Matematika Tanszék Matematika műveltségi terület, nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek A szigorlat követelményei: Vizsgatematika A hallgató legyen képes 15-20 perces összefüggő felelet formájában bemutatni a tételében szereplő fogalmakat. illetve a köztük lévő összefüggéseket. A szigorlati tételeket a következő témakörök alapján fogalmaztuk meg: A matematika alapjai Számhalmazok és tulajdonságaik Elemi számelmélet, elemi algebra Függvények (sorozatok) Geometria Kombinatorika, valószínűségszámítás és statisztika A szigorlatra való felkészüléshez a hallgató szigorlati tételeket és azok tartalmának 5-6 gépelt sorban való kibontását tartalmazó tematikát kap. A szigorlaton a hallgató a tételek közül húz; a tematikát már nem kapja kézhez.
Szigorlati tételek (matematika műveltségi terület) 1. A matematikai logika (az állítások logikája és a prédikátumlogika); szerepe a gondolkodási módszerek alapozásában. A matematikai logika két alapelve ( ellentmondás-mentesség és a harmadik kizárása ) és a halmazok egyértelmű megadása. A nyitott mondat és igazsághalmaza. Azonos alaphalmazon megadott nyitott mondatok igazsághalmazainak lehetséges kapcsolatai (2, 3 halmaz esetén). Az összetett nyitott mondat igazsághalmazának előállítása halmazműveletekkel. (Logikai műveletek, halmazműveletek és kapcsolatuk.) A fenti tartalmak megjelenítése a kétfelé válogatásokban. Kvantoros állítások, igazolásuk, cáfolásuk. Palotásné Vig Marianna: A matematika alapjai - segédanyag (válogatások) C. Neményi Eszter: Tantárgypedagógiai füzetek - Matematika (Gondolkodási és megismerési módszerek, Nyitott mondatok) (1995., kézirat.), R. Skemp: A matematikatanulás pszichológiája (187-202 o., 228-232 o.) 2. A relációk (az ekvivalenciareláció és a rendezési relációk); lehetséges szerepük a fogalmak alakításában és a képességfejlesztésben. Relációk a matematika különböző területein. A reláció halmazelméleti értelmezése Az ekvivalenciareláció és az osztályozás (példák). A matematikai fogalomalkotás - absztrakció és osztályba sorolás A rendezési reláció; rendezések egy és több szempont szerint sorba, táblázatban, fadiagramon. A következményreláció (tétel és bizonyítása). R. Skemp: A matematikatanulás pszichológiája (20-37. o., 144-207. o.) C. Neményi Eszter: Tantárgypedagógiai füzetek 3. A természetes szám fogalma, jelölése. A rendezés fogalma a természetes számok halmazán. A természetes szám axiomatikus és halmazelméleti értelmezése. Szám és ábrázolása. A számrendszerek lényege. A természetes számok számjegyes és polinom alakja. A természetes számok nagyság szerinti összehasonlítása, rendezése. 4. A számfogalom épülése, a számkör bővítésének szükségessége. Az egész szám és a racionális szám fogalmának értelmezése. A számkörbővítés szükségessége és elvei. Az egész és a racionális számkörök megalkotása számpáros modellel. A valós és a komplex számok értelmezése.
5. A művelet fogalma, tulajdonságai. A matematika egységének bemutatása az algebrai struktúrák vizsgálatával. Az algebrai művelet fogalmának tágabb értelmezése. Struktúratípusok bemutatása a matematika különböző területeiről vett példákon keresztül. 6. Az aritmetikai műveletek értelmezései a természetes számok halmazában. Ezek kapcsolata a gyakorlati problémákban megjelenő műveletfogalmakkal. Az írásbeli műveletek algoritmusai. Az aritmetikai műveletek halmazelméleti értelmezései. A szóbeli műveletvégzést segítő számolási eljárások és azok matematikai tartalma. Az írásbeli műveletek algoritmusainak matematikai háttere. 7. A természetes számok számelméleti tulajdonságai, kapcsolatai. Az osztója reláció: - fogalma; - tulajdonságai. Oszthatósági szabályok. A kongruencia-reláció fogalma és tulajdonságai. Prímszám, összetett szám. A számelmélet alaptétele. Számelméleti függvények. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. 8. A függvény fogalma, megadási módok, néhány nevezetes valós(szám) függvény. A függvény fogalma, megadása, ábrázolási módok, a függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak. Néhány nevezetes függvény: racionális egész- és törtfüggvény, hatványfüggvény, exponenciális és logaritmusfüggvény, trigonometrikus függvények és inverzeik. Katz Sándor, 1989, Függvények korszerű felfogásban, Tankönyvkiadó, Budapest Reiman István, 1992, Matematika 424-430. old., 439-466. old. és 470-471. old., Műszaki Könyvkiadó Varga Tamás, 1969, A matematika tanítása 150-164. old., Tankönyvkiadó, Budapest 9. Függvények kompozíciója, az inverz függvény fogalma, elemi függvényvizsgálat. A témakör összefogott kifejtését kérjük. Térjen ki részletesen a függvényvizsgálati szempontokra. Reiman István, 1992, Matematika 428-433. old., Műszaki Könyvkiadó Varga Tamás, 1969, A matematika tanítása 164-181. old., Tankönyvkiadó, Budapest
10. A sorozat fogalma, megadása, sorozatok vizsgálata, számtani és mértani sorozat. A végtelen mértani sor. A témakör összefogott ismertetése során térjen ki a különféle megadási módokra, közöttük a rekurzióval való megadásra is. Reiman István, 1992, Matematika 398-409. old. és 416-419. old., Műszaki Könyvkiadó 11. Egyenletek és egyenlőtlenségek vizsgálata; az ekvivalencia fogalma. Egyenlet- és egyenlőtlenségrendszer megoldhatósága; megoldási módszerek. A számtan és az algebra kapcsolata; azonos átalakítások. Egyenletek ill. egyenlőtlenségek ekvivalenciája. Lebontás, megfordítás, mérlegelv. Egyenletek illetve egyenlőtlenségek pontos, valamint közelítő megoldása. A kétoldali közelítés elve. A kétoldali közelítés során használt függvény tulajdonságok kiemelése. Reiman István, 1992, Matematika 81-106. old. és 109-115. old., Műszaki Könyvkiadó Varga Tamás, 1969, A matematika tanítása 111-149. old., Tankönyvkiadó, Budapest 12. Nevezetes ponthalmazok síkban, térben. Az euklideszi szerkesztés. Készítsen összefoglaló bemutatást arról, hogyan lehet eljutni a valódi háromdimenziós világ formáinak és ezek közti viszonyoknak leírásából a geometria tudományának fogalmaihoz. Ezek között emelje ki a szög és mérésének fogalmát. Az általánosból a speciálisba való eljutás módszere a fogalomalkotásban. A fogalmak rendszerezésének bemutatása, például a négyszögek esetére kifejtve. A szerkesztés problémaköre. A szerkesztés szabadsága és kötöttségei. Az euklideszi szerkesztés fogalma. Szerkesztési módok kapcsolata az egybevágósági és hasonlósági transzformációkkal. Reiman István, 1992, Matematika 171-179. old., 203-261. old. és 382-398. old, Műszaki Könyvkiadó Varga Tamás, 1969, A matematika tanítása, 182-250. old., Tankönyvkiadó, Budapest 13. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk. Ismertesse a transzformációk témakörének két speciális családját: az egybevágóság mint távolságtartó leképezés és a hasonlóság mint aránytartó leképezés fogalmát. Reiman István, 1992, Matematika 179-202. old., Műszaki Könyvkiadó Varga Tamás, 1969, A matematika tanítása, 225-233. old., Tankönyvkiadó, Budapest 14. A geometria axiomatikus felépítése. Alapfogalom, axióma, definíció, tétel és kapcsolataik. Néhány axiómarendszer ismertetése. Foglalja össze az alapfogalmak, alapkapcsolatok, alaptételek (axiómák), definíció, tétel szerepét a geometria tudományának rendszerező felépítésében. Euklidész, Hilbert axiómarendszere. Reiman István, 1987, Fejezetek az elemi geometriából 131-141. old., Tankönyvkiadó, Budapest Varga Tamás, 1969, A matematika tanítása. Tankönyvkiadó, Budapest
15. A kombinatorika fogalmai. A kombinatorika feladata. Különféle problémákban az összes eset keresése, az esetek számának vizsgálata a feltételek változásának függvényében. Összeszámlálási módszerek. A kombinatorikus problémák speciális esetei. (A kombináció, a variáció és a permutáció ismétlés nélküli és ismétléses esetei.) A Pascal háromszög és tulajdonságai. 16. A valószínűségszámítás alapjai. Eseményalgebra. A valószínűség fogalma, valószínűségi mező. A teljes valószínűség tétele. Feltételes valószínűség. Független és összefüggő események. A valószínűség meghatározásának kombinatorikus és geometriai módja. Diszkrét valószínűségi eloszlások. 17. A statisztika alapjai. A valószínűségszámítás és a statisztika gyakorlati alkalmazása. Leíró statisztika: adatok gyűjtése, rendszerezése és ábrázolása. Az átlag és a szóródás tapasztalati mutatói. Következtetések statisztikai adatok alapján. A valószínűségszámítás és a statisztika kapcsolata (relatív gyakoriság-valószínűség, elméleti és tapasztalati jellemzők). Hétköznapi események determinisztikus és valószínűségi modellezése.