A EHÉZSÉGI ERŐTÉR POTECIÁLFÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS REKOSTRUKCIÓJA EÖTVÖS-IGA ADATOK ALAPJÁ Dobóa háy Vögyes Laos 3 Inveson econstucton of gavty potenta base on toson baance measuements - Suggeston can be foun hee fo the nveson econstucton of gavty potenta. The suggeste metho gves a possbty to etemne efectons of the vetca base on toson baance measuements. Accuacy of ths metho s bette than the accuacy of the fome ntepoaton methos an t s possbe to avo some types of eae ntepoaton pobems. Keywos: nveson efecton of the vetca toson baance measuements A nehézség eőté potencáfüggvényéne nvezós eonstucóáa teszün avasatot. A avasot mószee ehetőség nyí Eötvös-nga méés aato fehasznáásáva függővona-ehaás meghatáozásáa az eg aamazott ntepoácós mószee pontosságát feümúó számításo evégzésée és a oábban aamazott eááso soán femeüő bzonyos pobémá áthaásáa. Kucsszava: nvezó függővona-ehaás Eötvös-nga méése Bevezetés agyaoszágon az emút évben mntegy 6 Eötvös-nga méést végezte. ve a méése nyesanyag utatás céábó töténte ezét csa a zx és a zy hozontás gaenseet ogoztá fe. A geoézában fontos és xy göbüet aato eg feogozatano maata peg eze ó ehetőséget teemtene a függővona-ehaás meghatáozásáa (Vögyes 993 995). Az aábbaban a nehézség eőté potencáfüggvényéne nvezós eonstucóáa teszün avasatot. Úgy véü a avasot mószee ehetőség nyí az eg aamazott ntepoácós mószee pontosságát feümúó számításo evégzésée és a oábban aamazott eááso soán femeüő bzonyos pobémá áthaásáa. Az nvezós agotmus eenőzésée szntetus aatoon végeztün vzsgáatot. Az nvezós agotmus Vegyü fe a nehézség eőté ( x potencáát vaamey Ψ... Ψ P (smet) bázsfüggvény ensze szent sofetés aaában: ( x n B Ψ ( Ψ ( x) n( n ) + n és B (smeeten) sofetés együttható. Az smeetene száma: + P +. (Átaánosságban a bázsfüggvénye soféé ehetne a een ogozat- P( P + ) ban azonban bázsfüggvényeént hatványfüggvényeet vagy Chebshev Legene stb. ponomoat téteezün fe.) A et feaat megoását ( és xy göbüet aato eméet étéet) ezze eőáíthatu a soc Egyetem Geofza Tanszé H-355 soc-egyetemváos E-ma: oboa@go.un-msoc.hu Buapest űsza és Gazaságtuomány Egyetem Átaános és Fesőgeoéza Tanszé H-5 Buapest 3 agya Tuományos Aaéma Fesőgeoéza és Geonama Kutatócsopot E-ma: vogyes@e.bme.hu
4 DOBRÓKA VÖLGYESI L xy x y n B Ψ ( Ψ ( x) yy xx n B { Ψ ( Ψ ( x) Ψ ( Ψ ( x) } aaban. A - méés pontban x y ) az S ( eöésse a Eötvös-nga aato: Ψ ( y ) Ψ ( x ) és Q Ψ ( y ) Ψ ( x ) Ψ ( y ) Ψ ( x ) ( ) xy B S és ( ) B Q S Q smet mátx eeme (a nexet és étée egyéteműen meghatáozza). A mét és a aato etéésvetoána eeme ezze e ( ) xymét B S és f ( ) B Q mét. A mnmazáanó függvény egyen p. az etéésveto L nomáa: és az a xy. a E e + f méés aato száma. Veto íásmóot aamazva vezessü be a { } () (... ) ()... ( ) ( mét ) xy xy e ( mét) G GB S Q < + E ( e e) eöéseet +. E Az így efnát nvez feaat megoását a (... ) fetéteensze aapán feáított B T T (mét) G G B G egyenetenszebő apu: T T B G G G. ( ) e
A EHÉZSÉGI ERŐTÉR POTECIÁLFÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS REKOSTRUKCIÓJA 5 Az nvez pobéma tehát neás megoásáva a sofetés együttható B vetoa meghatáozható. ve Eötvös-nga aatan a potencáfüggvény máso evátava moeezhető a B B B együtthatóa (onstans tag x-ben. y-ban neás tago együttható) a fenteben nncs egyenet! A B onstans a továbba szempontábó nem ényeges (a potencá csa egy atív onstans eeég meghatáozott) B B eőáítása azonban tovább nfomácó bevonásáva p. függővona ehaás aato fehasznáásáva ehetséges az aább megfontoás aapán: A függővona ehaás ét hozontás összetevőe: ξ Φ ϕ η ( Λ λ) cosϕ Φ Λ a szntfeüet ϕ λ az epszo föaz oonátá ameyee g ξ x + U x és g η y + U y. Itt U az epszo nomáté smet potencáfüggvénye g az átagos nehézség gyosuás. Az eső eváta a függővona ehaásbó: A potencá sofetéses eőáításábó x gξ + U x és y gη + U y. P n x B ( x) ( B + x + Ψ Ψ n P n y ( + y + n F( x B Ψ x) Ψ ( B G( x F ( x G( x smet (a benne szeepő B ( 3) együttható a fente szent aotta). Ha p. x x y ) -ben smet a ξ ) függővona ehaás étée ao ( y ( η B F( x y U x x y gξ ) + ( ) és B G( x y) + U y ( x y) gη. Az így eőáított sofetés együtthatóa (atív onstanstó etentve) a potencá függvény az smet bázsfüggvénye fehasznáásáva a vzsgát (méésee efeett teüet) bámey pontában meghatáozható. Sanos azonban ez az agotmus yen fomában nem mng hasznáható. Ha ugyans (mnt a fenteben eeztü) bázsfüggvényeént hatványfüggvényeet vagy ponomoat (Chebshev Legene stb.) hasznáun a sofetés együttható függetensége nem bztosított. A potencáfüggvény ( x n B y x n
6 DOBRÓKA VÖLGYESI L szent eőáítása esetén az nexe szeezete p. P4 -e (5): n n( n ) x és y xy -ban -ban Bámeyben + hatványa szeepe szeepe szeepe onstans - - - x - - - y - - - 3 3 x - + + 4 xy + - + 5 y - + + 4 6 x 3 - + + 7 x y + + + 8 xy + + + 3 9 y 3 - + + 5 x 4 - + + x 3 y + + + x y + + + 3 3 xy 3 + + + 4 4 y 4 - + + A G Jacob mátx eső háom oszopában mnen méés ponthoz tatozóan onstanso szeepene a n n( n ) + x és y hatványa Jacob mátx xy -bó Jacob mátx -bó 3 3 x - 4 xy 5 y + tábázat tanúsága szent. E háom oszop tehát nem neásan függeten így a nomáegyenet G T G mátxa sznguás esz az nvez feaat nem megoható! A pobéma megoása az Eötvös nga aato és függővona ehaás aato együttes nvezóáva ehetséges. Az eső evát aato a függővona ehaásbó számaztatható: mét mét mét mét x gξ U x és y g + U y + A potencá sofetéses eőáításáva eze étée x x P+ n n P+ n B Ψ ( x) Ψ η. ( B R y B Ψ ( x) Ψ ( B Z y n n( ) R Ψ ( x ) Ψ ( y ) Z Ψ ( x ) Ψ ( y ) ( n + ) A mét aato vetoát az eső eváta (mét függővona ehaás aatobó számaztatott étéeve) egészítve:
A EHÉZSÉGI ERŐTÉR POTECIÁLFÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS REKOSTRUKCIÓJA { } () ( ) () ( ) () ( 3......... ) ()... ( ) ( mét ) 4 xy xy x x y y Hasonó szeezetben áíthatu eő a aato vetoát amhez szüséges a Jacob mátx szeezetét s teesztenün az aábba szent: S Q G R Z A aato ezze: + < 3 < +. + < + + 3 + e B G ( mét) E ( e e). GB e + ( ) + GB 3 + és + + 3 + 4. E Az így efnát nvez feaat megoását smét a (... ) aapán apu: B T T (mét) G G B G ahonnan T T B G G G ( ) Ez az agotmus numeusan stab amt az aább tesztee gazoun. Teszteés szntetus aatoa A teszt teüetet az xy oonátá - + ntevaumán efnátu és fevettü a ( x B y x ( P 4 5 ) n n potencáfeüetet a B..5.5.5.5 5..5.5.5.5.5.5.5.5.5 { } sofetés együtthatóa! A szntetus aatenszet a övetezőéppen áítu eő: xy étéet és 5% véet-.) méés pontban ( x y. ) számítu en zaa (Gauss eoszás) teheü..) 9 méés pontban ( x y. ) számítu x és zaa (Gauss eoszás) teheü. és 4 7 y étéet és 5% véeten
8 DOBRÓKA VÖLGYESI L Az így apott * ( + ) 6 aatot fehasznáva együttes nvezót végzün a Gaussfée egsebb négyzete (LSQ) mószeéve a péában szeepő mnössze 5 smeeten meghatáozásáa (a feaat tehát eentősen túhatáozott). A bemenő aatenszet az. ába mutata.. ába. A xy és bemenő aatensze (5% zaa teheve) és az egzat x y feüete Az nvezós eemény mnősítésée hasznát mennysége (Dobóa et a. 99): aattébe (eatív) távoság: D mét paamétetébe távoság: D m m becsüt fevett m fevett m paaméte ovaanca mátx (főátóban a paaméte becsés hbá): paaméte oeácós mátx: T ( G ) COV ( m) σ G co cov cov cov
A EHÉZSÉGI ERŐTÉR POTECIÁLFÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS REKOSTRUKCIÓJA 9 A paaméteveto eemene nuó étéet (stat moe) mnen esetben zéusna vettü. Az nvezó eeményeént apott (becsüt) sofetés együtthatóat az I. tábázatban mutatu be. A tábázat eső soában összehasonításu bemutatu a teszt céáa fevett együtthatóat a hama so peg a %-osan feezett paamétebecsés hbát mutata. I. tábázat. A paaméte veto eeme fevett.5.5.5.5 5..5.5.5 -.5.5.5.5.5.5.5 becsüt.497.499.54.497 4.996.494.5.499 -.49.49.478.5.55.479.44 hba.44.445.48.85.954.48.4.4.753.753.483.73.36.73.6 A tábázat tanúsága szent a (vszonyag) nagyszámú Eötvös nga aat és néhány függővona ehaás aat együttes nvezóáa ogozott eáás megehetősen pontos paamétebecsést eeményezett. Ezt a. ába s gazoa üönösen az. ábáva vaó összehasonítás után.. ába. Az nvezó után az eemény moeen xy és aatensze vaamnt a eonstuát x és y feüet (ebbő számítható a függővona ehaás bámey xy pontban) Az agotmus stabtását ó eemz a II. tábázatban bemutatott oeácós mátx. A főátón ívü eeme vszonyag s oeácót mutatna az egyes smeetene özött.
3 DOBRÓKA VÖLGYESI L II. tábázat. A oeácós mátx eeme (oeácós átag:.8).34. 6.3.449 -.38 -.365 -.9 -.73. -.46.8.379..34.58.5.7 -. -.787 -.45 -.97.7. 5. -.64.37. 6.58 -.3.94.357 -.55.35 -.5 -.73.4 -.946 -.4.464.3.5 -.3 -.59.359.94.3.96 -.4 -.3487 -.5 -.35 -.9.449.7.94 -.59.33 -...7.3586. 3 -.74 -.55 -.578 -.38 -..357.359.33.79.659.7 -.36 -.79. 3 8.9 -.6 -.365 -.787 -.55.94 -..79.5696.5.6.455.45.799.5 -.9 -.45.35.3..659.5696.536.38.79.467.393.99 -.73 -.97 -.5.96.7.7.5.536.855.578.58 -.3 -.349..7 -.73 -.4.3586 -.36.6.38.855. 4 6.54.673 -.769 -.46. 5.4 -.3487. 3 -.79.455.79.578. 4 6.5395.774.58.8. -.946 -.5 -.74. 3 8.45.467.58.54.5395.549.834.379 -.64 -.4 -.35 -.55.9.799.393 -.3.673.774.549.373..37.464 -.9 -.578 -.6.5.99 -.349 -.769.58.834.373 Az I. tábázat aata aapán az átagos becsés hba.58% a II. tábázat főátón ívü eemene átaga (a oeácós noma).8 tehát az nvezós agotmus gen stab. Összefogaás A bemutatott mósze a potencáfüggvény nagyszámú Eötvös-nga aat és néhány (p. csagászat) függővona ehaás aat együttes nvezóána fehasznáásáva töténő meghatáozásáa nyút ehetőséget. Az így eonstuát potencáfüggvénybő számos gyaoat fontosságú teet (p. függővona ehaást) a vzsgáat teüet bámey pontán eszámaztathatun. Az eáás eőnye hogy mnezt egy eentősen túhatáozott nvez pobéma megoásáva tehetü. Köszönetnyvánítás A nehézség eőté potencáfüggvényéne nvezós eonstucóáva apcsoatos utatáso a T- 3799 sz. OTKA anyag támogatásáva foyna. Hvatozáso Dobóa Gyua Á Omos T Csóás J Desen L (99) Jont nveson of sesmc an geoeectc ata ecoe n an une-goun coa mne. Geophysca Pospectng 39 643-665. Vögyes L (993) Intepoaton of efecton of the vetca base on gavty gaents. Peoca Poytechnca Cv.Eng. 37; 37-66. Vögyes L (995) Test Intepoaton of efecton of the vetca n Hungay base on gavty gaents. Peoca Poytechnca Cv.Eng. 39; 37-75.
A EHÉZSÉGI ERŐTÉR POTECIÁLFÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS REKOSTRUKCIÓJA 3 Dobóa Vögyes L (5): A nehézség eőté potencáfüggvényéne nvezós eonstucóa Eötvös-nga aato aapán. Geomata Közeménye VIII pp. 3-3. * * * D. Laos VÖLGYESI Depatment of Geoesy an Suveyng Buapest Unvesty of Technoogy an Economcs H-5 Buapest Hungay űegyetem p. 3. eb: http://sc.fgt.bme.hu/vogyes E-ma: vogyes@e.bme.hu