Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő vektorok skaláris szorzatát! a) a (10; 3) és b ( 1; 5) b) c (1; 2; 5) és d ( 1; 3; 7) Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 = 10 ( 1) + ( 3) 5 = 10 15 = 25. b) c d = c 1 d 1 + c 2 d 2 + c 3 d 3 = 1 ( 1) + 2 3 + 5 ( 7) = 30 3. Határozd meg a következő vektorok hajlásszögét! a) a (2; 3) és b ( 5; 1) b) c (2; 3; 5) és d ( 1; 2; 5) Alkalmazzuk a skaláris szorzat képleteiet: a) a b = 2 2 + 3 2 ( 5) 2 + ( 1) 2 cos φ = 13 26 cos φ a b = 2 ( 5) + 3 ( 1) = 10 3 = 13 Ebből felírhatjuk a következőt: 13 26 cos φ = 13. Ezek alapján a megoldás: φ = 135. 1
b) A skaláris szorzat képleteit összevonva, egyetlen képlettel is kiszámíthatjuk a hajlásszöget: cos φ = c 1 d 1 + c 2 d 2 + c 3 d 3 c d = 2 ( 1) + ( 3) ( 2) + 5 5 2 2 + ( 3) 2 + 5 2 ( 1) 2 + ( 2) 2 + 5 2 φ 30,81 4. Egy háromszög csúcsai az A (3; 1), B (2; 4) és C ( 1; 5) koordinátájú pontok. Számítsd ki a háromszög szögeit és területét! A háromszög szögeihez határozzuk meg az adott csúcsból kiinduló két vektor hajlásszögét. Számítsuk ki először az AB és az AC vektorok által bezárt α szöget. AB ( 1; 5) AB = ( 1) 2 + 5 2 = 26 AC ( 4; 6) AC = ( 4) 2 + 6 2 = 52 A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: cos α = Ebből azt kapjuk, hogy α 22,38. ( 1) ( 4) + 5 6 26 52. Számítsuk ki most a BA és a BC vektorok által bezárt β szöget. BA (1; 5) BA = 1 2 + ( 5) 2 = 26 BC ( 3; 1) BC = ( 3) 2 + 1 2 = 10 A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: cos β = Ebből azt kapjuk, hogy β 119,74. 1 ( 3) + ( 5) 1 26 10. Számítsuk ki végül a CA és a CB vektorok által bezárt γ szöget. CA (4; 6) CA = 4 2 + ( 6) 2 = 52 CB (3; 1) CB = 3 2 + ( 1) 2 = 10 A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: cos γ = Ebből azt kapjuk, hogy γ 37,88. 4 3 + ( 6) ( 1) 52 10. Ezek alapján a háromszög területe: T = 10 52 sin 37,88 2 2 7.
5. Két vektor hossza 3 cm, illetve 4 cm. Legalább és legfeljebb mekkora lehet a skaláris szorzatuk értéke? Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: a b = 3 4 cos φ = 12 cos φ. Tudjuk, hogy 1 cos φ 1. Ezek alapján a megoldás: 12 a b 12. 6. Két egymással 60 - os szöget bezáró vektor skaláris szorzata 4. Ha az egyik vektor hossza a másik kétszerese, akkor milyen hosszúak a vektorok? Legyen a = 2 b. A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: 2 b b cos 60 = 4. Ebből azt kapjuk, hogy b = 2, s ezt visszahelyettesítve pedig a = 4. 7. Adott az a (2; 2) és b (1; 6) vektor. Mennyi a c koordinátája, ha tudjuk, hogy a c = 14 és b c = 7? Legyen a c (c 1 ; c 2 ). Ekkor a skaláris szorzatok segítségével felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2 c 1 + 2 c 2 = 14 } 1 c 1 + ( 6) c 2 = 7 Az egyenletrendszer megoldása c 1 = 5 és c 2 = 2, vagyis a keresett vektor a c (5; 2). 8. Az a ( 2; 1; 3) és b (5; 2; z) vektorok merőlegesek egymsára. Mekkora a z érétke? Mivel a merőleges vektorok skaláris szorzata 0, így felírhatjuk a következőt: 2 5 + 1 ( 2) 3 z = 0 Ezek alapján a megoldás z = 4. 3
9. Határozd meg a b koordinátáit, ha tudjuk, hogy merőleges az a ra, továbbá a (10; 5) és b = 10! Legyen a b (b 1 ; b 2 ). Ekkor a szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 10b 1 5b 2 = 0 } b 2 1 + b 2 2 = 10 Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: b 2 = 2b 1. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe rendezés után a megoldás b 1 = 2, vagy b 1 = 2. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy b 2 = 2 2 vagy b 2 = 2 2. Ezek alapján két megoldás adódik: b ( 2; 2 2), vagy b ( 2; 2 2). 10. Az a és b vektorok hajlásszöge 60. Tudjuk, hogy (a b ) merőleges b re. Milyen kapcsolat van az a és b vektor hossza között? A feladat szövege alapján (a b ) b = 0, vagyis a b b b = 0. Ebből a következő adódik: a b cos 60 b b cos 0 = 0. Rendezés után azt kapjuk, hogy b ( 1 2 a b ) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján b = 0, vagy 1 2 a b = 0, amiből a = 2 b. 4
11. Az a és b egységvektorok 60 - os szöget zárnak be. Miylen λ esetén lesz (a + λ b ) merőleges b re? A feladat szövege alapján (a + λ b ) b = 0, vagyis a b + λ b b = 0. Ebből a következő adódik: 1 1 cos 60 + λ 1 1 cos 0 = 0. Ezek alapján a megoldás λ = 1 2. 12. Mekkora az egyenlő, de nem 0 hosszúságú a és b szöge, ha (a + 2b ) merőleges (5a 4b ) re! A feladat szövege alapján (a + 2b ) (5a 4b ) = 0. Ebből a következő adódik: 5 a 2 + 6 a b cos φ 8 b 2 = 0. Mivel a = b, így rendezés után azt kapjuk, hogy b 2 (5 + 6 cos φ 8) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján b 2 = 0, vagyis b = 0, vagy 5 + 6 cos φ 8 = 0, amiből φ = 60. 13. Legyen a (3; 4) és b ( 2; 1). Határozd meg az a nak b re, és a b nek a ra eső merőleges vetületének hosszát! Tudjuk, hogy cos φ = cos(180 φ). Ebből az a vektor b re eső merőleges vetületének hosszát megkaphatjuk a következőképpen: a cos φ = a b b = 3 ( 2) + 4 1 = 2 ( 2) 2 + 1 2 5 A b vektor a ra eső merőleges vetületének hossza pedig: b cos φ = a b a = 3 ( 2) + 4 1 3 2 + 4 2 = 2 5 5
14. Egy kocka élei 1 egység hosszúságúak. Ennek az egyik csúcsából kiinduló élvektorait jelölje a, b, c. Mivel egyenlők a következő skaláris szorzatok: a b ; (a + b ) a ; (a + b + c ) b ; (a + b ) c ; (a + b ) (b + c ); (a + b + c ) (a c )? A vektorok által bezárt szögek megállapítása után felírhatjuk a skaláris szorzatok értékeit: a b = 1 1 cos 90 = 0 (a + b ) a = 2 1 cos 45 = 1 (a + b + c) b = 3 1 cos 54,74 = 1 az AGD - ben: tg φ = 2 1 (a + b ) c = a + b c cos 90 = 0 (a + b ) (b + c) = a b + b 2 + a c + b c = 0 + 1 + 0 + 0 = 1 (a + b + c) (a c) = a 2 + b a + c a a c b c c 2 = 1 + 0 + 0 0 0 1 = 0 6
15. Egy egyenlőszárú, derékszögű háromszögben a befogók hossza 1 egység. Az oldalvektorok: a = CA ; b = CB ; c = BA. Határozd meg a következő skaláris szorzatok értékét: a b ; a c ; b c ; (a b ) c! A vektorok által bezárt szögek megállapítása után felírhatjuk a skaláris szorzatok értékeit: a b = 1 1 cos 90 = 0 a c = 1 2 cos 45 = 1 b c = 1 2 cos 135 = 1 (a b ) c = c c = 2 2 cos 0 = 2 16. Az egység oldalú, szabályos ABC - ben a = AC ; b = BC ; c = AB. Számítsd ki a következő skaláris szorzatok értékét: a b ; b c ; (b c ) a ; (b + c ) (b c )! A vektorok által bezárt szögek megállapítása után felírhatjuk a skaláris szorzatok értékeit: a b = 1 1 cos 60 = 1 2 b c = 1 1 cos 120 = 1 2 (b c) a = b a c a = 1 1 cos 60 1 1 cos 120 = 1 2 ( 1 2 ) = 1 (b + c) (b c) = (b + c) a = b a + c a = 1 1 cos 60 + 1 1 cos 120 = 1 2 + ( 1 2 ) = 0 7
17. Egy szabályos hatszög középpontjából három szomszédos csúcsba mutató vektor a ; b ; c. A hatszög oldalának hossza 1 egység. Határozd meg a következő skaláris szorzatok értékét: a b ; a c ; (a b ) c ; (a + b ) c! A vektorok által bezárt szögek megállapítása után felírhatjuk a skaláris szorzatok értékeit: a b = 1 1 cos 60 = 1 2 a c = 1 1 cos 120 = 1 2 (a b ) c = c c = 1 1 cos 0 = 1 (a + b ) c = a c + b c = 1 1 cos 120 + 1 1 cos 60 = 1 2 + 1 2 = 0 18. Egy szabályos ABCDEF hatszög oldalainak hossza 1 egység. Számítsd ki a következő skaláris szorzatok értékét: AB DE ; AB FC ; AC AE ; AC CE! A vektorok által bezárt szögek megállapítása után felírhatjuk a skaláris szorzatok értékeit: AB DE = 1 1 cos 180 = 1 AC AE = 3 3 cos 60 = 3 2 AB FC = 1 2 cos 0 = 2 AC CE = 3 3 cos 60 = 3 2 8
19. Legyen az ABCD négyzet köré írt körének egy pontja a P pont. Bizonyítsd be, hogy ha a négyzet oldalaiank hossza 1 egység, akkor a) (PA + PC ) (PB + PD ) = 2 b) (PA PC ) (PB PD ) = 0 a) Először írjuk fel a zárójeles kifejezéseket egyszerűbb alakban: PA + PC = PK + KA + PK + KC = PK + KA + PK KA = 2 PK PB + PD = PK + KB + PK + KD = PK + KB + PK KB = 2 PK Ezek alapján adódik a bizonyítandó állítás: (PA + PC ) (PB + PD ) = 2 PK 2 PK = 4 PK 2 = 4 PK 2 = 4r 2 = 4 ( 2 2 ) = 2 2 b) Először írjuk fel a zárójelben szereplő kifejezéseket egyszerűbb alakban: PA PC = CA PB PD = DB Mivel a négyzet átlói merőlegesen felezik egymást, így adódik a bizonyítandó állítás: (PA PC ) (PB PD ) = CA DB = CA DB cos 90 = 0 9
20. Bizonyítsd be, hogy a rombusz átlói merőlegesek egymásra! Legyen a két átlóvektor AC és BD. Ebből felírhatjuk a következőt: AC BD = (AD + AB ) (AD AB ) = AD 2 AB 2 = AD 2 AB 2 = a a = 0 Mivel az átlóvektorok skaláris szorzata 0, így a vektorok merőlegesek egymásra. 21. Bizonyítsd be, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldalak négyzetösszegével! Legyen a két átlóvektor AC és BD. Ebből felírhatjuk a következőt: AC 2 + BD 2 = AC 2 + BD 2 = (AD + AB ) 2 + (AD AB ) 2 = = AD 2 + 2 AD AB + AB 2 + AD 2 2 AD AB + AB 2 = 2 AD 2 + 2 AB 2 = = 2 AD 2 + 2 AB 2 10
22. Bizonyítsd be, hogy ha ABCD téglalap és O a tér tetszőleges pontja, akkor OA 2 + OC 2 = OB 2 + OD 2! Az összefűzési szabály segítségével a két oldalt alakítsuk át a következőképpen: OA 2 + (OA + AD + DC ) 2 = (OA + AB ) 2 + (OA + AD ) 2 Ebből zárójelbontás és rendezés után a következő adódik: DC 2 + 2 OA DC + 2 AD DC = AB 2 + 2 OA AB Mivel a téglalap oldalai merőlegesek, így AD DC = 0, továbbá tudjuk, hogy AB = DC. Ezek alapján azonosságot kapunk: DC 2 + 2 OA DC = DC 2 + 2 OA AB. 23. Bizonyítsd be, hogy DA BC + DB CA + DC AB = 0, ha A, B, C, D tetszőleges pont! Megfelelő átalakítások után adódik a bizonyítandó állítás: DA BC + DB CA + DC AB = DA (BA + AC ) + DB CA + DC AB = = DA ( AB CA ) + DB CA + DC AB = DA AB DA CA + DB CA + DC AB = = AB (DC DA ) + CA (DB DA ) = AC AB + AB CA = AC AB AB AC = 0 11
24. Bizonyítsd be, hogy (a b ) c (a c ) b merőleges a ra! Merőleges: Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: [(a b ) c (a c) b ] a = (a b ) (c a) (a c) (b a) = 0. Mivel a vektorok skaláris szorzata 0, így a vektorok merőlegesek egymásra. 25. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c, d R +, akkor a 2 + b 2 c 2 + d 2 a c + b d! Legyen v (a; b) és w (c; d). Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: a c + b d = a 2 + b 2 c 2 + d 2 cos φ. Mivel cos φ 1, így adódik a bizonyítandó állítás: a c + b d a 2 + b 2 c 2 + d 2. 26. Bizonyítsd be, hogy bármely a, b, c valós számra a + b + c 3 (a 2 + b 2 + c 2 )! Legyen v (a; b; c) és w (1; 1; 1). Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: a 1 + b 1 + c 1 = a 2 + b 2 + c 2 1 2 + 1 2 + 1 2 cos φ. Ebből rendezés után a következő adódik: a + b + c = 3 (a 2 + b 2 + c 2 ) cos φ. Mivel cos φ 1, így adódik az állítás: a + b + c 3 (a 2 + b 2 + c 2 ). 27. Bizonyítsd be, hogy 4a + 3b a 2 + 9 b 2 + 16! Mikor teljesül az egyenlőség? Legyen v (a; 3) és w (4; b). Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: 4a + 3b = a 2 + 3 2 4 2 + b 2 cos φ. Mivel cos φ 1, így adódik a bizonyítandó állítás: 4a + 3b a 2 + 9 16 + b 2. A két oldal akkor egyenlő, ha φ = 0, vagyis a b = 3 4 = 12. 12
28. Mivel egyenlő a következő vektoriális szorzatok: i j; j k ; k i; j i; k j; i k? A vektoriális szorzat definíciójából a következők adódnak: i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j 29. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha A (1; 2; 3), B(2; 1; 3) és C(5; 2; 3)! A paralelogramma területét felírhatjuk következőképpen: AB BC = AB BC sin φ. Először számítsuk ki az oldalvektorok hosszát: AB = 1 2 + ( 3) 2 + 0 2 = 10 BC = 3 2 + ( 1) 2 + ( 6) 2 = 46 AC = 4 2 + ( 4) 2 + ( 6) 2 = 68 Ezt követően koszinusz - tétel segítségével számítsuk ki a közbezárt szöget: ( 68) 2 = ( 10) 2 + ( 46) 2 2 10 46 cos φ φ 106,24 Ezek alapján a megoldás: T = AB BC = 10 46 sin 106,24 20,59. 30. Határozd meg az a b koordinátáit, ha a (2; 3) és b ( 1; 3)! Először számítsuk ki a két vektor hosszát: a = 2 2 + 3 2 = 13 b = ( 1) 2 + ( 3) 2 = 10 Ezt követően számítsuk ki a két vektor hajlásszögét: cos φ = 2 ( 1) + 3 ( 3) 13 10 φ 164,74 Ebből számítsuk ki a következőt: a b = a b sin φ = 13 10 sin 164,74 = 3. Ezek alapján a megoldás: a b (0; 0; 3). 13