Barnáné Lukács Erika Darabánt Emese Matematika 10. Szakiskolák részére School Kiadó Nyíregyháza, 2011
A könyvet az Oktatási Hivatal KHF/8078-21/2010. határozati számon 201. 08. 31-ig tankönyvvé nyilvánította Szerkesztô: Kuknyó János Szerzõk: Barnáné Lukács Erika Darabánt Emese Alkotó szerkesztô: Dr. Czeglédy István Ph.D. fôiskolai tanár Kiadói lektorok: Dr. Kovács András Ph.D. Dr. Minya Károly Ph.D. Hivatalból kirendelt OH-szakértôk: Karácsony Orsolya Kondor László Maus Pál Technikai szerkesztôk: PC-School Kft. Bandula Mária, Kuknyó Zoltán A képeket válogatták, az ábrákat készítették a szerzôk és a technikai szerkesztôk. ISBN 978-963-88198-7-1 Kiadó és forgalmazó: School Kiadó Bt., 4400 Nyíregyháza, Korányi F. u. 197. Telefon és fax: 42/431-288, 20/9761-97, e-mail: info@schoolkiado.hu weblap: www.schoolkiado.hu Felelõs kiadó: Kuknyó János Kiadói kód: SC-0029. Elsô kiadás School Kiadó Nyíregyháza, 2011 Szerzôk: Barnáné Lukács Erika, Darabánt Emese Terjedelem: 186 B/-ös oldal, 16,28 ív, súlya: 330 gr. A tankönyv a 17/2004. (V. 20.) OM-rendelet 3. sz. melléklete alapján készült. NAT 2007. Készült: a Color Pack Nyomdaipari Zrt. (ISO 9002) nyomdájában, 4400 Nyíregyháza, Westsik Vilmos u. 4., Telefon: 42/433-844, Felelõs vezetõ: Zsukk László
Tartalom A gondolkodás élménye 9 Matematikatörténeti érdekességek 9 Logikai feladatok 1 Véges és végtelen halmazok 18 Kombinatorika 29 Összefoglaló feladatok 34 Statisztika,valószínûség-számítás 36 Statisztikai jellemzôk 36 Grafikonok 40 Valószínûség-számítás 46 Összefoglaló feladatok 48 Hatványozás, normálalak 49 Egész kitevôjû hatványok 49 Legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó 3 Számrendszerek Számok normálalakja 8 Összefoglaló feladatok 61 A mindennapok matematikája 62 Hozzárendelések vizsgálata, grafikonok 62 Egyenes arányosság 6 Fordított arányosság 68 Sorozatok 74 Másodfokú függvények 76 Abszolútérték függvény 78 Szöveges feladatok 80 Százalék- és kamatszámítás 83 Összefoglaló feladatok 89 A kapcsolatok matematikája 91 Algebrai kifejezések 91 Nevezetes azonosságok 9 Elsôfokú egyenletek, egyenlôtlenségek 99 Szöveges egyenletek 107 Képletek átrendezése 122 Másodfokú egyenletek megoldása 124 Egyenletrendszerek 129 Összefoglaló feladatok 134
Összefüggések a derékszögû háromszögben 136 A Pitagorasz-tétel 136 Arány 141 Arányok a derékszögû háromszögben 142 A számológép 147 Szögfüggvények alkalmazása 10 Összefoglaló feladatok 13 Alakzatok a térben 1 Testek felszíne, térfogata 1 A kocka és a téglatest 16 A hasáb 161 A henger 164 A gúla 166 A kúp 171 A gömb 174 Összefoglaló feladatok 176 Tárgymutató 179 Kislexikon 181 Melléklet 183
Elôszó A Matematika 10. szakiskolás tanulók számára készült tankönycsalád részeként megjelent könyvünk az általános iskolai ismereteket rendszerezi, és a már eddig megtanult alapfogalmak gyakorlati alkalmazását segíti. Ezen túl néhány olyan témakört is feldolgoz, amely túlmutat az általános iskolai ismereteken, de a gyakorlati számításokban nélkülözhetetlen. A könyv a különbözô szakmákban használt matematikai ismereteknek, képességeknek a fejlesztését, elmélyítését kívánja segíteni, szolgálni. A témakörök feldolgozása a tankönyvcsalád részeként már megjelent Matematika 9. tankönyvben megszokott módon, mindig szemléletesen kidolgozott példákon keresztül történik, melynek során a feladat megoldásához szükséges elméleti fogalmak kerülnek tisztázásra, de sor kerül az esetleges hiányos ismeretek pótlására is. Ezt a célt szolgálják a könyvben külön jelzett emlékeztetôk, ismétlések, érdekességek. A kidolgozott mintapéldák, a megoldásokhoz nélkülözhetetlen elméleti ismertetések számbavétele után bôséggel találhatók feladatok. Ezek megoldásához a példák, feladatok tanórai feldolgozása nyújthat segítséget. Ugyancsak a megoldást segítik a színes ábrák és vázlatok is. Az elsajátítandó szakma sikeres mûveléséhez alapvetôen fontos a feladatok tartalmának pontos megértése. E képességek fejlesztésére a könyvben található matematikapéldák, -feladatok rendszerezett és csoportos megjelenítése is sok hasznos segítséget nyújthat. Bízunk abban, hogy ez a könyv hozzájárul ahhoz, hogy mindenki képessé váljon a szakmai számításokhoz szükséges ismeretek elsajátítására, és sikeresen zárja matematikai tanulmányait. Eredményes tanulást kívánunk! A szerzôk
Jakob Bernoulli svájci matematikus (164 170) A A matematika minden tudományt befolyásol, de a matematikát egyik sem. 6
Kedves tanulók! Hogyan használjuk a könyvet? A Matematika 10. szakiskolásoknak szóló könyv megírása során elsôdleges szempontunk az volt, hogy a 9.-es könyvünkben megszokott módon kidolgozott mintapéldákon keresztül mélyítsük el a tudást. Az emlékeztetôk rendszerezik a témakörhöz kapcsolódó ismereteket. Ezek újból történô megtanulása is mindenképpen fontos! A példafeladatot kék színû háttérrel emeltük ki. A példafeladat megoldása segít az esetleges hiányosságok pótlásában, a kimaradt ismeretek könnyebb elsajátításában. Az érdekes és kiegészítô információkat apró betûvel, két hasábba szedve olvashatjuk. A lényeges matematikai fogalmakat, összefüggéseket vastag színes betûvel emeltük ki. Szöveges egyenletek Emlékeztetô Két szám hányadosát, a két szám arányának nevezzük. Két szám aránya a megmutatja, hogy az egyik szám hányszorosa a másiknak. Jelölése a : b = b (b 0). Ez azt mutatja meg, hogy az a hányszorosa a b-nek. 1 A négyzet alapú gúla 1. példa Felszíne: Ha 1200 Ft-on Petra és öccse Dávid 3 : 2 arányban osztozik, akkor pénz A =mennyi a2 + 4 a mojut a két gyereknek külön-külön? Térfogata: Megoldás 2 $m Ha V 3 :=2 aarányban osztoznak, akkor Petrának a pénz 3 -része jut, azaz 3 3 1200 = 720 (Ft). Dávidnak a pénz 2 része jut, azaz 2 1200 = 480 (Ft). a = a gúla alapéle m = a gúla testmagassága Ellenôrzés: mo = az oldallapok magassága 720 3, eredményünk helyes. 720 Ft + 480 Ft = 1200 Ft. 480 = 2 2 Minden anyagrész után zöld háttéren feladatok találhatók, amelyek megoldásához a mintapéldák és a tanórai feldolgozás nyújthat segítséget. Az igazán nehéz részeket így jelöltük: 2. példa Laci a mobiltelefonjára csengôhangokat töltött. Két nap alatt öszszesen 39 olyan csengôhangot talált, amelyek tetszettek neki. A második nap kétszer annyit talált, mint az elsô napon. Hány Karl Drbal cseh kutató is összeállított egy Elôdeink is észrevették, hogy a piramis csengôhangot talált az elsô nap? Érdekesség Hihetetlen, de igaz! A piramisok rejtélye piramist, amelynek belsejébe egy borotbelsejében kiszárad a test, a bomlási folyavapengét helyezett el s az pár nap leformatok lelassulnak. 1930 körül Antonio Megoldás Bovis, francia kutató a fáraó kamrájában gása után kiélesedett. elpusztult tökéletesen konzerválóadatokállatok felvétele: 1973-ban Lyall Watson is megírta a Feladatok dott maradványaira bukkant. Bovis készítermészetfölötti címû könyvében, hogy 1. nap amutatja. 2. nap Összesen: tett lekicsinyített piramist, 1. egy A arányosan grafikon egy teherautó mozgását piramisban élesített borotva pengéjét amelyben elhelyezettszáma egy halott macskát.x Csengôhangok 2x használta. Watson 39 szerint még 4 hónapig Olvassuk le, hogyután tökéletesen Az állat pár nap leforgása a piramis formája hasonlít a mágnesvasterv: mumifikálódott. Ebbôl a felfedezésébôl érc-kristályhoz, és belsejében mágneses a) mely idôtartamban, milyen arra következtettet, hogy az étel sem romtér hat a pengék élére. A két nap alatt letöltött csengôhangok száma egyenlô az összes letölhaladt! liktött megcsengôhangok a sebességgel piramis belsejében. számával. b) melyik idôtartamban pihent! Egyenlet és megoldása: c) hány órán keresztül volt x + 2 x = 39 mozgásban! 3x = 39 x = 13 Ellenôrzés: /összevonás / :3 Faktos anyag! 1. nap 2. nap Összesen: Minden fejezet végén összefoglaló feladatokkal tesztelhetjük mit sikeszáma 13 2 le, 13 = aki 26 13 + 26 =ponttól 39 2.Csengôhangok Ábrázoljuk annak a kerékpárosnak a mozgását, a kiindulási számítva 20 percig egyenletes sebességgel haladva 8 km utat tett meg, Tehát az eredményünk helyes. rült elsajátítani az adott témakörben. Válasz: majdlaci beiktatott perc pihenôt! Ezután tovább kerékpározott még az elsô nap 13 csengôhangot talált. 10 percig km távot. Reméljük, hogy színes képeinkkel segítjük a matematika könnyebb elsa3. Szemléltessük halmazábrán és ábrázoljuk derékszögû koordinátarendszerben a következô összefüggést! Ha egy darab barack 1 dkg, játítását. Az ábrák a rendszerezést és a problémák megértését segítik elô. akkor hány dekagramm 2, 3,, 8, 10 ugyanolyan barack? 103 4. A halmazábra alapján A tájékozódást segíti a tankönyv végén található tárgymutató. 164 a) adjuk meg az alaphalmazt és a képhalmazt; b) készítsünk függvénygrafikont! A kislexikonban megtalálható fogalmakat ikonnal jelöltük. LEX. c) Összeköthetôek-e folytonos vonallal a pontok? Indokoljuk! Sok sikert kívánunk a könyv használatához! A szerzôk 7. Az alaphalmaz: A = {1 és 9 közé esô páratlan számok}