oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O& = $ & & BA A B Hasonlóan BC= CB AC= C A a+ b a b 6 a) = b + b _ = b a+ b= b b b b b c b c b c a + b + =- + + = ` b =- `& b = `& = b c a 8 + = b b c = c+ a b a a b c c a + + = + b = = b b a a Innen: a = 8 b =- c = 0 A( 8 ) B( - ) C( 0 ) b) (- 6) (7 ) ( -) x+ 0 y+ 0 66 O (0 0) Ha O (x y ) akkor = = 7& O ( ) 0 b = + 0 = 6 b = + = & B( 6 ) OB felezôpontja: F ( 6) AC felezôpontja F ( 6) OB( 6 ) AC( - ) OB $ AC= 0 Az átlók merôlegesen felezik egymást 67 M( ) O( 7 0 ) +90 -kal elforgatva O( 0 7) O ( - ) -90 -kal elforgatva O ( - - ) ( - - 0) OM ( - ) OM $ = 0 & OM = OM = 6 = 0 = 6 így = OM $ N 9 N N N 68 A AA - BB -6 - CC 9 O O O O
90 Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 69 -n túl meghosszabbítva (-6 ) O-n túl meghosszabítva ( -) Ha (a b) akkor (a b) (-a -b) 70 B (6 ) C (6 -) $ + $ 0 ( ) $ 7 a) A : B = : & p= = p = - + = & ( ) 7 7 9 N N AQ: QB = : & Q ( 8 8) b) 7 7 O 7 7 O 8 N 7 N 7 a) ( ) ( 6) ( 0) b) O O 7 AB( - ) AB= $ AB( - 6) OB= OA + AB OB( 7 -) B( 7 -) Hasonlóan: A ( ) N 7 N 7 F ( ) F 0 FF - O O 7 Egyenlô magasságú háromszögek területének 7 aránya megegyezik a közös magassághoz tartozó oldalak arányával Az ABC háromszög területe legyen t tab= t tbc= t _ t t+ t= b b t t t ` & t= t= tabq= t= t b 7 t+ t= b a t tbq = AQ: Q t : t t : t = ABQ BQ= = 7 : t t CQ: Q = tbcq: tbq= : = : = 6: 7 76 egyen az OAB háromszög területe t taeo= t tabd= t 76 _ t t+ t= b b t ` & t= t= toa : tae= t b t+ t= b a t = t: t= : tabq= O : E = : a+ b a+ b O = OE OE = O = O( ) O =
Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 9 N N 77 a) S( ) b) S 0 O a+ b a-bn O c) - d) O 8 8 O 78 S ABC ( ) S DEF (7 7) SS ( 6 ) AD + BE + CF( 8 ) SS( 8 ) a + b+ c d + e+ f s= s= SS = s-s SS d e f ( a b c) = + + - + + AD + BE + C = d- a+ e-b+ f-c N 9 N 79 Az ABC háromszög súlypontja S 0 & S O O A BCD háromszög súlypontja S 9 6 6 N 9 N & Sl O O S = Sl a b c Általánosan: s = + + s + d a+ b+ c+ d s = = 80 C( -) 8 H ( 0) H (8 0) ( ) (0 ) ( 8) (7 7) M ( ) M ( 6) 8 N M harmadolópontjai: O 7 N O M harmadolópontjai: 6 N O N O 8 N H harmadolópontjai: O 6 N O H harmadolópontjai: 7 N O N O 6 N 8 AD( ) BC( & ) AD = BC & ABCD paralelogramma H O EF BC EG az ABH háromszög középvonala ezért EG BH BC = = így FG = BC & BHFG paralelogramma ezért M a BF és GH felezôpontja Ebbôl következik hogy M az AH negyedelô- N pontja M O N 8 a) AB( ) DC( )& AB#DC b) AB = DC O c) AB = DC ( -6 - ) 8 a) Az AQR paralelogramma átlói felezi egymást A(- ) B( -) C( ) b) ( -) (7 -) ( 9) c) (8 ) ( 7) (- ) 8 C(-7 ) D( 9) 86 A rombusz középpontja ( 9) D ( ) A a D +90 -os elforgatottjának kétszerese: A( - 8) OA = O + A OA( - 7) A(- 7) C( ) 8 87 ( 0) A( ) +90 -kal elforgatva B( - ) B(- ) D( -) 88 uabu = uacu = 0 ubcu = Az f a messe a BC oldalt -ben f b az AC oldalt Q-ban f c az AB oldalt R-ben
9 Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 0 7 N B : C = : 0= : & O AQ : QC = : = : N - O Q = 6- O AR : RB = 0 : = : R b6-8 8 -l $ 6+ m $ 0 89 egyen (p 0) és AB : B = m : n = m = & m = tehát AB : B = : + m p + 6 6 N = 8& p = 0 6 O Hasonlóan: R 0 N O 90 uabu = 0 A magasság talppontja T A befogótétel szerint AO = AT $ AB 6 = 0 $ AT 8 8 96 7 N AT = BT= AT : BT= : = 9 : 6 T = O 9 E HO + E HO 9 HO : HO = : 7& 7$ HO = $ HO HO ( -x - y) HO ( 7-x 0- y) 7 7 ( - x) = 7 ( - x) & x= 7 N 7 ( - y) = 0 ( - y) & y= H - O N 9 AB BC CD DA felezôpontjai rendre: F O F N O F N 6 O F (- 9) 9 N F F illetve F F felezôpontjai: O 9 N O F F F F paralelogramma 9 egyen az S súlypont az origó a súlyponton átmenô egyenes az x tengely S(0 0) A(a a ) B(b b ) C(c c ) A feltétel szerint a + b + c = 0 Ebbôl a + b =-c qa + b q = q-c q 9 Az ABC háromszög AB oldalát a B csúcs felé hosszabbítjuk meg és így tovább A csúcspontokhoz vezetô vektorok a b c AB = b- a BC = c- b CA = a- c legyen m > 0 m! R A keletkezett háromszög csúcsaihoz vezetô vektorok a b c _ AB= m$ AB = m( b- a) b= a+ m( b-a) b BC= m$ BC = m( c- b) c= b+ m( c-b) ` + CA= m$ CA = m( a- c) a= c+ m( a-c) b a a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c= a+ b+ c = & s= s& S = S 9 Az olyan háromszögeket kell megkeresni amelyeknél a súlypont koordinátái különbözô eseteket jelölnek az origótól való távolságot tekintve A (- 0) B( 0 ) C( - ) N S( 0 0 ) OS = 0 A (- 0) B( 0 ) C( 0 ) S 0 O OS = A (- - )
ét pont távolsága 9 N B( 0 ) C( 0 ) S 0 O OS N = A ( 0 0 ) B( 0 ) C( 0 ) S O OS = N A ( 0 0 ) B( 0 ) C( ) S O OS N = A ( 0 ) B( ) C( 0 ) S O OS = Ha S koordinátáinak elôjelét változtatjuk a távolság változatlan marad így értéke a felsorolt 6 lehetôség valamelyike lehet 96 AB( ) CD( 6 ) 96 $ AB = CD& AB CD H B : H D = AB : CD = : H B= H D HB_ 7-x -yi HD_ 9-x -yi H (6 ) ABH + CDH AH : H D = AB : CD = : AH= HD AH^x- y-h N HD_ 9-x -yi & H O 97 AB( - ) $ AB( 9 - ) +90 -os elforgatottja AD ( 9) BC ( 9) d = a + AD 9 N c= b+ BC& D 0 O C N 9 O $ AB -90 -os elforgatottja: AD= BC( - - 9) innen D - N -8 O C N -9 O 9 N O N - O AB Megoldható a feladat úgy is ha BC = ét pont távolsága 98 O = O = O = O = 8 O = 6 O6 = O 7 = O a 8= = a $ O9 = `a + b j 99 a = b = 9 c = 09 d = 8 00 a) d = b) d = 6 c) 6 d) e) 7 f) h) = 70 g) 0 a) c = b = 0 a = k = + 0+ = + = b + l b) 0 + + 9 c) + + d) a + b + a + b
9 ét pont távolsága 07 0 a) CA = CB = 0 AB = F ( 0) mc = t $ = = területegység b) 6 területegység AB 0 C(c 0) ( c- ) + = ( c- 6) + c= 7 C(7 0) AB = FAB ( ) mc t = területegység 0 a) CA( - 6) CB( 9 ) CA $ CB = 0 AB 6 AB = 0 r = t = r területegység 69r b) t = területegység 0 AB felezôpontja: (- ) A( - ) +90 -os elforgatottja C( ) & C( 0 ) A +90 -os elforgatottja (- -) C (- -) N 06 egyen A( 0) B(0 ) AB 6 O N O S = + = 6 6 6$ $ 6$ 07 t ADBE = 6 $ = t= = t= = t= = T ABC = - ( + + ) =7 területegység CA( - ) CA = 0 CB( - ) CB = 6 CA $ CB =- 8= 0 $ 6 $ cosc c = 9 7 b = a =8 08 a) T = 9 területegység k = 0 + 86 + 6 + 7 7 7 egység b) területegység & & 09 a) AD( ) BC( & ) AD=BC AB( -) AB $ BC = =Y 0 tehát paralelogramma b) AB( 0 ) DC( 0 )& AB DC AD = BC = 0 tehát szimmetrikus trapéz c) AC( - - ) BD( - ) AC = BD = AC $ BD = 0 tehát négyzet d) Négyzet e) Négyzet 0 C(x y) qabu = qacu = qbcu = qacu = qbcu = N N ( x- ) + ( y- ) = + + O -& C ( x- 8) + y = O - - O O Mivel a kör érinti az x tengelyt r = Ha (x y) rajta van a körön x + (y + ) = 69 ( -6) + (-6 + ) = + 9 =Y 69 ezért nem illeszkedik a körre illeszkedik a körre a) C = + = r = C + = r = b) r = a) (x y) A = B & A = B (x - ) + (y - ) = (x +) + (y - ) 7x - y = b) x + 7y = 7
ét pont távolsága 9 A szabályos hatszög középpontja és két szomszédos csúcsa szabályos háromszöget alkot ABb l tg a= & a = 60 AB = 6 Ezért ( + 6 0) (8 0) b 6 l - b latovábbi csúcsok: b l ( 0) b - l - b - l illetve b 6 l b- 6 l b-7 l (- 0) O = A & O = A (x 0) x = (x - 9) + & & x = ( 0) 6 (x0) A = B & A = B (x - ) + = (x - 6) + & x = 7 (7 0) 7 Q(0 y) Q = & + (y + 9) = & Q b0-9+ 0 l Q b0-9-0 l 8 Az érintés miatt a kör középpontja ( r) ha a sugara r Ekkor A = r ( + ) + (r - ) = r & r = 0 ( 0) 9 Mivel ( ) az elsô negyedben van a kör középpontja (r r) = r (r - ) + (r - ) = r & r = 0 r = (0 0) ( ) 0 egyen (x y) olyan pont amelyre A9 B A( x + y - ) B( x - 8 y + 6) A $ B = ( x+ )( x- 8) + ( y- )( y+ 6) = 0 & x + y - x+ y- = 0 Ha y = 0 akkor b+ 0l b- 0l Ha x = 0 akkor Q b0 - + l Q b0 -- l (x 0) A9 B A( x + - ) B( x -7 - ) A $ B = ( x+ )( x- 7) + 9= 0 b 7 0l b 7 0l + - (x 0) A( x -6 - a) B( x + - ) A = B A $ B = ( x- 6)( x+ ) + a= 0& & x - x+ a- = 0 Egy megoldás van ha a diszkrimináns 0 D = 6 - (a - ) = 0 a = 6 A(6 6) ( 0) B(0 y) AB = CB& AB $ CB = 0 AB( 6 y) CB( - y + ) -6 + y(y + ) = 0 B (0 ) B (0 -) A középpontos szimmetriát felhasználva D (- -) D (- ) B(0 y) AB( - y + ) CB( - y - 6) AB $ CB = 8+ ( y+ )( y- 6) = 0 & & B b0 l B b0 l D b6 l D b6 l + - - + AB = 7+ BC = 0- T = 7+ b0- l = b6+ l = b6+ l AB = 7- BC = 0+ T = b 6 - l megoldás van aszerint hogy az AB oldal a hosszabb vagy a rövidebb Ha BC = = AB AB( 9 ) BC ( ) - BC ( - ) c= b+ BC c= b+ BC C ( 9)
96 ét pont távolsága N C ( ) az AC felezôpontja: O 9 7 N O Ha BC = $ AB BC (- 6 7 ) C( - 9 ) BC ( 6-7 ) 7 N C( - ) Így - O 7 N - O 6 AB = 0 BC = egyen D(x y) & & AD = AB AD = AB ( x - 8) + ( y - ) = 0 D ( 7 ) CD BC& CD BC & & = = ( x - ) + ( y - ) = AC = BD = 0 T = területegység 9 $ BD 7 AC( 9 9 ) AC = 9 T = 7 = & BD = N Az AC felezôpontja F - O FD illetve FB az FD 90 -os elforgatottja 9 9 N FC O FD N - O FB N - O d= f+ FD D (- ) & & b= f+ FB B( - ) 8 A rombusz átlói felezik a rombusz szögeit tehát az ABC háromszög szabályos B(x y) ( x- ) + ( y- ) = 0 AC = 0 AD = BC = 0 & x + y = 0 B b+ - l D b- + l 9 (a j) = (b j) = { a = b = + b j(0 ) a$ j= $ $ cos { = b$ j= + b $ $ = b& b = + b & b=! Mivel b > 0 B(- ) 0 A(x y) AB = AC = & AB = AC = ( ) ( ) x+ + y+ = -& ( x- 8) + ( y- ) = A ( -) A ( ) BC = 7 N 0 BC felezôpontja F O m AF 0 = = T = 7 területegység a) egyen (u v) A = B A = B illetve A = C A = C (u - ) + (v - ) = (u - 8) + (v - ) illetve (u - ) + (v - ) = (u + 6) + (v + ) 9 9 N v =- u = - O r 9 N N 7 = - + - - = O O 9 N b) - - O r 0 9 N = c) (- -) r = d) ( ) r = e) - 0 O r = 877 0
Az egyenes egyenletei 97 Az oldalfelezô pontok által meghatározott háromszög hasonló az eredetihez öré írt körének sugara fele az eredeti háromszög köré írható körének A = B A = B illetve A = C A = C (u + 7) + (v + ) = (u + ) + (v - 9) illetve (u + 7) + (v + ) = 77 N = (u - ) + (v + ) - 6 O r A 7 N 77 N = - + + O 6 O = 8 R á 7 $ R = r T = R r = $ r r = 678 területegység Ilyen háromszög nem létezik C (x y) A = B & A = B illetve C : D = : = D 9 ( ) (-6 -) S(- 7) AB + BC + CA = 6 + + 6 = 68 AS + BS + CS = 89 + 0 + 7 = = 6 Mivel $ 6 = 68 ezért az állítás igaz Az általános megoldáshoz válasszuk a koordináta-rendszert úgy hogy a súlypont az origóba essen 6 egyen az e egyenes az x tengely (x 0) A(a a ) B(b b ) C(c c ) A A + B + C = (x - a ) + a + (x - b ) + b + (x - c ) + c = a b c a b c = x - + + N _ + + i - + a + b + c + a + b + c O kifejezés minimális ha a b c x = + + a + b + c N 0 O a súlypontnak az x tengelyre esô merôleges vetülete 7 egyen A(0 0) B( 0) C( ) D(0 ) (x x) S= x + y + ( x- ) + y + ( x- ) + ( y- ) + x + ( y- ) = x + y -x- y+ = N N = x- + y- + O O # S # S min = ekkor a négyzet középpontjában van S max = ekkor a négyzet csúcsaiban van Az egyenes egyenletei 8 a) x + y = 6 b) x + y + = 0 c) -x + y + 8 = 0 d) x + y = 0 e) y = f) x = -0 g) x + y = 9 a) - y = 0 b) x- y=- - c) x + y= d) x - y = e) x - y = f) x + y = 8 g) 8x + 0y = 0 h) x = 0 a) x - y = 7-0 & x - y =- b) x - y =- c) x - y = 7 d) x - y = 0 e) 9x - y =- f) x + y = 6 g) x = 0 h) 8x - y =- i) n (a - b b - a) (a - b) x + (b - a) y = 0 ha a =Y b akkor x - y = 0 ha a = b akkor x = a vagy y = b vagy n x + n y = (n + n ) a j) x+ b - l y= 6+ 6 _ x-x y-yi n(y - y -x + y )(y - y ) x + (-x + x ) y = = (y - y ) x + (-x + x ) y rendezve kiemelve: (x - y )(x - x ) = (x - x )(y - y ) Ha x = x és y =Y y & x = x ha x =Y x és y = y & y = y
98 Az egyenes egyenletei a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $ b =Y 0-val & x y & + = a b a = 0 60-0 y= x+ 7 y= x+ 7 y =-x + 7 y = 7 a) n( ) (0 ) v(- ) tga =- a = -687 b) n( -) ( 0) v( ) tg a = a = 796 c) n( -) ( 0) v( ) tga = a = d) n b - l (0 -) a =60 e) x + y = n( ) ( 0) a = -687 f) n( 0) ( 0) a =90 g) n(0 ) (0 -) a =0 6 a) 7-6 = rajta van b) $ - =Y nincs az egyenesen c) rajta van d) egyik sincs rajta e) a(- 0) (7 6) (0 8) pontok rajta vannak 7 koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve - - 6 = a & a =- 8 a)! e & a + b =! e 7a+ b= a b & =- = b) a= b=- 7 ca ) = 0 b= 9 A feltétel szerint y = x & x + = 0 x = - (- -) 0 N 0 y= O ( ) (- -) (- -) (x 6) (x -6) x + 8 = 6 & x =- x - 8 = 6 & x = 6 (- 6) (6-6) a bx + ay = ab b+ a= ab& b= a =Y a - Az átlók egyenlete: x = 0 y = 0 A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) x! y = 0 x! y =-0 A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) & x! y = 0 illetve x! y =-0 Húzzuk meg az egyeneseket az adott pontokon át a) A( 0) B (0 ) b) ( 0) (0 ) N c) 0 O (0 ) d) ( 0) (0 ) e) ( 0) (0 8) f) ( 0) (0 ) g) (0 0) (0-8) 0 6 a) t = területegység b) t = c) területegység 99 7 N 7 N 7 n ( ) F ( 9) a felezô merôleges egyenlete: x + y = 7 0 Q 0 O O 8 Az ABC háromszög középvonalainak egyenesei felelnek meg A (9 -) B ( ) C ( -) x + 8y = 9 B C ( -6) x + y = x - y = 9 9 Ha x = 0 y = ezért a legtávolabbi pont ordinátája lehet x<00 miatt x = 0 (0 ) 60 y= x Ha x! R akkor y irracionális
Az egyenes egyenletei 99 x y 6 Az A(a 0) B (0 b) pontokon átmenô egyenes egyenlete + = & + = a b a b b & b+ a= ab a= = + b lehetséges értékei: 7 b - b - b = a =-8 b = a = 0 b = 7 a = 7 x - y =-8 x + y = 0 x + y = 7 6 A-ból induló szögfelezô: 7x+ y= 7 C-bôl induló szögfelezô: b + l x+ b + l y= + 8 & B-bôl: b - l x+ b + l y= -8 6 Tükrözzük az A pontot az y tengelyre A (- ) A + B = A + B ami akkor lesz N minimális ha az A B egyenesen van AB (8-7) n(7 8) 7x + 8y = 0 x = 0 & 0 O 6 Tükrözzük az A-t az x tengelyre Az A ( ) pontot kapjuk A C + CB = AC + CB minimális ha C az A B-n van AB ( ) n( -) x - y = y = 0 C( 0) 6 B csúcsot az x tengelyre tükrözve Bl-t kapjuk Bl az AC oldalegyenesre illeszkedik Bl( ) AB( ) n( -) x - y =- y = 0 C(- 0) 66 Az adott egyenes egy pontját ( -)-t eltolva Q(8 -) n( -) & x - y = 6 67 _ x+ i + y -<_ x- i + _ y- 6i F = 0 & x+ y= 68 Tükrözzük az y tengelyt a pontra & x = 6 Q(6 0) Q( -7) n(7 ) & 7x - y = x y 6 69 + = & - = & 6b- a= 6 b = + a = b -l a b a b x y 70 + = & + = és ab a b a b &b - 6b + 6 = 0 b = a = b = a = Innen: x + y = illetve x + 9y = 7 y = x ha x! [ ] y =-x ha x! [- -] illetve N 7 0 O 7 a) y= x- A keresett egyenes egy pontja (0 -) m =- y=- x- x + b) Tükrözzük pl a ( ) pontot C-re = & x =- y = 0 & l(- 0) Mivel ele x - y = -6 = 8 b + a = ab & b + a = 6 & b(6 - b) = 6 & 7 e: y - = m(x - 7) ha x =- & y = - 8m F(- - 8m) Az e egyenes x tengelyre esô pontja Q N 7 - + 7 7-0 m O F a Q felezôpontja m =- & m = & & e: x - y + 9 = 0
00 Az egyenes egyenletei 7 ABb- l n b l AB: x + y = 6 DE AB x + y =- 6 BC: y = EF: y =- DC b l n b - l x- y=- 6 FA DC: x - y = 6 9 N 7 a) A O B N O C ( ) A súlyvonalak egyenlete: AA 7 N - O n(7 ) s a :7x + y = 7 s b : x - 9y + 8 = 0 s c : x + y = 0 A középvonalak: AB_ - -6i n( -) 7 N x- y= + = x + 7y = 8 x + y = b) A ( -) B - O N C - - O A súlyvonalak: 7x - y = x - 6y = 8 x + y =-6 A középvonalak: x - 6y = 9 9x + y =-7 x + 0y = 76 a) ( -9) Q(7 6) R( -) R_ i RQ_ 0i RQ = $ R ezért egy egyenesen vannak b) R a Q egyenesen van a- b a+ b 77 v (b - a a - b) v (a - b -b - a) =- & a= b b- a a - b 78 e l BC BC_ i& n _ - i e :x-y = - BC: x - y - =0 $ -6- d A= = = _ m i Az ábrán látható derékszögû háromszögek egybevágósága miatt e is megfelel F( ) AF_ - i n( ) & e : x + y = 9 9 0 d= d = + - = = _ 6 mi 0 0 79 A b-6 -l B b6 - l A száregyenesek: y=! x+ 6 80 k á 7 egység m b = 6 egység így tga = a = 6 78 6 tgc = c = 06 b = 8 7 8 Tükrözzük B-t az x tengelyre: B (- -) B A_ 7 7i n( -) a beesô fénysugár x - y = ( 0) B_ - i n( ) a visszavert fénysugár x + y = 8 c =- arányú O középpontú hasonlóság a B ( -) pontot A-ba viszi (0 0) 8 Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0 y= x vagy y = x + vagy y= x+ egyenesek pontjai elégítik ki a feltételt
Az egyenes egyenletei 0 8 Egyenespárt akkor kaphatunk ha a bal oldal két lineáris kifejezés szorzata Ha m = akkor (x + y) - (x + y) - = 0 ahonnan (x + y - )(x + y - ) = 0 tehát x + y = vagy x + y = 8 a) n ( -) n ( -) n $ n = + = 7 n = n = 7= n$ n 7 = $ cos_ n$ ni& cos~ = cosn$ n = = & ~ = 9 7 n $ n $ b) 9 c) d) 6 e) 90 f) 787 g) n (A B ) n (A B ) = A + B n A A+ BB n = A + B n $ n = A A + B B cos~ = A + B $ A + B 86 AC felezôpontja F ( ) BD felezôpontja F ( ) ezért a négyszög paralelogramma AC_ 8 8i& n_ - 9i BD_ - 8i& n_ i n = 97 n = n $ n =-9-9 cos~ = & ~ = 7 6 $ 97 87 Ha az egyenesek irányszöge a és b a két egyenes hajlásszöge { = a - b m = tg a m- m m- m m = tg b tg{ = tg_ a- b i = & tg~= + mm + mm 88 a) a = 8 b = c = 08 b) a = 676 b = 0 c = 7 89 ~ = 78 90 ~ = 6 + 9 tga = tg b =- tg -- ~ = = { = b - ~ tg { = = y = x + - - + 9 tga = m tg 9 7 & x y 9 = _ a + i = = 7 - =- - 9 - m tg 9 7 = _ a - i = =- & x+ 7y= 8 + 9 - + 9 tg a =- tg_ a + 60 i = = - = - + -- tg_ a - 60 i = = + y= b+ l x- -6 illetve - y= b- l x+ -6 9 a) ~ = 7 b) 6
0 Az egyenes egyenletei 9 m = m =- m = m + =- tg e e 9 _ i = =- - $ + tg e e 9 _ i = = tg(a + c) = 0 & a + c = 80-96 Ha a csúcsok egész koordinátájú pontok akkor az oldal négyzete: a pozitív egész a & t = irracionális Másrészt a háromszög befoglalható olyan téglalapba amelynek oldalai a koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosak csúcsai egész számok így területe is egész A téglalapnak a szabályos háromszögön kívüli részeinek területe racionális számok így a szabályos háromszög területe is racionális lenne ami ellentmondás Így nem lehet minden csúcs egész koordinátájú 97 x = + t y = 7 - t 98 A (0 i j k) koordináta-rendszerben az egyenes egyenletét egyértelmûen meghatározza egy adott 0 (x 0 y 0 z 0 ) pontja és egy v(a b c) irányvektora Egy (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a 0 ponton átmenô v irányvektorú egyenesre ha 0 = r - r 0 vektor ahol r a pont és r 0 a 0 pont helyvektora párhuzamos a v vektorral Ennek szükséges és elégséges feltétele hogy r - r 0 = mv legyen ahol m! R Innen r = r 0 + mv Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = x 0 + ma y = y 0 + mb z = z 0 + mc a) x = + m y =- + m z = - m b) x = m y = m z =-m c) x = y = + m z = + m d) x = 7 y =- z = + m 99 a) v( - ) A( -) x = + m y = -m z =- + m b) v(- - ) A(0 ) x =-m y = - m z = + m 600 a) A 0 ( - 7) pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + m y =- + m z = 7 + 6m v( 6) b) 0 (0 - ) v( 7 ) c) 0 (0 0 0) v( ) + y - 6 + z + 60 = és = 0 ( ) 60 A hajlásszög az irányvektorok hajlásszögével egyenlô v ( ) v ( ) 6 v $ v = qv q $ qv q cos { cos{ = + + { = 96 $ 0 60 60 egyen az s sík egy adott pontja 0 (x 0 y 0 z 0 ) a 0 helyvektora r 0 egyen a sík egyik normálvektora n(a B C) (n nem nullvektor!) 0 és n a síkot egyértelmûen meghatározzák Az r helyvektorú (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a síkra ha r - r 0 vektor merôleges az n vektorra Ekkor n(r - r 0 ) = 0 A felírt skaláris szorzatot kifejezhetjük az n vektor és az r - r 0 vektor (x - x 0 y - y 0 z - z 0 ) koordinátáival: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + + C(z - z 0 ) = 0 Innen Ax + By + Cz + D = 0 ahol D =-(Ax 0 + By 0 + Cz 0 ) a) A = B =- C = x 0 = y 0 = x 0 =-7 x - y + z + 8 = 0 b) x + y + z - 9 = 0 60 0 ( ) n(0 0 ) z - = 0
Az egyenes egyenletei 0 60 Elôször meg kell határozni például az A( 0 ) B( -) D( - ) nem egy egyenesre illeszkedô pontok által kifeszített síkot épezzük az AB_ - i és az AD_ - i vektorok vektoriális szorzatát (álasszuk egyszerûség kedvéért az AB vektorral egyirányú ( -) koordinátájú vektort és az AD vektorral egyirányú ( - ) koordinátájú vektort) Ekkor # = 0$ i-j- k Tehát az ABD síkra merôleges egyik nor- AB AD málvektor koordinátáit: (0 - -) illetve (0 - -) Az ABD sík egyenlete az A( 0 ) pont és az n(0 - -) normálvektor segítségével felírható: y + z = Ezt az egyenletet a C csúcs koordinátái is kielégítik mert 0 $ 0 + - = igaz egyenlôség 606 a) n( -) (- 0) b) n( - 0) (0 z) z! R c) n(6 0 0) vagy N például n*( 0 0) y z 6 O y z! R 607 a) A sík normálvektora lehet az AB vektor AB_ - - 0i a sík egyik pontja az AB szakasz felezôpontja: F(0 0 ) A sík egyenlete: x + y = 0 b) n(-8-6 -) vagy n*( ) a felezôpont F(- ) A sík egyenlete: x + y + z = 608 AB_ 7 - -i AC _- -6 -i n = AB # AC n(- -6) mert a # b = (a b - a b )i + (a b - a b )j + (a b - a b )k Itt a = 7 a =- a =- b = - b =-6 b =- A sík egyenlete: -x + y - 6z = A D( z) pontra - + - 6z = innen z =- 6 609 Az egyenesnek a síkkal bezárt szögét azzal a { szöggel mérjük amelyet az egyenes a síkra esô merôleges vetületével bezár (609 ábra) Az ábra szerint látjuk hogy ez a { szög az egyenes irányvektorának (v-nek) és a sík normálvektorának (n-nek) a segítségével kiszámítható! { = 90 - ~ (609/I) ábra) ahol ~ a v és az n vektorok hajlásszöge ~-t az n $ v skaláris szorzattal határozzuk meg n( 7) v( ) n = 78 v = 9 0 n $ v = 6 + 0 + = 0 másrészt n$ v= 78 $ 9 cos~ Innen cos~ = 78 $ 9 ~ = 7 { = 78 Ha cos ~ < 0 akkor az (609/II) ábra szerint ~*-gal számolunk 609/I 609/II
0 Az egyenes egyenletei ét egyenes metszéspontja ont távolsága egyenestôl síktól N 60 a) (- ) b) ( 8) c) O d) N - O e) ( ) f) (- ) 6 6 N g) O h) ( ) i) x bc - bc ac - ac a b a b c = y = ha =Y Ha = =Y ab - ab ab - ab a b a b c a b c akkor nincs megoldás Ha = = akkor végtelen sok közös pont van a b c 6 a) B _- i A_ - i C( ) 8 N b) - O 7 N O 6 N - 9 9 O c) N N - - - - O O 60 0 N - 7 7 O 0 N 6 AC + CC & C _ - 6i AC + AA& A_ 8i AA+ CC& S 0 O + b+ 0 8+ b- 6 = & b=- = 0& b =- B _- -i b 6 AB + AC = A A( ) AC + CC = C C( ) CC + AB = C C ( ) + = b + = B( 8) BC: x - y = N 6 BB+ CC= S& S O AA harmadolópontja: S A ( ) Tükrözzük S-t A -re: 6 N S* O S* C BB miatt S * C: x + y = 6 CC + S * C = C & C _ i C-t A -re tükrözve: B( 0) 6 A(- ) A-t F-re tükrözve B(7 -) x- 0y= N AC BD & n( -0) x - 0y = y = & D _ 7 i AD felezôpontja A O B-t A -re tükrözve: C(8 ) 6 6
ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól 0 66 e + e = B(-6-6) S a BB szakasz B -hez közelebb esô harmadolópontja: B (6 9) B-t B -re tükrözve: D(8 ) ABCD paralelogramma AB CD m= & CD: x - y =- y= x+ 8 BC + CD = C x- y=- & C _ 0 8i BC felezôpontja A (- 6) AA harmadolópontja S _ - i+ x $ 6+ y = = & A _ 0 i N 67 A és B pontok koordinátái kielégítik az adott egyenes egyenletét: A( ) B O + + c + + c = 9 N = 6& C O AB = 8 BC = 98 AC = 8 AC _ 78 i AB_ - i AC $ AB = $ - 78 $ 8 = = 98 $ 78 $ cos a & a = 8 b = 60 c = 6 68 B-t tükrözve a szögfelezô egyenesére B az AC egyenesére illeszkedik BB : n( -) x y N - = N x - y = x+ y= & F - O BB felezôpontja F& B O AB _ 6-7 i 7x 6y 9 N + = n(7 6) AB : 7x + 6y = 9 x+ y= & C - - O x+ y= 69 x- y=-8 & C( 8) x+ z= x- y=-9 & B( 6) x- y=-8 x- y=-9 & & A(- ) Az ABC háromszög súlypontja és az oldalfelezô pontok által meghatározott háromszög súlypontja azonos S 6 O N - x+ y+ x- y+ 60 I megoldás: Az egyenesek normálegyenlete: = 0 illetve = 0 - x+ y+ x- y+ = & y= x II megoldás Az adott egyenesek és az x tengely meghatározzák az A( ) B(- 0) C( 0) háromszöget Az A-tól induló szögfelezô AB : AC arányban osztja a BC szakaszt AB : BC = : = : 6 B: A = : & (0 0) A: y = x 6 ( 0) Q(0 -) 6 M( ) AM = egység x+ y= 6 6 e + f: x- y=-8 & M 0 N - O 0 $ t $ = = t 98 98 = = t = + = területegység v e (- ) v f ( ) ~ = 76
06 Az egyenes egyenletei 6 e + e A(-6-6) egyen ( -) az e egy pontja Határozzuk meg Q-t úgy hogy H a Q -hez közelebbi harmadolópontja legyen q + 6 q = 8-6 = 6& Q(8 ) Q ponton át írjuk fel az e -gyel párhuzamos g egyenes egyenletét: x - y =- e + g = B y= x+ 8 c 0 x- y=- & B _ 0 8i BC szakasz C-hez közelebbi harmadolópontja H + = 8 c + 8 = 6& C( 0) 8 7 8 7 6 e : y= x- e : y= x- > $ - és > $ - az e és az e fölött van tehát nincs a háromszögben 6 66 e : y = x + e : y =-x + e : y=- x+ 6 c >c + és c > - c + és c < - c+ 0 0 0 c> + c< - c> c< - - < c < Így - < c < - 67 AB egyenlete y = 0 CD egyenlete x + yb- l = AB + CD: ( 0) A = 68 AC + AE = A A(0 ) A-t tükrözve -ra: D( ) AC + CE = C C( 0) C-t tükrözve -ra F( 6) CE + AE = E E(6 ) E-t tükrözve -ra B(- ) 6$ 69 A háromszög csúcsai: A( 0) B(8 0) C( ) t ABC= = 9 területegység Mindkét keletkezô kúp sugara magassága Alkotója: a = + = = ra= 8 r területegység = $ = 8r térfogategység r $ 7 7 60 a) e + e = M & x=- 7& x=- behelyettesítve: - + y + = 0 & 7 N & y=- M - - 0 0 O e -ba behelyettesítve 7 N N $ - -7 - + 6! 0 O 0 O ezért a három egyenesnek nincs közös pontja b) e N + e = M M - O koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: - + + = 0 a három egyenes közös pontja M c) Mindhárom egyenes áthalad az M( ) ponton d) Nincs közös pont x y 6 e : y = x e : + = e 6 : x -y=- e + e = M M( ) M koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: - 6 =- így mindhárom egyenes áthalad az M ponton 6 s a : x - y =-9 s b : x = C (- 6) CC (-6 ) n( ) s c : x + y = Mindhárom egyenes átmegy a háromszög S( ) súlypontján 6 A ( 8 ) B( ) D ( 7) O(0 0) OA( 8 ) DB( - 6) OA $ DA = 8 8 OA = 80 = DB = 0 = 0 cos{ = = $ 0 0
ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól 07 7 $ 0 $ 9 7 OA $ DB $ sin{ sin{ = - = = t = = = 8 te 0 0 6 Q(x y) Q (- ) Q ( ) x- y= - 6 a) x+ y= M 7 N - 7 O x- 8y=- b) 8x - 7y =-9 66 a) x - y = 6 x+ y= 0 & 9x + y =-6 b) x - y + 0 =0 0 N c) - - O Q( 0) Q( 6 9) 9x- 6y= 8 x- y=- 67 x- y=- - & x = y = 9 M( 9) m - 9 + = 0& m = tg a - tg 68 y= x- & m= m = tg(a - c) m = tg(a + c) m= = + tg a $ tg tg a + tg m = = =- v - tg a $ tg - ( ) n = ( -) x - y =-0 v ( -) n = ( ) x + y = 0 x+ y= b b 6 b 6 69 - x+ y= 6 + & y = b + 6& y = + - b- 6 b+6 N x = O x+ y= b b b x- y= + & 6x = b + & x = + - y = 6 6 b- 6 b+ N b 6 b Q = & Q = - + + - N + = 6 O 6 O b- N - bn b - N b - + = 6 O 6 O = 6 O =! b =! 6 x- y= 0 60 b b N x- y= 0 b b & y=- x+ b ` 8 O Q b b N & y=- x+ b ` b O Q = & Q = & b a a bn b bn & b - + - = & b =! 8 O 8 O 6 e :x-y = 6 f :x + y + 6 = 0 Az e egyenest tükrözzük az origóra ( 0) az e egy pontja ennek az origóra vonatkozó tükörképe (- 0) n( -) x - y =-6 x y 6 6 6 N + =- 6 6 N e + f : x- y=-6 & M - O OM - & n( 6) & x + 6y = 0 O 6 Tükrözzük az e egyenest -re Az e egy pontja Q(0 ) Q (6-6) e : n( ) 7 N N Q(6 6) & x + y =- e + f = M & M - M & n( -) 7 7 O 7 7 O n( -) A keresett egyenes: x - y = 87
08 Az egyenes egyenletei 6 együnk fel az egyik egyenesen egy pontot a másik egyenesen olyan pontokat amelyekre a feltétel teljesül A keresett egyenesek a illetve a egyenesekkel párhuzamos az adott ponton átmenô egyenesek egyen (0 8) ekkor ( ) (- 7) ( - ) n( ) x + y = ( - - ) n( -) x - y = 6 egyen (0 ) az e tetszôleges pontja A feltételnek megfelelô e -n levô pontok: (- 7) ( ) A keresett -n áthaladó egyenesek párhuzamosak -vel illetve -mal ( -) n( ) x + y = 6 ( -) n( ) x + y = 6 illetve -nak az y tengelyre esô vetülete ahol az e egyenesre az e & & egyenesre illeszkedik (- ) (8 0) ( ) ( -9 ) n ( 9) & x + 9y = 0 ( 6 ) & n ( -) & x - y =- & 66 egyen (0 ) az e egyenes pontja (0 7) (-9 ) az e pontjai ( 0 ) & & n( 0) x = ( 9 ) & n( -) x - y =-8 67 egyen Q( 0) az egyik egyenes egy pontja Q : Q = : & Q ( ) Q -en áthaladó az elôbbi egyenessel párhuzamos kimetszi a másik egyenesbôl az M pontot n( -) x- y=- Q ( ) & x - y =- x+ y= - & M ( ) M ( )& n( -) & x - y = 68 egyen Q az e egyenes egy pontja Meghatározzuk azt a Q pontot amelyre Q : Q = : A Q -re illeszkedô e e egyenes egyenletét felírva meghatározzuk N e + f = M-et A megoldás a M egyenes Q( -) Q O e : n( ) & x + y = 8x+ y= 7 e + f : x+ y= & M (- ) M( - )& n( ) x + y = 69 A: S = : 60 AB + DNl DNl: AB = D : B = : D = BD AB + DN DN : AB = D : B = : D = BD Hasonló módon kapjuk: B = BD BQ = BD Így: Q = BD = BD& D : : Q: Q: B = : : : : 69 60
ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól 09 6 C(c9-c) ahol 0 < c < 9 R c - c N O Q c + 9 - c N O c 9 - c N O ( ) M c + 6 - c N 6 6 O N c c + - N c N 9 c c 8c 6 6 O = - + - N - + - = O O c- 6 N c c 8c MN= + - N - + = 6 O 6 O : MN= : = : 6 6 6 AC:6x + y = 8 a keresett egyenes: y = m(x + 6) Ha x = 0 y = 6m & AE = 6-6m 8-8m AC + e: 6x + m( x + 6) = 8& x = T m + 6 ABC = T AED = 8-8m 68 ( - m) T ( 6 6 = = - m) $ = &( 8- m) = ( m+ 6) & AED m + 6 m + 6 & m = m = Mivel AE > 0 m = nem megoldás e:x-y + = 0 6 AC = 0 Bb- + l B b+ - l 6 egyen a rögzített pont (a a) Írjuk fel a -n átmenô n(n n ) illetve m(m m ) normálvektorú egyenesek egyenletét Innen: n+ n N A a 0 n O B n+ n N 0 a n O A m+ m N a 0 m O B m+ m N 0 a m O m+ m n n n n m m A B egyenlete: x + + y = + $ + a m n n m n+ n m+ m n n m m A B egyenlete: x + y = + $ + a Az elsô egyenletet n n m n m $ m -vel a második egyenletet n m -gyel beszorozva összeadjuk: x + y = 0 6 m(x- ) + (y - ) = 0 akkor teljesül minden m-re ha x - = 0 és y - = 0 Így N O 66 Átalakítva az egyenletet: (x - y )m + (x - 6y - )m + (x - y + ) = 0 Minden valós m-re akkor igaz ha van olyan (x y) számpár amely kielégíti a következô egyenletet: N x - y = 0 x - 6y - = 0 x - y + = 0 Ez a - O 67 67 Az átfogóhoz tartozó magasság egyenlete: x = 0 CB = OB -OC 90c-os elforgatottja BD( c b) & OD = OB + BD OD ( b + c b) D(b + c b) Hasonlóan: OE( a-c - a) Ea ( -c - a) AD( b+ c- a b) n(b a - b - c) AD: bx + (a - b - c) y = ab BE( a-b-c -a) n(a a - b - c) BE: ax + (a - b - c)y = = ab A két egyenletet kivonva egymásból: x = 0 (a =Y b)
0 Az egyenes egyenletei 68 a) b) c) d) e) f) 68 a) Ha (x y) kielégíti akkor a (-x y) (x -y) (-x -y) is kielégíti így az ábra mindkét tengelyre és az origóra is szimmetrikus x $ 0 y $ 0 & x + y = b) qxu- qyu= 0 qxu- qyq= =- c) Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0 qxu- = 0 q yu- = 0 x =! y =! d) e) Ha q xu + q yu # -re v(- -) vektorú eltolást alkalmazunk kapjuk a megoldást f) Elegendô az elsô negyedet vizsgálni mert pl (-x y)-ra -x- + - x+ + y = x+ + x- + y Ha x $ és y $ 0 x - + x + + y # & & x + y # Ha 0 # x # és y $ 0 - x + x + + y # & y # & 69 a) x $ + y $ x - b) y$ - x+ y$ x+ ( x< + - x+ $ y+ y$ ) ( < x+ # y# x+ ) c) y # x + y # - x & x # 0 y # x x > 0 y # - x 69 a) b) c)
ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól d) e) f) g) h) i) N d) y> - x+ + y< x- M x> 7 7 O és - x+ < y< x- 7 6 0 N 6 e) y> - x+ + y< x+ M x> O és - x+ < y< x+ 7 f) x# + x- < y< < x< + x-< y< - x+ g) A szorzat értéke pozitív ha mindkét tényezô pozitív vagy mindkét tényezô negatív y $ + y # x - y # + y $ x - Ebbôl: x # 6 + x - # y # vagy x >6+ <y # x - 660 h) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y # + y $ - x + y $ + y # - x + Ebbôl: x# + # y#- x+ x> + - x+ # y# i) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y# x-+ y# - x+ vagy y$ x-+ y$ - x+ Eb- bôl ha x # akkor y # x - y $ -x + ha x > akkor y # - x + y $ x - 660 y $ - x + 6 y$ - x+ y $ x $ 0 k = x + 6y x+ 6y= 0& y=- x k minimális ha az el 6 egyenes áthalad a ( ) ponton Ekkor k = $ + 6 $ =
Az egyenes egyenletei 66 66 66 66 egyen x darab az A típusú szendvicsbôl y db a B típusúból Ekkor x + y # 0 x + y # 00 x + y # 00 x y + # 0 x $ 0 y $ 0 eressük az x + y = d maximumát Az egyenesek metszéspontjai: _ x+ y= 0 b x y & x= 0 y= 0 + = 0 ` b a x+ y= 0 80 x+ y= 00 & x= y= 0 Az x + y = 0 egyenessel párhuzamos egyenest legfeljebb a D pontig tolhatjuk Így d max = 0 + 0 = 0 66 Ha az A típusú ruha elkészítéséhez x perc a B típusúéhoz y perc kell akkor x $ 0 y $ 0 x + y # 0 x + y # 0 x # 80 a) 600x + 00y = a maximális ha x = 80 y = 60 a max = 66 000 Ft b) 00x + 000y = b maximális ha x = 0 y = 00 b max = 680 000 Ft c) 600x + 00y = a és x + y = c maximális ha x = 80 y = 60 Mindhárom követelményt egyszerre kielégítô program nem létezik 66 egyen x db A típusú y db B típusú munkadarab Ekkor 0 # x # 0 # y # 0 x + y # 00 x + y # 60 A nyereség: 0x + 00y = a maximális ha x = 0 y = 0 A maximális nyereség: 000 66 a) Állítsuk elô az adott egyeneseket paraméteres alakban Az elsô egyenletbôl x = + t y =- + t z = + t A második egyenes paraméteres egyenlete: x =- + t y =- z =- A két egyenes pontosan akkor metszi egymást ha létezik olyan t és t amelyre a + t=- + t *- + t=- egyenletrendszernek van megoldása + t=- A harmadik egyenletbôl t =- a második egyenletbôl t = 0 tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása A két egyenes kitérô b) A paraméteres egyenletrendszerekbôl 8 - t = + t + t = - t t =- - t A felírt egyenletrendszernek van megoldása: t = t =-8 A két egyenes metszi egymást Az M metszéspont koordinátái: x =- y = 8 z = c) A két egyenes kitérô 66 Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + t y =- + t z = t Innen leolvashatjuk az egyenes irányvektorának koordinátáit: v( ) A sík normálvektorának koordinátái: n( - ) n $ v = =Y 0 az egyenes nem párhuzamos a síkkal tehát metszi a síkot t-re felírhatjuk a következô egyenletet: (+t) - (- + t) + (t) = 0 Innen t =- Az egyenes a síkot az M(- - -) pontban metszi
árhuzamos és merôleges egyenesek 666 Az egyenes a síkot az M( 9-7) koordinátájú pontban metszi 667 a) Az adott síkok normálvektorai n ( - ) n ( - ) nem párhuzamosak azért a síkok sem párhuzamosak tehát van metszésvonaluk A metszésvonal v irányvektora merôleges mindkét sík normálvektorára azért v-nek választhatjuk a normálvektorok vektoriális szorzatát n # n =-i-8j-k a v vektor koordinátái: (- -8 -) vagy v(- - -) A metszésvonal egyik pontját úgy kapjuk meg ha keresünk olyan pontot amelynek koordinátái mindkét sík x- y= egyenletét kielégítik egyen például a z = 0 Akkor ( x- y= 0 Innen x = y = b) A metszésvonal irányvektora: v(- - -) egyik pontja: ( 0) A metszésvonal paraméteres y egyenlete: x = - t y = - t z =-t innen - x = - =- z 668 Oldjuk meg az adott síkok egyenleteibôl álló egyenletrendszert 09 69 N M - - 88 88 88 O árhuzamos és merôleges egyenesek 669 a) n ( ) n ( ) & párhuzamosak b) párhuzamosak c) n ( ) n (- ) n $ n = 0 & merôlegesek d) n b l n b l n $ n = 0 & merôlegesek - e) m =- m =- & párhuzamosak f) m =- m = m $ m =- & merôlegesek g) n ( -) n (8-0) n = $ n & párhuzamosak h) n ( -6) n ( 0) n $ n = 0 &&merôlegesek 670 a) p = 8 a = 76 b) p! 6 a =! 67 8 c) p =- a = 8 0 d) p =- a = e) p= p=- = 6 9 9 a a =- b b b+ b b b 67 m=- m = m m m m a a =- = = & = a + a a a a + a + 67 m=- m= A két egyenes párhuzamos ha m a + b + a+ b- = m és a + - =Y - és a + b +! 0 a + b -! 0 & - =Y a + b + a + b - a+ b+ a + = Y & a =- b! R\ *- 6 vagy b=- ( a+ ) ahol a! R\ * továbbá a + b - ha a + b + = 0 a+ b- = 0 a b & = =- Egybeesik a két egyenes ha a =- b = 67 a) p =- b) $ (- p) =- & p= c) p=- d) n (p + - p) n (p - p + ) n $ n = (p + )(p - ) + ( - p)(p + ) = 0 & p = 0 p = e) p
Az egyenes egyenletei 8 67 a) m = n( -) & x - y = b) x - y = c) n( ) & x+ y=- d) n( -) x- y= 7 67 a) m= & y= x b) n(b a) nl(a - b) & ax - by = 0 c) n( -) & nl( ) & 7 N & x + y = 7 d) x - y = e) x - 9y = f) x + y = g) x =- h) - O 77 n( ) & nl( -) & x - y = 8 676 a) = & p = Ebbôl a két egyenes: x - 8y = illetve x - 8y =-q ét 8 p különbözô egyenest kapunk ha q! R\{-} b) $ =- & p=- q! R 8 p 8 677 T(a b) 678 n$ n= a + a= 0& a =- az a = 0 nem felel meg a feladat feltételeinek 679 a) AB( & ) n( -) & x - y = 0 b) n= BA( 8 7) & 8x + 7y =- c) AB( 0 8 )& n( 0) & x = továbbá n(0 ) & y = 680 v = AB( x - 9) & n(9 - x) nl( ) n $ nl = 6 + ( - x) = 0 & x =- 8 68 AB( 0 y - ) n( ) AB = n& AB $ n= 0 0 + ( y- ) = 0& y=- 68 x - y =- x + y = 6 x- y=- 68 a) e: x - y =- f: x + y = 0 e + f: x+ y= 0 & M( 7 7 ) a = 6 N b) e: x+ y= 0 f:x + y =- e+ f: N - O nn $ = $ + $ = 9 n = 9 nl = 9= 9 $ $ cosa& a = 6 9 N 68 a) F AB - O b) F 0 N AB O 68 a) F( - ) AB( 6) & n( ) & x+ y=- b) x- 8 y= 7 c) x + = 0 d) y = 6 686 AB felezômerôlegese: 8x + y = amelyet a pont koordinátái kielégítenek tehát igaz az állítás 687 Az AB felezômerôlegesének és az adott egyenesnek a metszéspontja adja a megálló x+ y= 7 helyét AB felezômerôlegese: x + y = 7 x- y= M & N O AM km 688 Az elsô egyenes az y tengelyt az E (0 -) pontban a második egyenes az E (0 -) pontban metszi F(0 -) A középpárhuzamos: x - y = 9 ( ) 689 A feladat feltételeinek két egyenes felel meg: e Q és e = AF Q Q( - 6) & & n( ) & e : x + y = 7 FQ( ) AF( - 6) & n( ) & e : x + y =
árhuzamos és merôleges egyenesek 690 a) ét ilyen egyenes van: x - 6y + 9 = 0 illetve x- y= 69 b) x - y + = 0 illetve x - y + = 0 69 CB( ) CA( - 0) CB $ CA = 0& a háromszög derékszögû eressünk többféle megoldást is 69 n(8 ) egyen O az origó (0 8) az átfogó felezôpontja Ekkor OC = O + n& & OC( 8 ) C( 8 ) nl(- 8) az n 90c-os elforgatottja OA = O + nl OA( - 6) A(- 6) A-t -ra tükrözve kapjuk a B( 0) csúcsot AC egyenlete: AC( -) n( )& & x+ y= 9 BC egyenlete: BC( ) n( -)& x - y = 6 C csúcsot -ra tükrözve is megoldást kapuk égtelen sok megoldás létezik mert OC = OA + k $ n is megoldást ad ahol k! R\{0} 69 I megoldás: AM egyenes egyenlete y - = m(x + ) BM egyenes egyenlete: y 6 + =- ( - ) y= mx+ m+ B( 0 m+ ) & m x m y m m x N + = + 6 & =- + + 6& B 0 + 6 m + m- = 0 m m O 6 m= - + 6 & Mc0 b 6 - lm m= - - & Mc0 - b 6 + lm II megoldás: BM( - y + 6) AM $ BM= 0 egyenlet megoldásával kapjuk B koordinátáit III megoldás: AM = + (y - ) BM = + (y + 6) AB = 6 + 6 itagorasz tételét alkalmazva AM + BM = AB Az egyenlet megoldásával megkapjuk M koordinátáit 69 x + y = 69 Az adott pont és az adott befogó egyenes távolsága adja a befogó hosszát amelybôl a kívánt magasság kiszámítható A befogó egyenlete: x + y = BC + AC = C C( - ) AC = m = 0 6 N 696 C O 697 A( ) B(8 b) C(- c) CA( 6 - c) CB( 0 b- c) CA= CB& CA$ CB= = 60 + ( -c)( b- c) = 0& c -( b+ ) c+ b+ 60 = 0 Akkor létezik a feltételnek megfelelô háromszög ha az egyenletnek legalább egy valós megoldása van vagyis D $ 0 & D= ( b+ ) - ( b+ 60) $ 0 b $ + vagy b # - 698 Ha a kocka éle a akkor a befogók: a és a egyen A(a 0) Bb0 a l C(0 0) N a Ekkor A C a a N AA a a N 0 CC a a N O O O O - O O O O a a AA$ CC=- + = 0& AA= CC N a O 699 egyen Ab0 a l B(-a 0) C(a 0) S 0 SC felezôpontja O F a a N O 6 O
6 Az egyenes egyenletei f : F a a N a O n b - l i & x- y= a y= 0& x= H a N 6 O 0 O a BC oldal harmadolópontja Ugyanígy f egyenletét kielégítik a másik harmadolópont koordinátái 700 A(9 0) B(- -6) 70 egyen A(0 a) B(b 0) C(-b0)& D(0 0) AC( b a ) n(a -b) AC: ax - by =-ab ax- by=-ab / $ a a x- aby=-a b DE: bx + ay = 0 DE + AC = E bx+ ay= 0 & + & / $ b b x+ aby= 0 a b ab a b ab N N & x =- & y = E - O a + b a b a + b a + b O F a b a b ab O - + a + b ` j ` j O a b+ b ab N N EB - O a + b a + b O FA a b a b a + ab O EB + a + b ` j ` j O $ FA = 0& EB = FA 70 AT egyenlete y = Mivel BC 9 AT BC egyenlete x = 6 Ezért F(6 ) B(6 b) C(6 c) F a BC felezôpontja: c= 6 - b AB = BC & b -b + 7 = 0 & & B b6 7 + l C b6 9 - l B b6 7 - l C b6 9 + l 70 kielégíti a szimmetriatengely egyenletét tehát Q = R QR a háromszög alapja T 6 7 N legyen az alap felezôpontja QR: x+ y=- QR + T = T T - O Az egyenlô szárú QT $ T Q $ m háromszög száraihoz tartozó magasságai egyenlôk $ t QT = t QR $ = 6 QT = T = Q = m 9 70 (-0 -) 70 Mivel Q párhuzamos az adott egyenessel Q felezômerôlegese metszi ki az egyenesbôl a keresett pontot M( - ) 7 N 706 a) - O b) _ - i 707 a) mb : x= BA( 6-6 )& n( -) C(0 0) mc: x- y= 0 mb+ mc= M x = x- y= 0 & M( ) b) M(- - ) c) M( -6) d) m b : x = 0 CB = n(c b) & x ac N = 0 & m a : cx + by = ac cx+ by = 0 & M 0 b O e) AB( - ) m c : n( - ) C( ) & & x - y = BC( - ) m a : n( - ) A( ) & x - y =-7 m a + m c = M x- y = / $ N x- y=-7 & x = y= & M O N 708 a) S O A körülírt kör középpontja az oldalfelezô merôlegesek metszéspontja AC felezômerôlegese: x + y = AB felezômerôlegese: x = ( ) m b : x + y =
árhuzamos és merôleges egyenesek 7 N m c : x = M( ) MS - O N S - O ebbôl: MS = $ S a három pont N egy egyenesen van b) S O ( ) M( ) & & a három pont az y = egyenletû egyenesre illeszkedik c) S N 7 N N O O M O N N N SM = $ S d) S 6 O O M - O 70 SM = $ S 709 Mivel a három nevezetes pont egy egyenesen van ezért közülük kettô meghatározza az Euler-egyenest x - y = 70 AB + m a = A A (--) AB + m b = B B( ) BC : x + y = AC : x - 7y = BC + AC = C C( 6) N 7 a) BC : x = AC : x - y =- BC + AC = C C( ) b) C - O c) C(67 -) 7 a) Az adott pont koordinátái nem elégítik ki egyik magasságvonal egyenletét sem ezért legyen: A( - ) m b :7x-y = m c :x-7y = 6 AC 9 m b AC:x + 7y =- AC + m c = C C( --) AB 9 m c AB:7x + y = AB + m b = B B( ) b) B(- -) C(7-7) c) B(- -7) C(-0 9) 7 A A egyenlete: x + y = T az A F-re vonatkozó tükörképe T( - 6 ) TA CB & & TA egyenlete: x - y =- TA + A A = A A (- 6 ) A-t F-re tükrözve kapjuk a B(- -) csúcsot BM 9 AC AC: x + y = 6 BC: x - y = 6 AC + BC = C C( 0 ) - + + x 7 egyen C(x y ) Ekkor () x - y = 0 S(x y) = x& x = x + és + 0+ y = y& y y = - Behelyettesítve ()-be (x + ) - (y - ) = 0 & 6x - 9y =-8 7 N kivéve az egyenesnek azt a Q pontját amely AB egyenesére illeszkedik ahol Q - 6 9 O 7 AS : SA = : & A (9 0) BC 9 AM BC egyenlete: x - y = 8 AC 9 BM BM( b- b+ ) AC egyenlete: (b - )x + (b + )y = 0 BC felezôpontja A innen b + c = = 8 b + c = 0 B koordinátái kielégítik BC egyenletét: b - b = 8 C koordinátái kielégítik AC egyenletét: (b 7 - )c + (b + )c = 0 Z b+ c= 8 ] b+ c= 0 A kapott [ b- b= 8 egyenlet- ]( b- ) c+ ( b+ ) c= 0 \ rendszert megoldva kapjuk: B( 6) C(6-6) A feladatnak egy megoldása van
8 Az egyenes egyenletei 76 x = y =- 7 7 N N 77 a) I megoldás: egyen A( ) C( ) A négyzet középpontja O C - O N + 90 -kal elforgatva D O OD= O + D OD( ) D( ) D-t tükrözve -ra: B( ) II megoldás: A keresett B illetve D pont rajta van AC felezômerôlegesén és D = B = C = A AC felezômerôlegese: x - y =-7 A = D & A = D & 7 N 7 N 0 & x- + y- = x + y -7x- 7y+ = 0 O O & y - 7y+ = 0 y x= y-7 = y = D( ) B( ) 7 N N b) O - O 78 C(- - ) B( - 6 ) D(6 0) 79 -ból AD-re állított merôleges kimetszi AD felezôpontját F-et F egyenlete: x- y=- n( ) x + y = AD + F = F x+ y= & F (- ) F( - ) - 90 -kal elforgatva: E ( ) E = FD miatt OD = OF + FD OD ( 0) D ( 0) D-t F-re tükrözve: & A(- 0) A-t -ra tükrözve C( ) D-t -ra tükrözve: B( -) 70 e : x + y + = 0 e :6x-y = e :x-y = e :x + 8y + 7 = 0 n ( ) n (6 - ) n ( - ) n ( 8) n n illetve n n n $ n = 0 & n 9 n illetve n $ n = 0 & & n 9 n alóban téglalapot határolnak 7 D ( ) C(7 - ) 7 AC egyenlete: y = 6 AC + AB = A A ( 6) A-t M-re tükrözve: C( 6) AB 9 BC BC: x + y = 0 AB + BC = B B( ) B-t M-re tükrözve: D(0 0) 7 A ( ) D (-- ) B( ) 7 AB egyenlete: x - y =- C! y = x - & C(c c - ) AC = AC = 0 & (c - ) + (c - - ) = 0 & (c - ) = & c - =! C (7 6) C (- -) CB 9 AB C B: n( ) x + y = 7 C B: n( ) x + y =- AB + C B = B B ( 8) 9 7 N AB + C B = B B (--) AC felezôpontja: O C -t -re tükrözve: D ( ) N AC felezôpontja: - - O C -t -re tükrözve: D ( -) 7 B( ) D(- 6) 76 BD átló egyenlete y = x - A-t M-re tükrözve: C( 6) egyen B(b b ) b = b - AB( b b - 6) CB( b - b - 8) AB = CB & AB $ CB = 0 b (b - ) + (b - 6) (b - 8) = 0 & B ( 0) B ( 0) Mivel B = D és B = D a feladatnak egy megoldása van
árhuzamos és merôleges egyenesek 9 7 N 77 A téglalap középpontja: O A = A = B & A = B egyen B(x y) 7 N N ahol x = y & B(y y) y- + ( y- ) = O Így B (6 ) B O B-t -ra tükrözve 7 N kapjuk D-t D ( ) D O 78 egyenek a téglalap csúcsaihoz vezetô helyvektorok rendre: a b c d Ekkor AB = b- a AB( - ) $ AB( 9 - ) AB 90 -os elforgatottja BC ( 9) illetve BC ( - - 9) c = b + BC c= b+ BC d= a+ AD d= a+ AD ahol AD= BC N N 9 N N AD= BC Innen: C 9 O C - 9 O D 0 O D - -8 O 79 egyenek a téglalap csúcsaihoz illetve az adott felezôponthoz vezetô helyvektorok rendre a b c d e f FE = ( e-f)( 9 - ) FE( - ) FE + 90 -kal elforgatva: N BA = CD( ) BA = EA O a= e+ EA & A ( 0) d= f+ FD ahol FD = EA Innen D(- ) A-t E-re D-t F-re tükrözve: B( -) C(-6 0) 70 egyen A(0 0) B(b 0) C(b a) D(0 a) A + C = x + y +(x - b) +(y-a) B + D = (x - b) + y + x + (y - a) 7 egyen A(a 0) B(a b) C(0 b) D(0 0) & a b N O e e e e és e 9 e e : y = mx e : y =- ( ) m x - a a ma N e + e = A A m + m + O e : y - b = m(x - a) & & y = mx - ma + b e : y=- m x + b e + e = C C ( m a m + ) b-am N O m + m + O R S am a a A C felezôpontja (x y ) x= m + + W S m + W = R T X S ( m + ) b- am+ am W b y= = a b N S m + W O T X 7 7 egyen A(0 0) B(b 0) C(b a) D(0 a) A szögfelezô egyenlete: y = x & (b b) BD egyenlete: ax + by = ab ab ab N BD + A = M M a + b a+ bo AC egyenlete: ax - by = 0 ab b b ab N y = & x = N O DB( b - a) a + b a + b a + b a+ bo ab b N N O DB $ N = 0 & DB = N a + b a+ bo
0 Az egyenes egyenletei 7 A(6 6) illeszkedik az x - y =- egyenletû egyenesre A-t -ra tükrözve: C( ) DB 9 AC BD egyenlete: x + y = 8 AB + BD = B B( ) B-t -ra tükrözve: D( ) 7 AC egyenlete: x - y =- BD egyenlete x + y = 7 AB( - a b) - 90 -kal elforgatva A( b a ) p= a+ A (a + b a) B felezôpontja a + b a + b N O CB( a b ) +90 -kal elforgatva CS( - b a) s= c+ CS S(-a -b a) SB a b a b felezôpontja: - + + N O - Hasonlóan: M a+ b - a+ b N O N a + b a + b N - O Innen M( a + b a+ b) N( -( a + b) a + b) tehát M $ N = 0 és M = N & & MN négyzet 76 A (- - ) C( ) B( - - 6) D(-6 8) 7 N 77 BD átló x - y = AC : x + y = 9 AC + BD = O A-t -ra tükrözve: C( ) a = 9 AB = : BD: 9 ( x- 7) + _ y- i = 9 Innen B(9 7) D( 0) x- y= 78 78 BD = AC = a (a > 0) BC = a + BD $ AC t = = BC $ m a= $ a + a + = a a= A ( 0 ) C( - 0) AB egyenlete: y= x- BC egyenlete: y=- x- CD egyenlete: y= x+ AD egyenlete: y=- x+ 79 AB( ) & CD( ) CD:x-y =-7 B( ) & n BC( - ) BC: x - y = 9 N CB + CD = C C( 9) AC felezôpontja O B-t -ra tükrözve: D( ) AB = 9 BC = 0 innen k = ( 9 + 0) 9 N 70 E 8 0 O 7 A-t Q-ra tükrözve: C( ) BQ egyenlete: x - y = 0 AB: x + y = AB + BQ = B N 0 B O AC = BQ = BD = t = $ $ = területegység 7 Az AC egyenlete y = AB = C(c ) BC = ( c - ) + = & & & & & ( c- ) + = 0 ( c- ) = 6 c = c =- C ( ) C (- ) B-t AC felezôpontjára tükrözve kapjuk a D pontot Így D (6 ) D (- )
árhuzamos és merôleges egyenesek 7 BD = AC = 9 N 7 E O F ( 99) AE: y= x AF: y = x 8 BD :x + y = 0 AE + BD = ( 8) AF + BD = Q Q ( 66) BD harmadolópontjai: H ( 8) H ( 66) tehát = H Q = H 7 CE: dx + cy = d(d + b) + c E dx+ cy= d + db+ c & x= 0 c + d + bd N & E 0 O c O ED d d bd - + N O c AC( b + d c) ED $ AC = bd + d -d - bd = 0 & O & ED = AC Ha a paralelogramma téglalap akkor E = D A feladat állítása elemi úton is könnyen belátható Az ACE háromszögben CD illetve AD magasságvonalak metszéspontja D a háromszög magasságpontja Így ED a harmadik magasságvonal c - 7 - + 76 C(c ) D(- d) A(-7 ) B( -7) = & c= & C( ) d - 7 - = & d= & D( - ) E (- ) F ( 8 - ) EF( - ) & n( ) EF: x + y =- egyenesre tükrözzük a paralelogramma csúcsait EF-re merôleges egyenesek x- y =-8/ $ normálvektora: n( -) AT :x-y =-8 AT + EF = T & x+ y=- & N & T - O A-t T -re tükrözve: A (- 6) A -t E-re tükrözve kapjuk a D (- -) pontot Mivel A D 9 az x tengelyre B C is merôleges ezért B C egyenlete: x = 8 DC( - )& & n( ) CD: x + y = & B (8 ) B -et F-re tükrözve: C (8-8) 7 77 AB( 8) & n( - ) GH egyenlete: x - y =- BC egyenlete: x = 8 AD egyenlete N N x = 0 Innen: G 0 O H 8 O AB egyenlete: x - y = 0 DC egyenlete: x - y =- EF N 7 N egyenlete x = Innen: F O E O FH( ) & n( - ) FH egyenlete: x- y= AC( 80) & n( - ) AC egyenlete: x - y = 0 76 GE( 7) & n( 7- ) GE egyenlete: 7x- y= _ 7x- y=- b =- GE + FH = M & b ` -& x- y= / $ b a N & M -0- O AC egyenletébe behelyettesítve: - 0 + $ = 0 így mindhárom egyenes át- megy az M ponton
Az egyenes egyenletei N 78 Tükrözzük a C pontot az AB felezômerôlegesére a) F -- O AB( - 67& ) N & n( - 67 ) A felezômerôleges f: - 6x+ 7y= e 9 f e: 7x + 6y =- T - 8 70 O 6 N C-t T-re tükrözve: D - 8 8 O b) D N - O c) D( -6) AC $ BD 79 I megoldás: AC = 6 = t = = & BD = N N AM : MC = : & M 6 O MC = $ = MB = MC & MC 8 8 O N + 90 -os elforgatottja MB - O - 90 -os elforgatottja MD N - O OB = OM + MB OD = OM + MD Innen B(7 ) D( 8) N II megoldás: MB= M 6 O B illetve D az AC-re M-ben állított merôlegesre illeszkedik x+ y= 6 N O illetve egység távolságra van M-tôl Így B-t illetve D-t az _ N b x- + ( y- 6) = O b ` egyenletrendszer megoldása adja 6 b x+ y= b a 70 a) egyen A(-a 0) B(a 0) M(m 0) Ekkor D(-a a + m) C(a a - m) CD felezôpontja F(0 a) DC(a -m) & n(a -m) CD felezômerôlegese: ax - my =-am AB felezômerôlegese: x = 0 & (0 a) ha m! 0 Ha m = 0 akkor a két felezômerôleges egybeesik b) CD( a - m) & n( m a) CD: mx + ay = a MN: n(a -m) ax - my = am CD + MN = N ax - my= am a m a - a m N & N O a m+ a + am a - a m N AN O mx+ ay = a a m + a + m O a + m a + m O a m-a -am a - a m N BN O a + m a + m O 7 ( a m) -( a + am ) + ( a -a m) AN $ BN= = ( a + m ) a m - a m = = 0 ( a + m ) 7 egyen 0 < p < a (p a - p) ( p p- a) - bôl -re bocsátott merôleges egyenlete: px + (p - a)y = = p - (p - a) & px + (p - a)y = pa - a Bármely p-re Q(a a) pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét
ont és egyenes távolsága Területszámítás 7 egyen O az origó (k k ) (l l ) 7 M k + l k + l N O (- k k ) (l - l ) [( l+ k) ( l+ k)] OM -nak a - 90 -os elforgatottja k+ l k l - + N O ennek kétszerese Ebbôl következik hogy = $ OM és = OM M + N = x + y 7 & M + N = O O akkor minimális ha O 9 AB O = x + y ab AB $ m ab Az OAB háromszög területe: t = = & m = ahol AB = a + b Így a keresett minimum: m = AB ab a + b 7 egyen A(a0) B(b0) C(0 c) (x y) B + C = $ A & (x - b) + y + x + + (y - c) = (x - a) + y & (a - b)x - cy = a - b - c ami egyenes egyenlete ont és egyenes távolsága Területszámítás x+ y+ 0 6x- 8y+ 7 a) A + B = 9+ 6 = = 0 b) = 0 0 x+ 7 y- x- y+ c) = 0 d) = 0 76 a) Az origón átmenô az adott egyenesre merôleges egyenes egyenlete: x - y = 0 M : x + y = x- y= 0 + & x = & x = y N = M O N N d= MO= + = = O O 0 $ 0 b) d = - + c = c) d = d) d = e) d = 0 A + B f) x y 0 0 - + = 0& d = = 77 n( ) A(- ) & m :x + y = 7 x- y=-6/ $ 9x- y=-8 x+ y= 7/ $ & 6x+ y= 8 + &x = 00 x = y = 7 M( 7 ) d= MA= 6 + (- 8) = 00 = 0
Az egyenes egyenletei 78 a) ( ) f 9 e f : y- = ( x- ) & y= x+ _ y=- x+ b 8 N N N 0 M : & M y= x+ ` O d= M= + = = b O O a $ (-)-$ - 7-7 b) d = = = c) d = d) d = 7 e) d = f) d = 8 0 g) d = 7 0 79 d = 0 760 Az A(7 ) B( ) pontok kielégítik az egyenes egyenletét Ezért: 7a+ b = a+ b= -& a=- & a=- = Innen y=- x+ & x+ y- = 0 d = ( 6) = = 76 S( ) AB egyenlete: x - y = d = -0 - = 6 BC egyenlete: 9 9 x - y =- d = 0 = 6 AC egyenlete: x - y = 8 d = 6 8 = 7 7 0 N 76 S - O m b egyenlete: x + y = 8 0 - + -8 d = = 76 A ( ) B( 0 0 ) C( 0 ) ma = m b = m 6 c = 76 A(- 6) B(- -) C( ) ma = 7 m 70 b = m 70 c = 6 8 76 a) A(0 0) B( ) C(7 -) AB = AB( ) & n( - ) x- y= 0 8 mc = + $ = t = = területegység b) Foglaljuk az ABC háromszöget a 6$ 7 $ 6 8$ CQR téglalapba Ekkor t = t CQR - t CB - t BQA - t CRA t = 7$ 8- - - = = 6 - -6 - = területegység c) 7 területegység
ont és egyenes távolsága Területszámítás 0 8 766 d p e = + + 6 = > 0 dq e = + + > 0& a két pont az egyenes ugyanazon oldalán van 0 0 0 767 a) álasszuk ki az A(0-6) pontot a x - y = 6 egyenletû egyenesen és számítsuk ki A távolságát a másik egyenestôl v( -) & n( ) x + y =-8 a merôleges egyenlete x y 8 N - = 9 0 x+ y=-8 & M - 0 O d= MA= + = 0 8 8 b)! e (- 0) d e = - + - = = c) d) 768 A két egyenes távolsága adja a négyzet oldalának hosszát A x - y = 0 egyenletû 0 ( ) 6 egyenes egy pontja: (0 -) d = - - - 6 8 = & t = = területegység 7 l- l+ 769 (k l) kl! Z d =! Q 770 a) Ax + y + = 0 egyenletû egyenes egy pontja: (- -) Az adott egyenessel c párhuzamos egyenes egyenlete: x + y + c = 0-9 - 6 + = & c - = & c = 0 c = 0 A keresett egyenesek: x + y + 0 = 0 x + y + 0 = 0 b) x + y + 6 = 0 illetve x + y - = 0 c) x - y - 8 = 0 illetve x - y - = 0 77 a) x - y = 6 egyenletû egyenessel párhuzamos egyenes egyenlete f : x - y + c = 0 0 0 c O(0 0) d0 f = - + = 6& c = 6 & c=! 6 f : x- y! 6 = 0 Ha d = 6 akkor x- y! = 0 b) x + y + = 0 illetve x + y + = 0 c) x + y + = 0 illetve x + y - = 0 d) y= x+! x+ ny+ -n 77 egyen n( n) & x+ ny=- + n& = 0 - n = & n + n + & n 0 =- & 7 x + = 0 illetve 7x- y+ 00 = 0 x+ ny+ -n 6+ n+ -n 77 egyen n( n) & = 0 = & n x y n + n = & + = + 6 8 = - + & x+ y= n =- & x- y= - - & x+ y=- x- y+ p + 9 77 (p 0) x- y+ = 0& = 0 = 0& p = p =- 9 N N = 0 O =- 0 O
6 Az egyenes egyenletei 77 Az A( ) és B( -) pontoktól egyenlô távolságra a felezômerôleges pontjai vannak 9 f : x- 7y= & x- y= 9 A x - y - = 0 egyenes egy pontja ( -) e: a x - y - = 0 egyenestôl egységre haladó párhuzamos egyenesek e:x- y + c = 0 + + c = & c + = c = =- : - y = - N e : x- y= + e+ f= x- y= - - 8 + O & x- y= 9 O N e+ f= x- y= + + 8 -O & x- y= 9 O 776 Ha N = 0 N = 0 a két egyenes normálegyenlete akkor azon pontok mértani helye amelyek a két egyenestôl egyenlô távolságra vannak: N = N & (N - N )(N + N ) = 0 x+ y- N - N = 0 illetve N + N = 0 a szögfelezôk egyenlete a) x+ y- = 0& = 0 x- y+ 0 x+ y- x- y+ 0 x- y+ 0= 0& = 0 + = 0& 9x+ y+ 7= 0 x+ y- x- y+ 0 - = 0& x- 9y+ = 0 b) b- l x+ b -l y- = 0 b- l x- b+ l y+ = 0 c) x-y- = 0 -x- y+ 0= 0 d) x + y - 8 = 0 vagy x - y + = 0 777 Az egyenes és az x tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x - y + + y = x- y+ = 0& x+ y+ = 0 - y = 0& x - 8y + = 0 Az egyenes és az y tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x- y+ x- y+ + x = 0& 9x - y + = 0 illetve - x = 0 & x + y - = 0 778 AB: x - y =- 60 Mivel AB normálvektora a háromszög belsejébe mutat ezért a belsô pontok távolsága AB-re is AC-re is pozitív x y 6 AC egyenlete: y = 0 BC( 9 - ) & n(- -) BC egyenlete: - - + = 0 x- y+ 60 x- y+ 60 x y 6 fa : = y& x- y+ 0= 0 f : = - - + b & -x- y+ 6 & 8x+ y- = 0 fc : = y& x+ y- 9= 0 fa+ fb x- y=-0 8x+ y= & O ( ) és ez kielégíti f c egyenletét A beírható kör középpontja O( ) r = A belsô és külsô szögfelezôk merôlegesek f bl : n( -8) & x - 8y =-96 x- 8y=-96 f cl :x-y = 8 fbl+ fcl x- y= 8 & ( 6 ) ez a pont kielégíti f a egyenletét &
ont és egyenes távolsága Területszámítás 7 779 A ( ) ponton átmenô egyenes normálvektora legyen n( n) egyenlete: x+ ny-n- x+ ny= + n& = 0 dae = $ d BE & n + + n-n- = $ --n - & - n+ = $ -n- & (-n - ) =-n + n + n + 9 vagy (-n - ) = n - ahonnan: n =- vagy n =- Így e 8 :8x-8y =-9 vagy e :x-y = 780 x-y- 6 x-y- e : = 0 e : = 0 ( b) x-y- 6 = -b - & & 78 egyen n( n) x+ ny= + n - b = - b & - b= Y -b - b = b - & b = & x+ ny-n- = 0 n + + n-n- --n - $ = $ & n - = n + n + n + n =- 9 n =- e :9x-y = e :x-y =- 78 Mivel e e a keresett pont az adott e: x + y = 6 egyenletû egyenes és az e e középpárhuzamosának: k-nak a metszéspontja e : x- y=- e : x- y= 8 E ( 0 - & E( 0 ) N & 0 O k: x - y =- k + e = 7 0 N 7 O x- y+ 8 x-y- 0 + 8 8-78 e : = 0 e : = 0 ( 0) d: = > 0 d : = 7 x- y+ 8 x-y- = - < 0 ezért a szögfelezô: =- & x- y= Az alap egyenese: n( ) & x + y = A csúcsok: x- y=-8 x y 7 N - = x+ y= + & (- 6) x+ y= -& - O x y 8/ 8 N - = $ x- y= -& - - O 78 l^ -h 78 A visszavert fénysugár egyenlete: 8x - y =-76 A beesô fénysugár egyenlete: x - 7y =-6 786 A visszavert fénysugár: 9x - y + = 0 787 e: x - y = Tükrözzük A-t e-re a tükörkép legyen A A B szakasz a két pont között a legrövidebb A B messe e-t M-ben Mivel A M = AM így M a keresett pont M ^ -h
8 Az egyenes egyenletei 788 788 T= $ p$ p$ sin( b-a ) = = p$ p( sinbcosa- cosbsina ) = = $ ( psinb$ p$ cosa- pcosb$ p$ sina ) Mivel p $ sin b = y p $ cos a = x p $ cos b = x p $ sin a = y ezért T= x$ y- x$ y 789 A háromszög területe t = a# b ahol a(x - x y - y 0) b(x - x y - y 0) Alkalmazzuk a vektoriális szorzat i j k együtthatóinak kiszámítására vonatkozó összefüggést Ekkor a bizonyítandó területképletet kapjuk 790 a) (- -) (6 ) ( 6) t = - ( - 6) + 66 ( + ) + $ (-- ) = 0 = = területegység b) 0 területegység c) A(0 0) B( ) C(7 -) AC^7 -h 9 AC = 0 BC^ h BC = 9 - = 0 $ 9 cosa cosa = & 0 $ 9 7 7 7 & sina = & t = $ 0 $ 9 $ = területegység d) területegység e) A( 0) B(- 0) C( 8) t = = = területegység f) területegység 0 $ 9 0 $ 9 AB $ m 8$ 8 7 79 ma = m b = m c = 7 79 A( ) B(- ) C(c 0) t = 0 0 = ( -0 ) -0 ( - ) + c ( - ) & & - c = 0 c = c =-8 C = ( 0) C = (-8 0) AB $ mc 79 A(- -) B( ) AB = = t = = & mc= A harmadik csúcs az AB-vel párhuzamos A-tól illetve B-tôl távolságra levô egyenesen van: x- y+ c - + + c = 0 = & c + = 0& c = 9 c =- e : x - y + 9 = 0 e : x - y - = 0 A C csúcs a kapott egyeneseken ( )-tôl egységnyire van C = & & C = ( x ) ( y ) - + - = x- y+ 9= 0 & C ^ 7h C ^ h illetve ( x ) ( y - + - ) = x-y- = 0 & & C^9 -h C ^ -h mc 6 79 AB = = 8& mc= AB^ - h& n( ) x+ y= & x + y - = 0 x + 0-6 8 8 N = & x + 8 = 6 & x = x =- 8 A feltétel miatt C O
ont és egyenes távolsága Területszámítás 9 79 a) területegység b) 9 területegység 797 c) 7 területegység d) 0 területegység e) 7 területegység 796 AC = BD = 0 AB = AD = AB = AD és AC 9 BD & a négyszög deltoid AC $ BD t = = 7 területegység 797 Mivel toa= toab az AB szakasz A-hoz közelebb esô harmadolópontja: a bn O t OQ = t b N BQ & Q az OB szakasz felezôpontja: Q 0 O 798 A háromszög csúcsai: C _ 0-0 - 6-6 i B_ -0 0i A_ 0 0 i AC = 0 6 mb= 0 - & t 0 0-6 = $ $ = területegység 000 799 c & = c= c =- A(- ) B( ) C ( 0) t = területegység A(- ) B( ) C (- 0) egy egyenesre esnek ilyen háromszög nem létezik 800 Az m c az y tengely ezért AB párhuzamos az x tengellyel egyenlete y = 9 AC egyenlete: y= mx- 7 ( m> 0 )& mb: y=- m x 6 A f 9p m 6 6 B^-9m 9h AB = + 9m $ $ 9 m m m = 6 AB $ Minimuma akkor van ha = 9m & m = m A( 9) B(- 9) AB = m c = 6 t = 9 területegység 80 a) Q t ABCD + t CDE = 6 + 8 = területegység b) Q R t BDF + t AEC - t ADM = + 6 - = 6 területegység c) R t ABCD + t BDF - t ABCD= + 8 = területegység 80 AB^ - h & n AB( )& AB e& mc= d A e 0 9 d A e = - + - = AB = 6 + 6 = 80 = 9 t = $ $ = 8 területegység 80 AB = AB: y = C(c7)& C rajta van az y = 7 egyenletû egyenesen & m c = t =Y 9 Ilyen háromszög nem $ c ( c 6 ) létezik 6c - - - - = & c = 6 80 80
0 Az egyenes egyenletei 806 80 q q ( ` - j+ + d) `q - j+ ( + d)( -q) = 00 q d - dq + d = 00 (q - ) d = 00 = $ $ $ 9 miatt (q - ) = & q = vagy q = 0 de a feladat feltételeinek ez utóbbi nem felel meg q = d = 00 B(00 ) C(800 ) 80 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y - 6 = m(x - ) A háromszög csúcsai: x - y =- y = 0 & y= mx- m+ 6 m - 6 N & A (- 0) y = 0 & B 0 m O mx- y = m -6 ( m - ) m - 6 N x- y=- & C m - m - O AB m 6 m 6 = - - m 6 + = m c m m = - m - ( m - 6) $ = & 7m + 9m- 6 = 0 m m( m- ) = m 7 =- A keresett egyenesek: x + y = 9 illetve x - 7y + 90 = 0 806 AD = 9 - d 0< d < 9 AC: x + y = : 9 D x y + d = AC + D = M 9 _ y= 9- x b b dx 9x ( -6d) dx `& d- = 9- & x= t ABC y= d- 7- d = 8 t ADM = 9 = b a ( - 6d) = $ $ ( 9 - d) & d - d+ 8= 0 d 7 - d = d = ami nem megoldás DM egyenlete: x + y = 807 A ( 0 0 ) B( 0 0) C(0 0) Az átfogóra merôleges egyenes a hosszabbik befogót _ x+ y= 0 b 0 ( - b) metszi egyenlete: y= x+ b ahol 0 < b < 0 M: y= x+ b ` & x = b a 0 $ 0 ( 0 - b) $ ( 0 - b) t = $ = & ( 0 - b) = 0 b = 0-0 a feltétel miatt A keresett egyenes: y= x+ 0-0 x + 0 y + 6 808 S az AA szakasz harmadolópontja: = = 6 &A (6 6) B(b 0) A a BC felezôpontja & C(c ) Az AA B háromszög területének a kétszerese az ABC háromszög területe t ABC = 6 területegység
ont és egyenes távolsága Területszámítás 809 t ABC = t ADC - t BEC - t ADEB = 000 999 = 9` + j` -j-` 999 -j` 000 -j-` 999 - + 999 -j$ C = 000 999 = ` - $ + j= területegység 80 A háromszög harmadik csúcsa C(c -c) AB párhuzamos az x tengellyel & m c = c + CA messe az x tengelyt A -ben CB pedig m t c B -ben CAB + CAB & = = & = & m t ( c ) + c & c + = & c = + b l C cb + l - b + lm 8 egyen AC irányvektora v (7 6) AC :6x-7y =-0 BC irányvektora v ( ) BC :x-y = 0 AC + BC = C C( 0 0 ) AB = m c = 6 & t = területegység Ha AC irányvektora v ( ) & & AC: x - y = BC irányvektora v (7 6) & BC :6x-7y = C( 0 - ) Innen m c = 6 t = területegység 8 A(0 6) B(b 0) AB = 0 & b +6= 00 b =!8 B (8 0) B (-8 0) C (0 ) Hasonlóan C (6 ) t AB C = 0 területegység t ABC = 8 területegység 8 A( ) S( ) B(b 0) C(0 c) & B( 0) C(0 ) t = 9 területegység 8 sa+ sb= S S( ) tabc= $ tabs= területegység 9 8 9$ 8 tabc= tabcd- tacd = + _ $ - = területegység AC: y = b x= k 9x ` & b y k = 9 a E k k N 9 O Gk ( ) 0< k < 9 t CGE = ( k) k N 9 - - = 9 O & ( 9- k) = 6 9 - k =!6 & & k = k = ami a feltételt nem elégíti ki Tehát az egyenes: x = 86 AD( - 6) AB( 8 )& AD $ AB = 0 & AD = AB AD = AD = 809 + CD t = $ = & CD = AD = CD ezért CD az AD -90c-os elforgatottja: CD( 6 )& C( 0 ) 0 $ mc 87 AB = 0 = 0 & mc 8 = C rajta van az AB-vel párhuzamos A-tól 8 egység távolságra levô e egyenesen e: = 0 8 x- y+ c 6 $ - 8 $ + c = 8 & c- = 0 & c = c =-6 e : x - y + = 0 e : x - y - 6 = 0 C( - 0 6) C ( 6 - ) D
Az egyenes egyenletei _ 89 88 M: y =- x y mx + b ` = b M 8 m 8m N + m + O a 8 N N 0 m + O t 8 8m OMN = $ m $ + m + = m m + m+ = = mert m > 0 m + $ m $ = & m m m + + m & m + + $ 8 & # Egyenlôség akkor áll m m + + m fenn ha m = & m = m b$ d b$ p b$ d 89 tab= tbc= tac= tabc egyen (p p ) t ABC= t AB= = $ & d & p = AC( c d )& AC : dx - cy = 0 & dx- cy bd = 0 mb= AC háromszög d + c d + b bd pd - pc d c b -bôl induló magassága: $ = & bd = pd - $ c / $ d =Y 0 p d + b d + b = + b + c d N O S b + c d N O & = S 80 A (0 0) B (a a) C (a + b a - b) D (b -b) AB ( a a) CD ( a a) & & AB # CD$ AD( b - b) AB $ AD = ab- ab= 0 & A B 9 A D & A B C D téglalap AB = a AD = b t ABCD = AB ta B C D= a$ $ b$ = ab 8 t : t : t = :: Az ABC háromszög területe t 8 Ekkor: t = t 6 t = t t = t Mivel t = t rajta van az AC-vel párhuzamos középvonalon t = t rajta van a súlyponton átmenô BC-vel párhuzamos egyenesen A két egyenes metszéspontja S(7 8) BC felezôpontja A (9 ) AC( - 9) & n( ) e :x + y = 9 CB( 8 6 ) & n( -) e : x - y =-7 = e + e : ( 0 9)
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y = 6 b) x + y = c) 6x + 6y = d) x + y = 9 8 a) x + y = 6 + 9 b) x + y = c) x + y = a + b 8 a) (x - ) + (y - ) = 9 rendezve x + y - 8x - 0y + = 0 b) x + y - 6x - 6y + = 0 c) x + y + x - 6y - = 0 d) x + y - x - 8 = 0 e) x + y + 6y - = 0 f) x + y + 0x + 6y + = 0 8 a) x + y - 8x - 6y = 0 b) x + y + 6y - 8y = 0 c) x + y - ax - by = 0 d) x + y - 0x + y + = 0 e) x + y + x-6y-0 - = 0 (A kör középpontjának koordinátái C(- )) 86 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) = egyen x =- y = 7 y =- Az ordináták rendre: + és - + 6 és - 6 8 és - 8 és - + 6 és - 6 + és - Az abszcisszák rendre: y = esetén + és - y = 0 esetén x = 6 x =- y =- esetén nincs megoldás 87 a) x - 6x + y + = 0 b) x + y - 6x - y + = 0 c) x + y + x - 6y - 7 = 0 d) x + y + 8x - 7y - 9 = 0 88 x + y = 0 Belsô pont az A mert + 0 < 0 A többi pont a körön kívül van mert például a B pontra + 0 > 0 89 (x + ) + (y - ) = Az A pontra (- + ) + (- ) = 8< tehát A a körön belül van C E F a körön van B és D a körön kívül van 80 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) = x- y=! Ha y= x+ akkor a y - x + = egyenletben az y helyére x + -et helyettesítve: x + x + = adódik Innen N x = 0 Ekkor y = A 0 O külsô pont mert ( 0 N - ) + - > O Ha y= x- N akkor ( x ) + 9 $ x - 6 = 0 Innen x= y= A Q O pont a kör belsô pontja mert N ( - ) + - < O N N 9 8 A kör egyenlete: x- + y = O A x- y+ = O egyenletbôl x- y+ =! Ha y = x + akkor az egyenletrendszer gyöke (0 ) amely a körön kívül van Ha y = x - akkor a megoldás ( ) 8 (x + ) + y = 9 8 x + (y - ) =
A kör 8 8 Az egybevágósági transzformációknál a sugár hossza nem változik a) r = 6 (6 ) b) r = 6 (- 6 -) c) r = 6 (-6 ) d) egyen az origó az O pont a kör középpontja a pont Ekkor az O vektor koordinátái (6 -) Az eltolt kör középpontjának koordinátáit az O +v vektor koordinátái adják: (8 -) e) r = 6 ( -) f) O( 6 - ) 90 -kal elforgatva O ( 6 ) r = 6 g) (- -6) r = 6 h) { + qfu = 60 tg`{ + tg{ + tg f f j = - tg{ $ tg f tg{ + - = egyenletbôl tg{ = - tg{ (8 ábra) O = O = Oldjuk v - meg az u + v = és a = egyenletrendszert: u= + u v= - A kör egyenlete: bx-- l + by- + l = 6 i) r = ( -8) j) r = ( -) 8 a) (x - ) + y = b) (x + ) + y = c) x + (y - ) = d) x + (y + ) = 86 a) ( ) ( -) r = ét megoldás van: (x - ) + (y - ) = (x - ) + (y + ) = b) (x! ) + (y + 6) = c) Négy megoldás van: (x! ) + (y - ) = vagy (x! ) + (y + ) = 87 A középpont koordinátái: (!r r) vagy (!r -r) a sugár r Négy megoldás van: x + y! rx - ry + r =0 és x + y! rx + ry + r =0 88 a) A középpont koordinátái (aa) a sugár qau A kör egyenlete (x - a) + (x - a) = a b) (a a) r = qau x + y - ax - ay + a = 0 c) A kör sugara: r = a + a = a itagorasz tétele szerint Egyenlete: x + y - ax - ay = 0 89 a) ( 9) Mivel a kör mindkét tengelyt érinti a középpontjának koordinátái: (r r) és sugara r A kör egyenlete: (x - r) + (y - r) = r Ekkor ( - r) + (9 - r) = r Innen r = r = 7 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) = és (x - 7) + (y - 7) = 89 b) (x - ) + (y - ) = 9 és (x - ) + (y - ) = c) (x - 0) + (y - 0) = 00 és (x - ) + (y - ) = d) bx+ 8+ 0l + by+ 8+ 0l = b8+ 0l és bx + 8-0l + by + 8-0l = b8-0l 80 a) (6 7) r = 6 $ -7 $ - + = 6(x-6) + (y - 7) = 6 b) ( x- ) + ( y- ) = 7 8 a) (9 9) r = (u ) (x - u) + (y - v) = r Mivel rajta van a körön azért (9 - u) + (9 - ) = Innen u = u = 6 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) = és (x - 6) + (y - ) = b) (x - ) + (y - ) = és (x - ) + (y - 6) =
A kör egyenlete 8 a) Az AB szakasz felezômerôlegesének egyenlete: x - y = Ha y = 0 x = N 0 O r A N N 7 = = Akör egyenlete: x- + y = 9 O b) x + y+ 9 = O 8 N 8 8 a) x- + y = O b) x + (y + 8) = 9 8 a) (x - ) + (y - ) = b) (x + 6) + (y + ) = 6 c) (x + ) + (y - ) = 00 8 N 9 N 669 d) x- + y- = O O 7 8 a) ( -) (- -) a kör (u v) középpontja illeszkedik a szakasz felezômerôlegesére a 7x + y = egyenletû egyenesre r = qvu Felírhatjuk a következô egyenletrendszert: ( u ) 7u+ v= ( v ) - + - - = v ét megoldás van: u = v =- u = v =- A körök egyenletei: (x - ) + (y + ) = és (x - ) + (y + ) = b) x- b+ le + + y - b+ le = b+ l és x-b- le + y-b- le = b- l c) (x - ) + y = 69 és (x - ) + (y - 8) = 86 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) E-ben az y = x - egyenletû egyenesre emelt merôleges egyenlete: y =-x + A kör középpontja az y =-x + egyenletû egyenes és a (0 ) E( ) szakaszt felezô merôleges egyenes közös pontja A felezômerôleges egyenlete 9 N 6 N 9 N 6 x- y= r = = O A kör egyenlete: x- + y- = 98 O O 98 b) (x - ) + (y + ) = 87 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) r = (87 ábra) Az x + y = egyenletû N 0 egyenes normálvektora: n( ) Az egységvektor: n O Akör sugara: r O = = N = E Mivel E = n 0 O ezért E vektor koordinátái: = ( ) A középpontra O = OE + E ezért a pont koordinátái ( + + ) O ( ) A -nak E-re vonatkozó tükörképe is megoldás: (0 ) 87 A körök egyenletei: (x - ) + (y - ) = és x + (y - ) = b) x + (y + ) = és (x + ) + y = 88 a) ( - ) ( ) r= 0 A kör (u v) középpontja rajta van a szakasz felezômerôlegesén amelynek egyenlete: y = x Másrészt = 0 azaz (u + ) + (v - ) = 0 és v = u Ebbôl az egyenletrendszerbôl u = 0 v = 0 u = v = 6 adódik ét megoldás van: x + y = 0 és (x - ) + (y - 6) = 0
6 A kör 8 b) (x - 8) + (y - ) = és (x - ) + (y + 6) = c) (x - ) + (y - ) = 0 és (x + ) + (y - 6) = 0 89 egyen e : y = x + és e : y = x - 6 e e a középpárhuzamos egyenlete: e: y = x + Az e egyik pontja Q( 0) Q pontnak az e egyenestôl mért távolsága a keresett kör sugara: r = A kör középpontjának (u v) koordinátáira a következô egyenletrendszert írhatjuk fel felhasználva az adott ( ) pont koordinátáit: rajta van a körön ezért ( - u) + ( - v) = 0 másrészt a kör középpontja illeszkedik az e középvonalra ezért v = u + Az egyenletrendszerbôl két megoldást kapunk: (x + ) + (y - ) = 0 és (x - ) + (y - 8) = 0 80 együk észre hogy az adott egyenesek párhuzamosak ét megoldás van: x + y - x - y + = 0 és x + y + x - = 0 8 r = 0 = Megoldások: (x - ) + (y - 8) = 80 és (x + ) + (y + 8) = 80 8 ( ) r = (x - ) + (y - ) = 8 A háromszög köré írható kör sugara r = 8 A( ) pont a háromszög súlypontja is A BC oldal A felezôpontja az A és a pont felhasználásával kiszámítható mert A : A = : A ( ) A BC oldal egyenlete: x + y = 7 a háromszög köré írható kör egyenlete: (x - ) + (y - ) = 8 A BC oldal és a kör közös pontjai adják a szabályos háromszög csúcspontjait: Bb+ - l Cb- + l 8 egyen u > 0 u > 0 u > 0 u > 0 Ekkor r = u r = u r = u és r = u Az egyenes normálegyenlete: = 0 ahol az egységvektor n O x+ y-0 N 0 Alkalmazva a távolságképletet és figyelembe véve hogy az egységvektor a pontokat tartalmazó félsíkba mutat-e vagy sem a 8 ábra alapján felírhatjuk a következô egyenleteket: u+ u-0 u+ u-0 u+ u-0 u u 0 = u - = u = u - - + - = u Innen kapjuk a körök középpontjainak koordinátáit és a körök sugarait ( ) r = N r 6 6 = N O 6 ( -) r = - r= O 8 ( ) r = (x - ) + (y - ) = 86 A Q pont koordinátái: (0 y) Ekkor Q = 0 a következôképpen írható fel: 9 + (y - ) = 90 Innen y = y = 8 A Q (0 ) és a (9 ) pontok meghatározta szakasz felezômerôlegesére másrészt az y = egyenletû egyenesre illeszkedik a keresett kör középpontja A x + y = 7 y = egyenletrendszerbôl ( ) r = adódik Hasonlóképpen számítható ki a Q (0 8) pontban érintô kör középpontjának koordinátái és a kör sugara ( 8) r = Megoldások: (x - ) + (y - ) = és (x - ) + (y - 8) =
A kör egyenlete 7 N 87 A kör középpontja az AB átfogó szakasz felezôpontja: O Az AC oldal egyenlete: -x + y = 7 A BC befogó egyenes egyenlete: -x + y =-6 A C csúcs koordinátái: N C( -) A kör egyenlete: x- + ( y- ) = O 88 (x - ) + (y - ) = 0 89 Az érintô kör középpontja rajta van az y = x egyenletû egyenesen: (x x) -nak az origótól való távolsága: O = x az x = egyenletû egyenestôl q x - q távolságra van Ekkor x = (x - ) Innen x =- + x =-- ét megoldás van r = -b- + l = - r = -b- - l = + A körök egyenletei: x -- b + le + y -b- + le = b- l : x+ + D + : y+ + D = b+ l 860 Ábrázoljuk az y= x egyenletû egyenest és az x + y = 9 egyenletû kört ét pont felel meg: (0 ) (0 ) 86 Elegendô a téglalapot az egyik átlójával megfelezni Megoldás: négyzet t = r 86 Az érintési pont: (- ) Az adott egyenes normálvektora: n( -) a normálvektor N 0 hossza n = 6 + 9 = Az egységvektor koordinátái: n - O Ekkor a vektor koordinátái: 0 $ n 0 (8-6) O = O + innen O( 6 - ) Akeresett kör középpontja: (6 -) Még egy megoldást kapunk ha -t a -re tükrözzük A körök egyenletei: (x - 6) + (y + ) = 00 és (x + 0) + (y - 0) = 00 86 q) s) w) nem kör egyenlete v) pontkör (r = 0) a többi kör egyenlete izsgáljuk például a j) egyenletét: x + x + y - y = 6 Innen (x + ) + (y - ) = + + 6 (x + ) + (y - ) = 6 (- ) r = pl: c) (0 0) r = 0 h) (0 ) r = N k) 0 O r = l) N N O r = m) Osszuk el az egyenletet -mal O r 8 = N n) O r 0 a bn a + b = o) (a 0) r = qau t) - - r = O 86 a) A (- ) középpontú r = sugarú kör külsô pontjainak koordinátái b) (x - ) + (y + ) =- Ilyen pont nem létezik c) ( -) pont d) (x - y)(x + y - ) = 0 Az x - y = 0 és az x + y - = 0 egyenletû egyenesek pontjainak koordinátái 86 a) (x - ) + (y + ) = és (x + ) + (y - ) = körök egyenletei ( -) r = (- ) r = egyenes egyenlete: x + y =- b) 7x + 8y = B N C N B + C - AD 866 x + + y + = A O A O Szükséges és elégséges hogy A! 0 és A B + C >AD legyen a) A! 0 és D = 0 b) A! 0 és C = 0 c) A! 0 és B = 0 d) Szüksé-
8 A kör ges és elégséges hogy y = 0 esetén az AX + BX + D = 0 egyenletnek pontosan egy gyöke legyen B = AD és A! 0 e) A! 0 és C = AD f) B = AD B = C A! 0 867 ( ) r = = 0 x + y - 0x + 6y + = 0 N 868 b x- l + y- = r O Tegyük fel hogy a (x y ) és a (x y ) rácspontok rajta N N vannak a fenti körön Ekkor bx- l + y - = bx - + y - O l O Innen x - x + y -y - _ y- yi= _ x-xi Ha x! x akkor a bal oldal racionális a jobb oldal irracionális miatt! Tehát x = x y -y - _ y- yi = 0 innen N _ y- yi y+ y- = 0 O y = y vagy y+ y= Utóbbi nem lehetséges mert y y! Z Ellentmondásra jutottunk ezért igaz a feladat állítása N 869 b x- l + y- = r O egyen (x y ) (x y ) rácspontok Ekkor x - x + y -y - _ y- yi= _ x-xi Innen adódik hogy x = x és y = y 870 egyen Q(0 ) Q rajta van az x + y = egyenletû körön Tekintsük a Q ponton átmenô y = mx + egyenletû egyeneseket Az egyenesnek és a körnek közös pontját az x + y = y = mx + egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyöke (i) adja x + (mx + ) = Innen m (m + )x + mx = 0 x = 0 y = x=- m + y - m = Minden racionális m-re m + x és y is racionális A feladat állítása igaz 87 a) Az x tengely pontjainak második koordinátája 0 az y tengely pontjainak elsô koordinátája 0 Ha y = 0 M (6 0) M (- 0) ha x = 0 M b0 l M b0 l + - b) M ( 0) M (- 0) M 0 M b 0 - l c) Mb 0l M 0 M (0 ) M (0 -) N N + O - O 87 ( 0) (- 0) Q 0 Q 0 egyen az origó az O pont O O - Ekkor O $ O =- OQ$ OQ= =- Az origó a kör belsô pontja Az origó a húrt és a Q Q húrt két részre osztja A részek szorzata egyenlô a évfolyamon igazolt tétel szerint 87 A húr végpontjai A és B AB = 0 AB felezôpontja legyen F Ekkor AF = F = és A = r ( a kör középpontja) AF derékszögû háromszögben r = + r = b l ét megoldás van a körök egyenletei x + y - 0x! 0 y+ = 0
A kör egyenlete 9 87 ét megoldás van: (x - ) + (y! ) = 87 AB = 8 r = 0 (u v) (0 8) F 9 AB ezért F pont felezi az AB húrt F = v Az AF derékszögû háromszögben v + = 0 innen v = 8 = u + (8-8) 0 = u + 0 innen u =!0 ét megoldás van: x + y! 60x - 96y + 70 = 0 $ -$ - 876 ( -) r = d = = 877 ( ) r = (- -6) r = 6 A keresett kör középpontja ( -) az átmérô: = 0 r = egyenlete: (x - ) + (y + ) = A tengelypontok: b! 0l és 87 b0 -! 6lAnégyszög átlói merôlegesek egymásra és a hosszuk és 6 Anégy- szög területe: területegység a b b 878 A kör átmérôje AB = a + ( b -) a sugara r = + - + a középpontja a b + N a N b a b b O az egyenlete: x - + y - + N = + - + O O Rendezve a kör egyenletét: () x + y - ax - (b + )y + b = 0 Az x tengelyt olyan pontban metszi a kör amelynek második koordinátája: y = 0 Ekkor () szerint () x - ax + b = 0 Ha () diszkriminánsa a - b > 0 akkor valóban a kör olyan két pontban metszi amelyek abszcisszái () valós gyökei 879 A középpontok koordinátái: ( 9) (- -7) A centrális egyenlete: y = x + a = 6 880 ( ) r = A négyszög csúcsai: x = 0 A(0 ) C(0 -) y = 0 B b- 0l T Db+ 0l T= T= 6 6 = 9 9% T 88 ( ) r = (- ) r = x + y + x - 8y + = 0 88 A keresett koncentrikus kör egyenlete: () x + y - x + y + k = 0 ()-nek az x tengellyel való metszéspontjai: b+ -k 0l és b- -k 0l () az y tengelyt a b0 + -k l és a b0 - -k l pontokban metszi A négyszög átlóinak hossza: - k és - k A négyszög területe: -k $ - k = 6 6 Innen k =- és k = 0 A feladatnak a k =- felel meg Megoldás: (x - ) + (y + ) = 0 88 A kör középpontja az x - y =- és az y = x vagy az x - y =- és az y =-x egyenletû egyeneseken van Megoldás: (x - ) + (y - ) = 0 és (x + ) + (y - ) = 80 C N C 88 A = B = 0 kell legyen Ekkor ( x- ) + y+ = 6 + 8 O Innen C =! ét 6 megoldás van: (x - ) + (y! ) =
0 A kör 88 a) Meg kell oldani a következô egyenletrendszert: + + a+ b= 0 ( ) - + - a+ b= 0 7 9 67 a= b= b) a= b=- 886 a) A kör egyenlete x + y + ax+ by + c = 0 alakú Ezért + - a+ b+ c= 0 6+ + a+ b+ c= 0 6+ 6+ a- b+ c= 0 egyenletrendszer gyökei: a=- b= c=- 8 _ x- i + _ y+ i = Afeladatot úgy is megoldhatjuk hogy kiszámítjuk az ABC háromszögben az oldalfelezô merôlegesek közös pontját azután a kör sugarát N b) ( x- ) + ( y+ ) = 00 c) ( x- ) + ( y- ) = d) ( x- ) + y- = O 9 N 6 e) ( x- ) + y- = O 887 A körív olyan kör része amely áthalad az A(- 0 0) B(0 0) C(0 0) pontokon A kör egyenlete: x + ( y+ 0) = 0 Ha x =- 0 y = 0 ha x =- 0 y = 8 és így tovább akkor a tartórudak hossza rendre 0 8 89 0 méter 888 a) Elôször számítsuk ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit: A ( ) B( - ) + + = Feltételezve hogy az egyenesek m n Ugyanis például az és egyene- = és = 0 Hasonlóképpen és illetve és közös pontjai is kielégítik () egyenletet () ( x-y-)( 7x-y- ) + + m( 7x-y- ) $ ( x+ y+ 8) + n ( x+ y+ 8)( x-y- ) = 0 A () másodfokú egyenlet akkor és csakis akkor kör egyenlete ha az x y együtthatói egyenlôk az xy tag együtthatója 0 és r > 0 Így m-ra és n-re felírhatjuk () rendezése után a következô egyenletrendszert: 9m+ 7n=- m- n = Innen m= n =- Helyettesítsük m és n értékét ()-ben a m és a n helyére Ekkor ( x ) ( y ) - + + = valóban kör egyenlete b) 7x + 7y - 9x+ y- 6 = 0 Megjegyzés: Ha a m és n paraméterekre kapott egyenletek nem függetlenek egymástól akkor nincs megoldás Ekkor az adott egyenesek közül kettô párhuzamos 890 A metszéspontok koordinátái: A( -) B(6-0) C( 0) A x+ y- = 0 egyenletû egyenes merôleges a x-y- = 0 egyenletû egyenesre mert $ - $ = 0! AB r = = egység 8 N 8 N 6 07 C( - ) A kör egyenlete: x- + y- = 86 O 86 O 698 N C( 6 6 ) ( x- ) + ( y- ) = c) A (- ) B O N 0 N 0 000 x- + y+ = O 7 O 889 Az adott egyeneseket jelöljük a következôképpen: : x-y- = 0 : 7x-y- = 0 : x y 8 0 páronként metszik egymást: () + + = 0 sek metszéspontjának koordinátáira = 0 = 0 0 b) A ( ) O C 7 0 N - - 7 O - B( - - )
A kör egyenlete 89 A csúcsok koordinátái: A(- -) B(- 6 ) 89 C( -) A körülírt kör egyenlete: ( x+ ) + y = Az A(- -) csúcson átmenô belsô szögfelezô egyenlete: x+ y+ 9 - x+ y+ 8 = innen () y= x+ A C csúcsnál fekvô c szög szögfelezô egyenesének egyenlete: - x+ y+ 8 x+ y+ 6 =- Innen () b- l x+ b + l y=-6-8 A beírható kör O középpontjának koordinátáit az ()-() egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják x =- + és y =- + A beírható kör sugara a x+ y+ 9 = 0 normálegyenlet felhasználásával számítható ki u = - 89 A körök középpontjai: ( 0-6) ( 0) Aháromszög egyik oldala 6 egység a hozzá tartozó magasság egység t = területegység a kerület hossza 08 egység 89 Az ABC háromszög derékszögû mert AC( - 9 ) BC( - 6) és AB 6 6 $ (- 9) + $ (- 6) = 0 t = területegység r = = k = r egység 89 A háromszög derékszögû B = 90 (89 ábra) a) b) ( ) ( ) 0 0 N ( ) c) S O d) ( ) e) M( ) f) A háromszögbe írható kör sugara: AB + BC -AC u = = - O( + u -u) Ob- + l N 89 A B pont koordinátái ( b 0 )a C pont koordinátái c c O Ekkor c: = 6 és b+ c = Innen B( 0) C(8 ) A kör egyenlete: ( x - 7) + ( y - ) = 6 896 I megoldás Írjuk fel az ABC háromszög köré írható kör egyenletét és ellenôrizzük hogy a D pont illeszkedik-e a körre? II megoldás AB( - 7) AD() 7 AB $ AD = 7-7= 0 tehát AB = AD BC( 8 ) CD( - ) BC $ CD =- 6 + + 6 = 0 tehát BC = CDAnégy pont az AD átmérô fölé rajzolt körön van 89 897 a) Az A( -) B(8 ) C( ) pontokon átmenô 9 N N 0 kör egyenlete: x - + 0 O y + = 0 O egyen x = 0 00 Ekkor y= y=- 9 Megoldás: D(0-9) N + 89 O N 89 b) D 0 adódik az x- + y = 6 O 6 O 6 egyenletbôl
A kör 898 90 898 A skaláris szorzat segítségével számítsuk ki az a és a c szögeket AB( - ) AD( 8) AB = AD = 68 AB $ AD = 6-0=- Másrészt - = $ 68 cos a Innen cosa=- =- a = Hasonlóképpen számíthatjuk ki a cosc értékét cosc= c = Mivel a+ c = 80 azért az ABCD négyszög húrnégyszög 899 A négyszög ABC pontjain átmenô kör egyenlete: ( x- ) + y = A D( ) pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét! 900 Az ABD pontokon átmenô kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) = A C pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét 90 A( ) C( -) A négyzet középpontja az AC szakasz felezôpontja ( 0) (90 ábra) C( - ) Forgassuk el a C vektort + 90 -kal D ( ) Ekkor OD = O + D D( ) B(0 -) 90 A B csúcs koordinátáit úgy számítjuk ki hogy az A( -) pontot tükrözzük a x+ y= egyenletû szimmetriatengelyre AB egyenes egyenlete: x- y= Az AB szakasz F felezôpontjának koordinátáit a x+ y= x- y= egyenletrendszer gyökei adják F( ) B(7 ) A szimmetrikus 90 trapéz köré írható kört egyértelmûen meghatározzák az A B D pontok A középpontját a x+ y= egyenletû egyenes és az AD szakasz f felezô merôlegesének közös pontja adja f egyenlete x+ y=- 0 (96-7) r = A = = 9 A trapéz köré írható kör egyenlete: ( x - 96 ) + + ( y + 7 ) = 9 90 A téglalap B csúcsának koordinátái: B(- -9) Ugyanis AD( - ) AD( - 9 ) Elforgatva +90 -kal kapjuk az AB vektort AB( - - 9) Ekkor OB= OA+ AB OB( - - 9) AB csúcs koordinátái (- -9) A téglalap köré írható kör középpontja azonos a BD szakasz felezô-
A kör egyenlete pontjával (- -) a kör sugara: r = egyenlete: k:( x+ ) + ( y+ ) = A B csúcsot tükrözve az A pontra még egy téglalapot kapunk: B*( 9 ) Az AB* C* D téglalap köré írható kör egyenlete: k:( x- ) + ( y- ) = A k kör a tengelyeket a ( 0) (- 0) b0 - + 6l b0 -- 6l koordinátájú pontokban metszi A k kör a tengelyeket a ( 0) b0 + l b0 - l koordinátájú pontokban érinti illetve metszi A kimetszett húrok hossza: 6 6 egység 90 A háromszöget helyezzük el az ábrán látható módon a koordináta-rendszerben egyen A(-a 0) B(a 0) ekkor C(0 a) Az ABC háromszög így valóban egyenlô szárú és derékszögû háromszög A CB( a - a) + 90 -kal elforgatva CC ( a a) Így az OC= OC + CC az OC és a C koordinátái ( a a) Hasonló meggondolással kapjuk hogy B ( a a) a szimmetria miatt A ( a a) ( - a A szóbanforgó csúcsok az origótól a + a = a egység távolságra vannak és így az x + y = a egyenletû körön vannak 90 Az egyenesek párhuzamosak Ebbôl következik hogy a kör (u v) középpontja az x = egyenletû egyenesre illeszkedik és a sugara r = A középpont rajta van a x- y= 6 egyenletû egyenesen is Mivel u = v = 9 Megoldás: ( x- ) + ( y- 9) = 9 906 x-b- le + y-b- le = b- l 90 907 egyen e : x+ y- = 0 e : x+ y- = 0 és e : y= x- e e ezért az érintôkör középpontja rajta van a középpárhuzamoson amelynek egyenlete k: x+ y= Másrészt rajta van az e és e egyenesek által bezárt szögek szögfelezôin f és f egyenleteit az e és e egyenesek normálegyenleteivel illetve a d = Ax + By+ C távolságképlettel írhatjuk fel A + B N f egyenlete: x- y= Az f egyenlete: x+ y= 9 A k kör középpontja a O pont a sugár r N N kör egyenlete: x- + y- 907 = O O A k kör középpontjának koordinátáit a k és f egyenesek metszéspontja adja ( 0) r egyenlete: ( x- ) + y = 908 a) egyen e: x- y= 0 e : x+ y- = 0 és e : x+ y= A középpont rajta van az e és e egyenesek szögfelezôin másrészt az e egyenesen A szögfelezôk egyenletei:
A kör 909 f : x+ y= f: x- y= A k kör középpontjának koordinátái kielégítik az f és e egyenleteket Innen: ( - ) a sugár r 0 egység A k kör középpontjának koordinátáit az f és e egyenletrendszer gyökei adják N O a sugár: r = A körök egyenletei: 0 N N ( x- ) + ( y+ ) = és x- + y- = O O 90 N 9 N b) ( x- ) + ( y- ) = és x+ + y- = O O 909 A k kör középpontja rajta van az x = 6 egyenletû egyenesen másrészt egyenlô távol van az x+ y- = 0 egyenletû egyenestôl és a ( ) illetve ( 0 ) koordinátájú pontoktól ( = ) A ( 6 v) pontra felírhatjuk a következô egyenletet: 6 v () ( 6- ) + ( v - ) = + - () egyenlet gyökei: v= 9 v= 7 Mindkét gyök megoldás Az egyik kör középpontjának koordinátái: (6 7) a sugara egység a másik kör kö- zéppontja: (6 9) a sugara 90 800 egység 90 egyen x $ 0 és y $ 0 Ekkor a kettôs egyenlôtlenség a következôképpen írható: # x + y # x+ y Az x + y $ egyenlôtlenséget kielégítô ( x y) számpárok az origó középpontú egység sugarú körvonal vagy a körön kívül fekvô pontok koordinátái Az x + y # x+ y illetve az ( x- ) + ( y-) egyenlettel megadott ponthalmaz az elsô síknegyedben az ( ) középpontú r = sugarú körön vagy annak belsejében helyezkedik el A kettôs egyenlôtlenséggel megadott síkidomot az ábrán az I síknegyedben bevonalkáztuk Ha x # 0 és y $ 0 akkor a II síknegyedbeli holdacskát kapjuk És így tovább A négy bevonalkázott holdacska egybevágó Egyik területe: 9 b l r r $ N t = - - O= T = $ = 8 területegység O 9 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y= mx+ b alakú 6= m+ b ezért y= mx+ 6- m Az egyenesek normálegyenlete: = 0 Az ábra alapján mx- y + 6-m m + állítjuk hogy két egységsugarú érintôkör létezhet: (- ) r = ( - ) r = Ekkor pontra: ()
A kör egyenlete N -m- + 6-m m+ + 6-m -m O = pontra: () = () egyenletbôl = m + m + + m O m = m = A feladat követelményeinek az m = felel meg Az egyenes egyenlete: x- y+ = 0 A ()-es egyenletbôl kapjuk a második megoldást: y= 6 x- 8 9 Az A(0 0) B( ) C( 0) csúcsokon átmenô kör egyenlete: N 6 N k:( x- ) + y- = O A kör 6 O középpontja a D( -) ponttól d 97 = egység 6 távolságra van A keresett kör R sugarát úgy kapjuk hogy a k kör sugarát -et a 97 6 6 97 6 6 + 97 - felével megnöveljük R = + - = 8 8 8 9 Helyezzük el az ABC háromszöget a koordináta-rendszerben úgy hogy a csúcsok koordinátái a következô számpárok legyenek: A( - a 0) B( a 0) C( c d) ahol a> 0 d=y 0 Ekkor a x ( y) pontra A + B + C = ( x + a) + y + ( x - a) + y + ( x - c) + ( y - d) Ren- c N d N 8c 8d 8c + 8d dezve: A + B + C = x - + y - + a + + $ a + O O 9 9 9 c d A négyzetösszeg akkor a legkisebb ha x = y = Ekkor a pont az ABC háromszög súlypontja 9 álasszuk meg a koordináta-rendszert úgy hogy a háromszög csúcspontjainak koordinátái: A - c N 0 O B c N 0 O Cx ( y ) legyen ( C > 0 y=y 0 ) Ekkor t c y = és 8t= c y (t jelenti az ABC háromszög területét) Az oldalak négyzetösszegére felírhatjuk a következô egyen- c N c N c letet: () c + x+ + y + x- + y = c y O O Ha y > 0 akkor ()-bôl x + ( y- c) = c c adódik ha y < 0 akkor x + ( y+ c) = A mértani hely két kör: ( 0 c) r = c ( 0 - c) r= Mindkét kör minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez 9 egyen x ( y ) Ekkor ( x+ ) + y + ( x- ) + y + x + ( y- 6) = k Innen rendezéssel: x + ( y- ) = `k -j adódik Ha k < akkor a mértani hely üres halmaz Ha k = akkor a mértani hely egy pont: (0 ) Ha k > akkor a mértani hely kör amelynek középpontja a (0 ) koordinátájú pont a sugara egység A kör minden pontja megfelel k -
6 A kör 96 A keresett kör középpontja egyrészt rajta van az origó körül rajzolt egységsugarú körön másrészt az x+ y= egyenletû egyenesre a ( ) pontban emelt merôleges egyenesen A körök egyenletei: ( x ) y - + = 8 és x + ( y+ ) = 8 97 egyen a szabályos háromszög oldala a hosszúságú Ekkor a magassága a álasszuk a N meg a koordináta-rendszert úgy hogy a csúcsok koordinátái a következôk legyenek: B - 0 O C a N N N 0 O A a O 0 O A feladat szerint: x y a a N a N O + - = x+ + y + x- + y O O O Innen rendezéssel az x + y+ = egyenletet kapjuk A mértani hely olyan kör amely- N a a O O N a O a nek középpontja a 0 - pont a sugara egység A kör minden pontja megfelel O ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje a 98 a) ( ) ( 0) b) ( ) c) ét közös pont van ha r > N a a r mr O egy közös pont van ha r = nincs közös pont ha r < d) m + m + O N r mr O - - e) ét közös pont van ha m + m + O r b > egy közös pont van m + b b ha r = nincs közös pont ha r < m + m + 99 a) ét közös pont van b) ét közös pont c) Egy közös ponton van d) Nincs közös pont D =- 868 < 0 N N 90 a) ( ) és - O b) (0 0) és O c) (9 ) és (0 0) d) ( ) és (- -) e) ( -6) 9 N 9 a) ét közös pont van: ( ) és - O b) Egy közös pont van: ( -) c) Az egyenes egyenlete: x+ y= Az egyenesnek és az x + y = egyenletû körnek egy közös pontja van: ( ) Az egyenes az x + y = 6 egyenletû kört két pontban metszi N N 0 + - O O és 0 - + O O
ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a szakaszra ahol az adott kör középpontja feltéve hogy a kör belsejében van (- ) a sugár r = = 8 < tehát a körön belül van Az ábra szerint A = A - a legrövidebb húr hossza: AB= A húr egyenesének egyenlete: x+ y= 9 A kör középpontja az AB szakasz felezômerôlegesére illeszkedik Ennek egyenlete 7x+ y= A középpontja: ( ) A sugár r= A= egység A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = A C csúcs koordinátáit a kör és az y- x= 7 egyenletû egyenes közös pontjai adják C ( 9) C ( - ) 9 x + y + x- 7y= 0 96 Számítsuk ki a ( 7) középpontú r = egység sugarú kör és az x+ y= 7 egyenletû egyenes közös pontjainak koordinátáit ( - ) ( ) 97 egyen A( ) B(- -) Ekkor az átfogó egyenes egyenlete x- y=- 7 Mivel a Tt ( ) illeszkedik az átfogóra azért t - $ =- 7 innen t =- 06 Az ABC derékszögû háromszög köré írható Thalész-kör egyenlete: (- ) r = ( x+ ) + ( y- ) = A T ponton átmenô magasságegyenes egyenlete: x+ y= 8 C( - ) C 9 9 N - O 98 A kör középpontja az origó O(0 0) az érintési pont az E(6-8) pont A keresett kör középpontja rajta van az OE egyenesen és az E ponttól egység távolságra van OE egyenes egyenlete: x+ y= 0 E = vagyis ( x- 6) + ( y+ 8) = ( - ) ( - 0 ) és a sugár r = ét megoldás van: ( x+ ) + ( y- ) = és ( x- ) + ( y+ 0) = 99 Az ábra szerint CD = Mivel E = CD ezért ED = A CD egyenes normálegyenlete: x - y + 8 = 0 A k kör ( u v) középpontjának a CD egyenestôl mért távolsága: 9 d = u v 8 A k kör középpontja rajta van az AB szakasz felezômerôlegesén az f egyenesen f egyenlete: 7x+ y= tehát 7u+ v= A keresett 99 kör r= A sugarára felírhatjuk a következô egyenletet: ( u+ ) + ( v- ) = r Másrészt r = E + ED tehát () ( u+ ) + ( v-) u v 8 = - + +b l A k kör egyen- lete: ( x- ) + ( y- 7) = a k kör egyenlete ( x - 7) + + ( y + 0) = 0 90 Az origón átmenô kör egyenlete: x + y + ax+ by = 0 alakú A szögfelezô origótól különbözô pontja p ( p ) ahol p =Y 0 Mivel rajta van a körön azért p + p + ap+ bp = 0
8 A kör p =Y 0-val egyszerûsítve: p+ a+ b= 0 tehát a+ b=- p A körnek a tengelyekkel való metszéspontjai: O(0 0) és A( - a 0) illetve O(0 0) és B( - b 0) OA + OB =- ( a + b) = p Tehát a kérdéses összeg csak a pont megválasztásától függ 9 x+ y= 9 Az adott kör - abszcisszájú pontjai: b- l b- - l A pontokban az érintôk egyenletei: e : - x + y = 6 és e : - x - y = 6 Írjuk fel a normálvektorok skaláris szorzatát 6$ 6cos{ = - cos{ = { = 67 Mivel a { nem tom- 6 paszög azért a két érintô hajlásszöge 67 0 0 N 9 Az érintôk metszéspontja - 7 7 O { = 6 6 9 Az érintôk egyenletei: y = x =- y =- és xx+ yy= ahol 0< x < A trapéz + y N csúcsai: A(- -) B - x O C - y N + x O D(- ) A B csúcs koordinátáit az xx+ yy= y =- egyenletrendszer a C csúcs koordinátáit az xx + yy = egyenletrendszer gyökei adják A trapéz AC átlójának egyenlete: () - x + - - y = + - A trapéz BD y = x y x y x x x y x y átlójának egyenlete: () x + + + y = - + + () és () egyenlet megfelelô oldalait összeadva y = adódik y értékét behelyettesítve ()-ben az x helyére és figyelembe vé- x x y x + y N ve hogy x + y = x = 0 adódik M 0 x+ O A nem párhuzamos oldalak érintési pontjai: ^- 0 h ^ x y h A egyenes egyenlete: - yx+ _ x+ i y= y Ha x = 0 akkor y y = tehát a x + egyenes átmegy az M ponton 9 a) (0 0) ponton átmenô egyenesek egyenlete y= mx- 0m Az m paramétert úgy kell megválasztani hogy a körnek és az egyenesnek egy közös pontja legyen Ez akkor teljesül ha az x y + = egyenletrendszerbôl adódó x + ( mx- 0m) = másodfokú y= mx-0m egyenlet diszkriminánsa 0 `+ m j x - 0m x + 00m - = 0 = egyenletbôl a diszkri- mináns D: m = Tehát m =! ét megoldás van Az érintôk egyenletei: N N O x! y= 0 Az érintési pontok koordinátái: O O Az érintôszakasz O hossza: egység Az érintôk hajlásszögét a normálvektorok segítségével számítjuk ki n b l n b - l n = n = cos{ = - { = 0 Az egyenes hajlásszöge hegyesszög: ~ = 80-0 b) x- y= x- y= ^ -h ^ h egység 90
ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 c) y = x- y= 0 ^ 0 h ^ - h 8 egység d) x+ y= x- y=- ^ h ^ - h egység 90 96 Tekintsük azt a derékszögû háromszöget amelynek befogói a kör sugara és a (8 0) pontból a körhöz húzott érintôszakasz Az átfogó hossza 8 egység Ekkor sina = a = 0 8 a = 60 97 Az A(- ) pontból az x + y = 00 egyenletû körhöz húzott érintôk egyenletei 7x+ y=-0 és x- y=- 0 A ( 0) ponton átmenô és az x + y = 00 egyenletû kört érintô egyenesek egyenlete y = 0 60x- y= 60 A hiányzó csúcsok koordinátái: 0 N - 0 O 0 0 N - O 98 a) A (0 0) ponton át húzzunk merôleges egyenest a x- y= 7 egyenletû egyenesre Ennek egyenlete: x+ y= 0 Ez az egyenes kimetszi a körbôl a keresett érintôk pontjait x + y = Innen y x+ y= 0 = y =! x = " Az érintési pontok koordinátái: E b- l E b - l Az érintôk egyenletei: x- y=- és x- y= b) x - y = x - y =- c) x - y = 69 x - y =-69 d) Az y= x-7 egyenletû egyenesre merôleges egyenes egyenlete: x+ y= b alakú A b értékét úgy kell megválasztani hogy az egyenesnek a körrel pontosan egy közös pontja legyen A diszkrimináns: D= 6b -0 `b - j = 0 ha b =! 0 Az érintôk egyenletei: x+ y= 0 és x+ y=- 0 99 A pont abszcisszáját a QO derékszögû háromszög segítségével számíthatjuk ki ahol O a kör középpontja (az origó) OQ = Q = O = + O = 7 Az érintési pont koordinátáit az x + y = egyenletû kör és az O átmérô fölé rajzolt Thalész-kör közös 0 N pontjai adják E 7 7 O E 7 0 N - 7 O Az érintôk egyenletei: x+ y= és x+ y=- 90 Az alappal szemközti C(6 8) csúcson és a beírt kör O(0 0) középpontján átmenô egyenes a beírt kört az alap C felezôpontjában metszi és merôleges az alap egyenesére Az OC _ x + y = 6 8 b egyenes egyenlete: y= x A C 6 pont koordinátáit az 8 ` egyenletrendszer gyökei y= x 6 b a adják: (8 6) és (-8-6) Mivel a kör a háromszögbe írt kör azért a C koordinátái az ábra szerint (-8-6) Az AB alapegyenes egyenlete: x+ y=- 0 A C pontból a körhöz húzott egyik száregyenes egyenlete: y = 8 A csúcs koordinátái: x + =-0 egyenletbôl x =- =- A B 7 csúcs koordinátáit megkapjuk ha az A pontot tükrözzük a C pontra B( -08) 90
0 A kör 9 9 Az AOC háromszögben tg0 = OC a Innen a = a szabályos háromszög oldala egység hosszú Az A csúcs koordinátái Ab-6 - l B b6 - l C b0 l Az oldalak egyenletei: y= x+ y=- x+ y =- 9 Az adott k kör középpontján át húzzunk merôleges egyenest az adott e egyenesre álasszuk ezt az egyenest x tengelynek az e egyenest y tengelynek A kör középpontjának rögzített koordinátái (u 0) az y tengely változó pontjának koordinátái (0 p) A középpontú kör egyenlete: x + ( y- p) = u + p - r Innen leolvasha- tó hogy p-tôl függetlenül a Qc u - r 0m rajta van mindegyik körön megoldás van ha u > r megoldás ha u = r nincs megoldás ha u < r 9 a) x+ y= ( a kör középpontja a kör adott pontja) b) x- y+ 9= 0 c) x- y+ 9= 0 és x+ y- = 0 9 Az érintési pontok koordinátái: E^ h E ^- -h Az e érintô normálvektora: n^ -h e normálvektora: n^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y = e : x- y= 7 7 N e és e Q metszéspontjának koordinátái: Q - O 9 A kör a tengelyeket a (0 0) (0 8) (6 0) pontokban metszi Ezekben a pontokban a kör érintôinek egyenletei rendre x+ y=- x- y=- 8 x+ y= 6 A hajlásszögek az érintôk és a tengelyek által beárt szöggel egyenlôk: és 66 96 A pálya egyenletét a ( ) pontban a körhöz húzható érintô egyenlete adja: x-y- = 0 97 A kör középpontjának koordinátái: ( -) A x- y= 0 egyenessel párhuzamos körérintôk érintési pontjait úgy kapjuk meg ha a középponton átmenô és a x= y egyenesre merôleges egyenesnek és a körnek a közös pontjait határozzuk meg Az érintési pontok koordinátái: E^ -h E^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y - 77 = 0 e : x- y+ = 0 98 Az érintô egyenlete: y= x+ b alakú A b-t úgy kell meghatározni hogy az egyenesnek és a körnek egy közös pontja legyen Ekkor a kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D= ( 6b-6) -0`b - b+ j D = 0 ha b =- 9! ét érintô létezik Egyenletük: y= x- 9! 99 ét érintôt kapunk: x+ y- 7= 0 x+ y= 90 a) Az érintô egyenlete: y = mx alakú m-et úgy kell meghatározni hogy az y = mx egyenletû egyenesnek az x + y -0x- y+ = 0 egyenletû körrel egy közös pontja legyen 0 Az egyenletrendszer diszkriminánsa: D= 80m- 8m D = 0 ha m = 0 m = ét érintôt kapunk Egyenleteik: y = 0 és 0x- y= 0 b) x- y+ = 0 x - y-7 = 0 c) x = x -y- = 0 d) 9x + 0y = 8 x =
ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 A kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) = 6 A (0 -) pont a kör ( -) középpontjától egység távolságra van A pontból a körhöz húzható érintôszakasz olyan derékszögû háromszögnek a befogója amelynek átfogója egység a másik befogó egység Az érintôszakasz hossza rajta van a körön belsô pont -re 0 9 ét megoldás van (-0 88) (6 ) Ugyanis a (- 0) ponton átmenô körérintôk egyenlete: - x+ y= - x+ y= 9 Tekintsük az ábrát A A felezi az A-nál fekvô derékszöget A AE 9 derékszögû háromszög átfogója 0 egység Így ( a - ) + = 0 Innen a =! ét megoldás van A b 0l A b 0l + - 9 a) A közös külsô és belsô érintôk átmennek a körök külsô illetve belsô hasonlósági pontjain a Q és a Q ponton A két kör olyan helyzetû hogy az egyik külsô érintô egyenlete: y = A Q pont koordinátáit úgy számítjuk N ki hogy elôször felírjuk centrális egyenletét y= x O azután a Q pont koordinátái egyszerûen adódnak Q ( ) N Q O Ezután kiszámítjuk a Q és a Q ponton átmenô például az ( x- ) + ( y- ) = egyenletû kör y = egyenestôl különbözô érintôjének egyenletét: x- y= 0 A Q ponton átmenô másik érintô egyenlete: x+ y= b) A két kör metszi egymást Csak külsô érintôik vannak Egyenleteik: x+ y= 7 és x- y= 7 c) Csak közös külsô érintôk léteznek Egyenleteik: x+ y= b! l 9 9 A közös érintô egyenlete: x+ y= 96 A harmadik csúcs rajta van a körön és az AB oldal felezômerôlegesén ét megoldás van: C (6 8) C (- -0) 97 Az A( ) csúccsal szemközti oldal A felezôpontjának koordinátái A ( 7) A szabályos háromszög magassága: AA = egység A szabályos háromszög oldala legyen a hosszúságú a = 6 A BC oldal egyenlete: x+ y= 8 A szabályos háromszög B(b b ) csúcsa raj- ta van a BC oldal egyenesén másrészt az A csúcstól 6 egység távolságra van A keresett csúcsok koordinátái: B b- 7+ l C b+ 7- l 98 A négyszög csúcsai: A B C D Az A csúcs koordinátáit a x+ y= 0 x- y+ = 0 egyenesek közös pontja adja A(- ) Az A átló egyenlete: y = BD átló egyenlete: x =
A kör x = A B csúcs koordinátáit az x- y+ = 0 egyenletrendszer a D csúcs koordinátáit az x = x+ y= 0 egyenletrendszer megoldása adja B( 6) D( -) Írjuk fel az A B D pontokon átmenô kör egyenletét: ( x- ) + ( y- ) = A C csúcs koordinátáit a kör és az A átló egyenleteibôl álló egyenletrendszer gyökei adják C( 9) N 99 ét megoldás van mert két érintô húzható O 7 9 N - - O 960 A ( -0) középpontú r = 0 egység sugarú kör 0 egység hosszúságú húrjai a középponttól d = egység távolságra vannak A húrok felezôpontjai egy ( x- ) + ( y+ 0) = egyenletû körön vannak Az origón átmenô y = mx egyenletû egyenesek közül azt az egyenest kell kiválasztani amely érinti az ( x- ) + ( y+ 0) = egyenletû kört Az egyik érintô egyenlete x = 0 (az y tengely) A másik érintô egyenletét az y= mx ( x ) ( y 0) egyenletrendszerbôl adódó diszkriminánsból számíthatjuk ki - + + = -m - = 0 m =- Az x = 0 egyenletû egyenes az ( x- ) + ( y+ 0) = 0 egyenletû kört a (0 -) és a (0 -) pontokban az y=- x egyenletû egyenes a kört a Q ( -) és a Q ( -9) pontokban metszi = QQ = 0 egység 96 A kör középpontja rajta van az y= x egyenletû egyenesen tehát a középpont koordinátái: u= v a sugár r = u mert a kör érinti az origóban az y=-x egyenletû egyenest A kö- zéppont r távolságra van az x - y + = 0 normálegyenletû egyenestôl is Tehát u = ét megoldás van: ( x- ) + ( y- ) = 8 vagy ( x+ ) + ( y+ ) = 8 96 k : x-b - le + y-b- le = b -l és k : x-b-- le + y- b+ le = b+ l 96 Meg kell keresni az adott körnek azt a pontját amelyik legközelebb van az AB egyeneshez Ezt a pontot a (8 ) ponton átmenô és az AB egyenesre merôleges e egyenes metszi ki a körbôl Megoldás ( -) 96 A (6 ) ponton átmenô e egyenes egyenlete: y= mx+ -6m alakú e normálegyen- mx- y + -6m lete: = 0 m-et úgy kell meghatározni hogy - m+ + -6m = legyen m + m + Megoldás: y = és x- y= 96 ( x- ) + ( y- 7) = 0 A ponthalmaz kör a kör minden pontja hozzátartozik a felté- telt kielégítô ponthalmazhoz 966 Az ABCD paralelogramma A csúcsának koordinátái (0 0) a C csúcs koordinátái (p q) Az AC átló felezôpontja: F p N O F illeszkedik az x+ = egyenletû egyenesre tehát
ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje () p + $ q = Másrészt C rajta van a körön ezért () ( p- 8) + ( q- ) = () és () egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják a C csúcspont koordinátáit ét megoldás van C (8 0) és C ( 8) Az AC átló felezôpontja: F ( ) A paralelogramma B és D csúcsait úgy számíthatjuk ki hogy felírjuk a F egyenesre merôleges és az F ponton átmenô szelô egyenletét (Ugyanis F felezi a B D húrt ezért a (8 ) középpontból a húr felezôpontjához húzott szakasz merôleges a húrra) A szelô kimetszi a körbôl a B és a D csúcsokat A szelô egyenlete: x = B és D koordinátái: B ( ) D ( 8) Hasonló meggondolással kapjuk a C ( 8) pont felhasználásával a B D csúcsok koordinátáit B (8 0) D ( 8) Az AB C D és az AB C D négyszögek valóban paralelogrammák és eleget tesznek a feladat követelményeinek 967 ét megoldás van ( ) (8 0) 968 A kör középpontjának koordinátái: (u u) az érintési pont koordinátái E( ) Az adott egyenes irányvektora: v(- ) a E ( -u - u) E = v E $ v = 0 Innen u = A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = 969 olyan kör van amely megfelel a feladat követelményeinek Ezek közül legkisebb az A(0 0) B b 0l C(0 ) csúcsokkal kifeszített háromszögbe írt kör Ennek a középpontja rajta van az y = x egyenletû egyenesen tehát (u u) r = u Az adott egyenes normálegyenlete: x+ y- = 0 A beírt körre felírhatjuk a következô egyenletet: u + u - =- u N N N - O - O - O A kör egyenlete: x- + y- = O O O 9 7 970 Az oldalak egyenletei: y=! x x = A kerület 9 egység a terület területegység 97 egyenek a téglalap csúcsainak koordinátái: A(0 0) B(a 0) C(a a) D(0 a) Az E koordinátái: a a N O AE $ BD = 0 97 Az origón átmenô érintô egyenlete y= mx Az egyenes akkor érinti a kört ha az x + y - 8x+ y- + a= 0 egyenletrendszerbôl adódó diszkrimináns 0 y= mx D:( 8 -a) m - 8m+ 8 - a= 0 ét m érték két érintô van Ha ezek merôlegesek egymásra akkor az iránytangenseik szorzata - 8 - a 97 m$ m= =- a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján a = 8 97 Az A( -) csúccsal szemközti BC oldal A 8 - a felezôpontja azonos az adott kör ( ) középpontjával Ebbôl következik hogy a BC oldal a kör átmérôje égtelen sok megoldás van 97 Tekintsük az ábrát Az érintônégyszög egyenlô szárú trapéz mert két szemközti oldala párhuzamos és a trapéz tengelyesen szimmetrikus Az alapok összege 0 mert a szárak összege $ AD = 0 egység A má-
A kör sik szár irányvektorát úgy számíthatjuk ki ha elôször kiszámítjuk az M pont koordinátáit _ úgy hogy MD = AD = 0 egység legyen Az M(p q) pontra () q= p- b ` () p + ( q- 6) = 0b a 8 6 ()-() egyenletrendszerbôl: p = q = A trapéz BC szára párhuzamos az MD szakaszszal MD egyenes irányvektora v O illetve v MD ( -7) egyen a B(b b ) a C(c c ) 8 N Ekkor B és C koordinátáira felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () b= b- () c= c- 6 () b + _ b+ i + c + _ c+ 6i = 0 mert az érintônégyszög szemközti oldalainak összege egyenlô és (6) =- mert BC egyenes iránytangense b b- c 7 - c egyenlô az MD egyenes iránytangensével ()-(6) egyenletrendszer megoldása mivel 6 b b c c > 0 b = b 8 = c 6 = c = 97 A rajta van a körön mert a koordinátái kielégítik az adott kör egyenletét ( x- ) + ( y- ) = 69 egyenletbôl ( ) A C csúcsot úgy kapjuk hogy az A pontot tükrözzük a középpontra C(- ) A( - ) Elforgatva! 90 -kal B( 7) D(-9 -) 976 A és B valóban a k:( x- ) + y = 6 kör pontjai Igazoljuk! A C pont koordinátái _ c+ i + _ c+ i 9 (c c ) Ekkor () = és () _ c - i + c = 6 ét megoldás van C c 6 c ( ) _ - i + _ - i 0 N C - O 977 Az egyenes egyenlete: y=- x+ a ahol a > 0 Az egyenes érinti az x + y = N O egyenletû kört ha a = Az érintési pont: E O 978 978 Ábrázoljuk a deltoidot A beírt kör O középpontja az y tengelyre esik mert az y tengely szimmetriatengely Másrészt O rajta van az ABC szög szögfelezôjén x+ y- AB egyenes normálegyenlete: = 0 x-y- 8 A BC egyenes normálegyenlete: = 0 A O(0 v) középpontra felírhatjuk a következô egyenletet: v- v 8 = - - A deltoidba írható kör középpontjának koordinátái O(0 -)
örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása Az OB egyenesre merôleges és a B ponton átmenô egyenes egyenlete: 7x+ y= 9 A pont 7 N koordinátái: 7x + = 9 egyenletbôl 8 O illetve N O A Q pont koordinátái: Q - O 8 N A QRS egyenlô szárú trapéz ezért R 8 N - - O S N - O A R átló egyenlete: x- y= az SQ átlóegyenlete: x+ y=- Mindkét átló átmegy az O ponton mert O koordinátái mindkét egyenletet kielégítik x y 979 Az origónak az + = egyenletû egyenesre esô merôleges vetülete legyen koordinátái x = y = ahol ab =Y 0 Ekkor x + y = = állandó A mér- a b ab a b a + b a + b + a b tani hely origó középpontú kör A kör sugarának négyzete r = A kör tengelypontjai ( pont) nem tartoznak a mértani + a b helyhez örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása 980 a) A két körnek egy közös pontja van érintik egymást a ( 0) pontban N N 8+ - O b) O 8- + O N c) (- ) d) - O O 98 ( ) az érintési pont A keresett kör középpontja rajta van az y= x egyenletû egyenesen mivel mindkét koordinátatengelyt érinti Ezért u= v és r= u A kör egyenlete: (x - u) + (y - u) = u Mivel a pont illeszkedik a keresett körre azért ( - u) + ( - u) = u Innen u = 7! 6 Megoldás: x- b7! 6lE + y- b7! 6lE = b7! 6l 98 a) A körök közös pontjainak koordinátái: ( 00 ) ( ) A keresett kör uv ( ) középpontjára = és a sugár r = u + v = és ( u- ) + ( v- ) = ét megoldás van: x + y - x+ y= 0 és x + y + x- y= 0 b) A kör középpontja a (0 0) és az ( ) pontokat összekötô szakasz felezôpontja Megoldás: x + y -x- y= 0 8 N 98 A körök közös pontjainak koordinátái: ( - ) O A keresett kör középpontja az x tengelyen van tehát a koordinátái: (u 0) másrészt = 8 N 96 7 N 7 ( u + ) + = u - + O Innen u = r = A kör egyenlete: x- + y 6 O = 6 98 A két kör közös pontjainak koordinátái: ( -) ( - ) és az adott ( -) pontok derékszögû háromszöget feszítenek ki A kör egyenlete: x + y - x+ y+ = 0 98 ( ) ( )
6 A kör 987 986 A keresett kör középpontja u ( v ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: ( ) és a sugara r = az adott pont ( ) Ekkor = és = () ( u- ) + ( v- ) = () ( u- ) + ( v- ) = ()-() egyenletrendszer gyökei: u = v = u = 8 v = 0 A keresett körre két megoldást kaptunk ( x- ) + ( y- ) = és ( x- 8 ) + ( y- 0 ) = 987 Ha két kör kívülrôl vagy belülrôl érinti egymást akkor az érintési pontok a középpontokon átmenô egyenesekre illeszkednek A keresett kör középpontjai ( 6 ) az adott kör középpontja ( 0 ) A centrális egyenes egyenlete: y= x- 8 Ez az egyenes az adott kört két pontban metszi E( ) E ( - ) A sugarak hossza E= E= egység A körök egyenletei: ( x - 6) + + ( y - ) = és ( x- 6) + ( y- ) = Utóbbi kör az adott kört belülrôl érinti 988 Adott kör középpontja (- - ) a sugara r = egység A keresett kör középpontja u ( v) a sugara r = 8 egység A pontnak két feltételt kell kielégítenie = 8 + és = 8 7 N N A keresett kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = 8 0 x+ + v- = 8 O O 989 Az adott körök kívülrôl érintik egymást mert a középpontjaik távolsága a sugaraik hosszának összegével egyenlô ( - - ) r= 0 ( 0 6) r = = A keresett kör középpontja rajta van a egyenesen másrészt az x tengelyre illeszkedik egyenlete: x- y= 6 A középpont koordinátái ( 0) a sugara r = + = az egyenlete ( x- ) + y = 990 Az adott kör középpontja (- ) a sugara r = 0 az adott pontja (7 8) A keresett kör középpontjának koordinátái u és v a sugara r= v mert érinti az x tengelyt rajta van a egyenesen és = r A keresett kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = 99 A keresett kör középpontjának koordinátái ( u u) és a sugara r= u Felírhatjuk u-ra a következô egyenletet (figyelembevéve hogy az adott kör középpontja (- -) a sugara r = : ( u+ ) + ( u+ ) = ( + u) Innen u= A keresett kör egyenlete: ( x- ) + _ y- i = 99 Az adott körök középpontjainak koordinátái: ( 0 0) ( ) a sugaraik r = r = egység A keresett kör középpontja u ( v) a sugara egység -ra felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u + v = 00 l( -609 79 ) 0 ll ( 999-0 ) ()( u- ) + ( v- ) = 8 99 Az adott körök sugarai megegyeznek Ezért elegendô meghatározni a ( 9) ( ) és a ( 9 8) középpontokon átmenô k kör egyenletét azután a k kör sugarát egységgel csökkentve illetve növelve megkapjuk a keresett körök egyenletét ( x- ) + ( y- ) = 9 és ( x- ) + ( y- ) = 9 99 ét egymást metszô kör hajlásszögét a metszéspontban húzott érintôk hajlásszögével definiáljuk Az adott körök metszéspontjai: ( ) ( - ) A pontbeli érintôk
örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása 7 egyenletei: e : x+ y= 6 és e: - 8 x + y = 0 e normálvektora n ( ) e normálvektora n ( - 8 ) n $ n = 0 a hajlásszög 90 pontban a hajlásszög szintén 90 mert és a centrális egyenesre szimmetrikus pontok 99 A keresett kör egyenlete ( x- u) + ( y- v) = r Mivel a kör átmegy az ( 0) és a (0 ) koordinátájú pontokon azért u= v Ekkor ( - u) + u = r illetve u - u+ = r Másrészt a metszéspont a u ( v) pont és az adott kör ( - 0) középpontja egy derékszögû háromszög csúcsai mivel a két kör merôlegesen metszi egymást Így alkalmazva itagorasz tételét: ( u- ) + u = + r A két egyenletbôl: u= r = A keresett kör egyenlete: 8 N N x- + y- = O O 8 996 A keresett kör egyenlete: ( x- u) + ( y- v) = 9 A ( ) pont rajta van a körön ezért ( - u) + ( - v) = 9 Az E metszéspont a u ( v) pont és az O(0 0) pont derékszögû háromszög csúcsai mert a keresett kör az adott kört derékszögben metszi Ezért u + v = + 9 A felírt egyenletek megoldá- N sai: (- ) és O ét megoldás van: ( x + ) + ( y - ) = 9 N N és x- + y- = 9 O O 997 A k- k= 0 valóban egyenes egyenlete: 6x- y+ = 0 A centrális egyenes egyenlete: x+ y= 7 A két egyenes merôleges egymásra mert $ 6+ $ (- ) = 0 A feladat könnyen általánosítható egyen a két kör egyenlete: x + y = r ( xa) + y = r 998 a) Oldjuk meg az egyenletrendszert: () x + y = 9 () 9-6x- 8y = 0 & x 7! 9 = 0 9 8! 6 9 9 y = - A húr hossza d = egység b) 8 00 egység c) egység 97 d) egység e) 0 egység 97 999 A keresett pont koordinátái: ( x y ) Az adott körök adatai: ( ) r = 6 ( ) r = az érintési pontok E és E Ekkor a E háromszög és a E háromszög derékszögû (Az átfogók és ) A következô egyenleteket írhatjuk fel alkalmazva a itagorasz tételét: () ( x- ) + ( y- ) = 6+ 9 () ( x ) ( y ) 999 - + - = 6+ 9 ()-() egyenletrendszer gyökei adják a pont koordinátáit ( - ) ( - 6 6) 000 A közös húr végpontjainak koordinátáit az x + y = 0 egyenletrendszer gyökei adják ( - ) (- ) A húr egyenlete: x + y = x + y -6x- 6y+ = 0 A háromszög területe területegység 00 Az adott k kör középpontja (- ) a sugara r = 0 egység A keresett k kör középpontja ( u v) a sugara r= v mert a kör érinti az x tengelyt (A sugár merôleges az érintôre) Mivel k érinti a k kört a (7 8) pont-
8 A kör ban azért a pont rajta van a egyenesen egyenlete: - x+ y= A k kör egyenlete: ( x- u) + ( y- v) = v A pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét a kör ( u v) koor- dinátái kielégítik a egyenletét Ekkor () - u+ v= ()-() egyenletrendszer gyökei: u= v= u= v= 0 A keresett kör egyenlete: () ( x- ) + ( y- ) = () ( 7- u) + ( 8- v) = v = vagy () ( x- ) + ( y- 0) = 00A()-as kör belülrôl a ()-es kör kívülrôl érinti az adott kört a (7 8) pontban 00 A ( - 8 ) középpontú és r = 0 egység sugarú kör érinti a ( - ) középpontú és r = 0 egység sugarú kört mert az egyenletrendszert egyetlen ( x+ 8) + ( y- ) = 00 ( x- ) + ( y+ ) = 00 számpár az E(- ) számpár elégíti ki A keresett k kör középpontjának koordinátái ( u v ) a sugara r= v mert a kör érinti az x tengelyt Másrészt a pont rajta van a egyenesen amelynek egyenlete x+ y= A kör átmegy az E(- ) ponton ezért E koordinátái kielégítik a k kör egyenletét ét érintôkör N 0 N 00 van: ( x+ ) + ( y- 0) = 00 és x+ + y- = O 9 O 8 00 ( x- 0) + ( y- ) = 00 és ( x- ) + ( y- ) = 00 észítsünk ábrát A k kör középpontjának koordinátái ( - - ) a sugara r = 0 egység A k kör középpontjának koordinátái ( 8 ) a sugara r = egység = a két kör érinti egymást Az E érintési pont koordinátái E(7 ) A k kör u ( v) középpontja rajta van a 00 egyenesen és a E szakasz felezômerôlegesén mert k érinti a k kört belülrôl a k kört kívülrôl az E pontban és átmegy a ponton u-ra v-re felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u- v= () u- v= () a E szakasz felezômerôlegesének egyenlete () a egyenes egyenlete Innen u = v = a sugár egység k egyenlete: ( x - ) + + ( y - ) = 00 Az ( x+ ) + ( y+ ) = r egyenletû kör amely az adott körrel koncentrikus az x tengelyt az 006 A r c- + - 0m és a Cc-- r - 0m az y tengelyt a B 0 r c - + -9m és a Dc0 -- r -9m pontokban metszi ahol r > Az ABCD négyszög átlói merôlegesek egymásra és a területe: AC $ BD r -9 $ r - = = 8 Innen r = A k kör egyenlete: ( x+ ) + ( y+ ) = 006 Az adott k kör középpontja az origó ( 0 0) a sugara r = egység a k kör középpontjának koordi-
örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása 9 nátái ( ) a sugara r = egység = egység A centrális egyenlete y= x A két körhöz közös érintô a külsô illetve a belsô hasonlósági pontból húzható A külsô hasonlósági pont koordinátái legyenek (a b) -nek az origótól való távolságát a M és a N hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki M + = & = Innen N = és = egység Ekkor az (a b) koordinátákra a következô egyenletrendszert írhatjuk fel: b= a és N O a + b = O Innen a 6 b = = A S és a R hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki a N belsô hasonlósági pont koordinátáit O 007 Tegyük fel hogy a ( a b) pontból húzható egyenlô d hosszúságú érintô az adott körökhöz Ekkor a pont a körök ( - ) és ( 9 ) középpontja és az E E érintési pontok a E és a E derékszögû háromszögeket feszítik ki E= E= d E = E = ( a ) = + + = ( a - 9) + d = ( a+ ) + - és d = ( a- 9) + N + + Ezekbôl az egyenletekbôl a = Az x tengely 0 O pontjából húzhatók egyenlô hosszúságú érintôk az adott körökhöz (Az egyenlô érintôk 06 egység hosszúak) 008 elöljük az x tengely azon pontjának koordinátáit (a 0)-val amelybôl a N k : x- + ( y- 8) = 6 O egyenletû körhöz kétszer olyan hosszú érintô húzható mint a k:( x+ ) + ( y+ ) = körhöz A pont a körök középpontjai és az érintési pontok egy-egy derékszögû háromszöget határoznak meg egyen a k körhöz húzott érintô hossza l Ekkor a N következô egyenleteket írhatjuk fel itagorász tétele szerint: l= a- + ( 0-8) -6 O l = ( a + ) + ( 0+ ) - ét megoldás van ( 0) - ( 0) 009 A keresett k kör u ( v) középpontja rajta van az Q szakasz felezômerôlegesén az x+ y= 6 008 egyenletû egyenesen Másrészt R = + = = Q + Ennek alapján az (u v) koordinátákra a következô egyenleteket írhatjuk fel: () u+ v= 6 () u + v = = u + ( v- ) + ( 8 77 ) és ( 7) A feladatnak a felel meg A középpontú sugarú körnek az R ( 0 0) pont belsô pontja A keresett kör sugara méter A tó átmérôje méter pontossággal méter
60 A parabola A parabola A parabola egyenlete 00 és 0 A feladatok megoldását az olvasóra bízzuk 0 A parabola egyenlete: y p x = Ha a ( x y) pont rajta van a parabolán akkor y p x = álasszunk olyan ( x y) pontot amely a parabola külsô pontja Húzzunk a ponton át a parabola tengelyével párhuzamos egyenest Ez egy ( x y) pontban metszi a parabolát Ekkor x= x és y< y Ezért y > p x p x = = y Hasonlóan igazolható hogy ha a x ( y) pont a parabola belsô pontja akkor < p x y 0 Az ( ) pont belsô pont mert > A (6 ) parabolapont (- ) belsô a (- 7 ) külsô pont 0 a) y p x = egyenletbe helyettesítsük be a ( 6) pontot Ekkor 6 = Innen p p = Tehát a parabola egyenlete: y= x Ha a parabola tengelye az x tengely akkor az y = px egyenletbôl 6 = p $ y = x b) y x 9 = y = x c) y= x y =- x 6 9 d) y=- x y =- x 0 a) y= x b) y=- x c) y= x d) y=- x e) y = 6x 6 8 f) y =- 0x 06 a) y =- 8xb) y= x 6 07 a) A parabola paramétere p = Az y= x egyenletû parabolát eltoljuk a v( ) 8 vektorral Az eltolt parabola egyenlete y= ( x- ) + Innen x -8x- 8y+ = 0 (07 8 ábra) b) x - x+ y+ = 0 c) x - 6x+ 6y- = 0 d) y -y- 6x+ 9= 0 e) y -6y-6x- 6= 0 f) x + x- 8y+ 7= 0 07 g) y -y- 6x+ 68= 0 h) ét megoldás van: x - 6y + = 0 vagy x + 6 y - 60 = 0 i) ét megoldás van: y -y- 8x+ 6= 0 vagy y - y+ 8x- 60= 0 08 a) c = 0 b) A ( ) pont koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: a+ b+ c- = 0 c) 6a- b+ c= 0 d) 9a+ b+ c+ = 0
A parabola egyenlete 6 09 A parabola tengelypontjának koordinátái: C(u ) a paramétere: p = Az egyenlete: y= ( x- u) + Mivel a parabola átmegy a (0 8) ponton azért 8 = (- u) + Innen 6 6 u =! 6 ét megoldás van: y= ( x- 6) + vagy y= ( x+ 6) + 6 6 00 ét eset lehetséges A parabola az x tengely pozitív irányában vagy negatív irányában nyílik szét p = tehát ( y- v) = x-u az egyenlete vagy ( y- v) =-( x- u) Figyelembe véve az adott parabolapontok koordinátáit: a következô egyenletrendszereket írhatjuk fel: ( - v) =-6-u () ( - v) = 9-u és () ( - v) =-( -6-u) Az ()-es egyenletrendszerbôl ( - v) =-( 9-u) ( y- ) = x+ 7 a ()-es egyenletrendszerbôl y =- ( x- 0) egyenleteket kapjuk 0 a) A tengelypont koordinátái (0 v) a parabola egyenlete ( y- v) =- px Az adott pontok koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: ( ) -- v = p Innen v ( - v) =-8p =- p = v =- p = ét parabolát kapunk ( ) 9 y + =- x N és y+ =- x O 9 b) y= ( x-) és ( x- ) = y 0 A keresett parabolák egyenletei: y= ( x-6) vagy y= ( x+ 6) 0 A parabola tengelyesen szimmetrikus A keresett parabola szimmetriatengelye az x = egyenletû egyenes A parabola átmegy a ( 0) ponton és ezen pontnak az x = egyenletû egyenesre vonatkozó tükörképén a (0 0) ponton is Felírhatjuk a b c-re a következô egyenletrendszert: 0= a+ b+ c Innen a = b =- c = 0 0= 0$ a+ 0$ b+ c - = a+ b+ c 0 A közös fókuszú parabolák vezéregyeneseit úgy kapjuk meg hogy a parabola definícióját figyelembe véve a és pontok körül F és F sugarú köröket rajzolunk és meghatározzuk ezen körök közös külsô érintôit Az érintôk egyik-egyik parabola vezéregyenesét adják F = F = < F + F A két kör metszi egymást A centrális egyenlete x+ y= 8 Az egyik külsô érintô az x tengely a másik külsô érintô egyenlete: y=- x+ Az egyik parabola paramétere a másik 0 parabola paramétere az F( ) pontnak a x+ y- = 0 egyenletû egyenestôl mért távolsága: 6 egység 0 Mivel mindkét egyenletben az x együtthatója azonos a két parabola egybevágó (mindkét parabola felfelé nyílik szét) A csúcspontjaik koordinátái: C `p - p j C`-p -p -j A CC vektor koordinátái: `-p p -6j N 7 CC = ( p) + `p- 6j = p- + O
6 A parabola 00 Az eltolásvektor hossza akkor a legkisebb ha 6 9 p = p =! CC = egység min 06 a) x -x- y= 0 b) y= x 9 c) y= x - x+ d) 7x - x+ 6y+ = 0 e) x -x- y+ 76 = 0 07 A parabola egyenlete: ( y- v) = p( x-u) alakú Itt v= 0 u=- és a (0 6) pont a parabolára illeszkedik A parabola egyenlete y 6x 80 0 08 ay + b x - ab = 0 09 bx + a y - a b = 0 8 00 Az ábra szerint a CQ szabályos háromszög CC magassága = egység A C egyenes egyenlete y- = tg0 ( x- ) illetve y- = _ x-i A pont abszcisszá- ja + az ordinátája a C egyenletbôl y - = b+ -l y = A keresett parabola átmegy a C( ) b+ lés a Q b+ -l pontokon A parabola egyenlete: ( y- v) = p( x- u) ahol ( u v) a C csúcspont (tengelypont) koordinátái u= v= Helyettesítsük a parabola egyenletébe a pont koordinátáit Ekkor ( - ) = p b+ -l Innen p = A CQ pontokon átmenô parabola egyenlete: ( y- ) = ( x- ) (Szimmetria miatt a Q pont koordinátái is kielégítik a parabola egyenletét) Még egy megoldást kapunk ha a CQ háromszöget az x = egyenletû egyenesre tükrözzük A C( ) b- l Qb- -l csúcspontokon átmenô parabola egyenlete: - ( y - ) = ( x - ) 0 Helyezzük el a parabolát a koordináta-rendszerben úgy hogy a híd tartószerkezetének két végpontja A(-0 0) B(0 0) és a legmagasabb pontja C(0 ) legyen A parabolaív egyenlete: y p x =- + Ekkor 0 =- 900 + innen p = 60 A parabola egyenlete: p y=- x + ahol - 0 # x # 0 A függôleges tartóvasak hossza méterben rendre: 60 0 7 ha az x helyére rendre behelyettesítjük a - -0 - -0-0 értékeket A szimmetria miatt az elsô öt hosszúság a másik oldalon is érvényes
A parabola egyenlete 6 0 A parabola átmegy az A(0 0) B(6 0) és a 0 C(8 ) pontokon a tengelye párhuzamos az y tengellyel a tengelypontja a C pont Az egyenlete: () y ( ) p x u =- - + v alakú ahol u= 8 v= és x= y= 0 Ezeket az adatokat behelyettesítve az ()-es egyenletbe p = 7 A röppálya egyenlete: y=- ( x- 8) + ahol 0 # x # 6 7 0 Induljon a vízsugár az A(- 0) pontból és a B( 0) pontba érkezzen vissza a talajra p = A parabolaív egyenlete: y 0 p x =- + v Ekkor 0 =- + v N A vízsugár v = méter magasra emelkedik O 0 Tekintsük az ábrát A parabola fókusza az A(0 0) pont és a parabola átmegy a p N T - 0 O tengelyponton és a háromszög B a a N O - O és C a a N O csúcsain Ekkor a parabola egyenlete: y = p O p N x+ O alakú Behelyettesítve a B vagy a C csúcs koordinátáit p-re a a a b- l következô egyenletet kapjuk: p + ba l p- = 0 Innen mivel p > 0 p = N a a adódik A parabola egyenlete: y O = ab- l x+ - Ha a tengelypont T p N 0 O O N a a akkor az egyenlet: y O =- ab+ l x- - O 0 A parabola tengelye az y tengely az (r 0) r b c - bm c- r -b bm (-r 0) pontok rajta vannak a parabolán Egyenlete: y p x =- + v alakú egyen y = 0 x= r ekkor r = pv A c r - b bm pont is illeszkedik a parabolára Ezért b p r b =- ` - j + v Az r = pv r egyenletrendszerbôl p= b és v = Aparabola egyenlete: pb = b - r + pv b x r y =- + illetve x + by- r = 0 b b N 06 a) p = F(0 6) y + 6 = 0 b) p = F(0 -) y - = 0 c) p = F 0 O N y + = 0 d) p = F 0 - O y - = 0 e) p= F(0 -) y - = 0 f) p =
6 A parabola F(-6 7) y - = 0 g) p = F(- ) y - = 0 h) p = 6 F(0 ) x + 6 = 0 i) p = N F(0-7) y + 9 = 0 j) Az egyenlet y =- 6 x- O alakban is felírható Innen p = 6 p N = F - 0 O F N - 6 0 O x 7 N = + x = k) p = F 0 6 O y - = 0 7 N l) p = F 0 O y 9 - = 0 m) A parabola egyenlete: y= `x + x+ j + y= ( x+ ) + alakban is felírható Hasonlítsuk össze a parabola egyenletét az y ( ) p x u = - + v egyenlettel p = u =- v = A tengelypont koordinátái C(- ) F(- ) a vezéregyenes egyenlete: y = 0 n) y=- `x - x+ 6j - 6 N y=- _ x- 6i - p= F 6-6 O y =- + y = o) ( y- ) = 0( x+ ) egyenletbôl p = F O x 9 9 N N + = 0 p) p = F - O y + = 0 q) p = F( ) N y - 8 = 0 r) p = F 0 00 00 O x 9 N + = 0 s) ( y- ) =- x- 00 O egyenletbôl N p = F(- ) y + = 0 t) p = F 8-0 0 O y N - = 0 u)p= F - 0 0 0 O y + = 0 07 y = x ha x = ( x - ) Megoldás: ( ) 08 Az egyenlôtlenség átalakítható: y> ( x- ) + 9 Az egyenlôtlenséget a parabola belsô (a fókuszt tartalmazó tartomány) pontjainak koordinátái elégítik ki 09 A szorzat pontosan akkor nulla ha valamelyik tényezôje 0 Tehát y= x vagy x =! vagy ( y-)( y- ) = 0-ból y = vagy y = A ponthalmaz a normál parabola az x = x =- y = y = egyenletû egyenesek pontjainak uniója Ezen halmaz pontjainak koordinátái és csakis ezek elégítik ki az adott egyenlôtlenséget 0 00 Az egyenlettel ekvivalens az `x - yj = illetve az x - y=! egyenlet Innen y= x - vagy y= x + Az adott egyenlet az y= x - és az y= x + egyenletû parabolák pontjainak koordinátái elégítik ki 0 A megoldást az ábrán látható zárt síktartomány belsô pontjainak koordinátái adják 0 ( y-x) `y- x + x-j < 0 ha a) y< x és y> N N x- - O b) y> x és y< x- - O
A parabola egyenlete 6 N Az y = x egyenes és az y= x- - O parabola közös pontjainak koordinátái: x= y = x= y = - 06 Az a) - b) feltételeket kielégítô pontok halmazát az ábrán vázoltuk 0 Ha x $ 0 akkor x -x- xy# 0 illetve x`x --yj# 0 Ez az egyenlôtlenség csak úgy teljesülhet ha y$ x - Ha pedig x < 0 akkor y$ - x + A ponthalmazt az ábrán vázoltuk 0 egyen a Q_ x yi pont az y= x egyenletû parabola pontja és a Q_ x yi a Q pontnak a ( ) pontra vonatkozó tükörképe Ekkor x + x y+ y = = Innen x = - x 0 y= - y y= x tehát - y= _ -xi y=- x + x- Az y= x egyenletû parabola tükörképe az y=- x + x- y=- ( x- ) + egyenletû parabola 0 egyen a Q_ x yi pont az y=- x + x- egyenletû parabola pontja a Q_ x yi a Q pont tükörképe Ekkor x= -x és y= - y Helyettesítve az adott parabola egyenletébe és rendezve az egyenletet: y= _ x-i - Az y=- ( x+ ) + egyenletû parabolát tükrözve a ( ) pontra a tükörkép parabola amelynek egyenlete: y= ( x-) - 06 Ismeretes hogy ha a _ x yi pontot az y= x egyenletû egyenesre tükrözzük akkor a pont a Q_ x yi pontba megy át a) Az y= x - x+ egyenletû parabola az x= y - y+ egyenletû görbébe megy át amely egyenlet a következôképpen is írható: () ( y- ) = ( x+ ) () olyan parabola egyenlete amelynek tengelye párhuzamos az x tengellyel a tengelypontja C(- ) a paramétere a fókuszának koordinátái: F - O 9 N b) C(- -) F(- -) 07 A parabola pontjai a következôk: ( ) ( - ) ( 6 ) (- 6 ) A lehetséges húr közül - egyenlô hosszúságú = 8-0 = 8 + N 08 (6 6) F 0 O F = 09 ( 6 6 ) F ( 0 ) F = 9