Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4 MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04 május 6
Fontos tudnivalók Formai elírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt szín&tl eltér szín& tollal kell javítani a tanári gyakorlatnak megfelelen jelölve a hibákat és a hiányokat A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsben a feladatra adható maimális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette lev téglalapba kerül Kifogástalan megoldás esetén elég a maimális pontszám beírása a megfelel téglalapokba 4 Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra 5 Az ábrán kívül a ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltér megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenérték& részeit, és ennek alapján pontozzon! A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók, hacsak az útmutató másképp nem rendelkezik Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következ részpontszámokat meg kell adni 4 Elvi hibát követen egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban ketts vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következ gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maimális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változik meg 5 Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes érték& a megoldás 6 Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül csak egy, a vizsgázó által megjelölt változat értékelhet 7 A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre elírt maimális pontszámot meghaladó pont) nem adható 8 Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel 9 A vizsgafeladatsor II részében kit&zött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhet A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek az értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába Ennek megfelelen a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani Ha mégsem derül ki egyértelm&en, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kit&zött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni írásbeli vizsga 4 / 7 04 május 6
I a) Egy kis téglalap oldalainak hossza cm, illetve cm, területe ( ) cm A feladat szövege szerint 70 ( ) 05 (A zárójelet felbontva és nullára rendezve:) 70 70 05 0 (A megoldóképlettel),5;,5 A negatív gyök nem megoldása a feladatnak A téglalap rövidebb oldala tehát,5 cm, hosszabb oldala pedig,5 cm hosszú Ellenrzés: 70,5,5 05 igaz, tehát a válasz helyes Összesen: 7 pont (45-tel egyszer&sítve: 6 6 45 0 ) b) -vel azok a természetes számok oszthatók, amelyek -mal és 4-gyel is oszthatók Mivel 4 5 6, ezért mind a 70 különböz hatjegy& szám osztható -mal Azok a hatjegy& számok oszthatók 4-gyel, amelyeknél az utolsó két számjegy, 6, 4,, 6, 5, 56 vagy 64 Mindegyik végzdés 4! ( 4) darab hatjegy& szám esetében fordul el, ezért a vizsgált számok között 8 4 9 darab -vel osztható van írásbeli vizsga 4 / 7 04 május 6
A (feladat szövege és a) négyzetgyök értelmezése miatt csak az 5-nél nem nagyobb pozitív egész számok jöhetnek szóba, és ezek mindegyike meg is felel pont H {; ; ; 4; 5} Ha log 6 k, akkor b k 6 ( 64) pont b A k kitev pozitív egész, ezért a b olyan pozitív egész szám lehet, melynek valamely pozitív egész kitevs hatványa 64-gyel egyenl * 6 4 8 64 64, pont* ezért B {; 4; 8; 64} * H B {; 4} B \ H {8; 64} Összesen: Ha 5,, akkor 5, 9, ebbl,8 (és pozitív egész) Egy hiba esetén, több hiba esetén 0 pont jár A *-gal jelölt 4 pontot az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: Mivel a prímszám, ezért b is csak a valamelyik pozitív egész kitevj& hatványa lehet (a számelmélet alaptétele miatt) Emiatt a k pozitív egész szám a 6-nak osztója, tehát k {6; ; ; } A megfelel b értékek rendre, 4, 8, 64, tehát B {; 4; 8; 64} pont Egy hiba esetén, több hiba esetén 0 pont jár a) A nehezék térfogata egy forgáskúp és egy csonkakúp térfogatának összege pont Az AFB derékszög& háromszög egyik hegyesszögének meghatározása:, az m magasság meghatározása szögfüggvénnyel: (Használjuk az ábra jelöléseit!) A forgáskúp magassága az AFB derékszög& háromszögbl: m cos 54 (,8 cm) írásbeli vizsga 4 4 / 7 04 május 6 9 b) harmadik megoldás Megfelelk azok az esetek, amelyekben Kovács úr az els három napon különböz szín& ingeket viselt, illetve amelyekben az els három napon sárga inget viselt Az ingek színének kiválasztása egymástól függetlenül történik, tehát alkalmazható a valószín&ségek szorzási szabálya Annak a valószín&sége, hogy a három különböz szín& ing közül például az els sárga, a második fe- hér, a harmadik világoskék: 7 6 5 5 Ugyanennyi a valószín&sége annak, hogy a három különböz szín& ing sorrendje sárga-világoskékfehér Annak a valószín&sége, hogy a három különböz szín& ing közül a sárga a második, illetve a harmadik, Ezek a pontok akkor is járnak, ha ezek a gondolatok csak a megoldásból derülnek ki szintén egyformán 5 4 Tehát annak valószín&sége, hogy az els három napon három különböz szín& inget választ Kovács úr: 4 5 5 Annak a valószín&sége, hogy az els három napon sárga inget választ Kovács úr: 7 6 5 5 A kérdezett valószín&ség tehát: 5 5 5 ( 0,7) A százalékban megadott helyes válasz is elfogadható írásbeli vizsga 4 7 / 7 04 május 6
9 b) els megoldás (Az azonos szín& ingeket megkülönböztetve) az els három napon 7 6 5 ( 0) különböz (egyenlen valószín&) lehetség van a három ing kiválasztására Kedvez esemény az, ha (valamilyen sorrendben) mindegyik színbl pontosan egyet vagy három sárga inget választott Kovács úr Egy adott színsorrendben (például fehér-kék-sárga) különböz módon lehet három inget kiválasztani Három adott szín sorrendje!-féle lehet, tehát három különböz szín& inget! különböz módon választhat ki Kovács úr A három sárga inget! különböz sorrendben választhatja ki A kedvez esetek száma!! ( 78) A kérdezett valószín&ség tehát:!! 78 ( 0,7) 7 6 5 0 5 A százalékban megadott helyes válasz is elfogadható 9 b) második megoldás Ha csak az ingek színeit tekintjük, akkor a színeket 7! 0-féleképpen lehet sorba rendezni (és e!!! sorrendek mindegyike ugyanakkora valószín&ség&) Ezek közül a kedvez sorrendek azok, melyekben vagy három különböz szín vagy sárga van az els három helyen Három különböz szín! 6-féleképpen adható meg az els három helyre Ekkor a maradék négy helyre az fehér, világoskék és sárga szín különböz sorrendben 4!! adható meg Ez 6 7 olyan lehetség, amelyben az els három helyen három különböz szín áll Ha az els három helyen sárga szín áll, akkor a maradék 4 helyre a fehér és világoskék szín! 4!! 6 különböz sorrendben adható meg A kedvez esetek száma összesen 7 6 78 A kérdezett valószín&ség tehát: A 7 ing helyett a színeket rendezzük sorba: fehéret, világoskéket és sárgát 78 A százalékban megadott ( 0,7) helyes válasz is elfogadható 0 5 írásbeli vizsga 4 6 / 7 04 május 6 A kúp alapkörének sugara: r sin 54 (,6 cm) A csonkakúp h magassága a CGD derékszög& háromszögbl: h sin 7 (,90 cm) A forgáskúp térfogata:,6,8 π Vkúp (,4 cm ) A csonkakúp térfogata (a fedkör sugara cm): Vcskúp,90 π (,6,6 ) ( 0,9 cm ) pont A nehezék térfogata: ( V kúp V cskúp ),6 (cm ) Összesen: 9 pont A CGD derékszög& háromszög egy hegyesszögének meghatározása:, a h magasság meghatározása szögfüggvénnyel: Más, ésszer& és helyes kerekítésekkel kapott (egy tizedesjegyre kerekített) érték is elfogadható b) A gyakorisági táblázat: tömeg (gramm) 05 06 07 08 09 0 gyakoriság 6 6 8 6 A 0 adat átlaga: 05 6 06 6 07 8 08 09 6 0 0 07 (gramm) A 0 adat szórása: 6 6 0 0 8 6, 7, (gramm) Csak hibátlan táblázat esetén jár ez a pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó a számítás részletezése nélkül (számológéppel) az átlagra és/vagy a szórásra helyes eredményt ad meg, akkor jár a megfelel pont Részletezés nélküli (hibás) megoldásra azonban részpontszám nem adható írásbeli vizsga 4 5 / 7 04 május 6
4 a) Az f deriváltfüggvénye: (f : ] ; [ : R) f ( ) 6 f zérushelyei: és Az f másodfokú függvény fegyütthatója pozitív, ezért f értékei < í esetén pozitívak, í < < esetén negatívak, < esetén pozitívak Az f függvény menete ezek alapján: a ] ; ]-on (szigorúan monoton) növekv; az í helyen (helyi) maimuma van, amelynek értéke,5; a [ ; ]-on (szigorúan monoton) csökken; az helyen (helyi) minimuma van, amelynek értéke í0; a [; [-on (szigorúan monoton) növekv Összesen: 0 pont Ez a pont jár egy helyes ábráért is Ez a pont nem jár, ha a vizsgázó nem veszi figyelembe az f függvény értelmezési tartományát, azaz nem vagy rosszul adja meg az intervallum bal oldali végpontját az intervallum végpontjait és a monotonitást jól adja meg a vizsgázó, de nyílt vagy félig nyílt intervallumot ír Ez a pont nem jár, ha a vizsgázó nem veszi figyelembe az f függvény értelmezési tartományát, azaz nem vagy rosszul adja meg az intervallum jobb oldali végpontját Megjegyzések: A monotonitási intervallumok megadásáért akkor is jár a megfelel pont, ha a vizsgázó egyenltlenségekkel írja le jól a megfelel intervallumokat A megfelel pontszámok akkor is járnak, ha a vizsgázó a függvény menetének leírását az alábbihoz hasonló táblázattal adja meg helyesen < < < < < < f ( ) > 0 f f f ( ) 0 f ( ) < 0 f ( ) 0 f ( ) > 0 maimum f ( ),5 minimum f () 0 írásbeli vizsga 4 6 / 7 04 május 6 9 a) pont (Használjuk az ábra jelöléseit!) Ha a szekrény magassága méter, akkor szélessége (az ábrán látható egyenl szárú derékszög& háromszögek miatt) 4 (m), a térfogata pedig V ( ) 0,6 (4 ) (m ) ( 0 < < ) Az 0,6 (4 ) másodfokú függvénynek két zérushelye van, a 0 és a, így a negatív fegyüttható miatt ennek a függvénynek a maimuma a két zérushelye számtani közepénél, * * az helyen lesz * (Mivel a eleme a feladat értelmezési tartományának, ezért) a legnagyobb térfogatú szekrény magas- sága,4 méter, Ez a pont jár más helyes indoklásért (pl egy jó ábráért) is szélessége pedig,8 méter lesz Megjegyzések: A vizsgázó akkor is maimális pontszámot kaphat, ha megállapítja, hogy a téglatest egyik oldala rögzített, ezért elegend csak a szekrény ellapjának területével foglalkoznia Ha a vizsgázó válaszában nem szerepel mértékegység, akkor ezért összesen ot veszítsen A *-gal jelölt pontot az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: Az 0,6 (4 ) másodfokú függvény deriváltfüggvénye:,4, 4 A deriváltfüggvény zérushelye az, itt a deriváltfüggvény pozitívból negatívba megy át, ezért ez az eredeti függvénynek maimumhelye Ez a pont jár, ha a vizsgázó a második derivált eljelével indokol helyesen írásbeli vizsga 4 5 / 7 04 május 6
8 b) els megoldás A négyzet körülírt körének sugara az átló fele, azaz 5 A körülírt kör egyenlete: ( 7) ( y 7) 50 A kör y tengelyen lév pontjait az 0 helyettesítéssel, az tengelyen lév pontjait az y 0 helyettesítéssel adódó egyenlet adja meg A kapott két egyenlet ( y 7), illetve ( 7) Ezeknek a megoldásai y 6 és y 8, illetve 6 és 8 Tehát a tengelyeken négy pont lehet a négyzet valamelyik csúcsa: a (0; 6), a (0; 8), a (6; 0) és a (8; 0) pontok (Figyelembe véve, hogy két szomszédos csúcs távolsága 0 egység) két megoldás adódik: A(0; 6) és B(8; 0), illetve A(0; 8) és B(6; 0) pont 8 b) második megoldás Ha a négyzet két csúcsa A(0; a) és B(b; 0), akkor a négyzet oldalhossza ¾ a b Mivel (az a) feladat szerint) a négyzet középpontja a b ; a b, ezért megoldandó az alábbi egyenletrendszer: a b 7 ½ a b 0 Az els egyenletbl: a 4 b, ezt a másodikba he- lyettesítve: (4 b ) b 0 pont Rendezve: b 4 b 48 0 Ennek megoldásai b 6 és b 8 a 8 és a 6 Tehát két ilyen négyzet van, a kérdéses csúcsok: A(0; 6) és B(8; 0), illetve A(0; 8) és B(6; 0) Megjegyzés: Ha a vizsgázó egy ábráról helyesen leolvassa a feladat megoldásait, akkor ezért pontot kapjon Ha a talált megoldásokról megmutatja, hogy azok valóban megfelelnek a feladat feltételeinek, akkor ezért további pont jár Ha azt is megmutatja, hogy más megoldása nem lehet a feladatnak, akkor maimális pontszámot kaphat írásbeli vizsga 4 4 / 7 04 május 6 4 b) (A g az f-nek egyik primitív függvénye, ezért) 4 g ( ) c (c R) 4 Mivel g() 4 4 c 0, ezért c, 4 és így g ( ) 4 Összesen: 4 pont Ez a pont nem jár, ha a vizsgázó nem ír konstans tagot (c-t) II 5 a) els megoldás 5 ( 5 ) 0 (Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezje nulla) Látható, hogy 0 valóban gyök A többi gyököt a 5 0 egyenletbl kaphatjuk Ennek az egyenletnek a gyökei: és, azaz a megadott három szám valóban gyök Másodfokú egyenletnek legfeljebb két (különböz valós) gyöke lehet, ezért nincs több gyök 5 a) második megoldás 5 ( 5 ) ( )( ) 0 pont A szorzat alakból látható, hogy a megadott számok mindegyike gyöke az egyenletnek Mivel egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezje nulla, ezért nincs több gyök 5 a) harmadik megoldás A megadott értékek behelyettesítésével adódik, hogy azok valóban gyökei az egyenletnek Harmadfokú egyenletnek legfeljebb három (különböz valós) gyöke lehet, ezért nincs több gyök pont pont írásbeli vizsga 4 7 / 7 04 május 6
5 b) Legyen y cos A y 5 y y 0 egyenletnek három valós gyöke van (az a) feladat igaz állítása miatt): y 0, y és y (Mivel cos, ezért) y A cos 0 egyenlet megoldásai: π k π ahol k Z A cos ahol m Z π egyenlet megoldásai: ± m π,, pont pont Ha a vizsgázó a gyököket periódus nélkül radiánban, vagy periódussal együtt fokokban, vagy a periódussal együtt vegyesen adja meg, akkor ebbl a - pontból legfeljebb -ot kaphat Összesen: 6 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó nem említi a k Z és/vagy az m Z feltételt, akkor ezért összesen ot veszítsen 5 c) els megoldás Az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, (bármely va- ezért 8 > 0 lós esetén), 7 4 > 0 és > 0 Az egyenlet bal oldalán álló összeg így (bármely valós esetén) pozitív, pont tehát valóban nincs megoldása az egyenletnek 5 c) második megoldás Az egyenlet bal oldalán kiemelhet: ( 4 7 ) 0 (Mivel az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, ezért) 0 nem lehet- séges Ezek után a ( ) 7 0 ( -ben másodfokú) egyenletet kell vizsgálnunk vagy (Az eponenciális függvény értékkészlete miatt) ezek egyike sem lehetséges, tehát valóban nincs megoldása az egyenletnek írásbeli vizsga 4 8 / 7 04 május 6 8 a) harmadik megoldás (A négyzet(ek) középpontja(i) az AB átmérj& kör és az AB szakasz felezmerlegesének metszéspontjaként adódnak) Az AB átmérj& kör egyenlete: b a a b y 4 AB felezmerlegesének egyenlete: b a b ay b a b A második egyenletbl: y a Behelyettesítve a kör egyenletébe: b b b a b b, 4 a 4 pont majd egyszer&bb alakra hozva: 4 4 b b a 0 b a b a Megoldások:, Visszahelyettesítés után kapjuk: a b a b y, y y és y, azaz valóban teljesül az állítás Megjegyzések: Ha a vizsgázó egy (vagy több) konkrét négyzet koordinátáival végzi el a számításokat, akkor ezért legfeljebb 4 pontot kaphat Ha számítások nélkül, egy ábráról olvassa le egy (vagy több) konkrét négyzet középpontjának koordinátáit, akkor ezért legfeljebb ot kaphat írásbeli vizsga 4 / 7 04 május 6
8 a) els megoldás Legyen A(0; a) és B(b; 0) (de a b 0 ) b a Ekkor az AB szakasz felezpontja F ; b a Ekkor FB ; Ha a négyzet középpontja a K pont, akkor FK az FB 90 -os vagy 90 -os elforgatottja, tehát a b a b FK ; vagy FK ; Az F pont helyvektorát jelölje f, ekkor a K pont helyvektora k f FK, azaz a b a b k ; vagy b a a ; b k Tehát a K középpont koordinátái valóban vagy egyenlk, vagy egymás ellentettjei 8 a) második megoldás Legyen pl A(0; a) és B(b; 0) (de a b 0 ) Ekkor AB ( b ; a ) BC pedig az AB -nak 90 -os vagy 90 -os elforgatottja, Tehát BC ( a ; b ) vagy BC ( a ; b ) A B csúcs helyvektorát jelölje b, ekkor a C csúcs helyvektora c b BC, azaz c ( a b ; b ) vagy c ( b a ; b ) K az AC szakasz felezpontja, ezért a b ; a b K b a ; a b K vagy Tehát a K középpont koordinátái valóban vagy egyenlk, vagy egymás ellentettjei írásbeli vizsga 4 / 7 04 május 6 6 a) A m&szerek 7%-a hibásan méri a szöget, 5%-a pedig hibásan méri a távolságot Mivel a m&szerek %-a mindkét adatot hibásan méri, ezért a hibás m&szerek aránya: 5 7 0 százalék Egy hibátlan m&szer választásának valószín&sége tehát 0,9 Akkor lesz köztük legfeljebb hibás, ha a hibás m&- szerek száma 0, vagy Annak a valószín&sége tehát, hogy a 0 kiválasztott m&szer között legfeljebb hibás lesz: 0 0 0 9 8 0,9 0,9 0, 0,9 0, ¹ A kérdezett valószín&ség közelítleg (0, 0,70 0,85 ) 0,677 ¹ pont Összesen: 7 pont jár, ha a vizsgázó a binomiális együtthatókat lehagyja Más, ésszer&en és helyesen kerekített vagy százalékban megadott érték is elfogadható 6 b) pont Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó ábra nélkül helyesen számol (Jó ábra, amelyen a vizsgázó feltünteti a szövegnek megfelel adatokat) h Az ATP háromszögbl: AT $ ( 0,700h) tg55 A BTP háromszögbl: h BT ( 0,577h) tg60 A szabályos háromszög tulajdonságai miatt h BT írásbeli vizsga 4 9 / 7 04 május 6
Az ATB derékszög& háromszögbl Pitagorasztétellel: tg h 55 tg h 60 00, ebbl h pont A fa magassága (a TP távolság) körülbelül méter Összesen: 9 pont 7 a) Ha a sorozat második tagja a, akkor (a számtani sorozat ismert tulajdonsága miatt) az els három tag átlaga (számtani közepe) is a Ha a számtani sorozat differenciája d, akkor a szórásnégyzet: ( a d a ) 0 ( a d a ) 6 Ebbl d 9, azaz (mivel a sorozat növeked) d (ezt kellett bizonyítanunk) Összesen: 4 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó behelyettesítéssel megmutatja, hogy bármely differenciájú számtani sorozat esetén az els három tagjából álló adathalmaz szórásnégyzete 6, de nem igazolja azt, hogy más (pozitív) differencia esetén nem ennyi, akkor pontot kapjon Ha egy (vagy több) konkrét, differenciájú számtani sorozatra látja be azt, hogy az els három tagból álló adathalmaz szórásnégyzete 6, akkor ot kapjon 7 b) Ha Barbara éves, akkor Cili éves, és így Dezs, Barbara és Edit életkora rendre 6,, illetve év (Mivel ez a három szám egy mértani sorozat három szomszédos tagja, így) ( 6)( ) A zárójeleket felbontva: 6 7, ahonnan Ellenrzés: Dezs, Barbara és Edit életkora 6,, illetve 4 év, ez a három szám pedig valóban egy mértani sorozat három szomszédos tagja András tehát 9 éves (mert évvel fiatalabb Barbaránál) Összesen: 6 pont írásbeli vizsga 4 0 / 7 04 május 6 7 c) els megoldás Komplementer eseménnyel dolgozunk: nem felelnek meg azok az esetek, amelyekben a három lány három egymás melletti széken ül A három egymás melletti széket négyféleképpen lehet kiválasztani a hat közül A három egymás melletti széken!-féleképpen foglalhat helyet a három lány, a megmaradt három helyen szintén!-féleképpen foglalhat helyet a három fiú A nem megfelel elhelyezkedések száma tehát: 4 6 6 ( 44) Hatan a hat egymás melletti székre 6!( 70)-féleképpen ülhetnének le A megfelel elhelyezkedések száma: (6! 4 6 6 ) 576 Összesen: 6 pont A három lányt egyetlen egységnek tekintve ez az egység és a három fiú 4!-féleképpen helyezhet el Egy egységen belül a lányok! különböz sorrendben ülhetnek A nem megfelel elhelyezkedések száma tehát 4!! ( 44) 7 c) második megoldás Ha nincs két lány, aki egymás mellett ül, akkor a sorrend FLFLFL, LFLFLF, LFLFFL vagy LFFLFL lehet Ha két lány egymás mellett ül a sor bal szélén, akkor a sorrend LLFLFF, LLFFLF vagy LLFFFL lehet Ugyanígy három lehetség van, ha két lány a sor jobb szélén ül egymás mellett Ha két lány valahol a sor közepén ül egymás mellett, akkor a sorrend FLLFFL, FLLFLF, FFLLFL, LFLLFF, FLFLLF vagy LFFLLF lehet Tehát csak a nemeket tekintve 6 különböz lehetséges sorrend van Minden ilyen sorrendben belül a lányok és a fiúk is!-féleképpen helyezkedhetnek el Így a megfelel elhelyezkedések száma: 6!! 576 Összesen: 6 pont írásbeli vizsga 4 / 7 04 május 6