6. szintű 1. feladatsor Feladat sorszáma: 6_1_1 Standard szint: 6. Gondolkodási és megismerési Halmazok módszerek. Ismeri és tudja alkalmazni az intervallum fogalmát. Adottak a következő halmazok: A { x 5 x R} B { 1 x 3 x R} a) Írja fel az A és a B halmazt intervallumjelöléssel! b) Adja meg a következő műveletek eredményét intervallumjelöléssel, és ábrázolja ezeket számegyenesen! A B = A B = A \ B = 9 pont Összesen: 1 a) A = [; 5] B = ] 1; 3[ b) A B = [; 3[ A B = ] 1; 5] A \ B = [3;5] Ha a tanuló az intervallum végpontjait jól állapítja meg, de a zártság/nyitottság kérdésében vagy jelölésben követ el hibát, akkor ot kapjon. 3 pont Összesen: 1
Feladat sorszáma: 6_1_ Standard szint: 6. Számtan, algebra Műveletek Képes műveletek elvégzésére hatványokkal: azonos alapú hatványok szorzása, osztása, szorzat, hányados hatványozása, hatvány hatványozása. Ismeri a 0 és a negatív egész kitevőjű hatvány fogalmát, tud hatványértéket számolni egész kitevők esetén. Add meg a következő egyenletekben szereplő ismeretlen értékét úgy, hogy az egyenlet igaz legyen! a) 3 4 5 5 a 5 3 5 b) 3 3 3 3 b 3 9 3 pont c) 10 4 5 5 10 5 c 10 3 pont d) 6 6 d Összesen: 10 pont a) a = 7 b) b = 0 3 pont c) c = 0 3 pont d) d = 7 Összesen: 10 pont
Feladat sorszáma: 6_1_3 Standard szint: 6. Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok Szöveges feladatok Sorozatok Tud keveréses, együttes munkavégzéses, út-idő-sebességes, életkoros feladatokat megoldani. Ismeri a mértani közép fogalmát. Egy oldatból kétféle töménységű változat áll rendelkezésünkre, az A jelű négyszer olyan tömény, mint a B jelű (a töménységet százalékban adjuk meg). A kérdés: Hány evőkanállal öntsünk a B jelű oldatból 3 evőkanál A jelű oldathoz, hogy az összeöntés után keletkező oldat töménysége a két töménység mértani közepe legyen? 9 pont A B jelű oldat töménysége legyen p%, ekkor az A jelű oldat töménysége 4p%. Az összeöntés során elérendő töménység p 4 p p (%). A feladat szövege alapján felírható egyenlet: 4 p p p 3 x (3 x). 100 100 100 p Az egyenlet mindkét oldalát -zal osztva 100 és a zárójelet felbontva 1 x 6 x, amiből x = 6. A B jelű oldatból 6 evőkanállal kell venni. 4 p p p p Ellenőrzés: 3 6 18 9 100 100 100 100. Összesen: 9 pont
Feladat sorszáma: 6_1_4 Standard szint: 6. Összefüggések, függvények, sorozatok Számtan, algebra Sorozatok Egyenletek, egyenlőtlenségek Ismeri és alkalmazza a számtani sorozat fogalmát. Az első tag és a differencia ismeretében meg tudja határozni a sorozat n. tagját és a sorozat első n tagjának összegét. Meg tud oldani szorzattá alakítással megoldható, egyszerű, nem elsőfokú egyenleteket. A Tulipán utca lakói nem számokkal jelölik a házszámot, hanem minden ház elé pontosan annyi tulipánt ültetnek, amennyi az adott ház száma. (Tehát a Tulipán utca 57. számú ház elé 57 tulipánt ültetnek.) A Tulipán utca egyik utcasarkán Stefi ezt az utcatáblát látja kitéve: Tulipán utca 13 79 Ott, ahol áll, a ház előtt 13 tulipánt számol meg. Stefi elindul az utca ezen oldalán és elkezdi összeadni a házak előtt található tulipánok számát. Amikor megáll 0-nál tart. (A Tulipán utcában a legtöbb utcához hasonlóan az utca egyik oldalán a páros, másik oldalán a páratlan házszámok követik egymást. Tudjuk, hogy az utcában minden számhoz egy ház tartozik.) Hányas számú házig jutott Stefi a számolás végére? 9 pont Az utca ezen oldalán lévő házszámok egy olyan számtani sorozatot alkotnak, melynek első tagja 13 és differenciája. A saroktól számított n. házig jut Stefi, így felírható a következő egyenlet: 13 13 ( n 1) n 0. Ebből n 1n 0. Az egyenlet bal oldala szorzattá alakítható: n ( n 1) 0. Mivel az n egy pozitív egész szám, ezért a 0-at két olyan pozitív egész szorzatára kell bontani, amelyek különbsége 1.
n = 10 megfelelő (és más pozitív megoldás nincs). Vagyis a saroktól számított 10. házig jutott Stefi, aminek a száma 13 9 31.
Feladat sorszáma: 6_1_5 Standard szint: 6. Geometria Felszín, térfogat Négyszög alapú egyenes hasáb és forgáshenger térfogat- és felszínképleteinek ismeretében ki tudja számolni ilyen testek térfogatát, űrmértékét, felszínét. Manci egy henger alakú befőttesüveg űrtartalmát szeretné kiszámítani. Ehhez leáztatja az üveget kívülről borító, az üveget oldalról teljesen fedő, téglalap alakú címkét az üvegről. A címke vízszintes oldala 31,9 cm, másik oldala 9,5 cm hosszú. A címkét 5 mm átfedéssel ragasztották az üvegre. A kérdés: Hány deciliter az üveg űrtartalma? Összesen: 7 pont 7 pont A címke vízszintes oldalának hossza a henger alapkörének kerületénél az átfedés nagyságával hosszabb, a másik oldal pedig a henger magasságával egyenlő. A henger alapkörének kerülete 31,4 (cm), 31,4 így az alapkör sugara 5 (cm). π Az üveg térfogata 5 π 9,5 746,1 (cm 3 ). Vagyis az üveg űrtartalma kb. 7,5 dl. Összesen: 7 pont
6. szintű. feladatsor Feladat sorszáma: 6 1 Standard szint: 6. Valószínűség, statisztika Statisztikai adatok Ki tudja számítani adathalmazok középértékeit (átlag, módusz, medián). Tudja elemezni és értelmezni adathalmazok tulajdonságait a középértékek alapján. Janka szeretne értékesítőként elhelyezkedni. Két kis cégnél hasonlítja össze a dolgozók fizetéseit. Felírja az egyes cégeknél előforduló fizetéseket egymás mellé, növekvő sorrendben (ezer Ft-ban): MindenEladó (ME): 150; 150; 150; 150; 150; 150; 00; 900 NálunkOlcsóbb (NO): 180; 180; 190; 190; 00; 00; 00; 60 a) Add meg a két cégnél előforduló fizetések átlagát, móduszát és mediánját 6 pont (külön-külön)! b) Melyik cégnél érdemes elhelyezkedni a fizetések szempontjából? Válaszodat indokold! 4 pont Összesen: 10 pont a) A MindenEladó cégnél a fizetések átlaga 50, mediánja és módusza egyaránt 150 (ezer Ft). A NálunkOlcsóbb cégnél a fizetések átlaga 00, mediánja 195, módusza 00 (ezer Ft). b) A ME cégnél a fizetések átlag magasabb, de a másik két középérték alacsonyabb, mint a NO cégnél. (Ennek oka a ME cég fizetési adatai között lévő egyetlen kiugróan nagy 900 ezres érték.) A ME cégnél Manci nagy valószínűséggel 150 000 forintos fizetést kapna, míg a NO céghez szerződve 180-00 000 Ft lehet a keresete. Érdemesebb a NálunkOlcsóbb céget választani. Összesen: 1-1- 10 pont
Feladat sorszáma: 6 Standard szint: 6. A standard(ok), ami(ke)t a feladattal mérünk: Összefüggések, függvények, sorozatok Koordinátarendszer, grafikonok Tudja a függvényeket jellemezni zérushely, növekedés, fogyás szempontjából. Ismeri a következő fogalmakat: értelmezési tartomány, értékkészlet. szélsőérték. Tudja ezek alapján jellemezni a függvényeket. Tud ábrázolni néhány nem lineáris függvényt: x ; x ; sgn x. Képes végrehajtani függvénytranszformációkat az ismert függvényeken egyszerű esetekben: f(x) + c; f(x + c), cf (x). Adott a következő függvény: f: [ 4;1] R, x x 3. a) Ábrázold a függvényt! 3 pont b) Jellemezd a függvényt a következő szempontok alapján: zérushely, monotonitás, szélsőérték(ek), értékkészlet! 6 pont a) A tanuló abszolútérték függvényt ábrázol, melynek csúcsa a ( 3;0) pont, és a grafikont leszűkíti a megadott értelmezési tartományra. b) A függvény zérushelye: x = 3. Ha x < 3, akkor a függvény (szigorú monoton) csökken, ha x > 3, akkor a függvény (szigorú monoton) növekszik. A függvénynek minimuma van az x = 3 helyen, ennek értéke 0. A függvénynek maximuma van az x = 1 helyen, ennek értéke 4. A függvény értékkészlete: [0;4]. Megjegyzés: Ha a tanuló az a) részben kapott hibás függvény grafikon alapján a b) részben jól dolgozik, akkor a b) rész megoldásáért járó megfelelő pontokat kapja meg.
Feladat sorszáma: 6 3 Standard szint: 6. Számtan, algebra Százalékszámítás Meg tud oldani egyszerű kamatszámítással kapcsolatos feladatokat. 150 000 Ft-ot helyezünk el egy bankban, fix 6%-os éves kamatra. a) Mennyi pénzünk lesz 1 év múlva a bankban? b) Mennyi pénzünk lesz 3 év múlva a bankban? 3 pont c) Hány százalékkal lesz több pénzünk a bankban 3 év múlva a kiindulási öszszeghez képest? 3 pont Összesen: 8 pont a) 1 év múlva 150000 1, 06 = = 159 000 forintunk lesz a bankban. b) 3 3 év múlva 150000 1,06 178 650 forintunk lesz a bankban. c) 178650 150000 1,191 Vagyis kb. 19,1%-kal lesz több pénzünk 3 év elteltével. Összesen: 8 pont 3 1,06
Feladat sorszáma: 6 4 és 6 5 Standard szint: 6. Geometria Felszín, térfogat Egyenes körkúp és gúla térfogat- és felszínképleteinek ismeretében ki tudja számolni ilyen testek térfogatát, űrmértékét, felszínét. Egy tömör, négyzet alapú, egyenes gúla alapéleinek hossza 10 cm, magassága 1 cm hosszú. A gúlát két részre vágjuk egy olyan síkkal, amely a gúla oldaléleit (és magasságát is) felezi. A kérdés: a) Számítsd ki, hogy az így keletkező kisebb test térfogata hogyan aránylik a nagyobb test térfogatához! 8 pont b) Számítsd ki az így keletkező kisebb test felszínét! 8 pont Összesen: 16 pont a) Az eredeti gúla térfogata 10 1 3 = 400 (cm 3 ). A levágott kisebb test szintén egy gúla, melynek alapélei 5 cm hosszúak, magassága 6 cm. Így ennek térfogata 5 6 50 (cm 3 ). 3 A másik test térfogata 400 50 = = 350 (cm 3 ). 50 1 A két test térfogatának aránya. 350 7 b) A levágott kisebb testet egy négyzetlap és négy egyenlőszárú háromszöglap határolja. Az alaplap területe 5 (cm ). Az oldallapok 5 cm hosszú oldalához tartozó magassága,5 6 = 6,5 (cm). 5 6,5 Egy oldallap területe = 16,5 (cm ). A test felszíne 5 4 16, 5= = 90 cm. Összesen: 16 pont
6. szintű 3. feladatsor Feladat sorszáma: 6_3_1 Standard szint: 6. Összefüggések, függvények, sorozatok Számtan, algebra Sorozatok Százalékszámítás Ismeri és alkalmazza a mértani sorozat fogalmát. Az első tag és a hányados ismeretében meg tudja határozni a mértani sorozat n. tagját. Ismeri az alap, a százalékérték és a százalékláb fogalmát. Alkalmazza a százalékszámítás összefüggéseit. Valamely kémiai bomlási folyamat során egy anyag mennyisége másodpercenként az ezred részére csökken. Kezdetben az anyag darab részecskéből állt. a) Hány részecskéből áll az anyag 5 másodperc múlva? 5 pont b) Hány százalékkal csökken másodpercenként az anyag mennyisége? Összesen: 7 pont 6 10 3 a) Az anyagmennyiség másodpercenként egy olyan mértani sorozatot alkot, melynek első 1 3 3 tagja 6 10, hányadosa 10. 1000 3 3 5 A sorozat 6. tagja 6 10 (10 ) 6 10 10 8 6 10 darab részecskéből áll az anyag 5 másodperc múlva. b) Ha egy mennyiség az 1000-ed részére csökken, akkor az eredeti érték 0,1%-a lesz, vagyis 99,9%-kal csökken. Összesen: 7 pont
Feladat sorszáma: 6_3_ Standard szint: 6. Geometria Számtan, algebra Síkbeli alakzatok Egyenletek, egyenlőtlenségek Ismeri az n oldalú konvex sokszögek belső és külső szögeinek összegét, átlóinak számát. Meg tud oldani szorzattá alakítással megoldható, egyszerű, nem elsőfokú egyenleteket. Az A jelű szabályos sokszög belső szögeinek összege 5400. A B jelű szabályos sokszög egy belső szöge 168. A C jelű szabályos sokszög összes átlójának a száma 65. a) Hány oldalú az A jelű szabályos sokszög? b) Hány oldalú a B jelű szabályos sokszög? 3 pont c) Hány oldalú a C jelű szabályos sokszög? 4 pont a) Az A jelű szabályos sokszög csúcsainak számát a-val jelölve felírható: ( a ) 180 5400. Ebből a = 3 az A sokszög oldalainak a száma. b) A B jelű sokszög egy külső szöge ( n ) 180 168 180 168 = 1. n Mivel a szabályos sokszög külső szögeinek összege 360, 180n 360 168n így szögeinek (és oldalainak a száma) 360 30 1 c) A C jelű sokszög oldalainak a számát c-vel jelölve felírható: 65. c ( c 3) Ebből c ( c 3) 130. Mivel c egy pozitív egész szám, ezért a 130-at két olyan pozitív egész szorzatára kell bontani, amelyek különbsége 3. c = 13 megfelelő (és más pozitív megoldás nincs), így a C jelű sokszög oldalainak a száma 13.
Feladat sorszáma: 6_3_3 Standard szint: 6. Számtan, algebra Számelmélet Számtan, algebra Számelmélet A prímtényezős felbontás segítségével meg tudja határozni két szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét. Tud számolni maradékokkal. Képes megállapítani hatványok osztási maradékát. Adott két szám: 3960 és 3150. A kérdés: a) Add meg a két szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! 6 pont Egy 016 januári cikk szerint újabb hatalmas prímszámot találtak számítógép segítségével. Az új prímszám 740781 1 és nagyjából millió számjegyből áll. b) Mennyi ennek a számnak a 3-mal vett osztási maradéka? 3 pont a) 3 3960 3 5 11 3150 3 5 7 A legkisebb közös többszörösük: 3 3 5 7 11(= 138 600). A legnagyobb közös osztójuk: 3 5(= 90). b) A páratlan kitevőjű hatványai 3-mal osztva, páros kitevőjű hatványai 1 maradékot adnak. Így a 740781 szám 3-mal osztva maradékot ad. A kérdéses szám 3-mal osztva 1 maradékot ad. Összesen: 9 pont A hatványai 3-mal osztva 1 vagy maradékot adnak. Ha ez a szám valóban 740781 prím, akkor a 3-mal vett osztási maradéka nem lehet 1, csak.
Feladat sorszáma: 6_3_4 Standard szint: 6. Gondolkodási és megismerési Kombinatorika módszerek. Képes egyszerű kombinatorika feladatokat megoldani az összes eset felsorolása nélkül. András, Bea, Cili, Dani, Edit, Fanni és Gergő testnevelés órán felsorakoztak egymás mögé a tanárral szemben. a) Hányféleképpen tehették ezt meg? 3 pont b) Hányféleképpen tudtak sorba állni úgy, hogy fiú mögé csak lány és lány mögé csak fiú állhatott? 5 pont Összesen: 8 pont a) Az első helyre 7 tanuló, mögé 6, majd 5, 4, 3 és tanuló közül választhatunk egyet, az utolsó helyre egy valaki marad. Így a tanulók 7 6 5 4 3 1 7! = 5040-féleképpen tudnak egymás mögött felsorakozni. b) Mivel 4 lány van és 3 fiú, ezért csak lány állhat az első helyen. Az első helyre 4 lány, mögé 3 fiú, majd 3 lány, fiú, lány közül választhatunk egyet, az utolsó két helyre egy fiú és egy lány marad. Így a tanulók 4 3 3 1 1 4! 3! = 144-féleképpen tudnak egymás mögött felsorakozni. Összesen: 8 pont
Feladat sorszáma: 6_3_5 Standard szint: 6. Geometria Síkbeli alakzatok Ki tudja számítani a körív hosszát, a körcikk területét. Egy ingaóra kismutatója 8 cm, nagymutatója 15 cm hosszú. a) Mekkora utat tesz meg a nagymutató végpontja 75 perc alatt? 4 pont b) Mekkora területen söpör végig a kismutató 75 perc alatt? 5 pont a) A nagymutató 75 perc alatt egy teljes és egy negyed kört tesz meg. Egy 15 cm sugarú kör kerülete 15 π, így a nagymutató végpontja által megtett út 5 30 π 4 117,8 cm. b) A kismutató 60 perc alatt 30 -kal, 75 perc alatt 37,5 -kal fordul el. Egy 8 cm sugarú körben a 37,5 -os középponti szöghöz tartozó körcikk területét kell kiszámítani. T =,5 8 π 360 0,94 cm.
6. szintű 4. feladatsor Feladat sorszáma: 6_4_1 Standard szint: 6. Számtan, algebra Műveletek Ismeri és alkalmazza a számok normálalakját. Egy internetes oldalon ezt olvastuk: Egy felnőtt embernek kb. 35 billió vörös vérsejtje van; 1 mm 3 vérben 7 millió. (billió = ezer milliárd) a) Írd fel a 35 billiót és a 7 milliót normál alakban! 4 pont b) A normál alakok segítségével határozd meg, hogy körülbelül mennyi vére van egy felnőtt embernek! Válaszodat literben is add meg! 5 pont a) 35 000 000 000 000 = 3,5 10 13 7 000 000 = 7 10 6 b) 13 3,5 10 0,5 10 6 7 10 = 5 10 6, vagyis kb. 5 millió mm 3 vére van egy felnőtt embernek. 1 liter = 1 dm 3 = 1 millió mm 3 Így egy felnőtt embernek kb. 5 liter vére van.
Feladat sorszáma: 6_4_ Standard szint: 6. Geometria Transzformációk Tud vektorokat összeadni, kivonni, számmal szorozni. Az alábbi ábrán egy szabályos hatszög látható. Az AF vektort jelölje a, az AB vektort jelölje b. Az a és b vektorok segítségével írd fel az alábbi vektorokat! a) b) DE = BC = c) = d) BE = e) CE AE = Összesen: 10 pont a) DE = b b) BC = a + b c) CE = a b d) BE = a e) AE = a + b Összesen: 10 pont
Feladat sorszáma: 6_4_3 Standard szint: 6. Gondolkodási és megismerési Állítások, logika módszerek. Meg tudja fogalmazni egyszerű logikai állítások tagadását, megfordítását. Tekintsük a következő két állítást: A: Minden pozitív egész szám negatív egész kitevőjű hatványai kisebbek, mint 1. B: Ha egy négyszögben minden oldal egyenlő, akkor az paralelogramma. a) Igaz vagy hamis az A állítás? Válaszodat indokold! b) Írd fel az A állítás tagadását! Igaz vagy hamis az A állítás tagadása? Válaszodat indokold! 3 pont c) Igaz vagy hamis az B állítás? Válaszodat indokold! d) Írd fel az B állítás megfordítását! Igaz vagy hamis a B állítás megfordítása? 3 pont Válaszodat indokold! Összesen: 10 pont a) Az A állítás hamis, mert az 1 negatív egész kitevőjű hatványai nem kisebbek, mint 1. b) Az A állítás tagadása: van olyan pozitív egész szám, amelynek negatív egész kitevőjű hatványai nem mind kisebbek (nagyobb vagy egyenlő) mint 1. Ez az állítás igaz, mivel egy hamis állítás tagadása igaz. c) A B állítás igaz, mert az ilyen négyszög rombusz, és minden rombusz paralelogramma. d) A B állítás megfordítása: ha egy négyszög paralelogramma, akkor minden oldala egyenlő. Ez az állítás hamis. Megfelelő ellenpélda. Összesen: Például az 1 ilyen szám. 10 pont
Feladat sorszáma: 6_4_4 Standard szint: 6. Egyenes és fordított Számtan, algebra arányosság Képes megoldani összetett arányossági feladatokat. Ha kilenc kályhában öt és fél nap alatt tizenkét köbméter bükkfa ég el mennyi nap alatt ég el tizenkét kályhában kilenc köbméter bükkfa Ha kilenc kályhában Az íróasztal előtt ülök, valami cikket olvasok. Nem tudok figyelni. A másik szobából már harmincötödször hallom a fenti mondatot. Így kezdődik Karinthy Frigyes: Tanítom a kisfiamat című novellája. Oldd meg a novellában szereplő feladatot! 8 pont Összesen: 8 pont Egy kályhában kilenc köbméter bükkfa 8 33 97 9 : 9 nap, 33 8 8 tizenkét kályhában kilenc köbméter bükkfa 97 99 :1, 8 3 vagyis körülbelül 3 nap alatt ég el. Összesen: 8 pont 1 4 Egy kályhában öt és fél nap alatt köbméter, 9 3 egy kályhában egy nap alatt 4 4 11 4 8 : 5,5 : köbméter 3 3 3 11 33 bükkfa ég el. 1 kályhában egy nap 8 3 alatt 1 köbméter bükkfa ég el, 33 11 1 kályhában 9 köbméter 3 11 99 9 : 9, 11 3 3
Darab Feladat sorszáma: 6_4_5 Standard szint: 6. Valószínűség, statisztika Valószínűség, statisztika Diagramok Statisztikai adatok Képes oszlopdiagramot, vonaldiagramot, kördiagramot készíteni táblázat alapján. Ki tudja számítani adathalmazok középértékeit (átlag, módusz, medián). Egy nyolcadikos osztályban a matematika dolgozatra kapott jegyek összesítését tartalmazza a következő táblázat: Osztályzat Darab 1 4 3 6 4 9 5 3 A kérdés: a) Add meg a jegyek átlagát, móduszát és mediánját! 3 pont b) Ábrázold a jegyek eloszlását oszlopdiagrammal! 3 pont c) Ábrázold a jegyek eloszlását kördiagrammal! 4 pont Összesen: 10 pont a) Az átlag kb. 3,3; a módusz 4; a medián 3,5. 3 pont b) 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 Osztályzat 3 pont c) Összesen 4 jegy van, így az egy jegyhez tartozó középponti szög 15 fok.
Az egyesekhez 30, a kettesekhez 60, a hármasokhoz 90, a négyesekhez 135, az ötösökhöz 45 fokos középponti szög tartozik. 1 3 4 5 Összesen: 10 pont
6. szintű 5. feladatsor Feladat sorszáma: 6_5_1 Standard szint: 6. Szimbólumok, Számtan, algebra algebrai kifejezések Ismeri és alkalmazza a következő nevezetes szorzatok összeg alakját: (a + b) ; (a b) ; (a + b)(a b). Végezd el az alábbi műveleteket! Ha lehetséges, végezz összevonást! a) ( a ) ( a ) b) ( b 3a)(b 3a) c) 5 c d) ( d e) (d e)(d e) (e) 3 pont a) a 4a 4 ( a 4a 4) 8a b) 4b 9a c) 5 4c 10c 4 d) 4d 4de e 4d e 4e 4de e 3 pont
Feladat sorszáma: 6_5_ Standard szint: 6. Geometria Gondolkodási és megismerési módszerek Transzformációk Állítások, logika Ismeri a háromszögek egybevágóságának alapeseteit. Meg tudja fogalmazni egyszerű logikai állítások tagadását, megfordítását. Tekintsük a következő három állítást: A: Ha két derékszögű háromszög két-két oldala egyenlő hosszú, akkor a két háromszög egybevágó. B: Ha két derékszögű háromszögben egy-egy befogó hossza és a két háromszög területe egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. C: Ha két háromszög hasonló és mindkét háromszögben van egy 1 és egy 18 cm hosszú oldal, akkor a két háromszög egybevágó. a) Igaz vagy hamis az A állítás? Válaszodat indokold! b) Igaz vagy hamis az B állítás? Válaszodat indokold! 3 pont c) Igaz vagy hamis a C állítás? Válaszodat indokold! 3 pont Összesen: 8 pont a) Az A állítás hamis. Megfelelő ellenpélda (az egyik háromszög egyik befogójának és átfogójának a hossza egyenlő a másik háromszög két befogójának hosszával). b) A feltételek alapján a két háromszög másik befogója is egyenlő hosszú, így két-két oldal és az általuk bezárt szög egyenlő. Vagyis a B állítás igaz. c) A C állítás hamis. Megfelelő ellenpélda (az egyik háromszög oldalai 8, 1 és 18, a másik háromszög oldalai 1, 18 és 7 egység hosszúak). Összesen: 8 pont
Feladat sorszáma: 6_5_3 Standard szint: 6. Összefüggések, függvények, sorozatok Koordinátarendszer, grafikonok Tud egyenlőtlenséggel meghatározott két vagy három feltételnek megfelelő ponthalmazokat ábrázolni. Ábrázold az alábbi feltételeknek megfelelő pontok halmazát a koordinátarendszerben! a) A = {Azok a pontok, amelyek koordinátáinak összege nagyobb mint.} 3 pont b) B = {Azok a pontok, amelyek koordinátáinak összege legfeljebb 3.} 3 pont c) C = {Olyan pozitív egész koordinátájú pontok, melyek B-nek és A-nak is elemei} Összesen: 8 pont a) Az x + y = egyenes berajzolása a koordinátarendszerbe. A megfelelő félsík jelölése. b) Az x + y = 3 egyenes, berajzolása a koordinátarendszerbe. A megfelelő félsík jelölése. c) Két ilyen pont van: (;1) és (1;) Összesen: 8 pont
Feladat sorszáma: 6_5_4 Standard szint: 6. Számtan, algebra Százalékszámítás Meg tud oldani áremelkedéssel, árengedménnyel kapcsolatos feladatokat. Egy nadrág ára márciusban 4500 Ft. Áprilisban megemelik az árát p%-kal, majd májusban (az áprilisi árat) csökkentik p%-kal. Így a nadrág 430 Ft-ba kerül. Számold ki p értékét! 7 pont Összesen: 7 pont p p 4500 1 1 430 100 100 1 0,96 10000 p 400 (Mivel p pozitív szám, ezért) p = 0. Ellenőrzés: 4500 1, 0,8 430. Összesen: 7 pont
Feladat sorszáma: 6_5_5 Standard szint: 6. Számtan, algebra Szöveges feladatok Tud keveréses, együttes munkavégzéses, út-idő-sebességes, életkoros feladatokat megoldani. Manci a Balaton déli partján, Balatonszemesen nyaral, unokatestvére Tádé a szemközti parton, Zánkán. Mindketten szeretnek bringázni. Megbeszélik, hogy elindulnak egymás felé kerékpárral és a tó körüli kerékpárúton valahol találkoznak. Azt sajnos elfelejtik rögzíteni, hogy melyik irányban indulnak el. Így egyikük nyugati, másikuk keleti irányban kezd tekerni. A nap folyamán egyszer csak Tádé megérkezik Balatonszemesre, Manci pedig Zánkára. Ekkor telefonon egyeztetik az útjukra jellemző adatokat. Kiderül, hogy Manci átlagos sebessége egész szám volt, óránként km/h-val lassabban tekert, mint Tádé; Tádé 10 kilométerrel kevesebbet tett meg, mint Manci; Manci két órával többet bringázott, mint Tádé. A Balaton körüli kerékpár út teljes hossza 06 km. Mekkora átlagos sebességgel haladt Manci? 1 Összesen: 1 Manci 108, Tádé 98 kilométert tett meg összesen. Manci sebességét (km/h-ban) jelölje x, ekkor Tádé sebessége x +. A feladat szövege alapján felírható egyenlet: 108 98. x x Ebből 108( x ) x( x ) 98x, rendezve: 16 x 6x. 108 x ( x 3), ahol x egész szám. Mivel 108 = 1 9, így Manci 1 km/h-s átlagos sebességgel haladt. Ellenőrzés: Manci a 108 kilométert 9 óra alatt, Tádé a 98 kilométert (14 km/h-s sebességgel) 7 óra alatt teljesítette. Összesen: 1