Bevetésen egy iraki küldetés feladatai Trigonometria 2. feladatcsomag

Bevetésen egy iraki küldetés feladatai Trigonometria 2. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 16 18 év modellezés, modellalkotás, alkalmas modellek keresése adatok olvasása táblázatból trigonometriai alapismeretek derékszögű háromszögekre vonatkozó ismeretek egyszerű fizikai összefüggések (út idő sebesség) és használatuk a matematikai modellben A feladatcsomag kerettörténete egy olyan repülőút, amilyet a Magyar Honvédség katonái rendszeresen teljesítettek hazánk iraki szerepvállalása során. Most a diákokra hárul a repülőút megtervezése, modellezése, illetve a repüléssel kapcsolatos számítások elvégzése. A feladatok a szakközépiskolák és gimnáziumok felsőbb osztályait végző, 16 18 éves tanulóinak készült. A kérdések egy része ugyan feltehető fiatalabbaknak is, mégis a feladatok komplexitása, a modellek keresésének nehézségei és időigénye, továbbá a témaválasztás a megoldóktól érettebb gondolkodást kíván. A kérdések megválaszolása közben a diákok olyan dokumentumokkal találkoznak, amelyekkel az igazi pilóták is dolgoznak, ezáltal bepillantást nyernek egy érdekes szakma rejtelmeibe, miközben felismerik a matematika szükségességét és gyakorlati hasznát a pilóták munkáján keresztül. Fejlődik Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 1

a problémamegoldó gondolkodásuk, és motiválttá válnak a hosszabb időt igénylő feladatmegoldásra is. A feladatcsomag alapvetően páros munkára készült, de (különösen a modellezési rész) alkalmas csoportos fejtörésre is. Némelyik kérdés megválaszolása internetes munkát is igényelhet, de az adott feladat helyettesíthető hagyományos módszerrel is. A feladatok listája 1. A repülőút tervezése (eszközhasználat, problémamegoldás, tájékozódás, felismerés, gondolkodás, utasításkövetés) 2. A repülőút modellezése (problémamegoldás, értelmezés, lényeglátás, fantázia) 3. Repülési terv készítése (tanult ismeretek mozgósítása, gyakorlati alkalmazás, lényeglátás, felismerés) 4. Tisztelt Utasaink, itt a kapitány beszél (gondolkodás, pontosság, tanult ismeretek mozgósítása, számolás, figyelem, megfigyelés) 5. Bagdad megközelítése (fantázia, értelmezés, problémamegoldás, lényeglátás, gondolkodás, felismerés, tanult ismeretek mozgósítása) Módszertani tanácsok A feladatokat egymás után célszerű végezni, mivel a feladatok a kerettörténetnek megfelelően épülnek egymásra, és az egyes későbbi feladatok feltételezik a korábbi kérdések megoldásainak, eredményeinek ismeretét. Például nem lehet egy 2 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

repülési naplót úgy kitölteni, hogy előtte nem tervezzük meg a repülést. A feladatok többsége páros munkára készült. Ennek szerepe a történet miatt is indokolt (pilóta + másodpilóta szerepkör), de a problémamegoldást is elősegíti a páros fejtörés. Az egyéni modellezési feladatok is kiadhatók csoportos munkára, sőt, akár otthoni ötletelésre is. Az egyes feladatokat célszerű frontálisan kiértékelni. Itt lehetőség nyílik az egyes modellek összevetésére, a hibakeresésre és az észrevételek megvitatására. Számolni kell azzal, hogy a modellalkotás és a kiértékelés is időigényes. Éppen ezért felmerülhet több feladat, vagy akár az egész feladatcsomag szakköri alkalmazása, ahol kellő idő áll rendelkezésre, és így a problémakör alaposan végiggondolható. Az első feladat internethasználatot igényel. A feladat alkalmazható tanórán, ha a technikai feltételeket tudjuk biztosítani, ellenkező esetben kiadhatjuk házi feladatnak, vagy áttérhetünk egy hagyományos (térképes) módszerre. Az internet helyes tanórai használata (például egy matematikai feladat megoldására) nevelési szempontból is rendkívül hasznos. Megoldások, megjegyzések 1. A repülőút tervezése Az első feladat számítógép- és internethasználatot igényel. Amennyiben módunkban áll, biztosítsuk a technikai feltételeket. Ha erre nincs lehetőség, az első feladatot kiadhatjuk házi feladatnak. Bevezetésként érdemes pár szót ejteni a Magyar Honvédség külföldi misszióiról, ezeken belül a repülés szerepéről. Beszélgessünk repülési élményekről, majd ebből következően egy repülőút részleteiről, fázisairól. Hallgassunk meg tanulói ötleteket a repülési tervet illetően. 1. Használjuk a aft Logic programot, amely az alábbi URL-címről érhető el (ingyenes, az online felületen használható): Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 3

www.daftlogic.com/projects-google-maps-distancecalculator.htm A aft Logic program lehetővé teszi két vagy több pont légvonalbeli távolságának meghatározását. A helyes használat módja az adott honlapon olvasható, a 16 18 éves diákoktól pedig feltételezhető az angol nyelv alapfokú ismerete. Segítségként néhány javaslat: Megfelelő nagyítás mellett jól láthatóvá válik mind a kecskeméti, mind a bagdadi repülőtér. A program utasításait követve egyszerű kattintással kijelölhetjük a kecskeméti repülőtér kifutópályáját kezdőpontnak, majd a bagdadi repülőtér betonját végpontnak, ezután a program automatikusan elvégzi a számítást. Figyeljünk arra, hogy a program alapértelmezésben mérföldben adja meg a távolságot, de egy kattintással a kívánt kilométeres értékre válthatunk. Szintén segítségként álljanak itt a két repülőtér koordinátái. Ezeket bemásolva mindenki azonos távolságokat fog kapni, de az is megfelelő, ha valaki a koordinátákat csak arra használja fel, hogy azonosítsa a repülőtereket, és a kezdő-, illetve végpontok megjelölését már önállóan végzi. Kecskemét: 46,917148N, 19,749920E Bagdad: 33,257189N, 44,219906E (A helymeghatározás a földrajzi fokhálózat segítségével történik. A nemzetközi jelrendszert követve a fokban kifejezett földrajzi szélességet és hosszúságot a megfelelő égtáj angol nyelvű kifejezésének kezdőbetűje követi. Észak: North, N; dél: South, S; kelet: East, E; nyugat: West, W.) A távolságra kapott helyes értéknek 2560 és 2565 km közé kell esnie. Ettől való eltérés esetén érdemes vizsgálni a hiba okát: a tanuló rossz repülőteret választott ki, nem a repülőterek, hanem a városok között végezte el a mérést, esetleg nem váltott át mérföldből kilométerbe. A fent meghatározott tartományon belül is várhatóak eltérések. Ennek oka nagyon egyszerű: a kifutópályák is több 4 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

kilométer hosszúak, így valószínűtlen, hogy minden diák ugyanabba a pontba kattintva végzi el a mérést. 2. A módosításhoz három pont szükséges. A két szélső pont továbbra is a két repülőtér kifutópályája, a köztes pontot pedig úgy válasszuk meg, hogy segítségével a repülőút elkerülje Szíria légterét. Ehhez a török szíriai iraki hármas határhoz közel, lehetőleg a török oldalon kell választanunk egy pontot. Ezt a lehető legközelebb mozgatva a szíriai határhoz (a pontok mozgathatók) 2620 2630 kilométeres utat kapunk. Az eltérést ismét a nem azonosan megválasztott pontok okozzák, és ekkor a hibahatár is megnő (három pont változik). 3. Nem képes. Üresen, a szíriai légteret is igénybe véve elméletileg képes egy An 26-os köztes leszállás nélkül teljesíteni a repülőutat, de erre nem lehet alapozni. Az úthoz szükség lesz tartalék üzemanyagra, a földi gurulások során is fogy az üzemanyag, ráadásul a terhelt repülőgép eleve képtelen ilyen távolságra egyetlen tankolással elrepülni. Igenlő válasz abban az esetben fogadható el, ha az így felelő diák hangsúlyozza a feltételrendszert, amelyben gondolkodott (üres géppel számolt, a szíriai légtérben való átrepüléssel). Ilyen esetben érdemes hangsúlyozni a tartalék üzemanyag szükségét és a módosított útvonalat, amelyet eleve nem képes lerepülni az An 26-os egyetlen tankolással. Ezért köztes leszállást kell végrehajtani. Továbbra is használhatjuk a programot, de fejben is elvégezhető a következő számítás: egy teljes terheléssel repülő An 26-os is eljuthat Bagdadba egyetlen köztes leszállással, amennyiben ez a leszállás a repülőút felén vagy ahhoz nagyon közel történik. Ez a pont bizonyosan Törökországban lesz. Akár a térképeket, akár a törökországi repülőterek publikus listáit tanulmányozzuk, kiderül, hogy Ankara lesz az ideális köztes repülőtér, ahol az An 26-os üzemanyagot tud vételezni. Nem elhanyagolható kérdés, hogy Törökország Magyaror- Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 5

szág szövetségese, és akárcsak hazánk, NATO-tag. Segítségként a választott repülőtér koordinátái: Ankara: 40,129049N, 32,994561E 2. A repülőút modellezése Eddig végig egyféle síkban vizsgáltuk a repülőutat: a Föld síkjában kerestük (különböző szempontok figyelembevételével) a legrövidebb utakat. Ez a modell szintén síkbeli lesz, de itt a síkot a korábban kiválasztott útvonalra állítjuk, a Föld síkjával merőlegest bezárva. Így lesz a legkönnyebben ábrázolható a tervezett repülés. 1. A megoldás: Az első modell, amit eredményként várhatunk, két hasonló repülési szakaszt fog ábrázolni (fent). A Kecskemét Ankara, illetve az Ankara Bagdad szakaszok modellje egy-egy trapéz lesz, páronként azonos alapon fekvő szögekkel és azonos magassággal, különbség csak az alapok hosszában lesz. 2. A módosított modell: A második modell kicsit érdekesebb. A Kecskemét Ankara szakasz ábrája változatlan lesz, de az Ankara Bagdad szakasz végső része módosul. A spirál mentén történő leszállást esetünkben jól közelíti egy függőleges egyenes, amely 3500 méter magas. Ezt megelőzően a repülés pályája egy 6 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

rövid ideig 3500 méteres magasságban párhuzamos az alappal, a még korábbi szakaszban pedig azt kell szemléltetni, ahogyan a repülőgép 5500 méterről 3500 méterre süllyed, ugyanazzal az ereszkedési szöggel, amit a modell első részében az ankarai érkezéshez felmértünk. A végső megközelítési szakasz modelljében elfogadható egy berajzolt spirál is, bár tudjuk, hogy egy így berajzolt görbe csak a spirál síkvetülete lehet, hiszen az általunk választott repülési síkból kilép a spirál íve. Más modell is helyes lehet, amelyik az egyes repülési szakaszok valóságközeliségét nem sérti. 3. Repülési terv készítése 1. a) A megfelelő α és β emelkedési, illetve ereszkedési szögek meghatározásához szükségünk van a sebességekre. Először fel kell ismernünk, hogy a repülőgép ugyanannyi ideig repül a modellezett pálya mentén az ég felé maximális sebességgel, amennyi ideig tart az 5500 méteres függőleges emelkedés a függőleges emelkedési sebességgel. (Az adatok az első feladatlap táblázatából olvashatók.) Ugyanitt meg kell említenünk az alapvető út idő sebesség kapcsolatot: v = s, ahol v a sebességet, s a megtett t utat és t a közben eltelt időt jelöli. A megfelelő alapmértékegységek [v] = s, [s] = m, [t] = s, a további mérték- m egységek megfelelő átváltással számíthatók. Ebből következően az emelkedés ideje: t sem em =, vagyis vem t 5500 m em = 480 m, azaz t 5500 em = perc = 11,5 perc. 480 perc Vagyis 11,5 perc alatt éri el a repülőgép az 5500 méteres utazómagasságot, tehát ugyanekkor ér véget az első repülési fázis: t 1 = 11,5 perc. Az első szakaszon a repülőgép maximális sebességgel repül: Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 7

v v 540 km 540 km 9 km 1 = max = = = h 60 perc perc. s 1 = t 1 v max = 11,5 9 km = 103,5 km, ennyit repül a repülőgép a talajjal α szöget bezárva az ég felé, mire eléri az utazómagasságot. Az ismert és a kiszámított útszakaszból (s em és s 1 ) szögfüggvényekkel könnyen megkapjuk az emelkedés α szögét: cos, sem 55 ^90c h = =, ebből 90 c. 86,95c, s1 103, 5 vagyis. 3, 05c. Ugyanígy járunk el az ereszkedés során. (A talajjal párhuzamos repülési szakaszt ezek ismeretében tudjuk majd számítani.) t ser er =, vagyis ver t 5500 m 5500 er = = perc. 16,0 perc. 344 m 344 perc Vagyis t 3 = 16 perc alatt éri el a repülőgép a kifutópályát. Ezalatt leszállósebességgel repül a modellezett pálya mentén, vagyis v v 260 km 260 km 4, 33 km 3 = le = =.. h 60 perc perc s3 = t3 $ vle. 16 $ 4, 33 km = 69, 33 km, ennyit repül a repülőgép a talajjal β szöget bezárva a landolásig. Az ismert és a kiszámított útszakaszból (s er és s 3 ) szögfüggvényekkel könnyen megkapjuk az ereszkedés β szögét: sin, ser 55 =., ebből = 4, 55c. Tehát = 3, 05c az emelkedési és = 4,55c az ereszke- s3 69, 33 dési szög. Mindkét szögszámításhoz más, alkalmas szögfüggvény is használható, itt a megoldásban szándékosan két kü- 8 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

lönböző eljárást láthattunk. A kerekítés pontosságához meg kell említeni, hogy több ezer kilométeres repülőút adatait számoljuk, ahol számos tényező befolyásolja a végül ténylegesen megvalósuló repülést (például szélirány). b) A repülési idők számításához a második szakasz repülési adatait is ki kell számolni, mivel a modellen is látszik, hogy nem lesz egybevágó a két trapéz, továbbá a bagdadi megközelítés is eltérést okoz. A Kecskemét Ankara és az Ankara Bagdad szakaszok bizonyos elemekben megegyeznek. Így s 1 = s 4 = 103,5 km, mivel azonos magasságra emelkednek, azonos emelkedési szöggel. Az ereszkedési szög is megegyezik, de az ereszkedési idő nem, mivel Bagdad fölött nem a kifutópálya szintjére ereszkedik az An 26-os, hanem csak 3500 méteres magasságra. Mivel nem tudjuk, a várostól milyen távol ereszkedik a gép a 3500 méteres magasságra, így feltételezhetjük, hogy ezt a lehető legutolsó pillanatban teszi meg, így a 3500 méteren vízszintesen repült szakaszt elhagyhatjuk, és annak repülési idejét az 5500 méteres vízszintes repülés idejéhez adhatjuk hozzá. s er6 = 2 km, vagyis t ser 6 2000 6 = = perc. 5,81 perc, ebből s 6 ver 344 = t 6 v le = 25,16 km. Az egyes szakaszok repülési idejének számításához szükségesek még az adott szakaszok vízszintes vetületeinek hosszai. Ez a Pitagorasz-tétellel és szögfüggvényekkel egyaránt számítható a ferde repülési szakaszokon, a teljes vízszintes repülési úthosszból kivonva ezeket pedig megkapjuk a középső (vízszintesen repült) szakaszok hosszát. A két lehetőség, képletesen: siy = s 2 i s 2 em, i = 1, 3, 4, ahol tudjuk, hogy s em = s er, továbbá s6y = s6 ser6, illetve 2 2 szögfüggvénnyel: Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 9

siy = si $ cos, i = 1, 4 vagy siy = si $ cos, i = 3, 6. Táblázatosan: s i (i = 1,, 6) 103,5 1122,53 69,33 103,5 1236,57 25,16 s iy (i = 1,, 6) 103,35 1122,53 69,12 103,35 1236,57 25,08 1295 1365 Megjegyzés: Alapvetően megállapítható, hogy 3,05c-os emelkedés és 4,55c-os ereszkedés mellett a vízszintes vetület és a ténylegesen repült ív közötti különbség anynyira kicsi, hogy az már számítási pontatlanságnak is tekinthető (hiszen 1300 km-en emelkedik és süllyed a gép durván 5 km-t). Kerekítve: s i (i = 1,, 6) 103 km 1123 km 69 km 103 km 1237 km 25 km A repülési idő ebből már számítható, de praktikus felhasználni a már kiszámolt t 1, t 3, t 4 és t 6 értékeket, egészre kerekítve. Ahol számolunk, ott ne feledjük: v v 540 km 1 = 4 =, v v 440 km 2 = 5 = és v v 260 km 3 = 6 = h h h A korábban nem ismert repülési idők tehát a következők: t s2 1123 2 = = h. 2,55h és t s5 1237 5 = = h. 2,81h. Itt v2 440 v5 440 nem kerekíthetünk ennél jobban, hiszen eddig percben számoltuk a repülési időt, most pedig órában tesszük, így ez igen komoly nagyságrendi különbség. Tizedperces eltérést az időjárás és a pilóta egyaránt elő tud idézni, de a tizedórás tévedés már jelentős hiba. Mindent összegezve a Kecskemét Ankara szakasz 0,2 h + 2,55 h + 0,27 h = 3,02 h = 3 h 1 perc, az Ankara Bagdad szakasz pedig 0,2 h + 2,81 h + 0,1 h = 3,11 h = 3 h 7 perc, és ehhez még hozzájön a bagdadi leszállás ideje (8 perc), azaz a második szakasz 3 h 15 percig tart. 10 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

2. A helyesen kitöltött táblázat, pirossal a tanuló által kitöltött rész: Aircraft: Aircraft No.: AC Color: Pilot: Co-Pilot: On board: An 26 HUNAF 603 grey NÉV NÉV NÉV FLIGHT PLAN IFR/VFR (mark x ) X IFR VFR Latitude (EG) Fligt time (estimated) Fuel (estimated) ate 6 h 20 min 14 200 liter ÁTUM Longitude (EG) Landing (estimated) Take off (estimated) Kecskemet 46,917148N 19,749920E 8:55 Route: Kecskemet (H) Ankara (TR) Ankara 40,129049N 32,994561E 13:00 14:30 Route: Ankara (TR) Baghdad (IRQ) Baghdad 33,257189N 44,219906E 18:45 Megjegyzések: a nevek és a dátum szabadon kitölthető. Az IFR vagy VFR repülés kérdése egyértelműen eldönthető: az IFR látva repülést jelent, nappali körülmények esetén ez választandó. A VFR repülés éjszaka, műszeres irányítás meglétekor választandó. Esetünkben a repülés világosban történik, így az IFR repülés választandó. Ezt a két fogalmat szükség esetén definiáljuk a feladat kiadása előtt. A becsült repülési idő, illetve a szintén becsült fel- és leszállási időadatok esetén létezhet több jó válasz is. Mivel becslésről van szó, szerencsésebb kerek (0-ra vagy 5-re végződő) értékeket megadni, ugyanakkor az ankarai továbbindulás kérdésében 14.20 és 14.40 között minden elfogadható, kellő indoklással (például késéssel, lassú ügyintézéssel magyarázható egy 14.40-es választás). Ankara koordinátái esetén is elfogadható más érték, amennyiben ellenőrzéssel igazolható, hogy a beírt koordináták a repülőtér területére, még inkább a kifutópályára vagy a gurulóutak valamelyikére esnek. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 11

A becsült üzemanyag sorában a lehető legnagyobb menynyiség a legjobb válasz. A terhet szállító gépnek csak így lesz megfelelő a hatótávolsága, ugyanakkor aki kevesebbet írt, érvelhet azzal, hogy a teletöltött üzemanyagtartály is plusz teher, ami növelheti a fogyasztást. Otthoni kutatással és így szerzett hiteles forrással vizsgálható az An 26-os fogyasztásának kérdése. 4. Tisztelt Utasaink, itt a kapitány beszél 1. A helyesen kitöltött repülési napló alább látható: FLIGHT LOG Page: 1/2 ate: ÁTUM Engine on: 7:48 Take off: 7:56 Engine off: 11:01 Landing: 10:56 Pilot: NÉV Aircraft: AN 26 Total: 3:13 Flight time: 3:00 Co-Pilot: NÉV No.: HUNAF 603 Time UTC Event No. Event Latitude (EG) Longitude (EG) 7:48 1 Engine on 46,917148N 19,749920E 7:51 2 Rolling vagy Taxi 46,917148N 19,749920E 7:56 3 Take off 46,917148N 19,749920E 8:07 4 Reaching 5500 m 10:40 5 Leaving 5500 m 10:56 6 Landing in Ankara 40,129049N 32,994561E 11:01 7 Engine off 40,129049N 32,994561E Megjegyzés: Néhány perces eltérés származhat a korábbi számításokból, kerekítésből. A táblázat kitöltésének viszont következetesnek kell lennie. A 2-es eseményre a földi gurulással kapcsolatos bármilyen fogalom elfogadható. 2. Az eltérés következhet a fenti okból kifolyólag (korábbi számítások, kerekítések eltérése), különösen azért, mert a párok kialakítása a korábbi feladatok megoldását követően is történhetett, így ha nem történt a feladatok között korábban 12 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

egyeztetés, akkor elképzelhető, hogy ebben a feladatban találkoznak először a különböző, de alig eltérő eredmények. 3. A repülési magasság elérése a 46,510917N, 20,963287E koordináták felett következik be, a leszállás megkezdése a 40,489305N, 32,343138E koordináták felett kezdődik. A helyes koordináták megtalálásához a aft Logic program jól használható: a felszállás során a Kecskemét Ankara egyenesen keressük azt a pontot, amely Kecskeméttől 103 km távolságra található, a leszállás megkezdésekor pedig hasonlóan járunk el: az Ankara Kecskemét egyenesen keresünk Ankarától 69 km távolságra eső pontot. Az eredmény helyessége úgy ellenőrizhető, hogy a megfelelő koordináták távolságát összevetjük a diákok által számolt s i utak hosszával [3. feladatlap 1. b) feladata]. A hibahatár 1 km távolságon belüli. Ekkora eltérést a koordináták kerekítésén felül az időjárás is okozna a repülés során. 5. Bagdad megközelítése 1. A modell: A spirál állhat egyetlen ívből is, ha valamelyik diák azonnal felismeri a helyes arányt a 3500 méteres magasság és az 5000 méter sugarú spirál között. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 13

2. A számításhoz érdemes új modellt készíteni, és a spirált kiteríteni: ekkor a keletkező háromszög átfogója lesz a repülő által repült ív, a rövidebb befogó lesz értelemszerűen a magasság, a hosszabb befogó pedig az n darab r sugarú körív hossza. a) Az átfogó hossza a 260 km sebességgel repülő gép h 8 perc alatt megtett útja. Amint azt már fentebb kiszámoltuk, 260 km. 4,33 km. Ezzel a sebességgel a repülőgép 8 perc alatt 4,33 8 = 34,67 km utat tesz meg. h perc A rövidebb befogó hossza 3,5 km, így Pitagorasz tételével 2 2 számolva a hosszabb befogó 2 r $ n. 34, 67 3, 5, amiből n = 1 adódik. Tehát egy teljes fordulatot tesz meg a repülőgép, amíg eléri a kifutópálya betonját. b) A talajjal bezárt szög a modellként használt háromszög bármely két oldalából egy alkalmas szögfüggvénnyel számolható. Érdemes a rövidebb befogót és az átfogót használni, mert azok kevésbé származtatott adatok. Ekkor sin =, amiből. 5,8c adódik. Ekkora szöget 35, 34, 67 zár be a gép a talajjal ereszkedés közben. 14 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Trigonometria Eszközhasználat 7.2 1. A repülőút tervezése A Magyar Honvédség iraki szerepvállalása 2003-ban kezdődött. Hazánk katonái elsősorban logisztikai feladatokat láttak el Irakban, a misszióknak pedig fontos része volt a légi szállítás: technikai eszközöket kellett repülőgéppel Bagdadba szállítani. A bevetéseken használt An 26 típusú repülőgép (kis képen) fontosabb adatai: 16 18. év Hosszúság: 23,8 méter Fesztávolság: 29,2 méter Optimális repülési magasság: 4000 6000 méter Utazósebesség: 440 km/h Maximális repülési sebesség: 540 km/h Leszállósebesség: 260 km/h Függőleges emelkedési sebesség: 480 m/perc Függőleges ereszkedési sebesség: 344 m/perc Tehertér hossza: 11,5 méter Tehertér szélessége: 2,4 méter Tehertér magassága: 1,9 méter Üres tömeg: 15 400 kg Maximális felszállótömeg: 24 000 kg Ülések száma a tehertérben: 39 Üzemanyagtartályok össztérfogata: 7316 liter Maximális üzemanyag-mennyiség: 7100 liter Hatótávolság teljes terheléssel: 1420 km Maximális hatótávolság: 2600 km Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 15

Trigonometria Eszközhasználat 7.2 16 18. év 1. Tervezzetek meg egy repülőutat a kecskeméti repülőtérről a bagdadi repülőtérre. A tervezéshez használhatjátok a aft Logic programot, amely segít meghatározni két pont légvonalbeli távolságát. www.daftlogic.com/projects-google-maps-distancecalculator.htm 2. Módosítsátok úgy a repülőutat (továbbra is ezt a programot használva), hogy az elkerülje Szíria légterét, ahol napjainkban fegyveres konfliktusok zajlanak. Milyen hosszú lesz így az út? 3. Képes teljesíteni egy ekkora utat egy An 26-os? Ha nem, akkor mit kellene tenni, hogy eljussatok Bagdadba és végrehajtsátok a bevetést? 16 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Trigonometria Problémamegoldás 7.2 2. A repülőút modellezése Láttuk, hogy ha nem üres a tehertér, akkor a Kecskemét Bagdad távolság nagyobb, mint az An 26-os ható-távolsága, tehát a repülőgéppel le kell szállni Törökországban, üzemanyagot vételezni. Az is kiderült, hogy ezt a leszállást célszerű Ankarában végrehajtani, mert Ankara körülbelül félúton található. 1. Készítsetek modellt, amely jól jellemzi a repülőgép mozgását a repülés során. Egy kis segítség: a repülés tartalmaz egy emelkedési szakaszt, egy repülést állandó magasságon, majd egy süllyedést, amelynek végén a gép eléri a repülőteret. 16 18. év 2. Köztudott, hogy Bagdad légtere veszélyes, ezért a gépek itt egy különleges technikájú leszállást hajtanak végre. A város előtt csökkentik a magasságot 5500 méterről 3500 méterre, majd a reptér fölé érkezve egy kis sugarú spirálban ereszkednek egészen a leszállópályáig. Módosítsátok a modellt ennek figyelembevételével! Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 17

Trigonometria Tanult ismeretek mozgósítása 7.2 3. Repülési terv készítése 16 18. év A továbbiakban használjátok az elkészült modellt. 1. Adjátok meg a repülőút néhány fontosabb adatát. a) Milyen szöget zár be a gép a talajjal emelkedés, illetve süllyedés közben? b) Mennyi ideig tart a Kecskemét Ankara és az Ankara Bagdad repülőút? A bagdadi leszállás 8 percet vesz igénybe. 2. Töltsétek ki az alábbi repülési terv üresen hagyott celláit! Aircraft: Aircraft No.: AC Color: Pilot: Co-Pilot: On board: An 26 HUNAF 603 grey IFR/VFR Fligt time Fuel (mark x ) (estimated) (estimated) ate IFR VFR Latitude Longitude Landing Take off (EG) (EG) (estimated) (estimated) Kecskemet 46,917148N 19,749920E 8:55 FLIGHT PLAN Route: Kecskemet (H) Ankara (TR) Ankara Route: Ankara (TR) Baghdad (IRQ) Baghdad 33,257189N 44,219906E Az ankarai tankolás körülbelül 60 percig tart. A felszállás előtti és a leszállás utáni gurulás 5-5 percet vesz igénybe. A hajtómű indítása előtti ellenőrzés 7 perces folyamat, eközben nem lehet tankolni. A járó motor melletti utolsó ellenőrzés 3 percig tart. Ne feledjük, hogy a guruláshoz is kell üzemanyag! A hiányzó koordinátákhoz használjatok műholdképet, az időt pedig helyi időben adjátok meg. 18 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Trigonometria Gondolkodás 7.2 4. Tisztelt Utasaink, itt a kapitány beszél A hosszú tervezés után végre eljött az indulás napja. Ti most a pilóta és a másodpilóta szerepében vagytok. Kötelességetek dokumentálni a repülőutat, majd a repülési naplót Kecskemétre hazatérve le kell adni a bázison. 16 18. év 1. Töltsétek ki az alábbi repülési naplót. FLIGHT LOG Page: 1/2 ate: Engine on: 7:48 Take off: Engine off: Landing: Pilot: Aircraft: AN 26 Total: Flight time: Co-Pilot: No.: HUNAF 603 Time UTC Event No. 7:51 2 Event Latitude (EG) Longitude (EG) 1 Engine on 46,917148N 19,749920E 3 Take off 4 Reaching 5500 m 5 Leaving 5500 m 6 Landing in... 40,129049N 32,994561E 7 Engine off 2. Egyeztessétek az eredményeket a többi pilóta repülési naplójával! Ha eltérés adódik, keressétek meg, hol a hiba! 3. Milyen koordináták felett következik be a 4-es és 5-ös számú esemény? Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 19

Trigonometria Fantázia 7.2 5. Bagdad megközelítése 16 18. év Említettük, hogy a bagdadi leszállás elég különleges folyamat: a repülőgépek 3500 méteres magasságon érkeznek közvetlenül a repülőtér fölé, a kifutópálya tengelyében, majd egy 5 kilométer sugarú spirálban kezdenek ereszkedni, míg a végén elérik a kifutópálya betonját. Ez a manőver igen gyakori olyan repülőterek környezetében, ahol a kézi indítású rakéták ellen nem, vagy csak alig tudnak védekezni. Az eljárás egykor Szarajevó-leszállásként lett ismert, de később több repülőtéren is használni kezdték, például Bosznia más repterein, Koszovóban, Irakban és Afganisztánban. Fontos megjegyezni, hogy a talajfogás iránya a széltől függ, tehát esetenként n darab teljes hurok leírása után landol a gép, máskor n + 0,5 darab kör után. 1. Modellezd a leszállást! 2. Egyenletes 260 km sebességgel repülve az ereszkedés h pontosan 8 percig tart, végül a repülőgép éppen azonos állásban landol, mint ahogyan a repülőteret megközelítette. a) Hány fordulót tett meg a leszállás megkezdése és a talajfogás között? b) Mekkora szöget zárt be a talajjal ereszkedés közben? 20 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)