ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály V. rész: Egyenletek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018
. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Egyenletek.................................... 79. Alapfogalmak........................................ 80.Ekvivalens átalakítások, mérleg-elv........................ 81.Feladatok............................................ 5 8.Elsőfokú egyenletek.................................... 6 8.Elsőfokú egyenletek gyakorlása........................... 7 8.Szöveges feladatok..................................... 8 85.Egyenletek gyakorlása.................................. 9 86.Egyenlőtlenségek...................................... 10 87.Szöveges feladatok..................................... 11 88.Összefoglalás......................................... 1 89.Témazáró dolgozat megírása............................. 1 90.Témazáró dolgozat megbeszélése.......................... 1
79. óra. Alapfogalmak. 79. óra Alapfogalmak Def (Egyenlet). Egy darab egyenlőségjellel összekapcsolt két matematikai kifejezés. Def (Gyök). Mindazon elemek halmaza, melyeket az ismeretlenek helyére behelyettesítve, az egyenlet két oldala egyenlővé válik. Megoldáshalmaznak is hívják. Def (Értelmezési tartomány). Az ismeretlenek azon lehetséges értékeinek halmaza, melyekre az egyenletben szereplő műveletek elvégezhetőek, értelmezhetők. Def (Alaphalmaz). Az értelmezési tartomány azon részhalmaza, melyre az egyenletet vizsgáljuk, ahol a megoldásokat keressük. Pl: Oldd meg a pozitív számok halmazán! Def (Azonosság). Olyan egyenlet, amelynél az alaphalmaz minden eleme megoldás. 1. Feladat. Mely egyenletek megoldása az x = 1 és melyeknek az x =? a. ) x + 7 = x 1 c. ) x = x + x e. ) x 100 = x b. ) x + x = 0 d. ) x + x = f. ) x + x = x. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán, majd az egész számok halmazán 1! Melyik alaphalmazon nem lenne megoldás? (x 6) (x + 1) ( x ) (x + ) (x, 5) = 0. Feladat. Adj példát olyan egyenletre, melynek a. ) Van megoldása b. ) Nincs megoldása c. ) Több megoldása is van d. ) Pontosan egy megoldása van e. ) Pontosan két megoldása van f. ) Pontosan három megoldása van g. ) Minden szám megoldása h. ) Minden szám megoldása, kivéve a i. ) Egyik gyöke, de van neki más is j. ) Egyedül a a megoldása 79. Házi feladat. Írj mindegyik esetre még egy példát! 79. Szorgalmi. Találj ki egy hasonló feltételt és adj is rá egy példát! 1 Használd fel, hogy egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha egyik tényezője 0.
. 80. óra. Ekvivalens átalakítások, mérleg-elv 80. óra Ekvivalens átalakítások, mérleg-elv Def (Mérleg-elv). Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal növeljük, vagy csökkentjük, akkor az egyenlőség igaz marad. A megoldások - más szóval a gyökök - az átalakítás után is megegyeznek. Állítás. Egy egyenlet gyökeinek meghatározásása 6 lépésben zajlik: Tört eltűntetése Zárójelek felbontása Összevonás Rendezés Ismeretlen meghatározása Ellenőrzés!. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a. ) ( (6x x) + ) 8 = 8 h. ) 0(x 7) 56(5 x) = 6 b. ) 7 x = 7x i. ) 5 x + x = 16 15 c. ) 5x 11 (9x ) = x + d. ) (5x + x) 5 6 = 8 j. ) x + x x = x e. ) 7x 1 = 10 k. ) x x + 7 = 100 f. ) 6x = x + 8 l. ) 6x + 5 5x + = g. ) x + 1 = 7 m. ) x + x = 0 80. Házi feladat. Oldd meg! (x + 1)(x + 5) (x 1) = 8x ( x)(x ) 80. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! (x + 1) = 5
81. óra. Feladatok 5. 81. óra Feladatok 5. Feladat. Oldjuk meg az alábbi elsőfokú egyenleteket az racionális számok halmazán! a. ) x + 5 = 15x + f. ) 1 + x x = 7 b. ) x + 5 = x 1 g. ) (x 1) x(x ) = 1 c. ) x + = 17 h. ) 1 + x x + x 1 + x = d. ) (6x+) (x ) = (x ) (x+1) i. ) x 1 + x + 1 = 5 x 1 e. ) (x )(x ) (1 x)( x) = 0 j. ) x x + x 5 x + = 81. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! (x 7) (5 x) = x + 81. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! (x + ) (x ) (x 6) (x + 8) (x + ) (10x 15) = 0
6. 8. óra. Elsőfokú egyenletek 8. óra Elsőfokú egyenletek 6. Feladat. Oldjuk meg az alábbi elsőfokú egyenleteket a valós számok halmazán! a. ) x + 5 = x 1 e. ) x(x + 1) x(x 1) = x 7 b. ) 1 x + = 0 f. ) x + x 9 = c. ) (x )(x + ) = 0 g. ) x x 5 = 5 x 5 d. ) (8 + x) (7 x) = 6 h. ) 9 x x = 5 x + 8. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! x + x + 1 = x + 5 x x 8 8. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! x x x + x = 6 x +
8. óra. Elsőfokú egyenletek gyakorlása 7. 8. óra Elsőfokú egyenletek gyakorlása 7. Feladat. Oldjuk meg az alábbi elsőfokú egyenleteket a racionális számok halmazán! ( a. ) x ) ( + 5 x + 5 ) ( 7 1 x ) = 9 10 5 b. ) x x + x = 1 x 1 c. ) x 6 x = x x + x + 1 d. ) x 6 = x 5 x 8. Házi feladat. Oldd meg az egész számok halmazán! x x x + x = 6 x + 8. Szorgalmi. Oldd meg a valós számok halmazán! 6x x = + x + x
8. 8. óra. Szöveges feladatok 8. óra Szöveges feladatok 8. Feladat. Egy kosárlabda-egyesületbe hússzal több lány jár, mint fiú. Ha csak feleennyi lány járna, a fiúk 5-tel többen lennének. Hány sportoló van összesen az egyesületben? Hány fiú és hány lány jár az egyesületbe? 9. Feladat. Összekeverünk liter 1 %-os, 5 liter 18 %-os és liter %-os alkoholt. Hány százalékos keveréket állítottunk elő? 10. Feladat. A metróalagutat az egyik fúrópajzs egyedül 1 nap alatt, a másik 15 nap alatt fúrná ki. Hány nap alatt végeznek együttes munkával? 11. Feladat. Egy 6 m/s sebességgel haladó motoros és egy 0 m/s sebességgel haladó robogós egy helyről, egy időben indulva ellenkező irányban távolodik egymástól. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 57 m? 1. Feladat. Egy háromszög kerülete 8 cm, oldalai hosszának aránya : : 5. Határozzuk meg az egyes oldalak hosszúságát! 1. Feladat. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 1, felcserélve a számjegyeket 18-cal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? 8. Házi feladat. Hány fácán és hány nyúl van nagypapa kertjében, ha az állatoknak összesen 5 fejük és 168 lábuk van? 8. Szorgalmi. Háromnapos gyalogtúránk első napján az út részét, a második napon 5 a hátralevő út felét tettük meg. Az utolsó napon 15 km-t gyalogoltunk. Hány km-t tettünk meg az egyes napokon?
85. óra. Egyenletek gyakorlása 9. 85. óra Egyenletek gyakorlása 1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a. ) 5 (x + 5) + x = 10 7 (x ) 5 b. ) x = 11 5 (x ) + (x 8) c. ) 7 ( x) + 5 (x 8) = (x + ) d. ) x (11 x) = 5 ( x) x (x ) e. ) x 7 + 10 ( x) = x 7 (x 1) + 1 (x + 1) f. ) 1 x (x 1) 5x = (x ) (7x + 1) 15. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a. ) x 7 = x 1 d. ) 8 5 x = x b. ) 7 x + 5 = x e. ) x 7 x = 5 x c. ) 1 5 x 6 = x 6 f. ) + x = 11x 5 85. Házi feladat. A kimaradt feladatokat otthon befejezni! 85. Szorgalmi. Találj ki olyan egyenletet, melynek van megoldása a valós számok halmazán, de nincs megoldása az egész számok halmazán!
10. 86. óra. Egyenlőtlenségek 86. óra Egyenlőtlenségek 16. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket a racionális számok halmazán! a. ) x 1 6 + x x e. ) x 7 + x 1 + x b. ) 6x 15 7 + 1x 5 x + f. ) 5x 18 + 1 + 9x 15 0, 1x 5 c. ) x 5 5 + x 1 + x g. ) 7 x 8 + 5 8 > x 8 d. ) 1 6 + 5x 1 1 x 9 < 5x 18 + 5 h. ) x 15 + 1 5 x = 1 7 + x 6 + 1 17. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket a racionális számok halmazán! x a. ) + x < x 1 e. ) x + 1 + x + 1 + x + 1 8 7x b. ) + x + + 5 x 5 6 f. ) x + 7 + 9 x 6 5 + x 5 c. ) 1 > 5 x + x 5 + x + 1 10 g. ) 8x + 7 10 + 6 x 70 > 6x + 1 7 d. ) 7 x + x 7 6 + x 8 10x h. ) 5 x 1 6 x + 10 + x 86. Házi feladat. A hiányzó feladatokat otthon megoldani! 86. Szorgalmi. Találj ki egy egyenlőtlenséget, mely minden valós számra igaz!
87. óra. Szöveges feladatok 11. 87. óra Szöveges feladatok 18. Feladat. Ha Anna és Bea áll a mérlegre, akkor az 9 kg-ot mutat, ha Anna és Csilla, akkor 96 kg-ot, ha mindhárman a mérlegre állnak, akkor 18 kg-ot. kilogramm a három lány külön-külön? Hány 19. Feladat. Egy lelátó minden padján 15-en ülnek, de így 175 nézőnek nem jut ülőhely. Ha minden padon 17-en ülnének, akkor 5 ülőhely még üresen is maradna. Hány pad van a lelátón? 0. Feladat. Marci és Nándi bélyeget gyűjt. Marcinak 5-tel több bélyege van, mint Nándinak. Ha Marci átadna 15 bélyeget Nándinak, akkor Marci bélyegeinek a része ugyanannyi darab lenne, mint Nándi bélyegeinek a -e. Hány bélyege van Nándinak? 5 1. Feladat. Gondoltam egy számot, az 1 -ad részéhez hozzáadtam 1-et, így 9-et kaptam. Milyen számra gondoltam?. Feladat. Egy kötélnek levágták a -ad részét és még 5 métert. A maradék 11 méter. Milyen hosszú volt a kötél?. Feladat. Egy táska, egy pár cipő és egy karóra összesen 680 forintba került. A táska 0 forinttal volt drágább, mint a cipő, és feleannyiba került, mint az óra. Mennyibe került külön-külön a táska, a cipő és az óra?. Feladat. Egy ketrecben nyulak és fácánok vannak. Összesen 100 lábuk és 6 fejük van. Hány nyúl és hány fácán van a ketrecben? 5. Feladat. Egy téglalap hosszúsága kétszer akkora, mint a szélessége. Ha a szélességét méterrel megnöveljük, és a hosszúságát nem változtatjuk. akkor a területe m -rel nagyobb lesz. Határozd meg a téglalap eredeti hosszúságát és szélességét! 6. Feladat. Gondoltam egy számot. Hozzáadtam -et. Az összeget megszoroztam -vel, majd az eredményből kivontam 8-at, s így ugyanazt a számot kaptam, mint amelyre gondoltam. Melyik ez a szám? 87. Házi feladat. András így szól Bélához: "Adj nekem 1 forintot, és akkor kétszer annyi pénzem lesz mint neked!" Béla erre azt válaszolja: "Adj te nekem 5 forintot, s akkor ugyanannyi pénzem lesz mint neked!" Hány forintjuk volt külön-külön? 87. Szorgalmi. Egy apa azt mondja a 8 éves lányának: "Amikor annyi idős leszel mint én, akkor 60 esztendős leszek." Hány éves az apa?
1. 88. óra. Összefoglalás 88. óra Összefoglalás 7. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket az egész számok halmazán és ellenőrizz! a. ) [ 7 x 5 ( 10 )] : 7 7 = 1 c. ) x + 1 5x 7 + 0, 7 b. ) 1 x 5 6 = x d. ) 7 x x 5 = x 5 8. Feladat. Oldd meg az alábbi szöveges feladatokat! a. ) Egy póló ára 000 Ft volt, de megnövelték 0%-kal. Mennyibe kerül most? b. ) Egy cipő 0%-os akcióban 1000 Ft-ért kapható. Mennyibe került eredetileg? c. ) Hány százalékos az áremelés, ha egy kabát ára 0000 Ft-ról 5000 Ft-ra nőtt? d. ) Határozd meg az x értékét, ha 5 : = x : 180! e. ) Ossz fel 0000 Ft-ot Marietta, Réka és Anna között : 7 : 5 arányban! f. ) Számítsd ki 00 kg háromnyolcad részét! g. ) Melyik szám /5 része 100? h. ) Mekkorák a háromszögnek a belső szögei, ha két külső szöge 75 és 150? 88. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x + 1 x x x + = 9x x 9 88. Szorgalmi. Melyik az a szám, amelynek része 5-tel nagyobb, mint az 1 része?
89. óra. Témazáró dolgozat megírása 1. 89. óra Témazáró dolgozat megírása
1. 90. óra. Témazáró dolgozat megbeszélése 90. óra Témazáró dolgozat megbeszélése
90. óra. Témazáró dolgozat megbeszélése 15. Elemi geometria Geometriai alapfogalmak Szögek Szögpárok Feladatok Feladatok Távolság Feladatok Háromszögek Alapvető összefüggések Feladatok Feladatok Dolgozatírás Nevezetes vonalak, körök Nevezetes vonalak, körök Feladatok Thalesz-tétel Feladatok Négyszögek Négyszögek Feladatok Speciális négyszögek Feladatok Sokszögek Feladatok Feladatok Dolgozatírás Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk Feladatok Geometriai szerkesztések (alapfogalmak, alapszerkesztések) Háromszögek szerkesztése Vegyes szerkesztési feladatok Négyszögek szerkesztése Feladatok Dolgozatírás A terület fogalma Négyzet, téglalap területe Háromszög területe Feladatok Egyéb alakzatok területe Feladatok Dolgozatírás Kombinatorika Alapfogalmak Sorbarendezés, kiválasztás Vegyes feladatok Összeszámlálási módszerek Feladatok Vegyes feladatok Vegyes feladatok Összetett feladatok Feladatok Dolgozatírás Statisztika, valószínűség Adatok rendszerezése Feladatok Grafikonok, diagramok Feladatok Adatsokaságok jellemzői Feladatok Relatív gyakoriság A valószínűség Feladatok Dolgozatírás Függvények Alapfogalmak Sorozatok Feladatok Valós függvények, grafikon Lineáris függvény Feladatok Egyenes arányosság Feladatok Feladatok Dolgozatírás Év végi rendszerezés Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Feladatok