyenletek nyerhetők továbbá az pont rajta van a felületen ezért koordinátái kielégítik a felület egyenletét Az említett egyenletekből álló egyenletrendszer megoldásaként két felületi pontot kapunk (mert az S síkkal párhuzamos érintősíkból 2 van): Ezek közül az egyik a felület legközelebbi a másik a legtávolabbi pont A keresett távolság: 30Előbb próbáljuk meghatározni a görbének az f egyenessel párhuzamos érintőit Így megkapjuk a görbe egyeneshez legközelebbi illetve legtávolabbi pontját A legközelebbi pont: d=3 egység 31 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 32 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 33 34 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 35 Az érintő egyenlete: e: Az aszimptota egyenlete: A háromszög területe: területegység 36 37 38 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 39 A megoldás: e*: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-17
Geometriai példatár 2 40 2010 A megoldás: S*: 41 A megoldás: e*: 42 A megoldás: 43 A trapéz csúcsai: ; 44 ; A gúla csúcsai A trapéz oldalai: ; egység A trapéz kerülete az előbbi oldalak összege A gúla térfogata V=20 térfogategység 45 A háromszög csúcsai ; A háromszög oldalai: egység A háromszög kerülete: ; egység 46 Az e egyenes tükörképe az koordináta síkra: koordináta síkra: Az e egyenes tükörképe az Az e egyenes tükörképe az koordináta síkra: Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 47A tetraéder létezének feltétele hogy az adott három egyenesnek legyen egy közös pontja E közös ponthoz ha létezik úgy jutunk hogy meghatározzuk két-két egyenes metszpontját (tetraéder léteze esetén) ennek azonosnak kell lennie Most ettől megkíméljük a feladat megoldóját ugyanis vegyük zre hogy az egyenesek közös tartópontúak Tehát létezik a tetraéder s annak egy csúcsa az előbbi M pont A tetraéder alaplapjának nyerjük: 48 csúcsit az adott egyeneseknek az S síkkal alkotott döfpontjaiként A gúla térfogata: V=7 térfogategység A háromszög alapjával szemben lévő csúcsát a két egyenes metszpontjában nyerjük: a szárak hossza 7 egység ezért a Mivel csúcsokat az adott egyenesek az A középpontú 7 egység sugarú gömb felületéből metszik ki A feladatnak négy megoldása van Egyik megoldás: További megoldásokat az előbbi csúcsoknak az pontra való tükrözével nyerünk Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György: Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 GEM2-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010
Metrikus feladatok Kárteszi Ferenc: Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Kárteszi Ferenc: Lineáris transzformációk Tankönyvkiadó Budapest 1974 Reiman István: A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla: Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-19