Siádságt Fedtok 17/1 1 Teoíisbei jeöések: vektook, mátiok, teook () Mátiok () koodiát edsebe: osopmáti: p. vekto máti v = v e + v e + v e eseté [ v = v, osopmáti tspoátj: [ v T = [ v v v v égetes (3 3) -s mátiok: [ = [ T = simmetikus máti: [ = [ T, jee: [ s simmetikus máti: [ = [ T, jee: [ s mátiok dditív febotás: [ = [ s + [ s = 1 2 ( [ + [ T ) + 1 2 v ( [ [ T ) máti soás vekto [ [ v = v v + v + v v = v + v + v [ [ e = v v + v + v (b) Vektook átáos (didikus) sot Jee: ( b = C, évées ) ( ) b c = b c össefüggés. Kisámítás () KR-be: [ C = [ b b b b b b = [ [ b T = b b b b b b (c) Teook Def.: homogé, ieáis, vekto-vekto függvé: w = f( v) = T v, Megdás () KR-be: vektoos mátios didikus [ w = [ T [ v w w w w = t v + t v + t v t t t = t t t t t t v v v ; [ T = [ t t t w = T v T = t e + t e + t e ; T e = t... Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/2 2 dottk ábbi vektook: = (4 e + 6 e e ) [m; b = ( 3 e + e e ) [m; c = ( 2 e 5 e ) [m C c b Megodás: b = 5 [m 2 ; b = ( 5 e + 7 e + 22 e ) [m 2 ; [ = [ 4 [ 0 0 0 3 0 [ F = 6 0 0 [m; [ G = 0 1 0 [m; [ H = 1 0 0 0 1 0 () Htáo meg ábbi műveetek eedméét! i. b; b; = b; = b ii. F = e ; G = b e ; H = c e ; C = F + G + H iii. ( d = ) b c; f ( ) ( = b c; c ) ( ) b ; c b (b) ots fe mátiát s simmetikus és s simmetikus éseke! [ 0 0 2 0 0 5 d = (12 e [ + 18 e 3 e ) [m 3 ; f = (21 e 7 e + [ 7 e ) [m 3 ; 12 7 0, 5 0 11 3, 5 [ s = 7 6 3, 5 [m 2 ; [ s = 11 0 2, 5 0, 5 3, 5 1 3, 5 2, 5 0 [ 12 4 4 18 6 6 3 1 1 [m 2 ; [ = [ 4 3 0 [m; [ C = 6 1 2 [m; 1 1 5 [m 2. [ 12 18 3 4 6 1 4 6 1 [m 2 ; 3 Íj fe k eképések mátiát, me () sík báme potjáho ' Megodás: [ T = ' ' ' φ [ 1 0 ; [ T = 0 1 ' ' [ 1 0 ; [ T = 0 1 () oigó votkoó simmetipotját (b) -tegee votkoó simmetipotját (c) ϕ = 30 -k ( köüi, ó jáásáv eekeő iáú) efogtottját edei! [ 3 2 1 2 1 3 2 2. 4 dj meg k teok mátiát, () me () sík báme hevektoáho k köüi (+étemű), tetsőeges ϕ sögge tötéő efogtásábó dódó u emoduási vektoát edei! ' φ ' u (b) Hog módosu máti, h ϕ étéke kicsi («1)? (c) Mibe vátoik megodás, h () té tetsőeges potjáb muttó hevekto ke étemei tsfomációt? (d) Tegük fe, hog átáos heetű fogásvekto (de ϕ«1), ekko mikét vátoik tsfomációt meghtáoó teo máti? [ (cos ϕ 1) si ϕ Megodás: [ T = ; [ T = si ϕ (cos ϕ 1) [ [ (cos ϕ 1) si ϕ 0 [ T = si ϕ (cos ϕ 1) 0 ; [ T = 0 0 1 [ 0 ϕ ; ϕ 0 0 ϕ ϕ ϕ 0 ϕ ϕ ϕ 0. Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/3 5 Íj fe () KR báisvektoik didikus sotit, ietve ok mátiát! Eek fehsáásáv dj meg egségteo didikus eőáítási módját! [ 1 0 0 Megodás: [ e e = ; [ e e = ; stb. [ 1 = 0 1 0 ; 1 = e e + e e + e e. 0 0 1 [ 1 0 0 1 0 6 dott ábbi háom vekto () KR-be: = ( e 2 e e ) [m, b = (2 e + 4 e 6 e ) [m, = ( e + e e ) [ Megodás: [ F = F [ T [ F = 0 0 C b [ 2 4 6 4 8 12 2 4 6 () Íj fe F = b teo mátiát () KR-be! (b) Sámíts ki g = F e, g = F e és g = F e sotokt! (c) V-e küöbség F és F sotok eedmée köött? Sámíts ki eedmét F mátiák fehsáásáv és ékü is! [m 2 ; g = (2 e 4 e 2 e ) [m 2 ; g = (4 e 8 e 4 e ) [m 2 ; g = ( 6 e + 12 e + 6 e ) [m 2 ; [ 12 [m 2 ; F [ F [ = 24 [m 2. 12 Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/4 7 Ng kvátoás 1D-be. tegee páhumos, egik végé befogott, kedetbe 0 = 100 [mm hossúságú véko gumisá potjik koodiátáit 0 jeöi: 0 0 0. gumisát háomsoosá újtjuk. egeetese megút gumisá potjik koodiátáit jeöi: 0, ho kvátoás utái hoss. 0 0 () Íj fe gumisá 0 és hossi, mjd tetsőeges gi pot 0 és koodiátái köötti össefüggést! Tütesse fe 0 = 50 [mm koodiátájú gi pot heét midkét ápotb! (b) Htáo meg gumisá végpotják emoduását, mjd íj fe 0 koodiátájú pot emoduását eíó u( 0 ) emoduás-függvét! (c) Sámíts ki voeem át végpotb, mjd tetsőeges 0 koodiátájú potb! (d) Sámíts ki du d és du 0 d deivátk étékeit! Dötse e (idokáss), hog gumisá kvátoás g-, vg kismétékű! (e) Sámíts ki gumisá fjgos (etív) úásik étékeit: ε 0 méöki, ε vódi, ε L Lggefée, ε E Eue-fée, ε og ogitmikus (Heck-fée) fjgos úást! Megodás: = 0 3 = 300 [mm; ( 0 ) = 3 0 ; 0 () = 3 ; u(0 ) = 200 [mm; u( 0 ) = 2 0 ; du d 0 du = 2; d = 2 3 ; g kvátoás; λ = 3; ε 0 = 2; ε = 2 3 ; εl = 4; ε E = 4 9 ; εog = 3 = 1, 0986122. 8 Kis kvátoás 1D-be. tegee páhumos, egik végé befogott, kedetbe 0 = 100 [mm hossúságú véko césá (gitáhú) potjik koodiátáit 0 jeöi: 0 0 0. kvátoás soá césát 1, 003-soosá újtjuk. egeetese megút gitáhú potjik koodiátáit jeöi: 0, ho kvátoás utái hoss. () Vásoj meg eőő, 7 fedt kédéseit! 0 0... (e) Megodás: = 1, 003 0 = 100, 3 [mm; ( 0 ) = 1, 003 0 ; 0 () = 1,003 ; u(0 ) = 0, 3 [mm; u( 0 ) = 0, 003 0 ; du d 0 = 0, 003; du d = 0, 002991; kis kvátoás; λ = 1, 003; ε 0 = 0, 003; ε = 0, 002991; ε L = 0, 0030045; ε E = 0, 0029865; ε og = 0, 0029955. Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/5 9 Ng kvátoás 2D-be. siád test gi potj kvátoás eőtt 0 ( 0, 0 ) koodiátájú geometii potb, kvátoás utá (, ) koodiátájú geometii potb heekedik e. 0 potbei e, e báisvektook át kifesített egség odú eemi éget potji kvátoás utá g = 3 e és g = 0, 5 e vektook át kifesített tégp potjit fogják e ábák megfeeőe ( gi pot köeetébe kvátoás o, hog eedetieg egmás 0 és 0 át kijeöt gi vok kvátoás utá is egeesek és mdk, hossuk visot vátoik). 0, 0 e 0 e u g g, 0 () Íj fe gi pot eemi köeetéek kvátoását eíó F kvátoási gdies teo mátiát ( 0 0 ) KR-be, mjd dj meg F teot iviás kb! (b) Íj fe kvátoási gdies és u 0 emoduási gdies teo köötti kpcsotot, mjd dj meg u 0 mátiát ( 0 0 ) KR-be! Ápíts meg, hog visgát potb kvátoás g-, vg kismétékű, mjd semétesse u 0 teo koodiátáit! (c) Sámíts ki 0 potbei 0 és 0 iáú gi vok voeem áit és fjgos úásit kedeti hossk votkottv (méöki úások)! Sámíts ki 0 potbei 0 és 0 iáú gi vok etív sögtouását! (d) Sámíts ki 0 potbei e = 0, 6 e + 0, 8 e iáú gi vo kvátoás utái g éitő vektoát, mjd htáo meg gi vo voeem áát és fjgos úását kedeti hoss votkottv! (e) Sámíts ki 0 potbei e iáú gi vo és á meőeges e m = 0, 8 e + 0, 6 e iáú gi vok etív sögtouását! [ [ 3 0 ; F = 1 + u 0 0, 5 0 2 0 = 1 + U; U = ; 0 0, 5 Megodás: [ F = λ = 3; λ = 0, 5; ε 0 = 2; ε0 = 0, 5; γ = 0 ; λ = 1, 8439; ε 0 = 0, 8439; γm = 70, 35 = 1, 2278 [d. 10 Ng kvátoás 2D-be. eőő fedtb visgát siád test kvátoás ege most o, hog 0 potbei e és e báisvektook át kifesített egség odú eemi éget potji kvátoás utá g = 2, 5 e + 0, 5 e és g = 0, 2 e + 1, 4 e vektook át kifesített peogmm potjit fogják e. ( gi poto áthdó, egmás meőeges 0 és 0 koodiátvokk egbeeső gi vok kvátoás utá em mdk egeesek és egmás és hossuk is vátoik). 0, 0 e 0 e u g () Vásoj meg eőő, 9 fedt kédéseit! g... (e) Megodás: [ F = [ 2, 5 0, 2 ; F = 1 + u 0, 5 1, 4 0 = 1 + U; U = γ = 19, 44 = 0, 3328 [d; λ = 2, 1845; ε 0 = 1, 1845; γm = 36, 28 = 0, 6333 [d., 0 [ 1, 5 0, 2 ; λ 0, 5 0, 4 = 2, 5495; λ = 1, 4142; ε 0 = 1, 5495; ε0 = 0, 4142; Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/6 11 Kis kvátoás 2D-be. eőő fedtb visgát siád test megteheése soá potbei e és e báisvektook át kifesített egség odú eemi éget potji kvátoás utá g = 1, 0015 e + 0, 0005 e és g = 0, 0002 e + 1, 0004 e vektook át kifesített peogmm potjit fogják e. Vásoj meg 9 fedt ()... (e) kédéseit, vmit ábbikt! (f) Áíts eő kis kvátoások eíásá kms kvátoási teot, mjd eeőie, hog teo koodiátái vób megegeek (c) potb kisámított fjgos úásokk és sögtouáss! (g) kvátoási teo ismeetébe sámíts ki e = 0, 6 e + 0, 8 e és e m = 0, 8 e + 0, 6 e iáú gi vok etív úásit és fjgos sögtouását, mjd eeőie, hog eedméek megegeek (d) és (e) potokb kisámított eedméekke! Megodás: [ F = [ 1, 0015 0, 0002 0, 0005 1, 0004 ; [ U = [ 15 2 5 4 γ = 0, [ 04 = 0, 000699 [d; γ m = 0, 07 = 0, 00125 [d; 15, 0 3, 5 [ = 10 3, 5 4, 0 4 ; ε = 11, 32 10 4 ; γ m = 0, 00125 [d 10 4 ; λ = 1, 0015; λ = 1, 0004; ε 0 = 0, 0015 ε; ε0 = 0, 0004 ε; 12 Kis kvátoás 3D-be. Eg siád test kvátoás soá 0 potbei e, e, e báisvektook át kifesített egség odú eemi kock potji potbei g = 1, 002 e + 0, 004 e g = 1, 002 e 0, 002 e g = 0, 002 e + 0, 996 e vektook át kifesített peepipedo potjib moduk e. 0 () Íj fe F kvátoási gdies és U emoduási gdies teook mátiit. Ápíts meg, hog visgát potb kvátoás g-, vg kismétékű, mjd semétesse emoduási gdies koodiátáit eemi tiédee! (b) Htáo meg 0 potbei kvátoási teo mátiát, mjd evee meg teo koodiátáit! e g (c) Htáo meg 0 potbei Ψ sögefoduás teo mátiát, mjd htáo meg φ sögefoduás vektot! e e Megodás: [ F = [ = g [ 2 0 1 0 2 1 1 1 4 g [ 1, 002 0 0, 002 0 1, 002 0 0, 004 0, 002 0, 996 10 3 ; [ Ψ = ε = 0; ε m = 0, 002; γ m = 6 10 3 [d (d) Htáo meg e = 2 2 e 2 2 e és e m = 2 2 e + 2 2 e egségvektookho ttoó fjgos úásokt és γ m fjgos sögtouásukt! ; [ U = 0 3 0 0 1 3 1 0 [ 2 0 2 0 2 0 10 3 ; kismétékű kv. «1; 4 2 4 10 3 [d; φ = ( e 3 e ) 10 3 [d; Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/7 13 ugms test emoduásmeője u( ) függvée dott. (Mt.II. 3.6 pjá) test Q potják hevekto Q = 2 e [mm. u = ϑ e R, ho ϑ = 2 10 3 [1/mm; R = e + e. () Íj fe U Q emoduási gdies, Q kvátoási- és Ψ Q sögefoduás teook mátiát! (b) dj meg e = 0, 6 e + 0, 8 e iáho ttoó ε fjgos úást! (c) Semétesse Q teot () KR tegeeive páhumos éű, Q kedőpotú eemi tiédee! Megodás: [ U Q = 0 0 0 0 4 10 3 [ Q = 0 0 0 0 2 10 3 ; [ Ψ Q = 0 2 0 0 0 0 0 2 10 3 ε = 1, 92 10 3. 0 2 0 2 10-3 2 14 () KR potjáb ismeetesek eg ugms test kvátoási jeemői: (Mt.II. 3.13 pjá) kock kvátoását követkeő ε = 5 10 3 ε = 4 10 3 ε = 10 2 γ = γ = γ = γ = 0 és γ = γ = 10 2. kvátoási koodiáták íják e () KR-be. (homogé defomáció!) 5 10 5 5 10-3 4 () Semétesse eemi tiédee potbei kvátoási ápotot! (b) Sámíts ki ε fjgos úást és γ sögtouást, h e = 0, 8 e + 0, 6 e! [ 5 0 5 0 4 0 10 3 ; ε = 2 10 3 ; γ = 0. 5 0 10 Megodás: [ = 15 Eg siád test emoduásmeője () KR-be: (Mt.II. 3.7 pjá) u = u( ) = u(,, ) = ν R e + 1 2R (ν2 ν 2 2 ) e + 1 R e ho R = 10 3 [mm ν = 0, 25 () Htáo meg U emoduási és F kvátoási gdies teook mátiát = (4 e 2 e + 5 e ) [mm hevektoú potb! (b) Íj fe potbei kvátoási teo, Ψ sögefoduási teo mátiát és φ sögefoduás vektot! (c) Sámíts ki e = 1 2 e 3 2 e és e m = 3 2 e + 1 2 e iáú gi vok etív úásit és fjgos sögtouásukt!, 5 1 0 Megodás: [ U = 1 0, 5 5, 5 0 5 2 0 0 [ = 0 0, 5 0 0 0 2 10 3 ; [ Ψ = [ 1, 0005 0, 001 0 10 3 ; [ F = 0, 001 1, 0005 0, 005 ; 0 0, 005 0, 998 1 0 1 0 5 10 3 ; φ = (5 e + e ) 10 3 ; ε = 0, 5 10 3 ; ε m = 0, 5 10 3 ; γ m = 0. 0 5 0 Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/8 16 egségi odú kock egik sk () KR oigójáb heekedik e, háom odéét e, e és e báisvektook htáoák meg. kock kvátoását 1 γ 0 [ F = 0 1 0 γ > 0 0 0 1 kvátoási gdies íj e () KR-be. (homogé defomáció!) () Íj fe g, g és g báisvektookt kock eg tetsőeges potjáb, mjd ábáoj kock kvátoás eőtti és utái heetét, h kock oigójáv egbeeső sokpotj kvátoás köbe em modu e! (b) Htáo meg kock és Ψ teook mátiát és φ vektot! (c) Mie fetéte eseté évées ieiáás soá kmott F T F 1 + 2 köeítés? [ 0 1 2 γ 0 1 Megodás: g = e ; g = γ e + e ; g = e ; [ = 2 γ 0 0 ; [ Ψ = γ << 1. [ 1 0 2 γ 0 1 2 γ 0 0 ; φ = 1 2 γ e; h 1 + γ2 1, 17 Visgájuk eg póbtest feüetéek potjáb kvátoást. (Mt.II. 3.16 pjá) e, és m tegeek iááb mét fjgos úások dottk: e ε = 2 10 4 ε = 0, 5 10 4 ε m = 4 10 4. m 60 60 e m e tege kvátoási főtege γ = γ = 0. () Íj fe és m tegeekhe ttoó e és e m egség iávektookt! (b) Htáo meg ε fjgos úást és γ sögtouást! Megodás: e = 1 2 e + 3 2 e; em = 1 2 e 3 2 e; ε = 2, 3 10 4 ; γ = 7 3 10 4. 18 Vme test potjáb, () KR-be (Mt.II. 3.9 pjá) e m m e dott emoduási gdies teo máti: [ U = 2 0 2 0 2 0 10 3 4 2 4 e = 2 2 2 2 2 e 2 e e m = 2 e + 2 e () Htáo meg kvátoási és Ψ fogtó teook mátát! (b) Sámíts ki ε fjgos úást és γ m fjgos sögtouást! Megodás: [ = [ 2 0 1 0 2 1 1 1 4 10 3 ; [ Ψ = 0 3 0 0 1 3 1 0 10 3 ; ε = 0; γ m = 6 10 3. Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/9 19 Ismeetes omáisú eemi feüet potjáb feüete megosó ER sűűségvekto p. (Mt.II. 3.17 pjá) σ p = 0, 8 e + 0, 6 e ; τ m m τ τ N p = ( 400 e + 300 e + 100 e ) [ mm 2 Htáo meg eemi feüet potjáb () σ omáfesütséget! (b) τ csústtófesütség vektot! (c) τ m csústtófesütséget, m = 0, 6 e + 0, 8 e! Megodás: σ = 300 [N/mm 2 ; τ = ( 400 e + 60 e 80 e ) [N/mm 2 ; τ m = 100 [M. 20 Sámíts ki potb omáisú síko feépő p fesütségvekto σ, τ m és τ koodiátáit! σ τ m τ m p τ 2 = 0, 5 e + 0, 5 e + 2 e 2 m = 0, 5 e 0, 5 e + 2 e 2 2 = 2 e 2 e N p = (581 e 100 e + 200 e ) [ mm 2 (Mt.II. 3.18 pjá) Megodás: σ = 381, 92 [M; τ m = 99, 1 [M; τ = 481, 5 [M. 21 Eg siád test potjáb ismet T fesütségi teo. (Mt.II. 3.20 pjá) 500 500 500 500 400 500 400 500 0 [ T = 500 0 500 [M 0 500 500 = 0, 8 e + 0, 6 e () Htáo meg potb e, e és e omáisú eemi feüetekhe ttoó p, p és p fesütségvektookt! (b) Íj fe omáisú eemi feüete p fesütségvektot, σ omáfesütséget és τ csústtófesütség vektot! (c) Semétesse pot fesütségi ápotát eemi kocká! Megodás: p = (400 e 500 e ) [M; p = ( 500 e + 500 e ) [M; p = (500 e 500 e ) [M; p = ( 400 e + 300 e + 100 e ) [M; σ = 300 [M; τ = ( 400 e + 60 e 80 e ) [M. Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/10 22 dott fesütségi teo máti koodiát edsebe. (Fs. 2.7 pjá) m 80 80 32 40 80 0 0 [ T = 0 40 32 [M 0 32 80 = 1 17 (4 e e ), m = 1 17 ( e +4 e ). () Íj fe fesütségi teo didikus eőáítását, mjd semétesse fesütségi ápotot eemi kocká! (b) Sámíts ki és m omáisú feüeteke ébedő σ és σ m omáfesütséget, vmit τ m íófesütséget! Megodás: T = [80 e e + (40 e 32 e ) e + ( 32 e 80 e ) e [M; σ = 48 [M; σ m = 88 [M; τ m = 0 [M 23 Ismeetes húás igébevett kö KM-ű pimtikus údsks teheete hoss és d átméője. (Mt.II. 4.1 pjá) d N N = 250 [mm, d = 25 [mm () Mekko údsks 2 hoss N 2 = 50 [kn húóeő eseté, h N 1 = 100 [kn húóeő meett 1 = 250, 27 [mm údsks hoss és úd g ieáis ugms? (b) Mekko N 3 húóeő, h KM potjib σ 3 = 80 [M fesütség ébed? (c) Htáo meg g E ugmssági moduusát! Megodás: 2 = 250, 135 [mm; N 3 = 39, 2699 [kn; E = 188 628 [M. 24 éget KM-ű ömök údsks omás v igébevéve. N N S (Mt.II. 4.2 pjá) N = 600 [kn, = 50 [mm, = 100 [mm = 0, 6 e + 0, 8 e, E = 200 [G; ν = 0, 3. () Rjoj meg = 0 KM-be ébedő fesütségek eosásák jeegét és koodiáták függvéébe! (b) Htáo meg (25; 12, 5; 40) [mm potb [ T fesütségi teo és [ kvátoási teo mátiát és semétesse t pot köeetébő kivett eemi kocká! (c) Íj fe poto átmeő omáisú S síko feépő σ omáfesütséget! (d) Eeőie udt fesütségcsúcs, h σ je = 400 [M, = 1, 6! Megodás: σ (, ) = 240 [M = á.; [ T =, 36 0 0 [ = 0 0, 36 0 0 0 1, 2 [ 0 0 240 [M; 10 3 [ ; σ = 153, 6 [M; MEGFELEL. 240 Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/11 25 vékofú cső hossúságú sksák húás igébevétee. E ugmssági moduus és ν oisso-téeő ismet. (Mt.II. 4.3 pjá) S N N d 60 N = 30 [kn, D = 40 [mm, d = 36 [mm, D E = 200 [G, ν = 0, 25. () Sámíts ki potb ébedő σ fesütség étékét! (b) Semétesse potbei fesütségi ápotot pot köeetébő kivett ( tegee éű) eemi kocká! (c) dj meg potb T fesütségi teot, és íj fe t didikus sotok segítségéve! (d) Htáo meg sámításs S síko ébedő σ és τ fesütség kompoeseket! Megodás: σ () = 125, 65 [M; T = 125, 65 e e [M; [ T = σ = 94, 24 [M; τ = ( 47, 12 e 27, 195 e ) [M. [ 0 0 125, 65 [M; 125,65 26 Néget keestmetsetű úd hossúságú sksát N eők cetikus húás teheik. hossúságú sks megúás N húóeő htásá. (Mt.II. 4.4 pjá) 1 1 1 1 η 45 ξ N N, ζ = 20 [mm, = 200 [mm, = 20 [µm, 1 = 3 [mm, 1 = 5 [mm, E = 2 10 5 [N/mm 2, ν = 0, 3 () Htáo meg iáú ε fjgos úást! (b) Sámíts ki és iáú ε és ε fjgos úásokt! (c) Íj fe 1 potbei 1 kvátoási teo mátiát KR-be és ξηζ KR-be! (d) Htáo meg 1 potbei fesütségi teo mátiát! (e) Mekko N eőve ke udt tehei, hog méet vátoás = 4, 5 [µm ege? (f) Megfee-e ttó (d) és (e) potok eseté, h tökemeetee jeemő fesütség σ je = 100 [M, bitosági téeő = 2? (g) Méetee ttót N = 150 [kn teheése, h megegedett fesütség σ meg = 60 [M! Megodás: ε = 10 4 [ ; ε = ε = 3 10 5 [ ; [ 1 = [ 1 = N = 60 [kn; IGEN/NEM; = 50 [mm. () (ξηζ) [ 3 0 0 0 3 0 10 5 [ ; [ T 1 = 0 0 10 0 0 [M; 0 0 20 Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/12 27 tégp KM-ű udt N < 0 eő omás tehei. (Mt.II. 4.6 pjá) N = 20 [mm; = ( 2 N 5 e + 1 5 e ) [, b b = 40 [mm; m = ( 1 5 e + 2 5 e ) [ ; m (10; 10; 60) [mm; E = 200 [G; ν = 0, 25; = 100 [mm; γ m = 2, 5 10 4 [ () Mekko N omóeő eseté es és m egségvektookk kijeöt egeesek egmáss beát π 2 sögéek vátoás teheés htásá γ m? (b) Htáo meg úd megúását! (c) Htáo meg údb fehmoódó U beső eegi étékét! Megodás: N = 40 [kn; = 25 [µm; U = 0, 5 [J. 28 Ismeetes befogott kö KM-ű úd T fesütségi teoák máti KR-be, me koodiát függvée, vgis fesütségi teomeő. (Mt.II. 4.8 pjá) 45 d 2 m 45 G = 80 [G, ν = 1 3, = 1 [m, γ = 78 [ kn m, σ 3 0 = γ, [ T = [M; 0 0 σ 0 = ( 2 2 e 2 2 ) e [ ; m = ( 2 2 e 2 2 ) e [ () Íj fe kvátoási teot koodiát függvéébe! (b) Sámíts ki potb iáú ε fjgos úást, vmit és m iáok egmáss beát sögéek γ m fjgos sögtouásák étékét! (c) Htáo meg úd megúását! Megodás: ε = ( )γ 2G(1+ν) ; ε = ε = νε; ε = 6, 09 10 8 [ ; γ m = 2, 4375 10 7 [ ; = 1, 8281 10 7 [m 29 kö keestmetsetű d átméőjű egik végé befott hossúságú udt M c csvóomték tehei. R η S ξ 30 K 1 1 K 2 M c (Mt.II. 4.79 pjá) M c = 40 [Nm, = 500 [mm, 1 = 160 [mm, d = 20 [mm, E = 200 [G, ν = 0, 3, R = 5 [mm () Htáo meg K 1 KM-be htó τ (), τ () és τ η (ξ) csústtó fesütségek eosását, ietve ξ tege meté! (b) Íj fe K 1 KM potjáb T fesütségi teo mátiát, és semétesse t pot köeetébő kivett eemi kocká! (c) Htáo meg kvátoási teo mátiát potb és semétesse t eemi tiédee! Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/13 (d) Sámíts ki K 1 és K 2 KM-ek egmásho visoított φ 12 sögefoduását! (e) dj meg úd hossúságú sksá fehmoódott U beső eegi étékét! (f) Tegük fe, hog d ismeete, τ meg = 80 [M, méeteük íg udt! Megodás: τ ϕ = 2, 546R [ M m mm ; τϕ = 25, 46 [M; [ T = [ = [ 0 0 8, 3 0 8, 3 0 0 0 0 0 12, 73 [M; 0 12, 73 0 10 5 [ ; φ 12 = 5, 3 10 3 [d; U = 0, 331 [J; d = 13, 65 [mm 14 [mm. 12,73 0,083 10-3 30 Kögűű KM-ű úd hossúságú sksát M c csvóomték tehei. (Mt.II. 4.87 pjá) d D M c M c M c = 2 [knm, D = 2d, G = 80 [G, τ meg = 60 [M () Méetee udt! (d =?) (b) Htáo meg úd = m hossát, h két séső KM egmásho visoított sögefoduásák megegedett étéke φ meg = 4 10 3 [! Megodás: d = 28, 29 [mm 28, 5 [mm, m = 155, 45 [mm. 31 Meev pok köé t 1 = 253 [K hőmésékete ádó KM-ű udt seeek. seeési hőmésékete úd fesütségmetes. úd gá hőtáguási egütthtó α. sekeet t 2 = 308 [K hőmésékete üeme! (Mt.II. 4.12 pjá) 1 2 1 2 1 = 180 [cm 2, 2 = 100 [cm 2, 1 = 0, 25 [m, 2 = 0, 15 [m, E = 200 [G, α = 12, 5 10 6 [ 1 K () Mekko ee úd emoduás, h em ee ott jobb odi megtámstás? (b) Htáouk meg és KM-ekbe feépő σ és σ fesütségek étékét! Megodás: u = 0, 275 [mm, σ = 105, 76 [M, σ = 190, 38 [M. Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/14 32 d átméőjű údho meeve kpcsoódó D átméőjű tács keüeté, áb seiti, ádó F eőkbő áó eőpá működik. úd gá megegedett íófesütség τ meg. D F = 5 [kn, D = 0, 4 [m, d = 60 [mm, τ meg = 60 [M, = 1, 2 [m. F F d () Htáo meg úd igébevéteét! (Mt.II. 4.81 pjá) (b) Ho v(k) KM vesées potj(i) (V)? (c) Eeőie udt! Megodás: csvás, V: R = d m 2, megfee (τϕ = 47, 16 [M). 33 Kögűű KM-ű pimtikus úd hossúságú sksát M c csvóomték tehei. d S D M c,s M c (Mt.II. 4.82 pjá) M c = 5 [knm, D = 70 [mm, d = 50 [mm, G = 80 [G, = 180 [mm, τ meg = 60 [M () Rjoj meg = 0 koodiátájú KM és tegee meté τ ietve τ fesütségek eosását! (b) Htáo meg KM vesées potjit! (c) Íj fe ( 25; 0; 0) [mm potb fesütségi teo mátiát! (d) Sámíts ki potb kvátoási teo mátiák koodiátáit! Megodás: τ ϕ = 2, 868R [ M mm, V: R = D 2, [ T = [ [ = 0 0 1 2 γ 0 1 2 γ 0 [ γ = γ = 8, 9614 10 4. 0 0 0 0 71, 7 [M, 0 71, 7 0 S τ τ 34 egik végé befogott tégp KM-ű pimtikus udt áb seiti ádó M omtékú eőpá tehei. (Mt.II. 4.53 pjá) M M = 80 [knm, = 10 [mm, b = 20 [mm, b S 1 2 E = 200 [G, 1 = 2 [m, 2 = 3 [m ν = 0, 25, σ meg = 180 [M () Rjoj meg = 0 koodiátájú KM és tegee meté fesütségek eosását! (b) Htáo meg KM vesées potjit! (c) Íj fe (0; 5; 0) [mm potb σ fesütség étékét! (d) Semétessük potbei fesütségi ápotot pot köeetébő kivett eemi kocká! (e) Íj fe potbei T fesütségi teo mátiát! (f) Htáo meg potbei kvátoási teo mátiát! (g) Sámíts ki údb fehmoódó U beső eegi étékét! Megodás: σ = 12 [ M mm, σm = 120 [M, V: = ± b 2, σ = 60 [M, U = 12 [Nm, [ [ 7, 5 0 0 [ T = [M, [ = 0 7, 5 0 10 5 [. 0 0 60 0 0 30 b S σ σ 60 [M Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/15 35 Tégp KM-ű pimtikus údbó kikított kooos ttót F eő tehei ábá áthtó módo. ttó KM-éek méetei és b dottk. ttó gá megegedett fesütség σ meg. b S F 1 2 = 20 [mm, b = 40 [mm, 1 = 1, 5 [m, 2 = 4 [m (Mt.II. 4.56 pjá) E = 200 [G, σ meg = 150 [M () Htáo meg, hog mekko F m eőve tehehető koo vége! (b) Mekko es megegedhető eő, h KM-et köü 90 -k efodítjuk? Megodás: F m = 533, 3 [N, F m = 266, 6 [N. 36 Háom údbó össeépített sekeet függőeges údjá G súú test függ. udk egfom gbó (E) késütek, csk keestmetseteik küöböek. (Mt.II. 4.14 pjá) d G = 150 [kn, d = 40 [mm, 2 = b, 1 = 2 = 3 [m, 3 = 2 [m, α = 30, E = 200 [G, σ F = 240 [M, = 2. α b 1 C 3 α 2 () Mekkoák eges udkb ébedő údeők? (b) Eeőie 1 jeű úd bejeöt KM-ét! (c) Htáo meg 2 és 3 jeű udk sükséges KM-ét, mjd méetee 2-es jeű udt két db L sevée, és 3-s jeű udt tégp KM-e! G (d) Sámíts ki eges udkb fehmoódó beső eegi étékét! Megodás: N 1 = N 2 = N 3 = 150 [kn, megfee, 2s = 3s = 1250 [mm 2, U 1 = 134, 28 [J, U 2 = 133, 9 [J, U 3 = 90 [J. 37 Ismeetes pimtikus ttó teheése, KM kj, gák σ je foáshtá és eőít bitosági téeő. (Mt.II. 4.65 pjá) 1 2 f b S C F = 9 [kn, f = 2 [ kn m F, σ je = 330 [M, = 2, E = 200 [G, 1 = 4 [m, 2 = 2 [m, b = 2. () Méeteük ttót fesütségcsúcs ( =?)! (b) Tegük fe, hog ttó KM-e tömö kö. Ebbe esetbe mekko es sükséges d átméő? Megodás: = 57 [mm, d = 108 [mm. Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/16 38 dott ábá váot síkidom geometiáj: = 60 [mm, = 10 [mm. η S ξ (Mt.II. 4.30 pjá) () Htáouk meg síkidom S súpotják koodiátáit! (b) Sámojuk ki síkidom S súpot votkoó [ I S teheteeségi teo mátiák eemeit! (c) Keessük meg síkidom teheteteségi főiáit, és fő teheteteségi omtékit! [ 354, 62 204, 54 Megodás: S = 18, 63 [mm, S = 18, 63 [mm, [ I S = 10 204, 54 354, 62 3 [mm 4, I 1 = 559, 16 10 3 [mm 4, I 2 = 150, 08 10 3 [mm 4, 1 = 2 2 ( e e), 2 = 2 2 ( e + e). 39 Tégp KM-ű pimtikus úd K KM-éek igébevétee S súpotb edukát ( F, M S ) S eedő vektokettősse dott: F = 0, M S = (150 e + 120 e ) [kn, = 20 [mm, b = 40 [mm. (Mt.II. 5.10 pjá) b S D σ ' σ'' C Megodás: σ σ' M = 1, 41 [ mm, σ σ'' = 3, 2, ϕ = 72, 646, V: és C, σ m () Rjoj meg KM-e fesütségeosásokt és tegeek meté! (b) Htáo meg potb T fesütségi teo mátiát és semétesse t pot köeetébő kivett eemi kocká! (c) Íj fe éusvo egeetét, továbbá keesse meg éusvo és tege át beát ϕ söget! (d) dj meg vesées potokt és eekbe potokb sámíts ki σ m fesütség étékét! M = 4, 5 [ mm, [ T = = 73, 2 [M. 0 0 [M, 0 0 16, 8 40 L80.80.10 sevéű sögcébó késüt úd K KM-ét ismet M = M e omték hjítás tehei. (Mt.II. 5.12 pjá) u 1 u 2 η 3 w ξ M S 2 e Tábátbó: = 80 [mm, = 10 [mm, e = 23, 4 [mm, u 1 = 33, 1 [mm, u 2 = 28, 5 [mm, w = 56, 6 [mm, I = 139 10 4 [mm 4, I = 35, 9 10 4 [mm 4, M = 0, 35 [knm. () Htáo meg KM potjáb σ fesütséget! (b) Íj fe főtegeek-koodiát edseébe éusvo egeetét! (c) Sámíts ki σ m ed étékét! Megodás: M hξ = M hη = 247, 49 [Nm, σ ( ) = 22, 81 [M, = 3, 87, σ m = σ ( 3) = 29, 71 [M. Siádságt Fedtok
Siádságt Fedtok 17/17 41 ábá váot bodi végé befogott ttó cébó késüt. tege befogott végéé d 1 átméőjű fut v, meek mésége 1. teget ábá váot csvóomtékok teheik és fetéteeük, hog mide tegesks igébevétee tist csvás. (Fs. 119.o 4.6 pjá) 1 2 M c2 M d d c3 1 2 d d C 3 1 = 46 [mm, 1 = 0, 6 [m, d 2 = 60 [mm, D 2 = 0, 4 [m, d 3 = 30 [mm, 3 = 0, 4 [m, 3 M c2 = 2 400 [Nm, M c3 = 360 [Nm, G = 80 [G. 1 2 3 () Htáo meg D KM -ho képesti sögefoduását! Megodás: φ D = 0, 05832 [d. 42 Néget keestmetsetű pimtikus ttót koo végeke, ábá áthtó módo, egeő F eők teheek. (Mt.II. 4.66 pjá) S F C 1 2 1 F D F = 1, 2 [kn, σ je = 270 [M, = 3, = 20 [mm, E = 200 [G, 1 = 0, 1 [m, 2 = 0, 4 [m. () Eeőie ttót! (b) Sámíts ki úd súvoák göbüetét! (c) Htáo meg úd KM-ek sögefoduását! Megodás: megfee (σ m = 90 [M), ρ = 22, 2 [m, φ = 0, 027 [d. Siádságt Fedtok