1) Adott két pont: 1 A 4; és 2 3 B 1; Írja fl az AB szakasz flzőpontjának 2 2) Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a B ( 3;5) pont. írja fl a kör gynltét! 3) Írja fl a ( 2;7 ) ponton átmnő, ( 5;8) 4) Adottak az a = ( 6;4) és az a b ( 11;5 ) koordinátával! 5) Az ABC háromszög két oldalának vktora AB = c és AC = b. Fjzz ki zk sgítségévl az A csúcsból a szmközti oldal F flzőpontjába mutató AF vktort! n normálvktorú gyns gynltét! = vktorok. Adja mg a b vktort a 6) Egy négyzt oldalgynsi a koordinátatnglyk és az x = 1, valamint az y = 1 gynltű gynsk. a) Ábrázolja drékszögű koordinátarndszrbn a négyztt, és adja mg csúcsainak b) Írja fl a négyzt köré írható kör gynltét! c) Állapítsa mg, hogy a négyzt krült hány százaléka a kör krülténk? d) Az y = 4x + 2 gynltű gyns a négyztt két részr bontja. Számítsa ki részk trülténk arányát! (8 pont) 7) Írja fl annak az gynsnk az gynltét, amly átmgy a P ( 3;5) ponton és párhuzamos a 4x + 5y = 0 gynltű gynssl! 8) Egy rombusz átlóinak hossza 12 és 20. Számítsa ki az átlóvktorok skalárszorzatát! Válaszát indokolja! 9) a) Ábrázolja koordináta-rndszrbn az gynst, mlynk gynlt 4x + 3y = 11. Számítással dönts l, hogy a ( 100; 36) P pont rajta van- az gynsn! Az gynsn lvő Q pont ordinátája (második koordinátája) 107. Számítsa ki a Q pont abszcisszáját (lső koordinátáját)! 5;3 B 1; 5. b) Írja fl az AB átmérőjű kör gynltét, ahol A ( ) és ( ) Számítással dönts l, hogy az S ( 1;3 ) pont rajta van- a körön! (7 pont) c) Adja mg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudja, hogy az S 1;3 pont a háromszög súlypontja! (6 pont) ( ) 10) Fjzz ki az i és a j vktorok sgítségévl a c = 2a b vktort, ha a = 3i 2j és b = + 5j! - 46 -
11) Az ABCD négyzt középpontja K, az AB oldal flzőpontja F. Lgyn a = KA és b = KB. Fjzz ki az a és b vktorok sgítségévl a KF vktort! 12) Adott a koordináta-rndszrbn az ( 9; 8) A középpontú, 10 gység sugarú kör. a) Számítsa ki az y = 16 gynltű gyns és a kör közös pontjainak (8 pont) P 1; 2 pontjában húzható érintőjénk gynltét! Adja mg b) Írja fl a kör ( ) nnk az érintőnk az iránytangnsét (mrdkségét)! 13) Az A ( 7;12 ) pontot gy r vktorral ltolva a ( 5;8) az r vktor B pontot kapjuk. Adja mg 14) Jlölj X-szl a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül mlyikk adják mg a 300 -os irányszögű gységvktor koordinátáit és mlyikk nm! IGEN NEM 1 3 ; 3 1 ; 1 3 ; ( sin30 ; cos 30 ) 15) Számítsa ki a kövtkző vktorok skaláris szorzatát! Határozza mg a két vktor által bzárt szögt! a( 5;8 ) b( 40;25 ) 16) Adott az x + y 6x + 8y 56 = 0 gynltű kör és az x 8, 4 = 0 gynltű gyns. a) Számítsa ki a kör és az gyns közös pontjainak (6 pont) b) Mkkora távolságra van a kör középpontja az gynstől? Egy 9 cm sugarú kört gy gyns két körívr bont. Az gyns a kör középpontjától 5,4 cm távolságban halad. c) Számítsa ki a hosszabb körív hosszát! (A választ gy tizdsjgyr krkítv adja mg!) (6 pont) 17) Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái: A ( 0;0), B ( 2;4 ), ( 4;5) C. a) Írja fl az AB oldal gynsénk gynltét! b) Számítsa ki az ABC háromszög lgnagyobb szögét! A választ tizd fokra krkítv adja mg! (7 pont) c) Számítsa ki az ABC háromszög trültét! - 47 -
18) Három gyns gynlt a kövtkző (a és b valós számokat jlölnk): : y = 2x + 3 f : y = ax 1 g : y = bx 4 Milyn számot írjunk az a hlyér, hogy az és f gynsk párhuzamosak lgynk? Mlyik számot jlöli b, ha a g gyns mrőlgs az gynsr? 19) Egy kör az ( 1;0 ) és ( ) 7;0 pontokban mtszi az x tnglyt. Tudjuk, hogy a kör középpontja az y = x gynltű gynsr illszkdik. Írja fl a kör középpontjának Válaszát indokolja! 20) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A ( 3;2), B ( 3;2) és ( 0;0) - 48 - C. a) Számítsa ki az ABC háromszög szögit! b) Írja fl az ABC háromszög körülírt körénk gynltét! (7 pont) 21) Adott két gyns: : 5x 2y = 14,5, f : 2x + 5y = 14,5. a) Határozza mg a két gyns P mtszéspontjának b) Igazolja, hogy az és az f gynsk gymásra mrőlgsk! c) Számítsa ki az gyns x tngllyl bzárt szögét! 22) Írja fl annak az gynsnk az gynltét, amlyik párhuzamos a 2x y = 5 P 3; 2 ponton! Válaszát indokolja! 23) Adja mg az ( ) x y sugarának hosszát! gynltű f gynssl és áthalad a ( ) + 2 + = 9 gynltű kör K középpontjának koordinátáit és 24) Adja mg a 2 x + y = 4 gynltű gyns és az x tngly M mtszéspontjának a koordinátáit, valamint az gyns mrdkségét! 25) A PQR háromszög csúcsai: P ( 6; 1), Q ( 6; 6) és ( 2;5 ) R. a) Írja fl a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal gynsénk gynltét! b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő blső szögénk nagyságát!(7 pont) 26) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A ( 2; 1), B ( 9; 3), és ( 3;6) C. a) Írja fl a BC oldal gynsénk gynltét! b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! c) Számítsa ki a háromszögbn a C csúcsnál lévő blső szög nagyságát!(6 pont) 27) Tkintsük a koordinátarndszrbn adott A( 6;9 ), B( 5;4) és C ( 2;1) pontokat! a) Mkkora az AC szakasz hossza? b) Írja fl az AB oldalgyns gynltét! c) Igazolja (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál drékszög van! (6 pont) d) Írja fl az ABC háromszög körülírt körénk gynltét! 28) Adottak az a ( 4;3) és ( 2;1) b vktorok. a) Adja mg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b
29) Adott a síkon az x + y + 2x 2y 47 = 0 gynltű kör. a) Állapítsa mg, hogy az A ( 7;7) pont illszkdik- a körr! b) Határozza mg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! c) Lgynk ( 7;7) A és ( ) B 0;0 gy gynlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az x + y + 2x 2y 47 = 0 gynltű körön. Számítsa ki a C csúcs (10 pont) 30) Adott a koordináta-rndszrbn két pont: A ( 1; 3) és ( 7; 1) B. a) Írja fl az A és B pontokra illszkdő gyns gynltét! b) Számítással igazolja, hogy az A és a B pont is illszkdik az x + y 6x 2y = 10 gynltű k körr, és számítsa ki az AB húr hosszát! Az f gynsről tudjuk, hogy illszkdik az A pontra és mrőlgs az AB szakaszra. c) Számítsa ki a k kör és az f gyns (A-tól különböző) mtszéspontjának 31) Adott az A ( 5;2) és a ( 3; 2) B pont. a) Számítással igazolja, hogy az A és B pontok illszkdnk az x 2y = 1 gynltű gynsr! b) Írja fl az AB átmérőjű kör gynltét! c) Írja fl annak az f gynsnk az gynltét, amly az AB átmérőjű kört a B pontban érinti! 32) Írja fl annak az gynsnk az gynltét, amly áthalad az ( 1; 3) ponton, és gyik normálvktora a ( 8;1 ) vktor! (2pont) 33) Egy kör érinti az y tnglyt. A kör középpontja a K ( 2;3) pont. Adja mg a kör sugarát, és írja fl az gynltét! 34) Egy kör gynlt ( x ) ( y ) koordinátáit és a kör átmérőjénk hosszát! + 3 + 4 = 25. Adja mg a kör középpontjának 35) Az ábrán látható kocka A csúcsából kiinduló élvktorai AB = p ; AD = q és AE = r. Fjzz ki p, q, és r sgítségévl a GC, az AG és az FH vktorokat! 36) Az AB és AC vktorok 120 -os szögt zárnak b gymással, és mindkét vktor hossza 5 gység. a) Számítsa ki az AB + AC vktor hosszát! b) Számítsa ki az AB AC vktor hosszát! A PRST rombusz középpontja a K( 4; 3) T 7;1 pont, gyik csúcspontja a ( ) pont. Tudjuk, hogy az RT átló hossza fl a PS átló hosszának. c) Adja mg a P ; az R és az S csúcsok (10 pont) - 49 -
37) a) Az ABC háromszög két csúcsa A ( 3; 1) és B ( 3;7), súlypontja az origó. Határozza mg a C csúcs b) Írja fl a hozzárndlési utasítását annak a lináris függvénynk, amly 3 -hoz 1-t és 3 -hoz 7 -t rndl! (A hozzárndlési utasítást x ax + b alakban adja mg!) 3; 1 B 3;7 pont. Számítsa ki, hogy az x tngly c) Adott az A ( ) és a ( ) mlyik pontjából látható drékszögbn az AB szakasz! 38) Adott két pont a koordinátasíkon: A ( 2;6) és ( 4; 2) B. a) Írja fl az AB szakasz flzőmrőlgsénk gynltét! (6 pont) b) Írja fl az A ponton átmnő, B középpontú kör gynltét! Adott z y = 3x gynltű és az x + 8x + y 4y = 48 gynltű kör. c) Adja mg koordinátáikkal az gyns és a kör közös pontjait! (7 pont) 39) A drékszögű koordináta-rndszrbn adott a 4x + y = 17 gynltű gyns, továbbá az gynsr illszkdő ( 2;9) C és ( 4;1) T pont. Az A pont az origóban van. a) Igazolja, hogy az ATC szög drékszög! Az A pont gynsr vonatkozó tükörkép a B pont. b) Számítsa ki a B pont c) Határozza mg az ABC gynlő szárú háromszög körülírt kör középpontjának - 50 -