Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 2 1 2 Albrecht Dürer, 1525
Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra a világra Milyen színértéket vegyen fel ez a pixel? Nézzük meg, mi látszik onnan a világból és az alapján rendeljünk hozzá a pixelhez egy színt! 1 2
Sugár Minden pixelre: Indítsunk egy sugarat a színtérbe Minden objektumra a színtérben: Nézzük meg, hogy metszi-e a sugár az objektumot A legközelebbi metszett objektum színével színezzük ki a pixelt A sugárnak van egy p 0 kiindulási pontja és egy v iránya A parametrikus sugár: ahol t > 0 (félegyenes!). p(t) = p 0 + tv, t = 0?, t < 0? sugár kezdőpontja, sugár mögötti részek Sugár Kérdés Honnan indítsuk a sugarat? Milyen irányba küldjük a sugarat? Hogyan metszük el a sugarat akármivel?
1 2 A szempozicióból indítunk sugarakat minden pixel középpontján keresztül Most: középpontosan szeretnénk vetíteni egy szembe, a vetítési sík egy négyszögletes részét megfeleltetve a képernyőnek Szem/kamera tulajdonságok: szempozició (eye), egy pont amire néz (center), felfele irányt megadó vektor a világban (up), nyílásszög, amekkora szögtartományt lát (fovx, fovy). (vetítővászon mérete. Most legyen adott: 2 tan ( fovx 2 ) 2 tan ( fovy 2 ) nagyságú ) Ezek segítségvel fogjuk megadni az (i, j) pixel világbeli koordinátáit Keressük a kamera saját u, v, w (jobbkezes!) koordinátarendszerét! Nézzen a kamera Z irányba! w = eye center eye center Az X tengely legyen merőleges mind w-re, mind az up irányra! u = up w up w Az Y tengely merőleges u-ra és w-re is: v = w u
(i, j) pixel koordinátái A sugár egyenlete Legyen p az i, j pixel középpontja, a vetítősík egységnyi távolságra a nézőponttól! Ekkor p(i, j) = eye + (αu + βv w). Ahol ( fovx α = tan 2 ( ) fovy β = tan 2 ) i width/2 width/2, height/2 j. hight/2 A sugár egy félegyenes, amit kezdőpontjával és irányvektorával adhatunk meg. Legyen p 0 a sugár kezdőpontja, v pedig az irányvektora, ekkor p(t) = p 0 + tv, t 0 megadja a sugár összes pontját. Most a sugarak kezdőpontját az előbbieknek megfelelően számoljuk, azaz p 0 = p(i, j) A sugár irányvektora pedig v = p(i,j) eye p(i,j) eye 1 A sugárkövető programok futásidejük döntő részében metszéseket fognak végezni Nézzük meg néhány egyszerű geometriai elemmel vett metszetét a sugárnak A sugarunk mindig a fent is látott p(t) = p 0 + tv alakú, ahol feltesszük a továbbiakban, hogy v = 1 2
: parametrikus sugár-implicit felület Legyen adva egy f (x) = 0 implicit egyenlet, ami meghatározza a metszeni kívánt felületünket (x R 3 ) A sugarunk egyenlete t [0, )-re meghatároz egy pontot a térben tegyük be ezt a képletet az implicit egyenletbe! Tehát a következő egyenletet kell megoldanunk t-re: f (p(t)) = 0 A kapott t-től függően a következő esetek állhatnak fenn: Ha t > 0, akkor a sugarunk előtt van a felület és metszi Ha t = 0 a sugár a felületről indul Ha t < 0, akkor a sugár mögött van a felület és metszi a sugár egyenese a felületet (de nekünk t > 0 kell!) : parametrikus sugár-parametrikus felület Legyen adva egy r(u, v) = [r x (u, v), r y (u, v), r z (u, v)] T parametrikus felület Kell: találni egy olyan t sugárparamétert, amihez létezik (u, v), hogy r(t) = r(u, v) Ez három ismeretlenes (t, u, v), három egyenletes (x, y, z koordinátánként egy) egyenletrendszer A t ugyanúgy ellenőrizendő, mint előbb, de most az (u, v)-re is figyeljünk, hogy a felületünk paramétertartományának megengedett részén van-e (általában (u, v) [0, 1] 2 kell)! 1 2 Egyenes és implicit sík metszéspontja Síkot megadhatunk implicit alakban: Ax + By + Cz + D = 0 A x 0 x p(t) = p 0 + tv = y 0 + t y z 0 z sugár egyenese metszi a síkot, ha A(x 0 + tx) + B(y 0 + ty) + C(z 0 + tz) + D = 0
Egyenes és implicit sík metszéspontja Egyenes és normálvektoros sík metszéspontja Ezt t-re átrendezve adódik t(ax + By + Cz) + x 0 + y 0 + z 0 + D = 0 t = x 0 + y 0 + z 0 + D Ax + By + Cz Látható a sík a nézőpontunkból, ha t > 0 Legyen q 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen p 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egyenlete: p(t) = p 0 + tv A sík egyenlete: n, q q 0 = 0 - minden q pontja a síknak kielégíti ezt az egyenletet Egyenes és normálvektoros sík metszéspontja Behelyettesítve p(t)-t a q helyére: n, p 0 + tv q 0 = 0, n, p 0 + t n, v n, q 0 = 0, t = n, q 0 n, p 0 n, v = n, q 0 p 0, n, v ha n, v 0. A sugár metszi a síkot, ha: t > 0. Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut Egyenes és parametrikus sík metszéspontja Síkot megadhatunk egy q pontjával és i, j kifeszítő vektorokkal is: s(u, v) = q + ui + vj Metszéspont a p(t) = p 0 + tv sugár egyenesével: keressük t és u, v-t úgy, hogy Beírva a képleteket adódik Átrendezve kapjuk, hogy p(t) = s(u, v) p 0 + tv = q + ui + vj p 0 q = tv + ui + vj
Egyenes és parametrikus sík metszéspontja Ez három ismeretlenes, három lineáris egyenletből álló egyenletrendszer, ami megoldható, ha v, i, j lineárisan nem összefüggő Mátrix alakban: p 0x q x v x i x j x t p 0y q y = v y i y j y u p 0z q z v z i z j z v Látjuk a síkot, ha t > 0 (most u, v R a felület paramétertartománya, ez teljesülni fog) 1 2 Háromszög megadása Háromszög és egyenes metszéspontja Egyértelműen megadható három csúcsával. Ha a, b, c a háromszög csúcsai, akkor a hozzátartozó sík pont-normálvektoros implicit megadásához a sík egy pontja a, b, c bármelyike normálvektora n = (c a) (b a) (c a) (b a), ahol a vektoriális szorzást jelöli, és ekkor n egységnyi hosszúságú. Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentrikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c p Akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 A gyorsabb számolásért vegyük a fentinek egy síkra vett vetületét Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 A gyorsabb számolásért vegyük a fentinek egy síkra vett vetületét A koordinátasíkok közül (XY, XZ vagy YZ) arra vegyük a háromszög 2D vetületét, amelyre a háromszög vetületének területe a legnagyobb! a háromszög és a sík normálisa leginkább egyállású Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 A gyorsabb számolásért vegyük a fentinek egy síkra vett vetületét A koordinátasíkok közül (XY, XZ vagy YZ) arra vegyük a háromszög 2D vetületét, amelyre a háromszög vetületének területe a legnagyobb! a háromszög és a sík normálisa leginkább egyállású A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.
Pont a háromszögön vizsgálat Azt tengely kell választani, amelyik mentén a legnagyobb a háromszög normálvektorának abszolút értéke. (Így biztos nem fordulhat elő, hogy a háromszög merőleges a síkra, és csak egy szakasz marad belőle!) Pont a háromszögön vizsgálat Pl. legyen a z a választott tengely. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y Pont a háromszögön vizsgálat Pont a háromszögön vizsgálat Pl. legyen a z a választott tengely. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y Behelyettesítve λ 3 = 1 λ 1 λ 2 -t, és rendezve: Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (b y c y )(x c x ) (b x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) λ 2 = (a y c y )(x c x ) (a x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) x =λ 1 (a x c x ) + λ 2 (b x c x ) + c x y =λ 1 (a y c y ) + λ 2 (b y c y ) + c y
Pont a háromszögön vizsgálat Pont a háromszögön vizsgálat Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (b y c y )(x c x ) (b x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) λ 2 = (a y c y )(x c x ) (a x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) A nevező csak degenerált háromszög esetén lehet nulla. Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (b y c y )(x c x ) (b x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) λ 2 = (a y c y )(x c x ) (a x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) A nevező csak degenerált háromszög esetén lehet nulla. p akkor és csak akkor van a háromszögön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1. Sugár metszése poligonnal 1 Tegyük fel, hogy a poligonunk csúcsai egy síkban vannak, ekkor a metszés két lépésben A sugarunkat metszük el a poligon síkjával Döntsük el, hogy a metszéspont a poligonon belül van-e A másodikat egy síkban érdemes csinálni (vagy a poligon síkjában, vagy a poligon valamely koordinátatengelyre vett vetületének síkjában) 2
Sugár metszése poligonnal Pont-poligon tartalmazás teszt síkban A pont a poligonon belül van, ha tetszőleges irányú, belőle indított sugárnak páratlan számú metszéspontja van a poligon oldalaival (azaz a sugarat a poligon összes oldalszakaszával el kell metszeni) Konkáv és csillag alagú poligonra is működik Sugár metszése szakasszal Sugár metszése szakasszal A poligon d i = (x i, y i ), d i+1 = (x i+1, y i+1 ) csúcspontjai közötti szakasz parametrikus alakja: d i,i+1 (s) = (1 s)d i + sd i+1 = d i + s(d i+1 d i ), s [0, 1] Ezt kell metszeni a p(t) = p 0 + tv alakú sugárral Most: a p 0 = (x 0, y 0 ) pont az a pont, amiről el akarjuk dönteni, hogy a poligonon belül van-e, d tetszőleges Legyen v = (1, 0)! Így a p(t) = d i,i+1 (s) egyenletet csak y koordinátára kell megoldani Keressük meg, hogy hol metszi a d i,i+1 (s) oldal egyenese a sugarat (=melyik s-re lesz d i,i+1 (s) y = y 0?) Azaz y 0 = y i + s(y i+1 y i ) s-t kifejezve: s = y 0 y i y i+1 y i Innen megkapjuk azt az x koordinátát d i,i+1 (s)-be behelyettesítve, ahol a sugár metszi a szakaszt. Ha s / [0, 1] : a sugár nem metszi a szakaszt (csak az egyenesét) Ha t 0: a sugár egybeesik a szakasszal, vagy mögötte van a metszéspont
A gömb egyenlete 1 2 Az r sugarú, c = (c x, c y, c z ) középpontú gömb implicit egyenlete: (x c x ) 2 + (y c y ) 2 + (z c z ) 2 r 2 = 0 Ugyanez skalárszorzattal feĺırva: ahol p = (x, y, z). p c, p c r 2 = 0, Gömb és egyenes metszéspontja Legyen p 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egyenlete: p(t) = p 0 + tv Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: p 0 + tv c, p 0 + tv c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, p 0 c + p 0 c, p 0 c r 2 = 0 t 2 v, v + 2t v, p 0 c + p 0 c, p 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, p 0 c ) 2 4 v, v ( p 0 c, p 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.
Sugár metszése AAB-vel 1 AAB = axis aligned box, olyan téglatest, aminek az oldallapjai a koordinátasíkjainkkal párhuzamosak Legyen a sugarunk p(t) = p 0 + tv alakú, ahol p 0 = (x 0, y 0 ), v = (v x, v y )a téglatestet pedig adjuk meg átlójának két pontjával, a és b segítségével (a < b)! Tegyük fel, hogy a sugár kiindulópontja a doboztól balra helyezkedik el (ezt megtehetjük) 2 Sugár metszése AAB-vel Ha v x = 0: vízszintes a sugarunk, nincs metszéspont, ha x 0 / [a x, b x ], különben triviális eldönteni. Ha v x 0, akkor a két paraméter (négyzet bal és jobb oldala): t 1 := ax x 0 v x, t 2 := bx x 0 v x y és z koordinátákra hasonlóan el kell végezni a számítást. Ezek alapján megállapítható, hogy melyik két lapját a téglatestnek hol metszi a sugár. 1 2
Legyen M egy adott objektum transzformációs mátrixa. Feladat: Keressük r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontját! Probléma: Hogyan transzformálunk egy gömböt? Pontonként? Képletet írjuk át?... Megoldás: Transzformáljuk inkább a sugarat! Tétel Az r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontja az M 1 -zel transzformált r sugár és az objektum metszéspontja. M R 4 4, homogén transzformáció Sugár kezdőpontja: p 0 = (p x, p y, p z ) [p x, p y, p z, 1] Sugár iránya: v = (v x, v y, v z ) [v x, v y, v z, 0]. Így nem hat rá az eltolás. Transzformált sugár r (t) : M 1 p + t M 1 v Metszésvizsgálat: használjuk r (t)-t! Metszéspont: q, akkor az eredeti térben M q.
Rekurzı v suga rko vete s Rekurzı v suga rko vete s Egyszeru sı tett illumina cio s egyenlet Minden pixelre egyma sto l fu ggetlenu l hata rozzuk meg azok szı ne t oldjuk meg az a rnyala si e s takara si feladatot. A fe ny u tja t ke t fe le komponensre bontjuk: koherens e s inkoherens komponensre Koherens eset Az optika nak megfelelo idea lis visszavero de s ( tu kro zo de s ) e s to re s Tova bb ko vetju k a fe ny u tja t Inkoherens eset Minden egye b Csak az absztrakt fe nyforra s direkt megvila gı ta sa t vesszu k figyelembe Turner Whitted, 1980 Sza mı to ge pes Grafika Rekurzı v suga rko vete s Sza mı to ge pes Grafika Rekurzı v suga rko vete s Koherens komponens Inkoherens komponens Sza mı to ge pes Grafika Sza mı to ge pes Grafika
Egyszerűsített illuminációs egyenlet A következő, egyszerűsített megvilágítási egyenletet oldjuk meg: L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) Sugárkövetés Emisszió L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + l Lights f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) A szempozicóból sugarakat indítunk minden pixel középpontján keresztül. Ennek a sugárnak az irányát adja meg ω-t (minusz omega!). A sugár és a színtér objetumainak szemhez legközelebbi metszéspontja adja meg x-et. L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + l Lights f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) Az x felületi pontból, az ω nézeti irányból érkező radiancia, a felület saját sugárzása emissziója miatt.
Ambiens fény Fényforrások L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + l Lights f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) k a a felület, L a a környezet ambiens együtthatója. Az egyenlet ambiens tagja közeĺıti azt a fénymennyiséget, ami általánosan jelen van, minden felületet ér, azok helyzetétől és az absztrakt fényforrásoktól függetlenül. L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) Az inkoherens visszarődéseket foglalja össze a szummás tag Csak a fényforrások direkt hatását vesszük figyelembe És csak akkor, ha az az x felületi pontból látszik Fényforrások Fényforrások L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) ω l a fényforrásból a felületi pontba mutató egységvektor. f r (x, ω l, ω) most csak a diffúz és spekuláris visszaverődést jellemző BRDF. ω l n a felületi normális és a fényforrás fele mutató vektor által bezárt szög koszinusza. Ha az l fényforrás teljesítménye Φ l és poziciója x l akkor L i (x, ω l ) = v(x, x l ) Φ l x x l 2. v(x, x l ) [0, 1] függvény: Mi van a felületi pont és a fényforrás között?
Fényforrások Tükröződés L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + v(x, x l ) [0, 1] függvény l Lights = 0, ha a fényforrás nem látható x-ből, = 1, ha igen, f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) (0, 1), ha átlátszó objektumok vannak a kettő között. v kiszámításához úgynevezett árnyéksugarat indítunk x-ből x l -fele, és az objektumokkal való metszését nézzük. L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) A tükörirányból érkező fényt k r arányban vesszük figyelembe. ω r az ideális tüköriránynak megfelelő beeső vektor. L(x, ω r ) kiszámítása azonos L(x, ω) kiszámításával (rekurzió!). Új sugár: szempozíció helyett x, és a sugár iránya ω r. Fénytörés L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) A törési-irányból érkező fényt k t arányban vesszük figyelembe. ω t a törésiránynak megfelelő beeső vektor. L(x, ω t ) kiszámítása megint azonos L(x, ω) kiszámításával (rekurzió!). Új sugár: szempozició helyett x, és a sugár iránya ω t.