A CINDERELLA PROGRAM HASZNÁLATA A GEOMETRIA TANÍTÁSÁBAN Nagyné Kondor Rita DE MFK Ipari Menedzsment és Mûszaki Informatika Tanszék Absztrakt: A számítógépes rajzolóprogramok új lehetõségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan, a bemeneti adatokat rugalmasan változtatva lehet rajzok sokaságát elõállítani, megkönnyítve ezzel a geometria felfedezésének útját. Az elõadás célja rámutatni a dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetõségeire az általános- és középiskolában, valamint a távoktatásban. E rendszerek általános jellemzõje, hogy a szerkesztés lépéseit raktározzák, mely lépéseket a bemeneti adatok változtatása után is végrehajtanak. Az alkalmazások bemutatásához a Cinderella programot választottuk.
A Cinderella program használata a geometria tanításában A geometria az a mûvészet, mely rossz ábrákból jó következtetéseket von le. Pólya György a hagyományos matematikatanárról A gondolkodás iskolája c. könyvében 1. Bevezetés Az USA-ban már az 1970-es évek közepére kiderült, hogy a tanulók a tudásszintjüket és neveltségüket tekintve messze elmaradnak az elõzõ generációtól. A neveléstudomány szakemberei keresték az utat, hogyan lehetne a tanulást az eddiginél jóval hatékonyabbá tenni. A kutatásnak nagy lendületet adott a számítógépek megjelenése és rohamos elterjedése. A számítógépes programok elterjedése az oktatásban egy szemléletváltást kényszerít ki: át kell gondolnunk azt, hogy mit tartunk fontosnak: leértékelõdik a formális tudás (a számítógép ezt gyorsabban és jobban tudja) és felértékelõdik a problémamegoldás képessége. [13] A geometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez pontos rajzok szükségesek. Példaként tekintsük a közismert tételt, amely szerint bármely háromszögben a magasságvonalak egy pontban metszik egymást. Azért, hogy meggyõzzük a tanulókat ezen egyszerû állítás érvényességérõl, egy diákkal felrajzoltatunk egy példát errõl a tételrõl. Sajnos a gyakorlatban a legtöbb esetben a három egyenes nem fog egy közös pontban találkozni. Elegendõ egy kis pontatlanság és a magasságvonal elcsúszik kissé. Ez nemhogy tanulságos nem lesz a gyerekeknek, hanem inkább összezavarja õket. Tehát az oktatásban és a gyakorlatban nélkülözhetetlen a korrekt ábra. A számítógépes rajzoló programok ezt a célt támogatva segítenek a szerkesztéseknél, új lehetõségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan, a bemeneti adatokat rugalmasan változtatva lehet rajzok sokaságát elõállítani, megkönnyítve ezzel a geometria felfedezésének útját. A dolgozat célja rámutatni a dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetõségeire az általános és középiskolában. Ehhez alapul a Cinderella programot választottuk, amely természetesen nem az egyedüli választási lehetõség lenne (Euklides, Cabri, Euklid,...). Minden alkalmazási lehetõséget egy-két kidolgozott példával illusztrálunk. 2. A dinamikus geometriai rendszerek fõ jellemzõi A dinamikus geometriai rendszer (DGS) nem egyszerûen komputerrel támogatott rajzeszköz, mely egy konkrét statikus ábra elkészítését teszi lehetõvé, hanem az ábrákat dinamikus egységnek tekinti. E rendszerek általános jellemzõje, hogy a szerkesztés lépéseit raktározzák, mely lépéseket a bemeneti adatok változtatása után is végrehajtják. A bevezetésben említett példára visszatérve képesek leszünk ellenõrizni a három magasságvonal egy pontra való illeszkedésére vonatkozó tényt nem csupán egy háromszögre, hanem a háromszögek egy igen nagy halmazára is. Így el lehet kerülni, hogy az ábra egyes részei között olyan szembeötlõ összefüggések legyenek, melyeket a feladat nem ír elõ. A DGS-el szemben támasztott követelmény egy fontos kérdést vet fel: mennyire marad elvégezhetõ a szerkesztés a bemeneti adatok változtatása után. A Cinderella válasza erre a kérdésre, két példával illusztrálva: Tekintsük a következõ esetet: Rajzoljunk két kört, amelyek egymást metszik két pontban. E két pontot kössük össze egy egyenessel, (ez lesz a két kör hatványvonala). A körök mozgatásakor ez az egyenes is elmozdul, de mindig merõleges lesz a két kör középpontját összekötõ egyenesre. De vajon mi történik, ha a két kör középpontja a két sugár összegénél
távolabb kerül egymástól? A két metszéspont eltûnik, és az egyenes is? Vagy ami még rosszabb: a program nem engedi meg a két kör ilyen mozgatását? A Cinderella ekkor is megszerkeszti a hatványvonalat, mert a számolásokat komplex számokkal végzi el, s a két kör (nem végtelen távoli) metszéspontjait és az ezekre illeszkedõ (már valós) egyenest ekkor is megtalálja. (1. ábra) Ez a példa mutatja, hogy a komplex számokkal való számolás bevezetése igen leegyszerûsíti a geometriai szerkesztéseket az eltûnõ metszéspontok kiküszöbölésével. 1. ábra. Hatványvonal szerkesztése. Az euklideszi síkon két egyenes metszi egymást, ha nem párhuzamosak. Két metszõ egyenes lehet, hogy párhuzamos lesz, ha a szerkesztés néhány elemét elmozdítjuk. Ez a következõ problémához vezethet: Mi lesz azokkal az egyenesekkel, amelyeket ez a metszéspont és egy másik pont határozott meg? Az ilyen egyeneseknek párhuzamosaknak kellene ezután lennie a két adott egyenessel, de ehelyett eltûnnek, mivel a meghatározó pontjai többé már nem
határozzák meg õket. Hogyan kerülhetjük el ezt a helyzetet? A Cinderella a projektív síkon végzi a számításokat, ezért a két párhuzamos egyenes végtelen távoli metszéspontját tudja értelmezni homogén koordinátákkal. A harmadik egyenest ezekkel párhuzamosan fogja megrajzolni, az adott végtelen távoli ponton keresztül. (2. ábra) 2. ábra. Metszõ egyenesek euklideszi és projektív síkon. Az alkalmazó szempontjából a fontos megállapítás az, hogy a Cinderella a számításokat a komplex projektív síkon végzi. Didaktikai szempontból ez lehet zavaró (az elõzõ szerkesztés elvégezhetõsége egy középiskolásnak is problémát okozhat). Az alkalmazó tanárnak a felhasználás tervezésekor ezt figyelembe kell venni, s az így felmerülõ problémákat el kell kerülni. [5], [6], [7] 3. Alkalmazási lehetõségek A Cinderellának a geometria oktatásban való alkalmazási lehetõségei közül a következõket vizsgáltuk: Ponthalmazok keresése (egyszerû halmazkeresés; feltételek elhagyásának módszere). Diszkusszió, a határesetek vizsgálata. Automatikus tételellenõrzés. A szerkesztõeszközök korlátozása. Az összehasonlító geometria. Web-alapú oktatás (tanári irányítással; Internet alapú távoktatás e-learning). Minden alkalmazási lehetõséget egy-két kidolgozott példával illusztrálunk. 4. A kreativitás fejlesztésének néhány eszköze A tanulók kreativitásá nak fejlesztése az egyik legerõsebben tanár-függõ területe a matematikai nevelésnek. E területen eredményes lehet a Cinderella a tanulók fejlesztésében.
4.1. Ponthalmazok keresése 4.1.1. Halmazkeresés A Cinderella lehetõséget ad a ponthalmaz megtalálására akkor is, ha nem körrõl vagy egyenesrõl van szó, mivel a program a kúpszeletet is felismeri. Meg kell adnunk, hogy melyik pont mozogjon, melyik objektumon és ennek hatására melyik pont mozgását rajzolja meg a program. A Cinderella ponthalmazok keresésére a középiskolában lehet alkalmazható, miután a tanulók tisztában vannak a kúpszeletek fogalmával. Célunk a sejtéshez juttatás. Ha dinamikus ábrát szeretnénk, lehetõségünk van animációk készítésére akár html formátumban is. 1. Példa. Adott egy kör és a belsejében az M pont. Egy M csúcsú derékszög szárai a kört az A és B pontokban metszik. Mi az AB szakasz felezõpontjának mértani helye, ha a derékszög körbefordul az M pont körül? (KöMaL 2002. november, B 3588.) (3. ábra) 4.1.2. A feltételek elhagyásának módszere 3. ábra. B 3588. A feltételek elhagyásának módszere gyakran használt megoldástípus a geometriában. Ha több feltételt kielégítõ pontok halmazát kell megkeresnünk, akkor sorban külön-külön megkeressük az egyes feltételeknek megfelelõ ponthalmazokat, majd azok közös részét képezzük. Pólya klasszikus feladata: a gótikus ablak (Az AB szakasz és két körív, AC és BC háromszögletû idomot zár be. Az egyik kör középpontja A, a másiké B, és mindkét kör átmegy a másik középpontján. Írjunk a háromszögletû idomba mind a három határvonalat érintõ kört.) A feltételek elhagyásának módszerével a feladat az az érdekes probléma, hogy találjunk két feltételt teljesítõ kört (tehát amely érinti az egyik kört és a szakaszt). Ha megadjuk az érintési pontot, mondjuk a körön, a Cinderella segítségével, középpontos hasonlósággal megszerkeszthetõ a keresett kör. Ha ezen a problémán a diák túl van, akkor kerestetheti a programmal a megoldások halmazát, miközben az érintési pont mozog a körön. Nemcsak a kapott ábra alapján sejtheti, hogy paraboláról van szó, hanem a szerkesztési lista kiíratásával fel is ismerheti a parabola egyenletét. (4. ábra)
4. ábra. A gótikus ablak feladat és a szerkesztési lista. 4.2. Diszkusszió, a határesetek vizsgálata Egy geometriai feladat megoldása során gondolnunk kell arra is, hogy a kiindulási adatoktól függõen módosulhatnak a szerkesztési eljárások vagy maga a szerkeszthetõség. Tehát a szerkesztési feladatok megoldása gondos elemzést kíván. Szükséges megvizsgálni, hogyan alakul a feladat megoldása, megoldhatósága, ha nem általános, hanem speciális eseteket tekintünk. Ezen egérvezérelt interaktív geometriai program segítségével a szerkesztés befejezése után egy kiválasztott alapelem az egér segítségével tetszõleges irányba elmozdítható, és az egész szerkesztés következetesen változik ennek hatására. Így lehetõvé válik a rajz dinamikus viselkedésének a vizsgálata akár az általános iskola 8. osztályától kezdve. 1. Példa. Az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja. E középpont elhelyezkedése hogyan függ a háromszög legnagyobb szögétõl. (8. osztály) (5. ábra) Diszkuss zió: Ha a háromszög hegyesszögû, akkor a köré írt kör középpontja a háromszögön belül van; ha derékszögû, akkor a köré írt kör középpontja az átfogó felezõpontja és ha tompaszögû, akkor a pont a háromszögön kívül van. 5. ábra. A háromszög köré írt kör középpontjának elhelyezkedése.
4.3. Automatikus tétel ellenõrzés A bizonyítások tanítása során három fázist különböztetünk meg: tételek megsejtése; bizonyítási ötlet megtalálása, bizonyítási stratégiák, módszerek alkalmazása; bizonyítás rögzítése, leírása; reflexió. [1] Az illeszkedésre vonatkozó tételek érvényességérõl meggyõzõdhetnek a diákok a Cinderellába beépített automatikus tételellenõrzõ funkció révén. A Cinderella fõként a bizonyítás elsõ fázisában használható az általános iskola 8. osztályától kezdve, tehát a program használatával a célunk a sejtéshez juttatás. 1. Példa. Bármely háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. (6. ábra) 6. ábra. A háromszög magasságvonalai. 2. Példa. Desargues-tétel: ha két háromszög oldalaira nézve perspektív, akkor csúcsaira nézve is az. (7. ábra) 7. ábra. Desargues-tétel.
4.4. A szerkesztõeszközök korlátozása A kreativitás fejlesztésének egyik eszköze az ismert problémák újfajta szabályok szerinti megközelítése. Jó példa erre a geometriában a szerkesztés szabályainak megváltoztatása, például a szerkesztõeszközök korlátozása. Példaként nézzünk három lehetõséget: a) a szerkesztésnél csak a vonalzó használatát engedjük meg; b) a régi, ismert szerkesztéseket végezzük el csak körzõvel (Mascheroni-féle szerkesztés); c) egy körvonal adva van a középpontjával együtt, és csak vonalzó használatát engedélyezzük (Steiner-féle szerkesztés). Csak vonalzóval olyan szerkesztések végezhetõk el, amelyek pontoknak egyenesekkel való összekötését és egyenesek metszéspontjainak meghatározását kívánják meg. Az utóbbi két szerkesztésfajtával az euklideszi szerkesztéssel megoldható feladatok mindegyike megoldható, eltekintve attól, hogy természetesen nem szerkeszthetünk az elsõvel egyenest, a másodikkal pedig kört (Mohr-Mascheroni tétel; Poncelet-Steiner tétel). Az interaktív feladatok kitûzésekor a tanár szabályozhatja a rendelkezésre álló szerkesztõeszközöket a Cinderellában és akár 8. osztálytól kezdve használható a kreativitás fejlesztésére. A célunk a szerkesztés elvégzése a program segítségével. Fontosabb (szerkesztõ)eszközök: (8. ábra) Mozgatás. Pont felvétele. Egyenes felvétele két ponttal. Egyenes felvétele pont és irány segítségével. Kör szerkesztése középpontjával és egy pontjával. Távolság felmérése. Metszéspont kijelölése. Párhuzamos szerkesztése adott ponton át. Merõleges szerkesztése adott ponton át. Utolsó szerkesztési lépés visszavonása. Segítség kérése. Feladat újrakezdése. 8. ábra. Szerkesztõeszközök. Az összes igénybe vehetõ eszközt a pont felvételére és a körzõre korlátoztuk.
1. Példa. Adott az AB szakasz F felezõpontjával és a P pont. Szerkesszünk a P ponton át párhuzamost az AB egyenessel, csak vonalzóval. [12] (9. ábra) 9. ábra. P-n át párhuzamos szerkesztése AB-vel, csak vonalzóval. Ez az ábra egyúttal azt is mutatja, hogy miképp lehet vonalzóval megszerkeszteni az AB szakasz felezõpontját, ha adva van az AB egyenessel párhuzamos egyenes. 2. Példa. Napoleon-feladat: négyzet szerkesztése körbe csak körzõvel. (10. ábra) 4.5. Az összehasonlító geometria 10. ábra. Napoleon-feladat. Az összehasonlító geometria a matematika többszempontú megközelítését kívánja megvalósítani. Az iskolában tanult euklideszi geometriáról is teljesebb, pontosabb képet kapunk,
ha bepillantunk egyéb geometriai rendszerekbe is. A Magyarországon folyó összehasonlítógeometriai oktatási kísérletek néhány középiskolában tanórán illetve szakköri foglalkozásokon vizsgálták az euklidészi geometriában tanultak érvényességét, a gömbi geometriában és a hiperbolikus geometriában (Horváth Jenõ, Kálmán Attila, Lénárt István, Schwenner Katalin, Tarcsay Tamás,...). A tanulók kedvezõen nyilatkoztak a tanultakról. A Cinderella lehetõséget nyújt szerkesztések elvégzésére gömbön (egyszeres elliptikus geometriában) és Poincare-féle körmodellben (hiperbolikus geometriában) is a fent említett oktatási kísérletekhez hasonlóan akár 8. osztálytól. Célunk itt a sejtéshez juttatás. 1. Példa. Két különbözõ egyenesnek hány közös pontja lehet? (11. ábra) Az euklideszi geometriában legfeljebb 1. A hiperbolikus geometriában legfeljebb 1. Az (egyszeres) elliptikus geometriában 1. 11. ábra. Két különbözõ egyenes közös pontja. 2. Példa. A háromszög belsõ szögeinek összege. (12. ábra) Az euklideszi geometriában 180. Az elliptikus geometriában 180 -nál nagyobb. A hiperbolikus geometriában 180 -nál kisebb. 12. ábra. A háromszög belsõ szögeinek összege.
5. Web-alapú oktatás 5.1. Tanári irányítással Mivel minden szerkesztés kimenthetõ interaktív weblapként, lehetõsége nyílik a tanulóknak a szerkesztések gyakorlására és a számonkérés is megvalósítható ilyen módon. A tanár beállíthatja a kiinduló objektumok és a kívánt objektumok halmazát a szerkesztéshez. Ezután kimentheti a feladatot a szerkesztõeszközök korlátozott halmazával. (Például ha egy olyan feladatot szeretne adni a diákoknak, amelyben a merõleges szerkesztését egy körzõ vel és egy vonalzóval kell elvégezni, akkor ehhez egy interaktív feladatlapot kell csak elkészítenie.) Így tanulóknak szóló feladatok, útmutatások, szerkesztési segítségek készíthetõk. Az útmutatásoknak kettõs célja van. Az elsõ: segítséget nyújtani a diáknak egy bizonyos feladat megoldásában. A második: fejleszteni a diák abbeli készségét, hogy a jövõben önállóan tudjon feladatokat megoldani. [9] Az útmutatások az általunk készített oktatási segédanyagban elõször általánosak, éppen csak irányt adnak és elég tennivalót hagynak a diák számára. Ha szükséges, áttér részletesebb és konkrétabb útmutatásokra. Fokozatosan következnek a speciálisabb útmutatások, hogy a munkának minél nagyobb részét a tanuló végezhesse el. Lehetõség van a szerkesztési feladatok megoldásának automatikus ellenõrzésére is. Példa: Az ábrázoló geometriából a Monge-projekció szerkesztéseit gyakoroltató saját fejlesztésû oktatócsomag. Az oktatócsomag témakörei: A kétképsíkos ábrázolásmód; pont és egyenes ábrázolása (1.-7. feladat) Síkábrázolás (8.-12. feladat) Metszési feladatok (13.-17. feladat) 1. Példa. Adottak az a és b általános helyzetû kitérõ egyenesek, az a egyenesre illeszkedõ A pont és egy v elsõ vetítõegyenes. Szerkessz olyan e egyenest, amely metszi mind a három adott egyenest és átmegy az A ponton. I/6. feladat (13. ábra) 2. Példa. Adott az ABCDEF hatszög második képe és az A, B, C csúcsok elsõ képe is. Határozd meg a D, E, F csúcsok elsõ képét úgy, hogy benne legyenek az ABC síkban. II/10. feladat (14. ábra) A feladatok megoldásánál azonban nemcsak a végeredmény a fontos, hanem tanulságos a gondolkodásnak az az útja is, amely a megoldáshoz vezetett. Ennek elemzése fejleszti a gondolkodókészséget. Mivel az elkészített feladatlapoknál lehetõség van a megoldási lépések visszavonására, illetve újbóli elvégeztetésére, nyomon követhetõ a megoldás menete, így e programot az iskolában oktatási segédeszközként használhatjuk anélkül, hogy korlátoznánk a tanulókat a kreativitásban.
13. ábra. I/6. feladat és a hozzá tartozó szerkesztési segítségek.
14. ábra. II/10. feladat és a hozzá tartozó szerkesztési segítségek.
5.2. Internet alapú távoktatás e-learning A tudásalapú társadalom követelményeire válaszul az oktatás és képzés iránti kereslet folyamatosan nõ. Mindez a hagyományos oktatás oldaláról az egyénre szabott oktatás irányába történt elmozdulásként összegezhetõ. Az internet alapú oktatás egy kommunikációs folyamat, mely túlnyomórészt internetes eszközökön keresztül zajlik, átviteli közegként az internet ill. intranet hálózatok szolgálnak. A tanulási folyamat a tanár személyes jelenlétére már csak kis mértékben alapoz. Az igazi távoktatás két fontos elemet tartalmaz: az egyik, hogy a tananyag nem csupán egy könyv vagy egy CD, hanem egy olyan módon elkészített anyag, melybe a tanár úgymond be van építve. Az anyagot úgy olvashatjuk el, hogy közben feladatokat kell teljesítenünk és lehetõséget kapunk saját elõrehaladásunk ellenõrzésére is. A kommunikációs folyamat szinkron vagy aszinkron jellegû. A szinkron távtanulás egyidõben, különbözõ helyen a tanulási folyamat azon formáját jelenti, amikor az oktató és a diák közvetlen kapcsolatban áll egymással. A tananyag elsajátítása az oktatásszervezõk ütemezésében történik. Szinkron távtanulási eszközök például a videokonferencia, az alkalmazás megosztás, csevegés. Az aszinkron távtanulás különbözõ idõben, különbözõ helyen egyidõben egymástól független, lekérdezhetõ eseményekre épül. Az aszinkron e-learning esetében egy adott szerver gépen elhelyezett elektronikus tananyag önállóan is feldolgozható, egyéni ütemezésben. Aszinkron távtanulás fontos elemei például az elektronikus levelezés, a dokumentum letöltés. Mindkét kommunikációs formára igaz, hogy a folyamat során az oktatótól a diák felé irányuló információ dominál, azonban a visszairányú és a diákok közötti kommunikáció megfelelõ minõsége és gyakorisága is kulcsfontosságú. Példa: az elõbb említett feladatok. A példánál a kommunikációs folyamat az oktató és a diák között lehet akár szinkron, akár aszinkron jellegû, célja a felnõttoktatás segítése. 6. A matematikai programcsomagok alkalmazásának haszna és veszélyei Lehetõségünk volt a dolgozat egyes részeinek kipróbálására egy általános iskola 8. osztályában (4.3. fejezet). Tapasztalatok szerint a diákok szívesen fogadják a számítógépes matematika gyakorlatot. A diákoknak lehetõségük volt elõzõ órán (szakköri foglalkozáson) a programmal ismerkedni, ezért nem okozott gondot az, hogy a program angol nyelvû. Tapasztalatunk szerint a számítógépes gyakorlat elõkészítése jóval idõigényesebb és költségesebb a hagyományos gyakorlatokénál, de a sikerélmény lehetõségét hordozza magában mind a tanár, mind a tanuló részére. Ahhoz, hogy a diákok nagyrészt önállóan dolgozhassanak megfelelõ útmutatókat kellett készíteni a feladatokhoz. Az útmutató részletesen tartalmazta a diák tevékenységét, és azt is, hogy mit miért csinál. Az útmutató készítésénél figyelembe kellett venni, milyen számítógépi ismerete van már a tanulóknak. A feltételek is adottak voltak az iskolákban, megfelelõ számú és minõségû számítógép. A tanárnak sikerült megtalálni közelítõleg az elmélet és az alkalmazás helyes arányát. Nyilvánvaló, hogy nemcsak a számítógéppel segített oktatás megszervezése, hanem az így született alkotások értékelése is sajátos szakértelmet igényel, de a számítógéppel modellezett tanulási környezetben az értékelés életszerûbb: a tanuló tudásáról nem csak azt tudjuk meg, menynyire gazdag és pontos, hanem azt is, használható-e és elõhívható-e, ha az életben szükség van rá. [4] A számítógépre tervezett taneszközök és oktatási rendszerek bemutatóin szükségszerûen kevés szó esett a lehetséges hátrányokról, a módszer buktatóiról. Abban többnyire megegyeznek
a szakértõk, hogy nem sok értelme van az új eszközökkel a régi céloknak való megfelelést keresni, ehelyett a gyorsan változó világ követelményeihez kellene igazodnia az oktatásnak is. A felmerülõ elméleti viták eldöntésének legjobb módja a kísérleti kipróbálás. Megfelelõen használva a matematikai szoftverek a tényleges matematikai ismeretek elsajátításában segíthetnek. Igen pontos, szép és látványos ábrázolási lehetõségeikkel jól segíthetik a megértést (kézzel táblán vagy papíron csak idõtrabló módon és pontatlanul tudunk ábrázolni, szemléltetni), így a matematikai ismeretek oktatásában is jól használhatók. [3]
Felhasznált irodalom [1] Ambrus András. Bevezetés a matematikadidaktikába. ELTE Eötvös Kiadó, 1995. [2] Kálmán Attila. Nemeuklideszi geometriák elemei. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002. [3] Kárpáti Andrea. Számítógéppel segített tanulás. Iskolakultúra, 1997/12. [4] Kis Piroska. A matematikai programcsomagok alkalmazása, haszna és veszélyei. http://ip.gallup.hu/szak/matek.htm. [5] Ulrich H. Kortenkamp. Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie in Cinderella. Institut für Theoretische Informatik Zürich, 1999. [6] Ulrich H. Kortenkamp. Foundations of Dynamic Geometry. PhD thesis, Swiss Federal Institute of Technology Zürich, 1999. [7] Ulrich H. Kortenkamp, Jürgen Richter-Gerbert. Geometry and education in the internet age. http://www.cinderella.de. [8] Lénárt István. Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Munkalapok a síkgeometria és a gömbi geometria összehasonlításához. 1998. [9] Pólya György. A gondolkodás iskolája. Gondolat, 1969. [10] Pólya György. A problémamegoldás iskolája. Tankönyvkiadó, 1985. [11] Reiman István. Ábrázoló geometria (gimnáziumi fakultatív tárgy tankönyve). Tankönyvkiadó, 1986. [12] Szõkefalvi Nagy Gyula. A geometriai szerkesztések elmélete. Akadémiai Kiadó, 1968. [13] Tarcsay Tamás. A számítógép és az Internet felhasználása a matematika oktatásában. http://www.gyakg.u-szeged.hu/tantargy/mat/maw2.htm.