1. Adja meg az áram egységének mértékrendszerünkben (m, kg, s, A) érvényes definícióját! A villamos áram a villamos töltések rendezett mozgása. A villamos áramerősség egységét az áramot vivő vezetők közti erőhatás alapján definiáljuk. Egy amper azon állandó villamos áram erőssége, amely két párhuzamos, egyenes, végtelen hosszúságúnak tekinthető, elhanyagolhatóan kicsiny köt keresztmetszetű és vákuumban egymástól 1 méter távolságban levő vezetőben áramolva, e két vezető között méterenként 2*10-7 newton erőt hoz létre. 2. Vezesse le a feszültségosztó képletet két ellenállás (R1 és R2) esetén! A levezetéshez szükséges kapcsolást rajzolja meg! Adott: U g, R 1, R 2 R e = R 1 + R 2 I = U g / (R 1 + R 2 ) U 2 = I * R 2 = U g / [ ( R 1 + R 2 ) * R 2 ] 3. Vezesse le az áramosztó képletet két ellenállás (R1 és R2) esetén! A levezetéshez szükséges kapcsolást rajzolja meg! 4. Írja fel egy terhelt feszültségosztóra a feszültségosztó képletet! A szükséges kapcsolást rajzolja meg!
5. Írja fel a 44a ábrán látható kétlépcsős feszültségosztóra a feszültségosztó képletet! 6. Írja fel a 44b ábrán látható kapcsolás esetén a 6 ohmos ellenállás áramát áramosztó képlet segítségével! Kérdés: R2-n átmenő áram nagysága. (R3 R4) R1 = 1,2Ω 2Ω = 0,75Ω Az áramosztó képletet felírva a 6Ω-os ellenállásra: I 6Ω = 6*(0,75 / (0,75+6) = 0,66A I (R3 R4) R1= 6*(6 / (0,75+6)) = 5,33A 7. Határozza meg a 45a ábrán látható kétpólus eredő ellenállását! (4Ω+4Ω) (4Ω+12Ω) = 5,33Ω 8. Határozza meg a 45b ábrán látható kétpólus eredő ellenállását! (4Ω 4Ω) + (4Ω 12Ω) = 5Ω
9. Rajzoljon fel egy egyenáramú hídkapcsolást és vezesse le a kiegyenlítés feltételét jelentő összefüggés! Tételezzük fel, hogy a középső hídág árama zérus: I R5 = 0! Ekkor a híd kiegyenlített, és U AB =I R 5*R 5 =0 is teljesül, tehát R 2 és R 4 ellenállások (, valamint R 1 és R 3 ellenállások) feszültsége azonos: U R2 =U R4. Az I R5 =0 feltétel azt is jelenti, hogy az R 1 és R 2 illetve R 3 és R 4 ellenállások árama azonos, tehát sorbakapcsolhatók ( b. ). Írjuk fel az R 1 és R 2 ellenállások, valamint az R 3 és R 4 ellenállások áramát: I 1 =U 0 / (R 1 +R 2 ) I 2 =U 0 /(R 3 +R 4 ) Az R 2 és az R 4 ellenállások (, valamint R 1 és R 3 ) feszültsége azonos: U R2 = I 1 *R 2 = U 0 * ( R 2 / (R 1 +R 2 )), illetve U R4 =I 2 *R 4 =U 0 *(R 4 /(R 3 +R 4 )). Mivel U R2 =U R4, U 0 *(R 2 /(R 1 +R 2 ))= U 0 *(R 4 /(R 3 +R 4 )). Az U 0 -lal egyszerűsítve, majd rendezés után R 2 *R 4 -el is egyszerűsítve kapjuk: R 2 *R 3 =R 1 *R 4. Tehát a híd kiegyenlített, ha a szemközti ágak ellenállásainak szorzata megegyezik. Kiegyenlített híd esetén az eredő ellenállás a b. ábra alapján, ha a zérus áramnak megfelelően a híd keresztágát szakadással helyettesítjük. R e =(R 1 +R 2 ) (R 3 +R 4 ). Kiegyenlített híd esetén az eredő ellenállás a c. ábra alapján, ha a zérus feszültségnek megfelelően a híd keresztágát rövidzárral helyettesítjük: R e =(R 1 R 3 )+(R 2 R 4 ). Természetesen a két változat azonos eredményt ad.
10. Határozza meg a 45 a), b), c) ábrán látható kétpólus eredő ellenállását! 45. a) lásd 7. feladat; 45. b) lásd 8. feladat; 45. c) Először megnézzük, hogy kiegyenlített-e a hídkapcsolás. 4Ω * 12Ω = 8Ω * 6Ω? Igen, egyenlő. Tehát a híd kiegyenlített, ha a szemközti ágak ellenállásainak szorzata megegyezik. A 2Ω-os ellenállás szakadással helyettesíthető. R e =(R 1 +R 2 ) (R 3 +R 4 ) R e =(4Ω +8Ω) (6Ω+12Ω) = 12Ω 18Ω = 7,2Ω R e =(R 1 R 3 )+(R 2 R 4 ) R e =(4Ω 6Ω)+(8Ω 12Ω) = 2,4Ω+4,8Ω = 7,2Ω 11. Egy R t ellenállással terhelt 12V üresjárási feszültségű 2Ω belső ellenállású feszültséggenerátor hatásfoka 50%. Mekkora a hasznos teljesítmény? A fogyasztóra jutó hasznos teljesítmény az alábbi képlettel lehet kiszámolni: P h =I 2 t * R t = ( U 2 0 /(R t +R b ) 2 ) * R t A terhelő ellenállást nem tudjuk, legalábbis nincs megadva, de mivel tudjuk, hogy a hatásfoka 50%, akkor azt is tudjuk, hogy ilyenkor illesztés helyzete forog fenn. Ekkor azt is tudjuk, hogy R t =R b Ekkor behejettesítve az eredmény: P h = ( 12 2 /(2Ω+2Ω) 2 ) * 2Ω = 18W 12. Egy valóságos feszültségforrás üresjárási feszültsége 12V. 10Ω-os terhelő ellenállás esetén árama 1 A. Adja meg a valóságos generátor helyettesítő kapcsolását! Adott: U 0 = 12V; R t =10Ω ; I=1A Kiszámolhatjuk a többi értéket is. U k =R t *I=10Ω*1A= 10V Kirchoff-al U b is meghatározható: U b =2V Tudjuk az U b -t és a rajta áthaladó áramot, kiszámolhatjuk az ellenállását is, ami 2Ω (megjegyzés: szerintem elég ennyi, de nem tuti)
13. Egy 24V üresjárási feszültségű valóságos feszültségforrást terhelő 10 ohmos ellenállás teljesítménye 40 W. Mekkora a generátor belső ellenállása? U 0 =24V; R t =10Ω; P g =40W Képlet: P h = ( U 2 0 /(R t +R b ) 2 ) * R t 40W= (24 2 /(10Ω+R b ) 2 ) * 10Ω 40=(576/(10+R b ) 2 ) * 10 40=5760/(10+R b ) 2 /*(10+R b ) 2 40*(10+R b ) 2 = 5760 / osztunk 40-el (10+R b ) 2 = 144 100+2*10*R b + R 2 b = 144 / -144 #nullára redukálunk, megoldó képletet alkalmazzuk Eredmény: R b1 =2Ω R b2 = -44Ω Negatív ellenállást (tudtommal) nem értelmezünk.tehát a megoldás: R b =2Ω 14. Rajzolja fel egy U b belső feszültségű és R b belső ellenállású valóságos generátor kapocsfeszültség-áram diagramját! Írja fel az U k ( I ) összefüggést is! Képlet: I = Ub / (Rb+Rt) U k =Ub - 4* Rb 15. Rajzolja fel valóságos feszültségforrás kapocsfeszültségének és hasznos teljesítményének változását a terhelő áram függvényében!
16. Ismertesse a szuperpozíció elvét! Mi a feltétele annak, hogy egy áramkörben alkalmazhassuk a szuperpozíció elvét? A szuperpozíció elve olyan általános fizikai elv, mely minden lineáris fizikai rendszerre alkalmazható. Kimondja, hogy a gerjesztés külön-külön hozzák létre hatásaikat, és ezek a hatások irányhelyesen összegződnek. Villamos áramkörökben a gerjesztések a generátorok forrásmennyiségei, azaz az ideális feszültséggenerátor forrásfeszültsége, illetve az ideális áramgenerátor forrásárama. A hatások az áramkör ágáramai. Ezt azt jelenti az áramkörökben, hogy a generátor forrásárama. A hatások az áramkör ágáramai. Ez azt jelenti az áramkörökben, hogy a generátorok külön-külön hozzá létre az egyes ágakban a saját részáramaikat, és az ágakban folyó áramok ezen részáramok előjelhelyes összegei. A ha a generátorok hatását külön-külön akarjuk vizsgálni, az áramkörben csak egy generátor maradhat, a többi nem dolgozhat. A feszültséggenerátor akkor nem dolgozik, ha nem hoz létre potenciálkülönbséget, tehát a feszültsége nulla. A nem dolgozó (dezaktivizált) feszültséggenerátor rövidzár. Az áramgenerátor akkor nem dolgozik, ha nem kényszerít áramot a körre, az árama nulla. Egy ág árama nulla, ha az ág szakadt, tehát a nem dolgozó áramgenerátor szakadás. A megoldás menete: 1. A többgenerátoros áramkörből annyi egygenerátoros áramkört hozunk létre, amennyi a körben lévő generátorok száma. Mindegy csak a kiválasztott egyetlen generátor fog dolgozni, csak annak hatását vesszük figyelembe, míg a többit helyettesítjük. Tehát az ideális nem dolgozó feszültséggenerátorokat rövidzárral és az ideális áramgenerátorokat, ha nem dolgoznak szakadással helyettesítjük. A valóságos generátorok belső ellenállásait függetlenül attól, hogy dolgozik-e a generátor változatlanul figyelembe veszzük minden egygenerátoros hálózatba. 2. Az egygenerátoros áramkörben a generátor felül kiszámoljuk az eredő ellenállást, majd a feszültséggenerátor áramát, illetve az áramgenerátor feszültségét. A Kirchoff törvények egymás utánni alkalmazásával az egygenerátoros kör valamennyi árama meghatározható. Ezek a részáramok, melyek tényleges irányát az egygenerátoros körben egyértelműen meghatározhatjuk, hiszen az áramkör egyetlen generátora biztosan termelő, tehát árama és feszültsége ellentétes irányú. 3. Az ugyanazon ágban folyó részáramokat előjelhelyesen összeadjuk. Ez azt jelenti, hogy az eredeti többgenerátoros körben felvesszük a tényleges ágáramok tetszőleges referenciairányát, és a részáramokat ehhez viszonyítjuk. Az összegzésnél azt a részáramot vesszük pozitív előjellel figyelembe, mely iránya az ágáram felvett (bejelölt) irányával. Ily módon az ágáramok előjelhelyes értékét kapjuk.
17. Írja fel a Millman-tételt, az összefüggésben szereplő mennyiségek jelölését megfelelő áramköri rajzon azonosítsa! A többgenerátoros, ún. két csomópontos (vagy két csomópontossá alakítható)áramkörök hálózatszámítási tétele a Millmann-tétel. Énnél a módszernél ismeretlennek a két csomópont közti feszülséget vesszük fel. Tehát a csomóponti potenciálok módszerének alkalmazása egy speciális struktúrájú, a gyakorlatban igen gyakran előforduló hálózatra. Ahol: n: a generátort tartlamazó ágak száma k: az összes ágak száma R i : az egyes ágak (eredő soros) ellenállása U 0i : a generátorok forrásfeszültségének előjeles értéke. A levezetésből következik, ha a generátorfeszültség iránya megegyezik az U 00 feszültség vonatkozási irányával, akkor pozitív előjellel, ha azzal ellentétes, akkor negatív előjellel kell figyelembe venni. A végeredmény, az U 00 feszültség értékére negatív eredményt kapunk, az azt jelenti, hogy a két csomópont közti feszültség tényleges iránya a felvett vonatkozási iránnyal ellentétes. Tehát a Millmann-tétel egyetlen végképletet jelent a két csomópont közti feszültségre. 18. Fogalmazza meg, mit értünk egy periodikus áram effektív értékén? Mi a csúcstényező? A váltakozó áram effektív értéke a jel egy periódusra vett négyzetes átlaga, mely megadja azt az egyenáramot, amely egy ellenálláson periódusidő alatt a periodikus árammal azonos mennyiségű hőt termel. A váltakozó áram középértékeinek viszonyát a forma- és a csúcstényező fejezi ki. A csúcstényező (k cs ) a csúcsérték és az effektív érték hányadosa: k cs = I cs / I >= 1
19. Definiálja az egyszerű, vagy elektrolitikus középértéket periodikus jelek esetén, és az ábrán látható jelalakra számítsa ki! A váltakozó áram egyszerű középértéke a jel egy periódusra vett átlaga: Az egyszerű középértékét elektrolitikus középértékének is nevezik. Az elnevezésnek az a magyarázata, hogy az I e -vel azonos nagyságú időben állandó egyenáram elektrolízis során a periódusidő alatt ugyanannyi töltést (anyagmennyiséget) szállít, mint a vizsgált periodikus áram. U e *T = 20*(T/2) 10*(T/2) U e =(20-10)/2 = 5V 20. Definiálja az effektív értéket periodikus jelek esetén, és az ábrán látható jelalakra adja meg számszerűen is! Fizikailag, az effektív érték azt az egyenáramot jelenti, amely egy ellenálláson a periódusidő alatt a váltakozó áram által termelt hővel azonos mennyiségű hőt termel. U 2 * T = 20 2 * (T/2) + 10 2 * (T/2) U 2 = 400 / 2 + 100/2 = 250V 2 U = 15,81 V 21. Egy szinuszos váltakozó áramú kör számításakor egy ág áramának komplex effektív értékéül: ( -2 + j ) A-t kaptunk. Írja fel az áram időfüggvényét! ( f = 50Hz ) I(komplex) = ( -2 + j ) I = gyök( 2 2 + 1 2 ) = gyök(5) = ~ 2,236A Az áram fázisszöge: φ = arctg( Im / Re ) = arctg (1/2 ) = -26,56 o φ= -0,463 rad A áram időfüggvénye: 2 * 5 * sin(ωt 26,56 o ) A = 3,16 * sin(314t 0,463) A 50Hz esetén : 314 rad/sec
22. Egy veszteséges tekercset 12V-os egyenfeszültségre kapcsolva az áram 2A. Ha a tekercs 12V-os 50Hz-es szinuszos váltakozó feszültségre kapcsoljuk, az áramerősség 1,2A. Mekkora a tekercs reaktanciája az adott frekvencián?
23. Egy C= 1 µf-os kondenzátor árama: i(t) = 10sinωt ma; ω = 1000 rad/sec. Mekkora a kondenzátor maximális energiája? 24. Mi az impedancia és mi a mértékegysége? Határozza meg az alábbi kapcsolást helyettesítő soros impedanciát! R s = 1 kω, R p = 2kΩ, ω= 1000 1/sec, C= 0,5 µf. Az ellenállás, az induktív reaktancia és a kapacitív reaktancia közös elnevezés: impedancia. Jelölése: Z, mértékegysége: az ohm. Tehát a fogyasztó átfolyó áram és a kapcsain megjelenő feszültség hányadosa a fogyasztó impedanciájával egyenlő: U / I = Z Ezt az összefüggést hívjuk a váltakozó áramú körök skalár Ohm-törvényének, mivel az összefüggésben szereplő valamennyi mennyiséget csak a nagyságával adjuk meg. 25. Rajzolja meg az alábbi váltakozó áramú kapcsolás fázorábráját! 26. Rajzolja fel egy f=50hz-es szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolt induktivitás pillanatnyi teljesítményének időfüggvényét, bejelölve a periódusidőt és a maximális teljesítményt. Az induktivitás (induktivitás =tekercs) reaktanciája 10Ω, áramának csúcsértéke 2A. Periodikusan termelő és fogyasztó Teljesítmény maximális értéke a meddő teljesítmény (Q). Q=U * I = X L * I 2 = U 2 / X L I^ = 2A Behelyettesítve: Q = X L * I 2 = 2 * 10Ω = 20 var
27. Szinuszosan váltakozó feszültségre kapcsolt soros RLC kör elemeinek feszültsége: U R =80V; U C =80V; U L =20V. Hány volt feszültségre kapcsoltuk az áramkört? U k = 80 80j + 20j = 80-60j U k = ( 80 2 + 60 2 ) = 100V 28. Számítsa ki az alábbi váltakozó áramú hídkapcsolás eredő impedanciáját! Megvizsgáljuk, hogy ez a hídkapcsolás kiegyenlített-e 10*10 = 10j(tekercs) * -10j(kondi) 100 = 10j * (-10j) 100 = 100. Tehát a híd kiegyenlített, ezért a középső ágat ( 20Ω os kondi helyét) szakadással helyettesíthetjük. Majd a soros részeket összeadjuk és a két párhuzamos ágat -oljuk. (10+10j) (10-10j) = 10Ω 29. Rajzolja fel egy ideális soros rezgőkör Z (ω) és I (ω) diagramját!
30. Rajzolja fel egy ideális párhuzamos rezgőkör Z (ω) és I (ω) diagramját! 31. Rajzolja fel egy valóságos soros rezgőkör Z (ω) és I (ω) diagramját! 32. Hogyan helyettesíthető egy ideális párhuzamos rezgőkör egy rezonancia frekvencián? Válaszát indokolja! 33. Hogyan helyettesíthető egy ideális párhuzamos rezgőkör a rezonancia frekvenciánál alacsonyabb frekvencián? Válaszát indokolja! 34. Hogyan helyettesíthető egy ideális párhuzamos rezgőkör a rezonancia frekvenciánál magasabb frekvencián? Válaszát indokolja! 35. Írja fel az alábbi ábrán látható kétpóluspárok komplex üresjárási (feszültség) átviteli karakterisztikáját! (bode)
36. Rajzolja meg a fenti kétpoluspárok esetén az átviteli karakterisztika amplitúdóját a lgω függvényében! Jelölje be a törésponti frekvenciát és adja meg az asszimptóták meredekségét! 37. ω= 1000 r/s esetén mekkora az adott kétpóluspár csillapítása? ( G=? db ) 38. Mekkora ω körfrekvencián lesz az adott kétpóluspár csillapítása G= -20 db? 39. Mekkora ω körfrekvencián lesz a fenti kétpóluspár csillapítása G= -3 db? 40. Mekkora w körfrekvencián lesz az adott kétpóluspár kimeneti feszültsége a bemeneti feszültség 0.01-e? 41. Ábrázolja a feszültségátvitel amplitúdó karakterisztikáját! Elegendő a törtvonalas közelítés megadása, de adja meg a töréspontok helyét.
42. Rajzoljon egy egyszerű alul áteresztő szűrőt! 43. Egy R=10Ω-os ellenállás feszültségének időfüggvénye: u(t) = 100 + 60*sinωt + 80*sinωt + 40*sin2ωt [V]. Határozzuk meg az ellenállás áramának effektív értékét! I=? 44. Ideálisnak tekinthető tekercs feszültségének időfüggvénye: u(t) = 60*sinωt + 80*sinωt + 40*sin2ωt [V]. L=10mH, ω=1000 rad/sec (szerk. megj: ω=1000 1/sec-el egyezik, csak eltérő jelölést használ a könyv és tanárnő) Írja fel az áram időfüggvényét! I(t) =? 45. Egy ideális kondenzátor feszültsége: u(t) = 100 + 60*sinωt + 80*sinωt + 40*sin2ωt [V]. C= 25 µf, ω=1000 rad/sec Írja fel az áram időfüggvényét! I(t)=? 46. Számítsa ki az alábbi feszültség effektív értékét! u(t) = 10 + 40*sinωt + 20*sin2ωt [V]. 47. Mekkora az alábbi az alábbi feszültség effektív értéke: u(t) = 100 + 60*cosωt + 80*sinωt + 40*sin2ωt [V]. 48. Mekkora lesz a kimeneti üresjárási feszültség effektív értéke a fenti RC-kör esetén, ha: u(t) = 10 + 10*sinωt + 10*sin2ωt [V], és ω= 1000 rad/sec. 49. Egy soros RLC kör (R=10Ω, C= 10 µf) u(t) = U 0 + u 1m sinωt + u 3m sin3ωt feszültséggel táplálva az áram alakja i(t) = i 1m sin(ωt+φ) + i 3m sinωt. (ω=314 rad/sec) Mekkora az induktivitás, L=?
50. Egy sorosan kapcsol RLC tagra (R=10kΩ) 100V nagyságú egyenfeszültséget kapcsolunk. A bekapcsolás után 10ms-mal az áram 3.68 ma. Mekkora a kapacitás értéket: C=? 51. Egy soros RC tagra (R=5kΩ, C= 10µF) a t=0 pillanatban egyenfeszültséget kapcsolunk. Mekkora a feszültségforrás feszültsége, ha 50ms elteltével az áram erőssége 7.36mA? 52. Egy soros RL tagra (R=10Ω) 100V nagyságú egyenfeszültséget kapcsolunk. A bekapcsolás után 10ms-mal az áram 6,32A. Mekkora az induktivitás; L=? 53. Egy kondenzátor 1kΩ-os ellenálláson keresztül sütünk ki, az áram időfüggvénye i(t)= 0,1e -t/t [A], T=0,1ms. Mekkora töltés volt kondenzátoron? 54. Egy 100V feszültségre kötött 100µF-os kondenzátort egy 1kΩ-os ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi az ellenálláson hővé alakuló energia? 55. Határozza meg az alábbi áramkör időállandóját a bekapcsolási folyamat során! 56. Határozza meg az alábbi áramkör időállandóját a kikapcsolási folyamat során! 57. Határozza meg az alábbi áramkör időállandóját a bekapcsolási folyamat során! 58. Rajzolja meg az alábbi függvénnyel adott áram időfüggvényét! I(t) = 6-2*e -t/2ms /ma/.
59. Írja fel az alábbi függvénnyel adott áram időfüggvényét! 60. Ha ismert egy áram kezdeti és állandósült értéke, az áramkör időállandóját, és tudjuk, hogy egy tárolós a kapcsolás, hogyan írható fel az áram időfüggvénye? 61. Hogyan számítható ki az induktivitás, illetve a kapacitás energiája? 62. Miért nem változhat ugrásszerűen az induktivitás árama, illetve a kapacitás feszültsége? 63. Hogyan helyettesíthető az energiamentes induktivitás és kapacitás? 64. Hogyan helyettesíthető a nem energiamentes induktivitás és kapacitás? 65. Egy soros RL tagra (R=10Ω, X L =20Ω) u(t)= 2 * 220*sin(314t + Ψ) [V] feszültséget kapcsolunk. Mekkora Ψ bekapcsolási fázisszög esetén nem lesz az áramnak tranziens összetevője? 66. Egy soros RLC kör csillapított saját körfrekvenciája ω CS =800 rad/sec, ellenállása R=12Ω, induktivitása L=10 mh. Mekkora az áramkör kapacitása; C=? 67. Egy soros RLC körre 10V-os egyenfeszültséget kapcsolunk t=0-ban. Előzőleg a kör energiamentes volt. R=100Ω, L=0,1H C=10µF. A bekapcsolás során kialakulhat-e a kondenzátoron 10V-os nagyobb feszültség? Válaszát indokolja! 68. Soros RLC körre (R=100Ω, L=20mH, C=15µF) 100V egyenfeszültséget kapcsolunk. Az átmenet során az áram maximuma 0,8 A. Mekkora a kondenzátor feszültsége az áram maximumának pillanatában? 69. Rajzolja fel jellegre helyesen egy energiamentes, soros RLC kör egyenfeszültségre a kör áramának időfüggvényét, ha R=200Ω, L=50mH, C=200µF!
70. Az alábbi kétpóluspárok bemenetére egységugrás jelet kapcsoljunk. A kapcsolás előtt a kétpóluspárok energiamentesek. Írja fel a kimeneti feszültség időfüggvényét és ábrázolja azt!