3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára jutni. A cél iránya a folyó partjával 38 0 -os szöget alkot víz mentén. Hogy a víz sodra ellenére is egyenesen a célhoz jussunk, a cél irányától egy bizonyos szöggel eltérő irányban kell eveznünk. Mekkora az a szög, ha a csónak sebessége állóvízben 3 m ; a víz sodráé sec m?,8 sec 3..3. Egy általános háromszög oldalai: x +x+; x+; x -. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 0 0 -os! 3..4. Bizonyítsuk be: sin 75 0 0 sin5 =. 3..5. Bizonyítsuk be: tg 45 0 cos x α =. + sin x 3..6. Egy háromszög két oldala 0 cm és 5 cm, az általuk közbezárt szög kétszerese a rövidebbik oldallal szemben fekvő szögnek. Mekkorák a háromszög szögei? 3..7. Egy háromszög oldalai számtani sorozatot alkotnak, amelynek különbsége. A legkisebb szöge fele a legnagyobbnak. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 3..8. Irjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelyet cosx elégít ki, ha x a 4cos + cos x = 0 egyenlet gyöke! IV. NAP Geometria - Koordinátageometria Koordinátarendszer - pontok, alakzatok jellemzése (sík, tér)
36. A koordináta-rendszer origójából egy négyszög csúcsaihoz vezető vektorok rendre a(; 3), b(3, 8), c(8; 6), d(6; ). Mutassa meg, hogy a négyszög négyzet, és számítsa ki az oldalhosszát! 354. Egy rombusz hosszabbik átlója kétszerese a rövidebbik átlónak. A rövidebbik átló végpontjainak koordinátái (-3; 7) és (5; ). Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! 356. Döntse el, paralelogramma csúcsai-e a következő pontok! A(-; 0), B(3; -4), C(5, ), D(;-7). 357. Döntse el, egy egyenesen van-e a következő három pont! A(-; 3), B(-4; 7), C(, 9), Szakaszt adott arányban osztó pont koordinátái. Háromszög súlypontjának koordinátái. 353. Egy háromszög oldalfelező pontjainak a koordinátái: (-; 3), (4; 6), (5, ). Határozza meg a háromszög csúcsainak a koordinátáit! 3. Irja fel az AB szakasz harmadoló pontjainak koordinátáit, ha a végpontok: A(-7; 8), és B(-; )! 346. Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái: A(-5; -), és B(3; ). Súlypontja, 4 3; S. Irja fel a C csúcs koordinátáit!
Két pont távolsága. Javasolt feladat: 390. Mekkorák a háromszög szögei, ha a csúcsok koordinátái: (; ), (4; -3); (5; 0)? I. Síkbeli problémák tárgyalása: a. Egyenes Egyenes helyzetét jellemző adatok: - irányvektor, - normálvektor - irányszög - iránytangens 30. Adja meg az egyenes egy irányvektorát, ha meredeksége a. 0,6 b. 0.3.. a. Adjuk meg a P (3; 5) és a P (3; -4) ponton áthaladó egyenes irányvektorát, normál vektorát, iránytangensét, irányszögét! b. Az e egyenes a P 0 (-; ) pontjával és a v ( 3; 4) irányvektorával adott. Illeszkedik-e az A ( 4; 8) pont az e egyenesre? (A feladatot az egyenes egyenletének felírása nélkül oldjuk meg!) a. Az egyenes egy irányvektora P P Most v ( 0; 9), de irányvektora a (0; -); (0; ) vektor is! v =. 3
Mivel az egyenes normálvektora az irányvektorának 90 0 -os elforgatottja, így n ( 9;0), de n lehet ( ;0) és a ( ;0 ) vektor is. Az egyenes iránytangense v m =, ha v 0 v Most v =0, így ezen egyenesnek nincsen iránytangense! A v ( 0; ) koordinátáiból látszik, hogy az egyenes párhuzamos az y tengellyel, így irányszöge 90 0. b. Az A pont akkor és csak akkor illeszkedik az e egyenesre, ha P 0 A párhuzamos v irányvektorral. P 0 A akkor párhuzamos v ral, ha létezik olyan c valós szám, hogy Most P A = a p 6i 9 j 0 0 v=3i-4 P 0 A = cv. Létezik-e olyan c valós szám, melyre fennáll 6i 9 j = c( 3i 4 j)? Ha létezne, akkor 3c=6 és 4c=9 lenne, ilyen c valós szám nem létezik, ezért az A pont nem illeszkedik az egyenesre..3.. Adjuk meg az A(-; 3) és a B(5; 7) pontokon átmenő egyenesre merőleges e egyenes irányvektorát, normálvektorát, iránytangensét! Az AB ( 6;4) vektor merőleges az e egyenesre, így az e egyenes egy normálvektora n(6; 4), de normálvektor a (3; ) vektor is. e egyenes egy v irányvektora n 90 0 -os elforgatottja, azaz v (- 4; 6), de irányvektor a (;-3) vektor is. e egyenes iránytangense: v 6 3 m = = =. v 4 Egyenes egyenletei: - vektoregyenlet - egyenletrendszer - irányvektor ismeretében felírt egyenlet - normálvektor ismeretében felírt egyenlet - iránytényezős egyenlet 4
30. Irja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek normálvektora n(-4; 6) és átmegy a P(9; 7) ponton! 3 5 5 ; 33. Irja fel az A ; és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! 36. Irja fel a (4; -) ponton átmenő, x tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! 37. Irja fel a (; 3) ponton átmenő, y tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! 38. Irja fel a (6; -3) ponton átmenő, és a P(-; 4), Q(; 5) pontokat összekötő egyenesre merőleges egyenes egyenletét! 39. Irja fel a (6; -3) ponton átmenő, és a P(-; 4), Q(; 5) pontokat összekötő egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 3. Irja fel azoknak az egyeneseknek az egyenletét, amelyek átmennek a (; -3) ponton, és irányszögük: a. 30 0 b. 45 0 c. 90 0 d. 0 0! Az egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet kapcsolata. Két egyenes (két görbe) közös pontja. 34. Számítsa ki az y = x + 3 és 4 x y + 9 = 0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit! 36. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-; -), B(4; -3) C(4; 5). Számítsa ki a B csúcsból induló magasságvonal és az AC oldal metszéspontjának koordinátáit! 5
37. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(3; -), B(; 0) C(-4; -3). Lehet-e a x-7y=4 egyenletű egyenes a háromszög egyik oldalegyenese? 35. Egy szabályos háromszög két csúcsa ( 5;3 3) A, B(; 0). Határozza meg a háromszög harmadik csúcspontjának koordinátáit! 353. Egy derékszögű háromszög két csúcspontjának koordinátái: (-; ) és (7; -). Az egyik befogó egyenlete x-y=-3. Számítsa ki a harmadik csúcspont koordinátáit!.9.. A k mely értékére lesz egymással párhuzamos a következő két egyenes? x+ky=5 és kx+4y=7.9.. Két egymással párhuzamos egyenes egyenlete: 3x+4y=-4 és 3x+4y=. Számítsa ki a két egyenes távolságát!.9.3. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(5; ), B(8; 6), C(-3; 8) Számítsa ki annak a pontnak a koordinátáit, amelyben az A csúcsból induló szögfelező metszi a szemközti oldalt!.9.4. Adott két pont: A(4; 6), B(6; -). Keresse meg az ordinátatengelyen a P pontot úgy, hogy az APB törtvonal hossza a lehető legrövidebb legyen!.9.5. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: (4; 0), (-3; -) és (-5; 6). Irja fel az oldalfelező merőlegesek egyenletét, és határozza meg a merőlegesek közös pontját!.9.6. Egy derékszögű háromszög egyik befogójának egyenlete: y=-x+5 és az ezzel szemközti csúcspont ordinátája 7. Az átfogó egyenlete 3x-y=5. Határozza meg az átfogóhoz tartozó magasságvonal egyenletét! 6
b. Kör (def.) A kör egyenlete.... Irjuk fel a kör egyenletét, ha egyik átmérőjének végpontjai: A(3; -4), B(7; 9)! A kör egyenletét akkor tudjuk felírni, ha ismerjük a középpontját C(u; v) t és sugarát r-et: (x-u) +(y-v) =r A kör középpontja az AB átmérő C felezőpontja: 5 r ; A kör sugara: = AC = ( 5 3) + + 4 = 46, 5 5 ; ; A kör egyenlete: ( 5) + ( y,5) = 46, x.... Irjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy az A(; -) és a B(4; 5) ponton, és középpontja rajta van az x-3y =- egyenesen! Az AB szakasz a kör egy húrja, ezért a keresett kör C középpontja rajta van az AB szakasz felezőmerőlegesén. C pont az AB felezőmerőlegesének az adott egyenesnek a metszéspontja. F(3; ) pont az AB szakasz felezőpontja. AB ( ;6) vektor az AB szakasz felezőmerőlegesének normálvektora. A felezőmerőleges egyenlete: x + 6y = 3 + 6 ; azaz x+3y=9. A C középpontot, az x+3y=9 x-3y=- 7 = ; y = 6 7 C = ; 6 x egyenletrendszer megoldása adja: 7
r = AC = 7 + 6 = 8 8 A keresett kör egyenlete: 7 8 x + y =. 6 8 A kör és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet kapcsolata. Javasolt feladat:..3. Lehet-e kör egyenlete az a. x +y -x-8=0 b. 3x +3y +5xy+=0 egyenlet? Ha igen, adja meg a kör adatait! a. Nem tartalmaz xy-os tagot, az x és y -es tagok együtthatója egyenlő, ezért nem zárható ki, hogy kör egyenlete. Alakítsuk teljes négyzetté: ( x ) + y = 9 ; tehát kör egyenlete. C(; 0), r=3. b. Nem kör egyenlete, mert tartalmaz xy-os tagot. Kör és egyenes kölcsönös helyzete.... Számítsuk ki annak a húrnak a hosszát, amelyet az x +y -4x-6y-=0 egyenletű kör metsz ki az y=x egyenesből! Az x +y -4x-6y-=0 egyenletű kör (x-) +(y-3) =5 alakra hozható, ahonnan C(; 3); r=5. Az egyenes és a kör egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása adja a keresett húr két végpontjának koordinátáit. 8
Ezekkel: = 6; x x y y = ; y=x + y 4x 6y = 0 + x 4x 6y = 0 A metszéspontok: P (6, 6) és P (-; -) A húr hossza: P = 7 + 7 = 7 P. x 5x 6 = 0 x = 6; x =... Irjuk fel az ( x + ) + ( y ) = 5 egyenletű kör x= abszcisszájú I. negyedbeli pontjához tartozó érintő egyenletét! A kör x= abszcisszához tartozó pontjainak ordinátái: ( + ) + ( y ) = 5 amelyből: y =5 y =-3 Az I. negyedben a P (; 5) pont van. A kör középpontja: C(-; ). A P ponthoz tartozó érintő egy normálvektora: n = CP( 3;4) A P pontbeli érintő egyenlete: 3x + 4y = 3 + 4 5 azaz 3x+4y=3. 3358. Számítsa ki az ( x + 6) + ( y 5) = 00 egyenletű kör x=0 abszcisszájú pontjaiba húzható érintők metszéspontjának koordinátáit! 3375. Az x+y=c egyenletű egyenes érinti az x +y =4 egyenletű kört. Mekkora területű háromszöget zár be az egyenes a koordinátatengelyekkel? 338. Húzzon az ( x 3) + ( y + ) = 4 egyenletű körhöz érintőket a P(;-3) pontból! Mi lesz az érintési pontokon átmenő egyenes egyenlete? Milyen távolságra van az egyenes a kör középpontjától? 339. Egy kör áthalad a (-4; ) koordinátájú ponton és az abszcisszatengely a (; 0) koordinátájú pontban érinti. Határozza meg a kör 8 abszcisszájú pontjaiba húzható érintői metszéspontjának koordinátáit! 9
3346. Egy szakasz végpontjainak koordinátái A(-3; -); B(8; ). Keressen az ordinátatengelyen olyan pontokat, amelyekből a szakasz derékszögben látszik! Két kör kölcsönöz helyzete közös érintők fajtái, száma. 3350. Irja fel annak a körnek az egyenletét, amely az (x-) +(y+0) =00 egyenletű kört kívülről, az (x+4) +(y-) =00 egyenletű kört belülről érinti, valamint érinti az ordinátatengelyt! 335. Határozza meg annak a körnek az egyenletét, amely koncentrikus a 4x +4y -8x+44y-86=0 egyenletű körrel és sugara fele akkora! 3355. Határozza meg annak a körnek az egyenletét, amely az x +y =5 egyenletű kört belülről érinti a (4; 3) pontban, és érinti az abszcisszatengelyt! c. Parabola (Def.) Javasolt feladat: A parabola fontosabb tulajdonságai, jellemzői (tengely, fókuszpont, paraméter, vezéregyenes, csúcspont) Koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolák egyenlete..3.. a. Irja fel annak a parabolának az egyenletét, amelynek tengelye az y tengely, tengelypontja az origó és fókusza a (0; 3) pont! Az adott helyzetű parabola fókusza az y = x. p tengelyponti egyenlete: 0; p F pont, y = x. Most F(0; 3); amiből p=6, így a parabola egyenlete: b. Az a. pontban szereplő parabolát x tengelyre tükrözve az x p y = egyenletű parabolához jutunk. 0
c. Az a. pontban szereplő parabolát az y=x egyenesre tükrözve a kapott parabola tengelye az x tengely lesz. A tükrözésnél a két tengely és az x; y koordináta felcserélődik. Ennek a parabolának y p az egyenlete tehát: x = ; rendezve: y =px. d. Irjuk fel annak a parabolának az egyenletét, amely átmegy a P (6; -4) ponton, tengelypontja az origó, tengelypontjában érintője az y tengely! A parabola meghatározása mutatja, hogy egyenlete: y =px alakú. A P (6; -4) pont kielégíti a parabola egyenletét, tehát: ( 4) = 6 p ; A parabola egyenlete: Fókuszpontja: 6 4 P = =. 3 3 8 y = x ; 3 P F ;0 = F ; 3;0 x = 3 Vezéregyenesének egyenlete: e. A c-ben szereplő parabolát y tengelyre tükrözve, a transzformáció miatt a kapott parabola egyenlete y =-px. f. Az a.; - e. pontokban tárgyalt parabolákat toljuk el a koordinátasíkon (u; v) vektorral! A tengelypontjuk ekkor T(u; v) lesz. Ha ezeket az új helyzetűeket a (-u; -v) vektorral toljuk el, visszajutunk az eredeti helyzetű parabolához. Ennél a visszatolásnál minden P(x; y) pontból P (x-u; y-v) pont lesz. Ennek a P -nek a koordinátáiban szereplő x, y az eltolt új helyzetű parabolák koordinátái.
A P kielégíti az eredeti helyzetű parabolák egyenletét, tehát az (u; v) vektorral eltolt parabolák egyenlete rendre: y p p v = ( x u) ; y v = ( x u) ( y v) = p( x u) ; ( y v) = p( x u). A parabola és a másodfokú függvény. Javasolt feladat:.4.. Határozzuk meg az x + 8x + y 0 = 0 egyenletű parabola paraméterét, fókuszpontjának koordinátáit, vezéregyenesének egyenletét! Alakítsuk teljes négyzetté, majd rendezzük az egyenletet, ekkor y = x + ( + 4) 8 p Ezt összehasonlítva az y = ( x u) + v u=-4; v=8; p=-. Tehát a parabola tengelypontja: T(-4; 8) pont. általános alakkal, Mivel p<0; így a parabola lefelé nyitott, a fókuszpont a tengelypont alatt van, 35 F 4; ; a vezéregyenes a tengelypont fölött, 37 y =. A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete. 3403. Irja fel az y =6x egyenletű parabola azon érintőjének egyenletét, amely átmegy az 5x-y=7 és a x+y=4 egyenletű egyenesek metszéspontján!
340. Melyik az a pontja az ordinátatengelynek, ahonnan az y = egyenletű parabolához húzott érintők a csúcsérintővel egyenlő oldalú háromszöget zárnak be? 349. Húzzon érintőket az y = egyenletű parabolához az x ordinátatengely és a vezéregyenes metszéspontjából! Mekkora szöget zárnak be ezek egymással? 340. Határozza meg, hogy az y=(x-3) - egyenletű parabola mely pontja 3 van legközelebb az y = x 6 egyenletű egyeneshez? Mekkora a minimális távolság? 344. Mekkora az y=x egyenletű parabola és az x +(y-) =4 egyenletű kör közös pontjai által meghatározott háromszög kerülete?.7.. Irja fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a P 0 (; 9) pontos, és mindkét koordinátatengelyt érinti!.7.. Adja meg az a és b paraméter értékét úgy, hogy az x +y +ax+by=0 egyenletű kör áthaladjon az A(4; 3) és a B(-; 3) ponton!.7.3. Egy rombusz egyik átlója a másik átlójának a kétszerese. A rövidebbik átló végpontjai: A(6; -4) és a C(-; 6). Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit?.7.4. Irja fel a P (7; -4) pontból az (x+) +(y-) =0 körhöz húzható érintők egyenletét!.7.5. Egy húrnégyszög három csúcspontjának koordinátái: A(6; ); B(-; 3); C(-; ). A negyedik csúcspont az ordinátatengely negatív felén van. Melyek ennek a koordinátái?.7.6. Határozza meg a következő egyenletű parabolák fókuszpontját és vezéregyenesét! a. x -6y=0 b. x +y=0 c. x +4x-4y+8=0 x 3
.7.7. Irja fel a parabola egyenletét, ha a a. fókusza a (-7; 0) pont és vezéregyenesének egyenlete: x=7; b. fókusza a (0; -4) pont és vezéregyenesének egyenlete: y=4! x 36.7.8. Határozza meg a P 0 (9; ) pontból az y = egyenletű parabolához húzható érintő egyenletét!.7.9. Az ABCD négyzet C csúcsa a y=x -5x+8,5 egyenletű parabola csúcsában, B és D szintén e parabolán van. Adjuk meg a négyzet csúcsainak koordinátáit! d. Ellipszis (def.) Az ellipszis fontosabb tulajdonságai, jellemzői (szimmetria, vezérsugarak, fókuszpontok, kis-nagy tengely) Ellipszis egyenlete. 343. Egy ellipszis nagytengelye 9, kistengelye 4 egység. Irja fel az egyenletét, ha az ellipszis tengelyei a koordinátatengelyekre esnek! x + y 4 9 3433. Hány közös pontja van az = az y 3 3 x = egyenletű egyenesnek? x + y 5 6 egyenletű ellipszisnek és 3435. Egy ellipszis egyenlete: =. Milyen hosszúságú vezérsugarak tartoznak azokhoz az ellipszispontokhoz, amelyeknek akkora az abszcisszájuk, mint a gyújtópontoknak? x + y 5 0 3440. Az = vezérsugarak merőlegesek egymásra? egyenletű ellipszis melyik pontjához tartozó 4
x 9 + y 4 3447. Irja fel az = húzható érintők egyenletét? 345. Határozza meg az = egyenletű ellipszishez a P(; 4) pontból x + y 6 érintőjének egyenletét, amelynek meredeksége: egyenletű ellipszis azon 3 m =! 4 e. Hiperbola (def.) A hiperbola fontosabb tulajdonságai, jellemzői (szimmetria, vezérsugarak, valós-képzetes tengely, fókuszpontok, aszimptoták) Hiperbola egyenlete. 3454. Egy hiperbola valós tengelye 8, képzetes tengelye 5 egység. Irja fel a hiperbola tengelyponti egyenletét? 3459. Mi az egyenlete: x + y 5 9 a. Annak a hiperbolának, amelynek csúcsai az = egyenletű ellipszis fókuszpontjaira, fókuszpontjai pedig az ellipszis nagytengelyének végpontjaiba esnek; x y 5 9 b. Annak az ellipszisnek, amelynek csúcspontjai = egyenletű hiperbola fókuszpontjaira, fókuszpontjai pedig a hiperbola valós tengelyének végpontjaiba esnek? x y 4 3460. Egy hiperbola egyenlete =. Határozza meg az y=x egyenletű egyenessel párhuzamos, illetve arra merőleges érintőinek az egyenletét! 346. Bizonyítsa be, hogy az y x = egyenletű hiperbolát két pontban metsző egyeneseknek a koordinátatengelyek és a hiperbolaágak közé eső szakaszai egyenlő hosszúságúak! 5
x y 44 5 3468. Az = vezérsugarak merőlegesek egymásra? egyenletű hiperbola mely pontjaihoz tartozó II. Térbeli problémák tárgyalása Pontok jellemzése... A két egységnyi élhosszúságú kockát úgy helyezzük el a koordináta rendszerben, hogy az origó a kocka egyik csúcsára illeszkedik, a tengelyek pozitív fele pedig egy-egy élt tartalmaz. Adja meg a kocka csúcsainak a koordinátáit!.5. Az ABCD paralelogramma csúcsai A(3; -; 5); B(0; ; 0); C(-5; ; 7). Számítsa ki a D csúcs koordinátáit!.6. Egy paralelepipedon egyik csúcsa az origó, az ebből kiinduló élek végpontjai az A(3; 6; -4); B(-4; 7; 0); C(9; ; -3) pontok. Számítsa ki a többi négy csúcs koordinátáit!.3. Az ABC háromszög két csúcspontja A(; -; ); B(6; -3; ), súlypontja: S(3; -; ). Határozza meg a C csúcspont koordinátáit! a. Egyenes Az egyenes vektoregyenlete, paraméteres egyenletrendszer, egyenletrendszer..85.a. Irja fel a P ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes egyenletrendszerét, ha: P(-; 3; 7); v(-4; ; 6).87.a. Egy egyenesre illeszkednek-e a következő pontok? A(-; 5; 3); B(; ; 4) C(3; -7; 7). 6
.88. Irja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik a P(-3; ; -) pontra és párhuzamos az x=3+t; y=8+t; z=-7t egyenessel!.89. Adja meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(-; ; 0) pontra és merőleges az x=-+3t; y=5+t; és az x=8-+t ; y=-t; y=3t egyenesekre!.9. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(0; 5; ) pontra és az x=-3t; y=-+t; z=t egyenest merőlegesen metszi!.94. Adja meg a p paraméter értékét úgy, hogy az alábbi két egyenes x + y z 3 4 messe egymást: = = ; b. Sík A sík egyenlete. x 3 y z 7 = =. p 4.06.a. Adott a sík n normálvektora és P pontja. Irja fel a sík egyenletét! n(-3; ; ).07. Irja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(; -; 3) pontra és párhuzamos a 3x-4y+5z-3=0 síkkal!.08. Irja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az alábbi ponthármasokra: A(; 3; ); B(-;;5); C(; -; 0)..09. Egy síkra illeszkedik-e a következő négy pont? A(; 3; 4); B(0;;-); C(-; ; -6) D(; 5; 4). Egyenes és sík kölcsönös helyzete..45. Mely pontokban metszi az x=4-t; y=3+3t; z=-t egyenes a koordinátasíkokat? 7
.46. Adja meg a P(-6; 6; -5); és Q(; -6; ); pontokat összekötő egyeneseknek a koordinátasíkokkal való metszéspontját!.47. Mely pontokban döfi az x=+t; y=3t; z=-+t egyenes a x+3y+z=0 síkot?.48. Határozza meg a P ( ;3; 3) ; P ( 3;; ) ; P ( 4;5; 6) pontokra illeszkedő sík és a döféspontjának a koordinátáit! 4 x y + 3 4z + 6 = = 3 4 3 3 egyenes.50. Határozza meg az origót P ( 8; ; 6) ponttal összekötő egyenesnek és a 3x-y+6z+4=0 síknak az M metszéspontját!.53. Mekkora térfogatú derékszögű tetraédert metsz ki a 3x-4y+6z-=0 sík a koordinátasíkokból?.55. Tükrözze a P ( ;3;3 ) pontot az x=3+4t; y=+5t; z=-+3t egyenesre! Határozza meg a tükörkép koordinátáit!.68. Számítsa ki az alábbi egyenesek hajlásszögét: a. x 6 = ( y + ) = z és x + 4 = y 6 = ( z + 5) b. x=-+3t; y=0; z=3-t és x=-+t; y=0; z=-3+t c. x=4+t; y=5t; z=3-t és x=7+t; y=3t; z=9+7t d. x=+3t; y=,5;z=--3t és x=t; y=-3+t; z=-5..69. Határozza meg a következő sík és egyenes hajlásszögét: a. x-y-z=; és x=--4t; y=3; z=-t; b. x-9y+4z=-7; és x=-3+4t; y=6; z=9t; c. x+y+z=3; és x=5-3t; y=4+6t; z=-; d. x+y-z=3; és x=5-t; -y=t; z=3-t;.70. Határozza meg a következő két-két sík hajlásszögét: a. 7x-3y+z-9=0; x+y-z+4=0; b. x-y-z-=0; x+y-z-5=0; c. x+y+z-3=0; 6x+y-5z-=0 d. x-y+z-8=0; x+z-6=0; D 8