5. szintű 1. feladatsor Feladat sorszáma: 5_1_1 Standard szint: 5. Gondolkodási és megismerési Halmazok módszerek. Számtan, algebra Számelmélet Képes két véges halmaz különbségét felírni, ábrázolni. Ismeri a prímszám és az összetett szám fogalmát. Adottak a következő halmazok: A = {egyjegyű pozitív egész számok} B = {0-nál kisebb prímszámok} C = {0-nál kisebb, hárommal osztható, nemnegatív számok} a) Adja meg az A, a B és a C halmazt elemei felsorolásával! 5 pont b) Ábrázolja az A, a B és a C halmazok elemeit közös Venn-diagrammal! 3 pont c) Elemeik felsorolásával adja meg a következő halmazokat! A \ B = (B C) \ A = 10 pont a) A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) B = {, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} C = {0, 3, 6, 9, 1, 15, 18} Ha a tanuló az 1-et prímszámnak tekinti, akkor 1 pontot kapjon. A 0 kihagyása esetén 1 pont jár. 3 pont c) A \ B = {1, 4, 6, 8, 9} (B C) \ A = { } 10 pont Megjegyzés: Ha a tanuló az a) részben kapott hibás eredménnyel a b), illetve a c) részben jól dolgozik, akkor a b) és c) rész megoldásáért járó megfelelő pontokat kapja meg.
Feladat sorszáma: 5_1_ Standard szint: 5. Számtan, algebra Műveletek Képes műveletek elvégzésére hatványokkal: azonos alapú hatványok szorzása, osztása. Adja meg a következő egyenletekben szereplő ismeretlen értékét úgy, hogy az egyenlet igaz legyen! a) b) b 5 3 7 7 7 7 c) d) 3 5 5 3 1 d 4 c 5 a 3 3 4 3 3 5 pont a) a = 4 b) b = 10 c) c = 8 d) d = 1 5 pont
Feladat sorszáma: 5_1_3 Standard szint: 5. Számtan, algebra Szöveges feladatok Tud keveréses, együttes munkavégzéses, út-idő-sebességes, életkoros feladatokat megoldani. Az interneten talált salátalé recept 5 evőkanál 10%-os ecet használatát írja elő. Azonban otthon csak 5%-os és 0%-os ecetet találunk. a) Ha összeöntünk evőkanál 5%-os és 3 evőkanál 0%-os ecetet, akkor milyen töménységű ecetet kapunk? b) Hány evőkanál 0%-os ecetet adjunk 3 evőkanál 5%-os ecethez, hogy 10%-os ecetet kapjunk? c) Hány evőkanállal vegyünk a kétféle ecetből külön-külön ahhoz, hogy pont 5 evőkanál 10%-os ecetet kapjunk? 3 pont 3 pont 3 pont 9 pont a) 0,05 0, 3 x 5 x = 0,14 100 14%-os a kapott ecet. b) 0,05 3 0, y 0,1 (3 y) y = 1,5 evőkanállal kell hozzáönteni (de így még nem lesz 5 evőkanál 10%-os ecet). c) 0,05 z 0, (5 z) 0,1 5 z = 1 3 3 1 3 evőkanál kell az 5%-os és 1 evőkanál 3 3 kell a 0%-os ecetből. 9 pont Az összeöntés során 5 evőkanál ecetben 0,7 evőkanál tiszta ecet lesz. 0,7 5 A b) feladat alapján valamennyi 5%-os ecethez fele annyi 0%-os ecetet kell önteni, hogy 10%- osat kapjunk. Így az 5 evőkanalat három egyenlő részre kell osztani.
Feladat sorszáma: 5_1_4 Standard szint: 5. Összefüggések, függvények, sorozatok Sorozatok Ismeri és alkalmazza a számtani sorozat fogalmát. Az első tag és a differencia ismeretében meg tudja határozni a sorozat n. tagját és a sorozat első n tagjának összegét. A Tulipán utca lakói nem számokkal jelölik a házszámot, hanem minden ház elé pontosan annyi tulipánt ültetnek, amennyi az adott ház száma. (Tehát a Tulipán utca 57. számú ház elé 57 tulipánt ültetnek.) A Tulipán utca egyik utcasarkán Stefi ezt az utcatáblát látja kitéve: Tulipán utca 13 79 Ott, ahol áll, a ház előtt 13 tulipánt számol meg. Stefi barátnője, Emese a saroktól számított tizenhetedik házban lakik ezen az oldalon. (A Tulipán utcában a legtöbb utcához hasonlóan az utca egyik oldalán a páros, másik oldalán a páratlan házszámok követik egymást. Tudjuk, hogy az utcában minden számhoz egy ház tartozik.) a) Hányas számú házban lakik Emese? 3 pont b) Hány ház van a Tulipán utcában ezen az oldalon ettől a saroktól a következő sarokig? 3 pont c) Hány tulipánt ültetnek összesen a házak elé a Tulipán utcának ezen az oldalán ettől a saroktól a következő sarokig? 8 pont a) Az utca ezen oldalán lévő házszámok egy olyan számtani sorozatot alkotnak, melynek első tagja 13 és differenciája. A sorozat 17. tagja: 13 16 = 45-ös számú házban lakik Emese. b) 13 ( n 1) 79 n = 34 ház van a Tulipán utca ezen oldalán a két sarok között. Ez a pont akkor is jár, ha a tanuló sorban felírja az egymást követő házszámokat.
Megjegyzés: Ha a tanuló válasza 33, akkor erre a részfeladatra ot kapjon. c) 13 79 34 = 1564 tulipánt ültetnek. 8 pont Megjegyzés: Ha a tanuló a b) részben kapott hibás eredménnyel a c) részben jól számol, akkor a c) rész megoldásáért járó megfelelő pontokat kapja meg.
Feladat sorszáma: 5_1_5 Standard szint: 5. Geometria Felszín, térfogat Négyszög alapú egyenes hasáb és forgáshenger térfogat- és felszínképleteinek ismeretében ki tudja számolni ilyen testek térfogatát, űrmértékét, felszínét. Manci eperlekvárt főz egy nagy, forgáshenger alakú lábosban. A főzés előtt megmérte a lábos (belső) méreteit: átmérője 5 cm, magassága 13 cm. Mikor a gyümölcs teljesen szétfőtt, a lábos magasságának pont a feléig ér a folyékony lekvár. Az elkészült lekvárt olyan üvegekbe tölti színültig, melyek űrtartalma 9 dl. A kérdés: Hány üveget tud teljesen megtölteni a lábosban lévő lekvárral? 7 pont 7 pont A henger sugara 1,5 cm. A lábos térfogata 1,5 π 13 6380 (cm 3 ). A lekvár térfogata ennek fele, vagyis kb. 3190 cm 3. 9 dl = 900 cm 3 Ha a tanuló a henger sugarát 5 cm-nek tekinti és ezzel az adattal jól számol tovább, akkor a további megfelelő pontok járnak. Ez a pont akkor is jár, ha a tanuló a henger magasságának az edény magasságának a felét tekinti. 3190 3,55 900 Vagyis 3 üveget tud teljesen megtölteni. 7 pont
5. szintű. feladatsor Feladat sorszáma: 5 1 Standard szint: 5. Valószínűség, statisztika Statisztikai adatok Ki tudja számítani adathalmazok középértékeit (átlag, módusz, medián). Borinak ebben az évben ezek voltak a jegyei matekból: 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5. Soma idei osztályzatai matekból: 5, 4, 3, 4, 5, 5, 4, 1, 5, 5. Marcinak tíz jegye volt, nyolc jeles mellé begyűjtött két elégtelent. Add meg mindhármuk idei matematikajegyeinek átlagát, móduszát és mediánját (külön-külön)! 9 pont 9 pont Bori jegyeinek átlaga kb. 3,; módusza 4, mediánja 3. Soma jegyeinek átlaga 4,1; módusza 5, mediánja 4,5. Marci jegyeinek átlaga 4,; módusza 5, mediánja 5. 1-1- 1-9 pont
Feladat sorszáma: 5 Standard szint: 5. Összefüggések, Koordináta-rendszer, grafikonok függvények, sorozatok Tud egyismeretlenes elsőfokú egyenleteket grafikusan megoldani. Oldd meg grafikusan az alábbi egyenleteket! a) 1 x x 1 5 pont b) 4 x x 1 5 pont 10 pont a) Az függvény grafikonjának ábrázolása koordinátarendszerben. x x 1 Az x x 1 függvény grafikonjának ábrázolása ugyanabban a koordinátarendszerben. A két grafikon metszéspontjának első koordinátája az egyenlet megoldása: x = 6. b) Az x 4 x függvény grafikonjának ábrázolása koordinátarendszerben. Az x x 1 függvény grafikonjának ábrázolása ugyanabban a koordinátarendszerben. A két grafikon metszéspontjának első koordinátája az egyenlet megoldása: x = 1. 10 pont
Feladat sorszáma: 5 3 Standard szint: 5. Számtan, algebra Szöveges feladatok Tud keveréses, együttes munkavégzéses, út-idő-sebességes, életkoros feladatokat megoldani. Egy sportegyesület 016. évi, sífelszerelésre fordítható pénzkeretéből vagy 15 pár sílécet, vagy 30 pár sícipőt tudnak vásárolni. a) Hány síelőnek tudnak ebből az összegből egy-egy pár sílécet és sícipőt is 4 pont vásárolni? b) Két síelőnek van új léce, nekik csak cipőből kell újat venni. Rajtuk kívül 5 pont még hány síelőnek tudnak sílécet és sícipőt is vásárolni? 9 pont b) a) A rendelkezésre álló összeg 15 1 -e egy pár síléc és 1 30 -a egy pár sícipő ára. Így egy pár síléc és egy pár sícipő az összeg 1 1 részébe kerül összesen. 15 30 1 15 1 3 1 30 30 10 Vagyis az adott összegből 10 síelőnek tudnak sílécet és sícipőt tudnak vásárolni. 1 A két cipőre a teljes összeg -öd részét kell költeni. 30 15 14 A teljes összeg -öd részéből kell teljes felszereléseket vásárolni. 15 14 1 140 1 : 9 15 10 15 3 Vagyis a két cipőn kívül még 9 síelőnek tudnak lécet és cipőt is vásárolni. (A maradék összegből még egy cipő vásárolható.) 9 pont Egy pár síléc kétszer annyiba kerül, mint egy pár sícipő. Egy pár síléc és egy pár sícipő együtt háromszor annyiba kerül, mint egy pár sícipő. Tehát harmadannyi teljes felszerelés vásárolható, mint sícipő.
Feladat sorszáma: 5 4 és 5 5 Standard szint: 5. Geometria Felszín, térfogat Négyszög alapú egyenes hasáb és forgáshenger térfogat- és felszínképleteinek ismeretében ki tudja számolni ilyen testek térfogatát, űrmértékét, felszínét. Egy kis asztalos cég építőkocka készleteket készít fából gyerekeknek. Egy készletbe kockák, téglatestek és forgáshengerek kerülnek. A kockák egy oldala 5 cm hosszú. A téglatestek egyik lapja egybevágó a kocka egy lapjával, a harmadik oldala 15 cm hosszú. A hengereket a téglatestekből esztergálják ki (egy téglatestből egy hengert), a lehető legkevesebb hulladék mellett. Egy készletben 10 kocka, 8 téglatest és 5 henger van. Az elkészült testeket vékony lakkréteggel vonják be. Az erre a célra használt lakk dobozának felirata szerint egy doboz kb. 4 m lefestésére elegendő. A kérdés: a) Hány kg egy készlet építőkocka tömege, ha a készítéshez használt faanyagból 1 dm 3 0,7 kg tömegű? 9 pont b) Hány készlet lefestésére elegendő egy doboz lakk? 10 pont 19 pont a) Egy kocka térfogata 5 3 15(cm ). Egy téglatest térfogata 5 15 375(cm ). A henger alapkörének sugara,5 cm, magassága 15 cm. Egy henger térfogata,5 π 15 94,5 (cm 3 ). Az egy készletben lévő testek össztérfogata 10 15 8 375 5 94,5 = = 57,5 (cm 3 ). 1 dm 3 = 1000 cm 3 5,75 dm 3 térfogatú faanyag tömege 5,75 0,7 4 kg egy készlet építőkocka tömege.
b) Egy kocka felszíne 6 5 150(cm ). Egy téglatest felszíne 5 4 5 15 = 350 (cm ). Egy henger felszíne,5 π,5 π 15 75 (cm ). Az egy készletben lévő testek összfelszíne 10 150 8 350 5 75 = = 5675 (cm ). 4 m = 40000 cm 40000 5675 7,05 Egy doboz lakk kb. 7 készlet lefestésére elegendő. 19 pont
5. szintű 3. feladatsor Feladat sorszáma: 5_3_1 Standard szint: 5. Összefüggések, függvények, sorozatok Számtan, algebra Sorozatok Számelmélet Az első tag és a differencia ismeretében meg tudja határozni a sorozat n. tagját és a sorozat első n tagjának öszszegét. Ismeri a prímszám és az összetett szám fogalmát. Egy sorozat első tagja 016, és ezt követően minden tagja -vel kisebb, mint az előző tag. a) Hány olyan tagja van ennek a sorozatnak, amelyik pozitív prímszám? b) Számítsd ki a sorozat 016. tagját! 3 pont c) Mennyi a sorozat első 016 tagjának összege? 3 pont 8 pont a) A sorozatnak minden 016-nál nem nagyobb páros szám a tagja, így a tagok között egyetlen prímszám van, a. b) A kérdéses sorozat számtani sorozat, melynek differenciája. A sorozat 016. tagja 8 015 ( ) = 014. c) 016 ( 014) A kérdéses összeg 016 = 016. 8 pont
Feladat sorszáma: 5_3_ Standard szint: 5. Geometria Kerület, terület Geometria Síkbeli alakzatok Ki tudja számítani a paralelogramma, a trapéz, a deltoid, a kör kerületét, területét. Ismeri és tudja alkalmazni a Pitagorasz-tételt. Az alábbi ábrán két, egymástól cm távolságra lévő párhuzamos egyenes, és az egyeneseken egymástól cm távolságra elhelyezkedő pontok láthatók. A G pont illeszkedik az AB szakasz felezőmerőlegesére. a) Milyen négyszög az AGIB négyszög? Válaszodat indokold! Számítsd ki ennek a négyszögnek a területét! b) Milyen négyszög az GKFB négyszög? Válaszodat indokold! Számítsd ki ennek a négyszögnek a kerületét! 4 pont 5 pont 9 pont a) Az AGIB négyszög trapéz, mivel (pontosan) egy párhuzamos oldalpárja van. 4 Az AGIB trapéz területe = 6 cm. b) Az GKFB négyszög paralelogramma, mert van egy olyan oldalpárja, amely párhuzamos és egyenlő hosszú. Az GKFB paralelogramma KF = GB oldalának hossza a Pitagorasz-tétel alapján 1 5 (cm). Így kerülete 16 5 ( 0,47) cm. 9 pont Más indoklás (pl. a szemközti oldalak egyenlősége vagy párhuzamossága) csak részletes magyarázattal fogadható el. Feladat sorszáma: 5_3_3 Standard szint: 5.
Számtan, algebra Számelmélet Számtan, algebra Számelmélet Ismeri a prímszám és az összetett szám fogalmát. El tudja végezni számok prímtényezős felbontását. Írd fel az alábbi számok prímtényezős felbontását! a) 130 3 pont b) 95 3 pont 6 pont a) 3 130 3 5 11 3 5 11 3 pont b) 95 3 3 5 5 13 3 5 13 3 pont 6 pont Egy hiba esetén, két hiba esetén jár. Egy hiba esetén, két hiba esetén jár.
Feladat sorszáma: 5_3_4 Standard szint: 5. Gondolkodási és megismerési módszerek Kombinatorika Három-öt elem esetében fel tudja sorolni az összes sorrendet több szempont alapján. Több elemből ki tud választani két-három elemet, adott szempontok szerint. A 016-os labdarugó Európa-bajnokságon a csoportmérkőzések F csoportjában négy csapat mérkőzik meg egymással: Ausztria, Izland, Magyarország és Portugália. Minden csapat minden csapattal egyszer játszik a csoportmérkőzések során. A csoportmérkőzések után minden csoportból az első két vagy három helyezett jut tovább. (Holtverseny nem lehetséges.) a) Hány meccsre kerül sor az F csoportban a csoportmérkőzések során? b) Hányféleképpen alakulhat az F csoport első három helyezettjének sorrendje? 3 pont c) Hányféleképpen alakulhat az F csoportból továbbjutó országok köre, ha a 5 pont helyezésüket nem vesszük figyelembe? 10 pont a) A meccsek: Ausztria-Izland, Ausztria-Magyarország, Ausztria-Portugália, Izland-Magyarország, Izland-Portugália, Magyarország- Portugália Összesen 6 mérkőzésre került sor. 4 3 b) A lehetséges sorrendek felsorolása. 4 3 Összesen 4 lehetséges sorrend van. c) Ha ketten jutnak tovább a csoportból, akkor a lehetséges párosítások: Ausztria-Izland, Ausztria-Magyarország, Ausztria-Portugália, Izland-Magyarország, Izland-Portugália, Magyarország-Portugália, összesen tehát 6 lehetőség. Ha hárman jutnak tovább, akkor a lehetséges ország-hármasok: Ausztria-Izland-Magyarország, Ausztria-Portugália-Izland, Magyarország-Izland-Portugália, Magyarország-Portugália-Ausztria, összesen 4 lehetőség. Összesen 6 + 4 = 10-féleképpen alakulhat a csoportból továbbjutó országok köre. 10 pont Az az ország, amelyik nem jut tovább: Ausztria, Portugália, Izland vagy Magyarország.
Feladat sorszáma: 5_3_5 Standard szint: 5. Geometria Síkbeli alakzatok Geometria Kerület, terület Ismeri a háromszögek nevezetes vonalait (magasságvonal, súlyvonal, belső szögfelező, oldalfelező merőleges, középvonal), pontjait, köreit. Ki tudja számítani a paralelogramma, a trapéz, a deltoid, a kör kerületét, területét. Egy távközlési cég adótorony építését tervezi az Alföldön. Olyan helyet keresnek, amely három várostól: Szentestől, Szolnoktól és Kecskeméttől egyenlő távolságra van. Az adótorony 40 km sugarú környezetében tökéletes a vétel. a) Szerkeszd meg a térképen az adótorony helyét! 3 pont b) Mekkora az a terület egy adótorony körül, ahol tökéletes a vétel? 3 pont c) Mérd meg a térképen található, a valóságban 0 km-nek megfelelő szakasz segítségével, hogy a tervezett adótoronyból sugárzott adás esetén tökéletese 3 pont a vétel a három városban? 9 pont a) Az a pont, amely három (nem egy egyenesre eső) ponttól egyenlő távolságra van a síkon, a három pont által meghatározott háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja. A szerkesztés elvégzése.
b) A vétel egy kör alakú területen tökéletes. Ennek területe 507 km. c) A megszerkesztett pont és (legalább) egy város távolságának összehasonlítása a megadott szakasz kétszeresével vagy a megszerkesztett pont körül a megadott szakasz hosszának kétszeresével, mint sugárral kör rajzolása. Válasz: igen, mindhárom városban tökéletes a vétel. 9 pont 40 π
5. szintű 4. feladatsor Feladat sorszáma: 5_4_1 Standard szint: 5. Geometria Kerület, terület Geometria Síkbeli alakzatok Ki tudja számítani a paralelogramma, a trapéz, a deltoid, a kör kerületét, területét. Ismeri és tudja alkalmazni a Pitagorasz-tételt. Egy téglalap szomszédos oldalai 5 és 1 cm hosszúak. Mekkora a téglalap köré írható kör területe? Válaszodat egész cm -re kerekítve add meg! 6 pont 6 pont A téglalap köré írható kör átmérőjének hossza a téglalap átlójának hosszával (d) egyenlő. A Pitagorasz-tétel alapján d 5 1. Ebből d = 13 (cm). A kör sugara tehát 6,5 cm. A kör területe T 6,5 π, ami a kért kerekítéssel 133 cm. 6 pont
Feladat sorszáma: 5_4_ Standard szint: 5. Geometria Síkbeli alakzatok Geometria Transzformációk Ismeri a háromszögek nevezetes vonalait (magasságvonal, súlyvonal, belső szögfelező, oldalfelező merőleges, középvonal), pontjait, köreit. Képes középpontos tükörkép szerkesztését elvégezni. Adott az alábbi ABC háromszög. a) Szerkeszd meg az ABC háromszög A csúcshoz tartozó magasságvonalának 5 pont és C csúcshoz tartozó belső szögfelezőjének O metszéspontját! b) Tükrözd az ABC háromszöget az O pontra! 4 pont 9 pont a) Az A csúcshoz tartozó magasságvonal megszerkesztése. A C csúcshoz tartozó belső szögfelező megszerkesztése. Az O pont jelölése. b) A háromszög csúcsainak tükrözése az O pontra. 1- A kapott pontok összekötése háromszöggé. 9 pont Megjegyzés: Ha a tanuló az a) részben kapott hibás pontra a b) részben jól tükröz, akkor a b) rész megoldásáért járó megfelelő pontokat kapja meg.
Feladat sorszáma: 5_4_3 Standard szint: 5. Egyenes és fordított Számtan, algebra arányosság Képes megoldani összetett arányossági feladatokat. Egy üzemben 5 dolgozó 3 nap alatt 45 műanyag kismotort készít el. (Feltételezzük, hogy minden dolgozó ugyanolyan gyorsan dolgozik.) a) Hány kismotort készít el 7 dolgozó 8 nap alatt? 4 pont b) Hány dolgozó kell ahhoz, hogy 5 nap alatt 90 kismotor elkészüljön? 3 pont 7 pont a) 1 dolgozó 3 nap alatt 9, 1 dolgozó 1 nap alatt 3 kismotort készít el. 7 dolgozó 8 nap alatt 7 8 3 = 168 kismotort készít el. b) 90 kismotor elkészüléséhez 30 munkanap kell, így 5 nap alatt 6 munkás tudja elkészíteni. 7 pont
Feladat sorszáma: 5_4_4 Standard szint: 5. Számtan, algebra Szöveges feladatok Tud keveréses, együttes munkavégzéses, út-idő-sebességes, életkoros feladatokat megoldani. Egy családban két gyerek van, a gyerekek életkorának szorzata idén pont egyenlő az apa életkorával. Két évvel ezelőtt a gyerekek életkorának szorzata az apa életkoránál 0-szal kevesebb volt. (Az életkort egész számként adjuk meg.) Azt is tudjuk, hogy mindkét gyerek elmúlt 4 éves. Hány évesek a gyerekek idén? 9 pont 9 pont Az egyik gyerek életkorát jelölje a, a másikét b (a, b > 4, egész számok). A feladat szövege alapján az apa életkora idén ab. A két évvel ezelőtti helyzetre felírható egyenlet: ( a )( b ) ab 0 A zárójelet felbontva és az egyenletet rendezve kapjuk: a b 13. Miután mindkét gyerek elmúlt 4 éves, így a gyerekek vagy 5 és 8, vagy 6 és 7 évesek. Ellenőrzés. 9 pont
Feladat sorszáma: 5_4_5 Standard szint: 5. Valószínűség, statisztika Diagramok Képes oszlopdiagramot, vonaldiagramot, kördiagramot elemezni. A grafikon a magyarországi vendégéjszakák alakulását mutatja 015-ben havi bontásban. (Egy példa: 015-ben a Magyarországon töltött külföldi vendégéjszakák 10%-a szeptemberre esett.) A kérdés: a) Melyik hónapban volt a legalacsonyabb és melyik hónapban volt a legmagasabb az összes vendégéjszaka száma? b) Az egész éves összes vendégéjszakának hány százaléka esett 015-ben a 4 pont nyári hónapokra? c) Állapítsd meg a következő állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak! A) Márciusban körülbelül ugyanannyi vendégéjszakát töltöttek Magyarországon a külföldiek, mint novemberben. B) Augusztustól decemberig folyamatosan (hónapról hónapra) csökkent a belföldi vendégéjszakák száma. 8 pont a) Legalacsonyabb januárban és/vagy februárban, legmagasabb augusztusban. b) Júniusra 10%, júliusra 15%, augusztusra 16% esik, így a nyári hónapok részesedése kb. 41%. c) A) igaz B) hamis 3 pont 1-8 pont
5. szintű 5. feladatsor Feladat sorszáma: 5_5_1 Standard szint: 5. Szimbólumok, Számtan, algebra algebrai kifejezések Képes többtagú kifejezést szorozni többtagú kifejezéssel zárójel felbontás, előjelszabályok. Végezd el az alábbi algebrai kifejezések szorzását! Ha lehetséges, végezz összevonást! a) ( a )( a 3) b) ( b 3a)(3b a) c) ( c 5)(3 c) d) ( d e)( d e 1) 8 pont a) a a 3a 6 a 5a 6 b) 6b 9ab 4ab 6a 6b 5ab 6a c) 3c 15 c 5c c 8c 15 d) d de de e d e d de e d e 8 pont Megjegyzés: Minden feladat esetében jár a helyes szorzásért és az összevonásért. Ha a tanuló egy szorzásban hibát vét, de az összevonást helyesen végzi el, akkor arra a részfeladatra 1 pontot kapjon.
Feladat sorszáma: 5_5_ Standard szint: 5. Geometria Síkbeli alakzatok Geometria Transzformációk Ismeri a háromszögek nevezetes vonalait (magasságvonal, súlyvonal, belső szögfelező, oldalfelező merőleges, középvonal), pontjait, köreit. Meg tudja szerkeszteni alakzatok párhuzamosan eltolt képét. Ismeri a vektor fogalmát. Adott az alábbi ABC háromszög. a) Szerkeszd meg az ABC háromszög súlypontját (S)! 3 pont b) Toldd el az ABC háromszöget a BS vektorral! 5 pont 8 pont a) A háromszög két oldalfelező pontjának megszerkesztése. A háromszög két súlyvonalának a megszerkesztése. A háromszög súlypontjának jelölése. b) A BS vektor helyes értelmezése. Az A, a B és a C pontok eltolása. 3 pont A keletkező pontok összekötése. 8 pont
Feladat sorszáma: 5_5_3 Standard szint: 5. Összefüggések, Koordinátarendszer, függvények, sorozatok grafikonok Tud egyenlőtlenséggel meghatározott egy vagy két feltételnek megfelelő ponthalmazokat ábrázolni. Ábrázold az alábbi feltételeknek megfelelő pontok halmazát a koordinátarendszerben! a) A = {Azok a pontok, amelyek első koordinátája legalább.} b) B = {Azok a pontok, amelyek mindkét koordinátája legfeljebb 3.} 3 pont c) C = A \ B 7 pont a) Az x = egyenes berajzolása a koordinátarendszerbe. A megfelelő félsík jelölése. b) Az x = 3 és az y = 3 egyenes berajzolása a koordinátarendszerbe. A megfelelő negyedsík jelölése. c) A fenti két halmaz különbségének ábrázolása. 7 pont Megjegyzés: Ha a tanuló az a) vagy b) részben kapott hibás eredménnyel a c) részben jól dolgozik, akkor a c) rész megoldásáért járó megfelelő pontokat kapja meg (ha a feladat lényegében nem változik meg).
Feladat sorszáma: 5_5_4 Standard szint: 5. Számtan, algebra Százalékszámítás Meg tud oldani áremelkedéssel, árengedménnyel kapcsolatos feladatokat. Egy nadrág ára márciusban 4500 Ft. Áprilisban megemelik az árát 0%-kal, majd májusban (az áprilisi árat) csökkentik 5%-kal. a) Mennyi a nadrág ára áprilisban és mennyi májusban? 4 pont b) A két árváltoztatást hány százalékos egyszeri árcsökkentéssel lehet helyettesíteni? 4 pont 8 pont a) Áprilisban 4500 1, = 5400 Ft-ba, májusban 5400 0, 75 = 4050 Ft-ba kerül a nadrág. b) 0,9 4500 1, 0,75 0, 9 Vagyis a két árváltoztatást egy egyszeri 10%- os csökkentéssel lehet helyettesíteni. 8 pont
Feladat sorszáma: 5_5_5 Standard szint: 5. Számtan, algebra Szöveges feladatok Tud keveréses, együttes munkavégzéses, út-idő-sebességes, életkoros feladatokat megoldani. Manci a Balaton déli partján, Balatonszemesen nyaral, unokatestvére Tádé a szemközti parton, Zánkán. Mindketten szeretnek vitorlázni. Megbeszélik, hogy elindulnak egymás felé egyenesen a vízen hajóval (a megfelelő szélirány miatt ezt mindketten megtehetik), és a tó közepén valahol találkoznak. Az egyenletesen fújó szél Tádé számára kedvezőbb, ő óránként átlagosan 1 km-rel többet tud megtenni, mint Manci. A két kikötő között a távolság 8 kilométer. Reggel 8-kor indulnak és 9 óra 15 perckor találkoznak. a) Mekkora átlagos sebességgel haladt Manci? 6 pont b) Hány kilométert tett meg Tádé a találkozásig? 3 pont 9 pont a) Manci sebességét (km/h-ban) jelölje x, ekkor Tádé sebessége x + 1. 1,5 óra alatt Manci 1,5x, Tádé 1,5 (x + 1) kilométert tesz meg. A feladat szövege alapján felírható egyenlet: 1,5x 1,5( x 1) 8. Ebből x =,7, vagyis Manci átlagos sebessége,7 km/h volt. b) Tádé sebessége 3,7 km/h volt, Manci 1,5,7 = így 1,5 óra alatt 1,5 3,7 = = 3,375 kilométert tett meg. = 4,65 kilométert tett meg a találkozásig. 9 pont Megjegyzés: Ha a tanuló az a) részben kapott hibás eredménnyel a b) részben jól dolgozik, akkor a b) rész megoldásáért járó megfelelő pontokat kapja meg.