. Rugalmas állandók mérése Tóth Bence fizikus,. évfolyam 00.0.. péntek délelőtt beadva: 00.03.04.
. A mérés első felében fémrudak Young-moduluszát mérjük, pontosabban behajlást mérünk, és ebből számolunk Young-moduluszt. Külön vizsgáljuk az állandó rúdhossz és az állandó hajlítóerő esetét az erre a célra szolgáló állítható feltámasztásos, mérőórás kétkarú emelővel. Először lemértem csavarmikromérővel a két rúd paramétereit: a henger átmérőjét és a téglatest két rövidebbik oldalát. Ezekre az adatokra a végső, Young-moduluszra vonatkozó képletben lesz szükség. V3-as rúd i d i (mm d i =d i - d (mm ( d i *0 - (mm 0,00-0,0039, 0,0 0,006 3,734 3 0,00 0,00 0,3 4 0,00-0,0039, 0,0 0,006 3,734 6 0,00 0,00 0,3 7 0,00 0,00 0,3 8 0,00-0,0039, 9 0,00-0,0039, ahol d i a rúd átmérője az i-edik mérés szerint d =0,0089mm 9 ( d i = 0,0039mm d 9 *8 d=(0,009±0,00mm És a sugár: r=(,004±0,000mm Az alábbi táblázat a használt súly tömegét (már beszorozva a k fakorral, az ebből számított erőt valamint a behajlás mérőórával mért értékét mutatja. Az s értékéhez mindenhol hozzáadódik egy ±0,00mm-es hiba, de ezt nem írtam bele a táblázatba. m(g F(N s(0,0mm 00 4,90 97 70 7,37 03 000 9,8 09 0,6 4 00 4,7 0 000 9,6 30 00 4, 4 3000 9,43 300 34,33 63 4000 39,4 7 400 44,4 84 000 49,0 94 00 3,9 0 600 63,76 6
A behajlás a rúdra ható erő függvényében: 60 40 "v3.txt" f(x 0 00 s(0,0mm s(0 - m 80 60 40 0 00 80 0 0 0 30 40 0 60 70 Itt az egyenes meredeksége m=(.8±0.008*0 - valamint tengelymetszete b=(87.3±0.3*0 - F(N 3 l Ahonnan az E= egyenletből a Young-modulusz: 48 mi E l = 3 m I 0,000 + + =3 E l m I 0, 4 + 0, 008 0, + =0,0078, 8 49,6 E=(,4±0,0*0 Pa ahol l=(40±0,0cm=(0,4±0,000m a két alátámasztás távolsága m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben kör keresztmetszetű rúdra I= 4 π R 4 = 4 π [(,004±0,000mm] 4 = 4 π (,004±0,000 4 *0 - m 4 = = 4 π (67,30±4*0,067 *0 - m 4 = 4 π (67,30±0,08 *0 - m 4 (49,6±0, *0 - m 4 3
Erre a rúdra mértem ki a lehajlás l 3 függését. 00g hatott a rúdra, ez 3,9N. i l i (cm l 3 i (cm 3 s 0 (0,0mm s(0,0mm s=s-s 0 (0,0mm 40 64000 98 0 07 36 4666 38 4 76 3 3 3768 6 0 4 8 9 73 0 37 4 384 66 89 3 6 0 8000 6 77 7 6 4096 7 64 7 8 78 4 7 3 9 8 3 A behajlás a rúd hossza a négyzetének a függvényében: 0 "l3.txt" f(x 00 80 s(0 - m 60 40 0 0 0 0000 0000 30000 40000 0000 60000 70000 l i 3 (cm 3 Itt az egyenes meredeksége m=0,06±0,000 valamint tengelymetszete b= (7±4*0-6 4
F Innen az E= egyenletből a Young-modulusz: 48 mi E=(,383±0,009*0 Pa E m I 0, = + = + =0,0060 E m I 64 49,6 ahol F=3,9N a ráakasztott súlyok által kifejtett erő m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben téglalap keresztmetszetű rúdra, ahol a az alap, b a magasság. a=(,438±0,00mm b=(8,4±0,00mm I-t az előbb kiszámoltuk: I=(49,6±0, *0 - m 4 A4-es rúd i d i (mm d i =d i - d (mm ( d i *0 - (mm,440 0,007 0,77,440 0,007 0,77 3,440 0,007 0,77 4,44 0,0067 4,444,43-0,0033, 6,440 0,007 0,77 7,43-0,0033, 8,430-0,0083 6,944 9,440 0,007 0,77 ahol d i a rúd hosszabbik oldalának nagysága az i-edik csavarmikromérővel való mérés szerint. d =,438mm 9 ( d i = 0,0044mm d 9 *8 A hosszabbik oldal: d=(,438±0,00mm i d i (mm d i =d i - d (mm ( d i *0 - (mm 8,30-0,8 39,4 8,4-0,03 7, 3 8,440 0,009 0,3 4 8,44 0,0069 4,77 8,440 0,009 0,3 6 8,440 0,009 0,3 7 8,440 0,009 0,3 8 8,44 0,0069 4,77 9 8,430-0,008 6,60 d i a rúd rövidebbik oldalának nagysága az i-edik mérés szerint szintén csavarmikromérővel. d =8,4mm d 8 ( d 8*7 i = 0,0049mm 0,00mm
A rövidebbik oldal: d=(8,4±0,00mm Az első adatot kihagytam a számolásból, nagyon kiugró volt, és nagyon pontatlanná tette volna a végső értéket. Az alábbi táblázat a használt súly tömegét (már beszorozva a k fakorral, az ebből számított erőt valamint a behajlás mért értékét mutatja a rúd fektetett ( állásában. Az s értékéhez mindenhol hozzáadódik egy ±0,00mm-es hiba, de ezt nem írtam bele a táblázatba. m(g F(N s(0,0mm 00 4,90 60 70 7,37 70 000 9,8 79 0,6 89 00 4,7 98 70 7,67 08 000 9,6 7 0,07 7 00 4, 3 70 6,977 4 3000 9,43 4 A behajlás a fektetett rúdra ható erő függvényében: 60 "a4_f.txt" f(x 40 s(0,0mm s(0 - m 0 00 80 60 0 0 30 F(N 6
Itt az egyenes meredeksége m=(3,83±0,0*0 - valamint tengelymetszete b=(4,7±0,3*0 - Innen az E= 48 E l = 3 m + E l m E=(,6±0,06*0 0 Pa 3 l egyenletből a Young-modulusz: mi I 0,000 + =3 I 0, 4 + 0, 0 0,00 + =0,00978 3, 83 6,98 ahol l=(40±0,0cm=(0,4±0,000m a két alátámasztás távolsága m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben téglalap keresztmetszetű rúdra, ahol a az alap, b a magasság. a=(,438±0,00mm b=(8,4±0,00mm ab 3 I= =(6,98±0,00*0-0 m 4 I a = + I a b 3 = b 0,00,438 +3 0, 00 8, 4 =0,000793 Az alábbi táblázat a használt súly tömegét (már beszorozva a k fakorral, az ebből számított erőt valamint a behajlás mért értékét mutatja a rúd álló ( helyzetében. Az s értékéhez mindenhol hozzáadódik egy ±0,00mm-es hiba, de ezt nem írtam bele a táblázatba. m(g F(N s(0,0mm 00 4,90 6 70 7,37 67 000 9,8 7 0,6 7 00 4,7 79 000 9,6 88 00 4, 96 3000 9,43 04 4000 39,4 000 49,0 37 7000 68,67 69 7
A behajlás az álló rúdra ható erő függvényében: 80 "a4_a.txt" f(x 60 40 s(0,0mm s(0 - m 0 00 80 60 0 0 0 30 40 0 60 70 Itt az egyenes meredeksége m=(,676±0,008*0 - valamint tengelymetszete b=(4,6±0,*0 - F(N 3 l Ahonnan az E= egyenletből a Young-modulusz: 48 mi E l = 3 m I 0,000 + + =3 E l m I 0, 4 + 0, 008 0,0008 + =0,009, 676,30 E=(,89±0,0*0 0 Pa ahol l=(40±0,0cm=(0,4±0,000m a két alátámasztás távolsága m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben téglalap keresztmetszetű rúdra, ahol a az alap, b a magasság. a=(8,4±0,00mm b=(,438±0,00mm ab 3 I= =(,30±0,0008*0-9 m 4 I a = + I 3 b = 0, 00 0,00 +3 =0,000479 a b 8, 4,438 8
. A mérés második felében a 4-es számú torziós szál torziómoduluszát mérjük meg egy torziós ingával. Ennek kiszámításához szükség van a huzal és az inga paramétereire, valamint az inga periódusidejére. Ezek ismeretében már ki tudjuk számítani az ingával ismeretlen testek tehetetlenségi nyomatékát igaz ez ebben a mérésben már nem szerepelt. A mérési összeállítás olyan, hogy függ attól, hogy hogyan állítottam be az elején a torziós szál tartócsavarját, milyen magasan van az inga, akár a lengés amplitúdójától is, de attól mindenképpen, hogy az inga vertikálisan mozog-e, és ha igen, mennyire. Ezek itt nem igazán küszöbölhetőek ki, ezért érdemes kimérni ezek hatását a lengésre. Az első beállításnál ötször hagytam csillapodni, és mértem a periódusidőt. Ugyanazzal a tárcsahelyzettel (4. lyuk leengedtem, újra összeraktam a mérést, ebből lett a második, majd megint elölről kezdve a harmadik mérés. i az összerakás sorszáma, x a mérés sorszáma (a másodiknál és a harmadiknál ez értelemszerűen egy, T ix pedig az i-dik összeállítás x-dik mérésből kapott periódusideje. i x T ix (s 7,43 7,40 3 7,446 4 7,404 7,468 7,40 3 7,40 Csak az első öt adattal számolva, megnézve a csillapodás hatását: Az csillapodó periódusidő eltérése az átlagtól: T x =7,4308s 0,00000s -0,0080s ( Tx 0,000s -0,00680s =0,0040s T x * 4 0,00370s Vagyis az utolsó két, gép által mért jegyben már eltérés van a mérés alatti perturbációk miatt. Az első öt mérés átlagát és a második harmadik beállítást véve így függ a periódusidő a beállítástól: T i =7,49s A beállítástól függő periódusidő eltérése az átlagtól: 0,00087s 3-0,00893s ( Tix 0,00707s =0,000434s T i 3* Tehát a beállítás miatti eltérés is az utolsó két jegyen már meglátszik. 9
a(m a (m T(s T (s 0 0,94 8,07 0,03 0,0009 6,688 43,49 0,04 0,006 7,446 4,9763 0,0 0,00 8,363 69,940 0,06 0,0036 9,40 88,48 0,07 0,0049 0,493 0,03 0,08 0,0064,67 3,87 0,09 0,008,790 63,84 0, 0,0 3,96 9,0 Itt a a tárcsa távolsága az inga forgástengelyétől. Ennek hibája ±0,0mm, T az inga lengésének periódusideje, aminek a hibája az előbb számolt ±0,00s. Ezek nincsenek benne a táblázatban. A periódusidő négyzete a tengelytől való távolság négyzetének függvényében: 00 "T.txt" f(x 0 T (s 00 0 0 0.00 0.004 0.006 0.008 0.0 a (m Itt az egyenes meredeksége m=(6700±0 valamint tengelymetszete b=8,±0,08 0
Az ingára rakott két tárcsa (a 6-os és az -ös számú adatai: i d 6i (cm d 6i =d 6i - d 6 (cm d i (cm d i =d i - d (cm 4,0-0,0080 4,0-0,0060 4, 0,000 4, 0,0040 3 4, 0,000 4, 0,0040 4 4,0-0,0080 4,0-0,0060 4, 0,00 4, 0,0040 ahol d xi az x-edik tárcsa átmérője az i-dik mérés szerint. A 6. számú tárcsa adatai: =4,08cm d 6 ( d 6i = 0,00374cm d 6 * 4 d 6 =(4,08±0,004cm r 6 =(,4±0,00cm m 6 =0,969kg Az. számú tárcsa adatai: =4,06cm d ( d i = 0,00449cm d * 4 d =(4,06±0,00cm r =(,3±0,00cm m =0,946kg A torziós szál adatai: d i a szál i-dik, csavarmikromérővel mért átmérője. i d i (mm d i =d i - d (mm 0, 0,0077 0, 0,0077 3 0,09-0,000773 4 0,08-0,00773 0, 0,0077 6 0,0 0,00077 7 0, 0,0077 8 0,09-0,000773 9 0,0 0,00077 0 0,08-0,00773 0,08-0,00773 d =0,097mm d ( d * 4 i =0,00449mm
d=(0,0±0,00mm r=(0,±0,00mm l=(8,9±0,0 cm A K állandó csak egy egyszerűsítés, hogy a végképletben ne kelljen ezt mindig kiírni. K l r 0,0 = +4 = K l r 8, 9 +4 0, 00 =0,06 0, 8π l 0,89 K= r 4 =8π =(3,0±0,06*0 m -3 4 0,000 Ezekből a torziómodulusz: G K m 0, 00 = + =0,06+ =0,077 G K m, 67 m 6 + m G=K =3,*0 0,969 + 0,946 * m 6700 =(8,±0,*0 0 GPa A két tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: Θ 6 r = 6 0, 00 = =0,007746 Θ6 r6, 4 Θ r = 0, 00 = =0,0008878 Θ r, 3 Θ 6 = m6 r 6 = *0,969*0,00008=(4,986±0,009*0 - m kg Θ = m r = *0,946*0,03=(4,940±0,004*0 - m kg b m 8 + = b m 80 0, 00 +, 67 =0,004034 a(m Θ(m kg 0,00 0,000660 0,03 0,000 0,04 0,0086 0,0 0,00638 0,06 0,00068 0,07 0,0076 0,08 0,0036 0,09 0,00387 0,0 0,00470 Θ=Θ ü +Θ 6 +Θ +(m 6 +m a Gb = -Θ6 -Θ + Θ 6 +Θ +(m 6 +m a m 6 + m =b +(m 6 +m a = k m 0,969 + 0,946 =8, +(0,969+0,946a =6,60*0-4 +0,39094a 6700 A fenti táblázatban az inga+tárcsák rendszer tehetetlenségi nyomatékát számoltam ki. Ez ábrázolva gyakorlatilag egy eltolt négyzetgyök. És végül az üres inga tehetetlenségi nyomatéka: m 6 + m Θ ü =b -Θ 6 -Θ =(0,6±0,00*0-3 m kg m