Kíérlettervezé - bometra I. oglalozá előadó: Pro. Dr. Rajó Róbert Alapogalma Véletle jeleége: mde jeleéget az oo egy bzoyo redzere hoz létre. Ha az oo mdegyét gyelembe tudá ve a jeleég leolyáa azoból egyértelműe levezethető zámítható vola. Ez azoba gyaorlatlag lehetetle vagy élzerűtle ezért az eete túlyomó többégébe az gadozát véletlezerűe evezzü.
Alapogalma oaág é mta: A vzgálato élja a oaág méré tb. adato halmaza megmerée. vel az alapoaág telje örű vzgálatát em lehet vagy em gazdaágo elvégez ezért vzgálataat a az özeég egy ragadott rézére az ú. mtára orlátozzu. A mta adata alapjá a matemata tatzta egítégével öveteztetü az alapoaágra. vége oaág: elvleg mérhető az egéz oaág végtele oaág: elvleg em mérhető az egéz Alapogalma Valózíűég véletle változó: Azoat a meyégeet amelyee értée em álladó haem eetről eetre má é má lehet azoba meghatározható hogy meora bzoyoággal valózíűéggel ee megadott határo özé valózíűég véletle változóa evezzü. Dzrét valózíűég változó: egy vége vagy megzámlálhatóa végtele elemű ézletből vehet el értéeet olytoo valózíűég változó: a való zámo olytoo oaágáa értéet vehet el
Alapogalma Dzrét valózíűég változó űrűég- é elozláüggvéye p P ; p 0 mde helye; p P p olytoo valózíűég változó űrűégé elozláüggvéye b P a < b d; P 0 0; 0 < < ; P a d d Alapogalma Paramétere A oaágra voatozó valózíűég- ll. elozláüggvéy otaa ll. eze zármazéa mometumo tb.. tatztá A mta jellemző a paramétere aalogoja. A paramétere a oaág tulajdoága a jellemző tatztá a mtáé. A gyaorlatba a tatztáal beüljü özelítjü a paramétereet.
A legotoabb paramétere é tatztá Várható érté paraméter Dzrét valózíűég változó eeté: p olytoo valózíűég változó eeté: zámta átlag tatzta d A legotoabb paramétere é tatztá aa paraméter Dzrét valózíűég változó eeté: p [ ] olytoo valózíűég változó eeté: Tapaztalat zóráégyzet tatzta orrgált: [ ] D d 4
5 A legotoabb paramétere é tatztá A várható érté é a varaa tulajdoága 0 ; K K változóra : pároét üggetle valózíűég ; ; K K [ ] A legotoabb paramétere é tatztá Várható értéél é varaáál általáoabb paramétere Helyparaméter T a valózíűég változó v.v. oetrálódáát jellemz az elozláüggvéy özpot helyét határozza meg gyara megegyez a várható értéel álaparaméter a v.v. dzperzójáa zétzórtágáa mértéét adja meg az elozláüggvéy álázottágaét deálva azt gyara megegyez a varaával tadardzálá T0 : T T T d T d ; ;
6 A legotoabb paramétere é tatztá ometumo d d d d d etrál abzolút mometum : d abzolút mometum : mometum : d etrál d mometum : A legotoabb paramétere é tatztá ometumo A várható érté az elő mometum lez: A varaa a máod etrál mometum lez a máod mometum é az elő mometum égyzetée ülöbége: erdeég együttható: Lapultág együttható: [ ] D D 4 4 D
A legotoabb paramétere é tatztá edá az a zám amely alá é ölé azoo valózíűéggel e a véletle változó: med 05 Kvatl p-edredű vatl az a zám amely alá p ölé -p valózíűéggel e a véletle változó: vat p óduz a véletle változó legagyobb valózíűégű értée a űrűégüggvéy mamum helye a leggyarabba megvalóuló érté: mód argma Egy elozláa több móduza lehet. A legotoabb dzrét elozláo Bomál elozlá aor alalmazható ha a vzatevéel vett mta eleme étéle lehet é az egy p a má -p valózíűéggel ordulhat elő: p p p pl. a gyártmáy- vagy gyártáelleőrzéél p a oaágbel tételbel elejtaráy az elemű mtába talált elejte darabo záma a mtavétel vzatevéel törtéje. 7
A legotoabb dzrét elozláo Hpergeometru elozlá aor alalmazható ha a vzatevé élül vett mta eleme étéle lehet é az egy p a má -p valózíűéggel ordulhat elő: N p N p p N pl. a gyártmáy- vagy gyártáelleőrzéél p a oaágbel tételbel elejtaráy az elemű mtába talált elejte darabo záma N a oaág tétel elemee záma a mtavétel vzatevé élül törtéje. A legotoabb dzrét elozláo Geometra elozlá aor alalmazható ha a mta eleme étéle lehet az egy p a má -p valózíűéggel ordul elő é arra vagyu íváa hogy a p valózíűégű eeméy háyad íérletre övetez be előzör: p p p 8
9 A legotoabb dzrét elozláo Poo elozlá a rta eeméye elozlááa modellezéére hazálható. Közelítőleg Poo-elozláú pl. bzoyo árueből egy-egy apo eladott áru darabzáma a mrozóp látómezejée egy égyzetébe eő vörövérejte záma az egye évebe előorduló ztrájo háború ll. üzem baleete záma eté hbahelye záma egy autó vagy egy adott apo egy adott teleozám híváaa záma.! e p λ λ A legotoabb olytoo elozlá Normál Gau elozlá a termézetbe aor ordul elő ha o egymától üggetle egyeét hatáú téyező hatáa özeadód. 0 ep ep ep N u u u d N π π π
Cetrál határelozlá tétele A legegyzerűbb ala Legyee y y y y azoo elozláú teljee üggetle valózíűég változó é tegyü el hogy y é Dy >0 léteze. Legye továbbá z z z y é z. D z Jelölje a z * elozláüggvéyét eor lm N0 Cetrál határelozlá tétele Ljapuov ala Legyee y y y y teljee üggetle valózíűég változó é a övetező három mometumu létezze: y D y D >0 y - H. Legye K z D H y D H é K D z D z. Jelölje a z * elozláüggvéyét eor K H z z Valamt teljeüljö a lm K 0 Ljapuov - éle eltétel. lm N0 0
Cetrál határelozlá tétele Lévy-eller-H ala Legyee az y y y y azoo elozláú valózíűég változó teljee üggetlee é özö elozláu legye. Legye z y. Ha -re teljeül a h lm h [ h h ] h h d 0 eltétel aor az {A } é az { } orozato alalma megválaztáa eeté z A lm P N0 < Cetrál határelozlá tétele de hz a ormál elozlá uverzaltáába: a zuo azért mert azt hz hogy a matematuo bzoyítottá loga züégzerűégét a matematuo pedg azért mert úgy hz hogy a zuo laboratórum méréeel gazoltá azt. Gabrel Lppma 845-908 raa zu Her Poaréhoz 854-9 raa matematu elmélet llagáz tudomáylozóu tézett zaraztu megjegyzée. D'Ary Wetworth Thompo: O growth ad orm. The omplete reved edto. Dover Publato I. New Yor 99. Chapter III. The rate o growth o page [o the urve o error]: The urve a deed by Gau prep mathematorum - who tur wa buldg o Laplae - at oe empral ad theoretal; ad Lppma ad to have remared to Poaré: "Le epérmetateur 'maget que 'et u théorème de mathématque et le mathémate d'être u at epérmetal!"
A mta tatzta jellemző zámta özépérté tetzőlege elozláú amelye várható értée é zóráa létez oaágból vett üggetle elemű mta eeté: K A mta tatzta jellemző zámta özépérté A etrál határelozlá tétele legegyzerűbb alaja zert ha az elozláa várható értée é zóráa létez: Jelölje a z azaz a tadardzált átlag elozláüggvéyét eor y y y D y z é y y 0 lm N
A mta tatzta jellemző Tapaztalat zóráégyzet Normál Gau elozláú oaágból elemű mtát vezü. tadardzálju u -/ zert. A χ - elozláú valózíűég változót a övetezőéppe apju: χ u u A égyzetözeg zabadágo-zámá az u u u leár redzer zabadágo-zámát értjü. Jele eetbe. K u u A mta tatzta jellemző Tapaztalat zóráégyzet Korrgált tapaztalat zóráégyzet: A égyzetözeg χ -elozláú - zabadág oal 0. χ χ χ Ez a ejezé tehát χ -elozláú - zabadág oal.
4 A mta tatzta jellemző zámta özépérté Ha a mta elemzáma é/vagy bőége előzete adathalmazu a varaa beléére aor a zóráégyzetet a mtából ell beülü. Ám eor a zoáo tadardzáláal már em N0 elozláú véletle változót haem tudet-éle t-elozláú véletle változót apu: t t A mta tatzta jellemző Tapaztalat zóráégyzet Legye χ é χ ét egymától üggetle χ -elozláú valózíűég változó é zabadág oal. A övetező ejezé -elozláú:.. χ χ χ χ α α α α t é Ha.