James Gleick KÁOSZ. Egy új tudomány születése GÖNCÖL KIADÓ

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "James Gleick KÁOSZ. Egy új tudomány születése GÖNCÖL KIADÓ"

Átírás

1 James Gleick KÁOSZ Egy új tudomány születése GÖNCÖL KIADÓ

2 Cynthiának A könyv az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Felsőoktatási Pályázatok Irodája által lebonyolított felsőoktatási tankönyvtámogatási program keretében jelent meg. Fordította: Szegedi Péter Szerkesztette és a fordítást az eredetivel egybevetette: Seres Iván A versidézeteket fordította: Miszoglád Gábor A mű eredeti címe: James Gleick: Chaos. Making a New Science Penguin Books, 1988 James Gleick, Minden jog fenntartva Hungarian translation - Szegedi Péter, 1999, 2000 MÁSODIK KIADÁS ISBN A nyomdai előkészítésben közreműködött a TWIND Kft. Göncöl Kiadó Budapest, Pf Telefon/Fax: Felelős kiadó: Szikói Gábor ügyvezető Nyomta és kötötte: Széchenyi Nyomda Kft., Győr Felelős vezető: Nagy Iván ügyvezető

3 a zene emberi, az állandóság természetes JOHN UPDIKE Ohio Facing Nature. Poems (Alfred A. Knopf, p. 14.)

4 Tartalomjegyzék (elektronikus formátumhoz igazítva az oldalszámok) Előszó... A pillangó-hatás Edward Lorenz és játék-időjárása. A számítógép neveletlenkedik. A hosszabb távú előrejelzés kudarcra van ítélve. A rend rendezetlenségnek álcázza magát. A nemlinearitás világa. Teljesen félreértettük a lényeget." Forradalom...29 A látható forradalom. Ingaórák, űrgolyók és játszótéri hinták. A lópatkó feltalálása. Egy megoldott rejtély: a Jupiter nagy vörös foltja. Az élet viszontagságai...46 Az állati populációk modellezése. Nemlineáris tudomány, a nemelefánt állatok tanulmányozása". Vasvilla elágazások és egy utazás a Spree folyón. Film a káoszról és a messiási kérés. A természet geometriája Felfedezés a gyapot árával kapcsolatban. Valaki menekül a Bourbakicsoporttól. Átviteli hibák és csipkézett tengerpartok. Új dimenziók. A fraktálgeometria szörnyei. Reszketés a skizoszférában. A felhőktől az erekig. A tudomány szemétládája. Meglátni a világot egy homokszemben." Különös attraktorok Kérdés Istenhez. Átmenetek a laboratóriumban. Forgó hengerek és egy fordulópont. David Ruelle ötlete a turbulenciához. Hurkok a fázistérben. Cickafark és kolbász. A csillagász leképezése. Tűzijáték vagy galaxisok." Univerzalitás Új kezdet Los Alamosban. A renormalizációs csoport. Színek dekódolása. A numerikus kísérletezés kialakulása. Mitchell Feigenbaum áttörése. Az univerzalitás elmélet. Az elutasító levelek. Találkozás Comoban. Felhők és festmények. A kísérletező Hélium egy kis dobozban. A szilárd nem szilárd hullámzása." Áramlás és forma a természetben. Albert Libchaber győzelme. A kísérlet össze-

5 kapcsolódik az elmélettel. Egy dimenziótól sok dimenzióig. A káosz képei A komplex sík. Meglepetés a Newton-módszerben. Mandelbrot-halmaz: hajtások és kacsok. A művészet és a kereskedelem találkozik a tudománnyal. Fraktális medencehatárok. A káosz-játék. A dinamikai rendszerek csoport Santa Cruz és a hatvanas évek. Az analóg számítógép. Tudomány volt ez? Hosszú távú előrejelzés." Mérni a megjósolhatatlant. Információelmélet. A mikroméretektől a makroméretekig. Csöpögő vízcsap. Audiovizuális segítség. Egy korszak véget ér. Belső ritmusok A modellek félreértése. A bonyolult test. A dinamikus szív. A biológiai óra beállítása. Végzetes aritmia. Csirkeembriók és rendellenes szívdobogás. A káosz mint egészség. Káosz és ami túlmegy a káoszon Új feltételezések, új meghatározások. A második főtétel, a hópehely rejtélye és a cinkelt játékkocka. Alkalom és szükségszerűség. Köszönetnyilvánítás

6 Előszó 1974-et írtak, amikor Los Alamosban, az észak-amerikai új-mexikó állam egyik kisvárosában a rendőrök felfigyeltek egy férfira, aki minden áldott éjszaka az utcákat rótta; cigarettája itt is, ott is felparázslott a sötétben. Órákon át kószált a sziklafennsík ritka levegőjében szikrázó csillagok alatt, láthatólag minden közelebbi cél nélkül. S nem csupán a rendőrség furcsállta a dolgot. Az országos kutatóintézetben néhány fizikus meglepetéssel tapasztalta, hogy újdonsült kollégájuk huszonhat órásra igyekszik tágítani a napot, emiatt nem mindig lehet napközben ébren találni. Ez már a különcséggel volt határos, még az Elméleti Osztály munkatársainak szemében is. Három évtized telt el azóta, hogy J. Robert Oppenheimer épp ezt az isten háta mögötti új-mexikói vidéket választotta ki az atombombaprogram színhelyéül; ennyi idő alatt a Los Alamos-i Országos Kutatóintézet megannyi részecskegyorsítójával, gázlézerével és vegyiüzemeivel, ezernyi tudósával, tisztviselőjével, technikusával, s a világ egyik legnagyobb szuperszámítógép-központjával jócskán szétterült ezen az elhagyatott fennsíkon. Az idősebb kutatók közül emlékeztek még néhányan a sziklaágyon egykor, a negyvenes években sebtében felhúzott faépületekre, de a Los Alamos-i közösség legnagyobb részének - az egyetemista módi szerint kordnadrágban járó, munkaköpenyes fiatal férfiaknak és nőknek - a tudatában az első bombakészítők már szinte szellemek voltak. Az intézetben a legfőbb gondolati műhely az Elméleti Osztály volt, amelyet egyszerűen T osztályként emlegettek; a számítástechnikai osztályt pedig mindenki C osztálynak, a fegyverekkel foglalkozót X osztálynak mondta. Ezen a nevezetes T osztályon több mint száz jól fizetett, az egyetemi oktatás és a publikálás kötelezettségeitől mentesült fizikus és matematikus dolgozott. Ragyogó értelem és egy kis bogarasság együtt és külön-külön sem volt újdonság nekik; nem hökkenthette meg őket akárki. Mitchell Feigenbaumnak azonban mégis sikerült. Egyetlen árva cikk jelent meg a neve alatt, és semmi olyasmin nem dolgozott, ami valamelyest is ígéretesnek látszott volna. A haja fésületlen bozont, hátravetve széles homlokából, mint a német zeneszerzők mellszobrain. Tekintetében mindig szenvedély izzott. Csak hadarva beszélt, és hajlamos volt lenyelni a névelőket meg a névmásokat, mintha Közép-Európából származna, holott született brooklyni volt. Úgy dolgozott, mint egy megszállott - ha éppen dolgozott. Ha nem, akkor sétált és gondolkodott, nappal éppúgy, mint éjszaka, de leginkább mégis éjszaka. A huszonnégy órás nap nem volt elég hosszú neki, ám egy idő után mégsem próbálkozott tovább a személyére szabott kváziperiodicitással, mert arra a belátásra jutott, hogy képtelen ébren kihúzni napnyugtáig; márpedig ha folytatta volna, néhány napos időközönként óhatatlanul rákényszerül. Huszonkilenc éves korára már híre volt a tudósok között, nemegyszer ő volt a végső mentsvár egy-egy különösen nehéz kérdésben, akit mindig fel lehetett keresni, csak az volt bizonytalan, hogy hol. Egy este a munkahelyére tartva belebotlott az intézet igazgatójába, Harold Agnewba, aki éppen hazafelé készült. Agnew fontos ember volt, hajdanában Oppenheimer gyakornokaként kezdte. Még Hiroshima fölött is járt az Enola Gay kíséretében, egy műszeres repülőgépen, amely a kutatóintézet első termékének célba érkeztét fény-

7 képezte le. - Tudom, hogy igazán okos vagy, de ennyi ésszel megáldva miért nem a lézerfúzión töröd a fejed? - mondta Agnew Feigenbaumnak. Még a barátai sem voltak benne biztosak, hogy lesz-e Feigenbaumnak valaha is bárminemű saját eredménye. Úgy látszott, amilyen buzgón és sziporkázó szellemmel veti rá magát az ő kérdéseikre, olyan kevéssé törekszik arra, hogy valami hasznot hozó saját kutatásba fogjon. Gondolkodott a folyadékok és gázok turbulenciáján 1. Eltűnődött az időn - vajon simán halad-e, vagy ugrásszerűen, mint egy kozmikus film kockái? Elelmélkedett azon, hogy milyen különös is a szem: állandó színeket és formákat lát egy olyan világban, amelyet a fizikusok változékony kvantumkaleidoszkópnak tudnak. Gondolkodott az intézet fölött futó gyalogösvények mintázatáról, vagy a repülőgép ablakán át szeme elé táruló felhőkről (míg 1975-ben hivatalosan meg nem vonták tőle egy időre - költségtúllépés miatt - a tudományos célú utazások jogát). A nyugati hegyi városokban a felhők nem is emlékeztetnek a keleti tájak egén alacsonyan hömpölygő füstös, formátlan ködökhöz. Los Alamosban, egy nagy vulkáni eredetű katlan szélárnyékában, a felhők szabálytalan alakzatokban bukdácsolnak végig az égen, bár időről időre megesik, hogy egyforma füzérekké állnak össze, vagy szabályosan barázdált, szinte az agyvelőt idéző mintákban tűnnek tova. Viharos délutánokon, amikor az ég szinte reszket az elektromosságtól, a felhők - megszűrve és visszaverve a fényt - ötven kilométer távolságból is élesen kivehetők, míg lassan úgy nem fest az egész égbolt, mint fizikusoknak címzett szelíd, de látványos szemrehányás. A felhők távol estek a fizikai kutatás fő sodrától; elmosódott, egyszersmind részletekben gazdag, szerkezettel bíró és megjósolhatatlan tüneményei voltak a természetnek. Feigenbaum ilyesféléken gondolkodott, mindennemű feltűnés és eredmény nélkül. Fizikus felfogás szerint a lézerfúzió megvalósítása érdemleges kutatási témának számított, éppúgy, mint a kis részecskék spinjének, színének és ízének feltárása, vagy a világegyetem születési idejének meghatározása. A felhők természetének megértését a közfelfogás a meteorológusoktól várta. A többi fizikushoz hasonlóan Feigenbaum is lekezelő modorban nyilatkozott az effajta problémákról. - Ez az egész dolog nyilvánvaló - mondhatta, ami azt jelenti, hogy megfelelő elmélkedés és számolás után bármely jól képzett fizikus megértheti az eredményt. A nem nyilvánvaló jelző csak olyan kérdésekkel kapcsolatban merülhetett fel, amelyek tudományos tekintéllyel és Nobel-díjjal kecsegtettek. A legnehezebb problémákra, amelyekre a fizikusok csak az univerzum belső titkainak megismerése révén remélhettek megoldást, külön címkék voltak használatosak: például a mély ben - jóllehet ezt csak kevés kollégája tudta - Feigenbaum éppen egy ilyen mély kérdésen tépelődött: a káoszon. A káosz ott kezdődik, ahol a klasszikus tudomány véget ér. Amióta a fizikusok a természet törvényeit kutatják, mindig valami különös tudatlanság lengte körül a légkörben, a viharos tengerben, az állati populációkban, a szív- és az agyműködés ingadozásaiban felbukkanó rendezetlenséget. A természet szabálytalan, nem folytonosan változó része rejtély, sőt, szinte rettenetes dolog volt a tudományban. 1 A folyadék turbulens mozgását az jellemzi, hogy a sebesség az áramlási térség minden pontjában időben teljesen szabálytalanul, össze-vissza változik. A sebesség rendszertelenül változik egy adott pillanatban az áramlási tér egyik pontjáról a másikra menve is. Mindezek miatt a részecskék pályája rendkívül bonyolult, kibogozhatatlan jelleget ölt, a folyadék összekeveredik - a fordító.

8 A hetvenes években azonban néhányan az Egyesült Államokban és Európában kezdtek közelebb férkőzni ehhez a bizonyos rendezetlenséghez. Ezek a kutatók - matematikusok, fizikusok, biológusok, vegyészek - mindannyian a szabálytalanság különböző fajtái között kerestek kapcsolatokat. Fiziológusok meglepő rendet tapasztaltak abban a káoszban, amely az emberi szívben fejlődik ki, és legfőbb oka a látszólag ok nélküli, hirtelen szívhalálnak. Az ökológusok felfedezték a gyapjaslepke-populációk egyedszámának növekedését és csökkenését. A közgazdászok előásták régi részvények árfolyamlistáit és újfajta módszerrel elemezték őket. Felismeréseik közvetlen összefüggéseket tártak fel az árfolyamingadozások és a természet világa - a felhők alakja, a villámlás nyomvonala, a vérerek mikroszkopikus összefonódása vagy a csillagok galaktikus összetömörülése - között. Amikor Mitchell Feigenbaum Los Alamosban gondolkodni kezdett a káoszon, csak nagyon kevesen s egymásról mit sem tudva foglalkoztak ezzel a témával. A kaliforniai Berkeley-ben egy matematikus kisebb kutatócsoportot hozott létre dinamikai rendszerek" tanulmányozására. A Princetoni Egyetemen egy populációbiológus éppen szenvedélyes felhívást kívánt közzétenni, mely szerint minden tudósnak látnia kellene a meglepően bonyolult viselkedést, amely bizonyos egyszerű modellekben is benne rejlik. Az IBM-nél dolgozó egyik geométer új szót keresett egy - csipkézett, összegubancolt, széthasogatott, megtekert, darabokra tört - alakzat-család leírására, amelyben a természet egyik szervező elvét vélte felismerni. Egy francia matematikai fizikus azt a vitatható kijelentést tette, hogy a folyadékokban és gázokban megfigyelhető turbulenciának köze van egy furcsa, végtelenül bonyolult absztrakt valamihez, amelyet ő különös attraktornak nevezett el. 1 Egy évtizeddel később a káosz lett a névadója egy rohamosan terjedő mozgalomnak, amely átalakította a tudományos életet. Egymást érték a káosz-konferenciák és egyre-másra jelentek meg a káosz-folyóiratok. Kormányzati programmenedzserek a védelmi kutatásokra, a Központi Hírszerző Ügynökség (CIA) és az Energetikai Minisztérium céljait szolgáló kutatásokra fordítható anyagi forrásokból addig példa nélkül álló összegeket költöttek a káosz vizsgálatára, s külön adminisztrációt. állítottak fel az itt felhasznált pénzeszközök kezelésére. A nagyobb egyetemeken és minden valamirevaló vállalat kutatóközpontjában több elméleti kutató is a káosz problémájának szentelte minden idejét, és csak mellékesen foglalkozott eredeti kutatásaival. Los Alamosban megalakították a Nemlineáris Kutatások Központját a káosz és vele rokon területek vizsgálatának összehangolására, és Egyesült Államok-szerte létesültek hasonló intézmények az egyetemeken. A káosz kutatása során sajátos számítógépalkalmazási módszerek és grafikus eljárások alakultak ki: olyan ábrázolásmódok, amelyek hihetetlen mértékű komplexitást (azaz bonyolultságot és összetettséget) is meg tudtak je leníteni. Az új tudomány megalkotta a maga sajátos nyelvét: a fraktálok és bifurkációk, az intermittenciak és periodicitások, az összehajtogatott törülköző diffeomorfizmusok és a sima nudli leképezések szakmai zsargonját. Ezek mind a mozgás új elemeit jelentették, ahogyan a hagyományos fizikában a kvarkok és gluonok az anyag új alkotói voltak. Jó néhány fizikus szemében a káosz inkább a folyamat, mintsem az állapot tudománya, inkább a valamivé válásé, semmint a valamiként való létezésé. 2 Ma a tudomány úgy tartja, hogy a káosz mindenütt jelen van. A felszálló cigarettafüst 1 Ezekkel később egy külön fejezet foglalkozik - a fordító 2 F. K. Browand: The Structure of the Turbulent Mixing Layer. Physica 18D (1986), p (A jegyzetekben a továbbiakban a káosszal kapcsolatban megadott irodalom általában nem laikusoknak szól. A könyv anyagát röviden összefoglaló népszerűsítő cikk magyarul: James P. Crutchfield, J. Doyne Farme r, Norman H. Packard és Robert S. Shaw: A káosz. Tudomány 1987/ old. és Tél Tamás: A káosz természetrajza Természet Világa 1998/ old. - a fordító.)

9 heves örvényekre bomlik szét, a zászló ide-oda csapkod. A csapból kicsurranó víz állandósult alakzatból bizonytalanba megy át. A káosz megjelenik az időjárás változásaiban; abban, ahogyan a repülőgép viselkedik a levegőben; abban, ahogyan az autók összetorlódnak az autópályán 1, sőt abban is, ahogyan az olaj áramlik a föld alatti vezetékekben. Mindegy, milyen a közeg, viselkedését ugyanazok az újonnan felfedezett törvények szabják meg. E felismerés nyomán az üzletemberek kezdték másként elbírálni a biztosítási kérdéseket, megváltozott a csillagászok vélekedése a Naprendszerről, csakúgy mint a politológusok felfogása a fegyveres konfliktusokhoz vezető feszültségekről. 2 A káosz áttöri a tudományágak határait, s a rendszerek általános természetének tudománya lévén, közelebb hozza egymáshoz a korábban szigorúan elkülönült területek kutatóit. Tizenöt évvel ezelőtt az egyre erőteljesebb szakosodás már-már válsággal fenyegette a tudományt - állapította meg egy tudományfinanszírozással foglalkozó tengerészeti tisztviselő matematikusokból, biológusokból, fizikusokból és orvosokból álló hallgatósága előtt -, de a káosz jóvoltából ez a tendencia az ellenkezőjére fordult." A káosz kutatása olyan kérdéseket vet fel, amelyek meghaladják a tudomány szokásos munkamódszereinek teljesítőképességét. A káosz tudománya sokat mondó kijelentéseket tesz a komplexitás egyetemes (azaz a legkülönfélébb esetekben megnyilatkozó) természetéről. A káosz elméletének első művelőiben, akik létre- és mozgásba hozták ezt a tudományágat, egytől egyig megvolt egy sajátos fogékonyság, látásmód: jó szemük volt a mintázatokhoz, különösen az egyszerre több mérettartományban is feltűnő azonos alakzatokhoz. Volt érzékük a véletlen és a bonyolultság, a csipkézett élek és a hirtelen ugrások iránt. A káosz hívei - akik magukat nemegyszer hívőknek vagy megtérteknek, olykor egyenesen evangelistáknak mondják - a determinizmusról és szabad akaratról, a fejlődésről, a tudatos intelligencia természetéről elmélkednek. Úgy érzik, hogy eltérítették a tudományt redukcionista törekvésétől: attól, hogy a rendszereket csupán alkotórészeiken - kvarkokon, kromoszómákon vagy neuronokon - keresztül tanulmányozza. Meggyőződésük szerint ők az egészet keresik. Az új teória legszenvedélyesebb szószólói azt az állítást is megkockáztatják, hogy az utókor csak három dologra fog emlékezni a XX. századi tudományból: a relativitáselméletre, a kvantummechanikára és a káoszra. Meggyőződésük, hogy a káosz a század harmadik nagy forradalma a fizikai tudományokban. Az első két forradalomhoz hasonlóan a káoszt is a newtoni fizikától való elszakadás jellemzi. Ahogy egy fizikus mondotta: A relativitáselmélet végzett az abszolút tér és idő newtoni illúziójával, a kvantumelmélet az ellenőrizhető mérési folyamat szintén newtoni álmával, a káosz pedig leszámolt a determinisztikus jóslat lehetőségének laplace-i képzetével." 3 E háromból a káosz forradalma közvetlenül érinti a látható és tapintható, emberi léptékű dolgok világát. A mindennapi tapasztalat és a világ valóságos képei újra visszakerültek a tudományos kutatásba. Már hosszú idő óta és sokan érezték úgy - ha nem adtak is neki hangot -, hogy az elméleti fizika jócskán elrugaszkodott a világról kialakult emberi elképzelésektől. Hogy ez az eretnekség termékeny lesz-e vagy terméketlen: nem tudni. De azok közül, akik szerint a fizika zsákutcába jutott, néhányan most a káoszban látják a kivezető utat. A fizikán belül a káosz tanulmányozása egy, mondhatni, holtágból indult ki. A XX. század nagy részében a fizikai kutatás fő áramlata a részecskefizika volt, amely mind nagyobb energiákon, egyre kisebb méretekben és időtartományokban tárta fel az anyag építőköveit. 1 Japán tudósok különösen komolyan vették a közlekedési problémát; pl. Tsohimitsu Musha és Hideyo Higuchi: The 1 / f Fluctuation of a Traffic Current on an Expressway. Japanese Journal of Applied Physics (1976), pp Alvin M. Saperstein: Chaos - A Model for the Outbreak of War. Nature309 (1984), pp Joseph Ford: What is Chaos, That We Should Be Mindful of It? preprint, Georgia Institute of Technology, p. 12.

10 A részecskefizikából származtak a természet alapkölcsönhatásairól és a világegyetem keletkezéséről szóló elméletek. Néhány fiatal fizikus mégis egyre elégedetlenebb volt a tudományok e legtekintélyesebbjének haladási irányával. A fejlődés egyre lassulni látszott, az új részecskék elnevezése felületesnek, az elmélet maga egyre zsúfoltabbnak tetszett. A káosz feltűntekor a fiatal tudósok úgy érezték, végre itt az egész fizikát átható irányzatváltozás kezdete. Úgy tartották, hogy már eleget uralkodtak ezen a területen a nagyenergiájú fizika és a kvantummechanika csillogó absztrakciói. A kozmológus Stephen Hawking 1 - Newton egykori tanszékének vezetője a Cambridge-i Egyetemen ban, Mutatkoznak-e olyan előjelek, amelyek az elméleti fizika végét sejtetik?" címmel tartott előadásában áttekintést adott tudományáról. A mindennapi élet tapasztalataihoz kapcsolódó általános fizikai törvényeket már ismerjük... Azért pedig, hogy az elméleti fizikában annyira messze előrehaladtunk, az a fizetség, hogy hatalmas gépeket és temérdek pénzt kell felhasználunk olyan kísérletekhez, amelyeknek eredményét nem lehet megjósolni." Hawking mindazonáltal elismerte: nem tudjuk, hogy a részecskefizikára alapozott természeti törvényeket vajon miképpen kell alkalmaznunk a legegyszerűbbeknél egy hajszállal is bonyolultabb rendszerekre. Más dolog a megjósolhatóság a ködkamrában, ahol két részecske egymásnak ütközik a gyorsító körüli eszeveszett hajszából jövet, és megint más, sőt egészen más egy közönséges kád kavargó vizében, a földi időjárásban, vagy az emberi agyban. Hawking fizikáját, amely egymás után szerzi a Nobel-díjakat és a nagy pénzeket a kísérletekhez, gyakran mondják forradalomnak. Időről időre mintha elérhető közelségbe kerülne a tudományok Szent Grál kelyhe, a Nagy Egyesített Elmélet (GUT), azaz a mindenek elmélete". A fizika végigkövette az anyag és energia fejlődését a világegyetem történetének szinte legelső pillanatától. De vajon valóban forradalom-e a háború utáni részecskefizika? Vagy csak annak a keretnek a kitágítása, amelyet Einstein, Bohr s a relativitáselmélet meg a kvantummechanika többi atyja alkotott? Nem kétséges, hogy a fizika eredményei - az atombombától a tranzisztorig - gyökeresen megváltoztatták a XX. század arculatát. A részecskefizika hatóköre mégis egyre szűkülni látszott. Két nemzedék is váltotta egymást azóta, hogy az ebben a tudományágban megfogalmazódott új gondolatok igazán erőteljesen hatottak a nem szakemberek világfelfogására. A Hawking által leírt fizika úgy jutott el küldetése végéhez, hogy a természetet illetően adós maradt néhány egészen sarkalatos kérdés megoldásával. Hogyan jött létre az élet? Mi a turbulencia? És legfőképpen: hogyan alakulhat ki rend ebben az entrópia kormányozta világegyetemben, amely feltartóztathatatlanul halad a mind nagyobb rendezetlenség felé? Mindazonáltal a mindennapokban megismert dolgok, például a folyadékok, gázok és mechanikai rendszerek annyira alapvetőnek és közönségesnek látszottak, hogy a fizikusok már-már úgy vélhették, behatóan ismerik és értik is őket. Holott nem így állt a dolog. Ahogy a káosz forradalma halad előre, a fizikusok legjobbjai egymás után ismerik fel, hogy minden zavar nélkül visszakerültek az emberi méretekhez. Nem galaxisokat tanulmányoznak, hanem felhőket. Eredményes számítógépes kutatásokat végeznek, s nem Crayeken, hanem Macintoshokon. A vezető folyóiratok a kvantumfizikai cikkek tőszomszédságában tanulmányokat közölnek az asztalon pattogó golyó különös dinamikájáról. Most mintha éppen a legegyszerűbb rendszerek okoznák a legnagyobb fejtörést az előrejelezhetőség dolgában. Ráadásul ezekben a rendszerekben - a káosszal karöltve - magától 1 John Boslough: Stephen Hawking's Universe (Cambridge University Press, Cambridge, 1980); lásd még Robert Shaw: The Dripping Faucet as a Model of Chaotic System (Aerial, Santa Cruz, 1984), p. 1.

11 feltűnik a rend. Csak egy újfajta tudománytól remélhető, hogy áthidalhatja azt a roppant szakadékot, amely az egyes dolgok - egyetlen vízmolekula, a szív szövetének egyetlen sejtje, egy magában álló idegsejt - viselkedéséről megszerzett ismereteket elválasztja azoktól, amelyeket milliónyi ugyanilyen dolog együttes viselkedéséről gyűjtöttünk össze. Figyeljünk meg két kis szomszédos vízbuborékocskát egy vízesés lábánál. Mondhatunke valamit is arról, hogy mekkora távolságra lehettek egymástól a vízesés legtetején? Semmit az égvilágon. A szokványos fizikán belül maradva az sem zárható ki, hogy Isten észrevétlenül az asztal alá csempészte az összes vízmolekulát és ott szépen megkeverte őket. Ha a hagyományos neveltetésű fizikusok bonyolult eredményeket észleltek, rögtön bonyolult okokat kerestek. Ha véletlenszerű összefüggést láttak egy rendszer bemenete és kimenete között, akkor mindjárt azt gondolták, hogy véletlenszerűséget - mesterséges zajt vagy hibát - kell beépíteniük bármely épkézlábnak szánt elméletbe. A káosz modern elmélete azzal a hátborzongató felismeréssel kezdődött, még a hatvanas években, hogy egészen egyszerű matematikai egyenletek is modellezhetnek olyan rendszereket, amelyek nem kevésbé változékonyak, mint az emlegetett vízesés. A bemenetnél még egészen elenyésző, apró eltérések óriási különbségekké nőhetnek a kimenetig - ez az a bizonyos érzékenység a kezdőfeltételekre". Az időjárásban ez például a félig komolyan, félig tréfásan pillangó-hatásnak nevezett jelenségben mutatkozik meg: e szerint ha egy pillangó szárnya rebbenésével megmozdítja a levegőt mondjuk Pekingben, akkor abból esetleg egy hónap múlva New Yorkban hatalmas viharrendszer támadhat. Amikor a káosz kutatói elkezdték feltárni új tudományuk családfáját, sok ide mutató korábbi gondolatot fedeztek fel. Afelől azonban még sincs semmi kétség, hogy a fiatal fizikus és matematikus forradalmárok ebből a bizonyos pillangó-hatásból indultak ki.

12 A pillangó-hatás A fizikusok valahogy így szeretnek gondolkozni: Ezek és ezek a feltételek: mi fog most történni?" RICHARD P. FEYNMAN A fizikai törvények jellege (Magvető, p. 187.)

13 A nap mindig tiszta, felhőt még sosem látott égboltról tűzött alá. A szél tükörsima földet söpört. Soha nem jött alkonyat, az ősz sohasem fordult télbe, és soha nem esett az eső. A szimulált időjárás - a négy évszak átlagának megfelelő száraz, nappali időjárás - lassan, de biztosan változott Edward Lorenz 1 új elektronikus számítógépében; ilyen viszonyok lehettek egykor Arthur király Camelotjában, vagy lehetnének Dél-Kaliforniában, ha nagyon meg találna enyhülni az idő. Lorenz az ablakon át láthatta a valódi időjárást, a kora reggeli ködöt, amint végigvonul a Massachusettsi Műegyetem (MIT) területén, vagy az Atlanti-óceán felől szinte a háztetők fölé beúszó felhőket. A számítógépén működő modellben sohasem jelent meg sem köd, sem felhő. A gép - egy Royal McBee - vezetékek és elektroncsövek sűrű bozótjából állt, jól elterpeszkedett Lorenz szobájában, furcsa, idegesítő zajokat hallatott, tetejébe úgy hetente el is romlott. Sem a sebessége, sem a memóriája nem volt elegendő a Föld légkörének és óceánjainak valódi szimulációjához ban Lorenz mégis kirukkolt egy játék-időjárással, amellyel szinte elbűvölte munkatársait. A gép egy perc alatt lepergetett egy egész napot, s a perc végén egy számokkal telenyomtatott lapon közölte az aznapi időjárást. Aki tudta, mit jelentenek az egymás utáni számok, kiolvashatta belőlük, hogy az uralkodó nyugati szél idővel északira fordult, aztán délire, majd újból északira. Digitalizált ciklonok forogtak lassan egy idealizált földgömbön. Ahogy a dolognak híre ment a tanszéken, a meteorológus kollégák és a végzős egyetemisták össze-összegyűltek a gép körül, és fogadásokat kötöttek, hogyan alakul majd Lorenz időjárása. Hogy, hogy nem, sosem ismételte önmagát. Lorenz örömét lelte az időjárásban - persze enélkül is válhat az emberből kutató meteorológus. Elvezte a változékonyságát. Kedvelte a légkörben keletkező és tovatűnő mintázatokat, az örvény- és cikloncsaládokat, amelyek bár matematikai szabályoknak engedelmeskedtek, sohasem ismétlődtek. Ha a felhőkre tekintett, hajlamos volt struktúrákat látni bennük. Korábban attól tartott, hogy az időjárást kutatni olyasvalami, mintha csavarhúzóval szednénk szét egy varázsdobozt. Most viszont azon tűnődött, vajon képes lesz-e egyáltalán a tudomány elhatolni a titokig. Úgy vélte, az időjárás igazi jellege nem fogható meg átlagokkal. A Massachusetts állambeli Cambridge júniusi középhőmérséklete átlagosan 24 fok. A szaúd-arábiai Rijadban évente átlagosan tíz az esős napok száma. Ezt mondja a statisztika. A lényeg viszont az, hogyan változnak a mintázatok a légkörben az idő múlásával; ezt ragadta meg Lorenz a Royal McBeen. Ebben a gépi világegyetemben ő volt a Teremtő: szabadon, tetszése szerint szabhatta meg a természet törvényeit. Bizonyos számú kevésbé isteni és tökéletes próbálkozás, téve- 1 Lorenznek három alapvető cikke van, amelyek közül a legfontosabb a Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), pp ; a másik kettő pedig a The Mechanics of Vacillation. Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), pp és a The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations. Tellus 16 (1964), pp Ezek megkapóan elegáns munkák, amelyek még húsz évvel később is hatással voltak a matematikusokra és fizikusokra. Lorenz visszaemlékezései első számítógépes légkörmodelljére megjelentek az On the Prevalence of Aperiodicity in Simple Systems című írásában; in: Global Analysis, eds. M. and J. Marsden (Springer-Verlag, New York 1979), pp

14 dés után, tizenkét törvényt választott. Ezek numerikus szabályok voltak - egyenletek -, amelyek a hőmérséklet és a nyomás, a nyomás és a szélsebesség viszonyát írták le. 1 Lorenz rájött, hogy sikerült a gyakorlatba átültetnie Newton törvényeit, amelyekkel egy órásmester isten megalkothat és mozgásba hozhat egy világot, egy azután már magától járó világot, hiszen a fizikai törvények determinizmusának jóvoltából szükségtelen bármiféle további beavatkozás. Aki ilyen modelleket alkot, az eleve úgy tartja, hogy a jelen és a jövő között a mozgástörvény ver hidat - a matematikai bizonyosság hídját. Ha felfogod a törvényt, megértetted a világegyetemet: ez a filozófia húzódott meg az időjárás számítógépes modellezése mögött is. S valóban, a XVIII. századi filozófusok, akik jóindulatú kívül maradónak - színfalak mögöttinek - gondolták el a Teremtőt, alighanem ilyen, Lorenz-hez hasonlatos lényt képzeltek maguk elé. Szokatlan fajta meteorológus volt. Megfáradt farmerarcából szinte kiragyogott a két szeme, s ettől úgy tetszett, mintha mindig mosolygós volna. Ritkán beszélt magáról vagy a munkájáról, inkább másokat hallgatott. Sokszor annyira belemerült a számításaiba vagy elgondolásaiba, hogy észre sem vette, ha szólnak hozzá. A hozzá közel állók úgy érezték, hogy Lorenz idejének jó részét feltehetőleg valahol a világűr egy távoli szegletében tölti. Gyerekkorában kezdte el fürkészni az időjárást: a szülői házban - a Connecticut állambeli West Hartfordban - naponta leolvasta és lejegyezte a maximum-minimum hőmérőről a napi legmagasabb és legalacsonyabb hőmérsékletet. Még több időt töltött el a házon belül matematikai fejtörőkkel. Időnként apjával együtt oldották meg a feladatokat. Egyszer egy különösen nehéz problémával találkoztak, amelyről azután kiderült, hogy nincs megoldása. El is fogadta, amit az apja mondott: mindig megpróbálhatsz egy feladatot azzal megoldani, hogy bebizonyítod, nincs megoldása. Ez tetszett Lorenznek, akárcsak a matematika tisztasága; amikor 1938-ban végzett a Dartmouth College-ban, úgy gondolta, a matematika az ő hivatása. A körülmények azonban - a II. világháború évei - közbeszóltak: a Légierőkhöz került időjárás-előrejelzőnek. A háború után már úgy döntött, megmarad az elméleti meteorológiánál, egy kicsit előrébb tolva a matematikát. Hagyományos tárgykörökben - az általános légkörzésről - írt dolgozatokkal szerzett tudományos hírnevet. De közben szakadatlanul töprengett tovább az előrejelzésen. 2 A legkomolyabb meteorológusok szemében az előrejelzés nem volt igazán tudomány, inkább csak ráérzés, amelynek révén a műszerek és a felhők állásából fogékonyabb technikusok kiókumlálják a másnapi időjárást. Ez lényegében tehát találgatás. A Massachusettsi Műegyetemhez hasonló kutatóközpontokban jobban kedvelték az olyan meteorológiai problémákat, amelyek megoldhatók. Lorenz ugyanúgy látta az időjóslásban uralkodó összevisszaságot, mint bárki más, aki megpróbált már időjárás-előrejelzéssel szolgálni katonai pilótáknak, benne azonban lapult valamiféle matematikai természetű érdeklődés e kérdéskör iránt. De nemcsak az előrejelzést vették semmibe a meteorológusok: az 1960-as években - lényegében minden komoly tudóssal egyetemben - a számítógépekben sem volt bizalmuk. 1 Az egyenletek felhasználásának kérdéseit a légkörmodellezésben Lorenz olvasmányosan írja le a következő, korabeli cikkben: Large-Scale Motions of the Atmosphere: Circulation; in: Advances in Earth Science, ed. P. M. Hurley (The MIT Press, Cambrige, Mass. 1966), pp A probléma ko rai, nagy hatású elemzését adja L. F. Richardson: Weather Prediction by Numerical Process (Cambridge, Cambridge University Press, 1922). 2 Lorenz egy előadásban is beszámol arról, hogy gondolkodását a matematika és a meteorológia ellentétes irányokban befolyásolta; ezt az Irregularity: A Fundamental Property of the Atmosphere című előadást Stockholmban, a Svéd Királyi Tudományos Akadémián tartotta a Crafoord-díj átvételekor, szeptember 28-án; meg jelent: Tellus 36A (1984), pp

15 Ezek a feljavított számológépek nem látszottak használható eszköznek az elméleti tudományban. Ilyenformán az időjárás numerikus modellezése is eléggé elfajzott problémának tűnt. Holott megérett rá a helyzet. Az időjárás előrejelzése kétszáz éve várt már egy olyan gépre, amely ezerszámra, fáradhatatlanul és gépiesen végzi egymás után a matematikai műveleteket. Csak egy ilyen számítógépnek lehetett esélye valóra váltani a newtoni ígéretet, mely szerint a világ felfejthető egy determinisztikus fonal mentén; hogy szabályok kormányozzák, mint a a bolygók mozgását; hogy előrejelezhető, mint a fogyatkozások és az árapály. Elméletileg a meteorológusok a számítógép birtokában megtehetik azt, amit a csillagászok ceruzával és logarléccel: kiszámíthatják a maguk világának jövőjét a kezdeti feltételekből és a fejlődést irányító fizikai törvényekből. A levegő és a víz mozgását leíró egyenletek éppúgy ismertek voltak, ahogy a bolygók mozgását leírók. A csillagászok nem jutottak el a tökéletességig, és reményük se igen lehet rá ebben a mi Naprendszerünkben, amelyben kilenc bolygó, rengeteg hold és a kisbolygók ezreinek tömegvonzása hat. De a bolygómozgásokra vonatkozó számítások hallatlan pontossága elfeledtette az emberekkel, hogy mégiscsak jóslásokról van szó. Ha a csillagász azt mondta: a Halley-üstökös hetvenhat év múlva visszatér", akkor ez ténynek tetszett, nem jóslatnak. A determinisztikus alapú numerikus előrejelzés pontos űrhajó- és rakétapályákat adott meg; miért nem számolta ki ugyanilyen pontosan a szeleket és a felhőket is? Nos, az időjárás sokkal bonyolultabb, jóllehet ugyanazok a törvények irányítják. Talán egy kellően nagy teljesítményű számítógép lehetne az a felsőbbrendű értelem, amelyet a XVIII. századi filozófus-matematikus, a newtoni láztól mindenkinél jobban megtámadott Laplace elképzelt: Egy ilyen értelem - írta - egyazon képletbe foglalhatná össze a világegyetem legnagyobb testjeinek és legkönnyebb atomjainak a mozgását; számára semmi sem lenne meghatározatlan és szemei előtt ott lenne a jövő éppúgy, mint a múlt." 1 Manapság, Einstein relativitáselméletének és Heisenberg határozatlansági összefüggésének korában, Laplace derűlátása már-már együgyűnek tetszhet, a modern tudomány mindazonáltal nem kis részben ma is ezt az álmát követi. Sok huszadik századi tudós - biológus, neurológus, közgazdász - lényegében arra törekszik, hogy lebontsa a maga világát a lehető legegyszerűbb olyan atomokra, amelyek tudományos szabályoknak tesznek eleget. Mindezekben a tudományokban változatlanul hat egyfajta newtoni determinizmus. A modern számítástechnika létrehozói maguk is Laplace nyomdokain haladtak; a számítástechnika és az előrejelzés története elválaszthatatlanul összekeveredett, amióta az 1950-es években Neumann János megtervezte első gépeit a princetoni (New Jersey állam) híres Felsőbb Tanulmányok Intézetében (Institute for Advanced Study). Neumann felismerte, hogy az időjárás modellezése egyenesen a számítógépek testére" van szabva. E felfogásban persze mindig megbújt egy csöppnyi megalkuvás, olyan csekély, hogy a kutatásban részt vevők rendszerint meg is feledkeztek róla, pedig ott rejtőzött gondolataik mélyén, mint valami kiegyenlítetlen tartozás. A mérések sohasem lehetnek tökéletesek. A Newton zászlaja alatt menetelő tudósok valójában nem is a newtoni zászlót lobogtatták, hanem egy másikat, amelyre valami ilyesmi volt írva: Ha közelítőleg ismeretesek egy rendszer kezdeti feltételei és a rendszert szabályozó természeti törvény, akkor közelítőleg kiszámíthatjuk a rendszer viselkedését. Ez a feltevés a tudomány filozófiai lényegéhez tartozik. Ahogy egy elméleti kutató szerette volt mondani tanítványainak: A nyugati tudomány alapgondolata az, hogy ha megpróbáljuk meghatározni, hogyan mozog egy golyó a biliárdasztalon, akkor nem kell figyelembe vennünk egy másik galaxis valamely bolygóján éppen lehulló faleveleket. A nagyon kis hatások elhanyagolhatók. Van bizonyos egyfelé igyekvés (konvergencia) a dolgok működésében, és akármilyen kicsiny hatások nem da- 1 Pierre Simon de Laplace: Essay philosopique sur les probabilités (1814).

16 gadhatnak tetszőlegesen nagy következményekké." A klasszikus tudományban jól bevált, igazolódott ez a hit a közelítésben és a konvergenciában. Ha 1910-ben egy kis hiba csúszik a Halley-üstökös helyzetének megállapításába, az csak egy kicsit teszi pontatlanná az üstökös helyzetének előrejelzését 1986-os feltűnésekor, sőt a hiba évmilliókon át is kicsi marad. A számítógépek ugyanennek a feltevésnek az alapján irányítják az űrhajót: a megközelítően pontos bemenetből megközelítően pontos kimenet származtatható. A gazdasági előrejelzések is erre építenek, bár már kevésbé látványos végeredménnyel. S nem tettek másképpen a globális időjárási előrejelzés úttörői sem. Lorenz primitív számítógépével a végsőkig, szinte csontvázzá egyszerűsítette az időjárást. A gép által kinyomtatott papírlapokon a sorról sorra változó szelek és hőmérsékletek mégis láthatólag úgy viselkedtek, mint a földi valóságban. Megerősítették a tudós kedvenc elképzeléseit, azt a benyomását, hogy ahogyan nő és csökken a nyomás, északra és délre kitér a légáramlás, az időjárás ismétli magát: hasonló időbeli mintázatokat mutat. Felfedezte, hogy amikor egy vonal felpúposodás nélkül ereszkedik le, akkor erre majd egy kettős felpúposodás következik, - s mint mondta: Az ilyen szabálynak látja hasznát az időjós." Az ismétlődések azonban sosem voltak tökéletesen pontosak. A mintázatokban zavarok is megjelentek, afféle rendezett rendezetlenség. Hogy a mintázatokat világosan láthatóvá tegye, Lorenz egy egyszerű ábrázolási módszert alkalmazott. A csupa számjegyekből álló sorok helyett bizonyos számú üres szóközt nyomtattatott ki, majd utánuk még egy a betűt is. Kiválasztott egy változót - mondjuk a légáramlás irányát. Az a-k lassan végighaladtak a papírtekercsen, előre-hátra hintázva, egy hullámvonal mentén: hosszú hegy- és völgysorokat rajzoltak ki, mutatván, hogyan térül el a nyugati szél északra és délre a kontinensen. Ennek rendezettsége, a felismerhető, újra meg újra feltűnő, de sohasem egyforma ciklusok szinte megigézték. Úgy tűnt, a rendszer lassan felfedi titkait az időjós tekintete előtt ben egy téli napon Lorenz egy hosszabb sorozatot szeretett volna megvizsgálni, s ezért rövidítéshez folyamodott: nem a legelejéről kezdte a futtatást, hanem a közepéről. A kezdeti feltételeket egyszerűen az előző kinyomtatott lapról olvasta le. Aztán lesétált a büfébe, hogy kikerüljön egy kicsit a zajból és megigyon egy csésze kávét. Amikor egy óra múlva visszatért, különös dolgot tapasztalt, s ezzel egy új tudomány alapjait vetette meg. Ennek az új futtatásnak pontosan meg kellett volna ismételnie a korábbi futás eredményét. Lorenz maga másolta be a számokat a gépbe, a program is ugyanaz maradt. De ahogy rátekintett az újonnan kinyomtatott lapra, Lorenz mindjárt látta: időjárása olyan rohamosan tér el a legutóbbi futás mintázatától, hogy alig néhány hónapnyi idő múlva már a legkevésbé sem emlékeztet rá. Hol ezt a számhalmazt nézte, hol azt. Akár egy kalapból is kihúzhatott volna két időjárást, csak úgy vaktában. Hamarjában arra gondolt, hogy biztosan kiégett a gépben az egyik elektroncső. Azután hirtelen rájött az igazságra: Minden rendben működött, csak a begépelt számokkal volt baj. 1 A számítógép hat tizedesjegyet tárolt a memóriájában: 0, A papírra - helykímélésül - csak hármat nyomtatott ki a gép: 0,506. Lorenz ezt a rövidebb, kerekített számsort gépelte be, gondolván, hogy az ezred résznél is kisebb különbség elhanyagolható. Ez ésszerű feltevés volt; ha például egy meteorológiai mesterséges hold az óceán felszíni hőmérsékletét egy ezrednyi pontossággal méri, akkor működtetői elégedettek lehetnek a teljesítményével. Lorenz Royal McBee számítógépe a klasszikus programot hajtotta végre, amely teljesen determinisztikus egyenletrendszeren alapult, vagyis nem tartalmazott vélet- 1 On the Prevalence... p. 55.

17 lenszerű folyamatoknak megfelelő tagokat. Ugyanabból a pontból kiindulva újra meg újra ugyanaz az időjárás adódik eredményül. S ha valamelyest különböző pontokból indulnánk ki, akkor az időjárás lefolyásában csak egészen kicsi lenne a különbség. Ez a csekély számértékbeli eltérés olyan, mint egy enyhe szélfuvallat - márpedig a kis fuvallatok nyilván elenyésznek vagy kioltják egymást, még mielőtt fontos, nagy léptékű időjárási jelenséggé nőhetnének. De lám, Lorenz sajátos egyenletrendszerében a kis hibák mégis katasztrofálisnak bizonyultak. 1 HOGYAN TÉRNEK EL EGYMÁSTÓL AZ IDŐJÁRÁS ALAKULÁSÁNAK MINTÁZATAI. Edward Lorenz látta, hogy jóllehet számítógépes időjárása közelítőleg ugyanabból a pontból indul ki, egymástól egyre jobban és jobban eltérő mintázatokat hoz létre, mígnem a hasonlóság végül teljesen eltűnik. (Lo renz 1961-ben kinyomtatott lapjaiból.) Lorenz úgy döntött, hogy közelebbről megvizsgálja, mennyire tér el két ilyen közeli időjárás alakulása. Az egyik kimeneti hullámvonalat fóliára másolta és ráfektette a másikra, hogy lássa, mégis mennyire válnak szét. Az első két kidudorodás apró részleteiben is fedte 1 A dinamikai rendszereken gondolkodó klasszikus fizikusok és matematikusok közül Jules Henri Poincaré értette meg a legjobban a káosz lehetőségét. Poincaré a következőket jegyezte meg a Science et Méthode-ban (Flammarion, Paris 1924, p ): Egy nagyon kicsiny, figyelmünket is elkerülő okból meglehetős méretű okozat származhat, amelyet már lehetetlenség nem észrevennünk; s ekkor azt mondjuk, hogy mindez a véletlen műve. Ha pontosan ismerjük a természet törvényeit és a világegyetem állapotát a kezdeti pillanatban, akkor pontosan jósolhatjuk ugyanannak a világegyetemnek az állapotát egy következő pillanatban. De a kezdeti állapotot csak közelítőleg ismerhetjük, s ez akkor sem lenne másként, ha már feltárult volna előttünk a természeti törvények valamennyi titka. Ha e közelítő ismeret birtokában képesek vagyunk ugyanazzal a közelítéssel megjósolni a következő állapotot, akkor minden teljesül, amit kívánunk. Ez esetben azt mondhatjuk, hogy a jelenséget megjósoltuk, hogy a jelenséget törvények irányítják. Ez azonban nincs mindig így; megtörténhet, hogy kis különbségek a kezdeti feltételekben nagyon nagy különbségeket támasztanak a végső jelenségben. Egy kis hiba az előbbiben nagy hibát okoz az utóbbiban. A jóslás így lehetetlenné válik..." Poincaré szá zadvégi figyelmeztetését gyakorlatilag elfelejtették; az Egyesült Államokban az egyetlen matematikus, aki komolyan követte Poincaré tanítását a húszas és harmincas években, George D. Birkhoff volt, s ő történetesen tanított egy ideig egy Edward Lorenz nevű diákot a Massachusettsi Műegyetemen.

18 egymást. Azután az egyik vonal egy paraszthajszállal lemaradt a másik mögött. Mire a következő dudorig jutottak, már feltűnően nem voltak azonos fázisban. A harmadik vagy negyedik dudornál pedig már semmiben sem emlékeztettek egymásra. Mindez, mondhatni, csupán egy ügyetlen számítógép bizonytalankodása volt. Lorenz nyugodt lélekkel feltehette volna, hogy a számítógépével van valami baj, vagy a modelljével - talán erre kellett volna gondolnia. Hiszen nem történt semmi olyasmi, mintha nátriumot és klórt vegyítve mondjuk aranyat kapott volna. Matematikai meggondolásokból kiindulva azonban - amelyeket kollégái csak később értettek meg - Lorenz úgy vélte, hogy valami itt nincs rendjén; valami kizökkent a kerékvágásból. Megdöbbenthette, amit tapasztalt. Egyenletei, holott csak karikatúrái voltak a földi időjárásnak, meggyőződése szerint mégis megragadták a valóságos légkör lényegét. Még nem is ért véget a nap, amelyen elszánta magát arra a bizonyos hosszú távlatú előrejelzésre, s máris kudarcot kellett vallania. 1 Egyáltalán nem jártunk sikerrel, és most megvan rá a mentségünk - mondta. - Azt hiszem, az emberek egyebek közt azért gondolták lehetségesnek az előrejelzést, mert léteznek olyan valóságos fizikai jelenségek, amelyek lefolyása valóban előre kiszámítható, ilyenek például a napfogyatkozások - amelyben elég bonyolult a Nap, a Hold és a Föld együttes dinamikája - vagy az óceáni árapály jelensége. Sohasem gondoltam az árapály előrejelzésekről, hogy jóslatok volnának - tényekről szóló állításoknak tartottam őket -, pedig igenis jóslatok. Az árapály valójában éppoly bonyolult, mint a légkör. Mindkettőnek vannak periodikus összetevői: megjósolhatjuk például, hogy a következő nyár melegebb lesz az idei télnél. De az időjárással úgy vagyunk, hogy köszönjük szépen, ezt már tudjuk róla. Ami viszont az árapályt illeti, abban épp ez a megjósolható rész érdekel bennünket; a megjósolhatatlan rész kis hányadot tesz ki, feltéve persze, hogy nincs vihar. A kívülálló, látván, hogy néhány hónapra előre is egészen jól meg tudjuk jósolni az árapályt, erre azt kérdezheti: miért nem tudjuk akkor előre megjósolni a légkör állapotát is; hiszen az is csak egy nem szilárd halmazállapotú közeg, nagyjából ugyanolyan bonyolultságú törvényekkel. Nos, arra jutottam, hogy ha egy fizikai rendszer nem periodikus viselkedésű, akkor - bármilyen legyen is e rendszer egyébként - a mozgása mindig megjósolhatatlan." Az ötvenes-hatvanas években irreálisan közelinek tetszett az időjárás előrejelezhetősége. 2 Az újságok, képeslapok gyakran cikkeztek az időjárástudománnyal kapcsolatos várakozásokról, s nem csupán előrejelzéssel, hanem az időjárás módosításával, sőt szabályozásával is kecsegtettek. Ez időre érett be ugyanis a digitális számítógépek és a mesterséges holdak technológiája. Együttes hasznosításukra nemzetközi programot készítettek elő, a Globális Légkörkutatási Programot, mégpedig abban a reményben, hogy végre fordul a kocka: az emberi társadalom megszabadulhat az időjárás viszontagságaitól, sőt megszabhatja az időjárás alakulását. Geodetikus kupolák borítanák a kukoricaföldeket, repülőgépek csapadékképző szerekkel hintenék be a felhőket; a tudósok megtanulnák, hogyan csináljanak esőt, és hogyan parancsoljanak megálljt neki. 1 On the Prevalence... p Az akkori szakértői vélemények széleskörű áttekintését adta a következő cikk: Weather Scientists Optimistic That New Findings Are Near; The New York Times, szeptember 9., p. 1. Mai (magyar nyelvű) áttekintéssel szolgál Götz Gusztáv: Káosza légkörben c. tanulmánya; Magyar Tudomány1993 / 4 tematikus szám: A káosz és rendezetlenség kutatása. Korszakváltás a tudományban.

19 Ennek a közkeletű felfogásnak Neumann volt a szellemi atyja, aki - egyebek között - éppen az időjárás irányítása céljából építette meg első számítógépét. Meteorológusokkal vette körül magát, és terveiről lélegzetelállító előadásokat tartott a fizikus társadalomnak. Megvolt rá a maga sajátos matematikai oka, miért látott rá lehetőséget. Felismerte ugyanis, hogy egy bonyolult dinamikai rendszerben létezhetnek instabilitási pontok: olyan kényes pontok, ahol egy apró lökésnek is komoly következményei lehetnek, például egy hegycsúcson egyensúlyozó labda esetében. Neumann úgy vélte, hogy a számítógép segítségével a tudósok több napra előre kiszámíthatnák a folyadékmozgás egyenleteinek megoldását, s e megoldás birtokában - az időjárást kiigazítandó - valamilyen központi meteorológus-bizottság repülőgépeket indíthatna útnak ködfüggönyök létrehozására vagy felhők behintésére. Neumann figyelmét azonban elkerülte a káosz lehetősége: jelesül az, hogy minden pontban felléphet ilyesfajta instabilitás. Az 1980-as évekre hatalmas és rengetegbe kerülő gépezet jött létre e Neumann-féle tervnek, de legalábbis az előrejelzésre vonatkozó részének a megvalósítására. Amerika legkiválóbb előrejelzői egy egyszerű kockaépületben dolgoztak együtt az egyik marylandi elővárosban, a washingtoni körgyűrű közelében; a tetőn annyi volt a radar meg az antenna, hogy kémközpontnak is bevált volna. Szuperszámítógépükön olyan modell futott, amely csak alapötletében hasonlított Lorenzéhez. Míg a Royal McBeenek alig hatvan szorzásra futotta másodpercenként, addig a Control Data Cyber 205-ös sebességét megaflopokban mérték, azaz másodpercenkénti egymillió lebegőpontos műveletben. Lorenz még beérte tizenkét egyenlettel; a modern globális modell 500 ezer egyenletből álló rendszerrel számolt. A modell tudta, milyen hőfolyamatokat kelt a levegőben a nedvesség kicsapódása és elpárolgása. Digitális hegyláncok formálták a digitális szeleket. Óránként özönlöttek az adatok a világ minden országából, repülőgépekről, mesterséges holdakról és hajókról. Az Amerikai Meteorológiai Központ a világ második legjobb előrejelzéseit adta. A legjobbak azonban az angliai Readingből jöttek, egy kis egyetemi városból, autóval alig egy órányira Londontól. A Középtávú Időjáráselőrejelzés Európai Központja egy szerény, fáktól árnyékolt, jellegtelen ENSZ-stílusú, modern üveg- és betonszerkezetű épületben székelt, sokfelől érkezett ajándékokkal ékesítve. Az összeurópai közös piaci szellem virágzásának idején épült, amikor a nyugat-európai nemzetek legtöbbje úgy határozott, hogy egyesíti a többiekkel tehetségét és erőforrásait az időjárás előrejelzésének ügyében. Az európaiak fiatal, rendszeresen megújuló - nem közszolgálati jellegű - gárdájuknak tulajdonították sikereiket, no meg Cray szuperszámítógépüknek, amely láthatólag mindig egy modellel előtte járt az amerikainak. Az időjárás-előrejelzés az első, de korántsem az utolsó eset volt, amikor a számítógépeket bonyolult rendszerek modellezésére használták fel. Sok fizikus és társadalomtudós is ehhez a módszerhez fordult, azt remélvén, hogy ez úton mindent megjósolhatnak, a lég- és hajócsavartervezőket foglalkoztató mikroméretű folyadékáramlásoktól kezdve a közgazdászokat izgató nagy gazdasági áramlatokig. S a hetvenes-nyolcvanas évekre a számítógépes gazdasági előrejelzés már csakugyan hasonlított a globális időjárás-előrejelzéshez. A modellek az egyenletek bonyolult - részben önkényes - szövevényét gyúrták-gyömöszölték, hogy a kezdeti feltételek - légköri nyomás vagy pénztartalékok - mért értékeiből kiindulva szimulálják a jövőbeli irányzatokat. A programozók azt remélték, hogy eredményeik nem válnak túlságosan torzzá a sok elkerülhetetlen egyszerűsítő feltevés után. Ha egy modell valami szembetűnően furcsát adott - mondjuk árvizet fakasztott a Szaharában, vagy megháromszorozta a kamatlábat -, akkor a programozók felülbírálták az egyenleteket, hogy a kimenetet visszatereljék a várakozásnak megfelelő irányba. A gazdasági modellek a gyakorlatban lehangolóan vaknak bizonyultak; sokan - akik mindenáron többet szerettek volna

20 tudni - mégis úgy tettek, mintha hittek volna az eredményekben. A gazdasági növekedést vagy a munkanélküliséget két vagy három tizedesjegy pontossággal vélte megjósolni a modell. 1 A kormányok és pénzügyi intézmények nem kis pénzt fizettek az ilyen jóslatokért, és jobb híján, kényszerűségből rájuk alapozva cselekedtek. Feltehetőleg tudták, hogy a fogyasztói optimizmus" és a hasonszőrű változók nem mérhetők olyan tisztán, mint a páratartalom", és hogy még senkinek sem sikerült felállítania a politikai mozgás vagy a divat tökéletes differenciálegyenleteit. Azt viszont kevesen vették észre, hogy már az áramlások számítógépes modellezése is meglehetősen bizonytalan, még akkor is, ha az adatok megbízhatónak tűntek, a vonatkozó törvények pedig tisztán fizikaiak voltak, mint például az időjárás előrejelzésében. A számítógépes modellezés valódi sikereket ért el az időjárás-előrejelzés művészetből tudománnyá változtatásában. Az Európai Központ becslései valószínűvé tették, hogy a jóslatok révén - amelyek statisztikailag jobbak voltak a véletlen találgatásnál - a világ dollármilliárdokat takarított meg minden egyes évben. Két vagy három napon túl azonban a világ legjobb előrejelzései is elbizonytalanodtak, hat vagy hét napon túl pedig teljesen hasznavehetetlenné váltak. Az ok a pillangó-hatásban rejlett. 2 A kisléptékű időjárási jelenségek lefolyása - s a globális előrejelzésben a viharok és hóviharok is ide számítanak - csak igen rövid időszakra jósolható meg előre. A hibák és bizonytalanságok a turbulens tulajdonságok láncán keresztül fokozatosan megsokszorozódnak, a portölcsérekből és széllökésekből földrésznyi kiterjedésű örvények formálódnak, s azokat csak a mesterséges holdak észlelik. A modern időjárási modellek egymástól nagyjából száz kilométerre levő észlelőhelyek hálózatával dolgoznak, és bizonyos kezdeti adatokat még így is találgatni kell, mert a földi állomások és a mesterséges holdak sem érzékelhetnek mindent. De tegyük fel mégis, hogy a Földet beboríthatnánk egymástól harminc centiméterre levő érzékelőkkel, és ezt a harminc centiméteres lépésközt felfelé is tarthatnánk, egészen a légkör tetejéig. Tegyük fel ezenfelül, hogy minden érzékelő tökéletesen pontos mérési eredményeket ad a hőmérsékletről, a nyomásról, a páratartalomról és bármely olyan mennyiségről, amelyre a meteorológus egyáltalán kíváncsi lehet. Pontosan délben egy végtelen nagy teljesítményű számítógép megkapja az összes adatot és kiszámítja, hogy mi történik majd minden egyes pontban 12:01-kor, aztán 12:02-kor, aztán 12:03-kor... A számítógép azonban változatlanul képtelen lesz megjósolni, napos vagy esős idő lesze egy hónap múlva a New Jersey állambeli Princetonban. Az érzékelők közötti terekben a déli méréskor is fluktuációk, az átlagtól való piciny eltérések bújnak meg, s a számítógép nem szerez róluk tudomást. 12:01-re ezek a fluktuációk már kisebb hibákat idéznek elő a 30 centiméteres távolságon. A hibák hamarosan elérik a három méteres nagyságrendet, sőt nemsokára a földgolyó méretéig nőnek majd. Mindez ellentmond az intuíciónak, még a tapasztalt meteorológusok intuíciójának is. Lorenz beszélt a pillangó-hatásról egyik legrégebbi barátjának és MIT-beli meteorológustársának, Robert White-nak, aki később az Amerikai óceán és Légkör Hivatal vezetője lett, s elmondta azt is, mit jelent ez szerinte a hosszú távú jóslás szempontjából. White ugyanúgy válaszolt erre, mint Neumann tette volna: Jóslás, az semmi, - mondta - ez maga az időjárás irányítása." Úgy gondolta, hogy az emberi lehetőségek körébe eső apró módosítá- 1 Peter B. Medawar Expectation and Prediction; in: Pluto's Republic (OxfordUniversity Press, Oxford, 1982), pp Lorenz eredetileg inkább a tengeri sirályra hivatkozott. Az elfogadottabb név talán a Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas? c. előadásból származik, amelyet az American Association for the Advancement of Science éves közgyűlésén tartott Washingtonban, december 29-én.

21 sok révén létrehozhatják a kívánt nagy léptékű változásokat. Lorenz másképpen látta. Hogyne, megváltoztatjuk az időjárást; elérhetjük, hogy másképpen alakuljon, mint különben alakult volna. De ha megtesszük, sosem fogjuk megtudni, miként alakult volna magától. Mintha csak megkevernénk egy már jól megkevert kártyacsomagot. Tudjuk, hogy megváltoztatja a szerencsénket, de azt nem, hogy javítja-e vagy rontja. Lorenz felfedezése a véletlen műve volt, folytatása annak a sornak, amely Arkhimédésszel és fürdőkádjával vette kezdetét. Lorenz mégsem kiáltott soha heurékát. Nem változtatott jellemén, hozzáállásán az a tény, hogy finom érzékkel kietlennek tűnő helyen is értéket talált. Készen állt arra, hogy feltárja felfedezésének következményeit: nevezetesen, hogy kiderítse, mit változtat ez a felfedezés a folyadék áramlásának tudományos felfogásán. Ha Lorenz nem lép tovább a pillangó-hatásnál, a megjósolhatatlanság olyasfajta képénél, amely utat nyit a merő véletlen előtt, akkor csupán egy nagyon rossz hírrel szolgált volna. Csakhogy ő a véletlennél többet érzékelt ebben az időjárás-modellben. Finom geometriai szerkezetet látott benne, melynek csak álcája a véletlenszerűség. Végül is meteorológus alakját felöltött matematikus volt, és ettől fogva, mondhatni, kettős életet élt. Írt tisztán meteorológiai cikkeket, s írt tisztán matematikaiakat is, kissé félrevezető meteorológiai bevezetővel. Utóbb azután ezek a bevezetők teljesen elmaradtak. Figyelme egyre inkább olyan rendszerek matematikája felé fordult, amelyek sohasem jutnak állandósult állapotba: olyan rendszerekére, amelyek szinte megismétlik önmagukat, de sohasem minden részletükben. Mindenki tudta, hogy az időjárás éppen ilyen - aperiodikus - rendszer. A természetben ez egyáltalán nem ritkaság: az állati populációk majdnem szabályosan növekszenek és csökkennek; a járványok - nem kis fájdalmunkra - csaknem szabályos időközökben jönnek és mennek. Ha az időjárás egyszer is pontosan olyan állapotba jutna vissza, amilyenben már volt - minden szélroham és felhő pontos mása lenne egy korábbi pillanatban fennállottnak -, akkor ezután alighanem örökké ismételné önmagát, és pofonegyszerűvé válna az előrejelzés feladata. Lorenz átlátta, hogy ennek az önismétlődéstől való tartózkodásnak valamiképpen összefüggésben kell lennie az időjárás-előrejelzések óhatatlan pontatlanságával: azaz kapcsolatnak kell lennie az aperiodikusság és a megjósolhatatlanság között. 1 Nem volt könnyű feladat egyszerű egyenletekkel előállítani ezt a kívánt aperiodikusságot. Számítógépe eleinte előszeretettel esett ismétlődő ciklusokba. De Lorenz néhány kisebb bonyolítás révén végül is sikerrel járt: kialakított egy olyan egyenletet, amely kelet-nyugati irányban változtatta a felmelegedés mértékét, tökéletes összhangban azzal, ahogy a valóságban is más és más a napsütés melegítő hatása például Észak-Amerika keleti partján és az Atlanti-óceánon. Ekkor eltűnt az ismétlődés. A pillangó-hatás nem holmi véletlen volt, hanem nagyon is szükségszerű. Tegyük fel - fejtegette Lorenz -, hogy a kis zavarok végig kicsik maradnak, s nem nőnek egyre nagyobbra a rendszerben. Ha így lenne, és az időjárás tetszőlegesen közel kerülne valamely korábbi állapotához, akkor tetszőlegesen közel maradna az e korábbi időjárás további alakulásához. Gyakorlati szempontból tehát megjósolhatóak volnának a ciklusok, azaz végül is érdektelenek. A tényleges földi időjárás változatos gazdagságának, csodálatos sokféleségének okaként keresve sem találhatunk jobbat a pillangó-hatásnál. A pillangó-hatás tudományos nevet kapott; ettől fogva úgy mondták: érzékenység a kezdőfeltételekre. A kezdőfeltételektől való érzékeny függés nem egészen új eszme. Fellelhe- 1 The Mechanics of Vacillation.

22 tő a népköltésben is: Egy szög miatt a patkó elveszett; A patkó miatt a ló elveszett; A ló miatt a lovas elveszett; A lovas miatt a csata elveszett; A csata miatt az ország elveszett!" 1 (Károlyi Amy fordítása) A tudományban, akárcsak az életben, köztudomású, hogy az események láncában adódhat egy válságpont, amely felnagyíthatja a csekélyke változásokat. A káosz azt jelenti, hogy mindenütt vannak ilyen pontok: áthatnak mindent. Az időjáráshoz hasonló rendszerekben a kezdőfeltételek iránti érzékenység elkerülhetetlen következménye annak a módnak, ahogyan a kis és nagy mérettartományok összefonódnak. Kollégáit bámulatba ejtette, ahogy Lorenz mind az aperiodikusságot, mind a kezdőfeltételekre való érzékenységet megjelenítette a maga játék-időjárásában: épp csak egy tucat egyenletben, amelyeket könyörtelen mechanikus hatékonysággal számolt ki újra meg újra. Hogyan támadhat ilyen gazdagság, ilyen megjósolhatatlanság - ilyen káosz - egy egyszerű determinisztikus rendszerben? Lorenz félretette az időjárást, és a bonyolult viselkedésnek még ennél is egyszerűbb megnyilatkozásait kereste. Talált is egy csupán három egyenlet által leírható rendszert. Ezek az egyenletek nemlineáris egyenletek voltak, ami annyit tesz, hogy az egyenes arányosságtól eltérő összefüggéseket fejeztek ki. A lineáris összefüggések rajzban egyenes vonallal ábrázolhatók. A lineáris összefüggéseket könnyű elgondolni: mennél több, annál jobb (mégpedig arányosan: ha kétszer több, akkor kétszer jobb - a fordító). A lineáris egyenletek könnyen megoldhatók, ezért nagyon jó iskola- (és tankönyvi) példák. A lineáris rendszereknek nagy előnyük az elemekből való összerakhatóság: szét lehet őket szedni, aztán újra összerakni - a darabok összeadódnak. A nemlineáris rendszerek egyenletei rendszerint nem oldhatók meg és nem lehet összeadni őket. A folyadékrendszerekben és a mechanikai rendszerekben a nemlineáris tagok adnak számot azokról a tulajdonságokról, amelyektől az emberek - egyszerű és könnyen átlátható képre törekedve - rendszerint igyekeznek megszabadulni. Ilyen sajátosság például a súrlódás. A súrlódást számításon kívül hagyva egy egyszerű lineáris egyenlet fejezi ki azt az energiamennyiséget, amely egy jégkorong valamekkora mértékű felgyorsításához szükséges. A súrlódással is számolva az összefüggés bonyolultabb lesz, mert ez az energiamennyiség attól is függeni fog, milyen sebesen mozog már a korong. A nemlinearitás azt jelenti, hogy a játék alakulása befolyásolja a játékszabályokat. Nem tulajdoníthatunk mindentől független jelentőséget a súrlódásnak, mert ez a jelentőség függ a sebességtől. És viszont: a sebesség függ a súrlódástól. Ez a kifordult, csavaros változékonyság teszi nehezen kiszámíthatóvá a nemlinearitást, de ez ad módot a vele járó gazdag viselkedésformákra is, amelyek lineáris rendszerekben soha nem léphetnek fel. A hidrodinamikában minden egyetlen központi egyenletre, a Navier-Stokes egyenletre csupaszodik le: ez a tömörség 1 Ebben az összefüggésben Norbert Wiener idézte: Nonlinear Prediction and Dynamics; in Collected Works with Commentaries, ed. P. Masani (The MIT Press, Cambridge, Mass., 1981), 3:371. Wiener Lorenz elődje volt a tekintetben, hogy legalább a lehetőségét látta a kis részletek felerősödésének az időjárási térképen". Megjegyezte, hogy "a tornádó teljességgel helyi jelenség, és kis kiterjedésű apróságnak tűnő dolgok határozhatják meg a pontos pályáját."

23 csodája, amely összefüggést állít fel a folyadék sebessége, nyomása, sűrűsége és viszkozitása (folyóssága) között, de történetesen nemlineáris. Ezért ezeknek az összefüggéseknek a megragadása nemegyszer lehetetlenné válik. Egy nemlineáris egyenlet - mondjuk a Navier-Stokes egyenlet - viselkedésének vizsgálata olyan, mint egy labirintusban sétálni, amelynek a falai minden lépésünk után máshová kerülnek. Ahogy Neumann maga mondta: Az egyenlet jellege... minduntalan változik minden fontos tekintetben: a rendje éppúgy, mint a fokszáma. Így nem kis matematikai nehézségekkel számolhatunk." 1 A világ más lenne - és a tudománynak nem kellene semmiféle káosz -, ha a Navier-Stokes egyenletbe nem férkőzött volna be a nemlinearitás démona. Lorenz három egyenletét egy sajátos folyadékmozgás sugalmazta: a forró gáz vagy folyadék felemelkedése vagy felfelé áramlása, amit konfekciónak neveznek. A légkörben a konvekció összekeveri a napsütötte földfelszín által felmelegített levegőt, és kísértet módjára reszkető konvektív hullámokat csal a forró aszfalt és a radiátorok fölé. De Lorenz éppoly boldog volt, ha egy csésze forró kávéban fellépő konvekcióról beszélhetett. 2 Mint mondta, ez csak kiragadott példa a tömérdek hidrodinamikai folyamatra világegyetemünkben, az Egészben, amelynek viselkedését szeretnénk előre ismerni. Hogyan számíthatjuk ki, milyen gyorsan hűl le egy csésze kávé? Ha a kávé csak meleg, hője bármi hidrodinamikai mozgás nélkül szétszóródik. A kávé mindvégig állandósult állapotban marad. De ha kellően forró, akkor egy konvektív áram a csésze aljáról felviszi a forró kávét a hidegebb felszínre. Ez a konvekció szépen láthatóvá válik, ha egy kis tejszínt csurgatunk a kávéba. Bármily bonyolult legyen is a kavargás, aligha kétséges, mi felé halad a rendszer. Mivel a hő szétszóródik és a súrlódás lelassítja a mozgó folyadékot, a mozgásnak szükségszerűen meg kell szűnnie. Lorenz némi szarkazmussal csak ennyit mondott erről egy tudományos eszmecserén: Adódhatnak nehézségeink, ha tudni szeretnénk, mekkora lesz egy perc múlva a kávé hőmérséklete, de szinte egyáltalán nem kerül fáradságba megmondani, hogy mekkora lesz egy óra múlva." 3 A kihűlő kávét leíró mozgásegyenleteknek tükrözniük kell a rendszer végső állapotát. Szét kell szórniuk, el kell veszejteniük az energiát, avagy - fizikus szóhasználattal élve - disszipatívnak kell lenniük. A hőmérsékletnek tartania kell a szoba hőmérsékletéhez, a sebességnek pedig nullához. Lorenz vett egy csomó konvekciós egyenletet 4 és teljesen lecsupaszította őket; mindent elvetett belőlük, ami felesleges, s ezzel irreálisan egyszerűvé változtatta őket. Egyetlen tulajdonság - a nemlinearitás - kivételével szinte semmi sem maradt az eredeti modellből. Fizikus szemmel nézve, az egyenletek könnyűnek tetszettek. Rájuk pillantva azt gondolhatjuk - ahogyan sok tudós tette a következő években -, hogy meg tudnám oldani őket. Hogyne - mondta Lorenz - látva őket, hajlamosak vagyunk ezt hinni. Akad bennük né- 1 John von Neumann: Recent Theories of Turbulence. (1949); in: Colletted Works, ed. A. H. Taub (Pergamon Press, Oxford 1963), 6: The predictability of hydrodynamic flow; in: Transactions of the New York Academy of Sciences 11:25:4 (1963), pp U.o. p Ezt a konvekciót modellező, hét egyenletből álló rendszert Barry Saltzman találta ki a Yale Egyetemen. A Saltzman-egyenletek általában periodikusan viselkedtek, de az egyik változat nem volt hajlandó lehiggadni", ahogy Lorenz mondta, és Lorenz észrevette, hogy ennek a kaotikus viselkedésnek a folyamán négy változó nullához közelített - így el lehetett hanyagolni őket. Barry Saltzman: Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem; Journal of the Atmospheric Sciences 19 (1962), p A konvekció kísérleti és elméleti megkö zelítéseiről magyarul is olvasható Sasvári László tanulmánya: A Rayleigh-Bénard instabilitás; in: Kürti Jenő (szerk.): Nemlineáris jelenségek: Struktúrák kialakulása és káosz (ELTE Fizikus Diákkör 1983) I. kötet IV. fejezet.

24 hány nemlineáris tag, mégis bízunk benne, hogy valami módon csak kikerülhetjük őket. Holott erre nincs mód." A legegyszerűbb, tankönyvekben szerepeltetett konvekció egy folyadékcellában zajlik, egy dobozban, amelynek sima alját melegíteni, szintén sima tetejét pedig hűteni lehet. A forró fenék és a hideg tető közötti hőmérséklet-különbség határozza meg, hogyan áramlik a hő. Ha ez a különbség kicsi, akkor a rendszer nyugalomban marad: a hő ilyenkor vezetéssel jut feljebb, éppúgy, mint egy fémrúdon keresztül, anélkül, hogy legyőzné a folyadék természetes hajlamát a nyugalomban maradásra. Sőt a rendszer stabil: bármilyen véletlenszerű mozgás - például ha egy egyetemi hallgató óvatlanul meglöki a berendezést - ki fog halni, s a rendszer visszajut állandósult állapotába. Ámde ha növeljük a hőt, akkor a rendszer újfajta viselkedést mutat. Ahogy a folyadék alja felforrósodik, egyben ki is tágul, azaz kevésbé sűrű lesz, s idővel odáig csökken a sűrűsége, hogy legyőzi a súrlódást, és megindul felfelé, a felszín felé. Egy e célra tervezett dobozban például hengeres áramlás fejlődhet ki, a henger egyik oldalán a forró folyadék felemelkedik, a másik oldalán a hideg folyadék lesüllyed. Oldalról nézve a mozgás körkörösnek látszik. A természet a laboratórium falain kívül is gyakran hoz létre konvekciós cellákat. Amikor például a Nap felmelegíti a sivatag homokfelszínét, akkor a mozgó levegő bizonytalan körvonalú mintázatokat alakíthat ki fent a felhőkben vagy lent a homokon. Ha a hő mennyisége tovább növekszik, akkor a viselkedés is egyre bonyolódik. A hengerek hullámzani kezdenek. Lorenz lecsupaszított egyenletei jóval egyszerűbbek voltak, semhogy ezt a fajta komplexitást modellezhették volna. Csak egyetlen tulajdonságát jelenítették meg a valódi világ konvekciójának: a forró folyadék felemelkedő és süllyedő, óriáskerékre emlékeztető körmozgását. Az egyenletek tekintetbe vették ennek a mozgásnak a sebességét és a hőszállítását. Ezek a fizikai folyamatok kölcsönhatásban voltak egymással: ahogyan valamely piciny forró folyadékcsepp felemelkedett a kör mentén, hidegebb folyadékkal került érintkezésbe és így kezdte elveszíteni a hőjét. Ha a kör elég gyorsan mozgott, a folyadékcseppnek maradt még hőtartaléka azután is, hogy elérte a tetőpontot és elkezdett lefelé süllyedni a henger másik oldalán, s ezenközben voltaképp elkezdett ellenállni a mögötte jövő másik folyadékcsepp lendületének. Bár Lorenz rendszere nem modellezte teljesen a konvekciót, kiderült, hogy mégis vannak pontos hasonmásai a valóságban. Az egyik egyfajta régimódi elektromos dinamó, a modern generátorok elődje, amelyben az áram egy mágneses térben forgó korongon folyik át. Bizonyos feltételek között a dinamó megfordulhat. Ahogyan Lorenz egyenletei ismertebbé váltak, egyes kutatók arra a belátásra jutottak, hogy ennek a dinamónak a viselkedése magyarázatot adhat egy másik különös megfordulási jelenségre: a földi mágneses tér megfordulására. A geodinamó"-ról tudjuk, hogy sokszor átfordult a földtörténet során, olyan időközönként, amelyeknek a hossza véletlenszerűnek és megmagyarázhatatlannak tűnik. Ezzel a szabálytalansággal szembesülve, az elméleti szakemberek általában a rendszeren kívül eső okokat hoztak fel magyarázatul, például a meteoritbecsapódásokat. Pedig talán a geodinamónak is megvan a maga saját káosza. 1 Egy másik rendszer, amelyet a Lorenz-féle egyenletek pontosan leírnak, egy bizonyos típusú vízikerék, a konvekció forgó hengerének mechanikai hasonmása. Ebben a rendszer- 1 A Föld mágneses terének káoszon alapuló magyarázata még ma is erősen vitatott. Ennek az ötletnek egyik legelső megfogalmazása megtalálható a következő cikkben: K. A. Robbins: A moment equation description of magnetic reversals in the earth; Proceedings of the National Academy of Science 73 (1976), pp A kozmikus dinamókról magyar nyelven is olvashatunk Király Péter: Káosz-jelenségek geofizikai és asztrofizikai rendszerekben c. tanulmányának 4. fejezetében; in: Szépfalusy Péter-Tél Tamás (szerk.): A káosz. Veletlenszerű jelenségek nemlineáris rendszerekben (Akadémiai Kiadó, 1982).

25 ben felülről folyamatosan víz ömlik kerékabroncsra szerelt tartályokba. A tartályokból egy kis lyukon át állandóan csorog ki a víz. Ha a víz lassan ömlik be, akkor a felső tartályok sosem telnek meg annyira, hogy legyőzhetnék a súrlódást; ám ha a beáramlás gyorsabb, a súly elkezdi forgatni a kereket. A forgás folytonossá válhat. S ha a beáramlás már olyan gyors, hogy a nehéz tartályok átlendülnek az alsó ponton és elkezdenek felfelé emelkedni a másik oldalon, akkor a kerék lelassulhat, megállhat és forgása ellenkező irányúra változhat. MOZGÓ FOLYADÉK. Amikor egy folyadékot vagy gázt alulról melegítünk, a közeg hajlamos hengerekké szerveződni (balra). A forró közeg az egyik oldalon felemelkedik, majd hőt vesztve a másikon lesüllyed - ez a konvekció folyamata. Ha egyre növeljük a hőmérsékletet (jobbra), instabilitás lép fel: a hengerek hullámzani kezdenek, és ez a hullámzás előre-hátra mozog a hengerek palástja mentén. Még nagyobb hőmérsékleteken az áramlás elvadul, és turbulenssé válik. A fizikusi intuíció - a káoszt megelőző idők fizikusi intuíciója - azt súgná, hogy egy ilyen egyszerű mechnikai rendszerben hosszú idő múltán, ha a vízbeáramlás már nem változik többé, valamilyen állandósult állapot alakul ki, akár úgy, hogy a kerék állandóan forog, akár úgy, hogy állandóan oda-vissza leng, azonos időközönként előbb az egyik, azután a másik irányba fordulva. Lorenz azonban másként tapasztalta. Három változóval felírt három egyenlet tökéletesen visszaadta ennek a rendszernek a mozgását. 1 Lorenz számítógépe kinyomtatta a három változó összetartozó értékeit: ; ; ; ; ; ; A három szám előbb emelkedett, 1 Ez a klasszikus - általában Lorenz-rendszernek nevezett - modell a következő: dx/dt =10(y x) dy/dt = -xz + 28x y dz/dt = xy - (8 / 3)z. Ezt a rendszert a Deterministic Nonperiodic Flow c. cikkben való megjelentetése óta töviről hegyire megvizsgálták; e tekintetben irányadó szakkönyv Colin Sparrow műve: The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors (SpringerVerlag, 1982). Magyarul a következő helyeken olvashatunk a Lorenz-modellről: Hermann Haken: Szinergetika (Műszaki Könyvkiadó, 1984), 12. fejezet; Gnádig Péter-Györgyi Géza-Szépfalusy Péter-Tél Tamás: Bevezetés a káosz kialakulásának és tulajdonságainak elméletébe c. tanulmányának pontja; in: Szépfalusy-Tél (szerk.): A káosz; Tél Tamás: A káosz és kialakulása c. tanulmányában; in: Kürti J. (szerk.): Nemlineáris jelenségek, II. kötet, XII. fejezet.

26 azután csökkent, ahogy teltek a képzelt időtartamok: öt időegység, száz időegység, ezer időegység. Az adatok ábrázolása céljából Lorenz a számhármasokat koordinátákként fogta fel, a háromdimenziós tér egy-egy pontjának koordinátáiként. A számsorozatból így folytonos pályát kirajzoló pontsorozat lett; ez a pálya jellemezte a rendszer viselkedését. Egy ilyen pálya eljuthat egy pontba, ahonnan már nem is lép tovább; ez azt jelenti, hogy a rendszer végül állandósult állapotba jutott, ahol a sebesség és hőmérséklet értéke nem változik többé. De ez a pálya be is záródhat: azaz a pillanatnyi állapotnak megfelelő pont körbe-körbejár egy zárt görbe mentén; ez pedig azt jelenti, hogy a rendszer viselkedése szabályos időközönként megismétlődik. A LORENZ-FÉLE VÍZIKERÉK. Az első, Ed ward Lorenz által felfedezett, híressé vált kaotikus rendszer pontosan megfelel egy mechanikai rendszernek: a vízikeréknek. Erről az egyszerű rendszerről bebizonyosodott, hogy meglepően bonyolulttá válhat a viselkedése. A vízikerék forgásának egyik-másik tulajdonsága megegyezik a konvekciós folyamat forgó folyadékhengereinek sajátosságaival. A vízikerék olyan, mint a henger keresztmetszete. Az egyiket folyamatosan hajtja a víz, a másikat a hő - és mindkettő szétszórja az energiát. A folyadék hőt veszít, a vödrök vizet. A két rendszer hosszú távú viselkedése egyaránt attól függ, mennyi a hajtóenergia. A folyadék egyenletesen ömlik felülről a vízikerékre. Ha lassan ömlik, akkor a legfelső vödör sosem telik meg annyira, hogy legyőzze a súrlódást, és a kerék sosem jön forgásba. (Éppígy, ha a hő túl kevés a viszkozitás legyőzéséhez, akkor nem hozza mozgásba a folyadékot.) Ha szaporábban ömlik a víz, akkor a legfelső vödör súlya mozgásba hozza a kereket (balra). A vízikerék forgása beállítható úgy, hogy a forgás állandó sebességgel folytatódjék (középen). De ha még több víz ömlik be (jobbra), akkor - a rendszerbe beépített nemlinearitás folytán - a forgás kaotikussá válhat. A forgási sebességtől függ, mennyire telnek meg a vödrök a vízbeömlés helyén. Ha a kerék gyorsan forog, a vödröknek kevés idejük van a töltődésre. (Egy gyorsan forgó konvekciós hengerben a folyadéknak szintén kevés ideje van a hő elnyelésére.) S ha a kerék gyorsan forog, a vödrök még az előtt átkerülhetnek a felfelé mozgó oldalra, hogy teljesen kiürülhettek volna; s ezek a nehéz vödrök lelassíthatják a forgást, majd megfordíthatják az irányát. Lorenz voltaképpen felfedezte, hogy hosszú időszakok alatt a forgás iránya sokszor megfordulhat, mikö zben a rendszer sebessége sohasem állandósul, és a rendszer sohasem követ valamilyen ismétlődő, előre megjósolható mintát. Csakhogy a Lorenz rendszerének megfelelő pálya sehol nem ért véget és nem is záró-

27 dott be, hanem valamiféle végtelen bonyolultságot tükrözött. Mindig határok között maradt, sosem futott ki a lapról, mégsem ismételte önmagát. Különös, határozott formát követett, valamilyen kettős spirált rajzolt ki három dimenzióban: mintha egy kiterjesztett szárnyú pillangót ábrázolt volna. Az alakzat tökéletesen rendezetlennek tetszett, nem lévén rajta ismétlődő pont vagy pontokból álló mintázat, s mégis egy újfajta rend nyilatkozott meg rajta. Évekkel később a fizikusoknak átszellemült az arcuk, ha az ezekről az egyenletekről szóló Lorenz-cikkre terelődött a szó: - Ó, az a csodálatos tanulmány - mondogatták róla, akárha egy ókori kézirat lett volna, tudósítás az örökkévalóság titkairól. A káosz tudományos irodalmának több ezer cikke közül nemigen akad, amelyikre többet hivatkoztak volna, mint erre, a Determinisztikus nemperiodikus áramlás"-ra. Éveken át egyetlen dolog sem ihletett több ábrát, sőt filmet, mint ez az imént leírt titokzatos görbe, a kettős spirál, amely Lorenz-attraktor néven vált ismertté. Lorenz képei mutatták meg először, mit is jelent az, hogy valami bonyolult." Ezekben a képekben benne volt a káosz minden gazdagsága. Akkoriban azonban csak kevesen vették ezt észre. Lorenz elmondta a dolgot Willem Malkusnak, a Massachusettsi Műegyetem alkalmazott matematikus professzorának, akinek nagyszerű képessége volt a kollégák munkájának értékelésére. Malkus nevetett és azt mondta, Ed, tudjuk - nagyon jól tudjuk -, hogy a folyadék konvekció egyáltalán nem így működik." A bonyolultság biztosan egyszerűsödik, mondta Malkus, és a rendszer eljut egy állandó, szabályos mozgáshoz. Persze teljesen félreértettük a lényeget - ismerte el, egy emberöltő múltán Malkus, évekkel azután, hogy a hitetlenek meggyőzésére épített egy igazi Lorenz-féle vízikereket alagsori laboratóriumában Ed egyáltalán nem a mi fizikánk fogalmaiban gondolkodott. Valamifajta általánosított vagy elvont modell lebegett a szeme előtt, amelynek a viselkedése, benyomásai szerint, bizonyos vonatkozásokban jellemző volt a külső világra. Ezt azonban nem tudta nekünk igazán megvilágítani. Csak később jöttünk rá, hogy nyilván ilyesfajta gondolatok foglalkoztatták." Kevés kívülálló ébredt rá, mennyire széttagolódott a tudós közösség: akár egy modern csatahajó, amelyet válaszfalakkal cellákra osztanak fel, védekezésül a meglékelés veszélye ellen. A biológusoknak túl sok olvasnivalójuk volt, semhogy lépést tarthattak volna a matematikai irodalommal; sőt, mondjuk, a molekuláris biológiával foglalkozóknak már ahhoz is túl sok, hogy a populációbiológia eredményeit követhessék. Ami a fizikusokat illeti, úgyszintén volt jobb dolguk is, mint meteorológiai folyóiratokat böngészni. Néhány matematikust felajzott volna, ha tudomást szerez Lorenz felfedezéséről; abban az évtizedben fizikusok, csillagászok és biológusok is keresgéltek valami hasonlót, és néha újra fel is fedezték. No de Lorenz meteorológus volt, és ugyan ki gondolhatta volna, hogy a káosz éppen a Journal of the Atmospheric Sciences (Légkörtudományi Folyóirat) 20. kötetének 130. oldalán van leírva. 1 1 A Deterministic Nonperiodic Flow c. cikket a tudományos közösség az 1960-as évek közepén évente átlagban egyszer idézte; két évtizeddel később évente több mint százszor hivatkoztak rá.

28 A LORENZ-ATTRAKTOR. Ez a bűvös kép, amely egy bagoly ábrázatához vagy egy pillangó szárnyához hasonlít, jelképpé vált a káosz első felfedezőinek sze mében. Feltárta a rendezetlen adathalmazban rejlő finomszerkezetet. Hagyományosan így, az idő függvényében szokás ábrázolni egy paraméter változó értékeit (fent). De ha három változó közötti viszonyokat szeretnénk bemutatni, már más módszerhez kell folyamodnunk. A három változó minden időpillanatban kijelöl egy pontot a háromdimenziós térben; a rendszer változása közepette e pont mozgása jeleníti meg a folytonosan változó paramétereket. Minthogy a rendszer sosem ismétli pontosan önmagát, a pálya sem metszi önmagát, hanem örökké körbe-körbe jár. Az attraktoron való mozgás elvont mozgás, de magán viseli a valóságos rendszer mozgásának sajátosságait. Például az átmenet az attraktor egyik oldaláról a másikra a vízikerék vagy az áramló folyadék forgásirány váltásának felel meg.

29 Forradalom Persze, minden erőnkkel azon voltunk, hogy ne legyünk úgymond Statisztikai átlag. STEPHEN SPENDER Thoughts During an Air Raid Collected Poems (Faber and Faber, p. 96.)

30 A tudománytörténész Thomas S. Kuhn 1 leír egy zavarba ejtő kísérletet, amelyet az 1940-es években végzett két pszichológus. A kísérleti személyek rövid pillantást vethettek egy-egy kártyalapra - egyszerre mindig csak egyre -, majd el kellett mondaniuk, hogy milyen kártyalapokat láttak. Volt persze egy kis huncutság a dologban: a lapok némelyikét ugyanis meghamisították: volt köztük például piros pikk hatos vagy fekete káró dáma. Ha gyors egymásutánban jöttek a lapok, akkor nem történt semmi: a kísérleti személyek egyszerűen átsiklottak e tények fölött: észre sem vették, hogy valami nincs rendben. A piros pikk hatosra vagy azt mondták, hogy kőr hatos", vagy azt, hogy pikk hatos". Ám ha egy kicsit tovább nézhették a kártyákat, egyszerre bizonytalanná váltak. Arra rájöttek, hogy valami nincs rendjén, de arra már nem, hogy voltaképpen mi zavarja őket. Olyasmit mondtak, hogy mintha valami szokatlan lett volna a lapon, például piros keret egy fekete szív körül. Végül, amikor a tempó tovább lassult, a kísérleti személyek többsége kapcsolt". Váltott az agyuk: felismerték, hogy hamis lapokról van szó, és azután már hibátlanul válaszoltak. De csak a többség, korántsem mindenki; néhányan ugyanis szinte megzavarodtak, és szenvedtek is tőle. Akármi is ez a kártya, egyáltalán nem tudom megállapítani, milyen színű - mondta egyikük. - Nem is olyan, mint egy kártya. Már azt sem tudom milyen a színe, hogy pikk-e vagy kőr. Már abban sem vagyok biztos, hogy milyen a pikk. Atyaúristen!" 2 A hivatásos tudósok is legalább ekkora kínt és zavart éreznek, amikor rövid, bizonytalan pillantást vetve a természet működésére, ilyesféle oda nem illő jelenségekkel kerülnek szembe. Éppen ezek az oda nem illő dolgok változatják meg a tudós szemléletmódját, és segítik elő a legfontosabb lépéseket. Így vélekedik erről Kuhn, és erről tanúskodik a káosz története is. Amikor Kuhn 1962-ben közreadta elképzeléseit a tudósok munkájáról és a forradalmakról, azokra egyfelől nagy ellenkezés, másfelől semmivel sem kisebb csodálat volt a válasz, és ez az ellentét azóta sem csillapult. Felfogásával nagyot döfött azon a hagyományos nézeten, hogy a tudomány a tudás növekedése útján fejlődik, úgy, hogy minden felfedezés hozzáadódik a korábbiakhoz; hogy az új elméletek akkor jelennek meg, amikor az új kísérleti tények szükségessé teszik őket. Kipukkasztotta a tudománynak azt a felfogását, miszerint az a kérdések feltevésének és a válaszok megtalálásának szabályszerű folyamata volna. Hangsúlyozta, hogy más a tudományágukon belül elfogadott, jól megértett problémá- 1 Kuhn felfogását a tudományos forradalmakról széleskörűen boncolgatták és vitatták a közreadása óta eltelt huszonöt évben (közzététele éppen az időre esett, amikor Lorenz időjárási modellre programozta a számítógépét). Kuhn nézeteit illetően elsősorban A tudományos forradalmak szerkezetére (Gondolat, Budapest, 1984); másodsorban pedig a következőkre támaszkodom: The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change (University of Chicago, Chicago, 1977); What Are Scientific Revolutions? (Occasional Paper No. 18, Center for Cognitive Science, Massachusetts Institute of Technology); valamint a Kuhnnal készített interjúra. A témát szintén használhatóan és lényegbevágóan elemzi I. Bernard Cohen:Revolu tion in Science (Belknap Press, Cambridge, Mass., 1985) című könyvében. 2 A tudományos forradalmak szerkezete 93j94. oldalán idézi J. S. Bruner és Leo Postman cikkét: On the Perception of Incongruity: A Paradigm; Journal of Personality XVIII (1949), p. 206.

31 kon dolgozó tudósok sokasága által végzett munka s megint más a kivételes, nem ortodox teljesítmény, amely forradalmat idéz elő. Aligha véletlen, hogy a tudósokat nem csupán és nem egészen racionális lényeknek mutatja be. Kuhn felfogása szerint a szokásos, mindennapi tudomány jórészt tisztogató hadműveletekben merül ki. A kísérletezők valamelyes módosításokkal olyan kísérleteket hajtanak végre, amilyeneket korábban már sokan, sokszor elvégeztek. Az elméleti szakemberek itt egy téglát tesznek be, ott egy párkányt alakítanak át az elmélet falában. Aligha is lehetne másként: ha minden tudósnak mindent az elején kellene kezdenie, az alapfeltevések megkérdőjelezésével, akkor aligha érnék el a hasznos munkához szükséges magas szakmai színvonalat. Benjamin Franklin idejében az elektromosság megértésével birkózó maroknyi tudós még megválaszthatta a maga alapelveit - voltaképpen nem is igen tehettek volna mást. 1 Az egyik kutató gondolhatta úgy, hogy a vonzás a legfontosabb elektromos hatás, maga az elektromosság pedig valamiféle, anyagokból kiáradó fluidum". A másik meg a vezető anyagok által szállított folyadéknak hihette az elektromosságot. Ezek a tudósok szinte ugyanolyan könnyen meg tudták értetni magukat a kívülállókkal, mint egymással, mert még nem jutottak el arra a szintre, ahol már elfogadott, magától értetődő szaknyelven cserélhettek volna eszmét a tanulmányozott jelenségekről. Egy huszadik századi hidrodinamikus viszont nem juthat magas szintű tudáshoz a maga területén, ha előbb nem sajátítja el a bevett szaknyelvet és a matematikai módszereket. Ennek fejében viszont öntudatlanul jórészt feladja a kérdezés jogát és szabadságát tudományának alapjaival kapcsolatban. Kuhn központi gondolata, hogy a szokásos, mindennapi tudomány feladatmegoldás: olyan típusú feladatok megoldása, amilyenekkel a tudósok már hallgatóként is találkoztak tankönyveikben. Az ilyen feladatok megoldásából kerekedik ki a tudományos teljesítmény egy bizonyos fajtája, s ez juttatja át a tudósok többségét a doktori tanulmányokon, a disszertáción és a folyóiratokba szánt cikkek megírásán, egész tudományos pályafutásukon. Normális körülmények között a kutató nem újító, hanem rejtvényfejtő, és a rejtvények, amelyekre összpontosít, éppen azok, amiket hite szerint meg is lehet fogalmazni és meg is lehet oldani a létező tudományos tradíció keretein belül." 2 - írja Kuhn. Azután vannak forradalmak. Új tudomány egy zsákutcába jutott korábbi tudományból keletkezik. A forradalom nemegyszer interdiszciplináris jellegű: központi felfedezései sokszor a szakmájuk határain túllépő kutatóktól származnak. Az ezeket az elméleti szakembereket foglalkoztató problémák nem vágnak egybe a kutatás elfogadott vonalával. Disszertációs téziseiket elvetik a bírálók, cikkeik közreadását is elutasítják. Ezek az elméleti kutatók maguk sem bizonyosak benne, hogy felismernék a választ, ha majd a szemük elé kerül. Belátják, hogy kockázatos lesz a pályájuk. Kevés számú magányosan dolgozó szabadgondolkodó, aki képtelen elmagyarázni, merre tart, sőt elmondani is fél a kollégáinak, mivel foglalkozik - ez a romantikus kép áll a kuhni elképzelések középpontjában, s ez csakugyan ismételten így volt a káosz feltárása során a valós életben is. Akik részesei voltak a káoszkutatás kezdeti szakaszának, mind megtapasztalták ezt az óva intő vagy épp nyíltan ellenséges vélekedést. A doktori képzésben résztvevőket előre figyelmeztették, hogy a pályájukkal játszanak, ha disszertációjukat egy még be nem vett tudományágból írják, amelyben témavezetőik sem szerezhettek még tapasztalatot. Egy részecskefizikus az új matematikáról hallván, elkezdett játszani vele a maga szakállára, csak mert gyönyörűnek, egyszersmind roppant nehéznek is tartotta, de úgy érezte, sosem tudna beszélni róla a kollégáinak. Idősebb professzorok úgy érezték: a középkorúak válságába jutottak, mivel kockázatos kutatási irányt választottak, olyat, amelyet kollégáik alighanem 1 A tudományos forradalmak szerkezete old. 2 The Essential Tension, p. 234.

32 félreértenének, sőt zokon vennének. De nem tudtak lemondani a szellemi izgalomról, ami az igazán új ismeretekkel együtt jár. Ezt még a kívülállók is érezték - már akik egyáltalán ráhangolódtak. Freeman Dysont úgy érték a káosz hírei az 1970-es években, mint megannyi áramütés". Mások úgy érezték, végre egyszer tanúi lehetnek egy igazi paradigmaváltásnak: a gondolkodásmód átalakulásának. A káosz első felismerőinek nem kis fejtörést okozott, miképpen önthetnék közölhető formába gondolataikat és felfedezéseiket. A káosz kutatása az addigi tudományterületek közé esett: túl elvont volt például a fizikusok szemében és túl kísérleti a matematikusokéban. Néhányuk számára az új gondolatok közlésének nehézségei és a hagyományos körök vad ellenállása mutatta, mennyire forradalmi az új tudomány. A felszínes gondolatok könnyen emészthetők; azok a gondolatok azonban, amelyek az egész világkép átszervezését követelik meg, ellenséges reakciókat keltenek. A Georgia Műegyetem egyik fizikusa, Joseph Ford Tolsztojt kezdte idézni: Tudom, hogy az emberek többsége, köztük azok, akik a legbonyolultabb problémákkal is könnyedén szembenéznek, ritkán fogadják el még a legegyszerűbb és legnyilvánvalóbb igazságot is, ha amiatt kénytelenek lennének beismerni némely korábbi következtetés helytelenségét, amelyeket oly nagy élvezettel magyaráztak kollégáiknak, oly büszkén tanítottak másoknak, sőt szálanként beleszőttek életük szövetébe." 1 A kutatások fő áramlatában működők közül sokan csak homályosan ismerték fel a születő tudományt. Néhány különösen konzervatív hidrodinamikus egyenesen kikérte magának. A káosz javára szóló érvek elsőre vadnak és tudománytalannak tetszettek. Azonkívül a káosz szokatlan és bonyolultnak tűnő módon támaszkodott a matematikára. A káoszhoz értők számának szaporodásával a tanszékek egyike-másika elítélte ezeket a kissé deviáns tudósokat; más tanszékek hirdetés útján igyekeztek minél több kutatóra szert tenni. Egyes folyóiratoknál íratlan szabály volt, hogy a káoszról nem közölnek cikkeket; mások épp ellenkezőleg: egyes-egyedül a káosszal foglalkoztak. A kaotikusok vagy kaológusok (ilyen nyelvi újítások 2 kaptak szárnyra) aránytalanul nagy számban kerültek fel a fontos ösztöndíj- és kitüntetési listákra. A nyolcvanas évek közepére a tudományos terjeszkedés a káosz szakembereinek befolyásos helyeket szerzett az egyetemi bürokráciában. Több helyütt nemlineáris dinamiká"-ra és komplex rendszerek"-re szakosodott központokat és intézeteket állítottak fel. A káoszból nem csupán elmélet lett, hanem módszer is; nemcsak szent meggyőződés, hanem a tudomány művelésének egy lehetséges módja is. A káosz létrehozta a maga számítógépes módszerét, s az nem követeli meg a Crayek és Cyberek óriási sebességét, hanem a rugalmas beavatkozás kedvéért inkább a szerényebb terminálokat részesíti előnyben. A káosz kutatóinak a matematika kísérleti tudomány, ahol a számítógép helyettesíti a kémcsövekkel és mikroszkópokkal teli laboratóriumot. A grafikus képek döntő fontosságúak. Mazochizmus egy matematikusnak ezt képek nélkül űzni - mondta egy káoszkutató. - Hogyan láthatnák a viszonyt két mozgás között? Hogyan fejleszthetik intuíciójukat?" Néhányan úgy végezték kutatásaikat, hogy nyíltan tagadták e dolgok forradalmi jellegét; mások szándékosan használták a paradigmaváltás kuhni fogalmát a tapasztalt változások leírására. Stilisztikai szempontból a káoszról megjelent legkorábbi cikkek Benjamin Franklin ko- 1 Ford személyes közlése és a következő cikke: Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable; in: Chaotic Dynamics and Fractals, (eds.) M. E. Barnsley and S. G. Demko (Academic Press, New York, 1985). 2 Bár Michael Berry megjegyzi, hogy az Oxford angol értelmező szótárban benne van a Kaológia (ritk) 'a káosz története vagy leírása"' címszó. Berry: The Unpredictable Bouncing Rotator: A Chaology Tutorial Machine. Preprint, H. H. Wills Physics Laboratory, Bristol.

33 rára emlékeztettek: hiszen visszamentek egészen az alapelvekig. Amint azt Kuhn megállapítja, a megalapozott tudományok magától értetődőnek tekintenek valamely ismeretrendszert, amely közös kiindulópontként szolgál a kutatásokhoz. A kutatók, nem akarván kollégáikat untatni, rendszerint csak a beavatottaknak érthető dolgokkal kezdik és fejezik be cikkeiket. A káoszról szóló cikkeknek a 70-es évek végétől viszont szinte evangéliumi volt a hangvételük a bevezetéstől a befejezésig. Új hitvallást tettek, és gyakran valamilyen tevékenységre szólítottak fel. Ezek az eredmények izgalmasak, sőt kihívóak a mi szemünkben. 1 A turbulenciába való átmenet elméleti képe éppen most van kialakulóban. A káosz lényege matematikailag megragadható. 2 A káosz most előre jelzi a jövőt, ezt senki nem vonhatja kétségbe. Ám hogy elfogadjuk a jövőt, fel kell adnunk a múlt nagy részét. 3 Új remények, új módszerek és - ami a legfontosabb - új szemléletmód. A forradalmak nem fokozatosan támadnak. 4 A természet egyik leírását egy másikkal helyettesítik. Régi problémákat új színben látnak, és először ismernek fel bizonyos új problémákat. Valami olyasmi történik, mint amikor új termékek gyártására állítanak át egy egész ipart. Kuhnnal szólva: Mintha a szakmai közösség egyszer csak átkerült volna egy másik bolygóra, ahol az ismerős tárgyak más megvilágítást kapnak és ismeretlenekkel együtt jelennek meg." 5 Az új tudomány kísérleti nyula az inga lett: a klasszikus fizika jelképe, a kényszermozgás mintapéldája, az óraműszerű szabályosság kvintesszenciája. Egy súly leng szabadon egy rúd végén. Mit lehetne még ezen túl is elvenni a turbulencia vadságából? Ami Arkhimédész történetében a fürdőkád, Newtonéban az alma, az - legalábbis az ismert legenda szerint - Galileiében egy templomi csillár volt, amely előre-hátra hintázott, egyhangúan bombázva üzenetével az olasz fizikus tudatát. Christian Huygens az ingamozgás előrejelezhetőségére alapozva időmérő eszközt hozott létre, s ezzel olyan útra állította a nyugati civilizációt, amelyről nem volt letérés. Foucault a párizsi Pantheonban egy húsz emeletnyi magasságból alácsüngő ingával bebizonyította, hogy forog a Föld. Minden óra és minden karóra (legalábbis a rezgő kvarckristályok koráig) valamilyen formájú és kisebb-nagyobb méretű ingát tartalmazott. (Mellesleg a kvarc rezgése sem nagyon tér el az ingáétól.) Az űrben az égitestek keringése ad példát a súrlódásmentes periodikus mozgásra, itt a Földön azonban voltaképp minden szabályos rezgés az inga valamilyen rokonától ered. Az elektronikus alapáramköröket pontosan ugyanolyan egyenletek írják le, mint a hintázó súlyt. Az elektronikus rezgések milliószor gyorsabbak, de a fizikájuk ugyanaz. A huszadik századra azonban a klasszikus fizika visszaszorult az iskolai oktatásba és a rutinszerű mérnöki tervezésbe. Az ingák a tudományos múzeumok dísztárgyaivá váltak vagy a repülőtéri ajándékboltokat élénkítették, forgó műanyag űrgolyók" formájában. Kutató fizikus nem törődött az ingákkal. Pedig az inga még tartogatott meglepetéseket. Próbakővé vált, akárcsak annak idején, a Galilei-féle forradalomban. Amikor Arisztotelész ránézett egy ingára, 6 a föld felé törekvő súlyt látott benne, amelyet a zsinór erővel arra kényszerít, hogy előre-hátra lengjen. Mai 1 Crutchfield, M. Nauenberg és J. Rudnick: Scaling for External Noise at the Onset of Chaos; Physical Review Letters 46 (1981), p Alan Wolf: Simplicity and Universality in the Transition to Chaos; Nature 305 (1983), p Joseph Ford: What is Chaos, That We Should Be Mindful of It? preprint, Georgia Institute of Technology, Atlanta. 4 What Are Scientific Revolutions? p A tudományos forradalmak szerkezete 153. old. 6 What Are Scientific Revolutions? pp

34 fülnek ez elég nevetségesen hangzik. A klasszikus mozgás, tehetetlenség és tömegvonzás fogalmaihoz szokott embernek nehéz megértenie azt az önmagában következetes világképet, amely Arisztotelész inga-felfogása mögött rejlik. A fizikai mozgás Arisztotelész szemében nem valamiféle mennyiség vagy erő volt, inkább egyfajta változás, éppolyan, mint mondjuk az ember növekedése. Egy leeső súly csupán legtermészetesebb állapota felé törekszik, abba, amelyet el is ér, ha magára hagyják. Ebbe a felfogásba beillesztve Arisztotelész véleménye értelmessé válik. De Galilei már mást, mérhető szabályosságot látott, amikor ingára nézett. Ennek a magyarázata forradalmat kívánt meg a mozgó testek megértésében. Galileinek nem az volt az előnye az ókoriakkal szemben, hogy jobb adatai lettek volna. Sőt ellenkezőleg: éppen a lengésidő megmérhetőségének ötlete vezette arra, hogy összehívja néhány barátját és huszonnégy órán keresztül számlálják a lengéseket - ami, nem tagadható, elég munkaigényes kísérlet. Galilei szeme azért akadt meg a szabályosságon, mert volt egy elmélete, amely szabályosságot jósolt. Megértette, amit Arisztotelész nem érthetett meg: hogy a mozgó test igyekszik fenntartani a mozgását, a sebességben vagy az irányban történt változást csak valamilyen külső erővel - például a súrlódással - lehet magyarázni. Elmélete voltaképpen annyira hatékony volt, hogy a valóságban nem létező szabályosságot is megjósolt. Galilei ugyanis azt állította, hogy adott hosszúságú inga nemcsak hogy pontosan megtartja a lengésidejét, de ez az idő ugyanannyi, bármekkora is a kilengés szöge. Egy jobban kilengő ingának hosszabb utat kell megtennie, de történetesen éppen annyival gyorsabban is halad. Más szóval, a lengésidő szerinte független a kitérés nagyságától. Határozottan állítom, hogy ha két barát odaáll megszámolni a lengéseket, egyikük a nagyokat, a másik a kis kitérésűeket, nemcsak tízet, de akár százat is leszámolhatnak, nem lesz különbség; nemhogy egy egész lengés, de még az ív egy töredéke sem." 1 Galilei kísérleti formába öntötte állítását, de az elmélet tette meggyőzővé - olyannyira, hogy a középiskolai fizikaórákon mai is rendszerint szentírásként tanítják. Pedig tévedés, ugyanis a szabályosság, amit Galilei látott, csak közelítő jellegű. A súly pillanatnyi kilengésének szöge egy kis nemlinearitást hoz be az egyenletekbe. Kis kitéréseknél az emiatti hiba csaknem eltűnik, mindazonáltal ott van, és mérhető még olyan közelítő kísérletekben is, mint amilyet Galilei leír. A kis nemlinearitásoktól könnyű volt eltekinteni. A kísérleteket végző emberek hamar megtanulták, hogy tökéletlen világban élnek. A Galilei és Newton utáni évszázadokban a szabályosság keresése a kísérletekben alapvető jelentőségű volt. Minden kísérletező olyan mennyiségeket keresett, amelyek változatlanok, vagy éppen nullák maradtak. Ez azonban azt jelenti, hogy eltekintünk valami kis piszoktól, ami megzavarná a tiszta képet. Ha egy vegyész két anyag állandó arányát az egyik nap 2,001-nek, a másik nap 2,003-nak, egy harmadik napon pedig 1,998-nak találná, akkor bolondság lenne részéről nem olyan elméletet keresni, amely ne a tökéletes kettő az egyhez" arányt magyarázná. Galileinek, hogy ilyen szerencsés eredményeket kapjon, magának is el kellett tekintenie olyan nemlinearitásoktól, amelyekről tudomása volt: a súrlódástól és a levegő közegellenállásától. A levegő közegellenállása szakadatlanul jelen levő kísérleti kellemetlenség, olyan bonyodalom, amelytől meg kellett szabadulni, hogy elérhetővé váljék a mechanika új tudományának lényege. Egyforma gyorsan esik-e egy tollpihe és egy kődarab? A leeső testekkel kapcsolatos tapasztalatok egyöntetűen azt mondják, hogy nem. A pisai toronyból golyókat ejtegető Galilei története kissé mitikus formában arról a megváltozott szemléletről szól, amelynek alapja egy ideális tudományos világ felfedezése, ahol a szabályosságok elválaszthatók a tapasztalat rendetlenségétől. 1 Galileo Galilei: Matematikai érvelések és bizonyítások (Európa, 1986), 286. old.

35 A tömegvonzás egy adott tömegre tett hatásának és a levegő közegellenállásának kettéválasztása ragyogó szellemi teljesítmény volt. Ez adott módot Galileinek arra, hogy közel férkőzzék a tehetetlenség és az impulzus lényegéhez. Hiszen a valóságos világban az ingák végül pontosan azt teszik, amit Arisztotelész régi paradigmája megjósolt: megállnak. A következő paradigmaváltás megalapozása során a fizikusok kezdtek végre szembenézni azzal, amiről sokan úgy hitték: csak az ingához hasonló egyszerű rendszerekről tanultak fogyatékossága. Századunkra megismerték a súrlódásszerű disszipatív folyamatokat, és az egyetemi hallgatók megtanulták belevenni őket az egyenleteikbe. Megtanulták azt is, hogy a nemlineáris rendszerekre felírt egyenletek általában megoldhatatlanok - ami kétségtelenül igaz -, s hogy ezek rendszerint kivételesek - ami viszont egyáltalán nem igaz. A klasszikus mechanika a mozgó testek egész családjainak viselkedését írta le, az ingákét és kettős ingákét, a tekercsrugókét és a kihajló rudakét, a megpendített vagy vonóval megszólaltatott húrokét. A matematikát alkalmazták folyadékrendszerekre és elektromos rendszerekre. De szinte senki sem gyanúsította a káoszt a klasszikus korszakban azzal, hogy ott rejtőzne a dinamikai rendszerekben, ha a nemlinearitás utat nyit előtte. A fizikus nem értheti igazán a turbulenciát vagy a komplexitást, ha nem érti az ingákat, mégpedig úgy, ahogyan az a huszadik század első felében még nem volt lehetséges. Ahogy a káosz összefogta a különböző rendszerek tanulmányozását, az inga dinamikája kiszélesedett és kiterjedt a csúcstechnológiáig: a lézerektől egészen a szupravezető Josephson-átmenetekig. Bizonyos kémiai folyamatok is ingaszerű viselkedést mutattak, a szívverésről nem is beszélve. A nem sejtett lehetőségek köre - mint egy fizikus írta - kibővült a fiziológiai és pszichiátriai orvostudomány, a gazdasági előrejelzés és talán a társadalom fejlődésére". 1 Nézzünk egy játszótéri hintát. Lefelé jöttében gyorsul, felfelé menet lassul, s mindeközben mindig veszít egy kicsit a sebességéből a súrlódás miatt. Szabályos lökéseket kap mondjuk valami óraszerkezetű géptől. Intuíciónk azt mondja, hogy - bármely helyzetből indult is a hinta - a mozgás végül valamilyen szabályos előre-hátra mintázatú lesz, és a hinta mindig ugyanolyan magasra fog felemelkedni. Ez csakugyan megtörténhet. 2 Ámde a mozgás - többször, mint gondolnánk - szabálytalanná is válhat: egyszer magasabbra lendül, másszor alacsonyabbra, sosem áll be egy állandósult állapotba és sosem ír le olyan lengésmintázatot, amilyet valamikor korábban. 3 Ez a meglepő, szabálytalan viselkedés abból fakad, hogy már ebben az egyszerű rezgő rendszerben sem lineáris az energia be- és kiáramlása. A hinta fékeződik is, hajtódik is: a súrlódás fékezi, megpróbálja leállítani, hajtani pedig a periodikus lökdösés hajtja. Egy fékezett és hajtott rendszer még akkor sincs egyensúlyban, amikor egyensúlyban van, a világ pedig telis-tele van ilyen rendszerekkel, kezdve mindjárt az időjárással, amelyet a mozgó levegő és víz súrlódása, valamint a hő világűrbe való elszivárgása fékez, a napenergia állandó lökése viszont hajt. De nem az előrejelezhetetlenség volt az ok, amiért a hatvanas és hetvenes években a fizikusok és matematikusok kezdték ismét komolyan venni az ingákat. Az előrejelezhetetlenség csak felkeltette irántuk az érdeklődést. A kaotikus dinamikát tanulmányozók felfe- 1 David Tritton: Chaos in the swing of a pendulum; New Scientist, július 24, p. 37. Olvasmányos, ismeretterjesztő írás az inga-káosz filozófiai következményeiről. Az inga-káoszról magyarul is olvashatunk Gnádig-Györgyi-Szépfalusy-Tél: Bevezetés a káosz kialakulásának és tulajdonságainak elméletébe c. tanulmányának 3. pontjában. 2 Ha valaki ténylegesen lökdös egy hintát, szinte mindig többé-kevésbé szabályos mozgást hoz létre, éspedig alighanem azért, mert öntudatlanul is nemlineáris visszacsatolást létesít. 3 Az egyszerű hajtott inga lehetséges bonyodalmainak számos elemzése között jó összefoglaló a következő: D. D'Humieres, M. R. Beasley, B. A. Huberman és A. Libchaber: Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum; Physical Review A 26 (1982), pp

36 dezték, hogy az egyszerű rendszerek rendezetlen viselkedése teremtő folyamatként működik. Komplexitást hoz létre: gazdagon szervezett mintázatokat, időnként stabilakat, máskor instabilakat, egyszer végeseket, máskor végteleneket, de mindig az élő dolgok elevenségével. Ezért lelték kedvüket a tudósok mindenféle játékokban. Az egyik játék, amelyet űrgolyók" vagy űrtrapéz" néven árulnak (Magyarországon inkább örökmozgóként" ismert - a fordító), két golyóból áll, amelyek egy rúd két végén ülnek - egy T alak keresztrúdján - egy inga tetején, és e kettőhöz alulról egy harmadik, nehezebb golyó csatlakozik. 1 Az alsó golyó előre-hátra hintázik, a felső rúd pedig szabadon forog. Mindhárom golyóban belül kis mágnesek vannak, és ha egyszer elindítjuk a szerkezetet, akkor az fenntartja a mozgását, mert egy elemmel táplált elektromágnes van elrejtve a talapzatában. Az elektromágnes érzékeli, ha a legalsó golyó közeledik hozzá, és minden áthaladáskor egy kis mágneses lökést ad neki. A berendezés néha egy ideig megmarad egy állandó ritmusú hintázásnál, máskor azonban kaotikusnak tűnik a mozgása, mindig változik és szakadatlanul újat mutat. A másik ingajáték nem egyéb, mint az úgynevezett gömbi inga: olyan inga, amely nemcsak előre-hátra lenghet, hanem bármely irányban. Néhány kis mágnes van elhelyezve körben a talapzatában. A mágnesek vonzzák a fémsúlyt, és amikor az inga megáll, valamelyikük befogja. A játék úgy megy, hogy elindítjuk az ingát és tippelünk, melyik mágnes fog győzni. Elég háromszög alakban három mágnes a talapzaton, és az inga mozgása már megjósolhatatlan. Egy darabig az A és B között fog előre-hátra lengeni, aztán átvált B és C-re, azután mikor már úgy látszik, hogy megáll majd C-n, hirtelen átugrik A-ra. Tegyük fel, hogy egy tudós rendszeresen kimutatást vezet egy térképen e játék viselkedéséről, éspedig a következőképpen: Kiválaszt egy kiindulópontot, azután odateszi a súlyt és elengedi, majd a térképen a kiindulópontot ábrázoló pontot pirosra, kékre vagy zöldre színezi, aszerint, hogy a súly onnan indítva melyik mágnesnél áll meg. Hogyan fest majd ez a térkép? Lesznek olyan tartományai amelyek teljes egészükben pirosak, kékek vagy zöldek, ahogyan várjuk is - ezek azok a tartományok, amelyekből elindulva a súly bizonyosan ugyanannál az adott mágnesnél állapodik majd meg. Lesznek azonban olyan tartományok is, ahol a színek végtelen bonyolultsággal összefonódnak. Egy-egy piros pont szomszédságában, bármily közel menjünk is hozzá, mindig lesznek zöld és kék pontok is. Emiatt a súly végállapotát gyakorlatilag lehetetlen lesz kitalálni. A hagyományt követve a dinamika művelői azt gondolhatnák, hogy ha érteni akarunk egy rendszert, akkor csak fel kell írnunk e rendszer egyenleteit. Hogyan lehetne ennél jobban megragadni a lényeges tulajdonságokat? A játszótéri hinta vagy valamely játék esetében az egyenletek összekapcsolják az inga kitérésének szögét, az inga sebességét, a súrlódását és a hajtóerőt. De ezeknek az egyenleteknek a kicsiny nemlinearitásai miatt a dinamika kutatója nem fog tudni válaszolni a rendszer jövőjét illetően a legegyszerűbb gyakorlati kérdésekre sem. A számítógép szimuláció segítségével nekigyürkőzhet a feladatnak, és gyorsan kiszámíthat minden ciklust. Csakhogy a szimulációnak is megvan a maga baja: a bármely számítást terhelő aprócska pontatlanságok gyorsan megnőnek, mert ez olyan rendszer, amely érzékeny a kezdőfeltételekre. A jel hamarosan eltűnik majd, és csak a zaj marad. Vagy mégsem? Lorenz előrejelezhetetlenséget kapott, de mintázatra is lelt. Mások szintén felfedeztek struktúrára emlékeztető dolgokat a látszólag véletlenszerű viselkedés körül- 1 Michael Berry kutatta ennek a játéknak a fizikáját, mind elméleti, mind kísérleti tekintetben. A The Unpredictable Bouncing Rotator-ban leírja a viselkedés típusait; ezek mind csak a kaotikus dinamika nyelvén érthetők meg: KAM tóruszok, periodikus pályák bifurkációi, Hamilton-káosz, stabil fixpontok és különös attraktorok."

37 ményei között. Az inga példája talán túl egyszerű volt, semhogy komolyan kelljen venni, mindazonáltal akik mégsem vették semmibe, azok kihívó üzenetet olvashattak ki belőle. Észrevehették, hogy a fizika bizonyos értelemben tökéletesen leírja az ingamozgás alapvető mechanizmusait, de képtelen ezt a leírást hosszú távra kiterjeszteni. A mikroszkopikus összetevők teljesen világosak voltak; a makroszkopikus viselkedés azonban rejtély maradt. A rendszerek hagyományosan lokális szemlélete - előbb elkülöníteni a mechanizmusokat, azután összeadni őket - kezdett összeomlani. Az ingák, a folyadékok, az elektronikus áramkörök, a lézerek esetében az alapvető egyenletek ismerete többé már egyáltalán nem tűnt mindent felölelő ismeretnek. A 60-as évek folyamán többen is a Lorenzéhoz hasonló felismerésekre jutottak; például egy francia csillagász, aki a galaktikus pályákat tanulmányozta, meg egy japán villamosmérnök, aki elektronikus áramköröket modellezett. Az első meggondolt, összehangolt törekvés a globális és lokális viselkedés lehetséges különbségeinek megértésére azonban a matematikusoktól eredt. Többek között Stephen Smale-től, aki Berkeleyben dolgozott a Kaliforniai Egyetemen és ekkor már híressé vált arról, hogy kibogozta a többdimenziós topológia legmélyebb problémáit. Egy fiatal fizikus egy terefere során megkérdezte Smale-t, hogy min dolgozik. Igencsak megdöbbent, mikor ezt a választ kapta: Oszcillátorokon." Ez teljes képtelenség volt. Az oszcillátorok - ingák, rugók vagy elektromos áramkörök - problémakörével egy fizikus már tanulmányainak korai szakaszában végez. Ez könnyű dolognak számít. Miért foglalkozna hát egy nagy matematikus elemi fizikával? A fiatalember csak évekkel később jött rá, hogy Smale nemlineáris oszcillátorokat vizsgált, kaotikus oszcillátorokat, és úgy látta a dolgokat, ahogy a fizikusok nem tanulták meg látni. Smale helytelen feltevést fogalmaz meg. 1 Ezt a matematikailag szigorúan megfogalmazott állítást úgy lehetne kifejezni, hogy az idő legnagyobb részében a dinamikai rendszerek általában nem viselkednek túlságosan különös módon. De ahogyan nemsokára látnia kellett, a dolgok nem ilyen egyszerűek. Smale olyan matematikus volt, aki nemcsak megold problémákat, hanem másoknak is szolgál megoldandó problémákkal. Történeti ismereteire és a természet iránti fogékonyságára támaszkodva szép csendben kijelentette, hogy volna egy még teljesen kipróbálatlan kutatási terület, amelyre érdemes a matematikusoknak egy kis fáradságot szánni. Felmérte a kockázatokat, hideg fejjel eltervezte stratégiáját, akár egy sikeres üzletember, s mindemellett megvolt benne a hamelni patkányfogó képessége mások mozgósítására. Ahol ő volt a vezető, ott számos követő akadt. Tekintélye azonban nem korlátozódott a matematikára. A vietnami háború korai szakaszában Jerry Rubinnal együtt Nemzetközi Tiltakozó Napok"-at szervezett és támogatta azokat, akik meg akarták állítani a Kalifornián keresztülhaladó csapatszállító vonatokat nyarán, amikor az Amerika-ellenes Tevékenységet Vizsgáló Képviselőházi Bizottság megpróbálta beidézni, éppen Moszkvába tartott, a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusára. Ott kapta meg a Fields-érmet, a matematikusok legmagasabb elismerését. Az itt, Moszkvában történtek Smale legendájának feledhetetlen fejezetévé váltak. 2 Öt- 1 Rövid és némileg anekdotikus beszámoló Smale ekkori gondolatairól: On How I Got Started in Dynamical Systems; in: Steve Smale: The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics (Springer-Ve rlag, New York, 1980), pp Raymond H. Anderson: Moscow Silences a Crit ical American. The New York Times, augusztus 27. p. 1; Smale: On the Steps of Moscow University. The Mathematical Intelligencer 6:2, pp

38 száz agitáló és megagitált matematikus gyűlt össze. Óriási volt a politikai feszültség; kiáltványokat adtak körbe. A konferencia vége felé Smale a Moszkvai Egyetem széles lépcsősorán rendezett sajtókonferencián egy észak-vietnami újságíró kérdésére válaszolt. Az amerikaiak vietnami beavatkozásának megbélyegzésével kezdte, majd - épp mikor vendéglátói kezdtek örvendezni - Magyarország szovjet elözönlésének elítélésével és a Szovjetunióban hiányzó politikai szabadság követelésével folytatta. Mikor befejezte, gyorsan belökték egy autóba és elvitték hatósági kihallgatásra. Kaliforniába visszatérve az Országos Tudományos Alap (NSF) törölte a támogatottak sorából. Smale egy híres topológiai munkájának jutalmául kapta a Fields-érmet; a matematikának ez az ága a huszadik században, főként az ötvenes években élte virágkorát. A topológia azokat a tulajdonságokat vizsgálja, amelyek változatlanok maradnak a különböző alakzatok forgatása, nyújtása és összenyomása során. Hogy egy idom szögletes vagy gömbölyű, kicsi vagy nagy, az a topológia szempontjából nem érdekes, mert a nyújtás ezeket a tulajdonságokat megváltoztathatja. A topológusok azt kérdezik, összefüggő-e az alakzat, vannak-e benne lyukak, hurkok. Felületeket képzelnek maguk elé nemcsak az euklideszi egy-, két- és háromdimenziós világokban, hanem sokdimenziós terekben is, amelyeket lehetetlen szemléletessé tenni. A topológia voltaképpen geometria egy gumilepedőn. Inkább a minőséggel foglalkozik, semmint a mennyiséggel. Azt kérdezi, hogy ha nem ismered a méreteket, mit mondhatsz mégis az egész szerkezetről. Smale megoldotta a topológia egyik nevezetes történelmi problémáját, a Poincaré-sejtést öt és magasabb dimenziós terekre, s ezzel e tudományág egyik legnagyobb alakjává vált. Az 1970-es években azonban elhagyta a topológiát egy kipróbálatlan terület kedvéért: a dinamikai rendszerek tanulmányozásába fogott. Mindkét terület, a topológia és a dinamikai rendszerek is Henri Poincaréval veszi kezdetét, aki ugyanazon érem két oldalának tekintette őket. A századfordulón élt Poincaré az utolsó nagy matematikus volt, aki a geometriai képzelőerőt a fizikai világ mozgástörvényei felé fordította. Elsőként értette meg a káosz lehetségességét; írásai utaltak egy csaknem olyan egyszerű típusú megjósolhatatlanságra, amilyet később Lorenz felfedezett. Halála után a topológia virágzásnak indult, a dinamikai rendszerek kutatása azonban elsorvadt. Még a név is kikopott a használatból: a Smale kiszemelte tárgykör névlegesen a differenciálegyenletek területére esett. A differenciálegyenletek leírják, hogyan változnak a rendszerek folyamatosan az időben. Az efféle dolgokat a bevett szokások szerint lokálisan vizsgálták, azaz a mérnökök vagy fizikusok egyszerre csak egy lehetőséghalmazt vettek tekintetbe. Poincaréhoz hasonlóan Smale is globálisan akarta megérteni őket, azaz igyekezett egyszerre megragadni a lehetőségek egész birodalmát. A dinamikai rendszereket - például a Lorenz-félét - leíró egyenletrendszerek lehetőséget hagynak arra, hogy indulásnál tetszésünk szerint állítsuk be bizonyos változók, paraméterek értékét. A hőmérsékleti konvekció esetében az egyik ilyen paraméter a folyadék viszkozitása. Ha nagyok a különbségek a paraméterekben, az nagy különbségekkel járhat együtt a rendszerben - például az egyik esetben a rendszer nyugalomba jut, a másikban periodikusan rezeg. A fizikusok feltették, hogy igen kis változások csak a számokban okoznak szintén nagyon csekély különbségeket, a viselkedés minőségében azonban bizonyosan nem. A topológia és a dinamikai rendszerek összekapcsolása révén ábrákkal szemléltethetjük egy rendszer viselkedéseinek egész tartományát. Ha egy egyszerű rendszert veszünk, ez az ábra lehet valamilyen görbült felület; egy bonyolult rendszernél viszont egy sokdimenziós sokaság. Egy ilyen felületen egy-egy pont a rendszer állapotát jellemzi valamely időpillanatban. Ahogy a rendszer előrehalad az időben, a pont mozog, s egy pályát ír le e felüle-

39 ten. A rendszert jellemző paraméterek megváltozásának - viszkózusabb folyadéknak vagy kissé erősebben hajtott ingának - az ábra valamelyes torzulása felel meg. A nagyjából ugyanolyan ábrák nagyjából ugyanolyan viselkedést takarnak. Ha magunk előtt látjuk ezeket az ábrákat, megérthetjük a rendszert. Amikor Smale érdeklődése a dinamikai rendszerek felé fordult, a topológia, mint a tiszta matematika általában, leplezetlenül megvetette a valóságos világra vonatkozó alkalmazásokat. A topológia eredetileg közel esett a fizikához, de a matematikusok megfeledkeztek erről, és saját kedvük szerint alakították kutatásaikat. Smale szívből egyetértett ezzel a felfogással - ő volt a tiszták legtisztábbja -, mégis az az ötlete támadt, hogy a topológia elvont, belső fejlődése most valamivel hozzájárulhat a fizikához, úgy, ahogy Poincaré kívánta a századfordulón. Smale első hozzájárulásainak egyike éppen az említett hibás feltevés volt. Fizikus módon megfogalmazva, valami ilyesfajta természeti törvényt állított fel: Egy rendszer viselkedhet szabálytalanul, de a szabálytalan viselkedés nem lehet stabil. A stabilitás - a Smale-féle stabilitás", ahogy a matematikusok időnként nevezik - döntő tulajdonság volt. Valamely rendszerben azt a viselkedést mondják stabilnak, amely még nem borul fel attól, hogy néhány számot egy kicsit megváltoztatunk. Minden rendszernek lehetnek stabil és instabil viselkedésmódjai. A hegyére állított ceruzát meghatározó egyenleteknek matematikailag jó megoldása az a mozgás", amelyben a súlypont mindig az alátámasztási pont felett marad, csakhogy a ceruzát nem tudjuk így megállítani, mert ez a megoldás instabil. A legkisebb zavar is elég, hogy a rendszer eltávolodjék ettől a megoldástól. Másfelől egy tál fenekén levő golyó ott is marad a tál fenekén, mert ha egy kicsit megzavarjuk, utána visszagurul. A fizikusok feltételezték, hogy bármely ténylegesen megfigyelhető viselkedésnek normálisan stabilnak kell lennie, mivel a valós rendszerekben elkerülhetetlenek a kicsiny zavarok és bizonytalanságok. A paramétereket soha nem ismerjük pontosan. Ha olyan modellt akarunk, amely fizikailag reális és ellenáll a kis zavaroknak - érveltek a fizikusok -, akkor kétségbevonhatatlanul egy stabil modellre vágyunk. A rossz hír postán jött, valamivel 1959 karácsonya után. Ekkor Smale ideiglenesen egy Rio de Janeiró-i bérlakásban élt felesége, két piciny gyermeke és egy halom pelenka társaságában. A dinamikai rendszerekkel kapcsolatos feltevése egy - szerkezetileg stabil differenciálegyenletekből álló - osztályt határozott meg. Bármely kaotikus rendszer - állította - tetszőlegesen megközelíthető egy ebből az osztályból származó rendszerrel. De nem így állt a dolog: egy kollégája levélben tájékoztatta arról, hogy sok rendszer nem viselkedik olyan jól, ahogy elképzelte, és leírt egy ellenpéldát, egy rendszert, amely egyszerre volt kaotikus és stabil. 1 A rendszer kikezdhetetlen volt: ha egy kicsit megzavarták - ahogy minden természetes rendszert állandóan zavar a zaj - nem szűnt meg a különössége. Zavarnak ellenáll és mégis különös; Smale kezdeti hitetlensége lassacskán szertefoszlott, ahogy a levelet végigtanulmányozta. 2 A káosz és az instabilitás - e fogalmak formális meghatározására akkoriban még alig került sor - egyáltalán nem ugyanazok. Egy kaotikus rendszer lehet stabil, ha szabálytalanságának sajátos jellege ellenáll a kisebb zavaroknak. Erre példát adott a Lorenz-féle rendszer, ámbár Smale csak évekkel később hallott Lorenzről. A Lorenz által felfedezett káosz, minden megjósolhatatlanságával egyetemben, olyan stabil volt, akár a golyó a tálban. Ezt a 1 A levelet N. Levinson írta. A matematika több - még Poincaréig visszanyúló - fonala futott itt össze. Az egyik Birkhoff munkája volt. Angliában Mary Lucy Cartwright és J. E. Littlewood vette vizsgálat alá a Balthasar van der Pol által felfedezett kaotikus rezgő rendszereket. E matematikusok mind tudtak az egyszerű rendszerekben fellépő káosz lehetőségéről, de Smale - akárcsak a jól képzett matematikusok többsége - nem ismerte munkáikat, egészen Levinson leveléig. 2 Smale: On How I Got Started.

40 rendszert lehetett zajjal bolygatni, megrázni, felkeverni, beavatkozni a mozgásába, ám amikor minden megnyugodott, az átmeneti mozgások kihaltak, mint visszhang a völgyben, akkor a rendszer visszatért ugyanahhoz a korábban mutatott sajátos, szabálytalan mintázathoz. Lokálisan megjósolhatatlan, globálisan stabil volt. A valóságos dinamikai rendszerek sokkal bonyolultabb szabályhalmaz alapján működtek, mint azt bárki gondolta volna. A példa, amelyet Smale kollégája levelében le írt, egy másik - több mint egy emberöltővel korábban felfedezett és már csaknem elfelejtett - egyszerű rendszer volt. Történetesen egy álruhás ingáról van szó: egy rezgéseket végző elektronikus áramkörről. Az áramkör nemlineáris, és periodikusan lökéseket - gerjesztést - kap, akár egy hintázó gyerek. Voltaképpen egy elektroncsőről volt szó, amelyet a húszas években vizsgált egy Balthasar van der Pol 1 nevű holland elektromérnök. Egy mai fizikus hallgató már könnyedén feltárhatja egy ilyen oszcillátor viselkedését: elég, ha egy oszcilloszkóp képernyőjén figyeli, milyen vonalak rajzolódnak ki rajta. Csakhogy van der Polnak nem volt oszcilloszkópja, ezért kénytelen volt egy telefonkagylón át, változó hangok lehallgatásával megfigyelni áramkörét. Örömmel fedezte fel, hogy az oszcillátor viselkedése szabályszerűen változik, amint az áramerősséget változtatja. A hang frekvenciáról frekvenciára ugrott, mintha lépcsőn mászna: az egyik frekvenciát elhagyta és nyomban a következőre lépett. Időnként azonban valami különös ütötte meg van der Pol fülét: a hang viselkedése szabálytalanná vált, s van der Pol erre nem tudott magyarázatot. Mindazonáltal nem akadt fenn a dolgon. Gyakran szabálytalan zaj hallatszik a telefonkagylóban, még mielőtt a frekvencia a következő szintre ugrana - olvashatjuk a Nature c. folyóiratnak beküldött levelében, - ez azonban csak mellékes jelenség." 2 Egyike volt annak a nagyszámú tudósnak, akik előtt felsejlett a káosz, csak éppen nem voltak eszközeik a megértéséhez. Az elektroncső létrehozásán igyekvők szemében a frekvencia-ugrás volt a fontos. Akik viszont a bonyolultság természetével szerettek volna tisztába kerülni, azoknak a nagyobb és a kisebb frekvencia ellentétes irányú vonzásából fakadó szabálytalan zaj" keltette fel a figyelmét. Ha helytelen volt is Smale feltevése, közvetlenül elvezette őt egy olyan új módszerre, amellyel megragadhatóvá vált a dinamikai rendszerek teljes komplexitása. Más megközelítésből kiindulva már több matematikus is megvizsgálta a van der Pol-féle oszcillátorban rejlő lehetőségeket; Smale most új megvilágításba helyezte az ő munkájukat. Neki sem volt más oszcilloszkópja, mint a tulajdon agya, az azonban a topológia világának sokéves kutatásában formálódott. Smale megragadta az oszcillátor lehetőségeinek teljes tartományát: az egész fázisteret, ahogy a fizikusok mondják. A fázistérben egy-egy pont jeleníti meg a rendszer különféle időpontoknak megfelelő állapotát; a rendszer helyzetére és sebességére vonatkozó információk mind benne rejlenek e pont koordinátáiban. 3 Ahogyan a rendszer változik, a pont vándorol a fázistérben. A rendszer folytonos változása során ez a pont egy pályát ír le. Az egyszerűbb rendszerek, például az inga esetében a fázistér esetleg csak egy négyzet: az inga valamely időpontban mért kilendülésének szöge határozza meg a pont kelet-nyuga- 1 Van der Pol leírása a munkájáról: Nature 120 (1927), pp A van der Poloszcillátorról magyarul is olvashatunk Gnádig-Györgyi-Szépfalusy-Tél: Bevezetés a káosz kialakulásának és tulajdonságainak elméletébe c. tanulmányának 7. pontjában; valamint Tél T.: A káosz és kialakulása c. tanulmányának 4. pontjában. 2 Uo. 3 Ebben az absztrakt (tehát a valóságos tértől eltérő) térben a koordináták száma azonos a rendszer úgynevezett szabadsági fokainak - azaz a mozgás leírásához minimálisan szükséges független változóknak-a szá mával. Például egyn részecskéből álló rendszer esetében a fázistérnek 6n koordinátája vagyis dimenziója van, mert minden részecskéhez 3 térbeli és 3 sebesség (impulzus) adat tartozik - a fordító.

41 ti helyzetét, az inga sebessége pedig észak-déli irányú helyzetét. A szabályosan fel- s alá lengő inga a fázistérben egy zárt görbét ír le; a rendszer e mentén körbe-körbe jár, s újra meg újra eljut ugyanazokba az állapotokba. ÁBRA KÉSZÍTÉS A FÁZISTÉRBEN. A hagyományos időfüggvények (fent) és a fázistérbeli pályák (lent) két módszer ugyanazoknak az adatoknak a sze mléltetésére; mindkettő arra való, hogy képet adjon a rendszer hosszú távú viselkedéséről. Az első rendszer (balra) egy állandósult állapothoz - egy fázistérbeli ponthoz - tart. A második önmagát periodikusan ismételve ciklikus pályát rajzol ki. A harmadik egy bonyolultabb keringőritmusban: három periódusú" ciklusban teszi ugyanezt. A negyedik kaotikus. Smale azonban nem egyetlen pályát vizsgált, hanem azt kutatta, hogyan viselkedik a teljes tér a rendszer változása közben, például ha több hajtóenergiához jut. Figyelme a rendszer fizikai lényegéről egy újfajta geometriai lényeg felé fordult. Eszközként a fázistérbeli alakzatok topológiai transzformációit használta: olyan transzformációkat, amilyen például a nyújtás vagy az összenyomás. Némelykor e transzformációknak világos fizikai jelentésük van. Például a disszipáció, a rendszer súrlódás miatti energiavesztése azt jelenti, hogy a fázistérben összehúzódik a rendszert megjelenítő jellemző alakzat - olyasformán, mint egy lyukas léggömb -, s mire a rendszer teljesen leáll, egyetlen ponttá zsugorodik. Smale a van der Pol-féle oszcillátor teljes komplexitását ábrázolva rájött, hogy a fázisteret valamiféle bonyolult, újfajta transzformáció-kombinációnak kell alakítania. A globális viselkedés szemléltetésével kapcsolatos gondolatát csakhamar új típusú modellé alakította át. Eredménye - a káoszról alkotott, s a következő években is érvényes kép - a lópatkó néven ismertté vált konstrukció. Smale lópatkójának 1 egyszerű változataképpen vegyünk egy négyzetet, majd felülről és alulról nyomjuk össze egy vízszintes sávvá. Hajlítsuk meg a sáv egyik végét a másikhoz, és hosszanti irányban nyújtsuk is meg, hogy egy lópatkószerű C alak jöjjön ki belőle. Ezután képzeljük el, hogy a lópatkót belehelyezzük egy új négyzetbe, és ugyanennek a transzformáció-sorozatnak vetjük alá: összenyomjuk, hajlítjuk, nyújtjuk. A folyamat hasonlít a karamella-készítő gép munkájához: abban a forgó karok kinyújtják a karamellát, majd visszahajtják, azután megint megnyújtják, és így tovább, amíg a karamella nagyon vékonnyá, tekervényessé, s igen nagy felületűvé nem válik. Smale kipró- 1 Smale e munkájának pontos matematikai kifejtése a következő cikkben jelent meg: Differentiable Dynamical Systems;Bulletin of theamerican Mathematical Society 1967, pp (továbbá in: The Mathematies of Tinie, pp. 1-82).

42 bálta az ebben a lópatkó-alakzatban rejlő topológiai lehetőségeket, és arra jutott, hogy a lópatkó szemléletes analógiát nyújt a kezdeti feltételek iránti érzékenységre, amit Lorenz néhány évvel később felfedezett a légkörben. Vegyünk két közeli pontot az eredeti térben; hogy hová esnek végül, azt már aligha fogjuk kitalálni. A hajtogatások és nyújtások után nagyon távolra is kerülhetnek egymástól. S megfordítva: a végén egymás közelében lévő két pont, kezdetben akármilyen távol is lehetett. SMALE LÓPATKÓJA. Ez a topológiai transzformáció adott alapot a dinamikai rendszerek kaotikus tulajdonságainak megértéséhez. Az elemei egyszerűek: A teret meg kell nyújtani az egyik irányban, összenyomni a másikban, azután összehajtani. Ez a folyamat egymás után megismételgetve olyasfajta strukturált keveréshez vezet, amilyet mindenki látott, aki hajtogatott már levelestésztát. Egy egymáshoz közel került pontpár kezdetben akár nagyon távol is lehetett egymástól. Smale elsőre azt remélte, nyújtásokkal és összenyomásokkal minden dinamikai rendszert megmagyarázhat, bármiféle hajtogatás nélkül - de legalábbis olyan hajtogatások nélkül, amelyek lényegesen aláaknáznák a rendszer stabilitását. Kiderült azonban, hogy a hajtogatások nem hagyhatók el; ezek teszik lehetővé a hirtelen változásokat a dinamikai viselkedésben. Smale lópatkója volt az első abból a sokféle geometriai alakzatból, amelyek új képet adtak a matematikusoknak és fizikusoknak a mozgás lehetőségeiről. Bizonyos fokig túl mesterkélt volt, semhogy használható lehessen; túlságosan magán viselte még a matematikai topológia jegyeit, ezért kevéssé tűnt vonzónak a fizikusok szemében. De jó kiindulópontként szolgált. Ahogy teltek-múltak a hatvanas évek, Smale csoportot gyűjtött maga köré fiatal matematikusokból, akiket hozzá hasonlóan erősen foglalkoztatott a dinamikai rendszerek újabb keletű kutatása. Még egy évtizednek kellett eltelnie, mire munkájuk magára vonta a kevésbé tiszta tudományok kutatóinak figyelmét, de a fizikusok akkor végre felismerték, hogy Smale egy teljes matematikai ismeretágat hozott közelebb a valóságos világhoz. Ahogy mondták, az volt az aranykor. Ez a paradigmaváltások paradigmaváltása" - fogalmazta meg Smale egyik kollégája, Ralph Abraham, aki utóbb matematikaprofesszor lett a Kaliforniai Egyetemen Santa Cruzban. Amikor 1960-ban - nem is olyan régen - elkezdtem matematikusi működésemet, a fizikusok - nagyrészt még a matematikai fizikusok élgárdája is - mindenestül elutasították a modern matematikát: egyebek közt a differenciálható dinamikát, a globális analízist, a leképezés-sokaságokat, a differenciálgeometriát - mindent, ami akár csak egy-két évvel is fiatalabb volt annál, amit annak idején Einstein használt. A matematikusok és fizikusok románca az 1930-as években válással végződött. Szóra sem méltatták, sőt megvetették egymást. A matematikai fizikusok nem engedték doktoranduszaiknak, hogy matematikusoktól

43 hallgassanak matematikai tárgyú előadásokat : Tőlünk tanuljon matematikát. Mi arra tanítjuk meg, amire szüksége van. A matematikusokra egyfajta rémes szellemi önkielégülés jellemző; csak tönkretennék a fejét. Így álltunk 1960-ban, 1968-ra azonban teljesen megváltozott a helyzet." A fizikusok, csillagászok és biológusok végre mind megértették, hogy szükségük van az újdonságokra. Egyike a kisebbfajta kozmikus rejtélyeknek a Jupiter nagy vörös foltja, egy óriási örvénylő ovális képződmény, olyan, akár egy hatalmas vihar, amely sosem mozdul el és nem csendesül le. 1 Aki látta a Voyager-2 által 1978-ban a Földre sugárzott fotókat, mind felismerhette, hogy turbulenciát lát egy teljesen ismeretlen mérettartományban. Ez a Naprendszer egyik leglenyűgözőbb jellegzetessége -,,a vörös folt jajong, mint elkínzott szem/ fortyogó szemöldökök örvénylésében', 2 mint John Updike írja. De vajon mi ez a vörös folt? Húsz évvel azután, hogy Lorenz, Smale és mások elkezdték az áramlások új elméletének kidolgozását, a Jupiter másvilági időjárásáról kiderült: maga is a közé a számos probléma közé tartozik, amely a káosz tudománya által feltárt új lehetőségekre vár. Három hosszú évszázadon át úgy állt a dolog, hogy minél többet tudtak róla, annál kevésbé voltak tisztában vele. A csillagászok előbb egy foltot vettek észre a nagybolygón, nem sokkal azután, hogy - elsőként - Galilei a Jupiternek szegezte távcsövét. Robert Hook is látta az 1600-as években, Donati Creti megfestette, ahogy a Vatikáni Képtárban látható. Mint aprócska elszíneződés, nem is igen kívánt magyarázatot. A távcsövek azonban egyre jobbak lettek, és az ismeretek bővülésével egyre több lesz a még ismeretlen. Az utolsó száz évben egyre-másra születtek az elméletek a vörös folt megmagyarázására. Csak mutatóban néhány: A lávaömlés-elmélet. A tizenkilencedik század végén a tudósok úgy képzelték, hogy vulkánból kiömlött olvadt lávából hatalmas ovális tó alakult ki. A láva egy olyan lyukból ömlött ki, amelyet egy kisbolygó ütött a vékony szilárd kérgen. Az új hold elmélete. Egy német tudós viszont úgy gondolta, hogy a folt egy új hold lenne, amely éppen felemelkedik a bolygó felszínéről. A tojáselmélet. Egy kellemetlen, új tény merült fel: a folt kissé elmozdulni látszott a bolygó háttere előtt. Így 1939-re az a vélemény alakult ki, hogy a folt egy többé-kevésbé szilárd test, amely úgy úszik a légkörben, mint tojás a vízben. Ennek az elméletnek a változatai - például a sodródó hidrogén- vagy héliumbuborékra vonatkozó elképzelés - évtizedekig fennmaradtak. A gázoszlop-elmélet. Egy újabb tény: ha a folt elmozdult is, valahogyan sosem ment messzire. A tudósok a hatvanas években ilyenformán feltették, hogy a folt egy - talán kráterből kiáramló - gázoszlop teteje. Azután jött a Voyager. A legtöbb csillagász úgy gondolta, hogy a rejtély mindjárt megoldódik, mihelyt elég közelről tekinthetünk a foltra. A Voyager-repülés valóban az új adatok egész tárházával szolgált, csakhogy ezek az adatok sem bizonyultak végül elegendőnek. Az űrhajó 1978-ban küldött fényképei erős szeleket és színes örvényeket fedtek fel. A látványos részletek alapján a csillagászok magát a foltot örvénylő áramlások hurrikánszerű rendszerének látták, amely félretolja a bolygó körüli vízszintes sávokat alkotó kelet-nyugati szélzónák felhőit. A hurrikánnál jobb leírást senki sem gondolhatott ki, de számos okból 1 Philip S. Marcus: Coherent Vortical Features in a Turbulent Two-Dimensional Flow and the Great Red Spot of Jupiter. Előadás az Amerikai Akusztikai Társaság 110. Közgyűlésén, Nashville, Tennessee, november 5. 2 John Updike: The Moons of Jupiter. Facing Nature. p. 74.

44 az sem volt megfelelő. A földi hurrikánokat a légköri nedvesség esővé való lecsapódásakor támadt hő hajtja, a vörös foltot viszont nem nedvességgel összefüggő folyamatok tartják fenn. A hurrikánok, mint minden földi vihar, ciklonirányban forognak: az Egyenlítő fölött az óramutató járásával szemben, alatta az óramutató járásának irányában, a vörös folt forgása viszont anticiklonális irányú. És a legfontosabb: a ciklonok néhány napon belül elülnek. Tetejébe, a csillagászok a Voyager fényképeit tanulmányozva rájöttek, hogy a bolygó gyakorlatilag teljes egészében mozgó folyadékból áll. Arra készültek, hogy egy szilárd bolygót fognak majd látni, papírvékony légkörrel, olyat, mint a Föld; ám ha a Jupiternek egyáltalán van szilárd magja, akkor az jóval a felszín alatt húzódhat. A bolygó egyszerre csak egy nagy hidrodinamikai kísérlet alakját öltötte, és ott ült rajta a vörös folt, állandó keringésben, a környező káosztól mit sem zavartatva. A foltból, mondhatni, alaklélektani teszt vált. A tudósok azt látták benne, amit szemléletük láttatott velük. A hidrodinamika kutatója, véletlen és zajos folyamatnak gondolván a turbulenciát, nem képzelhetett bele semmiféle stabilitás jellemezte szigetet. A Voyager azzal még bosszantóbbá tette a rejtélyt, hogy kicsiny, a legerősebb földi távcsövekkel sem látható 1 mérettartományokban is áramlási tulajdonságokról tudósított. Ezekben a kis mérettartományokban gyors és rendezetlen volt a mozgás; a keletkező örvények még aznap el is tűntek. De a foltnak mindez nem ártott. Mi tarthatja akkor működésben? S mi tartja a helyén? Az Amerikai Repülésügyi és úrkutatási Hivatal (a NASA) mintegy fél tucat archívumban tartja a képeit szerte az Egyesült Államokban. Az egyik a Cornell Egyetemen van, nem messze attól a szobától, ahol a nyolcvanas évek elején egy fiatal csillagász és alkalmazott matematikus, Philip Marcus dolgozott. A Voyager adatainak megjelenése után Marcus is kereste a módját a vörös folt modellezésének, ahogyan még vagy fél tucat kutató az Egyesült Államokban és Nagy-Britanniában. A hurrikánra támaszkodó elméletpótléktól megszabadulva, máshol megfelelőbb analógiákra találtak. Például a Golf-áramlásra, amely átkanyarodik az Atlanti-óceán nyugati részén, majd valami rejtélyes emlékezetre támaszkodva elfordul és ágakra bomlik. Kis hullámokat formál, s azok azután visszafordulnak, gyűrűkké alakulnak és - lassú, hosszú ideig tartó, anticiklonikus örvényeket formálva - leperdülnek a fő áramlatról. A másik párhuzam egy sajátos meteorológiai jelenség: a blocking (blokkolás). Időnként egy nagynyomású rendszer ül a tenger felett, a parttól nem messze, s lassan forogva heteken, sőt hónapokon át dacol a szokásos kelet-nyugati áramlással. A blocking elrontotta a globális előrejelző modelleket, de némi reményt is nyújtott az időjósoknak, mivel szabályos tulajdonságai voltak, s azokat szokatlanul hosszú ideig megtartotta. Marcus órákon áttanulmányozta a NASA fényképeket: a Holdon emberekről készített ragyogó Hasselblad-felvételeket és a Jupiter turbulenciájának fotóit. Mivel a Newton-törvények mindenütt érvényesek, Marcus folyadékegyenletek rendszerét programozta egy számítógépbe. A jupiteri időjárás törvényszerűségeit feltárni: ez a feladat olyan, mintha szabályokat kellene felírni, egy nem világító csillaggal azonos tömegű, sűrű hidrogénre és héliumra. A bolygó gyorsan forog: itt tíz földi óra a nap. A forgás erős Coriolis-erőt kelt - azaz oldalra irányuló erőt, amely a körhintán keresztül sétáló embert is nyomja - ez a Coriolis-erő hajtja a foltot. Lorenz egy kicsiny modellel igyekezett leírni a földi időjárást, s ez úton csak durva vonalakat jeleníthetett meg a papírtekercseken; nem így Marcus: ő sokkal nagyobb teljesít- 1 Andrew P. Ingersoll: Order from Chaos: The Atmospheres of Jupiter and Satum; Planetary Report 4:3, pp

45 ményű számítógépet használt, s meglepő színes képeket kapott eredményül. Először körvonalakat rajzoltatott ki. Ezekből alig tudta kivenni, mi történik. Azután diákat csinált, majd a képeket mozgófilmmé állította össze. Meglepő felfedezés volt. Ragyogó kék, piros és sárga színekben forgó örvények sakktáblaszerű mintázata egyesül egy oválisban, amely megdöbbentő módon emlékeztet a valóságról készített NASA-film nagy vörös foltjára. Látod ezt a nagyméretű foltot; olyan, mint egy zárkózott ember a kis mérettartományban zajló kaotikus áramlás közepette; és a kaotikus áramlás szivacs módjára felszívja az energiát - mondta. - Látod ezeket a piciny kis szálas struktúrákat a káosz tengerében." A folt egy önszervező rendszer, amelyet ugyanazok a nemlineáris sodrások hoznak létre és szabályoznak, mint a körülötte kavargó megjósolhatatlan zűrzavart. Ez a stabil káosz. A doktori képzésben Marcus a szokványos fizikát tanulta, lineáris egyenletek megoldását, s olyan méréseket végzett, amelyek a lineáris analízis testére voltak szabva. Ez afféle minden veszélytől óvott létforma volt, no de minek is vesztegetni egy doktorandusz idejét, ha egyszer a nemlineáris egyenletek úgyis megoldhatatlanok? A fáradozás jutalma úgyszólván bele volt programozva a képzésébe. Ameddig a kísérleteket bizonyos határok között tartotta, a lineáris közelítések megfeleltek, és elégedett is lehetett, hiszen a várt választ kapta. Néha azért óhatatlanul betolakodott a valóságos világ is: Marcus így láthatta volna azt, amit évekkel később mint a káosz jeleit ismert fel. Ha erre megáll és azt mondja: Jé, hát ez mi a szösz?", azt kapta volna: Ó, hát mérési hiba, ne is törődjön vele!" De Marcus végül más utat követett, mint a fizikusok többsége: megtanulta Lorenz leckéjét, miszerint egy determinisztikus rendszertől a periodikus viselkedésnél sokkal több is kitelhet. Megtanult vad rendezetlenséget keresni, és tudta, hogy a rendezetlenségen belül strukturált szigetek bukkanhatnak fel. Ezzel a nagy vörös folt vizsgálatában olyan szemléletet honosított meg, amely szerint egy komplex rendszerben egyszerre lehet jelen a turbulencia és a koherencia. Egy olyan újonnan megjelenő tudományágban működhetett, amely saját hagyományt teremtett: kísérleti eszközként alkalmazta a számítógépet. És újfajta kutatónak látta magát, aki nem csillagász, nem is a hidrodinamika tudósa vagy alkalmazott matematikus, hanem legfőképpen a káosz szakembere.

46 Az élet viszontagságai A matematikailag kapott eredményt folyamatosan össze kell vetnünk az ésszerű biológiai viselkedésről kialakult nézeteinkkel. Ha eközben ellentmondást találnánk, akkor a következő lehetőségeket kell számba vennünk: a. Hiba csúszott a formális matematikai levezetésbe; b. Az alapfeltevés hibás és/vagy túlzott egyszerűsítésre c. épül; d. Biológiai oldalról nincsenek megfelelően kidolgozott nézeteink; e. Egy mélyreható új elvre bukkantunk. HARVEY J. GOLD Mathematical Modeling of Biological Systems (Wiley & Sons, p. 15.)

47 Éhes hal és ínycsiklandó plankton. 1 Esőerdők nevesincs hüllőkkel, a lombkorona alatt suhanó madarakkal, gyorsítóbeli elektronok módjára zümmögő rovarokkal. Hideg éghajlati övek, ahol egerek és lemmingek szaporodnak és fogynak szabályos négyéves időközönként a természet véres harcában. A világ egyetlen összevissza laboratórium az ökológusok számára, ötmillió egymással kölcsönhatásban levő faj egyetlen katlanban. 2 Vagy ötvenmillió? Az ökológusok csak becsülni tudják. A huszadik század matematikai hajlandóságú biológusai létrehoztak egy tudományágat, az ökológiát, amely megfosztotta a valódi életet a zajtól és színtől, dinamikai rendszerekként kezelte a populációkat. Az ökológusok a matematikai fizika elemi eszközeit használták az élet apályainak és dagályainak leírására. Egyetlen faj szaporodik el egy olyan helyen, ahol nincs akármennyi táplálék, több faj versenyez a létezésért, járványok terjednek a gazdapopulációkban - mindez különválasztható, ha nem a laboratóriumokban, hát az elméleti biológusok fejében. A káosz mint új tudomány létrehozásában - az 1970-es években - az ökológusok sajátos szerepre voltak kárhoztatva. Matematikai modelleket használtak, de mindig tudták, hogy a modellek csak halovány közelítései a valóságos világ kavargásának. Fonák módon, ez a szem elől sohasem tévesztett fogyatékosság segített nekik felismerni néhány olyan gondolat jelentőségét, amelyeket a matematikusok csak érdekes furcsaságoknak tartottak. Szabályos egyenletekből szabálytalan viselkedés származhat: az ilyesmi szemet szúr egy ökológusnak. A populációbiológiára alkalmazott egyenletek elemi megfelelői voltak a világegyetem fizikusokat megillető részeire felírt fizikai modelleknek. Az élettudományokban tanulmányozott valóságos jelenségek mindazonáltal bonyolultságukban felülmúltak mindent, ami egy fizikai laboratóriumban található. A biológusok matematikai modelljei a valóság karikatúrái voltak, akárcsak a közgazdászoké, a demográfusoké, a pszichológusoké és várostervezőké, amelyekkel ezeknek a kevésbé egzakt tudományoknak a művelői megpróbáltak szigorúságot vinni az időben változó rendszerek kutatásába. 3 Ők máshoz voltak szokva. A fizikus szemében egy olyan egyenletrendszer, mint a Lorenz-féle, egészen egyszerűnek, szinte átlátszónak tetszett. Egy biológus viszont még a Lorenz-féle egyenleteket is félelmetesen bonyolultnak látta: háromdimenziósak, folytonosan változnak és analitiku- 1 May híres áttekintő cikke a káosz tanulságairól a populációbiológiában: Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics; Nature 261(1976), pp Továbbá: Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos; Science 186 (1974), pp , valamint May és George F. Oster: Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models; The American Naturalist 110 (1976), pp Kitűnő áttekintés a populációk matematikai modellezéséről a káosz előtt: Sharon E. Kingsland: Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology (University of Chicago Press, Chicago 1985). Lényegében ugyancsak a káosz előtti biológiai alkalmazásokat foglalja össze röviden (magyarul is) Haken: Szinergetika c. könyvének 10. fejezete. 2 May és Jon Seger: Ideas in Ecology: Yesterday and Tomorrow. Preprint, Princeton University, p May és George F. Oster: Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models; The American Naturalist 110 (1976), p. 573.

48 san kezelhetetlenek. A szükség másféle munkastílusra szorította a biológusokat: a matematikai leírást másféleképpen kellett összevetniük a valódi rendszerekkel. A fizikus ennek vagy annak a rendszernek (mondjuk rugóval összecsatolt ingapárnak) a vizsgálatát a megfelelő egyenletek kiválasztásával kezdi. Előbb felüt egy kézikönyvet; ha sem ott, sem másutt nem találja, akkor az alapelvekből származtatja az egyenleteket. Tudja, hogyan működnek az ingák, és ismeri a rugókat. Azután, ha tudja, megoldja az egyenleteket. A biológus viszont sosem tudhatja csupán gondolkodás útján felírni egy sajátos állati populációra vonatkozólag a megfelelő egyenleteket. Előbb adatokat kell gyűjtenie, majd igyekeznie kell olyan egyenleteket találni, amelyek hozzájuk hasonló eredményekkel szolgálnak. Mi történik, ha beleteszel ezer halat egy kis mesterséges tóba, és csak korlátozott mennyiségben adsz nekik táplálékot? Mi történik, ha még melléjük teszel ötven cápát, amelyek két ilyen halat esznek meg naponta? Mi történik egy vírussal, amely a populációsűrűségtől függően ilyen és ilyen gyorsasággal öl és ilyen meg ilyen sebesen terjed? A tudósok idealizálják ezeket a kérdéseket, hogy így bizonyos képleteket írhassanak fel rájuk. Ez gyakran eredményes is volt. A populációbiológia elég sokat tanult belőle az élet történetéről, arról, hogy a ragadozók hogyan állnak kölcsönhatásban zsákmányukkal, vagy hogyan befolyásolják az ország népességének esetleges változásai a betegségek terjedését. Ha ez vagy az a matematikai modell nekilódult vagy egyensúlyba jutott, netán elhalt, abból az ökológusok kideríthettek valamit arról, hogy milyen körülmények között tenne így egy valóságos populáció vagy éppen járvány. Az egyik hasznos egyszerűsítés az volt, hogy a világot diszkrét időintervallumokra támaszkodva kell modellezni: ahogyan az olyan óramutató teszi, amelyik nem folytonosan mozog, hanem csak másodpercenként ugrik egyet. A differenciálegyenletek időben simán változó folyamatokat írnak le, de nehéz őket megoldani. Az egyik állapotból a másikba ugró folyamatokra egyszerűbb egyenletek -,,differencia-egyenletek" - alkalmazhatók. Szerencsére az egyéves intervallumok, az évről évre történő változások számos állati populáció esetében fontosabbak, mint a folytonos változások. Az emberekkel ellentétben például jó néhány rovar csak egyetlen szaporodási időszakon át marad életben, így a nemzedékek nem keverednek egymással. Ha az ökológus a következő évi gyapjaslepke-népességet kívánná felbecsülni, vagy a következő téli kanyarójárványt, akkor csak az az évi számokat kell ismernie. Az évenkénti hasonlóság csak halvány visszfénye a rendszer bonyolultságának, de sok tényleges alkalmazásban mégis megad minden szükséges információt. Az ökológia matematikája a Steve Smale-féle matematikához képest olyan, mint a tízparancsolat a Talmudhoz képest: működő szabályok megfelelő gyűjteménye, híján minden nagyobb bonyodalomnak. A populáció évenkénti változásának leírásához a biológus olyan formalizmust használ, amelyet egy főiskolai hallgató is könnyedén követhet. Tegyük fel, hogy a következő évi gyapjaslepke-népesség nagysága egyes-egyedül az ez évi egyedszámtól függ. Elképzelhetjük, hogy egy táblázat feltünteti az összes lehetőséget: ebben az évben gyapjaslepke mondjuk azt jelenti, hogy a következő évben lesz, és így tovább. De az ez évi számok és a következő évi számok közötti összefüggéseket szabályként - függvényként - is megragadhatjuk. A következő évi népesség (x) valamilyen függvénye (F) az ez évi népességnek: xkov=f(x). Bármely függvény ábrázolható grafikonnal, s az rögtön érzékelhetővé teszi a függvény egész menetét. Az ilyen egyszerű modellekben az egyedszámok évenkénti alakulását követni nem más, mint venni egy kiindulási számot és ugyanazt a függvényt ismételten alkalmazni rá. Hogy megkapjuk a harmadik évi népességet, csak alkalmaznunk kell a függvényt a második évnek megfelelő számra, és így tovább. A népesség egész története megragadható ezzel a

49 függvény-ismételgetéssel avagy visszacsatolással: azzal, hogy a mindenkori évhez tartozó kimeneti érték bemenetül szolgál a következő évhez. A visszacsatolás esetenként el is szabadulhat, például ha egy hangszóró hangja egy mikrofonon át visszacsatolódik és egy szempillantás alatt kibírhatatlan sivítássá fajul. De a visszacsatolás stabilitáshoz is vezethet: ezt teszi a szobahőmérsékletet szabályozó termosztát is: a beállított érték feletti hőmérséklet hűtéshez vezet, az alatta álló pedig fűtéshez. Sok különböző típusú függvény lehetséges. Ha a lehető legegyszerűbbet gondoljuk a populációbiológiáról, talán olyan függvény jutna eszünkbe, amely évről évre egy bizonyos százalékkal növeli a népességet: x köv= rx. Ez az ún. lineáris függvény a népességnövekedés klasszikus Malthus-féle sémája, amelyet nem korlátoznak sem táplálékszerzési nehézségek, sem erkölcsi megfontolások. Az r paraméter a népességnövekedési arányt adja meg. Tételezzük fel, hogy r=1,1; ha tehát ebben az évben mondjuk 10 az egyedszám, akkor a következő évben 11 lesz. Vagy a bemenet, akkor lesz a kimenet. Az egyedszám egyre nő, mint a kamatos kamatra betett pénz, amelyből egy fillért sem vesz ki a betétes. Az ökológusok már több nemzedékkel ezelőtt rájöttek, hogy ezen a képen változtatni kell. Ha az ökológus valódi halakat képzel egy valódi tóba, akkor olyan függvényt kell találnia, amely megfelel az élet nyers valóságának - például az éhség vagy a versengés valóságának. Ha a halak nagyon szaporodnak, kezdenek majd kifogyni az élelemből. Egy kis halpopuláció még gyors növekedésnek indul, egy már túlságosan nagy populáció viszont csökkenni kezd. Vagy vegyünk valamilyen közönséges bogarat. Minden augusztus 1-jén menjünk ki a kertbe és számoljuk meg, hány lehet belőlük. Az egyszerűség kedvéért ne vegyük tekintetbe az őket irtó madarakat és betegségeket, és tegyük fel, hogy állandó mennyiségű táplálékuk van. Ha kevés volt belőlük, akkor majd sok lesz, ha sokan voltak, sokuk el is pusztul majd. A korlátlan növekedés malthusiánus forgatókönyve szerint a lineáris növekedési függvény örökké felfelé emelkedik. Valósághűbb képhez az ökológusnak még egy tagot be kell iktatnia az egyenletbe, amely tag majd korlátozza a növekedést, ha az egyedszám már naggyá válik. A választandó legtermészetesebb függvény meredeken emelkedik, míg a népesség kicsi, közepes értékeken szinte nullára csökkenti a növekedést, és letörik, ha a népesség nagyon nagy. A folyamat többszöri ismétlésével az ökológus megfigyelheti a népesség hosszú távú viselkedését - az egyedszám vélhetőleg elér majd valamilyen állandósult értéket. Ez a sikeres matematikai kalandozás a következőt mondatja az ökológussal: Itt van egy egyenlet; itt van egy változó, amely a szaporodási rátának felel meg; itt van egy változó, amely a természetes halálozási rátát adja meg; itt van egy változó, amely az éhezés és a ragadozók okozta pusztulás arányát írja le; és nézd: a népesség ezzel a sebességgel fog nőni, amíg el nem éri azt az egyensúlyi szintet. Hogyan találunk ilyen függvényt? Sokféle egyenlet szóba jöhet, de a legegyszerűbb talán a lineáris, malthusiánus változat következő módosítása: xköv = rx(1-x). Itt az r paraméter ismét a növekedési arány; ha kell, kisebb, ha kell, nagyobb értéket tulajdoníthatunk neki. Az új 1-x tag korlátok között tartja a növekedést, mivel ha x nő, akkor 1-x csökken. 1 Aki- 1 A kényelem kedvéért ebben a nagyon elvont modellben a,népesség" egy nulla és egy közötti tizedestört; a 0 a kihalást jelenti, az 1 pedig a tó elképzelhető legnagyobb benépesítettségét. Akkor hát kezdjük: Válasszunk egy tetszőleges r értéket, mondjuk 2,7-et, és 0,02es kezdeti népességet. 1 mínusz 0,02 az 0,98. Szorozzuk meg ezt 0,02-vel; 0,0196-ot kapunk. Ezt szorozzuk meg 2,7-tel; most 0,0529-et kapunk. A nagyon kis kezdeti egyedszám több mint kétszeresére nőtt. Ismételjük meg a folyamatot, most az új egyedszámból kiindulva: ezúttal 0,1353-at kapunk. Egy olcsó programozható számológépen az ismételgetéshez csak egy gombot kell nyomkodni. A népesség 0,3159-re, azután 0,5835-re, majd 0,6562-re nő - a növekedés mértéke >>>folytatás50

50 nek van számológépe, vehet egy neki tetsző kezdeti értéket és valamekkora növekedési arányt, és kiszámolhatja a következő évi népességet. Egy populáció emelkedés, túllépés és visszaesés után egyensúlyba kerül. Az 1950-es évekre már sok ökológus vizsgálta ezt a logisztikus differenciaegyenletként ismert sajátos egyenletet. Ausztráliában például W. E. Ricker a halászati hozamokra alkalmazta. Az ökológusok megértették, hogy az r növekedési arány fontos paraméter a modellben. Fizikai rendszerekben, ahonnan ezek az egyenletek származnak, ez a paraméter a fűtés vagy a súrlódás mértékének, vagy valamilyen más, rendezetlenséggel kapcsolatos mennyiségnek felelt meg. Röviden: a nemlinearitás mértékének. Egy kis tóra alkalmazva, ez a halak termékenységének felelhet meg, vagy annak, hogy az egyedszám esetleg nemcsak fellendül, hanem netán hanyatlik is (erre a szaporodási potenciál" a kellő súlyú szakkifejezés). A kérdés az volt, hogyan befolyásolják ezek a különféle paraméterek egy változó egyedszámú népesség végső sorsát. A nyilvánvaló válasz: ha ideális népességről van szó, és a paraméter kisebb, akkor alacsonyabb szinten állapodik meg az egyedszám, ha nagyobb, akkor magasabb szinten. Ez sok paraméter esetében igaznak bizonyult - de nem mindegyikében. A Rickerhez hasonló kutatók esetenként alighanem kipróbáltak még nagyobb paraméterértékeket is; s ha igen, akkor látniuk kellett a káoszt. A számok egymásutánja egyszer csak megbokrosodik, ami meglehetősen kellemetlen annak, aki tekerős számológéppel számol. A számok persze továbbra sem nőnek minden határon túl, de állandó szinthez sem tartanak. Ám az első ökológusok közül senkinek sem akaródzott tömegével gyártani olyan sorozatokat, amelyek nem látszanak valahol megállapodni. Hiába ugrált fel s le az egyedszám, az ökológusok akkor is feltették, hogy valamilyen egyensúlyi érték körül ingadozik. Az egyensúly volt a fontos. Az szóba sem jöhetett, hogy nincs egyensúly. A logisztikus egyenlettel és bonyolultabb rokonaival foglalkozó kézikönyvek és tankönyvek rendszerint egy szót sem szóltak arról, hogy az egyenlet megoldásaitól kaotikus viselkedés várható. 1 J. Maynard Smith 1968-ban megjelent Matematikai gondolatok a biológiában c. klasszikus könyvében a szabványfelfogást adja vissza a lehetőségekről: az >>>folytatás49 tehát csökken. A zután, ahogy az éhhalál legyőzi a szaporodást, a népesség 0,6092 lesz. Azután 0,6428, 0,6199, 0,6362, majd 0,6249. Úgy tűnik, a számok fel-1e ugrálnak, de köze lednek egy rögzített számhoz: 0,6328, 0,6273, 0,6312, 0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296,0,6296, 0,6296. Siker! A papír-ceruzás számolgatás és később a mechanikus tekerős számológépek idejében a numerikus kutatás sosem lépett sokkal tovább. 1 J. Maynard Smith: Mathematical Ideas in Biology (Cambridge University Press, Cambridge 1968), p. 18; Harvey J. Gold: Mathematical Modeling of Biological Systems.

51 egyedszámok gyakorta közelítőleg állandók maradnak vagy elég szabályos periodicitással" ingadoznak egy feltehető egyensúlyi érték körül. S nem azért írt így, mert naivan azt képzelte volna, hogy a valóságos populációk sosem viselkedhetnek szabálytalanul. Szó sincs róla: csupán feltette, hogy a szabálytalan viselkedésnek semmi köze a könyvében ismertetett matematikai modellekhez. A biológusoknak kellő távolságot kellett tartaniuk ezektől a modellektől. Ha a modellek egyszer csak nem azt jósolták, amit a kutatók már tudtak a valódi populációk viselkedéséről, akkor mindig hivatkozhattak valamilyen figyelmen kívül hagyott tulajdonságra: a populáció kor szerinti megoszlására, bizonyos területi vagy földrajzi megfontolásokra vagy az ivar számításba vételének bonyodalmaira. A legfontosabb, hogy az ökológusok agyában mindig ott lappangott a feltevés: a szabálytalan számsor talán a számológépnek vagy csak a nem elégséges pontosságnak tulajdonítható. A stabil megoldások számítottak érdekesnek. A rendnek rend volt a jutalma. Megtalálni a megfelelő egyenleteket és végigvinni a számításokat: ez elég nehéz mesterség. Senki sem akarta az idejét olyan irány kidolgozására vesztegetni, amely - minthogy nem hozza a stabilitást - tévútra vezet. A túlzott egyszerűsítésnek egyes-egyedül a szabályosság modellezése volt a célja. Ugyan minek zavaros ügyekbe belevágni; csak hogy káosz süljön ki belőlük? Később az emberek azt mondták, hogy James Yorke fedezte fel Lorenzet és ő adott nevet a káosz tudományának. Ami a második megállapítást illeti, az valóban helytálló. Yorke matematikus volt, aki szerette filozófusnak hinni magát, ha az ilyesmit szakmailag nem is éppen veszélytelen bevallani. Ragyogó elme volt, barátságos természetű; enyhén zilált csodálója a szintúgy enyhén zilált Steve Smale-nek. Smale-t éppúgy nehezen kifürkészhetőnek találta, mint mindenki más, de - legtöbbjükkel ellentétben - azután rájött, mi ennek az oka. Yorke alig huszonkét esztendősen tagja lett egy interdiszciplináris intézetnek: a Marylandi Egyetem Fizikatudományi és Műszaki Intézetének; ennek később a vezetőjévé is vált. Az a fajta matematikus volt, aki törekedett gyakorlatilag is hasznossá tenni valóságról támadt gondolatait. Egy jelentése nyomán például, amelyben a gonorrhoea terjedését taglalta, az amerikai kormány megváltoztatta a betegség megfékezésére kidolgozott országos stratégiát. 1 Az olajválság idején, még az 1970-es években Maryland államban hivatalos felmérést készített, s abban helyesen (ám sajnos eredménytelenül) amellett érvelt, hogy a benzinárusítás korlátozásának páros-páratlan rendszámos módja csak hosszabbá teszi a benzinkút előtti autósorokat. 2 A háborúellenes tüntetések időszakában, amikor egyszer a kormány megjelentetett egy kémrepülőgép által készített fényképet, bizonyítandó, mily kevesen is vettek részt a Washington Emlékmű körül egy tiltakozó megmozduláson, Yorke az emlékmű árnyékát alaposabban megvizsgálva kiderítette, hogy a felvétel nem akkor készült, amikor a kormány állította, hanem egy fél órával később, már a tömeg szétszéledése idején. 3 Az intézetben Yorke rendkívüli szabadságot élvezett a hagyományos területeken kívüli problémák kutatásában; gyakran lépett kapcsolatba a legkülönfélébb tudományágak műve- 1 Herbert W. Hethcote és James A. Yorke: Gonorrhea Transmission Dynamics and Control (Springer-Verlag, Berlin 1984) 2 Számítógépes szimulációra támaszkodva Yorke arra jutott, hogy e rendszer bevezetése után az autósoknak többször kellett elmenniük a töltőállomásokra és több benzint kellett tartaniuk a benzintartályukban, mint korábban; tehát megnőtt az ország autóiban hasztalanul tárolandó benzin mennyisége. 3 A repülőtéri naplóból később kiderült, hogy Yorke-nak igaza volt.

52 lőivel. Ezek egyike, egy hidrodinamikai szakember 1972-ben ráakadt Lorenz 1963-as tanulmányára, a Determinisztikus nemperiodikus áramlás"-ra, s valósággal beleszeretett; széltében-hosszában osztogatta róla a másolatokat, így jutott el a cikk Yorke-hoz is. Lorenz írása varázslatnak tűnt, olyan varázslatnak, amelyet Yorke már akkor is keresett, amikor még tudomása sem volt róla. Először is megrázkódtatást okozott matematikai szempontból: egy kaotikus rendszer, amely felrúgja Smale eredeti optimista osztályozási rendszerét. De nem csupán matematikailag volt érdekes, hanem mint eleven fizikai modell is, mint a mozgó folyadékról alkotott kép; Yorke nyomban rájött, hogy ez az, amit a fizikusoknak is látniuk kell. Smale az ilyen fizikai problémák irányába kormányozta a matematikát, de - s ezt Yorke jól átlátta - a matematika nyelvezete akadály maradt a kommunikáció útjában. Bárcsak akadt volna hely a tudományos életben a matematikus/ fizikus keveréknek - de nem volt. Smale működése a dinamikai rendszerek terén elkezdte ugyan közelíteni egymáshoz a két partot, de a matematikusok továbbra is a maguk nyelvén beszéltek, s nemkülönben a fizikusok. Mint azt a fizikus Murray Gell-Mann egyszer megjegyezte: Az oktatók jól ismerik azt az embertípust, aki a matematikusokat jó fizikusoknak, a fizikusokat meg jó matematikusoknak tekinti. És nagyon helyesen nem tűrnek meg ilyesfajta egyént a közelükben." 1 A két foglalkozásnak mások a kívánalmai. A matematikusok következtetések révén bizonyítják a tételeket; a fizikusok bizonyítékai súlyosabb eszközökre támaszkodnak. Más dolgokból áll a világuk, mások a jellegzetes példáik. Smale-t mondjuk egy ilyesfajta példa örvendeztette meg: vegyünk egy számot nulla és egy között, majd szorozzuk meg kettővel. Dobjuk el az egész részét, vagyis a tizedesponttól balra álló számokat. Azután tegyük meg vele újra ugyanezt, s így tovább. Mivel a legtöbb szám irracionális és finom részleteit tekintve megjósolhatatlan, ez az eljárás egy megjósolhatatlan számsort állít elő. Egy fizikus semmi érdekeset nem lát ebben, csak egy banális matematikai furcsaságot, amely tökéletesen értelmetlen, túl egyszerű és túl elvont ahhoz, hogy használható lehessen. Smale-nak azonban azt súgta az intuíciója, hogy ez a matematikai fogás még sok fizikai rendszer lényegének bizonyulhat. A fizikusok szemében az egyszerű formában felírható differenciálegyenlet volt az elfogadható példa. Amikor Yorke meglátta Lorenz cikkét, felismerte, hogy ezt a példát - bár egy meteorológiai folyóiratban van eltemetve - bizonyosan megértik majd a fizikusok. Adott egy példányt Smale-nek, amelyre ráragasztott egy címkét a saját nevével, csak azért, hogy Smale majd küldje vissza neki. Smale meglepődve látta, hogy ez a meteorológus - tíz évvel korábban - felfedezett egy olyasfajta káoszt, amilyet ő matematikailag lehetetlennek vélt. Számos másolatot készített a Deterministic Nonperiodic Flow -ról, innen származik tehát a legenda, hogy Yorke fedezte fel Lorenzet, hiszen a cikk Berkeleyben forgó példányain ott lehetett olvasni Yorke nevét. Yorke úgy sejtette, hogy a fizikusok megtanulták nem látni a káoszt. A hétköznapi életben ugyanis lépten-nyomon jelen van ez a lorenzi érzékenység a kezdőfeltételek iránt. Egy ember reggel harminc másodperccel később megy el hazulról, egy virágcserép csak milliméterekkel kerüli el a fejét, és azután elgázolja egy teherautó. Vagy, ami nem ennyire életbe vágó, lekési a tíz percenként közlekedő buszt, s ezzel elszalasztja a vonatát, amely viszont csak óránként jár. A napi menetrendben egy apró zavar is jelentős következményekkel járhat. A baseballban a dobást váró ütőjátékos jól tudja, hogy a csak közelítőleg jó ütés eredménye közel sem lesz olyan, mint a valóban jó ütésé, mert a baseball centimétereken múló játék. A tudomány azonban - nos, a tudomány az más lapra tartozott. Ami az oktatást illeti, a jó fizika és matematika nem volt, s ma sem egyéb, mint diffe- 1 Murray Gell-Mann: The Concept of the Institute; in: Emerging Syntheses in Science, a Santa Fe Institute alakuló ülésének közleményei (The Santa Fe Institute, Santa Fe, 1985), p. 11.

53 renciálegyenleteket felírni a táblára és megmutatni a hallgatóságnak, hogyan kell őket megoldani. A differenciálegyenletek a valóságot mint folytonost ragadják meg, amely simán változik helyről helyre és időről időre, s nem diszkrét rácspontok vagy időpontok között ugrál. Mint minden egyetemi hallgató tudja, a differenciálegyenleteket nehéz megoldani. Két és fél évszázad alatt azonban óriási ismeretanyag halmozódott fel róluk: differenciálegyenletekkel foglalkozó kézikönyvek és katalógusok, s különböző megoldási módszerek, vagy ahogy a tudósok mondják: módszerek a zárt alakú integrálok megtalálására". Nem túlzás azt állítani, hogy a differenciálszámítással kapcsolatos roppant méretű munkán alapul az újkori tudomány győzelmeinek nagy része; s az sem, hogy ez az ember egyik legszellemesebb alkotása az őt környező változékony világ modellezésére. Úgyhogy mire egy tudós elsajátítja a természetről való gondolkodásnak ezt a módját, mire elboldogul az elmélettel és az igen-igen nehéz gyakorlattal, addigra valószínűleg szem elől veszít egy tényt: azt ugyanis, hogy a differenciálegyenletek legtöbbje egyáltalán nem oldható meg. Ha fel tudod írni egy differenciálegyenlet megoldását - mondta Yorke -, akkor az az egyenlet szükségképpen nem kaotikus, mert ahhoz, hogy leírd, szabályos invariánsokat kell találnod, azaz megmaradó mennyiségeket, amilyen például az impulzusnyomaték. Ha elegendőt találsz belőlük, akkor felírhatod a megoldást. De éppen ezáltal szűnik meg a káosz lehetősége." A megoldható rendszerek a tankönyvekben is ott szerepelnek. Ezek mind jó magaviseletűek. Ha a kutatóknak nemlineáris rendszerekkel akadt dolguk, lineáris közelítésekhez vagy más, kétes kibúvóhoz kellett folyamodniuk. A tankönyvek megint csak azokat a nemlineáris rendszereket tárgyalták, amelyek kezelhetők voltak ezekkel a fogásokkal. Nem mutatták be a kezdőértékek iránti érzékenységet. A valóságos káoszt tartalmazó nemlineáris rendszerek csak ritkán kerültek szóba. S ha valaki véletlenül rábukkant valami ilyesmire - és ez időről időre mégiscsak megtörtént - egész neveltetése afelé vitte, hogy holmi rendellenességként hagyja figyelmen kívül. Csak alig néhányuknak rémlett fel, hogy éppen a megoldható, szabályos, lineáris rendszerek a rendellenesek. Vagyis csak néhányan értették meg, hogy a természet lényege szerint mennyire nemlineáris. 1 Enrico Fermi egyszer így kiáltott fel: A Biblia sehol sem mondja, hogy a természet összes törvénye lineárisan kifejezhető lenne!" 2 A matematikus Stanislaw Ulam megjegyezte, hogy a káosz tanulmányozását nemlineáris tudomány"-nak nevezni olyasvalami, mintha a zoológiát a nemelefánt állatok tana"-ként emlegetnénk. 3 Yorke megértette, hogy a természet lényegileg nemlineáris. Az első üzenet az, hogy van rendezetlenség. A fizikusok és matematikusok szabályosságokat igyekeznek felfedez- 1 Olvasmányos írás a linearitásról, a nemlinearitásról és a számítógépek történeti felhasználásáról a kettő közötti különbség megértésében: David Campbell, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer és Erica Jen: Experimental Mathematics: The Role of Computation in Nonlinear Science; Communications of the Association for Computing Machinery 28 (1985), pp A Fermi-idézet S. M. Ulamtól való: Adventures of a Mathematician (Scribners, New York 1976). Ulam leír egy másik fontos gondolatmenetet is a nemlinearitás megértéséhez, a Fermi- Pasta-Ulam-féle tételt. Los Angelesben az új MANIAC számítógépen megoldható problémákat keresve a tudósok kipróbáltak egy dinamikai rendszert, a rezgő húr egy egyszerű modelljét, amelyben ráadásul még szerepelt egy fizikailag helyénvaló, kicsiny nemlineáris tag is". Váratlan periodicitássá összerendeződő mintázatokat találtak. Ahogyan Ulam elbeszéli: Az eredmények minőségileg mások voltak, mint amit Fermi a maga hullámmozgásokkal kapcsolatos hatalmas tudásával várt... Meglepetésünkre a húr a zenés»székfoglaló«játékot kezdte játszani,...". Fermi nem tartotta fontosnak ezeket az eredményeket, nem is igen publikálták őket, de néhány matematikus és fizikus végigcsinálta a számításokat, és azok a Los Alamos-i helyi tudományos folklór részévé váltak. Adventures, pp Idézet az Experimental Mathematics"-ból, p. 374.

54 ni. Az emberek azt mondják, ugyan mi haszna a rendezetlenségnek. De az embereknek tudniuk kell a rendezetlenségről, ha foglalkozni szándékoznak vele. Az autószerelő, ha nem ismeri fel a szelepek elszennyeződését, nem jó szerelő." Véleménye szerint a tudósok is, a nem tudósok is tévedhetnek a komplexitást illetően, ha nincsenek megfelelőképpen ráhangolva. Miért esküsznek rá a befektetők, hogy az arany- meg az ezüstárak ciklikusan változnak? Mert képtelenek a periodicitásnál bonyolultabb szabályos viselkedést elgondolni. A bonyolult áralakulást látva rögtön valami kis véletlenszerű zajba burkolt periodicitás után kutatnak. A fizikában, kémiában vagy biológiában kísérletező tudósok is épp ilyenek. Az emberek már eddig is számtalan esetben láttak kaotikus viselkedést - jegyezte meg Yorke -. Elvégeznek egy fizikai kísérletet és szabálytalan viselkedést tapasztalnak. Erre vagy megpróbálják rendbe hozni, vagy feladják. A szabálytalan viselkedést azzal magyarázzák, hogy zaj van jelen vagy csak azzal, hogy a kísérlet egyszerűen rossz." Yorke úgy találta, hogy a fizikusok meg sem hallották Lorenz és Smale munkájának mondandóját. Így hát írt egy cikket American Mathematical Monthlyba (az Amerikai Matematikai Folyóiratba), amely széles körben ismert és feltehető volt, hogy el is fogadja majd. (Matematikusként úgy vélte, nem képes olyan formában kifejezni gondolatait, hogy azt egy fizikai folyóirat elfogadhatónak találja; csak évekkel később talált rá a fizikusokkal való együttműködés trükkjére.) Yorke tanulmányának több érdeme is volt, de végül rejtélyes és huncut címe bizonyult a leghatásosabbnak: A hármas periódus káoszra utal". 1 Kollégái valami mértékletesebb választásra intették, de Yorke nem tudott szabadulni ettől a szótól, amely utóbb az egész determinisztikus rendezetlenséggel kapcsolatos tevékenység jelképévé vált. Beszélt a dologról biológus barátjával, Robert Mayjel is. May történetesen a hátsó ajtón át érkezett a biológiához. Egy kiváló ügyvéd fia volt, s elméleti fizikusként kezdte szülővárosában, az ausztráliai Sydneyben, majd a doktori fokozat megszerzése után alkalmazott matematikusként folytatta a Harvardon ben egy évre Princetonba ment a Felsőbb Tanulmányok Intézetébe; s ott azon kapta magát, hogy nem azt csinálja, amiért oda került, hanem a Princetoni Egyetem biológusaival folytat eszmecseréket. A biológusoknak még ma sem igen fűlik a foguk az egyszerű számításokat meghaladó matematikához. A matematika iránt érdeklődést és fogékonyságot érzők inkább a matematika vagy a fizika, mintsem az élettudományok felé hajlanak. De Mayre ez nem állt. Először a stabilitás és komplexitás elvont problémái érdekelték: hogyan magyarázható meg az matematikailag, hogy a versengők megférnek egymással. De nemsokára már a legegyszerűbb ökológiai kérdésekre terelődött a figyelme: arra, hogyan viselkednek az időben az egyes populációk. A szükségképpen egyszerű modellekben mintha kevesebb lett volna a kényszerű megalkuvás. Mikor végleg csatlakozott a princetoni oktatói karhoz - utóbb az egyetem kutatási dékánja lett -, a matematikai analízisre és egy kezdetleges kézi számológépre támaszkodva már sok órán áttanulmányozta a logisztikus differenciaegyenlet egyik változatát. Ezt az egyenletet voltaképpen már Sydneyben is felírta egy folyosói táblára, a doktoranduszoknak szánt problémaként. Már ott kezdte a dolog foglalkoztatni: Mi a csoda történik, ha lambda túlmegy az akkumulációs ponton?" 2 Azaz: mi történik, ha a népesség nö- 1 Tien-Yien Li nevű tanítványával írta: Period Three Implies Chaos; American Mathematical Monthly 82 (1975), pp Ez a látszólag megválaszolhatatlan kérdés vezette el az analitikus módszerektől a numerikus kísérletezéshez.

55 vekedési rátája - hajlama a fellendülésre vagy a hanyatlásra - meghalad egy kritikus pontot. Ennek a nemlineáris paraméternek a különböző értékeit próbálgatva May arra jutott, hogy ezzel gyökeresen megváltoztatható a rendszer jellege. A paraméter növelésével az egyenlet egyre inkább eltért a lineáristól, s ez nemcsak az eredmény nagyságát, hanem a minőségét is megváltoztatta. Nemcsak a végső egyensúlyi egyedszámot befolyásolta, hanem azt is, hogy az egyedszám elér-e egyáltalán egy egyensúlyi állapotot. Amikor a paraméter értéke kicsi volt, May egyszerű modellje végül állandósult állapotba került. Ha viszont nagy értéket vett fel ez a paraméter, akkor az állandósult állapot - mondhatni - kettétörött, és a rendszer váltakozva két érték között ingadozott. Amikor a paraméter értéke nagyon naggyá vált, akkor a rendszer - ugyanaz a rendszer - előrejelezhetetlennek látszó módon viselkedett. Miért? Mi történt voltaképpen az eltérő viselkedések közötti határoknál? May képtelen volt kideríteni. (Mellesleg a doktoranduszoknak sem sikerült.) May intenzív numerikus kutatási programmal kísérelte meg feltárni ennek a legegyszerűbb egyenletnek a viselkedését. Úgy fogott a dologhoz, mint Smale: megpróbálta mindenestül megérteni ezt az egyszerű egyenletet - nem lokálisan, hanem globálisan. Az egyenlet sokkal egyszerűbb volt a Smale által korábban tanulmányozottaknál. Hihetetlennek tetszett, hogy még senki nem fedezte fel, milyen lehetőségeket kínál a rend és rendezetlenség létrehozására. Pedig így történt. Sőt May programja csak a kezdet volt. Százával vizsgálta a paraméter különböző értékeit; beiktatott egy visszacsatolási hurkot, és figyelte, hol jut a számok sorozata egy rögzített pontba, ha ugyan eljut. Egyre jobban közeledett az állandósult állapot és az oszcilláció közötti kritikus határ felé. Mintha lett volna egy kis halastava, ahol hatalmában áll meghatározni a halak fellendülését és hanyatlását". Továbbra is az xköv= rx(1-x) logisztikus egyenletet véve, olyan lassan növelte a paramétert, amennyire csak tudta. Amikor 2,7 volt a paraméter értéke, 0,6292 lett a népesség. A paraméter növekedtével valamelyest nőtt a végállapotbeli egyedszám is, úgy, ahogyan a vonal balról jobbra lassan emelkedik az ábrán. Ám amikor a paraméter elérte a 3-at, a vonal hirtelen kettőbe tört. May elképzelt halpopulációja nem egyetlen értéket vett fel, hanem két pont között váltakozott, ahogy teltek az évek. Ha kis értékről indult, akkor növekedni kezdett, majd hullámzani, míg végül fel- s lepattanni. A gombot kicsit továbbcsavarva - azaz megnövelve a paramétert - megint felhasad az oszcilláció: olyan számsor adódik, amely négyévenként ismétlődve négy különböző értéket vesz fel. 1 A népesség tehát szabályosan, négyéves időszakonként emelkedik és süllyed. A ciklus ismét megduplázódott - korábban egy évről kettőre, most kettőről négyre. Az eredményül kapott ciklikus változás ezúttal is stabil volt; akármekkora volt is a kezdeti egyedszám, mindig ugyanahhoz a négyéves ciklushoz tartott. Amint már egy évtizeddel korábban Lorenz is felfedezte, csak egyetlen mód van rá, hogy megértsük az ilyen számokat és magunk előtt lássuk, mit jelentenek: grafikont kell készítenünk. May egy vázlatos ábrán összegezte azt, amit különböző paraméterértékeknél e rendszerről megtudott. A paraméter értékét a vízszintes tengelyre mérte fel, úgy, hogy balról jobbra nőjön, az egyedszámot pedig a függőlegesre. Minden paraméterértékhez fel- 1 Mondjuk 3,5-ös paraméterértékkel és 0,4-es kezdeti értékkel a következő számsort kapjuk: 0,4000, 0,8400, 0,4704, 0,8719, 0,3908, 0,8332, 0,4862, 0,8743, 0,3846, 0,8284, 0,4976, 0,8750, 0,3829, 0,8270, 0,4976, 0,8750, 0,3829, 0,8270, 0,5008, 0,8750, 0,3828, 0,8269, 0,5009, 0,8750, 0,3828, 0,8269, 0,5009, 0,8750, stb.

56 rajzolta az egyensúlyban tapasztalható egyedszámot. Baloldalt, ahol a paraméter értéke még kicsi volt, egy-egy paraméterértékhez csak egyetlen ilyen pont tartozott; így e pontok egy vonalat rajzoltak ki, s az balról jobbra haladva enyhén emelkedett. Amikor a paraméterérték elérte az első kritikus pontot, Maynek már két népességet kellett bejelölnie: a vonal kettéhasadt: ezen a helyen villa alakú elágazás támadt. Ez a hasadás olyan populációnak felelt meg, amely az egyéves ciklusról áttér a kétéves ciklusra. PERIÓDUS-KETTŐZŐDÉSEK ÉS KÁOSZ. A különböző termékenységű populációk viselkedésének bemutatására Robert May és más tudósok egyedi ábrák helyett bifurkációs ábrát" használtak: egyetlen képbe sűrítették az összes információt. Az ábra azt mutatja, hogy egy paraméter változásai - ebben az esetben egy vadon élő állati populáció fellendülése és hanyatlása" - hogyan változtatják meg ennek az egyszerű rendszernek a viselkedését a végállapotban. A vízszintes tengelyen a paraméter értékei sorakoznak, balról jobbra növekedve; a függőleges tengely a végállapotbeli egyedszámot mutatja. A paraméter növelése bizonyos értelemben azt jelenti, hogy a rendszert keményebben hajtjuk", fokozzuk a lineáristól való eltérését. Ahol a paraméter túl kicsi (balra), ott kipusztul a populáció. A paraméter növekedtével (középen) nő az egyedszám egyensúlyi értéke. Azután, ahogyan a paraméter tovább növekszik, az egyensúly kettéhasad, éppúgy, ahogyan a fűtés fokozása instabilitáshoz vezet az áramló folyadékban; az egyedszám elkezd két különböző szint között váltakozni. A kettéhasadások vagy - latin eredetű szóval - bifurkációk egyre gyorsabban követik egymást. A rendszer később kaotikussá válik (jobbra), és az egyedszám végtelen sok különböző értéket vesz fel. (A kaotikus tartományt kinagyítva lásd a oldalakon.) A paraméterérték további növekedésével a pontok száma ismét megkétszereződött, majd

57 később is, újra meg újra. Megdöbbentő volt: ennyire bonyolult viselkedés, és mégis milyen kínosan szabályos. A kígyó a matematikai fűben" - ahogy May kifejezte. A duplázódások bifurkációk voltak, és minden ilyen bifurkáció azt jelentette, hogy az ismétlődési mintázatok eggyel tovább töredeztek. Egy eredetileg stabil populáció kétévente két különböző szint között váltakozott. A kétéves ciklusban váltakozó populáció most a harmadik és negyedik évben megváltozik, s ezzel négyes periódusra kapcsol át. Ezek a bifurkációk egyre gyorsabban követik egymást, 4, 8, 16, 32,..., majd hirtelen megszűnnek. Egy bizonyos ponton: az akkumulációs ponton" túl a periodicitás utat nyit a káosznak, azaz olyan hullámzásoknak, amelyek soha nem állapodnak meg. Az ábrán egész tartományok jelennek meg fekete színben. Egy ilyen állati populációt végigtekintve, amelyet ez a legegyszerűbb fajtájú nemlineáris egyenlet kormányoz, azt gondolhatjuk, hogy a változások évről évre teljesen véletlenszerűek, mintha a környezeti zaj ide-oda rázná az egyedszámot. Ámde mindeme bonyolultság közepette egyszer csak stabil ciklusok bukkannak fel. Hiába nő a paraméter értéke s veszi át egyre inkább a nemlinearitás az uralmat a rendszer felett, hirtelen megnyílik egy szabályos, páratlan - például 3 vagy 7 - periódus jellemezte ablak. A népesség-változás alakulása ilyenkor három- vagy hétéves ciklusban ismétli önmagát. Azután egyre gyorsabb ütemben mindenütt periódus-kettőző bifurkációk indulnak meg, s gyorsan áthaladnak a 3, 6, 12, -es vagy a 7, 14, 28, -as ciklusokon, s végül ismét feloldódnak a megújult káoszban. Elsőre May nem láthatta ezt az átfogó képet. De a már kiszámítható részletek is elég nyugtalanítóak voltak. A valóságos világban a megfigyelő egyszerre mindig csak egyetlen paraméterhez tartozó függőleges szeletet észlelhet. Csak egyfajta viselkedést; lehet, hogy állandósult állapotot, lehet, hogy egy hétéves ciklust, lehet, hogy látszólagos véletlenszerűséget. Nem ismerheti fel, hogy egyazon rendszer valamely paraméter csekélyke változtatásával teljesen különböző típusú egyedszámalakulást mutathat. James Yorke matematikai szigorúsággal vizsgálta ezt a viselkedést A hármas periódus káoszra utal" című cikkében. Bebizonyította, hogy ha valamely egydimenziós rendszerben feltűnik egy szabályos hármas periódusú ciklus, akkor abban a rendszerben bármilyen más hosszúságú szabályos ciklus is felbukkanhat. Ez a felfedezés szinte áramütésként" érte a fizikusokat, például Freeman Dysont, mert olyannyira ellentmondott a szemléletnek. Egészen egyszerű lehet - gondolná az ember - olyan rendszert felépíteni, amely hármas periódusú oszcillációban ismétli önmagát, de soha nem válik kaotikussá. Nos, mint Yorke megmutatta, ez egyszerűen lehetetlen. Bármilyen meglepő volt is e felfedezés, Yorke azt gondolta, tanulmányának általános mondandója többet nyom a latban a matematikai lényegnél. Ez részben igaz is volt. Néhány évvel később egy kelet-berlini nemzetközi konferencián jutott egy kis ideje városnézésre, elment hát sétahajózni a Spreere. Egyszer csak hozzálépett egy orosz matematikus, és izgatottan mondani akart neki valamit. Yorke egy lengyel barátja segítségével végül megértette, hogy az orosz azt állítja: bebizonyította ugyanazt az eredményt. Az orosz vonakodott részletekkel szolgálni, csak annyit mondott, hogy majd elküldi a cikkét. Négy hónappal később csakugyan meg is érkezett. S mint ebből a Ciklusok együttes létezése egy egyenes önmagára való folytonos leképezéseiben" címmel írott cikkből 1 kiderült, valóban az orosz matematikusé, A. N. Szarkovszkijé volt az elsőség. Yorke azonban többet adott egy matematikai eredménynél. Azt üzente vele a fizikusoknak: a káosz mindenütt jelen van, sőt stabil és strukturált. S megalapozott reményt keltett a tekintetben is, hogy a bonyolult rendszereket, amelyeket addig nehezen kezelhető folytonos differenciálegyenletek- 1 Coexistence of Cycles of a Continuous Map of a Line into Itself; Ukrainian Mathematics Journal 16 (1964), p. 61.

58 kel modelleztek, kényelmesebb diszkrét leképezések 1 révén meg lehet érteni. Ezeknek a frusztrált, gesztikuláló matematikusoknak a beszélgetése a városnézésen a szovjet és a nyugati tudomány közötti állandó kommunikációs szakadék jellegzetes tünete volt. Részben nyelvi okokból, részben a szovjet fél korlátozott utazási lehetőségei miatt a nyugati tudósok gyakran megismételtek a szovjet irodalomban már megjelent munkákat. A káosz Egyesült Államok-beli és európai felvirágzása hatalmas méretű párhuzamos munkát indított el a Szovjetunióban; másrészt viszont nem kis zavarodottságot is keltett, mert ez az új tudomány Moszkvában nem is volt olyan új. A szovjet matematikusoknak és fizikusoknak élő hagyományaik voltak a káosz kutatásban, amelyek még A. N. Kolmogorov ötvenes évekbeli munkásságával kezdődtek. 2 S továbbélő hagyomány volt a matematikusok és fizikusok együttműködése is, ami más országokban már régen véget ért. A szovjet tudósokat megragadta Smale munkája; az ő lópatkója jelentős mozgolódást keltett a hatvanas években. Egy ragyogó matematikai fizikus, Jasa Szinaj gyorsan átfogalmazta a problémát a hőtan nyelvére. S amikor a hetvenes években Lorenz tevékenysége végül elérte a nyugati fizikát, egyszersmind ismertté vált a Szovjetunióban is ben pedig, amikor Yorke és May a kollégák figyelméért küzdött, Szinaj és mások gyorsan összegyűjtöttek egy erős fizikus munkacsoportot Gorkijban. A legutóbbi években néhány nyugati káosz-szakértő fontosnak tartotta, hogy tájékozódásul rendszeresen elutazzon a Szovjetunióba; a többség azonban megelégszik tudományának nyugati változatával. Nyugaton Yorke és May volt az első, aki teljes erővel átérezte a periódus-kettőződés megrázkódtatását és továbbította a tudósok közösségének. Az a néhány matematikus, aki észrevette a jelenséget, tisztán technikai problémaként, a számok furcsaságaként, szinte egyfajta játékként tárgyalta. Nem mintha egyszerűnek vagy érdektelennek vélték volna a dolgot; csak úgy tekintettek rá, mint a maguk sajátos univerzumának jelenségére. A biológusok nem vették észre a káoszhoz vezető bifurkációkat, mert nem volt meg hozzá a matematikai felkészültségük és semmi sem motiválta őket a rendezetlen viselkedés felfedezésére. A matematikusok látták ugyan a bifurkációkat, de nem akadtak fenn rajta. May azonban, aki mindkét világban otthon volt, megértette, hogy bámulatba ejtő és rejtélyes területre lépett. 1 Leképezésen a káosz tudományában rendszerint olyan matematikai összefüggést értenek, amely egy változó jelenlegi és következő értéke kö zött áll fenn és segítségével kiszámítható ez a következő érték - a fordító. 2 Szinaj személyes közlése december 8-án.

59 A REND ABLAKAI A KÁOSZBAN. A káosz tartományának még a legegyszerűbb egyenlet esetében is bonyolult szerkezete van a bifurkációs ábrán - sokkal rendezettebb, mint azt Robert May elsőre sejthette. A bifurkációk először 2, 4, 8, 16,...-os periódusokat hoznak létre. Azután elkezdődik a szabályos periódusok nélküli káosz. Később azonban, ahogyan a rendszert erősebben hajtjuk, páratlan periódus jellemezte ablakok jelennek meg. Kialakul egy stabil 3-as periódus (nagyítás, lenti ábra felső része), aztán megint periódus-kettőződés kezdődik: 6,12, 24,... A szerkezet végtelen sok lépcsőben ismétlődik. Ha részleteket nagyítunk ki (például a 3-as periódusú ablak középső darabját, lenti ábra alsó része), kiderül, hogy hasonlítanak az egész ábrára. Hogy a tudósok mélyebben is beleláthassanak ezekbe a legegyszerűbb rendszerekbe, nagyobb teljesítményű számítógépekre volt szükség. Frank Hoppensteadtnek a New York-i Egyetem Courant Matematikai Intézetében dolgozó matematikusnak olyan nagy teljesítményű számítógépe volt, hogy elhatározhatta: filmet készít ezekről a jelenségekről.

60 Hoppensteadt, akiben később erős érdeklődés alakult ki a biológiai problémák iránt, százmilliószor táplálta be a logisztikus nemlineáris egyenletet az egyetem Control Data 6600-asába. Ezer különböző paraméterértékére kapott ábrát a számítógép képernyőjén: ezer különböző beállításra. Megjelentek a bifurkációk, aztán a káosz, majd a káoszon belül a rend instabilitásuk folytán tiszavirág életű füzérei, a periodikus viselkedés felvillanásai. A maga készítette filmet bámulva Hoppensteadt úgy érezte, egy idegen táj felett repül. Az egyik pillanatban egyáltalán nem tűnt kaotikusnak, s a következő pillanatban már teljesen kitöltötte a megjósolhatatlan zűrzavar. Ezt a döbbenetet Hoppensteadt sosem felejtette el. May látta Hoppensteadt filmjét. És elkezdett hasonlókat gyűjteni más területekről, a genetikából, a közgazdaságtanból és a hidrodinamikából. A káosz kisbírójaként" kettős előnnyel indult a matematikusokhoz képest. Egyrészt, az ő szemében az egyszerű egyenletek eleve nem ábrázolhatták tökéletesen a valóságot. Tudta róluk, hogy csak metaforák - s

61 A bifurkációs ábra vázlata, ahogyan May először látta, még mielőtt a hatékonyabb számítási eljárások felfedték volna gazdag szerkezetét. elcsodálkozott, milyen széleskörűen alkalmazható metaforák. Másrészt, a káosz felfedezése nyomban heves vitákat keltett választott területén. A populációbiológia egyébként is már régóta viták melegágya volt. Feszültség támadt például a biológia tanszékeken a molekuláris biológusok és az ökológusok között. A molekuláris biológusok úgy gondolták, hogy ők valódi tudományt művelnek, élő, nehéz problémákkal, míg az ökológusok munkája meglehetősen homályos. Az ökológusok azt hitték, hogy a molekuláris biológia technikai mesterművei csupáncsak jól meghatározott problémák okos kidolgozásai. Az ökológián belül May felfogása szerint az 1970-es évek elejének központi vitája a népességváltozás természete körül forgott. Az ökológusok személyiségüknek megfelelően foglaltak állást ebben a kérdésben. Voltak, akik rendezettséget véltek kiolvasni a természet üzenetéből: a populációk szabályozottak és állandóak - némely kivétellel. Voltak, akik épp az ellenkező belátásra jutottak: a populációk szabálytalanul ingadoznak - szintén egynémely kivétellel. Nem véletlen, hogy ezek a szembenálló táborok eltérő nézeteket vallottak a kemény matematikának a zűrös biológiai kérdésekre való alkalmazását illetően is. A populációk állandóságában hívők azt hajtogatták, hogy az egyedszámot valamilyen determinisztikus mechanizmusnak kell szabályoznia. Akik meg szabálytalanoknak tudták a populációkat, azok azt, hogy az egyedszámot folyvást megjósolhatatlan környezeti tényezők lökdösik, s ezzel elmosódik minden determinisztikus jel, már ha egyáltalában létezett. Vagy a determinisztikus matematikából ered az állandósult viselkedés, vagy a véletlen külső zajból a véletlenszerű - ez volt a választék. E vitában a káosz meglepő fordulatot hozott: lám, egyszerű determinisztikus modellekből is fakadhat véletlenszerűnek látszó viselkedés! A viselkedésben voltaképp rendkívül finom szerkezet rejlik, mégis minden részlete mintha megkülönböztethetetlen lenne a zajtól. A felfedezés elvágta a további vitát. May mind több és több biológiai rendszert vizsgált meg ezekkel az egyszerű kaotikus modellekkel, és mindegyre olyan eredményeket tapasztalt, amelyek megsértették a gyakorló tudósok szokásos szemléletét. A járványtanban például jól ismert volt, hogy a járványok hajlamosak szabályos vagy szabálytalan ciklusokban jelentkezni. A kanyaró, a gyermekbénulás, a rubeola egytől egyig valamilyen ütemben terjed és esik vissza. May felismerte, hogy egy nemlineáris modellel leírhatja ezeket az ingadozásokat, és kíváncsi lett, mi törté-

62 nik, ha egy ilyen rendszer hirtelen lökést kap - valami olyasfajta zavart érzékel, amilyen egy oltási programnak felelne meg. A naív szemlélet azt sugallja, hogy a rendszer simán fog változni a kívánt irányba. May viszont úgy találta, hogy valószínűleg hatalmas oszcillációk kezdődnek. Még a hosszú távú trendek is határozottan gyengültek; az új egyensúly felé vezető utat meglepő csúcsok tarkították. És való igaz, a tényleges programokból származó adatokban, például a rubeola megszüntetésére irányuló nagybritanniai kampány adataiban, az orvosok éppen olyan oszcillációkat fedtek fel, amilyet May modellje jósolt. De a gonorrhoea vagy a rubeola hirtelen, rövid távú emelkedését látva mégis minden egészségügyi hivatalnok arra a belátásra jutna, hogy az oltási program sikertelen volt. A káosz tanulmányozása néhány esztendő múltán erős lendületet adott az elméleti biológiának, s tudományos téren közel hozta egymáshoz a biológusokat és a fizikusokat, holott az még egy-két esztendővel azelőtt is elképzelhetetlen lett volna. Az ökológusok és a járványtani szakértők előásták a korábbi kutatók által nehezen kezelhetőség miatt elvetett adatokat. Determinisztikus káoszt fedeztek fel a New York-i kanyarójárványokra vonatkozó feljegyzésekben, és a Hudson-öböl Társaság prémvadászainak feljegyzései alapján a kanadai hiúz populáció kétszáz éves ingadozásaiban is. 1 A molekuláris biológusok kezdték mozgásban levő rendszernek tekinteni a fehérjéket. A fiziológusok nem statikus struktúrákként szemlélték a szerveket, hanem szabályos és szabálytalan oszcillációk együttesének. May tapasztalta, hogy a szakemberek a rendszerek komplex viselkedését látták és vitatták az egész tudományban. Minden tudományág különlegesnek tartotta a maga káoszát. A gondolat kétségbeesésbe torkollott. Mi minden jöhet még, ha a látszólagos véletlenszerűség egyszerű modellekből származtatható? És mi lesz, ha ugyanezeket az egyszerű modelleket alkalmazzuk a különböző területek bonyolult problémáira? May felismerte, hogy a meglepő struktúráknak, amelyeket éppen csak elkezdett feltárni, nincs belső kapcsolatuk a biológiával. Kíváncsi volt, hány másféle tudós érez majd emiatt az övéhez hasonló meglepetést. S belefogott abba a munkába, amelyről utóbb úgy gondolta, ez az ő messiási" cikke: 1976-ban áttekintő tanulmányt írt a Nature-nek. A világ nem itt tartana, fejtegette ebben May, ha minden fiatal egyetemi hallgatónak adnának egy zsebszámológépet és arra bíztatnák, hogy játsszon a logisztikus differenciaegyenlettel. 2 A cikkben teljes részletességgel közszemlére tett egyszerű számolás szerinte ellensúlyozhatná azt az eltorzult felfogást, amelyet a szokásos tudományos oktatás alakít ki a diákok fejében a világban lehetséges dolgokról. Ez az üzleti ciklusok elméletétől kezdve a hírek terjedéséig mindenről megváltoztathatná az emberek gondolkodását. A káoszt kéne tanítani, írta. Ideje lenne felismerni, hogy a tudósok szokásos oktatása rossz következményekkel jár. Nem érdekes, mit adhat a kimunkált lineáris matematika a maga Fourier-transzformációival, ortogonális függvényeivel és regressziós technikáival. May amellett tette le a garast, hogy ez óhatatlanul félrevezeti a tudósokat a maguk túlnyomórészt nemlineáris világában. Az így kifejlesztett matematikai szemlélet nem készíti fel a hallgatókat arra, hogy szembenézhessenek a legegyszerűbb diszkrét nemlineáris rendszerekben is megmutatkozó különös viselkedéssel." - írta. Nemcsak a kutatásban, hanem a politika és gazdaság mindennapi világában is mindnyájan előbbre tartanánk, ha több ember látná, hogy az egyszerű nemlineáris rendszerek- 1 William M. Schaffer és Mark Kot: Nearly One-dimensional Dynamics in an Epidemic; Journal of Theoretical Biology 112 (1985), pp ; Schaffer: Stretching and Folding in Lynx Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature. The American Naturalist 124 (1984), pp Simple Mathematical Models. p. 467.

63 nek nincsenek szükségképpen egyszerű dinamikai tulajdonságaik."

64 A természet geometriája Aztán még itt, mi összefűz; Apró összefüggés, szétterül, mint felhő Árnya a homokon, rávetülve a domb oldalára.. WALLACE STEVENS Connoisseur of Chaos. The Collected Poems of Wallace Stevens (Alfred A. Knopf, p. 215.)

65 Benoit Mandelbrot tudatában az évek során kirajzolódott egy elképzelés a valóságról. 1 A gondolatnak 1960-ban még csak a nyoma volt meg, gyenge, homályos kép alakjában. De Mandelbrot nyomban ráismert, amikor meglátta a táblán Hendrik Houthakker szobájában. Mandelbrot matematikai ezermester volt, akit szárnyai alá vett az IBM alapkutatási részlege. Belekapott a közgazdaságtanba; a gazdaság nagy és kis jövedelmeinek eloszlását tanulmányozta. Houthakker, a Harvard közgazdaságtan professzora meghívta Mandelbrotot előadást tartani, és amikor a fiatal matematikus megérkezett a tekintélyes Littauer Központba, a Harvard Kerttől északra, ijedten látta, hogy felfedezése már fel van rajzolva idősebb kollégájának táblájára. Mandelbrot megeresztett egy panaszos tréfát: Hogyan materializálódhatott az ábrám az előadásom előtt? - Houthakkernek azonban fogalma sem volt róla, mire céloz. A rajznak semmi köze sem volt a jövedelemeloszláshoz; a gyapotárak alakulását ábrázolta egy nyolcéves időszakban. Houthakker szempontjából is volt valami különös ebben a grafikonban. A közgazdászok általában feltették, hogy a gyapothoz hasonló cikkek ára két különböző ütemre táncol, egy szabályosra, meg egy véletlenszerűre: vagyis az árakat hosszú távon lényegileg a gazdaság valóságos erői - a New England-i textilipar virágzása vagy hanyatlása, új kereskedelmi útvonalak megnyitása - határozná meg, rövid távon pedig többé-kevésbé a véletlen kényekedve szerint ingadoznának, a hosszú távú hatások által megszabott szint körül. Sajnos Houthakker adatai nem feleltek meg ezeknek a várakozásoknak: túlságosan sok volt bennük a nagy ugrás. A legtöbb árváltozás persze kicsiny volt, de a kis változások aránya a nagyokhoz képest nem bizonyult olyan magasnak, mint várta. Az eloszlás nem csökkent elég gyorsan: hosszan elnyúló farka volt. Az ingadozások ábrájának szokásos modellje a haranggörbe volt (s az ma is). Ennek a közepére, az átlag tájékára esik az adatok legtöbbje: oda, ahol a harang leginkább kidomborodik. A széleken, a már nagyon kicsi vagy nagyon nagy értékeknél rohamosan esik a görbe. A statisztikus úgy használja a haranggörbét, mint a belgyógyász a sztetoszkópot: 1 A Benoit Mandelbrot-féle biblia: The Fractal Geometry of Nature (Freeman, New York, 1977). Anthony Barcellosnak egy érdekes interjúja jelent meg a Mathematical People-ben, eds. Donald J. Albers and G. L. Alexanderson (Birkhauser, Boston, 1985). Mandelbrot két kevésbé ismert, de nagyon érdekes írása: On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, August 1983, Warsaw, pp ; és Towards a Second Stage of Indeterminism in Science, preprint, IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York. A fraktálok alkalmazásairól szóló áttekintő cikkek listája egyre hosszabb; csak kettő, mutatóban: Leonard M. Sander: Fractal Growth Processes, Nature 322 (1986), pp ; Richard Voss: Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music, Science and Uncertainty, ed. Sara Nash (IBM United Kingdom, London, 1985). Benoit Mandelbrottal olvashatunk interjút Ahol a rész is egész címmel Staar Gyula: A megélt matematika. Beszélgetések c. könyvében (Gondolat 1990) pp A riport korábban megjelent a Természet Világa 1987/9-es számában pp Bevezető jellegű cikkek a fraktálok megértéséhez magyarul: Tél Tamás: Törtdimenziós rendszerek: a fraktálok. Természet Világa 1984 / 3 pp ; Vicsek Mária - Vicsek Tamás: Fraktálok a fizikában I.-II. Fizikai Szemle 1993/2 pp ,1993/3 pp A fraktálok képei pl. az Élet és Tudomány több számában ( , 28., 38. szám) jelentek meg.

66 első vizsgálati eszközként. Ez az általános, az úgynevezett Gauss-féle eloszlás - vagy egyszerűen normális eloszlás. Mondhatjuk: egy kijelentés a véletlen természetéről. Azt fejezi ki, hogy amikor a dolgok változnak, igyekeznek egy átlagos érték közelében maradni és simán változtatni az ehhez az átlaghoz viszonyított szórásukat. De ha a gazdaság vadonában szeretnénk utat keresni, egyben-másban fogyatékosnak találjuk e szokásos fogalmakat. Ahogyan a Nobel-díjas Vaszilij Leontyev megfogalmazta: Az empirikus kutatásnak egyetlen területén sem használtak erős és kifinomult statisztikai apparátust ilyen gyenge eredménnyel." 1 Akárhogy rajzolta is fel Houthakker a gyapotárak változásait, nem tudta őket hozzáilleszteni a haranggörbéhez. Ehelyett olyan képet alkottak, amelynek körvonalait Mandelbrot egészen más helyeken látta. Ő a problémákat - a matematikusok többségétől eltérően - a mintázatokról és formákról alkotott elképzeléseivel vetette össze. Nem bízott a matematikai analízisben, hanem inkább a fejében levő képekben. S már korábban felötlött benne, hogy a véletlenszerű, sztochasztikus jelenségeket talán másfajta, a megszokottaktól eltérő viselkedésű törvények irányítják. S az óriási IBM kutatóközpontba - a New York állambeli Yorktown Heightsba, az északi Westchester megye hegyei közé - visszatérve, egy lyukkártya-dobozban magával vitte Houthakker gyapotáradatait. Sőt a washingtoni Mezőgazdasági Minisztériumból további adatokat is kért, egészen 1900-ig visszamenőleg. Más területek tudósaival együtt a közgazdászok is átlépték a számítógépkorszak küszöbét, s lassacskán felismerték, hogy korábban elképzelhetetlen mennyiségben gyűjthetik, rendszerezhetik és kezelhetik a számukra fontos információkat. De nem minden fajta információ volt hozzáférhető, sőt a hozzáférhetőket is előbb használható alakra kellett hozniuk. Még éppen csak elkezdődött a lyukkártya-korszak. Az egzakt tudományokban a kutatóknak kisebb fáradságukba telt adatok ezreit vagy éppen millióit felhalmozni. A biológusokhoz hasonlóan a közgazdászok is szándék irányította élőlények világával foglalkoztak: talán nekik jutott feladatként a legnehezebben megfogható teremtmények tanulmányozása. De a közgazdász környezet legalább szakadatlanul ontotta a számszerű adatokat. Mandelbrot szempontjából a gyapot ára ideális adatforrás volt. A feljegyzésekben minden adat 1 Idézve a Fractal Geometryben, p A káoszelmélet gazdasági folyamatokra való mai alkalmazásairól magyarul is olvashatunk a Magyar Tudomány 1993/4-es szá mában és a következő könyvben: Fokasz Nikosz (szerk.): Rend és káosz -Fraktálok és káoszelmélet a társadalomkutatásban. Replika Kör, Budapest 1997.

67 megvolt, s már régtől: több mint egy évszázad óta. A gyapot beletartozott a központosított piacú - és ezáltal központosított adattárú - adás-vételi világba, hiszen a századfordulón New England-be menet az összes déli gyapot keresztüláramlott a New York-i tőzsdén, sőt a liverpooli árak sem voltak függetlenek a New York-iaktól. Ha a közgazdászok nem is jutottak lényegesen előbbre a kereskedelmi árak és a részvényárak elemzésében, alapjában véve voltak elképzeléseik az árváltozások működéséről. S mindnyájan osztoztak bizonyos hittételekben. Az egyik éppen az volt, hogy a kis, átmeneti változásoknak semmi közük a nagy, hosszú távú változásokhoz: a gyors ingadozások véletlenszerűen jönnek egymás után. Az egyazon napon kötött üzletekben kimutatható apróbb ármozgások csupán megjósolhatatlan és érdektelen zajnak tekintendők. A hosszú távú változások egészen más típusúak. Az árak hónapok, évek vagy évtizedek alatti nagy kilengéseit mély makroökonómiai erők határozzák meg - háború vagy gazdasági pangás -, olyan erők, amelyeknek magyarázattal kell szolgálniuk az elméletben. Egyfelől ott van tehát a rövid távú ingadozások dongása, másfelől a hosszú távú változások jeladása. Hogy, hogy nem, ennek a kettősségnek nem volt helye Mandelbrot valóságképében. Ez a kép nem határolta el egymástól az apró és a nagy változásokat, hanem éppenséggel egybefoglalta őket. Mandelbrot nem ebben vagy abban a mérettartományban - vagy ahogy gyakran mondák: skálán - keresett jellegzetes mintázatokat, hanem mindenben. Igazán nem volt nyilvánvaló, hogyan kellene lerajzolnia a fejében élő képet, de tudta, hogy abban lennie kell valamiféle szimmetriának: nem a bal és a jobb vagy az alsó és a felső szimmetriájának, inkább a nagy és kis méretek szimmetriájának. S amikor Mandelbrot az IBM számítógépeivel részletesen megvizsgálta a gyapotárakat, éppen azt a megdöbbentő eredményt találta, amit keresett. A normális eloszlást nem követő számok szimmetrikusak voltak a méretekre nézve. Az egyes árváltozások véletlenszerűek és megjósolhatatlanok voltak, egymásra következésük azonban függetlennek bizonyult a mérettől: a napi árváltozások és a havi árváltozások görbéi tökéletesen összeillettek. Mandelbrot elemzése szerint a változások mértéke szinte hihetetlen módon állandó maradt egy eseményekben nagyon is bővelkedő hatvan éves időszakon át, amelyre egyebek közt két világháború és egy pangás jutott. A legszabálytalanabb adathalmazokból váratlan fajtájú rend világlott ki. Ha egyszer önkényesen vett számokról van szó, miért kellene hát bármi törvényszerűségnek teljesülnie - kérdezte magától Mandelbrot. És miért kellene annak egyaránt érvényesnek lennie a személyi jövedelmekre és a gyapotárakra? Mi tagadás, Mandelbrot csak annyira volt járatos a közgazdaságtanban, mint abban, hogy hogyan érthetne szót a közgazdászokkal. Felfedezését közreadó tanulmánya elé egyik tanítványának kellett bevezető cikket írnia, mintegy közgazda-angolra fordítva" Mandelbrot mondandóját. Mandelbrot ezután más érdekes területekre tért át, de ettől kezdve határozottan törekedett a skálázás jelenségének feltárására. Ez a skálázás külön életet élő tulajdonságnak tetszett - szinte ismertetőjegynek. Évekkel később, amikor egy előadása 1 előtt bemutatták (,,... tanított közgazdaságtant a Harvardon, műszaki tudományokat a Yale-en, fiziológiát az Einstein Orvostudományi Egyetemen..."), büszkén megjegyezte: Eddigi foglalkozásaim sorát végighallgatva időnként eltűnődöm, hogy vajon létezem-e én egyáltalán; hiszen ezeknek a halmazoknak a közös része nyilvánvalóan üres." Csakugyan, Mandelbrot IBM-nél töltött első napjaitól kezdve rengeteg különböző területen nem létezett. Mindig megmaradt kívülállónak: nem a be- 1 Woods Hole Oceanographic Institute, augusztusa.

68 vett módon közelített a matematika egy nem divatos szegletéhez; olyan tudományágakban végzett kutatásokat, amelyekben ritkán látták örömmel; legnagyszerűbb ötleteit rejtegetnie kellett, csak hogy közöljék tanulmányait; a legmeglepőbb azonban, hogy - főleg munkaadóinak bizalmából - mindezt túlélte Yorktown Heightsban. Olyan területekre hatolt be, mint például a közgazdaságtan, majd - reményt keltő, de nem megvalósított ötleteket, néha pedig egy-két jól megalapozott munkát hátrahagyva - szedte a sátorfáját és odébbállt. A káosz történetében Mandelbrot megtette a magáét. S eközben a valóságról még ban kialakított elképzelése furcsaságból érett geometriává terebélyesedett. A fizikusok szemében, akik Lorenz, Smale, Yorke és May munkáját vitték tovább, ez a barátságtalan matematikus mindvégig mellékszereplő maradt, de módszerei és nyelvezete elválaszthatatlan részévé vált új tudományuknak. Akik a későbbi években ismerkedtek meg e tiszteletet parancsolóan magas homlokú, címekben és kitüntetésekben nem szűkölködő férfival, esetleg furcsának találhatják ezt a jellemzést; pedig úgy érthetjük meg őt igazán, ha tudjuk róla, hogy menekült volt. Varsóban született 1924ben, egy litván zsidó családba; apja ruha-nagykereskedő volt, anyja fogorvos. A család a geopolitikai helyzettől megriadva, 1936-ban Párizsba költözött, részben azért, mert ott élt Mandelbrot nagybátyja, a matematikus Szolem Mandelbrojt. A háború kitörése után ismét menekülniük kellett a nácik elől: szinte az utolsó pillanatban, néhány kézitáskán kívül minden egyebet hátrahagyva mentek el Párizsból a dél felé menekülők áradatával. Végül Tulle városába jutottak. Benoit egy ideig szerszámkészítő inasként működött, nem kívánatos, sőt veszedelmes feltűnést keltve termetével és műveltségével. Ez a felejthetetlen tapasztalatok és félelmek ideje volt, de visszatekintve nem is személyes megpróbáltatásait tartotta fontosnak, inkább azt, hogyan segítették Tulle-ben és másutt a tanárok, némelyikük kiemelkedő tudós, akik maguk is megszenvedték a háborús körülményeket. Egy szóval, iskoláztatása szabálytalan és hézagos volt. Bevallása szerint sosem kérték tőle számon az ábécét, sőt az ötnél nagyobb számok szorzótábláját sem. De így is kiütközött belőle a tehetség. Párizs felszabadulása után sikeresen átment az École Normale és az École Polytechnique egy hónapon átfolyó szóbeli és írásbeli felvételi vizsgáin, pedig nem is tudott rájuk felkészülni. A vizsgán egyebek között meg kellett oldania valami gyengécske rajzfeladatot; ezen dolgozva Mandelbrot felismert egy rejtett lehetőséget a milói Vénusz lemásolására. A vizsga matematikai részeiben - a formális algebrai és analízisbeli példák megoldásában - geometriai szemléletére támaszkodott, így nem derült ki, mennyire gyakorlatlan. Rájött, hogy az analitikus problémákat szinte mindig képes úgy elgondolni, mintha valamilyen képzeletbeli alakzatról lenne szó. S az alakzat birtokában már megtalálja a módját, hogyan lehetne azt átalakítással, szimmetriáinak módosításával harmonikusabbá tenni. Átalakításai gyakran közvetlenül elvezették az analóg probléma megoldásához. Fizikából és kémiából, ahol nem tudta a geometriát bevetni, rossz jegyeket kapott. A matematikában viszont az alakzatokra támaszkodva könnyedén megoldott olyan problémákat, amelyeket a szokásos módszerekkel sohasem tudott. A párizsi École Normale is, az École Polytechnique is elitiskola, amelynek nincs megfelelője az amerikai oktatásban. Együttesen is kevesebb mint 300 hallgatót készítenek fel évente a francia egyetemi és polgári pályákra. Mandelbrot a kettő közül a kisebbet és tekintélyesebbet, az École Normale-t kezdte el, de alig néhány nap múltán átment az École Polytechnique-re. Ismét menekült: ezúttal Bourbaki elől. Bourbaki 1 alighanem máshol nem is léphetett volna fel, csak Franciaországban, ahol 1 Még ma is keveset írnak Bourbakiról; egy játékos bevezetés: Paul R. Halmos: Nicholas Bourbaki. Scientific American 196 (1957), pp

69 közmegbecsülésnek örvendenek a tekintélyes akadémiák és a bevett oktatási módszerek. A Bourbaki klubként indult: Szolem Mandelbrojt és néhány más gondtalan fiatal matematikus alapította, még az I. világháború utáni zavaros időkben, a francia matematika újjáépítésének útját keresve. A háború életkori szakadékot nyitott az egyetemi tanárok és hallgatóik között, s ezzel megszűnt az addigi folyamatosság; ezek a ragyogó képességű fiatalemberek tehát elhatározták, hogy új alapokat teremtenek a matematika műveléséhez. A csoport elnevezése még csak afféle kevesek által tudott tréfa volt: utólagos magyarázat szerint egy görög származású, tizenkilencedik századi francia tábornoktól vették kölcsön ezt a furcsa és vonzó nevet. A kezdetben volt játékosságnak azonban nemsokára vége szakadt. A csoport tagjai titokban találkoztak; tulajdonképpen nem is tudjuk a tagok teljes névsorát. Létszámuk rögzített volt; ha valaki kilépett - ami 50 éves korban kötelező is volt - akkor a megmaradtak egy másikat választottak a helyébe. A legjobb, legragyogóbb matematikusok alkották ezt a közösséget, és hamarosan egész Európára kiterjedt a hatásuk. A Bourbaki-csoport létrejötte egyben kritika is volt a századvég nagy alakjának, Poincarénak a munkásságával szemben; e rendkívül termékeny gondolkodó és író ugyanis nem sokat törődött a matematikai szigorúsággal. Akár ezt is mondhatta volna: tudom, hogy helyesnek kell lennie, miért kellene hát bebizonyítanom? Bourbaki úgy vélte, Poincaré bizonytalan alapokat hagyott hátra a matematikában, ezért a csoport elkezdett, majd egyre megszállottabb felfogásban tovább folytatott egy hatalmas értekezést, mintegy a helyes útra akarván vele visszatéríteni ezt a tudományt. Munkájukban központi szerepet játszott a logikai elemzés. A matematikusnak szilárd alapelvekkel kell kezdenie, és minden továbbit ezekből kell levezetnie. A csoport szerint a matematika előbbre való a többi tudománynál és egyben független is tőlük. A matematika az matematika: nem az teszi értékessé, hogy mennyiben alkalmazható a valóságos fizikai jelenségekre. És legfőképpen: a Bourbakicsoport elutasította a képek használatát. A matematikus sohasem bízhat a látószervében. A geometria megbízhatatlan; a matematikának tisztának, formálisnak és szigorúnak kell lennie. De ez máshol is így alakult, nemcsak Franciaországban. Az Egyesült Államokban is eltávolodtak a matematikusok a fizikai tudományok igényeitől, éppoly határozottan, mint a képzőművészek és írók a közízléstől. Eluralkodott a bezárkózó érzékenység. A matematikusok témái elszakadtak mindentől, ami nem matematikai; a formális axiomatika lett az egyedüli módszerük. A matematikus büszke lehetett rá, hogy munkája semmit sem magyaráz meg a világból vagy a tudományból. Ez a felfogás sok eredményt hozott, és a matematikusok nagyra becsülték. Steve Smale még a matematika és a természettudomány újraegyesítésén fáradozva is sziklaszilárdan vallotta - mint minden más meggyőződését is -, hogy a matematikának csak önmagára szabad támaszkodnia. Ez adja meg a világosságát. A világosság pedig elválaszthatatlanul együtt jár az axiomatikus módszer szigorúságával. Minden igazi matematikus rájön, hogy a szigorúság e tudományág meghatározó ereje: olyan acélváz, amely nélkül minden összeomlana. Ennek a szigorúságnak a jóvoltából vehetik fel újra a matematikusok az évszázadokon átívelő matematikai gondolatok fonalát, s lehetnek biztosak abban, hogy jól értelmezik ezeket a gondolatokat. A szigorúság követelménye azonban előre nem látható következményekkel is együtt járt a huszadik század matematikájában. Ez a tudomány sajátos fejlődésen ment keresztül. A kutató megragad egy problémát és mindjárt kezdetben eldönti, mi módon haladjon tovább. Ez nemegyszer azt jelenti, hogy választani kell egy matematikai szempontból ígéretes és egy a természet megértése szempontjából érdekes út között. A matematikus szemében nyilvánvalónak tűnt, melyiket válassza: egy időre elhanyagolt minden látható összefüggést a természettel. Tanítványainak később ugyanilyen választásokkal kellett szembenézniük, s

70 ők is éppígy döntöttek. Ezek az értékek sehol sem voltak merevebben rögzítve, mint Franciaországban, ahol Bourbaki alapítóinak képzeletén is túltett a szigorúság. Elvei, stílusa és jelölésmódja kötelezővé váltak. A legjobb hallgatókra tett befolyása és a szakadatlan matematikai sikerek révén megtámadhatatlan helyzetbe került. Az École Normale-on kizárólagos volt a hatalma, és ez - Mandelbrot számára - teljességgel elviselhetetlennek bizonyult. Bourbaki miatt elmenekült az École Normale-ból, majd egy évtizeddel később Franciaországból is, és az Egyesült Államokban telepedett le. Néhány évtized elteltével azután ez a Bourbaki-féle könyörtelen elvontság lassan teret veszített, mert a matematikába is betört a számítógép, és a nyomában kialakult egy új felfogás: a szem matematikája". Mindez azonban már túl késő volt Mandelbrotnak, aki képtelen volt Bourbaki formalizmusával élni és feladni geometriai szemléletét. Mandelbrot - ezúttal sem szalasztva el az alkalmat önnön mitológiájának öregbítésére - a következőket fűzte a Ki Kicsodában róla közlendőkhöz: A tudomány tönkremenne, ha (a sportokat követve) minden másnál többre tartaná a versenyt, és szűk értelemben vett tudományágakba zárkózva határozná meg a versenyszabályokat. Azok a kevesek, akik önként vállalják a tudományban a nomád létet, nagyon sokkal járulnak hozzá a megállapodott tudományágak szellemi jólétéhez." Ez az önszántából nomád tudós - máshol muszáj-úttörőnek 1 is nevezi magát - hátat fordított az egyetemi életnek, s az IBM Thomas J. Watson Kutatóközpontjának menedékét elfogadva eltávozott Franciaországból. Az ismeretlenségtől a csúcsig vivő harmincéves úton sohasem tapasztalta, hogy munkáját befogadta volna a számos érintett tudományág. Még a matematikusok is azt mondták, láthatólag egyáltalán nem rosszindulatból, hogy bármi legyen is Mandelbrot, közéjük bizonyosan nem tartozik. Lassan találta meg a maga útját, mindig a tudománytörténet elfelejtett mellékútjairól szerzett különös tudástól indíttatva. Bemerészkedett a matematikai nyelvészet területére: megmagyarázott egy szóeloszlásra vonatkozó törvényt. (Elmondta, hogy a körülmények ugyan nem tekinthetők jelképesnek, de mi tagadás, a törvényről egy könyvismertetésből szerzett tudomást, amelyet metróra való olvasmányul mentett ki" egy igazi matematikus szemétládájából.) Tanulmányozta a játékelméletet. Keresztülrágta magát a közgazdaságtanon. Írt a kis- és nagyvárosok eloszlásában megjelenő nagyságrendi szabályszerűségekről. A munkáját jellemző általános keret mindeközben - félig még kialakulatlanul - a háttérben maradt. Az IBM-nél töltött első időkben, nem sokkal a kereskedelmi árak tanulmányozása után, beleütközött egy gyakorlati problémába, amely élénken foglalkoztatta a céget. A mérnököket nagyon zavarta, hogy zajos telefonvonalakon át kell továbbítaniuk az információkat egyik számítógépből a másikba. Az elektromos áram különálló csomagokban hordozza az információt, és jóllehet a mérnökök tudták, hogy minél erősebb áramot használnak, annál jobban elnyomódik a zaj, de tapasztalataik szerint a spontán zajt így sem lehet egy bizonyos szint alá csökkenteni. Ez a zaj időnként kitörli a jel egy részét, ami hibát okoz. Ismeretes volt, hogy az átviteli zaj ugyan véletlenszerű, mégis csoportosan fordul elő: hibamentes időszakokra hibákkal teli időszakok következnek. Mandelbrot a mérnökökkel beszélgetve hamarosan megtudta, hogy a hibákról kialakult egyfajta szóbeli tudás, csak éppen sohasem írták le, mert nem felelt meg semelyik szokásos elgondolásnak: minél közelebbről vizsgálták ugyanis ezeket a hibacsoportokat, annál bonyolultabbnak tetszett a hibák lefutása. Mandelbrotnak sikerült olyan leírást adnia a hibák eloszlásáról, amely ponto- 1 Second Stage... p. 5.

71 san a megfigyelt mintázatokat jósolta. Ez a leírási mód azonban roppant különösnek bizonyult. Például nem tette lehetővé az átlagos hibaarány - az egy órára, percre vagy másodpercre eső átlagos hibaszám - kiszámítását. Ebben a Mandelbrot-féle képben a hibák átlagban a végtelen ritkasághoz közelítettek. A leírás a tiszta és a hibás átviteli időszakok egyre kisebb mérettartományokban való elválasztására támaszkodott. Osszunk fel például egy napot órás szakaszokra; mondjuk egy óra hibák nélkül telik el, azután a következő órában előfordulnak hibák, majd egy óráig megint nem. Most tegyük fel, hogy a hibáktól nem mentes órát húszperces kisebb időszakokra osztjuk fel. Újra csak azt találjuk majd, hogy egyes időszakokra most sem jut hiba, másokra viszont megint igen. Tulajdonképpen - vonta le a következtetést Mandelbrot - a szemlélettel ellentétben sosem akad majd olyan időszak, amelyben a hibák folytonosan lennének elszórva. Bármely hibás" halmazon belül, ha mégoly rövid is, mindig lesznek időszakok, amelyekben teljesen hibátlan az átvitel. Ezenfelül mindig fennálló geometriai kapcsolatot fedezett fel a hibás halmazok és a tiszta átvitel tartományai között. A hibamentes és a hibás időszakok aránya állandó maradt az egy óra vagy az egy másodperc nagyságrendjében is. (Egyszer egy adatsor - Mandelbrot nem kis rémületére - ellentmondani látszott ennek az elméletnek, de azután kiderült, hogy a mérnökök nem rögzítették a legszélsőségesebb eseteket, gondolván: azok úgysem számítanak.) A mérnököknek nem volt meg a fogalmi rendszerük Mandelbrot leírásának megértéséhez, a matematikusoknak viszont igen. Mandelbrot voltaképpen újból létrehozta azt az elvont konstrukciót, amelyet Georg Cantor, tizenkilencedik századi matematikusról Cantorhalmaznak szokás nevezni. A Cantor-halmaz előállításához vegyük a számok nulla és egy közötti szakaszát; ezt itt egy vonaldarabbal ábrázoljuk. Metsszük ki belőle a középső harmadot. Két vonaldarab marad vissza; ezekből szintén távolítsuk el a középső harmadokat (egy kilencedtől két kilencedig és hét kilencedtől nyolc kilencedig). Marad négy vonaldarab; azokból is vegyük ki a középső harmadrészt - s így tovább a végtelenségig. Mi marad? Egy különös, végtelenül sok és mégis végtelenül ritka csoportból álló por". Mandelbrot úgy gondolta el az átviteli hibákat, mint időben elrendeződő Cantor-halmazt. 1 Ez a rendkívül elvont leírás gyakorlati jelentőségre tett szert azoknak a tudósoknak a kezében, akik stratégiákat igyekeztek kidolgozni a hibák visszaszorítására. A Mandelbrot-féle leírás azt sugallta, hogy nem erősíteni kellene a jelet - ha az csökkenti is a zajt -, hanem a hibák elkerülhetetlenségét tudomásul véve, gyengébb, de redundáns (az elméletileg szükségesnél bőbeszédűbb") jeleket használva feltárni és kijavítani a hibákat. Mandelbrot a hibák okait illetően is megváltoztatta az IBM mérnökeinek gondolkodásmódját: addig a hibás halmazok láttán mindig valami okra gyanakodtak, például arra, hogy valaki csavarhúzót dugott valahová. Mandelbrot skálamintái ezzel szemben arra utaltak, hogy a zaj sosem magyarázható meg valamiféle sajátos helyi eseménnyel. Mandelbrot figyelme ezután más - a világ folyóit jellemző - adatok felé fordult. Az egyiptomiak évezredeken át vezettek feljegyzéseket a Nílus vízállásáról, s nem holmi szeszélyből; ez a folyó ugyanis nagyon változó vízállású: egyes években hirtelen megárad, másokban csaknem kifogy belőle a víz. Mandelbrot - akárcsak a gazdaságban - kétfajta hatásra támaszkodva osztályozta a változásokat: az egyiket Noé-hatásnak, a másikat Józsefhatásnak 2 nevezte el. 1 Mandelbrot: Fractal Geometry..., p. 74; J. M. Berger and Benoit Mandelbrot: A New Model for the Clustering of Errors on Telephon Circuits. IBM Journal of Research and Development 7 (1963), pp Fractal Geometry..., p. 248.

72 A CANTOR-POR Kezdjük egy vonallal: távolítsuk el a középső harmadát, azután távolítsuk el a megmaradt vonaldarabok középső harmadát, és így tovább. A Cantorhalmaz a pontoknak az a pora, ami megmarad. Ezek a pontok végtelenül sokan vannak, de a teljes hosszuk 0. Az ilyen struktúrák paradox tulajdonságai zavarták a tizenkilencedik századi matematikusokat, Mandelbrot azonban az elektronikus átviteli vonalak hibaelőfordulásának modelljét látta a Cantorhalmazban. A mérnökök azt tapasztalták, hogy a vonalak működésében hibamentes átviteli időszakok figyelhetők meg, s ezeket hibák terhelte időszakok választják el egymástól. Ha kö zelebbről megvizsgálták ezeket a hibás szakaszokat, megint csak találtak bennük hibamentes időszakokat, s így tovább - ez a fraktál-idő egyik példája volt. Mandelbrot felfedezte, hogy a hibák és a tiszta átvitel viszonya az órás időtartamtól kezdve a másodpercesig minden időtartományban állandó marad. Azt állította, hogy az ilyen porok elengedhetetlenek az intermittencia modellezésében. A Noé-hatás szakadást, ugrásszerűséget jelent: ha egy mennyiség megváltozik, akkor szinte akármilyen hirtelen változhat. A közgazdászok hagyományos elképzelése szerint az árak nem így, hanem simán, folyamatosan változnak; hogy gyorsan-e vagy lassan, az a konkrét esettől függ, de abban az értelemben mindenképp simán, hogy míg egyik szintről eljutnak egy másikra, áthaladnak minden közbülső szinten. A mozgásnak ezt a képét a fizikából kölcsönözték, ahogyan sok mást is a közgazdaságtanban használatos matematikai eszközök közül. Csakhogy ez a kép egyszerűen nem állta meg a helyét. Az árak pillanatszerűen is változhatnak, elég hozzá annyi idő is, amennyi alatt egy rövidke hír átcikázhat egy telexdróton, s máris ezernyi tőzsdeügynök meggondolhatja magát. Egy tőzsdei stratégia eleve kudarcra van ítélve, ha azt teszi fel, hogy egy részvényt egy bizonyos pillanatban 50 dollárért kellene eladni, míg 60 dollárról 10 dollárra esik le az ára. A József-hatás pedig folytonosságot jelent. Ímé hét esztendő jő, és nagy bőség lesz egész Egyiptomban. Azok után pedig következik az éhség hét esztendeje... Ha a bibliabeli legenda periodicitásra utal, akkor ez persze túlzott egyszerűsítés. De az áradások és aszályok valóban tartósak. Ha végül a véletlen műve is az aszály, minél hosszabb ideje sújt valamely területen, annál valószínűbb, hogy továbbra is sújtani fog. A Nílus vízállásának matematikai elemzése ezenkívül azt is megmutatta, hogy a folytonosság évszázados léptékben éppúgy érvényes, mint az évtizedesben. A Noé- és József-hatás más-más irányba törekszik, együttesen mégis ezt adják: a természeti tendenciák valóságosak, de éppoly gyorsan eltűnhetnek, ahogyan feltűnnek. Ugrásszerűség, zajok halmozódása, Cantor-porok - efféle jelenségeknek nem volt he-

73 lyük az elmúlt kétezer év geometriáiban. A klasszikus geometria alakzatai a vonalak és síkok, körök és gömbök, háromszögek és kúpok. Ezek a valóság hatásos absztrakciói, ezek sugallták a platóni harmónia szintén hatékony filozófiáját. Eukleidész olyan geometriát hozott létre belőlük, amely két évezreden át fennmaradt, és az emberek többségének szemében mindmáig az egyetlen geometria. A művészek ideális szépséget találtak ezekben az alakzatokban, s a Ptolemaioszt követő csillagászok belőlük építették fel a világegyetem elméletét. De lám, kiderült róluk, hogy a komplexitás megértéséhez nem megfelelő absztrakciók. A felhők nem gömbök - szereti hangoztatni Mandelbrot. A hegyek nem kúpok. A villám nem egyenes utat követ. Az új geometria olyan világegyetemet tükröz, amely egyenetlen, nincs legömbölyítve, nem sima, hanem érdes. Ez a ragyás és összetöredezett, a megcsavart, összekuszálódott és egybefonódott geometriája. A természet komplexitásának megértéséhez az a sejtés nyitott kaput, mely szerint a komplexitás nem csupán véletlen, nem holmi esetlegesség. Csak az a meggyőződés vezethet el a komplexitás megértéséhez, hogy például a villámcsapás nyomvonalában nem az irány az érdekes, hanem hogy hogyan következnek egymás után az irányváltozások. Mandelbrot munkája megfogalmazott egy állítást a világról, éspedig azt, hogy az ilyen szokatlan alakzatoknak jelentésük van. A ragyák és gubancok nem pusztán az euklideszi geometria klasszikus alakzatainak csúf eltorzításai; többek ennél: nemegyszer kulcsok a lényeghez. Mi a lényege például egy partvonalnak? Mandelbrot ezt a kérdést tette fel egyik cikkében, amely fordulópont volt gondolkodásában: Milyen hosszú Nagy-Britannia tengerpartja?" Mandelbrot a partvonal problémára egy angol tudós, Lewis F. Richardson egy ismeretlen, posztumusz tanulmányában akadt rá. Richardsont furcsa mód több olyan téma is foglalkoztatta, amely később a káosz részévé vált. Az 1920-as években a numerikus időjáráselőrejelzésről írt; később egy zsák fehér paszternákot vetett a Cape Cod csatornába, hogy a folyadékturbulenciát tanulmányozza; egy 1926-os cikkében pedig azt a kérdést tette fel, hogy van-e a szélnek sebessége?" ( Ez az elsőre nevetséges kérdés alaposabban végiggondolva egyáltalán nem értelmetlen" - írja.) Richardson a partvonalakon és a tekergőző országhatárokon tűnődve, végigböngészte a spanyol és portugál, a belga és holland lexikonokat, és húsz százalékos eltéréseket fedezett fel a közös határok hosszának becslésében. Akiknek Mandelbrot feltette ezt a partvonalra vonatkozó kérdést, azok vagy kínosan nyilvánvalónak érezték az egészet, vagy teljesen képtelennek. Tapasztalatai szerint az emberek többsége vagy azt válaszolta, hogy Nem tudom, nem értek hozzá", vagy azt, hogy Nem tudom, de majd megnézem a lexikonban." Holott az ő felfogása szerint bármely partvonal végtelenül hosszú - legalábbis egy bizonyos értelemben. Egy másik értelemben viszont attól függ, milyen hosszú a vonalzó. Vegyünk egy kézenfekvő mérési módszert. A földmérő vesz egy körzőt, szétterpeszti a szárait egy méterre és végigsétál vele a partvonal mentén. Az eredményül kapott méterek száma csak közelítése az igazi hossznak, mert a körző átugorja a méteresnél kisebb kanyarokat, fordulókat; a földmérő mindazonáltal feljegyzi az így kapott számot. Ezután összébb húzza a körző szárait, - mondjuk a méter egyharmadára - és újra elvégzi a mérést. Ezúttal valamivel nagyobb hosszúságot kap, mert a körző többet fog át a részletekből, vagyis több mint három lépés kell majd ahhoz, hogy végigmenjen azon a távolságon, amelyen előzőleg - az egyméteres körzővel - egy lépésben is sikerült. Feljegyzi ezt az új számot is, azután megint egyharmadnyi távolságra állítja be a körző szárait, és kezdi elölről. Ez a képzeletbeli körzővel végzett gondolatkísérlet számszerűsíti, mi történik, ha egy tárgyat különböző távolságokból és különböző mérettartományokban figyelünk meg. Az a megfigyelő, aki Anglia

74 partvonalát egy mesterséges holdról igyekszik meghatározni, kisebb értékre fog jutni, mint az, aki megpróbálja rendre végigjárni minden kis öblét és kiszögellését, de ő is kisebb értéket kap majd mondjuk egy csigánál, amelynek végig kell vergődnie minden kis kavicson. Richard F. Voss FRAKTÁLVONALÚ TENGERPART Számítógép létrehozta partvonal: a részletek véletlenszerűek, de a fraktáldimenzió állandó, így az érdesség vagy szabálytalanság bármely nagyításban ugyanolyannak látszik. A józan ész azt súgja, hogy bár ezek a becslések egyre nagyobbak lesznek, mégis közelíteni fognak valamilyen végső értékhez, a partvonal tényleges hosszához. Más szóval, a mérési értékeknek konvergálniuk kell. És való igaz, ha a partvonal valamilyen euklideszi alakzat - például egy kör - lenne, akkor az egyre finomabb egyenes vonalú távolságok összegzésén alapuló módszer konvergálna is. Mandelbrot azonban úgy találta, hogy ahogyan a mérés léptéke egyre kisebbé válik, a partvonal mért hossza minden határon túlnő: a kis öblökben és félszigetecskékben mind kisebb öblök és félszigetecskék tárulnak fel, legalábbis az atomi méretekig, ahol a folyamat azután véget ér. Ha ugyan véget ér. Minthogy az euklideszi mértékeknek - a hosszúság-, mélység-, és vastagságmértékeknek - nem sikerült megragadniuk a szabálytalan alakzatok lényegét, Mandelbrot egy másik fogalomhoz fordult: a dimenzió fogalmához. A dimenzió olyan tulajdonság, amely sokkal gazdagabb a tudósok szemében, mint a kívülállókéban. Háromdimenziós világban élünk, ami azt jelenti, hogy három számra van szükségünk egy pont megjelöléséhez: ez a három lehet például a földrajzi hosszúság, a földrajzi szélesség és a magasság. A három dimenziót úgy képzeljük el, mint egymással derékszöget bezáró irányokat. Ez még az euklideszi geometria öröksége; ott a térnek három dimenziója van, a síknak kettő, a vonalnak egy, a pontnak

75 pedig nulla. Az elvonatkoztatás, amelynek révén Eukleidész egy- és kétdimenziós objektumokat gondolhatott el, lépten-nyomon felbukkan a mindennapok gyakorlatában. Az autóstérkép minden gyakorlati szempontból lényegében kétdimenziós valami, egy sík egy darabja. Ezt a két dimenziót kihasználva pontosan kétdimenziós típusú információt hordoz. A valóságban persze az autóstérképek is éppúgy háromdimenziósak, mint bármi más, de a vastagságuk oly csekély (és annyira lényegtelen is rendeltetésük szempontjából), hogy elfelejthető. Egy autóstérkép gyakorlatilag még akkor is kétdimenziós marad, ha összehajtogatjuk. Ugyanígy egy fonál gyakorlati szempontból egydimenziós, egy részecskének pedig egyáltalán nincs dimenziója. Akkor mi a dimenziója egy spárgagombolyagnak? Mandelbrot erre azt mondja, hogy attól függ, honnan nézzük. Messziről a gombolyag nem egyéb, mint egy nulla dimenziós pont. Közelebbről a gombolyag egy gömb alakú térrészt látszik kitölteni, amely három dimenziót foglal el. Még közelebbről előtűnik a spárga, és a tárgy gyakorlatilag egydimenzóssá válik, bár az az egy dimenzió mindenesetre önmaga köré gubancolódik, mégpedig a háromdimenziós térben. Továbbra is érdemes azonban megkérdezni, hogy most vajon hány szám szükséges egy pont helyzetének meghatározásához. Messziről egyre sincs szükség - csak egyetlen pont az egész gombolyag. Közelebbről nézve már három kell. Még közelebbről nézve viszont egy is elég: akár fel van gombolyítva a spárga, akár nincs, csak azt kell megmondanunk, hogy mekkora távolságot kell megtenni a spárga végétől a kérdéses pontig. A mikroszkopikus mérettartományban pedig háromdimenziós oszloppá válik a spárga, az oszlop egydimenziós szálakká bomlik, s a szilárd anyag nulladimenziós pontokká oldódik. Mandelbrot - nem követve a matematikusok felfogását - a relativitáselméletre hivatkozott: Hogy egy számszerű eredmény függhet a tárgy és a megfigyelő viszonyától, az tökéletesen összeegyeztethető az e századi fizika szellemével, sőt annak példaszerű megnyilatkozása." De a filozófiát félretéve, egy tárgy gyakorlati dimenziója bizony különbözhet az evilági három dimenziójától. A Mandelbrot-féle gondolat kifejezésének, úgy tetszik, gyenge pontja, hogy olyasféle homályos és bizonytalan fogalmakra épül, mint a messziről" meg a kicsit közelebbről". És hogy áll a dolog közben, e két helyzet között? Kétségtelenül nincsen jól meghúzható határ, amelyen átlépve az addig háromdimenziós spárgagombolyagot egyszerre egydimenziósnak látnánk. Mindazonáltal ez egyáltalán nem gyenge pont ebben a felfogásban; éppen ezeknek az átmeneteknek a megfoghatatlansága vezetett egy új ötlethez a dimenziók problémájában. Mandelbrot túllépett a 0, 1, 2, 3,... dimenziókon, mégpedig egy látszólag lehetetlen irányba: a tört dimenziók felé. Ez a fogalom a szellem csúcsteljesítménye. A nem matematikusoktól ugyan megkívánja, hogy legyűrjék hitetlenségüket, de látni való, milyen roppant hatékony. A törtdimenzió révén olyan tulajdonságok válnak mérhetővé - nevezetesen az érdesség, töredezettség avagy szabálytalanság -, amelyeknek egyébként nincs világos definíciójuk. Egy kanyargós partvonalnak a hossza például nem mérhető, érdességének azonban létezik jellemző mértéke. Mandelbrot számítási módszerrel is szolgált: megmutatta, hogyan számíthatjuk ki a valóságos objektumok tört dimenzióját, ha tudjuk, hogyan konstruálhatók meg ezek az objektumok vagy ismerjük bizonyos adataikat; ő maga pedig e számítási módszerek segítségével fontos megállapításra jutott: eszerint a természetben előforduló s általa tanulmányozott mintázatok szabálytalanságának mértéke ugyanakkora marad a különböző mérettartományokban. Meglepő, milyen sokszor igaz ez a megállapítás általában is. A vi-

76 lág szabálytalansága minduntalan szabályosnak bizonyul. Mandelbrot a fizikában felbukkanó hasonló próbálkozások láttán egy nagyobb szabású munka, egy könyv megjelentetése mellett határozott, s úgy gondolta, megfelelő nevet kellene találnia alakzataira, dimenzióira és geometriájára. Ezen töprengve 1975-ben, egy fagyos délutánon azon kapta magát, hogy iskolás fia latin szótárát lapozgatja. Szeme a fractus melléknévre tévedt, amely a tör" jelentésű frangere igéből származik. A legfontosabb angol rokonszavak - fracture és fraction (törés, töredék) - jó hangzásúnak tűntek. Mandelbrot tehát megalkotta a fraktál szót (az angolban és a franciában a fractal szó főnév és melléknév is egyszerre). A fraktál látásmódot kínál a képzeletnek, amellyel az beletekinthet a végtelenbe. Képzeljünk el egy háromszöget, amelynek mindegyik oldala 1 m hosszú. Képzeljünk most el egy átalakítást is - egy sajátos, jól meghatározott, könnyen ismételhető szabálysorozatot: vegyük minden oldalnak a középső harmadát és emeljünk rá egy ugyanilyen oldalhosszú (azaz az eredetihez képest harmad akkora) egyenlő oldalú háromszöget. A KOCH-FÉLE HÓPEHELY. Mandelbrot szavaival: A partvonal durva, de eleven modellje." A Koch-görbe előállítását kezdjük egy egységnyi oldalakkal rendelkező háromszöggel. Minden oldal közepére állítsunk egy 1/3 oldalú új hároms zöget, és így tovább. A határvonal hosszúsága 3 4/3 4/3 4/3... azaz végtelen. Így egy végtelenül hosszú vonal véges területet határol. Az eredmény egy Dávid-csillag. Ennek a körvonala az eredeti három 1 méteres szakasz helyett tizenkét 1/3 méteres szakaszból áll, és három helyett 6 csúcsa van. Vegyük most ezt a tizenkét oldalt és ismételjük meg az átalakítást: emeljünk ismét háromszögeket az oldalak középső harmadára. Csináljuk ezt tovább, a végtelenségig. A körvonal részletekben egyre gazdagabbá válik - mint a Cantor-halmaz, amely egyre ritkábbá vált -, s egyre jobban hasonlít majd egy eszményi hópehely körvonalához. Ezt a vonalat Koch-görbének nevezik, mert Hege von Koch svéd matematikus írta le elsőként, még 1904-ben.

77 Alaposabban belegondolva beláthatjuk, hogy a Koch-görbének érdekes tulajdonságai vannak. Például az, hogy folytonos hurok, amely sosem metszi önmagát: az oldalak közepére szerkesztett új háromszögek ugyanis kisebbek, semhogy egymásba érhetnének. Minden átalakítás megnöveli valamennyivel a görbe körülfogta területet, de a teljes terület mégsem nő akármeddig; valójában sohasem lesz sokkal több, mint az eredeti háromszög területe. A Koch-görbe soha nem fog például kinyúlni az eredeti háromszög köré írt körön túlra. A görbe másfelől mégis végtelenül hosszú, olyan hosszú, mint egy euklideszi egyenes, amely végigfut a határtalan világegyetemen. Az első átalakítás egy 1 méteres szakasz helyébe négy 1/3 méterest állít, s a további átalakítások is mind négyharmadszorosára növelik a teljes hosszat. Ez a paradox eredmény - véges területen végtelen hossz - sokakat nyugtalanított a rajta gondolkodó századvégi matematikusok közül. A Koch-görbe egyszerűen borzasztó volt: fittyet hányt az alakzatokról felhalmozódott ésszerű elképzeléseknek, és kórosan eltérni látszott mindentől, ami a természetben fellelhető. Ezért azután ezeknek a matematikusoknak a munkája csekély visszhangot keltett akkoriban, de néhány nem kevésbé perverz gondolkodású matematikus kitalált további olyan alakzatokat, amelyek szintén mutatták a Koch-görbe egyik-másik bizarr tulajdonságát. Közéjük tartoztak például a Peano-görbék és a Sierpinski-szőnyegek. A szőnyegkészítéshez vegyünk egy négyzetet, osszuk háromszor három, azaz kilenc egyforma négyzetre, és a középsőt vágjuk ki. Azután ismételjük meg ugyanezt a megmaradt nyolc négyzeten: azokba is vágunk tehát egy-egy négyzet alakú lyukat. De négyzetek helyett vehetünk egyenlő oldalú háromszögeket; az ebből támadt alakzatnak az a nehezen elképzelhető tulajdonsága van, hogy bármely tetszőleges csúcsa elágazási pont, egy villa a struktúrában. Nehéz elképzelni, de gondoljunk csak az Eiffel-toronyra: 1 Ez jó háromdimenziós közelítés a maga tartógerendáival, rácsszerkezetével, amely egyre vékonyabb, finomabb részekből álló csillogó hálózattá ágazik el. Eiffel természetesen nem tudta a szerkezetet a végtelenségig továbbvinni, de észrevette azt a körmönfont műszaki lehetőséget, amellyel a szerkezeti szilárdságot mit sem csorbítva csökkenthette a súlyt. Az értelem nem teheti szemléletessé ezt a végtelen sokszor önmagába ágyazott komplexitást. Ám ha valaki geométer módjára gondolkodik a formákról, az előtt új világot nyithat meg a szerkezetnek ez az ismétlődése az egyre finomabb méretek tartományaiban. Felfedezni ezeket az alakzatokat, minél mélyebben kitapintani a lehetőségek gumifalát: mindez egyfajta játék volt, és Mandelbrot gyermeki örömet talált a sokféle változatban, amelyeket korábban senki sem látott vagy értett. Ha nem volt nevük, elnevezte őket: kötelek és lapok, szivacsok és habok, túrók és tömítések. A fraktáldimenzió éppen a megfelelő méterrúdnak bizonyult. A szabálytalanság foka bizonyos értelemben annak felel meg, mennyire hatékonyan tölti ki a test a teret. Egy egyszerű euklideszi egydimenziós vonal egyáltalán nem tölt ki teret. A Koch-görbe viszont, amely végtelen hosszúságot zsúfol véges területbe, már igen. Már több mint vonal, de még kevesebb mint sík. Már több mint egydimenziós, de még kevesebb mint kétdimenziós forma. A század eleji matematikusoktól származó, szinte csaknem elfeledett technikákat felhasználva, Mandelbrot pontosan megadta a fraktáldimenziót. Ami a Koch-görbét illeti, a négyharmaddal való szorzás végtelen ismétlése 1,2618-et ad a dimenzióra. 1 Fractal Geometry..., p. 131; és On Fractal Geometry... p

78 CSUPA LYUK ÉPÍTMÉNY. A huszadik század elején néhány matematikus rettenetes küllemű objektumokat talált ki: ezek mind végtelen sok rész hozzáadásával vagy elvételével készültek. Az egyik ilyen alakzat a Sierpinski-szőnyeg; ez úgy szerkeszthető, hogy egy négyzet középső kilencedét kivágjuk, azután a maradék nyolc kisebb négyzet közepét megint ugyanígy kivágjuk, és így tovább. A szőnyegnek háromdimenzióban a Menger-szivacs a megfelelője: egy testnek látszó rácsozat, amelynek végtelen nagy a felszíne, de nulla a térfogata. Ezt az utat követve Mandelbrot két szempontból is előnyre tett szert azzal a néhány matematikussal szemben, akik ilyen alakzatokkal foglalkoztak. Az egyik az volt, hogy hozzáfért az IBM név fémjelezte számítástechnikai erőforrásokhoz. Volt ugyanis egy másik feladat, amely a lehető legjobban illett a számítógép sajátos, nagy sebességű butaságához. Mandelbrotnak egy könnyen programozható transzformáció ismételgetése volt a feladata,

79 ahogyan a meteorológusoknak is ugyanazt a néhány számítást kellett elvégezniük millió és millió szomszédos légköri pontra. A számítógépek ezt le is rajzolták - néha váratlan eredményekkel. A huszadik század eleji matematikusok gyorsan elérkeztek a számítási nehézségek állította korlátig, ahogyan a régi biológus elődök sem tudtak mikroszkópok híján továbblépni egy bizonyos ponton. Egy olyan világot vizsgálva, amely egyre finomabb részleteket rejt, a képzelet nem juthat el akármeddig. Mandelbrot szavaival: A rajzolás száz évre eltűnt a matematikából, mert a kéz, a ceruza és a vonalzó lehetőségei már kimerültek. Mindent tudni lehetett róluk, elvesztették minden érdekességüket. Számítógépek pedig még nem léteztek. Amikor belefogtam ebbe a játékba, nem volt benne semmi eleven intuíció. A semmiből kellett előteremteni. A szokásos eszközökön - a kézen, ceruzán és vonalzón - nevelkedett szemlélet ezeket az alakzatokat egészen szörnyűnek és elfajzottnak találta. A régi szemlélet félrevezető volt. Az első képeken nagyon meglepődtem; azután néhányat felismertem korábbi képek alapján, és így tovább. Az intuíció nem jön magától. Edzettem a szemléletemet, hogy nyilvánvalónak fogadjak el olyan alakzatokat, amelyeket eredetileg - mint lehetetleneket - elutasítottam, és úgy találtam, hogy ezt bárki megteheti." Mandelbrot másik előnye az a valóságfelfogás volt, amelyre a gyapotárakkal, az elektronikus átvitel zajával és a folyók áradásaival való találkozása révén tett szert. Ez a felfogás központi jelentőségűvé vált. A természeti folyamatok szabálytalan mintázatainak tanulmányozása és a végtelenül komplex alakzatok felfedezése az önhasonlóság tulajdonságában találkozott össze. A fraktál mindenekelőtt önhasonlóságot jelent. Az önhasonlóság a mérettartományok szimmetriája. Ismétlődést takar, mintázatot a mintázatban. Mandelbrot ár- és folyó-grafikonjai önhasonlóságot mutattak: azonfelül, hogy egyre finomabb skálájú részleteket bontakoztattak ki, ezeket a részleteket állandó mértékek is jellemezték. Ezek a rémes alakzatok hasonlóak voltak önmagukhoz, mert - mint például a Koch-görbe - ugyanúgy festettek minden nagyításban. Az önhasonlóság benne rejlik a görbe létrehozásának módszerében - egyazon transzformáció ismétlődik egyre kisebb mérettartományokban. Az önhasonlóság könnyen felismerhető tulajdonság. Lépten-nyomon találkozunk vele: ott van a két tükör közé álló ember végtelenül sok tükröződésében, vagy azon a rajzon, amelyen egy hal megeszik egy kisebb halat, az megeszik egy még kisebbet, az egy még kisebbet stb. Mandelbrot előszeretettel idézi Jonathan Swiftet: Így hát a természettudósok megfigyelnek egy bolhát, / Amelyen kisebb bolhák élősködnek, / És ezeket kisebb bolhák csípik, / És így tovább a végtelenségig." Az Egyesült Államok északkeleti részén a földrengések tanulmányozására a legjobb hely a Lamont-Doherty Geofizikai Obszervatórium, ez a New York Állam déli erdeiben elrejtett ellenszenves épületcsoport, a Hudson folyótól nyugatra. A Lamont-Dohertyben kezdett gondolkozni a fraktálokról Christopher Scholz, a Columbia Egyetemnek a szilárd Föld formáját és szerkezetét kutató professzora. 1 Ha a matematikusok és elméleti fizikusok figyelmen kívül hagyták is Mandelbrot munkáját, Scholz éppen az a fajta gyakorlatiasan munkálkodó tudós volt, aki mindjárt kész volt alkalmazni a fraktálgeometria eszközét. Véletlenül találkozott Benoit Mandelbrot nevével még az 1960-as években, amikor Mandelbrot közgazdaságtannal foglalkozott, Scholz pe- 1 C. H. Scholz and C. A. Aviles: The Fractal Geometry of Faults and Faulting, preprint, Lamont- Doherty Geophysical Observatory; C. H. Scholz: Scaling Laws for Large Earthquakes. Bulletin of the Seismological Society of America 72 (1982), pp. 1-14

80 dig az MIT doktoranduszaként egy földrengésekkel kapcsolatos nehéz kérdésnek szentelte ideje nagy részét. Már húsz évvel azelőtt is tudták, hogy a nagy és kis földrengések eloszlása sajátos matematikai mintázatot követ, ugyanazt a skálázható (azaz nagyítások és kicsinyítések után is önmagát adó) mintát, amelyet a személyi jövedelmek eloszlása is követni látszott a szabadpiaci gazdaságban. A Földnek bármely vidékén mérték és számlálták is a földrengéseket, mindenütt ezt az eloszlást kapták. Minthogy a földrengések más tekintetben teljességgel szabálytalannak és megjósolhatatlannak tetszettek, érdemesnek tűnt firtatni, miféle fizikai folyamatok magyarázhatják ezt a szabályosságot. Scholz legalábbis így gondolta; a szeizmológusuk többsége azonban beérte a puszta ténnyel és nem törődött tovább vele. Scholz emlékezett Mandelbrot nevére, és 1978-ban megvette a bőségesen illusztrált, egyenletekkel teletűzdelt, bizarr műveltségről tanúskodó Fraktálok: Forma, véletlen és dimenzió című könyvet. Olyan volt ez, mintha Mandelbrot egyetlen összefüggéstelen kötetbe gyűjtött volna mindent, amit a világegyetemről tudott vagy gyanított. Ebből a könyvből és bővített, javított változatából, A természet fraktálgeometriájából néhány év alatt több példány kelt el, mint bármely más felsőbb matematikai könyvből. A stílusa homályos volt, sőt idegesítő, hol szellemes, hol irodalmi, hol nehézkes; Mandelbrot maga kiáltványnak és dokumentumgyűjteménynek" nevezte. 1 Scholz - mint a más ismeretterületekkel, főleg természettudományokkal foglalkozók közül sokan - éveken át próbálta kitalálni, mit is kezdhetne ezzel a könyvvel, s ez a kérdés egyáltalán nem volt nyilvánvaló. A Fraktálok - ahogy Scholz jellemezte - nem egy»hogyan csináljunk...«, hanem egy»ejha!«könyv" volt. Scholzot azonban erősen foglalkoztatták a felületek, felületekből pedig sűrűn akadt ebben a könyvben. Belátta, hogy nem tud szabadulni Mandelbrot sokat ígérő ötleteitől, s elkezdte keresni a módját, hogyan használhatná fel a fraktálokat a maga tudományos világában az összetevő részek leírására, osztályozására és mérésére. Hamarosan tapasztalhatta, hogy nincs egyedül, pedig ez jóval azelőtt történt, hogy a fraktálkonferenciák és -szemináriumok szaporodásnak indultak volna. A fraktálgeometria egységesítő gondolatai összehozták azokat a tudósokat, akik a maguk megfigyeléseit közreadhatatlanul egyéninek gondolták és nem volt semmilyen módszerük ahhoz, hogy megérthessék őket. A fraktálgeometria szemléletmódja segített azoknak, akik a dolgok egybeolvadásának és elágazásának vagy széthasadásának módjait tanulmányozták. Másfajta nézetből mutatta az anyagokat: a fémfelületek mikroszkopikusan csipkézett felületeit, az olaj átitatta lyukacsos kőzet aprócska üregeit és csatornáit vagy egy földrengési övezet hasadozott vidékét. Scholz úgy tartotta, hogy a geofizikusok dolga leírni a földfelszínt, amelynek a sima óceánfelülettel vett metszete kirajzolja a tengerpart vonalát. A szilárd Föld felső részében másfajta felületek is vannak: a repedések felületei. A törések és vetődések annyira uralkodó jellegzetességek a földfelszínen, hogy kulcsszerepet kell játszaniuk minden szóba jöhető leírásban; az egyensúly szempontjából fontosabbak mint az anyag, amelyen keresztülfutnak. A törések három dimenzióban barázdálják a Föld felszínét; ők alakítják ki azt, amit Scholz a különös skizoszféra" szóval illetett. Ezek a törések határozzák meg a folyadékok - a víz, az olaj - és a földgáz áramlását a talajban, s azt is, milyenek a földrengések. A felületek megértése mindennél fontosabb, Scholz mégis úgy vélte, szakmája szorult helyzetben van. Nem volt fogalomrendszere a felületek értelmezéséhez. A geofizikusok úgy tekintettek a felületekre, ahogyan bárki más: azaz mint alakzatokra. Egy felület lehet sík, vagy éppen lehet valamilyen sajátos alakja. Megnézhetjük például 1 Fractal Geometry..., p. 24.

81 egy bogárhátú Volkswagen körvonalait, és lerajzolhatjuk ezt mint görbét, amely leírható az ismerős eukleidészi módszerekkel. Megadhatunk rá egy egyenletet. A Scholz-féle felfogás szerint azonban így csak egy szűk spektrumban látjuk a bennünket éppen érdeklő felületet. Olyan ez, mintha vörös szűrőn át néznénk a világegyetemet: csak azt fogjuk látni, ami a fénynek ebben a sajátos hullámhossz-tartományában zajlik; minden más, ami a többi szín tartományában megy végbe elvész, nem is beszélve arról a tömérdek jelenségről, amelyeknek a színkép vörösön inneni részéhez vagy a rádióhullámokhoz van közük. Hasonlatunkban a spektrum, a színkép a mérettartománynak felel meg. A Volkswagen felületéről az euklideszi geometria felfogásában gondolkodni azt jelenti, hogy csupán a tíz vagy száz méter távolságból láthatóval törődünk. De mi lesz azzal, ami egy vagy száz kilométer távolságból látszik? Vagy a léptékek ellenkező végéről: egy milliméterről vagy egy mikrométerről? Képzeljük el, hogy száz kilométeres magasságból, az űrből követjük nyomon a Föld felszínét. A nyomvonal fel s leugrál a fákon, dombokon, épületeken és - valahol egy parkolóban - a Volkswagen hátán. Ebben a mérettartományban a Volkswagen felülete csupán huppanó a sok más huppanó között, egy csipetnyi rendetlenség. Vagy képzeljük el, hogy egy kézi nagyítóval, majd egy mikroszkóppal egyre közelebbről nézzük a Volkswagent. Először a felület simább nak látszik, ahogy az ütközők és a motorház tetejének kereksége kikerül a látótérből. De azután kiderül, hogy az acél mikroszkopikus felülete is hepehupás, láthatólag véletlenszerűen. Akárcsak a káosz. Scholz úgy találta, hogy a fraktálgeometria hatékony eszköz a földfelszín jellegzetes hepehupásságának leírására, s a fémekkel foglalkozó kutatók ugyanerre jutottak a különböző acélfajták felületét illetően. Egy fémfelület fraktáldimenziója például gyakran felvilágosítást ad a fém szilárdságáról. Éppígy a földfelszín fraktáldimenziója is fontos tulajdonságokat jelez. Scholz egy hagyományos geológiai alakzaton gondolkodott, a hegyoldali lejtők hajlásán. Ez távolról szemlélve egy kétdimenziós euklideszi alakzat, áni ahogy a geológus közelebb megy, ráébred, hogy voltaképp nem is rajta, hanem benne sétál - a hajlás nagy, autónyi méretű sziklákká változik. Tényleges dimenziója körülbelül 2,7-re növekszik, mert a sziklafelület a geológus fölé hajlik, körbeveszi és majdnem kitölti a háromdimenziós teret, akár egy szivacs felszíne. 1 A fraktálokra támaszkodva több olyan probléma is jól megfogható, amely egymással érintkező felületekkel kapcsolatos. Ilyen probléma például a kerekek futófelületének és a betonnak az érintkezése, az illesztési helyek a gépekben, vagy az elektromos érintkezések. A felületek közötti érintkezést jellemző tulajdonságok meglehetősen függetlenek a kérdéses anyagoktól: kiderült ugyanis, hogy főként a hepehupákon levő hepehupák hepehupáinak fraktáljellemzőitől függenek. A felületek fraktálgeometriájának egyik egyszerű, de fontos következménye, hogy a kapcsolódó felületek nincsenek mindenütt érintkezésben. Ezt ugyanis lehetetlenné teszi a valamennyi mérettartományban meglevő hepehupásság. Ha elegendően kis méreteket veszünk, még a hatalmas nyomás alatt lévő kőzetben is nyilvánvalóan maradnak hasadékok, s azok utat engednek a folyadékok vagy gázok áramlásának. Scholz szemében ez a Tojás Tóbiás 2 hatás. Ezért nem lehet soha újra összerakni egy törött teáscsésze két darabját, még ha valamilyen nagyobb mérettartományban összeillőnek látszanának is: a kisebb méretek tartományában már nem fognak egymáshoz illeni a 1 Fraktál hegygerincek kialakulásáról ld. pl. Vicsek Tamás cikkét amagyar Tudomány 1994/1 számának oldalán. 2 Angolul Humpty Dumpty. A róla szóló vers Tótfalusi István átdolgozásában: Tojás Tóbiás a falra ült, / Tojás Tóbiás lependerült. / Hiába száz ló, száz katona, / nem rakják Tóbiást össze soha!", Lúdanyó meséi (Móra, 1966) a fordító

82 szabálytalan hepehupák. Scholz a fraktáltechnikákat használó kevesek egyikeként vált ismertté a maga területén. Tudta, hogy ezt a kis csoportot csodabogarak gyülekezetének tekinti némely kollégája. Ha a fraktál szót használta valamelyik tanulmánya címében, úgy érezte, vagy olyannak tartják, aki tiszteletre méltóan lépést tart az eseményekkel, vagy kevésbé tisztelhető módon hozzácsapódott egy divatirányzathoz. Már maga a tanulmányírás sem volt éppen egyszerű kérdés, hiszen el kellett döntenie, kiknek szóljon: a fraktálrajongók kicsiny táborának, avagy egy szélesebb geofizikusi közönségnek, amely méltán megkívánhatta az alapfogalmak magyarázatát. Scholz azonban így is nélkülözhetetlennek tartotta a fraktálgeometriát. Ennek az egy modellnek a birtokában megbirkózhatunk a Föld változó dimenzióival - mondta. - Matematikai és geometriai eszközöket ad a leíráshoz és az előrejelzéshez. Ha egyszer túljutunk a nehézségeken és megértjük az alapokat, akkor elkezdhetjük a dolgok tényleges mérését és új módon gondolkodhatunk felőlük. Másként látjuk őket; új szemléletünk lesz. Egészen más mint a régi - sokkal átfogóbb." Milyen nagy? Meddig marad fenn? Ezek a legsarkalatosabb kérdések, amiket egy tudós feltehet valamivel kapcsolatban. Annyira alapvetőek az ember világfelfogásában, hogy nem könnyű észrevenni, milyen egyoldalúság jár velük. Hiszen azt sugallják, hogy a léptékhez viszonyított méret és időtartam jelentéssel bíró tulajdonságok és segíthetnek leírni vagy osztályozni egy objektumot. Ha a biológus az embert írja le vagy a fizikus a kvarkot, akkor a milyen nagy és mennyi ideig létezik valóban megfelelő kérdések. Fizikai szerkezetük egészét tekintve az élőlényekhez nagyon lényegesen hozzátartozik egy meghatározott méret. Képzeljünk el egy embert kétszeres életnagyságban, változatlan arányokkal; ez olyan teremtmény lenne, amelynek súlya alatt összeroppannának a csontjai. A méret fontos. A földrengések fizikája nagyjából független a méretektől: a nagy földrengés csupán felnagyított változata a kicsinek. Ez megkülönbözteti a földrengéseket az élőlényektől - egy két centis állatnak például más felépítésűnek kell lennie, mint egy húszcentisnek vagy mondjuk egy kétméteresnek, hiszen az előbbi nyomban összeroppanna a megnövekedett súly alatt. Ami viszont a felhőket illeti, azok éppúgy skálajelenségek, akár a földrengések. Jellegzetes - a fraktáldimenzió segítségével leírható - szabálytalanságuk egyáltalán nem változik, ha különböző mérettartományokban figyeljük meg őket. Ezért nem tudják megbecsülni a légiutasok, milyen messze van tőlük egy felhő. Ha nincs valamilyen egyéb fogódzó - mint mondjuk a párásság -, akkor egy öt méterre levő felhő esetleg megkülönböztethetetlen egy ötszáz méterre levőtől. És lám, a műholdfelvételek elemzéséből kiderült, hogy a felhőket egy változatlan fraktáldimenzió jellemzi, amely többszáz kilométeres távolságból is megfigyelhető. Nehéz meghaladni a szokást, hogy a dolgokról a milyen nagy" és a meddig tart" fogalmaiban gondolkodjunk. Pedig a fraktálgeometria ezt kívánja, hiszen bizonyos természeti jelenségek esetén a jellemző méretet keresni valósággal őrjítő lehet. Hurrikán. Meghatározása szerint bizonyos méretű szélvihar. Csakhogy a definíciót az ember húzza rá a természetre. A légkörkutatók ugyanis felismerték, hogy a légköri zavarok egy folytonos sorozatot alkotnak az utcasarki por kavargásától az űrből látható hatalmas ciklonrendszerekig. A fogalmak megtévesztőek. E folytonos sorozat szélei ugyanolyanok, mint a közepe. A folyadék-, vagy a gázáramlás egyenletei sok tekintetben történetesen dimenziótlanok, azaz méretektől függetlenül alkalmazhatók. A lekicsinyített repülőgépszárnyak és hajócsavarok vizsgálhatók szélcsatornákban és laboratóriumi medencékben. A kis viharok pedig -

83 bizonyos határok között - úgy viselkednek, mint a nagyok. Az erek a főütőértől a hajszálerekig szintén folytonos sorozatot képeznek. Elágaznak és szétosztódnak, azután megint elágaznak, amíg csak olyan szűkké nem válnak, hogy a vérsejtek kénytelenek libasorban haladni bennük. Az elágazások fraktáltermészetűek. Szerkezetük emlékeztet az egyik alakzatszörnyetegre, amelyet a századforduló környékén eszeltek ki azok a Mandelbrot-féle matematikusok. Fiziológiai szükségszerűség folytán az ereknek némi dimenziós bűvészmutatványt kell elvégezniük. A Koch-görbe módjára, amely végtelen hosszú vonalat zsúfol össze egy kis területre, a keringési rendszernek is óriási felületet kell egy korlátozott térfogatba sűrítenie. A test tartalékait tekintve, a vér igen drága és a tér roppant kelendő. A fraktálszerkezet olyan hatékony, hogy a testszövetek többségében nincsen olyan sejt, amely három-négy sejtnyinél távolabbra esne valamilyen értől. Mindazonáltal az erek és a vér kevés helyet foglalnak el, a testtérfogatnak alig öt százalékát. Ahogy Mandelbrot kifejezte, ez a velencei kalmár tünet: 1 vérontás nélkül nemhogy egy font húst, de egy milligrammot sem lehet elvenni. És ez az igen finom szerkezet - voltaképpen a vénák és artériák két összefonódó, fára emlékeztető alakzata - egyáltalán nem kivételes. A test tele van ilyen bonyolult formákkal. Az emésztőrendszerben a szövetek féregszerűen gyűrűző mozgására további gyűrűző mozgások tevődnek. A tüdőnek is a lehető legnagyobb területet kell összetömörítenie a lehető legkisebb térbe. Egy élőlény oxigénfelvevő képességi nagyjából tüdejének felületével arányos. Egy átlagos emberi tüdő tenisz pályánál nagyobb felületet rejt magában. Még tovább bonyolítja a dolgot, hogy a légcsövek labirintusának hatékonyan kell érintkeznie a; artériákkal és vénákkal. Minden orvostanhallgató tudja: a tüdő arra való, hogy hatalmas felszínű felület legyen kis térfogatban. Az anatómusok mégis egyszerre csak egy mérettartományban tanulták meg vizsgálni - például a milliónyi léghólyag, az elágazó csövek sorának végén álló mikroszkopikus tömlők szintjén. Az anatómia nyelvezete homályban hagyja a mérettartományokon átívelő egységességet. A fraktálmegközelítés viszont - szerkezeti alapegység, az elágazás segítségével - az egész szerkezete felöleli: ezek az elágazások egyformán viselkednek a nagy és a kis mérettartományokban. Az anatómusok a vérrendszert vizsgálva méreten alapuló osztályokba sorolják az ereket: ütőerekre és kis ütőerekre, visszerekre és visszerecskékre. Bizonyos célokra ezek a kategóriák is megteszik, más helyzetekben azonban félrevezetők. Néha úgy tűnik, a tan könyvi megközelítés körültáncolja az igazságot: Az egyik típusú artériáról a másikra való fokozatos átmenetben időnként nehéz besorolni köztes tartományt. Egyes közepes átmérőjű artériák fala olyan, mint nagyobbaké, egyes nagy artériák fala viszont a közepes méretűekére hasonlít. Az átmeneti tartományokat... gyakran kevert típusú artériáknak nevezik." 2 1 Shakespeare: A velencei kalmár IV. felv. 1. szín. A kifejezés - egy fontot követelni valaki húsából - az utolsó fillérig visszakövetelt adósság szinonímájává vált az angol nyelvben a fordító 2 William Bloom and Don W. Fawcett: A Textbook of Histology (W. B. Saunders Philadelphia, 1975).

84

85 A MANDELBROT-HALMAZ. Ha egyre tovább haladunk a kisebb és kisebb méretek felé, feltárul előttünk a halmaz foko zódó bonyolultsága: a tengericsikó-farkak és molekula-szigetek, amelyek hasonlóak a teljes halmazhoz. Az utolsó felvételen a nagyítás körülbelül milliószoros mindkét irányban.

86

87

88

89 A NEWTON-MÓDSZER BONYOLULT HATÁRVONALAI. A négy sötét lyukban levő négy pont vonzó hatása vonzási medencéket" alakít ki; a medencék mind más színűek, s bonyolult fraktális határvonalak választják el őket. A kép azt ábrázolja, hogyan vezet el az egyenletek megoldásának ún. Newton-féle módszere különböző pontokból elindulva a négy lehetséges megoldás valamelyikéhez (ebben az esetbe az egyenlet: x 4-1 = 0).

90 FRAKTÁLFÜRTÖK. A szá mítógép által létrehozott véletlenszerű részecskecsoportosulásban perkolációs hálózat" alakul ki: ezt a vizuális modellt is a fraktálgeometria sugalmazta. A z alkalmazásokon dolgozó fizikusok felfedezték, hogy az ilyen modelleknek sokféle valóságos folyamathoz lehet közük, például a polimerek kialakulásához, vagy ahhoz, hogy hogyan szivárog szét a kőolaj a kő zethasadékokban. Ebben a perkolációs (szivárgási) hálózatban minden szín egy-egy teljesen összefüggő csoportot jelenít meg.

91 A JUPITER NA GY VÖRÖS FOLTJA (képek a következő oldalon). A távcsöves és műholdas felvételek a Jupiter felszínét tengerszerű, turbulens folyadéknak mutatják, amelyen egy kelet-nyugati áramlás vízszintes sávjai húzódnak keresztül. A nagy vörös foltot a bolygó egyenlítője feletti nézőpontból és a déli sark feletti nézetből is láthatjuk. Philip Marcus számítógépes szimulációval készült grafikája a déli sark felőli látványt jeleníti meg. A szín azt mutatja, merre forognak a folyadék részecskéi: az óramutató járásával ellentétes forgásirányt piros szín jelöli, az óramutató járásával egyezőt pedig kék szín. A kék részek a kiindulási helyzettől függetlenül felbomlanak, a pirosak azonban egyetlen foltba egyesülnek: ez a folt állandó és összefüggő marad a környező zűrzavar kö zepette.

92 Nem azonnal, de egy évtizeddel Mandelbrot fiziológiai elmélkedéseinek közlése után, egyes elméleti biológusok a testben mindenütt fraktál szerveződésű irányító rendszereket kezdtek felismerni. 1 A légcsőelágazások szokásos exponenciális" leírása hamisnak bizonyult; kiderült, hogy a fraktálleírás felel meg az adatoknak. A vizeletet gyűjtő rendszer fraktálnak bizonyult. Az epevezeték a májban úgyszintén. A szívbeli jellegzetes rostok hálózata is, amely az elektromos áram impulzusait vezeti az összehúzódó izmokhoz. Ez utóbbi struktúra, amit a szívspecialisták His-Purkinje-hálózatnak neveznek, különösen fontos kutatási irányt inspirált. Az egészséges és a beteg szív vizsgálatából nem csekély munka árán kiderült, hogyan hangolódik össze az időben a bal és jobb kamra izomsejtjeinek működése. A káosz fogalmaiban gondolkodó kardiológusok 2 megállapították, hogy a szívverések üteme - akárcsak a földrengések és a gazdasági jelenségek - fraktáltörvényeket követ. Vélekedésük szerint a szívverés ütemének megértéséhez a His-Purkinje hálózat fraktális szerveződése - az egyre kisebb méretekben is önmaga mintájára szervezett elágazó ösvények labirintusa - adja meg a kulcsot. Hogyan fejleszthetett ki ennyire bonyolult szerkezetet a természet? Mandelbrot szerint a bonyodalmak csak a hagyományos euklideszi geometriából nézve léteznek. Az elágazó struktúrák fraktálként roppant egyszerűen, néhány bitnyi információval is leírhatók. A Koch, Peano és Sierpinski által kitalált formákat felépítő egyszerű transzformációknak talán megvan a maguk hasonmása a szervezet génjeinek kódolt utasításaiban. A DNS biztosan nem határozhatja meg azt a mérhetetlen sok hörgőt, hörgőcskét és léghólyagot vagy az általuk alkotott fa-szerkezet sajátos térbeli elhelyezkedését, de meghatározhatja a bifurkáció és a fejlődés ismétlődő folyamatát. Az ilyen folyamatok alkalmasak a természet céljaira. Az E. I. DuPont de Nemours és Társai, valamint az Egyesült Államok Hadserege annak a felismerésnek a jóvoltából kezdett a mesterséges lúdtoll-pehely gyártásába, mely szerint a természetes toll roppant levegőmegkötő képessége a tollat alkotó legfontosabb fehérje, a keratin fraktálszerkezetű csomópontjaiból és elágazásaiból következik. 3 Mandelbrot a tüdő- és érrendszeri fákról csakugyan áttért a valódi botanikai fákra, amelyeknek fraktálágak és fraktállevelek segítségével kell felfogniuk a napsugarakat, kell ellenállniuk a szélnek. Az elméleti biológusok pedig azon kezdtek gondolkozni, hogy a fraktálra jellemző léptékfüggetlenség nem pusztán csak gyakori, hanem egyetemes a morfogenezisben. Véleményük szerint a biológia számára a legnagyobb kihívássá vált annak kiderítése, hogyan keletkeznek és hogyan vannak kódolva az ilyen mintázatok. Elkezdtem ilyen jelenségeket keresni a tudomány szemétládáiban, mert gyanítottam, hogy amit megfigyeltem, az nem kivétel volt, hanem alighanem nagyon is általános. Előadásokat hallgattam és kevéssé divatos folyóiratokba néztem bele, legtöbbször szinte minden eredmény nélkül, bár egyszer-egyszer azért érdekes dolgot is találtam. Ez nem éppen elmé- 1 Ezeknek a gondolatoknak az áttekintéstét lásd: Ary L. Goldberger: Nonlinear Dynamics, Fractals, Cardiac Physiology, and Sudden Death, in: Temporal Disorder in Human Oscillatory Systems, eds. L. Rensing, Van der Heiden, M. Mackey (Sprin ger-verlag, New York, 1987). A káosz biológiai szerepéről magyarul is olvashatunk a a Magyar Tudomány 1993/4-es számában a következő két cikkben: Lábos Elemér: Káoszelmélet és neurobiológia (Kitekintéssel az orvostudomány és a biológia egyéb területeire), Juhász-Nagy Pál: Némi káosz-elmélkedés" a szünbiológia témakörében. 2 Mechanism of Cardiac Electrical Stability: The Fractal Hypothesis. Biophysics Journal 48 (1985), p Barnaby J. Feder: The Army May Have Matched the Goose. The New York Times,1986. november 30. 4:16

93 leti megközelítés volt, sokkal inkább afféle természetbúvárra valló. De megérte." Mandelbrot a természetről és a matematika történetéről egész életében felgyűlt gondolatait könyvbe foglalva, meglepően nagy tudósi sikert aratott. Elmaradhatatlan diatáraival és vékony fehér hajával tudományos előadókörutak bevált szereplőjévé lépett elő. Kezdett díjakat és más szakmai kitüntetéseket nyerni, neve ismertebbé vált a laikus közvélemény előtt, mint bármely más matematikusé. Ez részben vonzó fraktálképeiből fakadt, részben abból, hogy sokezer számítógépkedvelő a saját erejéből kezdhette el maga is felfedezni Mandelbrot világát. De azért is, mert előtérbe helyezte magát. Neve ott szerepelt egy rövid listán, amelyet I. Bernard Cohen harvardi tudománytörténész állított össze. 1 Cohen hosszú időre visszamenőleg végignézte a felfedezésekről szóló feljegyzéseket: olyan tudósok után kutatott, akik forradalomnak" mondták a maguk munkáját. Mindent összevéve, alig tizenhatot talált: Robert Symmert, Benjamin Franklin skót kortársát, akinek az elektromosságról alkotott elképzelései valóban radikálisak voltak, csak éppen rosszak. Jean-Paul Marat-t, akit már csak a francia forradalomban játszott véres szerepéről ismernek. Von Liebiget. Hamiltont. Charles Darwint persze. Virchowot. Cantort. Einsteint. Minkowskit. Von Lauét. Alfred Wegenert - a földrészvándorlás felismerőjét. Comptont. Justot. James Watsont - a DNS szerkezetének felfedezőjét. És Benoit Mandelbrotot. A tiszta matematika művelőinek szemében azonban Mandelbrot kívülálló maradt, aki elkeseredett harcot folytat a tudománypolitikával. Néhány kollégája, úgy gondolván, hogy Mandelbrot rögeszmés saját történelmi szerepét illetően, még sikerének tetőpontján is ócsárolta. Azt mondták, hogy kizsarolta az elismerést. Kétségtelen, hogy ezekben az években hivatásos eretnekként küzdött tudományos eredményeinek taktikai és lényegi méltánylásáért. Ha itt vagy ott fraktálgeometriai gondolatokra támaszkodó cikk jelent meg, telefonált vagy írt a szerzőnek, felróva neki, hogy nem hivatkozott rá, illetve a könyvére. A csodálók, látva, mekkora nehézségeket kellett legyőznie munkájának elismertetése érdekében, bocsánatosnak ítélték ezeket a személyiségvonásokat. Hogyne, egy kicsit megalomániás, személyisége elég meglepő, de amit csinál, az gyönyörű, úgyhogy a legtöbb ember elnézi neki" - mondta az egyik. Egy másik vélemény: Annyira meggyűlt a baja matematikus kollégáival, hogy egyszerűen a fennmaradás érdekében rá kellett fanyalodnia erre az önreklámozásra. Ha nem ezt tette volna, ha nem lett volna ennyire meggyőződve felfogásának helyességéről, akkor sosem ért volna el sikereket." Az érdemek elismerése és elismertetése rögeszmévé válhat a tudományban. Mandelbrot bőven kivette a részét mindkettőből. Könyve tele van egyes szám első személyben fogalmazott mondatokkal: állítom..., kitaláltam és kidolgoztam..., megcsináltam..., bebizonyítottam..., megmutatom..., megalkottam... Az újonnan megnyitott vagy újonnan megalapozott területeken tett utazásaim során sokszor éltem a mérföldkövek megjelölésének jogával. A tudósok közül sokan nem fogadták el ezt a fajta stílust. Az sem lágyította meg szívüket, hogy Mandelbrot ugyanilyen bőséggel idézte - némelykor teljesen ismeretlen - elődeit is. (Ha azok, jegyezték meg ellenlábasai, már bizonyosan nincsenek az élők sorában.) Úgy gondolták, ez csupán Mandelbrot mesterkedése, hogy a középpontba állítsa magát, s mint pápa áldást osszon mindenfelé. Ezért aztán ellenálltak. Nehezen tudták elkerülni a fraktál szót, de ha nem akarták Mandelbrot nevét említeni, akkor a fraktáldimenziót a Hausdorff- Besicovitch-dimenzió névvel is illethették. 2 Zokon vették - kivált a matematikusok - azt a 1 I. Bernard Cohen: Revolution in Science (Belknap, Cambridge, Mass., 1985), p Ahogyan később Mandelbrot is elkerülte Mitchell Feigenbaum nevének említését a Feigenbaumszámokról és a Feigenbaum-univerzalitásról szólva: Feigenbaum helyett ugyanis megrögzötten P. J. Myrbergre hivatkozott, egy matematikusra, aki a kvadratikus leképezések iterá- >>>folytatás94

94 módot is, ahogyan ki-bejárkált a különböző tudományterületekre, állításokat és feltevéseket fogalmazott meg, majd távozott, s másokra testálta a bizonyítás igazi munkáját. Ez jogos észrevétel. Ha egy tudós közreadja, hogy valami igaz lehet, ám a bizonyítás végül másvalaki érdeme, akkor melyikük tett többet a tudomány haladásáért? Egy feltevést megfogalmazni vajon már felfedezés? Vagy nem több vakmerőségnél? A matematikusok mindig is szembekerültek ezzel a kérdéssel, de méginkább azután, hogy színre léptek a számítógépek a maguk egészen új szerepkörében. A számítógéppel kísérletezők inkább a laboratóriumi tudósokhoz kezdtek hasonlítani, s olyan szabályok szerint dolgoztak, amelyek a matematikai munkákban szokásos, kötelező tételek és bizonyítások kikerülésével vezettek felfedezésekre. Mandelbrot könyve sok témát ölelt fel és hemzsegett a matematikatörténeti apróságoktól. Mandelbrotnak volt némi alapja azt állítani, hogy mindenütt, ahová a káosz egyáltalán elvezetett, ő járt először. Mindegy is volt, hogy a hivatkozásokat az olvasók többsége nem ismerte és nem is ment velük semmire. El kellett ismerniük, hogy Mandelbrot rendkívüli intuíciót árul el az alkalmazások iránt olyan területeken - a földrengéskutatástól kezdve a fiziológiáig -, amelyeket ténylegesen sosem tanulmányozott. Ez hol titokzatos volt, hol bosszantó. Még egy csodálója is kifakadt emiatt: Mandelbrot nem találhatta ki mindenki gondolatát még azelőtt, hogy azoknak eszükbe jutott volna." De ez alig nyom valamit a latban. A zseni ábrázatán nincs szükségképpen ott folyvást Einstein emelkedettsége. Mandelbrot úgy tartja, hogy évtizedeken át csak játékokat kellett űznie munkájával. Szinte el kellett palástolnia eredeti gondolatait, nehogy megbotránkozást keltsenek. Ha nyomtatásban akarta viszontlátni a cikkeit, vissza kellett vonnia látomásos előszavait. Amikor könyvének 1975-ben megjelent francia nyelvű első változatát írta, úgy érezte, azt kell mímelnie, hogy a könyvben nincs semmi meglepő. Ezért is írta az utolsó változatot egyenesen kiáltványnak és dokumentumgyűjteménynek". A tudománypolitikával kellett küszködnie. A politika nyomására engedtem a stílusból, de utóbb ezt meg is keserültem. Így írtam:»természetes, hogy... Érdekes megfigyelés, hogy...«, holott egyáltalán nem volt természetes, és az érdekes megfigyelés is valójában nagyon hosszú vizsgálódás, bizonyítékkeresés és önkritika eredményeként adódott. Filozófiai állásfoglalás rejlett mögötte, de azt eltüntettem, mert úgy éreztem, másképp nem fogják elfogadni. Ebben az volt a politika, hogy ha azt írtam volna: most valami gyökeresen új módszerről fogok beszélni, az olvasó nyomban elveszíti érdeklődését. A későbbiekben aztán megértem, hogy mások is így vélekedjenek az eredményeimről:»magától adódó észrevétel, hogy...«nem erre számítottam." Utólag visszatekintve Mandelbrot látta, mennyire sajnálatosan kiszámítható volt, milyen állomásokon halad át majd a különböző tudományágak tudósainak véleménye az ő szemléletmódjáról. Az első állomás mindig ugyanaz volt: Kicsoda maga és miért érdekli a mi területünk? A második: Hogyan viszonyul ez ahhoz, amit mi csináltunk, és miért nem arra alapítja a magyarázatait, amit mi ismerünk? A harmadik: Bizonyos benne, hogy ez hiteles matematika? (Hogyne, biztos vagyok benne.) Akkor miért nem ismerjük? (Mert hiába hiteles, csak kevéssé ismert.) Ebből a szempontból a matematika különbözik a fizikától és a többi alkalmazott tudománytól. A fizika valamelyik ága, ha egyszer elavulttá vagy terméketlenné válik, akkor valószínűleg örökre elsüllyed. Legfeljebb afféle történeti különlegességként marad fenn, talán adhat némi ötletet egy mai fizikusnak, de rendszerint nem véletlen, hogy kihal. A matematikában viszont temérdek a csatorna és a mellékút, amelyek egy adott korban látszólag >>>folytatás93 cióit tanulmányozta az 1960-as évek elején, meglehetős ismeretlenségben.

95 sehová sem vezetnek, egy másikban meg a kutatás fő területeivé válnak. Egy elvont gondolat valamikor lehetséges alkalmazását sosem lehet előrelátni. Ezért van az, hogy a matematikusok esztétikai szempontból értékelik munkáikat: éppúgy az eleganciára és szépségre törekszenek, mint a művészek. Ebből fakad az is, hogy Mandelbrot a maga régiségbúvár hajlandóságát követve annyi jó matematikára bukkanhatott, amelyek mind csak leporolásra vártak. Ezért azután ez volt a negyedik állomás a tudósok reagálásában: Hogyan vélekednek a matematika ezen ágait művelő kutatók a munkájáról? (Nem törődnek vele, mert semmit sem ad a matematikához. Igazából meg vannak lepődve, hogy gondolataik a természetet ábrázolják.) A fraktál szó végül is a szabálytalan, csipkézett és töredezett alakzatok leírásának, számításának és a róluk való gondolkodásnak a megjelölésévé vált - s ezek az alakzatok a hópelyhek kristályrajzolataitól a galaxisok nem folytonos poráig" terjedtek. A fraktálgörbe valamilyen szervező elv kifejeződése, amely elrejtőzik ezeknek az alakzatoknak a rettenetes bonyolultsága mögött. Az egyetemi hallgatók megértik a fraktálokat és játszani is tudnak velük; ezek ugyanolyan elemi alakzatok, mint Eukleidészéi. A személyi számítógépek rajongói egyszerű számítógépprogramokat készítettek fraktálképek rajzolására. Mandelbrot az alkalmazott tudományok művelői között, főleg az olajjal, ásványokkal vagy fémekkel dolgozó tudósok, és különösen a vállalati kutatóközpontok kutatói körében talált a leglelkesebb fogadtatásra. Az 1980-as évek közepére például az Exxon óriási kutatási lehetőségeinek jóvoltából rengeteg tudós dolgozott fraktál problémákon. A General Electricnél a fraktálok szervező elvvé léptek elő a polimerek és a nukleáris reaktorok biztonságának kutatásában - bár ez utóbbit nem verték nagydobra. Hollywoodban találtak a fraktálok legfurcsább alkalmazásukra, a látszólag valóságos földi és földön kívüli tájképek előállításában és számos filmtrükkben. Az 1970-es évek elején a Robert May, James Yorke és társaik által felfedezett mintázatok - jóllehet roppant bonyolult határt alkottak a rendezett és kaotikus viselkedés között - váratlan szabályosságról tettek tanúbizonyságot, s ezt a szabályosságot csak a nagy mérettartományoknak a kicsikhez való viszonyával lehetett leírni. A szerkezet, amely kulcsot adott a nemlineáris dinamikához, fraktálnak bizonyult. A legközvetlenebb gyakorlat szintjén megint csak a fraktálgeometria szolgált eszköztárral a fizikusok, vegyészek, a földrengéseket, a fémeket vagy a valószínűségelméletet kutatók és a fiziológusok munkájához. Ezeknek a tudósoknak meggyőződésükké vált - sőt igyekeztek róla másokat is meggyőzni -, hogy Mandelbrot új geometriája a természet sajátja. Ők azután tagadhatatlanul hatással voltak a hagyományos matematikára és fizikára is, de maga Mandelbrot sosem nyerte el ezeknek a közösségeknek a teljes elismerését. Mindazonáltal méltányolniuk kellett a teljesítményét. Egy matematikus mesélte barátainak, hogy éjszaka remegve ébredt fel rémálmából. Azt álmodta, hogy halott, ám hirtelen egy hangot hall, s nyomban tudja, hogy az Isten hangját. Tudod - mondja a hang - tényleg van valami ebben a Mandelbrotban." Az önhasonlóság fogalma ősi húrokat pendít meg kultúránk világában. A nyugati bölcselet egy régi vonulata kedvelte ezt a gondolatot. Leibniz képzelete szerint egy csepp vízben egész világegyetem rejlik, s annak vízcseppjeiben újabb világegyetemek. Meglátni a világot egy homokszemben" - írta Blake, és a tudósok gyakran hajlamosak voltak meglátni. Amikor a spermiumokat felfedezték, először homunculusnak: piciny, de teljesen kialakult embernek gondolták őket.

96 Tudományos elvként azonban feledésbe merült az önhasonlóság, éspedig jó okkal: mert nem felelt meg a tényeknek. A spermiumok ugyanis nem lekicsinyített emberek - sokkal érdekesebbek annál -, és az egyedfejlődés folyamata is sokkal érdekesebb, mint a puszta növekedés. Az önhasonlóság első megfogalmazásában a még csak korlátozott mérettartományra kiterjedő emberi tapasztalatokat tükrözte. Hogyan is lehetne elképzelni a nagyon nagyot és a nagyon kicsit, a nagyon gyorsat és a nagyon lassút, ha nem az addig megismert kiterjesztésével? A mítosz nagy nehezen kihalt, ahogy a távcső és a mikroszkóp kitágította az emberi látás határait. Az első felfedezések annak a felismerései voltak, hogy minden méretváltozással új jelenségek és újfajta viselkedésmódok járnak együtt. A modern részecskefizikusok számára ez a folyamat sosem ért véget. Az újabb és újabb gyorsítók a maguk még nagyobb energiájával és sebességével tovább terjesztik a tudomány látóterét a kisebb részecskék és rövidebb időtartományok felé, és minden ilyen kiterjesztés új ismeretekkel látszik szolgálni. Ha az új mérettartományokról úgy véljük, hogy ugyanolyanok, mint az addigiak, akkor - legalábbis első látásra - kevesebb információhoz juthatunk. Ennek részben az az oka, hogy a tudományban megfogalmazódott egy ilyesfajta törekvés: a redukcionizmus irányába. A tudósok darabokra szedik a dolgokat és a különálló darabokat vizsgálják. Ha tanulmányozni akarják az elemi részecskék kölcsönhatását, akkor összeraknak kettőt vagy hármat belőlük. S az már éppen eléggé bonyolult. Az önhasonlóság hatóereje azonban a bonyolultságnak sokkal magasabb fokán kezdődik. Az az egész látásának kérdése. Bár Mandelbrot megadta a skálázás legátfogóbb geometriai feldolgozását, ez a gondolat az es években tért vissza a tudományba, mint egyszerre sokfelé ható szellemi áramlat. Az önhasonlóság rejtve jelen volt Edward Lorenz munkájában. Része volt az egyenletrendszeréből adódó leképezések finomszerkezetéről - a még csak megérzett, de az 1963-ban volt számítógépeken még nem látható finomszerkezetről - alkotott intuitív felfogásának. A skálázás részévé vált egy fizikai irányzatnak is, amely Mandelbrot munkájánál közvetlenebbül vezetett a káosz néven ismert tudományághoz. Még egészen más területeken is kezdtek a tudósok olyan elméleteken gondolkodni, amelyek a léptéktartományok hierarchiáján alapulnak. Ilyen volt például a fejlődésbiológia; ahol megértették, hogy egyetlen átfogó elméletnek kell felismernie a fejlődés mintázatait a génekben, az egyedek szervezetében, a fajokban és a fajok alkotta osztályokban. A skálázási jelenség felismeréséhez az emberi látásmódnak - ha ez netán paradoxul hat is - pontosan abban az irányban kell továbblépnie, mint korábban, az önhasonlóság naiv felfogásának elvetésekor. A huszadik század végére a felfoghatatlanul kicsiny és az elképzelhetetlenül nagy képei korábban elgondolhatatlan módon mindenki tapasztalatának részévé váltak. Az emberi kultúrában helyet kaptak a galaxisokról és az atomokról készült fényképfelvételek. Senkinek sem kellett már - Leibnizet követve - elképzelnie, milyen lehet a világegyetem a mikroszkopikus vagy a távcsővel látható mérettartományban: a mikroszkópok és távcsövek ezeket a képeket bevezették a mindennapi tapasztalatba. Minthogy a gondolkodás mindig mohón keresi az analógiákat a tapasztalatokban, törvényszerűek voltak a nagy és kicsi közötti újfajta összehasonlítások; s némelyik nagyon is termékenynek bizonyult. A fraktálgeometriához közel álló tudósok gyakran vontak érzelmi párhuzamot új matematikai esztétikájuk és a huszadik század második felében a művészetekben történt változások között. Úgy érezték, valami belső rajongás elvonta őket a tágabb kultúrától. Mandelbrot számára az eukleidészi felfogást a matematikán kívül leginkább a Bauhaus építészete foglalta össze. Ugyanezt a stílust képviselték a festészetben Josef Albers színes négyzetei:

97 takarékosak, szabályosak, vonalasak, redukcionisták, geometrikusak. Geometrikus - a szó itt azt jelenti, amit már évezredek óta: a geometrikusnak nevezett épületek egyszerű formákból állnak, már kevés számmal is leírható egyenes vonalakból és körökből. A geometrikus építészetnek és festészetnek egyszer csak letűnt a csillaga: az építészek nem igyekeztek többé olyan kocka-felhőkarcolókat építeni, mint a Seagram Building New Yorkban, hiába ünnepelték és másolták oly sokszor korábban. Mandelbrot és követői számára ez nagyon is érthető: az egyszerű formák embertelenek. Nem azt mutatják, hogyan szerveződik a természet vagy hogyan látja a világot az emberi érzékelés. Ahogyan Gert Eilenberger német fizikus mondta, aki a szupravezetésre szakosodva kezdett nemlineáris tudománnyal foglalkozni: Miért van az, hogy a téli vihar által meghajlított kopasz fa körvonalai oly gyönyörűnek tetszenek az esti égbolton, a többfunkciójú egyetemi épületek körvonalai viszont - akárhogy kitett magáért az építész - egyáltalán nem? Nekem úgy tűnik, erre választ - meglehet, spekulatív választ - adhat a dinamikai rendszerek újfajta felfogása. A rend és rendezetlenség harmonikus egyensúlya kelti bennünk a szépségérzetet, ahogy ez a természeti tárgyakban - felhőkben, fákban, hegységekben vagy hókristályokban - megtestesül. Ezeknek az alakja fizikai formákba dermedt dinamikai folyamat, amelyben sajátos módon elegyedik a rend és a rendetlenség." 1 A geometriai alakzatnak van egy skálája, mérettartománya: azaz jellegzetes mérete. Mandelbrot szemében az a művészet, amiben nincsen jellegzetes méret, hanem minden mérettartományban tartalmaz fontos elemeket. A Seagram Buildinggel szemben ő a párizsi Beaux-Arts építészetét ajánlja, szobraival és vízköpőivel, szegletköveivel és ablakdúcaival, csigadíszes pajzsaival, fogazott párkányaival. Egy Beaux-Arts alkotásnak - mondjuk a párizsi Operának - nincs jellemző mérettartománya, mert minden méret megjelenik rajta. A megfigyelő akármilyen távolságból nézi az épületet, mindig talál rajta valami szemet vonzó részletet. Ha közeledünk feléje, minduntalan változik a kompozíciója, és egyre újabb szerkezeti elemei válnak hangsúlyossá. Más méltányolni valamely építmény harmonikus szerkezetét, s megint más csodálni a természet vadságát. Ami az esztétikai értékeket illeti, a fraktálgeometria új matematikája összehangolta a szigorú tudományt a vad, zabolátlan természet iránti, sajátosan mai vonzalommal. Valamikor az őserdők, sivatagok, bozótosok és terméketlen területek a társadalom hódító szándékait hívták ki. Ha az emberek növényeken akarták legeltetni a szemüket, a kertet nézték. Ahogyan John Fowles írta a tizennyolcadik századi Angliáról: E kornak nem tetszett a szabályozatlan és ősi természet. Az az agresszív vadság csúf világa volt, mely minduntalan emlékeztetett a bűnbeesésre, az Édenből való örökös száműzetésre... Még a kor természettudománya számára is... lényegében ellenséges volt a vad természet, csak olyasvalamit látott benne, amit megfékezni, osztályozni, hasznosítani, kitermelni kell." 2 A huszadik század végére a kultúra megváltozott, és most vele változott a tudomány is. Így a tudomány végül megtanulta felhasználni a Cantor-halmaz és a Koch-görbe rejtélyes és szeszélyes unokatestvéreit. Ezek az alakzatok előbb - a századfordulón - tárgyi bizonyítékul szolgáltak a matematika és a fizikai tudományok válóperében, annak az együttélésnek a felbontásában, amely Newton óta meghatározó jelentőségű volt a tudományban. E matematikusok - mint Cantor és Koch - élvezték a maguk eredetiségét: azt gondolták, túljártak a természet eszén, holott voltaképp még nem érték utol a természet alkotásait. A fizika tekintélyes főáramlata is elfordult a mindennapi tapasztalat világától. Csak később, miután Steve Smale visszavitte a matematikusokat a dinamikai rendszerekhez, mondhatta 1 Freedom, Science, and Aesthetics. in: Schönheit im Chaos, p John Fowles: A Maggot (Little, Brown, Boston, 1985), p. 11.

98 azt egy fizikus: Meg kell köszönnünk a csillagászoknak és a matematikusoknak, hogy ezt a tudományterületet sokkal jobb állapotban adták át nekünk, mint amilyenben mi 70 éve rájuk hagytuk." 1 Ámde működhetett Smale és Mandelbrot, végül mégis fizikusok hozták létre a káosz új tudományát. Mandelbrot megadta hozzá a nélkülözhetetlen nyelvet és egy katalógusnyi meglepő képet a természetből. Ahogyan Mandelbrot maga elismerte, az ő programja inkább leírt, mintsem magyarázott. Ő felsorolta a természet elemeit - a tengerpartokat, a folyóhálózatokat, a fakérget, a galaxisokat - és fraktáldimenziójukat, s a tudósok felhasználhatták ezeket a számokat előrejelzéseikhez. A fizikusok azonban többet akartak tudni. 2 Voltak formák a természetben - nem látható formák, hanem a mozgás szerkezetében elrejtett alakzatok -, amelyek még felfedezésre vártak. 1 Robert H. G. Helleman: Self-Generated Behavior in Nonlinear Mechanics. Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5, ed. E. G. D. Cohen (North-Holland, Amsterdam, 1980), p Leo Kadanoff például azt a kérdést tette fel a Physics Today februári szá mának 6. oldalán, hogy Hol van a fraktálok fizikája?", majd a folyóirat áprilisi számának 17. oldalán választ is adott rá egy új multifraktálos" megközelítéssel. Mandelbrot a szeptemberi szá m 11. oldalán közölte megszokott fullánkos észrevételét; egyebek között ezt írta Kadanoff elméletéről: apai büszkeséggel tölt el - lehet, hogy nemsokára nagypapa leszek?"

99 Különös attraktorok Forog, pörög a nagyobbja, A kisebbel sebesen, Azzal meg a még apróbbja, S önemésztve - pép leszen. LEWIS F. RICHARDSON Weather Prediction (Cambridge University Press)

100 A turbulencia problémája gazdag múltra tekinthetett vissza. A nagy fizikusok - hivatalosan vagy sem - mind gondolkodtak rajta. 1 A nyugodt, sima áramlás egyszerre forgókra és örvényekre bomlik. Vad mintázatok szabdalják a határt szilárd test és folyadékok között. Kis mozgások gyorsan energiát szívnak el a nagy mozgásoktól. Miért? A legjobb ötletek a matematikusoktól származtak; a legtöbb fizikus szemében túl kockázatosnak tűnt turbulenciával foglalkozni - félő, hogy csak hiába elvesztegetett idő. Egy történet szerint a kvantumfizikus Werner Heisenberg a halálos ágyán azt mondta, két kérdést akar feltenni Istennek: hogy miért van relativitás, és miért van turbulencia, majd hozzátette: Valójában azt gondolom, az elsőre talán tudja a választ". 2 Az elméleti fizika távol tartotta magát a turbulencia jelenségétől. A tudomány igazából húzott egy vonalat, és azt mondta, ezen a vonalon nem tudunk túllépni. Akadt bőven tennivaló a vonal innenső oldalán is, ahol a folyadékok még szabályosan viselkednek. Szerencsére egy simán áramló folyadék nem úgy tesz, mintha szinte számtalan független - a többitől függetlenül mozgó - molekulája lenne: az egymás közeléből induló folyadékrészecskék ugyanis együtt maradnak, mint a kocsi elé fogott lovak. A mérnököknek vannak használható módszereik az áramlás kiszámítására, ha feltehető, hogy a mozgás elég nyugodt marad. Ezek a módszerek a XIX. századból származnak, abból a korból, amelyben a fizikában élenjáró kutatási feladatnak számított a folyadékok és gázok mozgásának megértése. A modern korban azonban kikerült a kutatás frontvonalából. A komoly elméleti szakemberek már nem egyszerűen rejtélyesnek, hanem még a mennybéliek számára is megközelíthetetlennek látták. Ami a kérdés gyakorlati oldalát illeti, az kellően ismert volt ahhoz, hogy rá lehessen hagyni a műszakiakra. A folyadékmozgás már nem igazán a fizika része, tartották a fizikusok, hanem tisztán műszaki kérdés. A tehetséges fiatal fizikusoknak jobb dolguk is akadt. A hidrodinamikusok általában az egyetemek műszaki tanszékein dolgoztak. A turbulencia mindig érdekes volt a gyakorlat szempontjából, de rendszerint abból a meggondolásból, hogy hogyan lehetne tőle megszabadulni. Egyes alkalmazásokban azért persze kívánatos - például egy sugárhajtású motor belsejében, ahol a hatékony égés a gyors keveredéstől függ -, de a legtöbb esetben csak bajt okoz. A repülőgép szárnya körüli turbulens légáramlás akadályozza az emelkedést; az olajvezetékben a turbulens áramlás 1 Sok áttekintés született a turbulencia különös attraktor megközelítésének történeti összefüggéseiről. Jó bevezetés például: John Miles: Strange Attractors in Fluid Dynamics, Advances in Applied Mechanics 24 (1984), pp Ruelle legkönnyebben hozzáférhető áttekintő cikke: Strange Attractors, Mathematical Intelligencer 2 (1980), pp ; mozgósító hatású javaslata: David Ruelle és Floris Takens: On the Nature of Turbulence, Communications in Mathematical Physics 20 (1971), pp ; további lényeges írásai: Turbulent Dynamical Systems, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, August 1983, Warsaw, pp ; Five Turbulent Problems, Physica 7D (1983), pp ; és The Lorenz Attractor and the Problem of Turbulence. Lecture Notes in Mathematics No. 565 (Springer-Verlag, Berlin, 1976), pp Ennek a történetnek számos változata járja. Orszag például négy másik kutatóról tud: Neumannról, Lambről, Sommerfeldről és Kármánról, majd hozzáteszi: Úgy gondolom, ha Isten csakugyan választ ad ennek a négy embernek, mind a négy esetben mást fog mondani."

101 igen nagy ellenállást kelt. A kormányok és vállalatok roppant pénzeket költenek repülőgépek, turbinahajtóművek, propellerek, tengeralattjáró-törzsek és más olyan formák tervezésére, amelyek folyadékokban mozognak. A kutatókat erősen foglalkoztatja a véredényekben és a szívbillentyűk körül zajló áramlás. Tisztázatlan a robbanások alakja és időbeli fejlődése. Rengeteg a nyugtalanító kérdés az örvényekkel, a lángokkal és a lökéshullámokkal kapcsolatban. A II. világháború atombomba-programja elvileg magfizikai probléma volt; a gyakorlatban viszont a magfizikai problémák nagyobbik részét már korábban megoldották, és a Los Alamosban összegyűlt tudósokra hidrodinamikai feladatok vártak. Mi hát a turbulencia? Rendezetlenség minden mérettartományban, kis örvények nagy örvényekben. Instabilitás. Nagyfokú disszipativitás: azaz a turbulencia elviszi az energiát, ellenállást kelt. Véletlenszerűségbe fordulás. De hogyan lesz a sima áramlásból turbulens? Tegyük fel, hogy tökéletesen sima a csövünk, tökéletesen egyenletes teljesítményű a vízforrás, és mindez tökéletesen védve mindenfajta rezgéstől; hogyan támadhat egy ilyen áramlásban véletlenszerűség? Mintha csődöt mondana minden szabály. Amikor az áramlás sima vagy lamináris, 1 a kisebb zavarok elhalnak, ám ha felüti fejét a turbulencia, akkor katasztrofálisan megnőnek a zavarok. Ez a kezdet - az átmenet - válságot keltő rejtéllyé vált a tudományban. A patakban a szikla mögött az áramlás forgó örvénnyé válik, amely nő, leszakad és elpörög a folyás irányába. A cigarettafüst simán felszáll a hamutartóból, s addig gyorsul, mígnem egy bizonyos sebességet túllépve vad örvényekre bomlik. A turbulencia megjelenése laboratóriumi kísérletekben megfigyelhető és mérhető is: a szélcsatornában előidézhető bármely új szárny vagy propeller környezetében, mégis nehéz megragadni a természetét. Az így nyert tudás szinte óhatatlanul eseti, nem általános jellegű, a Boeing 707-es repülőgép szárnyaival végzett próba-szerencse kutatások egy cseppet sem könnyítik meg az F-16-os vadászgép szárnyaival végzendő próba-szerencse kísérleteket. A szabálytalan folyadékmozgás még a szuperszámítógépeknek is csaknem reménytelen feladat. Mondjuk rázkódás, zavar ér egy folyadékot. A folyadék viszkózus - tapadós -, az energia tehát elemésztődik benne, és ha megállítjuk a rázást, a folyadék persze nyugalomba kerül. A rázással kis frekvencián - másképpen szólva: nagy hullámhosszon - közlünk vele energiát; legelőször is azt kell észrevennünk, hogy a nagy hullámhosszak kicsikre bomlanak. Örvények jönnek létre, és bennük kisebb örvények, s mind csak fogyasztja a folyadék energiáját, s mindegyik jellemző ütemben. Az 1930-as években A. N. Kolmogorov kidolgozott egy matematikai leírást, amely valamiféle képet adott ezeknek az örvényeknek a működéséről. Energiatartományok sorozatát képzelte el, egyre kisebb és kisebb mérettartományokon át, mígnem végül az örvények olyan picinyekké válnak, hogy a viszkozitás viszonylag nagyobb hatása válik meghatározóvá. A tisztább leírás kedvéért Kolmogorov úgy képzelte, hogy ezek az örvények kitöltik az egész folyadékteret, s mindenütt egyformává teszik a folyadékot. Ez a feltevés 2 - nevezetesen az, hogy a folyadék homogén lenne - nem bizonyult helyesnek, ahogyan azt már Poincaré is tudta negyven évvel korábban, látván egy folyó egyenetlen felszínén, hogy az örvények közelében mindig vannak sima áramlási tartományok is. Az örvényesség lokalizált. Az energia ténylegesen csak a tér egy részében disszipálódik. Ha egyre közelebbről és közelebbről vizsgálunk egy turbulens örvényt, minden mérettartományban újabb és újabb nyugalmas területek tűnnek fel. Így a homogenitás feltételezése utat nyitott az intermitten- 1 A turbulens áramlástól való megkülönböztetésül a fizikusok a szabályos - előre megadható áramlási képű (lényegében különböző sebességű rétegekből álló) - áramlást laminárisnak nevezik - a fordító. 2 Turbulent Dynamical Systems... p. 281.

102 cia 1 feltevéshez. Az intermittencia képe, ha valamennyire idealizáljuk, nagyon fraktálszerű, egymást váltják az egyenetlen és a sima tartományok a nagytól a kicsiig érő mérettartományokban. De erről a képről is kiderült, hogy nem felel meg teljes egészében a valóságnak. Ezzel szorosan összefüggő, mindazonáltal más kérdés volt, hogy mi történik a turbulencia fellépésekor. Hogyan lépi át a folyadék a határt a sima és a turbulens között? Milyen köztes állapotok létezhetnek, még mielőtt a turbulencia teljesen kifejlődne? Ezekre a kérdésekre már egy kicsit erősebb elmélet létezett. Ez az ortodox paradigma a nagy orosz tudóstól, Lev. D. Landautól származik, akinek tankönyve 2 mindmáig alapmű a hidrodinamikában. A Landau-féle kép versengő ütemes mozgásokból épül fel. Landau feltette, hogyha több energia jön a rendszerbe, akkor egyre újabb frekvenciák jelennek meg, s mindegyik összeegyeztethetetlen az őt megelőzővel, ahogyan a hegedűhúr is egy második, disszonáns hangrezgéssel válaszol a keményebb vonóhúzásra, majd egy harmadikkal, egy negyedikkel, mígnem a hang felfoghatatlan kakofóniába fullad. Minden folyadék és gáz kis egyedi részecskék összessége, olyan soké, hogy azok számát akár végtelennek is tekinthetjük. Ha minden ilyen összetevő a többitől függetlenül mozogna, akkor a folyadéknak végtelenül sok lehetősége lenne, ahogyan a fizikusok mondják: végtelen sok szabadsági foka", és a mozgást leíró egyenleteknek végtelen sok változót kellene magukba foglalniuk. Csakhogy az egyes részecskék mozgása korántsem független - erősen függ ugyanis a szomszédos részecskék mozgásától - és egy sima áramlásban viszonylag kicsi a szabadsági fokok száma. A potenciálisan bonyolult mozgások nem válnak külön, hanem összekapcsolódnak egymással. A közeli alkotórészek egymás közelében maradnak vagy simán, egyenletesen sodródnak el egymástól, s ez a mozgás egyértelmű vonalakat rajzol ki a szélcsatornában felvett áramlási képeken. A cigarettából felkígyózó füstoszlopban a részecskék egy ideig együtt emelkednek. Azután megjelenik a zűrzavar, a rejtélyes vad mozgások tömkelege. Landau szerint ezek az instabil új mozgások egyszerűen egymásra torlódtak; a ritmusuk egymást fedi. Fogalmi tekintetben a turbulenciának ez az ortodox elgondolása megfelelni látszott a tényeknek, és ha az elmélet matematikailag hasznavehetetlen - aminthogy az - hát legyen hasznavehetetlen. Landau paradigmája példát ad arra, hogyan lehet a méltóságot megőrizve feladni a küzdelmet. A víz halkan surrogva átfolyik egy csövön vagy körülfolyik egy hengert. Gondolatban növeljük meg a nyomást. Megindul valami fel- s aláhullámzás, és lassan nekiütközik a csőnek. S most megint fordítsuk el a csapot. Valahonnan támad egy második frekvencia, s az nem tart lépést az előzővel. A ritmusok átfedik egymást, versenyeznek és egymás ellen fordulnak. Már olyan bonyolult mozgást keltenek - a hullámok nekiütköznek a falnak, interferálnak -, hogy alig tudjuk követni. Most megint fordítsuk el a csapot. Erre egy harmadik frekvencia is feltűnik, azután egy negyedik, egy ötödik, egy hatodik, s mind összemérhetetlenek. Az áramlás rendkívül bonyolulttá vált. Talán ez a turbulencia. A fizikusok elfogadták ezt a képet, de fogalmuk sem volt róla, hogyan jósolható meg, mikor ölt testet a növekvő energia egy újabb frekvenciában, és vajon mi lesz ez az új frekvencia. Senki sem figyelte meg kísérletileg ezeket a rejtélyesen érkező frekvenciákat, mert voltaképpen soha senki sem ellenőrizte Landau elméletét a turbulencia felbukkanásáról. 1 A szabályos és kaotikus viselkedés térbeli vagy időbeli váltakozása. Szerepé a káosz kifejlődésében magyarul ld. Gálfi László cikkét A káosz c. könyvben a fordító. 2 L. D. Landau és E. M. Lifsic: Hidrodinamika (Tankönyvkiadó, 1980).

103 Az elméleti tudósok agyukban folytatják le a kísérleteket. A kísérletezőknek a kezüket is használniuk kell. Az elméleti kutatók gondolkodók, a kísérletiek mesteremberek. Az elméleti embernek nincs szüksége bűntársakra. A kísérletezőknek diplomamunkásokat kell verbuválniuk, technikusokat kell meggyőzniük, laboratóriumi asszisztenseknek kell hízelegniük. Az elméleti szakember egy zajtól, rezgéstől és piszoktól mentes régi épületben dolgozik. A kísérletező bensőséges viszonyba jut az anyaggal, szobrász módjára, aki megküzd vele, megformálja és megdolgozza. Az elméleti szakember olyannak képzeli a párját, mint egy naiv Romeo az ő eszményi Júliáját. A kísérletező szeretői izzadnak, panaszkodnak és szellentenek. Bár az elméleti és a kísérleti kutatóknak szükségük van egymásra, mégis hagyták, hogy bizonyos egyenlőtlenség támadjon közöttük, miután elmúltak azok a régi idők, amikor még minden tudós elméleti és kísérleti kutató is volt egy személyben. A legjobb kísérletezőkben még ma is van valami az elméleti tudósból, az elméletiekben azonban már vajmi kevés a kísérletiekből. A tekintély végül is az elméletiek oldalán halmozódott fel. Az elméletieknek jut ki a dicsőségből - különösen a nagyenergiájú fizikában -, a kísérletiek pedig erősen szakosodott technikusokká változtak át, és drága, bonyolult berendezéseket üzemeltetnek. A II. világháború utáni évtizedekben, ahogyan a fizikában egyre inkább eluralkodott az elemi részecskék tanulmányozása, a legjobb publikált kísérleteket a részecskegyorsítókkal végezték. Spin, szimmetria, szín, íz - ezek voltak az elbűvölő absztrakciók. A tudomány iránt érdeklődő kívülállók többségének és jó néhány tudósnak a szemében is egymagában az atomi részecskék tanulmányozása volt a fizika. Csakhogy a kis részecskéket mind nagyobb energiabefektetés árán lehetett egyre rövidebb időtartományokban tanulmányozni, így a jó kísérletekhez szükséges gépezetek is egyre hatalmasabbra nőttek az évek során, és emiatt a részecskefizikában egyszer s mindenkorra megváltozott a kísérletezés természete. Rengetegen működtek a kísérleti kutatásban, és a nagy kísérletek a csoportoknak kedveztek: a Physical Review Letters sűrűn megjelenő részecskefizikai cikkeiben rendszerint egy negyed oldalt tett ki a szerzők listája. Akadtak azonban kísérletezők, akik jobban szerettek egymagukban vagy legfeljebb másodmagukkal dolgozni. Ők kézközelibb anyagokkal dolgoztak. Azonközben, hogy egyes területek, például a hidrodinamika, hátrább szorultak, a szilárdtest-fizika új állásokat foglalt el, s végül akkorára terjesztette ki felségterületét, hogy átfogóbb nevet érdemelt ki: a kondenzált anyagok fizikája" vált belőle, vagy egyszerűbben: anyagfizika. A kondenzált anyagok fizikájában minden egyszerűbb volt: nem tátongott olyan széles szakadék az elméleti és a kísérleti kutatók között; az elméleti szakemberek kicsit kevésbé voltak sznobok, a kísérletiek kicsit kevésbé védekezők. Itt másként mentek a dolgok: egyáltalán nem volt szokatlan jelenség, hogy egy elméleti kutató félbeszakítsa egy kísérleti szakember előadását, s azt kérdezze, hogy több mérési pont nem lenne-e meggyőzőbb, vagy nem kusza-e egy kissé az a grafikon, vagy nem lehetne-e azokat a számokat néhány nagyságrenddel kiterjeszteni fölfelé és lefelé? És fordítva, az sem keltett meglepetést, hogy Harry Swinney teljes - vagy 165 centiméteres - testhosszában kihúzta magát és a veleszületett louisianai bájt a felvett New York-i türelmetlenséggel keverve kijelentette: Ez igaz, ha végtelen sok zajmentes adatunk van." Majd hátat fordított a táblának és így folytatta: A valóságban persze csak véges sok, ámde zajos adatunk van." Swinney anyaggal kísérletezett. Neki az volt a fordulópont, hogy diplomamunkás lett a Johns Hopkins Egyetemen. A részecskefizikában ez időre szinte tapinthatóvá vált az izgalom. Murray Gell-Mann jött el lelkesítő előadást tartani és meghódította Swinneyt. De amikor közelebbről is látta, mit csinálnak a diplomamunkások, rájött, hogy vagy számíttó-

104 gépes programokat írnak, vagy szikrakamrákat forrasztanak. Ekkor történt, hogy többször is elbeszélgetett egy idősebb fizikussal, aki a fázisátalakulásokkal - a szilárdból a folyékony halmazállapotba, a nem mágneses állapotból a mágnesesbe, a vezetőből a szupravezetőbe való átmenetek problémájával - kezdett dolgozni. Swinneynek nemsokára lett egy üres szobája; csak egy apró fülke, de egyedül az övé. Volt egy műszerkatalógusa is, és elkezdett műszereket rendelni belőle. Azután hamarosan kapott egy asztalt és egy lézert, hűtőberendezést hozzá és néhány műszert. Megtervezett egy berendezést a szén-dioxid hővezetésének mérésére a kritikus pont környékén, ott ahol gőzből folyadékká válik. A legtöbben úgy gondolták, hogy a hővezető-képesség csak kicsit fog változni. Swinney ezzel szemben azt kapta, hogy a változás 1000szeres nagyságrendű. Ez igazán izgalmas volt: egy apró szobában, egyedül felfedezni valamit, amit addig senki sem tudott. Látta az opáléra emlékeztető, szinte nem is evilági fényt, amely a gőzben - bármely gőzben - felragyog a kritikus pont környékén. A fázisátalakulások - sok tekintetben a káoszhoz hasonlóan - olyan makroszkopikus jellegzetességeket mutatnak, amelyek bajosan jósolhatók meg a mikroszkopikus részletekből. Ha egy szilárd testet melegítünk, az energia a test molekuláinak rezgési energiáját növeli. A molekulák szembeszegülnek a kötéseikkel és tágulásra késztetik az anyagot. Minél nagyobb a hő, annál jelentősebb a tágulás, mígnem a változás egy bizonyos hőmérsékleten és nyomáson hirtelenné, ugrásszerűvé válik. Mintha egy kötelet nyújtanánk, s az egyszer csak elszakadna. Az anyag kristályszerkezete felbomlik, a molekulák eltávolodnak egymástól, s ettől fogva a folyadékokra érvényes törvényeknek engedelmeskednek, amelyeket nem lehet kikövetkeztetni a szilárd test semmilyen tulajdonságából. Az átlagos atomi energia alig változott, de az anyag - jelen állapotában már folyadék vagy mágnes vagy szupravezető - mégis átlépett egy új birodalomba. Günter Ahlers az AT&T New Jersey-i Bell Kutatóintézetében a folyékony hélium úgynevezett szuperfolyékony átmenetét vizsgálta, amelynek során, a hőmérséklet csökkenése közben, az anyag egyfajta bűvös - érzékelhető viszkozitás és súrlódás nélküli - folyadékká válik. Mások a szupravezetést tanulmányozták; Swinney azt a kritikus pontot vizsgálta, ahol az anyag folyadékból gőzzé válik és viszont. Az 1970-es évek közepére Swinney, Ahlers, Pierre Berge, Jerry Gollub, Marzio Giglio és más kísérletezők az Egyesült Államokban, Franciaországban és Olaszországban - a fázisátalakulások kutatásának még új keletű hagyományaiból táplálkozva - új problémákat kerestek. Olyan közelről ismerték az anyagok sarkalatos állapotváltozásainak sajátos útjelzőit, mint a postás az átjárókat és a sikátorokat a maga körzetében. Kitapogatták a határokat, amelyeken belül az anyag még egyensúlyban marad. A fázisátalakulások kutatása az analógiák lépcsőfokain jutott egyre feljebb: a nemmágnes-mágnes fázisátmenet hasonlónak bizonyult a folyadék-gőz fázisátalakuláshoz; s a folyadék-szuperfolyadék fázisátmenet hasonlónak bizonyult a vezető-szupravezető fázisátalakuláshoz. Az egyik kísérletben bevált matematikai eszközök sok más kísérletben is alkalmazhatók voltak. Az 1970-es években a probléma már jórészt megoldódott, mindazonáltal továbbra is kérdéses volt, hogy mennyire lehet kiterjeszteni az elméletet. Milyen más változások bizonyulnak majd a behatóbb vizsgálatok során fázisátmenetnek? A fázisátalakulásokra használt módszereket a folyadékáramlásra alkalmazni nem volt a lehető legeredetibb ötlet, ámde éppenséggel a legkézenfekvőbb sem. Csakugyan nem volt igazán eredeti, mert már a hidrodinamika nagy úttörői, Reynolds, Rayleigh, valamint huszadik század eleji követőik is észrevették, hogy gondosan kézben tartott folyadékkísérletekben egyfajta változás - matematikai kifejezéssel: bifurkáció - figyelhető meg a mozgás minőségében. Egy folyadékcellában például az alulról melegített s egy ideig mozdulatlan

105 folyadék hirtelen mozgásnak indul. A fizikusok hajlottak arra a feltevésre, hogy ez a bifurkáció fizikai szempontból hasonlít az anyag fázisátalakulásként számon tartott változásaira. Ez nem mondható a legnyilvánvalóbb fajta kísérletnek, mivel a valóságos fázisátmenetektől eltérően ezek a folyadékbifurkációk nem okoztak változást magában az anyagban. Magukkal hoztak viszont egy új elemet: a mozgást. Miért felelne meg egy ilyen változás matematikai le írása a lecsapódó gőz matematikai tárgyalásának? 1973-ban Swinney a New York-i City College-on tanított. A komoly, kisfiús, Harvardot végzett Jerry Gollub is ezt tette a Haverfordban. Haverford azonban, ez a kissé vidékies bölcsészettudományi főiskola Philadelphia közelében, nem tűnt eszményi végcélnak egy fizikus szemében. Nem voltak diplomamunkások, hogy segítsenek a laboratóriumi munkában, s így nem volt aki betöltse a lejjebb álló fél szerepét a mindennél fontosabb vezetőpártfogolt társas viszonyban. Mindazonáltal Gollub szerette tanítani a hallgatókat, és a főiskola fizika tanszékét lassacskán központtá fejlesztette, amely egyre általánosabb megbecsülést és hírnevet szerzett kísérleti munkáival ban kivette kutatószabadságát és New Yorkba ment, hogy együtt dolgozzon Swinney-vel. A fázisátalakulások és a folyadékinstabilitások analógiájától indíttatva elhatározták, megvizsgálják, hogyan viselkedik az a klasszikus rendszer, amelyben a folyadék két azonos tengelyű, egymásba illesztett függőleges henger közé van zárva. A belső henger forog, és forgásával mozgásba hozza a folyadékot is. A rendszer az áramlást felületek közé zárja, azaz a folyadék mozgása térben korlátozva van, nem úgy, mint a nyílt víz áramlatai. A forgó hengerek a Couette-Taylor-féle áramlás néven ismert jelenséget hozzák létre. A kényelem kedvéért általában a belső henger forog egy külső álló henger belsejében. Ahogy a forgás elkezdődik és felveszi a kellő sebességet, felbukkan az első instabilitás: a folyadékban tetszetős mintázat alakul ki, olyasféle, mint a szervizállomásokon az egymásra rakott gumiabroncsokból. Fánkszerű karikák jelennek meg egymás felett a henger körül. A folyadék részei nem csupán keletről nyugat felé köröznek a fánkban, hanem felfelé és befelé, valamint lefelé és kifelé is. Ez lényegében még nem volt újdonság, hiszen 1923-ban G. I. Taylor már megfigyelte és megmérte ezt a jelenséget. A Couette-áramlás tanulmányozásához Swinney és Gollub olyan berendezést épített, amely egy íróasztalon is elfért. A külső üveghenger akkora volt, mint egy teniszlabda-tartó: körülbelül 30 cm magas és 5 cm átmérőjű. A belső acélhenger szinte rés nélkül beleillett; alig 3 mm maradt köztük a víznek. A spanyolviasz esete volt" - mondta Freeman Dyson, a következő hónapok előkelő, váratlan látogatóinak egyike. Itt van ez a két úriember egy vacak kis laboratóriumban, s lényegében pénz nélkül csodálatos kísérletet végeztek. Ezzel kezdődött a turbulencia igazi kvantitatív kísérleti vizsgálata." A két kísérletező úgy gondolta, hogy szabályszerű tudományos témán dolgozik, s az meghozza nekik a szokásos kis elismerést, azután majd feledésbe megy. Azon igyekeztek, hogy igazolják Landau elgondolását a turbulencia megjelenéséről. Nem volt semmi okuk kételkedni benne. Tudták, hogy a hidrodinamikusok hisznek a Landau-képben. Mint fizikusok maguk is szerették, mert beleillett a fázisátalakulásokról alkotott általános elképzelésbe, és Landau maga adta az első alkalmas eszközöket a fázisátmenetek tanulmányozásához, abból a meggyőződésből kiindulva, hogy az ilyen jelenségek egyetemes törvényeknek engedelmeskednek, s a szabályszerűségek túllépnek az egyes anyagok közötti különbségeken. Amikor Harry Swinney a folyadék-gőz kritikus pontot tanulmányozta a szén-dioxid esetében, ezt Landau szellemében tette: azzal a meggyőződéssel, hogy a kísérlet eredmé-

106 nyei átvihetők a xenon folyadék-gőz kritikus pontjára; és azok csakugyan átvihetőnek bizonyultak. Miért ne derülhetne ki a turbulenciáról is, hogy összeütköző ritmusok állandó felhalmozódása a mozgó folyadékban? ÁRAMLÁS FORGÓ HENGEREK KÖZÖTT. A két henger közötti víz jellegzetes mintázatot mutató áramlása lehetővé tette, hogy Harry Swinney és Jerry Gollub megpillantsa a turbulencia felbukkanását. Ahogy nő a forgási sebesség, egyre bonyolultabbá válik a szerkezet. A víz először jellegzetes, egymásra tett fánkokra emlékeztető mintázatot hoz létre. Azután a fánkok elkezdenek hullámzani. A fizikusok lézerrel mérték a víz változó sebességét, amint az újabb és újabb instabilitások feltűntek. Swinney és Gollub mindent felvonultatott a mozgó folyadékok rendetlenségei ellen, ami hosszú évek alatt a legkényesebb körülmények között kialakult a fázisátalakulások tanulmányozására. Olyan laboratóriumi módszereik és mérőberendezéseik voltak, amilyet egy hidrodinamikus soha sem tudott volna elképzelni. A gördülő áramlatok mérésére lézerfényt használtak. A vízen átragyogó sugár elhajlott vagy szóródott, s azt a lézeres Dopplerinterferometriának nevezett módszerrel mérték. Az adatfolyamot egy számítógép tárolta és dolgozta fel: olyan eszköz, amelyet 1975-ben még ritkán lehetett látni asztali laboratóriumi kísérletekben. Landau arról beszélt, hogy az áramlás erősödésével új frekvenciáknak - egyszerre mindig csak egynek - kell megjelenniük. Ezt olvastuk tehát - emlékezett vissza Swinney -, és azt mondtuk: nagyszerű, megvizsgáljuk az átmeneteket, hol lépnek be ezek a frekvenciák. Szóval néztük, és csakugyan ott volt egy jól meghatározott átmenet. Növeltük és csökkentettük a henger forgási sebességét, s ezzel mindkét irányból keresztül jutottunk az átmeneten. Nagyon is jól meghatározott volt." Amikor elkezdték közreadni az eredményeiket, szembekerültek egy szociológiai természetű fallal, amely a fizika és a hidrodinamika tudományterülete között húzódott. Ez a határ, meglehetősen eleven volt, s egyebek között meghatározta, hogy az Amerikai Országos Tudományos Alap (NSF) kebelén belül melyik apparátus tartja kézben e kísérletek pénz-

107 ügyi vonatkozásait. Az 1980-as évekre a Couette-Taylor-kísérlet megint fizika lett, de 1973-ban még tiszta hidrodinamika volt; és a hidrodinamikához szokott emberek szemében gyanúsan jónak tűntek az első számok, amelyek ennek a kisvárosi kollégiumnak a laboratóriumából származtak. Egyszerűen nem hittek nekik a hidrodinamikusok: nem voltak ugyanis hozzászokva a fázisátalakulások fizikájának pontos kísérleteihez. Azonfelül a hidrodinamika perspektívájából nehéz volt látni egy ilyen kísérlet elméleti lényegét. Legközelebb már, amikor Swinney és Gollub megpróbáltak pénzt szerezni az Országos Tudományos Alaptól, elutasították őket. Egyes bírálók nem tartották igaznak az eredményeiket, mások meg azt mondták, hogy semmi új sincs bennük. De a kísérlet sosem állt le. Ott volt a nagyon jól meghatározott átmenet - mondta Swinney -, úgyhogy óriási volt. Azután továbbmentünk, kerestük a következőt." S ott megszakadt a várt Landau-sorozat. A kísérlet nem erősítette meg az elméletet. 1 A következő átmenetnél az áramlás teljesen zavaros állapotba ugrott, minden megkülönböztethető ciklus nélkül. Nem voltak új frekvenciák, hiányzott a bonyolultság fokozatos felépülése. Amit találtunk, az kaotikus volt." Néhány hónappal később egy sovány, rendkívül elragadó belga jelent meg laboratóriumuk ajtajában. David Ruelle időről időre elmondta, hogy kétfajta fizikus van: az egyik rádiók szétszedésén nőtt fel - még a félvezető-korszak előtt, amikor látni lehetett a drótokat és a narancssárgán világító vákuumcsöveket, és valamiféle elektronáramlást lehetett beléjük képzelni -, a másik pedig kis vegyész"-készletekkel játszott. Ruelle ez utóbbiakkal kezdte, bár nem a később szokásos amerikai készletekkel, hanem robbanó vagy mérgező vegyszerekkel, amilyeneket észak-belgiumi szülőföldjén a patikus árult könnyedén; s ő csak összeöntötte, megkeverte, melegítette, kristályosította és időnként felrobbantotta őket. Gentben született 1935-ben egy tornatanár és egy nyelvészprofesszor fiaként, és bár pályafutása az elvont tudomány birodalmán ívelt át, mindig volt érzéke a természet virágtalan gombákban vagy salétromban, kénben és faszénben rejlő veszélyes oldalaihoz. Ruelle mégis a matematikai fizikában elért eredményeivel adott hozzá maradandót a káosz kutatásához ben az Institute des Hautes Études Scientifiques munkatársa lett, egy Párizs környéki intézeté, amelyet a princetoni Institute for Advanced Study mintájára hoztak létre. Ekkorra már szokásává vált, hogy időnként intézetét és családját otthagyva hetekig tartó magányos túrákra induljon, s mindössze egy hátizsákkal a hátán keresztül-kasul bebarangolja Izland üres pusztaságait vagy Mexikó tájait. Sokszor senki emberfia nem akadt az útjába. Ha emberekbe botlott és igénybe vette vendégszeretetüket - talán egy kukoricalisztből készült tortilla erejéig, amúgy zsír, hús és zöldség nélkül -, úgy érezte, kétezer évvel korábbi állapotában látja a világot. Amikor visszatért az intézetbe, hogy újból elkezdje a tudományos létet, éppen csak egy kicsit volt soványabb az arca, kerek homlokán és hegyes állán egy kicsit szorosabban feszült a bőr. Ruelle hallotta Steve Smale előadásait a lópatkó-leképezésről és a dinamikai rendszerek kaotikus lehetőségeiről. Gondolkodott a folyadékok turbulenciáján és a klasszikus Landau-képen is. Azt gyanította, hogy 1 J. P. Gollub és H. L. Swinney: Onset of Turbulence in a Rotating Fluid. Physical Review Letters 35 (1975), p Ezek az első kísérletek csak megnyitották az utat a forgó hengerek kö zötti áramlás paramétereinek változtatásával létrehozható bonyolult térbeli viselkedés észlelése előtt. A következő néhány évben csigavonalú hullámokat", hullámos be- és kiáramlást", egymásba hatoló spirálisokat", stb. ismertek fel. Összefoglalás: C. David Andereck, S. S. Liu és Harry L. Swinney: Flow Regimes in a Circular Couette System with Independently Rotating Cylinders. Journal of Fluid Mechanics 164 (1986), pp

108 ezek a fogalmak kapcsolatban - és ellentmondásban - állnak egymással. Ruelle-nek nem volt gyakorlata a folyadékáramlások kutatásában, de ez már nem bátortalanította el, mint sok sikertelen elődjét. Mindig az amatőrök találják meg az új dolgokat - mondta. - A turbulenciának nincsen kézenfekvő mély elmélete. A turbulenciával kapcsolatban feltehető kérdések mind sokkal általánosabb természetűek, tehát hozzáférhetők az amatőrök számára." Könnyű volt átlátni, miért állt ellen a turbulencia a vizsgálatnak. A folyadékáramlás egyenletei nemlineáris, csak különleges esetekben megoldható parciális differenciálegyenletek. Mindazonáltal Ruelle a Smale által használt nyelvezettel létrehozta a Landau-kép elvont változatát, valami olyasfajta elképzeléssel, mintha a tér egy összenyomott, széthúzott és lópatkó formában hajtogatott képlékeny anyag volna. Floris Takensszel, az intézetébe látogató holland matematikussal írt egy cikket, 1 ami 1971-ben meg is jelent. A stílusa - fizikusok, vigyázat! - összetéveszthetetlenül matematikai volt, azaz a bekezdések Definícióval, Tétellel vagy Bizonyítással kezdődtek, és az elengedhetetlen Legyen..."-nel folytatódtak. Tétel (5.2). Legyen Xμ a H Hilbert-téren értelmezett C k vektorterek valamely egyparaméteres családja, úgy, hogy..." A címe, hogy valami köze mégis legyen a valóságos világhoz, A turbulencia természetéről" lett, szándékosan utalva arra, hogy Landau a következő címet adta híres munkájának: A turbulencia problémájáról". Ruelle és Takens gondolatmenete bevallottan túlmutatott a matematikán; a turbulencia megjelenéséről alkotott hagyományos kép helyébe ajánlottak valami mást. Az egymástól független, átfedő mozgások végtelen sokaságához vezető frekvenciahalmozódás helyett csak három független mozgást vettek fel, s azokkal előállították a turbulencia teljes bonyolultságát. Matematikai szempontból némely meggondolásuk homályos, rossz, másoktól kölcsönzött, 2 vagy mindhárom egyszerre; így vélekedtek munkájukról még tizenöt évvel később is. De a lényeglátás, az értelmezés, a jegyzetek és a cikkbe szőtt fizika maradandó értéknek bizonyultak. A legcsábítóbb az a kép volt, amit a szerzők különös attraktornak neveztek. Ez a kifejezés pszichoanalitikusan szuggesztív' - vélte később Ruelle. Az elnevezés olyan szerephez jutott a káosz elméletében, hogy Ruelle és Takens utóbb az udvarias látszat mögött a lovagiasság szabályai szerint megküzdöttek egymással az ügyben, hogy melyikük talált rá erre a szóra. Voltaképpen egyikük sem emlékezett biztosan, de Takens, a magas, pirospozsgás, heves északi ember elmondhatta: Megkérdezték valaha is Istent, hogy ő teremtette-e ezt az átkozott világegyetemet?... Nem emlékszem semmire... Gyakran teremtek anélkül, hogy emlékeznék rá", 3 Ruelle pedig, a tekintélyesebbik szerző, halkan megjegyezte: Takens véletlenül meglátogatta az IHES-t. Az egyik ember így dolgozik, a másik úgy. Vannak, akik igyekeznek egyedül megírni egy cikket, így az összes érdem az övék." A különös attraktor a fázistérben, a modern tudomány egyik leghatékonyabb alkotásában jelenik meg. A fázistér módot ad arra, hogy a számokat képekké alakítsuk; kiveszi a lényeges információk valamennyi bitjét a mozgó részek alkotta mechanikai vagy folyadék-rendszerből, s rugalmas útitérképet ad az összes lehetőséghez. A fizikusoknak már akadt dolguk az attraktorok" két egyszerűbb fajtájával: a fixpontokkal és a határciklusokkal: ezek az állandó állapotba jutott, illetve az önmagát folytonosan ismétlő rendszer 1 On the Nature of Turbulence... A turbulencia Ruelle-Takens-féle elméletéről magyarul ld. Tóth Bálint cikkét A káosz c. könyvben. 2 A szerzők hamarosan felfedezték, hogy némelyik ötletük már megvolt az orosz irodalomban, más részről a turbulencia általunk adott matematikai interpretációja, úgy tűnik, a mi felelősségünk marad" - írták. Ld.: Note Concerning Our Paper 'On the Nature of Turbulence'. Communications in Mathematical Physics 23 (1971), pp Strange Attractors... p. 131.

109 viselkedését ábrázolták. A fázistérben egyetlen pont jeleníti meg mindazokat az ismereteket, amelyeket a dinamikai rendszer valamely időpillanatban felvett állapotáról tudunk. Az a pont maga a dinamikai rendszer a kérdéses pillanatban. A következő pillanatban azonban a rendszer már más állapotba jut, még ha egészen közelibe is: azaz a pont elmozdul. A rendszer időbeli történetét ezzel a mozgó, a fázistérben pályát le író ponttal lehet ábrázolni. Hogyan sűríthető egyetlen pontba egy bonyolult rendszerre vonatkozó összes információ? Ha a rendszernek csak két változója van, akkor egyszerű a válasz. A középiskolában tanult Descartes-féle koordinátarendszer vízszintes tengelyére mérjük fel az egyik változót, és a függőleges tengelyre a másikat. Ha a rendszer egy súrlódásmentesen lengő inga, akkor az egyik változó a helyzet lesz, a másik a sebesség, és ezek folytonosan változni fognak; a rendszer állapotait megjelenítő pont egy hurokszerű vonalat ír le, körbe-körbe, az örökkévalóságig. Ugyanaz a rendszer nagyobb energián - nagyobb sebességgel és távolabbra kilengve - az előzőhöz hasonló, de nagyobb hurkot rajzol a fázistérben. Egy kis realizmus - súrlódás képében - megváltoztatja a helyzetet. Nincs szükségünk a mozgásegyenletekre, hogy lássuk a súrlódásos inga végzetét. Minden pályának végül ugyanazon a helyen kell befejeződnie, nevezetesen a középpontban: kitérés 0, sebesség 0. Ez a középső fix pont vonzza" a pályákat: azok már nem ugyanazt a hurkot írják le újra meg újra, hanem spirálisan befelé haladnak. A súrlódás elnyeli a rendszer energiáját, és a fázistérben ez a disszipáció a középpontba - a nagy energiájú külső területekről a kis energiájú belső területek felé - irányuló törekvés formájában mutatkozik meg. Az attraktor - lehető legegyszerűbb formájában - olyan, mint egy gumilepedőbe tett aprócska mágnes. Ha az állapotokat térbeli pontoknak gondoljuk, az egyebek között azzal az előnnyel jár, hogy könnyebb megfigyelnünk a változásokat. Egy rendszer, amelynek változói folytonosan nőnek vagy csökkennek, olyan mint a szobában röpködő légy. Ha a változóknak valamilyen együttese sosem fordul elő, akkor a tudós egyszerűen azt képzeli maga elé, hogy a szobának az a bizonyos része kívül esik a megengedett területen: hogy a légy sosem megy arra. Ha egy rendszer periodikusan viselkedik, körbe jár és újra meg újra ugyanabba az állapotba jut, akkor a légy egy hurkot ír le, s rendszeresen ugyanazokat a helyeket repüli be a fázistérben. A fizikai rendszerek képei a fázistérben megmutatják a mozgás mintázatait, amelyek másként láthatatlanok lennének, ahogyan az infravörös tájfelvétel is felfedhet olyan tereprajzolatokat és részleteket, amelyek egyébként észrevétlenek maradnának. Amikor egy tudós egy fázistérbeli képet néz, képzeletében felidézheti magát a rendszert: ez a hurok ahhoz a periodicitáshoz tartozik; ez a csavarodás annak a változásnak felel meg; ez az üres terület ezt és ezt a fizikai lehetetlenséget tükrözi. A fázistérbeli képek még két dimenzióban is sok meglepetéssel szolgálhatnak; némelyiket még asztali számítógéppel is be lehet mutatni, ha színes mozgó pályákká alakítjuk át az egyenleteket. Néhány fizikus film- és videofelvételek készítésébe fogott, kaliforniai matematikusok 1 könyveket adtak ki zöld, kék és piros rajzfilmszerű ábrázolásokkal - káosz képregény", mondta némely kollégájuk enyhe rosszmájúsággal. A két dimenzió nem bizonyult kellően tágasnak a fizikusok által érdekesnek tartott rendszertípusok felvonultatására. Kettőnél több változóra volt szükség, s ez egyben kettőnél több dimenziót jelent. Egy dinamikai rendszerben minden önálló mozgásra képes kis darab újabb szabadsági fok, s újabb változót kíván. És minden szabadsági fok másik dimenziót követel a fázistérben, hogy továbbra is elég legyen egyetlen pont a rendszer állapotának egyértelmű megjelenítéséhez. A Robert May által tanulmányozott egyszerű egyenletek egydimenziósak voltak - 1 Ralph H. Abraham és Christopher D. Shaw: Dynamics: The Geometry of Behavior (Aerial, Santa Cruz, 1984).

110 egyetlen szám is elég volt a hőmérséklet vagy a népesség leírására, és ez a szám meghatározta egy pont helyzetét egy egydimenziós vonal mentén. Lorenz levetkőztetett folyadékáramlásos rendszere háromdimenziós volt, de nem azért, mintha a folyadék három dimenzióban mozgott volna, hanem mert három különböző számra volt szükség ahhoz, hogy a folyadék állapotát bármely pillanatban le tudja írni. A lengés kezdetén nulla a sebesség. Az inga helyzetét negatív szám jellemzi: a középponttól balra mért távolság. A két szám meghatároz egy pontot a kétdimenziós fázistérben. A sebesség maximális értékűvé válik, amint az inga átlendül a nulla kitérés jellemezte helyzeten. A sebesség ismét nullára csökken, majd negatívvá válik, hiszen az inga most bal felé mozog. Az INGA - MÁSFÉLE FELFOGÁSBAN. A fázistér (jobbra) egy-egy pontja megad minden információt a dinamikai rendszer állapotáról a megfelelő pillanatban (balra). Ha egy egyszerű ingáról van szó, mindössze két számot - a sebességet és a helyzetet - kell is mernünk. A pontok egy pályát rajzolnak ki: ez a pálya jeleníti meg előttünk a dinamikai rendszer hosszú távú viselkedését. Ha ez a pálya egy hurok, akkor olyan rendszerrel van dolgunk, amely szabályos időközönként ismétli önmagát. Ha ez az ismétlődő viselkedés stabil - ahogyan például egy ingaóráé -, akkor a rendszer kisebb zavaró hatások elmúltával mindig visszatér a pályájához. A fázistérben az e pálya közelében haladó trajektóriák ráhúzódnak erre a pályára: azaz a pálya egy attraktor.

111 Egy pont is lehet attraktor. Ha olyan ingát veszünk, amelyet súrlódás hátráltat a mozgásban, akkor az összes pálya spirálisan befelé tart egy ponthoz, amely egy állandósult - esetünkben éppen a nyugalmi - állapotnak felel meg. A négy-, öt- vagy több dimenziójú terek még a legbuzgóbb topológus képzeletét is megterhelik. Pedig a bonyolult rendszereknek sok független változójuk van. A matematikusoknak el kellett fogadniuk a tényt, hogy a végtelen sok szabadsági fokú rendszerek - és ezeknek a zabolátlansága mutatkozik meg egy turbulens vízesésben vagy a megjósolhatatlanul működő agyban - megkövetelik a végtelen dimenziós fázisteret. Ez egy százfejű hidra, könyörtelen és ellenőrizhetetlen, ugyanaz, mint a turbulencia Landau-féle képe: végtelen sok módus, végtelen sok szabadsági fok, végtelen számú dimenzió. A fizikus okkal nem kedvelt egy olyan modellt, amely ennyire csekély áttekinthetőséget talál a természetben. A folyadékmozgás nemlineáris egyenleteire támaszkodva, a világ leggyorsabb szuperszámítógépei sem képesek néhány másodpercnél tovább megfelelő pontossággal követni egyetlen köbcentiméternyi folyadék turbulens áramlását sem. Ebben persze bizonyára a természet a ludas, nem Landau, de akárhogy s mint, a Landau-képet nemtetszés fogadta. Tudás híján a fizikus arra gyanakodhat, hogy még felfedezetlen egy fontos elv. A kvantumelmélet nagy mestere, Richard P. Feynman így fejezte ki ezt az érzést: Engem mindig meglehetősen zavart az a tény, hogy a törvények - legalábbis amennyire ma ismerjük őket - úgy írják le a természetet, hogy egy számítógép csak végtelen számú logikai lépésben számíthatja ki a jelenségek lefolyását a tér és az idő egy akármilyen piciny tartományában. Hogy mehet ez végbe egy parányi térrészben? Miért kell végtelen számú logikai művelet annak leírásához, hogy mi történik a tér és az idő egy kicsiny tartományában?" 1 David Ruelle, mint számos más kutató is, akik a káoszt tanulmányozni kezdték, azt gyanította, hogy a turbulens áramlás látható jellegzetességeit - az összekuszálódó áramvonalakat, a spirális örvényeket, a fel- majd eltűnő forgókat - még felfedezetlen törvények magyarázzák. Úgy gondolta, hogy az energiaveszteséggel járó turbulens áramlás a fázistér összehúzódásához kell hogy vezessen, az attraktor felé húzódáshoz. Az attraktor bizonyára nem valamiféle fixpont lesz, hiszen az áramlás sosem juthat nyugalomba. Az energia nemcsak elvész, hanem folyamatosan pótlódik is a rendszerben. Milyen más fajtájú attraktorról lehetne még szó? A dogma szerint csak egyetlen másik fajta merülhetett fel: a periodikus attraktor vagy határciklus - olyan körpálya, amely vonz minden más közeli körpályát. Ha 1 Richard P. Feynman: A fizikai törvények jellege (Magvető, 1983), 91. o.

112 egy inga energiát kap egy rugótól, a súrlódás következtében pedig energiát veszít - azaz ha az ingát hajtjuk is, meg csillapítjuk is -, akkor a stabil pálya a fázistérben az a zárt hurok lehet, amely nagyapáink órájának szabályos ingamozgását jeleníti meg. Mindegy, honnan indul az inga, rááll majd erre az egy pályára. De vajon biztos ez? Bizonyos kezdeti feltételek esetén - kis energiákon - az inga bizony megáll, úgyhogy a rendszernek valójában két attraktora van: az egyik egy zárt hurok, a másik egy fixpont. Mindegyiknek megvan a maga medencéje", ahogyan két közeli folyónak is megvan a saját vízgyűjtő területe. Rövid távon a fázistérben bármely pont szóba jöhet a dinamikai rendszer lehetséges állapotaként, hosszú távon azonban csak az attraktorok. A többi mozgástípus csupán átmeneti. Definíció szerint az attraktoroknak megvan az a fontos jellegzetességük, hogy stabilak: azaz egy tényleges rendszerben, ahol a mozgó részek ki vannak téve a valóságos világ zajától származó lökéseknek és ingadozásoknak, a mozgás visszatér az attraktorhoz. Egy lökés kimozdíthatja a pályát egy rövid időre, de a fellépő átmeneti mozgások hamarosan kihalnak. Hiába lökné meg a macska az ingaórát, az nem tér át hatvankét másodperces percekre. A folyadékturbulencia azonban más jellegű viselkedés: sohasem fordul elő, hogy egyetlen ritmust eredményezzen és a többit kizárja. A turbulencia jól ismert jellegzetessége, hogy a lehetséges ciklusok széles spektruma van benne jelen egyszerre. A turbulencia olyan, mint a fehérzaj. Támadhat-e valami ilyesféle egy egyszerű determinisztikus egyenletrendszerből? Ruelle és Takens azon tűnődött, vajon nincs-e valami másfajta attraktor, amely éppen ilyen tulajdonságokat mutatna. Egyrészt stabil a dinamikai rendszer végállapotát ábrázolná egy zajos világban. Másrészt nem túl nagy dimenziószámú - egy pálya néhány szabadsági fokkal, pl. egy négyzet vagy doboz alkotta fázistérben. Harmadrészt nem periodikus - sosem ismétli önmagát és sosem esik bele a nagypapa órájának állandó ritmusába. Geometriai szempontból a következő volt a feladvány: Miféle pályát kell felrajzolnunk egy határolt térrészben, ha azt akarjuk, hogy az soha se ismételje és keresztezze önmagát - hiszen ha egyszer egy rendszer visszatér egy korábbi állapotába, akkor onnan ugyanazt az utat kell követnie, mint az előző alkalommal. Hogy minden ritmust létrehozzon, a pályának végtelen hosszú vonalnak kell lennie egy véges területen. Más szóval - csakhogy ez a szó akkor még nem volt kitalálva - fraktálnak kell lennie. Ruelle és Takens matematikai meggondolásokra támaszkodva azt állította, hogy ilyen dolognak igenis léteznie kell. Sosem láttak, nem is rajzoltak még ilyet, de elég volt annyi, hogy ilyesmi létezik. Ruelle később Varsóban, előadást tartva a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusán, már nyugodt szívvel jelenthette ki: A tudományos közvélemény elég hűvösen fogadta javaslatunkat. Sok fizikus egyenesen eretnekségnek tekintette azt az elképzelést, hogy kevés számú szabadsági fokhoz is folytonos spektrum rendelhető." 1 De voltak fizikusok - mi tagadás, csak maroknyian -, akik felismerték ennek az 1971-es cikknek a jelentőségét és elkezdték végiggondolni a következményeit. Pedig 1971-re a szakirodalomban már megjelent egy kis vázlatrajz arról az elképzelhetetlen szörnyről, amelyet Ruelle és Takens megpróbált életre kelteni. Edward Lorenz 1963-as írásához 2 csatolt egy ábrát is a determinisztikus káoszról: ennek mindössze két görbe volt a jobb oldalán és öt a bal oldalán. Ennek a hét huroknak a felrajzolása 500 egymást követő számítást követelt meg a számítógéptől. A fázistérben az e pálya mentén - a hurkok körül - mozgó pont ábrázolta a folyadék lassú, kaotikus forgását Lorenz háromegyenletes konvek- 1 Turbulent Dynamical Systems... p Deterministic Nonperiodic Flow... p. 137.

113 ció-modelljében. Mivel a rendszernek három független változója volt, ez az attraktor a háromdimenziós fázistérben helyezkedett el. Bár Lorenz csak egy részét rajzolta meg, többet látott meg benne: egy olyan kettős spirálist, amely két végtelen ügyességgel összefont lepkeszárnyra emlékeztetett. Amikor az emelkedő hőmérséklet egyirányú forgásra kényszerítette a folyadékot, a pálya a jobb szárnyon maradt; amikor a forgó mozgás megállt és megfordult, a pálya átlendült a másik szárnyra. Az attraktor stabil volt, kis dimenziószámú és nem periodikus. Sosem metszhette önmagát, mert ha ezt tette volna, akkor egy már érintett ponthoz visszatérve, periodikus hurokban meg kellett volna ismétlődnie a mozgásnak; ez azonban sohasem történt meg - ez volt a szép az attraktorban. Azok a hurkok és spirálisok végtelenül ravaszak" voltak, sosem értek össze egészen, sosem metszették egymást. Mégis egy véges térrészen belül maradtak, egy doboz belsejében. Hogyan lehetséges ez? Hogyan fekhet végtelenül sok pálya egy véges térrészben? AZ ELSŐ KÜLÖNÖS ATTRA KTOR. Edward Lorenz 1963-ban egyszerű egyenletrendszere attraktorának csak első néhány szálát tudta kiszámítani. De már látta, hogy a két spirális szárny egymásba fonódása rendkívüli szerkezetet sejtet a láthatatlanul kis méretek tartományában. Mielőtt Mandelbrot fraktálképei elárasztották volna a tudományos piacot, nehéz volt elképzelni egy ilyen alakzat megszerkesztésének részleteit; és Lorenz el is ismerte, hogy látszólagos ellentmondás" van abban, ahogyan megkísérli leírni az alakzatot. Nehéz úgy egybeolvasztani a spirálisokat tartalmazó két felületet, hogy a pályáknak nem szabad egybeolvadniuk." 1 - írta. Látott azonban egy lehetőséget, amely túl finom volt ahhoz, hogy megjelenjen abban a néhány számításban, amelyre számítógépe képes volt. Ahol a spirálisok érintkezni látszanak, ott a felületeknek ketté kell oszlaniuk - ismerte fel -, s elkülönülő rétegeket kell alkotniuk, mint a pelyhes cickafark. Látjuk, hogy minden egyes felület valójában egy felületpár; ahol tehát a látszat szerint összeolvadnak, ott ténylegesen négy felület van. Ezt egy másik körön folytatva már azt látjuk, hogy ott igazából nyolc felület van stb., végül tehát arra következtetünk, hogy felületek végtelen bonyolultságával van dol- 1 U.o. p. 140.

114 gunk, amelyek rendkívül közel vannak a két összeolvadó felület valamelyikéhez." Nem volt csoda, hogy a meteorológusok 1963-ban nem foglalkoztak ilyen spekulációkkal, és az sem, hogy Ruelle egy évtizeddel később meglepetést és izgalmat érzett, amikor végre megismerkedett Lorenz munkájával. A következő években egyszer elment meglátogatni Lorenzet, és némileg csalódottan távozott, mert alig beszélgettek közös tudományterületükről. Lorenz jellemző szerénységgel társadalmi eseménnyé változtatta a dolgot: feleségestül elmentek egy képtárba. A Ruelle és Takens által felvetett ötleteket két úton igyekeztek kidolgozni a kutatók. Az egyik az elméleti küzdelem volt a különös attraktorok megjelenítéséért. Tipikusnak tekinthető-e a Lorenz-attraktor? Milyen másfajta alakzatok lehetségesek? A másik kísérleti jellegű volt: igazolni vagy cáfolni azt a - matematikát teljesen nélkülöző - hitet, mely szerint a különös attraktorok alkalmazhatók a természetben előforduló káoszra. Japánban a mechanikai rugók viselkedését utánzó - csak azoknál sokkal gyorsabb - elektromos áramkörök tanulmányozása a különös attraktorok egy rendkívül szép halmazának felfedezéséhez vezette el Yoshisuke Uedát. (O ugyanolyan fogadtatásra talált, csak éppen keleti változatban, mint Ruelle: Eredménye nem több, mint egy majdnem periodikus oszcilláció. Ne alakítsa ki az állandó állapotok önző fogalmát." 1 ) Németországban Otto Rössler, egy nem praktizáló orvos, aki a kémia és az elméleti biológia felől közelítette meg a káoszt, páratlan képességgel filozófiai tárgyaknak kezdte tekinteni a különös attraktorokat, maga mögött hagyva a matematikát. Rössler neve egy sajátos egyszerű attraktorhoz kapcsolódott, egy szalagszerű, egyszer meghajtott formához. Ezt sokat vizsgálták, mert egyszerű volt lerajzolni, de magasabb dimenziós attraktorokat is megjelenített -,,egy kolbász egy kolbászban, az is egy kolbászban, az is egy kolbászban, - mondta -, vedd ki, hajtsd össze, nyomd össze, tedd vissza." S valóban, a tér összehajtogatása és összenyomása volt a különös attraktorok készítésének kulcsa, és talán a valóságos rendszerek dinamikájának kulcsa is, amely létrehívta őket. Rössler érezte, hogy ezek az alakzatok egy önszerveződési elvet testesítenek meg a világban. 2 Elképzelt valami olyasmit, mint egy szélzsák a repülőtéren egy lyukas végű nyitott tömlő, amelybe belekényszerül a szél - mondta. - Azután a szél csapdába esik. Az energia akarata ellenére létrehoz valamit, mint az ördög a középkori történetben. Az elv az, hogy a természet saját akarata ellenére tesz valamit, és az önmagába gabalyodás révén szépséget hoz létre." A különös attraktorok ábráit előállítani nem volt egyszerű dolog. A pályák általában egyre bonyolultabban kanyarognak a három vagy több dimenzióban, és az egész képből egyre inkább sötét firkálmány lesz, amelynek térbeli belső szerkezetéből kívülről nézve semmi sem látszik. Ezeknek a háromdimenziós gombolyagoknak síkbeli ábrákká alakításához a tudósok először a vetítési módszert alkalmazták, amelyben az attraktor rajzát egy adott felületre vetett árnyéka képviseli. Egy bonyolult különös attraktor esetén azonban a vetítés csak kibogozhatatlan zűrzavarrá maszatolja el a részleteket. Sokkal áttekinthetőbb módszer visszatérési térképet vagy Poincaré-térképet készíteni: gyakorlatilag veszünk egy szeletet az attraktor összekuszált közepéből, és kiemeljük ezt a kétdimenziós metszetet, ahogy a patológus kivesz egy szövetmetszetet a mikroszkóp tárgylemezére. A Poincaré-leképezés elvesz egy dimenziót az attraktorból és a folytonos vonalat pontok 1 Ueda az elektromos áramkörök szempontjából tekinti át korai felfedezéseit a következő cikkben: Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing's Equation, International Journal of Non-Linear Mechanics 20 (1985), pp , és egy utóiratban személyes beszámolót is ad indítékairól, valamint kollégáinak hűvös reagálásáról. 2 A Rössler-féle és más attraktorokról, a nyújtásokról és hajtogatásokról közérthető cikket olvashatunk magyarul a Tudomány februári számában, James P. Crutch field, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard és Robert S. Shaw tollából.

115 halmazává változtatja. Az attraktort a Poincaré-térképre leszűkítve a tudós kimondatlanul is felteszi, hogy az így kapott kép sok mindent megőriz a mozgás lényegéből. Elképzeli például, hogy egy különös attraktor zümmög a szeme előtt, pályája fel és le, balra és jobbra halad, és ide- vagy odamenet átmegy a számítógép képernyőjén. Valahányszor a pálya keresztülvág a képernyőn, egy világító pontot hagy maga után, és ezek a pontok vagy egy véletlen foltot rajzolnak ki a képernyőn, vagy elkezdenek valamilyen alakzatot kijelölni rajta. AZ ATTRAKTOR SZERKEZETÉNEK FELTÁRULÁSA. A fenti különös attraktor - először egy körbehaladás, azután tíz, majd száz - egy rotor kaotikus viselkedését ábrázolja, egy teljes kört befutó ingáét, amely szabályos időközönként energiautánpótláshoz jut egymás utáni körbehaladás után (alul), az attraktor áttekinthetetlen fonalköteggé válik. Hogy lássuk a belső szerkezetet, a számítógép egy síkkal átmetszi az attraktort, és ezzel előáll az úgynevezett Poincaré-térkép. Ez a módszer kétdimenziósra szűkíti a háromdimenziós képet. Valahányszor átmetszi a síkot a pálya, egy pontot hagy rajta, és így fokozatosan kialakul egy igen sok részletet felfedő mintázat. Ez az ábra több mint 8000 pontból áll: mindegyik egy-egy teljes körbehaladásnak felel meg az attraktor mentén. Gyakorlatilag az történik, hogy szabályos időközönként mintát veszünk a rendszerből. Egyfajta információt elveszítünk, egy másikat viszont alaposan kiemelünk. Mindez annak felel meg, hogy a rendszer állapotát nem folyamatosan követjük nyomon, hanem időről időre mintát veszünk belőle. Hogy mikor veszünk mintát - azaz hol vesszük a metszetet a különös attraktorból - ez olyan kérdés, amely valamelyes szabadságot ad a ku-

116 tatónak. A legtöbbet mondó szakasz a dinamikai rendszer valamilyen fizikai tulajdonságának felelhet meg: például egy Poincaré-leképzés mintát vehet egy inga sebességéből, amint az újra meg újra átlendül a legalacsonyabb ponton. Vagy választhat a kutató valamilyen szabályos időtartamot, s ezzel egy képzeletbeli stroboszkóp villanásaiba fagyaszthatja be az egymás utáni állapotokat. Akárhogyan is, ezek a képek végül elkezdték feltárni az Edward Lorenz megsejtette finom fraktálszerkezetet. Az egyszerűsége folytán leginkább megvilágosító erejű különös attraktor olyasvalakitől származott, aki nagyon távol állt a turbulencia és a hidrodinamika rejtélyeitől. 1 Michel Hénon csillagász volt a nizzai obszervatóriumban, Franciaország déli tengerpartján. Bizonyos tekintetben persze a csillagászat indította el a dinamikai rendszerek tanulmányozását: a bolygók óraműszerű mozgása állt Newton diadala és Laplace elmélete mögött. Az égi mechanika azonban egy lényeges vonatkozásban eltért a legtöbb földi rendszertől, ugyanis a súrlódásnak kitett rendszerek disszipatívak, azaz veszítenek energiájukból, a csillagászati rendszerek viszont nem: azok konzervatív vagy Hamilton-féle rendszerek. Ténylegesen persze, igen kicsiny léptékben tekintve, még a csillagászati rendszerekben is mutatkozik némi energiaveszteség - a csillagok energiát sugároznak ki és az árapály-súrlódás is elvesz egy kis impulzust a keringő testektől, de gyakorlati szempontból a csillagászati számításokban elhagyható a disszipáció. Disszipáció nélkül pedig a fázistér nem hajtogatódik és húzódik össze úgy, ahogy az a végtelen fraktálrétegződéshez szükséges. Sosem jöhet létre különös attraktor. Lehetséges-e így káosz? Sok csillagász hosszú és sikeres pályát fut be anélkül, hogy egyszer is gondolna a dinamikai rendszerekre, de Hénont más fából faragták. Párizsban született 1931-ben, néhány évvel fiatalabb volt Lorenznél, de hozzá hasonlóan érzett valami beteljesületlen vonzódást a matematika iránt. Hénon szerette a kis, konkrét problémákat, olyanokat, amelyeket fizikai helyzetekhez lehetett illeszteni, de nem azt a fajta matematikát, amit az emberek manapság művelnek" - mondta. Amikor a számítógépek méretei az amatőrök számára megfelelő nagyságúra csökkentek, Hénon vett egyet, egy Heathkit-et, otthon összerakta és játszani kezdett vele. Jóval korábban rágódott már egy különösen zavarbaejtő dinamikai problémán. Ez a gömbhalmazokkal volt kapcsolatos, azaz a csillagokkal - néha milliónyival - telezsúfolt golyókkal, amelyek a legkorosabb és talán a leginkább lélegzetelállító objektumok az éjjeli égbolton. A gömbhalmazokban meglepően sűrűn vannak a csillagok. Együttmaradásuk és időbeli fejlődésük problémája az egész huszadik század folyamán foglalkoztatta a csillagászokat. Dinamikai szempontból a gömbhalmaz egy hatalmas soktest-probléma. A kéttest-probléma könnyű, azt már Newton maradéktalanul megoldotta. A két test - például a Föld és a Hold - egy-egy tökéletes ellipszispályán kering a közös tömegközéppont körül. De vegyünk be kettejük rendszerébe csupán egy további számottevő gravitációjú testet és minden nyomban megváltozik. A háromtest-probléma nehéz, sőt igazából a nehéznél is nehezebb. Ahogyan Poincaré felfedezte, gyakran megoldhatatlan. A pályák numerikusan kiszámíthatók egy darabig, nagy teljesítményű számítógépekkel pedig hosszan követhetők, 1 Hénon felfedezését a következő cikkekben jelentette be: A Two-Dimensional Mapping with a Strange Attractor, Communications in Mathematical Physics 50 (1976), pp , és Michel Hénon and Yves Pomeau: Two Strange Attractors with a Simple Structure, in: Turbulence and the Navier-Stokes Equations, ed. R. Teman (Springer Verlag, New York, 1977). Az Hénon- Heiles-modellről magyarul is olvashatunk A káosz c. könyvben és a Nemlineáris jelenségek: Struktúrák kialakulása és káosz c. kiadvány II. kötetében.

117 mindaddig, míg a bizonytalanságok el nem kezdenek felülkerekedni. Az egyenletek azonban analitikus módszerekkel nem oldhatók meg, s ez azzal jár, hogy a háromtest-rendszerrel kapcsolatos hosszú távú kérdéseket nem lehet megválaszolni. Stabil-e a Naprendszer? Rövid távon bizonyosan annak tűnik, de még ma sem tudja senki biztosan, hogy egyes bolygók pályája nem válhat-e egyre elnyúltabbá, s e bolygók nem távoznak-e el mindörökre a Naprendszerből. A gömbhalmazhoz hasonló rendszerek jóval bonyolultabbak, semhogy közvetlenül soktest-problémaként foghatnánk fel őket, de bizonyos kompromisszumok árán tanulmányozhatóvá válik a dinamikájuk. Ésszerű például feltenni, hogy az egyes csillagok egy sajátos tömegközépponttal bíró átlagos gravitációs térben végzik mozgásukat. Időről időre mindazonáltal megtörténik, hogy két csillag elég közel kerül egymáshoz, s ez esetben már külön tárgyalandó a közöttük működő kölcsönhatás. És a csillagászok felismerték, hogy a gömbhalmazok általában nem lehetnek stabilak. Kettőscsillag-rendszerek alakulhatnak ki bennük - csillagok párban, egymáshoz közeli pályán -, s amikor ezzel a kettőssel összetalálkozik egy harmadik csillag, az egyikük könnyen kaphat egy erős lökést. Elő-előfordul, hogy egy csillag kellően nagy energiát nyer egy ilyen lökéstől, eléri a szökési sebességet és örökre elhagyja a halmazt; a halmaz ilyenkor egy kicsit összébb húzódik. Amikor 1960-ban Párizsban Hénon megcélozta ezt a problémát doktori disszertációjában, egy meglehetősen önkényes feltevésre építette fel gondolatmenetét: arra, hogy amikor a halmaz összébb húzódik, továbbra is hasonló marad magához. A számításokat végigvíve, megdöbbentő eredményre jutott: a halmaz magja mozgási energiát nyerve, egy végtelenül sűrű állapot felé törekszik és összeomlik. Ezt nehéz volt elképzelni, és az addig megfigyelt halmazok sem mutattak semmi ilyesfélét. De lassacskán mégis elfogadták, s később már gravotermális összeomlás" néven emlegették Hénon elméletét. Ezáltal megerősítve Hénon belefogott egy sokkal könnyebb csillagdinamikai problémába, igyekezvén régi problémákon kipróbálni a matematikát és folytatni a váratlan eredmények sorát. Ez idő tájt, 1962-ben, a Princetoni Egyetemre látogatva jutott először számítógéphez, éppen akkor, amikor Lorenz a Massachusettsi Műegyetemen elkezdett számítógépet alkalmazni a meteorológiában. Hénon a galaktikus központjuk körül keringő csillagok pályáját modellezte. A galaktikus pályákat elfogadhatóan egyszerű alakban úgy lehetett tárgyalni, mint a bolygópályákat a Nap körül, azzal a kivétellel, hogy a központi gravitációs forrás ezúttal nem egy pont, hanem egy mindhárom dimenzióban kiterjedő korong. Kompromisszumra jutott a differenciálegyenletekkel. Hogy több szabadságunk legyen a kísérletezésben - írta -, egy időre felejtsük el a probléma csillagászati eredetét." 1 Bár abban az időben nem így mondta, ez a szabadság a kísérletezésben' azt is jelentette, hogy szabadon kísérletezhetett ezzel a problémával a maga kezdetleges számítógépén. Gépe lassú volt, és a memóriája is nagyon kicsi: talán ezredakkora, mint egy huszonöt évvel későbbi személyi számítógép egyetlen chipje. De ő is azt találta, amit a káosz jelenségével később kísérletezők, hogy a túlságos egyszerűsítés kifizetődő volt. Rendszerének csak a lényegére összpontosítva olyan felfedezéseket tett, amelyeket más - fontosabb - rendszerekre is alkalmazni lehetett. Évekkel később is folyt az elméleti játék a galaktikus pályákkal, de - erőfeszítést és költséget nem kímélve - már olyanok vizsgálták ezen rendszerek dinamikáját, akiket a részecskék pályája érdekelt a nagy energiájú gyorsítókban vagy akik a mágneses plazmákat igyekeztek bezárni a magfúzió megvalósítása céljából. 1 Michel Hénon and Carl Heiles: The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments. Astronomical Journal 69 (1964), p. 73. Az égitestek kaotikus mozgásáról magyarula káosz c. könyvben és amagyar Tudomány 1993/4es számában olvashatunk.

118 A galaxisokban a csillagpályák millió éves időtartományban - háromdimenziós jellegűek, nem tökéletes ellipszisek. A háromdimenziós valódi pályákat éppoly nehéz megjeleníteni, mint ha képzeletbeli alkotások lennének a fázistérben. Hénon ezért a Poincaré-leképezéshez hasonló módszerhez folyamodott. Elképzelt egy függőleges" elhelyezkedésű síklapot a galaxis egyik oldalán, olyat, amelyen minden pálya áthalad, mint a lovak a versenypálya célvonalán. Ezután megjelölte a pálya és a metsző sík találkozási pontjait és figyelte, hová esik a pálya és a sík következő találkozási pontja. Hénonnak ezeket a pontokat még kézzel kellett felrajzolnia, de később az a számos tudós, aki ezt a módszert használta, már a számítógép képernyőjén figyelhette megjelenésüket; úgy tűntek fel az ernyőn, ahogyan alkonyatkor egymás után felgyulladnak a távolban az utcai lámpák. A pálya mondjuk a lap bal alsó részére eső ponttal kezdődött; a következő találkozási pont már ettől jobbra esett néhány centiméterrel. Az ezutáni még ettől is jobbra volt, s már egy kicsit feljebb, s így tovább. Először nem látszik, kikerekedik-e ebből valami, de tíz vagy húsz pont kirajzolódása után egy tojásdad görbét vélünk felismerni a képernyőn. Az egymást követő pontok valójában csak kerülgetik a görbét, de mert nem pontosan ugyanarra a helyre érnek vissza, végül - pontok százai és ezrei után - mégis pontosan kirajzolják az alakját. Ezek a pályák nem teljesen szabályosak, mert sosem ismétlik pontosan önmagukat, de biztosan megjósolhatók, és egyáltalán nem kaotikusak. Sosem jut pont a görbe belsejébe vagy azon kívülre. A teljes háromdimenziós képre visszafordítva, a pályák egy tóruszt, egy középen lyukas, fánkszerű alakzatot vázoltak fel; az Hénon-leképezés ennek a tórusznak a keresztmetszete volt. Hénon mind ez idáig csupán azt ábrázolta, amit minden elődje is magától értetődőnek tekintett. A pályák periodikusak voltak. A koppenhágai obszervatóriumban ilyen pályák százait figyelte és számította ki fáradságot nem kímélve egy egész csillagászgeneráció, de csak azok a pályák érdekelték őket, amelyek periodikusnak bizonyultak. Én is, mint mindenki abban az időben, meg voltam győződve arról, hogy minden pályának ilyen szabályosnak kell lennie." - mondta Hénon. Ő és princetoni doktorandusza, Carl Heiles azonban folytatta a különböző pályák kiszámítását, s eközben állandóan növelték absztrakt rendszerük energiáját. Ám hamarosan valami teljesen újat láttak. A tojás alakú görbe előbb valami bonyolultabbá csavarodott, nyolcas alakban keresztezte önmagát, és különálló hurkokra hasadt. De minden pálya továbbra is e hurkok valamelyikére esett. Azután még magasabb energián váratlanul egy másik változás következett be. S itt jön a meglepetés" 1 - írta Hénon és Heiles. Néhány pálya annyira instabillá vált, hogy a pontok véletlenszerűen szétszóródtak az egész lapon. Egyes helyeken még lehetett görbéket rajzolni; máshol semmilyen görbe sem illett a pontokra. A kép eléggé döbbenetessé vált: a szemmel láthatóan tökéletes rendezetlenség keveredett a rend kivehető maradványaival, s olyan alakzatokat alkotott, amelyek szigetek" és szigetláncok" képét idézték fel a csillagászokban. Kipróbálták ugyanezt két különböző számítógépen és két különböző integrálási módszerrel, de az eredmény mit sem változott. Kísérletezhettek és töprenghettek tovább. Csupán numerikus kísérleteikre támaszkodva, megfogalmaztak egy feltevést az ilyen ábrák finomszerkezetéről. Erősebb nagyításban feltehetőleg több sziget jelenik meg - mondták -, egyre kisebb méretekben, talán egészen a végtelenségig. Matematikai bizonyításra lett volna szükség, de a probléma matematikai megközelítése nem látszott könnyűnek." 2 Hénon más problémákra tért át, de tizennégy évvel később, amikor végre tudomást szerzett David Ruelle és Edward Lorenz különös attraktorairól, már fel volt készülve a folyta- 1 U.o. p U.o. p. 79.

119 tásra ra már a nizzai obszervatóriumban dolgozott, a Földközi-tenger fölé magasodó Grande Corniche-on, és itt hallotta egy odalátogató fizikus előadását a Lorenz-attraktorról. A fizikus többféle módszert próbált ki az attraktor mikroszerkezetének" megvilágítására, de nem sok sikerrel járt. Hénon, bár a disszipatív rendszerek nem az ő területe volt ( a csillagászok néha félnek a disszipatív rendszerektől: azok olyan rendetlenek"), úgy érezte, van egy ötlete. PÁLYÁ K A GA LAKTIKUS KÖZÉPPONT KÖ- RÜL. A csillagok galaxisbeli pályájának megértéséhez Michel Hénon kiszámította egy pálya és egy sík metszéspontjait. Az eredményül kapott mintázatok függtek a rendszer teljes energiájától. A stabil pályától származó pontok fokról fokra egy folytonos, összefüggő görbét (balra) rajzoltak ki. Más energiaértékeken viszont a stabilitás és a káosz keverékét adták; a káoszt a szétszórt pontok tartománya jeleníti meg. Michel Hénon Megint csak úgy döntött, hogy figyelmen kívül hagyja a rendszer fizikai vonatkozásait, és csak a feltárni kívánt geometriai lényeget veszi tekintetbe. Ahol Lorenz és a többiek elakadtak a differenciálegyenleteknél - áramlás folytonos térbeli és időbeli változásokkal -,

120 ott ő az időben nem folytonos differenciaegyenletekhez fordult. Meggyőződése szerint a kulcs a fázistér ismételt megnyújtásában és összehajtásában rejlik, abban a módban, ahogy a cukrász kinyújtja a tésztát, azután összehajtja, megint kinyújtja, megint összehajtja, s ezzel létrehoz egy struktúrát: egy vékony rétegekből álló köteget. Hénon felrajzolt egy lapos oválist egy darab papírra. A megnyújtásához kiszemelt egy rövid numerikus függvényt, amely az ovális bármely pontját átviszi egy bizonyos alakzat - egy a közepén felfelé megnyújtott ív - valamely pontjába. Ez egy pontot pontba vivő leképezés volt, így az egész ovális leképeződött" az ívre. Ezután választott egy második leképezést, ezúttal egy összehúzást, amely befelé zsugorította és keskenyebbé tette az ívet. Azután egy harmadik leképezéssel oldalára fordította ezt a keskeny ívet, úgy, hogy az szépen beállt az eredeti ovális irányába. A három leképezést a számítások céljaira egyetlen függvénnyé lehetett összekapcsolni. Az eljárás lényegét tekintve Smale lópatkó-ötletének folytatása volt. Numerikusan az egész folyamat annyira egyszerű, hogy könnyen követhető egy számológépen. Bármely pontnak van egy x és egy y koordinátája: ezek jellemzik vízszintes és függőleges helyzetét. Az új x-et a következő szabály szerint számítjuk ki: vegyük a régi y-t, adjunk hozzá 1-et és vonjuk le belőle a régi x négyzetének 1,4-szeresét. Az új y-t pedig úgy, hogy a régi x-et megszorozzuk 0,3-del. Tehát: xúj = y + 1-1,4x 2 és yúj = 0,3x. Hénon többé-kevésbé találomra kiválasztott egy kezdőpontot, vette a számológépét és elkezdett új pontokat rajzolni, több ezret egymás után. Azután igazi számítógépet használt, egy IBM 7040-et, és hamarjában felrajzolt ötmillió pontot. Bárki könnyen utána csinálhatja egy személyi számítógép és egy grafikus képernyő segítségével. A pontok először véletlenszerűen ugrálnak az egész képernyőn. Ez nem más, mint a képernyőn át véletlenszerűen oda- s visszakanyargó háromdimenziós attraktor Poincarémetszete. Hamarosan kezd kirajzolódni egy alakzat: egy banánszerű körvonal. Minél tovább fut a program, annál több részlet jelenik meg. A körvonalak egyes helyeken vastagnak tűnnek, de azután a vastag rész két különálló vonallá bomlik fel, azután a kettő néggyé, amelyek közül az egyik pár közel van egymáshoz, a másik távolabb. Erősebb nagyításban a négy vonalról kiderül, hogy mindegyik két további vonalból áll, s így tovább, a végtelenségig. Akárcsak a Lorenz-féle attraktort, Hénon attraktorát is végtelen visszatérés, végtelen leszállás jellemzi, mint az egymásba tett matrjoskababák végtelen sorozatát. A végül kialakuló egymásba ágyazott részletek - a vonalak a vonalakban - egy egyre erősebb nagyítású képsorozatból következtethetők ki. De a különös attraktor különössége aközben is érzékelhető, hogy az alakzat pontjai sorra, egymás után megjelennek a képernyőn. Az attraktor úgy rajzolódik ki belőlük, mint szellem a ködben. Az új pontok véletlenszerűen szóródnak a képernyőn, így hihetetlennek tűnik, hogy valamiféle struktúrát jelenítenének meg, kivált egy ennyire bonyolult és finom szerkezetet. Az egymást követő pontok tetszőleges távolságban lehetnek egymástól, éppúgy, ahogyan a kezdetben közeli pontok is eltávolodhatnak egymástól a turbulens áramlásban. Akár sok pontunk van már, akár csak kevés, lehetetlen kitalálni, hol tűnik majd fel a következő pont - csak annyit tudhatunk biztosan, hogy az attraktoron. A pontok annyira véletlenszerűen vándorolnak, a mintázat annyira légies módon jelenik meg, hogy nehéz elhinni: ez az alakzat egy attraktor. S az attraktor nem csupán a dinamikai rendszer egyik pályája - ez az a pálya, amelyhez az összes többi pálya tart. Ezért nem számít a kezdeti feltételek kiválasztása. Ha a kiindulási pont valahol az attraktor közelében fekszik, akkor az első pontok gyorsan közelednek az attraktorhoz.

121 Az HÉNON-ATTRAKTOR. Az összehajtás és nyújtás egyszerű összekapcsolása olyan attraktort eredményezett, amelyet könnyű kiszámolni, mégis nehezen értik a matematikusok. Ahogyan a pontok ezrei, majd milliói megjelennek, egyre több részlet tűnik elő. Ami egyetlen vonalnak látszik, az a nagyításban vonalpárnak, majd vonalnégyesnek bizonyul. De hogy az egymást követő pontok egymás közelében vagy egymástól távol bukkannak-e fel, az megjósolhatatlan. Évekkel korábban, 1974-ben, amikor David Ruelle megérkezett Gollub és Swinney City College-beli laboratóriumába, a három fizikus létrehozott valami gyenge kapcsolatot az elmélet és a kísérlet között. Egy kis gondolatilag merész, de gyengén megalapozott matematika - hengerek közé zárt turbulens folyadék -, semmi különös, csak nyilvánvalóan nincsen összhangban a régi elmélettel. A férfiak beszélgetéssel töltötték a délutánt, majd Swinney és Gollub szabadságra utazott a feleségével az Adirondack-hegységbe, Gollub víkendházába. Nem láttak különös attraktort és nem végeztek sok kísérletet a tekintetben, hogy mi történhet valójában a turbulencia fellépésekor. De tudták, hogy Landau tévedett, és feltették, hogy Ruelle-nek igaza van. A különös attraktor puszta lehetőségként indult, mint a számítógép feltárta világ egyik eleme, s egy olyan helyet jelképezett, ahol sok nagyszerű elképzelés bukott meg a huszadik században. De amikor a kutatók felismerték, hogy mit kell a számítógépnek mutatnia, a

122 különös attraktor egyszerre olyan arcnak tűnt fel, amely mindenütt elébük kerül, a turbulens áramlásoktól kezdve az égen fátyolként szétszórt felhőkig. A természetet kényszer korlátozta. A rendezetlenség, úgy tűnt, néhány közös alapelv révén mintázatokba szorult. Később a különös attraktorok megismerése továbbvitte a káosz forradalmát: világos programot nyújtott ugyanis a numerikus" felfedezőknek. Ezek a felfedezők mindenütt különös attraktorokat kerestek, ahol a természet véletlenszerűen látszott viselkedni. Sokan a földi időjárás működésében is egy különös attraktort sejtettek. Mások milliószámra gyűjtötték a tőzsdei adatokat és azokban kezdtek különös attraktort keresni, a számítógép állítható optikáján át meredve a véletlenszerűségekre. Az 1970-es évek közepén azonban mindezek még felfedezésre vártak. Senki sem látott még különös attraktort a kísérletekben, és egyáltalán nem volt világos, hogyan lehetne ilyet keresni. Elméletben a különös attraktor megadhatta a káosz alapvető új tulajdonságainak matematikai lényegét. Az egyik az érzékenység volt a kezdőfeltételek iránt, a másik a keverés' - abban az értelemben, ahogyan a sugárhajtású motorok tervezőjének fontos az üzemanyag és az oxigén hatékony keveredése. Senki sem tudta azonban, hogyan kell mérni ezeket a tulajdonságokat, hogyan kell számokat rendelni hozzájuk. A különös attraktorok fraktálnak tűntek - eszerint tehát törtszám a dimenziójuk -, de akkor még senki sem tudta, hogyan mérje a dimenziót vagy hogyan végzendők ilyesféle mérések műszaki problémákban. S a legfontosabb: senki sem tudta, vajon mondhatnak-e valamit a különös attraktorok a nemlineáris rendszerek legmélyebb problémájáról. A nemlineáris rendszerek - a könnyen kiszámítható és osztályozható lineáris rendszerektől eltérően - lényegileg változatlanul osztályozhatatlannak tűntek, mindegyik különbözött az összes többitől. A tudósok hiába kezdték már gyanítani, hogy vannak közös tulajdonságaik: amikor mérésekre és számításokra került a sor, mindegyik nemlineáris rendszer külön világnak tetszett. Úgy látszott, hogy ennek vagy annak a rendszernek a megértése semmit sem segít a következő megértésében. Az attraktorok - például a Lorenz-féle attraktor - olyan rendszerek stabilitását és rejtett szerkezetét fedték fel, amelyekben különben nem látszott semmi jellegzetesség; de hogyan segíthetné ez a különös kettős spirál a kutatókat a nem rokon rendszerek feltárásában? Senki sem tudta. Mára az izgatottság behatolt az egzakt tudományba is. A tudósok ezeknek az alakzatoknak a láttán időlegesen túltették magukat a tudományos értekezések szabályain. Ahogyan Ruelle írja: Nem beszéltem a különös attraktorok esztétikai vonzerejéről. Ez a görberendszer, ezek a pontokból álló felhők hol tűzijátékra vagy galaxisokra emlékeztetnek, hol különös, nyugtalanító növényi osztódásokra. A formák egész birodalma vár felkutatásra, a harmóniák sora vár felfedezésre." 1 1 Strange Attractors... p. 137.

123 Univerzalitás E sort olvasva arany lesz jutalmad, Ha meg e kört a földre rajzolod, Villámlás, dörgés, forgószel, vihar lesz. MARLOWE Dr. Faustus tragikus története (Franklin, p )

124 A simán folydogáló áramlás néhány tucat méterrel a vízesés előtt mintha megérezné' a közelgő lezúdulást. A víz gyorsulni kezd és felborzolódik. Különváló patakok rajzolódnak ki rajta, mint kidudorodó, lüktető erek az ember kezén. Mitchell Feigenbaum áll az áramlás mentén. Kicsit megizzadt a dzsekiben és a kordnadrágban, s most rágyújt egy cigarettára. Barátaival jött, de azok előrementek, felfelé, a csendesebb vizekhez. Hirtelen, mintha egy teniszszurkoló őrült gyorsított paródiája lenne, elkezdi jobbra-balra forgatni a fejét. Az ember összpontosíthat valamire, egy kis tajtékra vagy ilyesmire. Ha elég gyorsan mozgatja a fejét, hirtelen érzékelheti a felszín egész szerkezetét, és érezheti még a gyomrában is." Megszívja a cigarettáját. De ha valaki megfelelő matematikai háttér birtokában nézi ezt az egészet, vagy a felhőgomolyagokat, vagy egy tengerparti védőgáton áll a viharban, az ráébredhet, hogy valójában nem tud semmit." 1 Rend a káoszban. Ez volt a tudomány legrégibb közhelye. A természet rejtett egységének és közös alapformájának gondolata eredendően igen vonzó volt, és sajnálatosan hosszú időn át tartotta fogva az áltudósokat és a hóbortos elméket. Amikor Feigenbaum 1974-ben - egy évvel harmincadik születésnapja előtt - a Los Alamosi Nemzeti Laboratóriumba érkezett, tudta, hogy ha a fizikusok ezzel a gondolattal végre kezdeni akarnának valamit, akkor gyakorlati eszközökre lenne szükségük, módszerre, amellyel számítássá alakíthatók a gondolatok. A legkevésbé sem volt nyilvánvaló, hogyan kellene ehhez hozzálátni. Feigenbaumot Peter Carruthers alkalmazta, egy csendes, megtévesztően barátságos fizikus, aki 1973-ban jött a Cornellről, hogy átvegye az Elméleti Osztályt. Első tette az volt, hogy elbocsátott egy féltucat idősebb tudóst - Los Alamos nem szolgál az egyetemeken megszokott végleges kinevezéssel - és a helyükre felvett néhány, saját maga által kiválasztott, ragyogó fiatal kutatót. Nagyratörő tudományos menedzser volt, ám tapasztalatból tudta, hogy a jó tudomány nem mindig tervezhető. Ha az ember összehívott egy bizottságot a laboratóriumban vagy Washingtonban és azt mondta, hogy»a turbulencia tényleg az utunkban áll: meg kell értenünk, különben számos területen csökkennek az esélyeink az előrehaladásra«, akkor nyilvánvalóan alkalmaznia kellett volna egy kutatócsoportot, szereznie egy óriási számítógépet, és terjedelmes programokat futtatnia rajta. És a végén nem sült volna ki belőle semmi. Ehelyett itt van nekünk ez az okos, csendesen üldögélő fickó; kétségtelen, beszélget az emberekkel, de legtöbbször egymagában dolgozik." Beszélgettek egymással a turbulenciáról, de ahogyan telt-múlt az 1 Feigenbaum döntő fontosságú tanulmányai az univerzalitásról a következők: Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations," Journal of Statistical Physics 19 (1978), pp. 2552, és The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations," Journal of Statistical Physics 21 (1979), pp ; valamivel érthetőbb is mertetés, ami még mindig megkíván némi matematikát, a következő áttekintő cikke:,universal Behavior in Nonlinear Systems," Los Alamos Science 1 (Summer 1981), pp Felhasználtam kiadatlan visszaemlékezéseit is, amelynek címe: The Discovery of Universality in Period Doubling." - Magyar ismertetéseket olvashatunk a fejezet témáiról Gnádig-Györgyi-Szépfalusy-Tél cikkében A káosz c. tanulmánygyűjteményben, Szépfalusy Péter akadémiai székfoglalójában és a Nemlineáris jelenségek: Struktúrák kialakulása és káosz c. kiadvány II. kötetében.

125 idő, már Carruthers sem volt biztos benne, merre is halad Feigenbaum. Azt gondoltam, abba kell hagynia és egy másik probléma után kell néznie. Nem tudtam, hogy ez a másik probléma ugyanaz a probléma. Úgy tűnik, ezzel a témával - a rendszerek nemlineáris viselkedésével - a tudomány sok különböző ága foglalkozott. Senki sem gondolta volna, hogy e problémában a részecskefizikai és a kvantumtérelméleti tudás a megfelelő elméleti háttér, meg az a felismerés, hogy a kvantumtérelméletben renormalizációs (újranormálási) csoport néven már ismeretesek ezek a struktúrák. Senki sem tudta, hogy a sztochasztikus folyamatok általános elméletének és egyúttal a fraktálstruktúráknak a megértésére lenne szükség. Mitchellnek megvolt a szükséges háttere. Az tette, amit kellett, pontosan akkor, amikor kellett; és nagyon jól csinálta. Semmi részeredmény: tisztázta az egész problémát." Feigenbaumnak Los Alamosba érkezésekor már meggyőződése volt, hogy tudománya nem érti a nehéz problémákat: jelesül a nemlineáris problémákat. Jóllehet fizikusként szinte semmit sem hozott létre, nem mindennapi szellemi tőkét halmozott fel. Jól hasznosítható ismeretei voltak a matematikai analízis legizgalmasabb területén és az új típusú számítástechnikában, amely szinte áthatolhatatlan akadály volt a legtöbb tudós előtt. Sikerült megóvnia magában néhány látszólag tudománytalan gondolatot a tizennyolcadik századi romantikából. Valóban új tudományt akart létrehozni. Azzal kezdte tehát, hogy félretett minden olyan gondolatot, amely a valóságos komplexitást vette célba, és inkább a legegyszerűbb nemlineáris egyenletek felé fordult, amit csak találni tudott. A világegyetem titkozatossága a Silvertone rádió képében mutatkozott meg először az alig négyéves Mitchell Feigenbaum előtt, amint - nem sokkal a háború után - szüleinek nappalijában ült a brooklyni Flatbush negyedben. Beleszédült a gondolatba, hogy a zene bármi megfogható hordozó nélkül jut el a készülékig. A lemezjátszót viszont már érteni vélte, s nagymamája külön engedélyével egyedül is feltehette a 78-asokat. Apja vegyész volt a New Yorki Kikötői Hatóságnál, majd később a Clairolnál. Anyja a városi iskolákban tanított. Mitchell előbb villamosmérnök akart lenni, mert Brooklynban az biztos megélhetésnek számított, de utóbb rájött, hogy amit a rádióról tudni akart, azt inkább a fizikában találhatja meg. Ahhoz a tudósnemzedékhez tartozott, amely New York külső kerületeiben felcseperedve, a nagy városi középiskolákban - Feigenbaum esetében a Samuel J. Tildenben -, majd a City College-ban indult el ragyogó pályáján. Brooklynban eszesnek felnőni annyit tett, mint keskeny ösvényen haladni az értelem világa és a többi ember világa közti senki földjén. Feigenbaum nagyon fiatal korában tíz körömmel ragaszkodott a társasághoz: úgy érezte, másképp aligha úszhatja meg, hogy elverjék. De valami megváltozott benne, amikor rájött, hogy képes egyet s mást megtanulni. Egyre inkább elszakadt barátaitól; nem érdekelték a mindennapi beszélgetések. A City College-ban töltött utolsó évben időnként úgy érezte, eltékozolta az ifjúságát, és tervszerűen igyekezett újra kapcsolatba kerülni az emberiséggel. Kávéházban ücsörgött, s szótlanul hallgatta, hogyan társalognak a diákok egymás között a borotválkozásról vagy az ételekről, és lassacskán sok mindent újra megtanult az emberekkel való beszélgetés tudományából ben diplomát kapott és tanulmányait a Massachusettsi Műegyetemen folytatta: itt 1970-ben részecskefizikából doktorált. Ezután eltöltött négy terméketlen évet a Cornellen és a Virginiai Műegyetemen - terméketlent a tekintetben, hogy fiatal egyetemi tudósként megoldható problémákról kellett volna sűrű egymásutánban publikációkat megjelentetnie: az egyetemi doktoroktól tanulmányáradatot vártak. Egyszeregyszer egy tanácsadó megkérdezte Feigenbaumot, hogyan is áll ezzel vagy azzal a problémával; ő mindig azt válaszolta:

126 Ó, megértettem." A Los Alamosba újonnan érkezett Carruthers, az okkal félelmetes hírű tudós, büszke volt rá, hogy nyomban felismeri a tehetséget. Nem az intelligencia érdekelte őt, hanem egyfajta, szinte titkos belső működésből fakadó alkotókészség. Mindig Kenneth Wilsont látta maga előtt, egy másik barátságos fizikust a Cornellről, aki látszólag az égvilágon semmit sem produkált. Aki azonban hosszasabban beszélgetett vele, az láthatta, hogy rendkívüli tehetsége van a fizikai kutatásokhoz. Így hát Wilson véglegesítése körül nem kis viták dúltak. Végül azok a fizikusok kerekedtek felül, akik bizonyosságot akartak szerezni Wilson érzékelhető, mégis bizonyítatlan képességei felől - és ebből nagy meglepetésre valóságos gátszakadás lett. Nem egyetlen tanulmány, hanem tanulmányok özöne került ki Wilson asztalfiókjából, köztük az a munka, amelyért 1982-ben a Nobel-díjat kapta. Wilson e kiemelkedő fizikai műve - két másik fizikus: Leo Kadanoff és Michael Fisher munkájával együtt - lényeges előzménye volt a káoszelméletnek. E három kutató - egymástól függetlenül, ki-ki a maga útját követve - azt feszegette, vajon mi történik a fázisátalakulásokban. Az átalakulási pontok közelében tanulmányozták az anyag viselkedését: ott, ahol az anyag egyik állapotából a másikba - folyadékból gázba vagy mágnesezetlenből mágnesezettbe - lép át. A fázisátalakulások - a létezés két birodalma közötti szinguláris határként - matematikai tekintetben erősen nemlineáris tulajdonságukkal tűntek ki. A fázisokon belül tapasztalható sima és előre látható viselkedés nem sokat segít az átmenetek megértésében. A tűzhelyen egy kanna víz szabályosan melegszik fel egészen a forráspontig. Ott azonban megáll a hőmérsékletváltozás és valami nagyon érdekes történik a folyadék és gáz közötti molekuláris határfelületen. Kadanoff intellektuális rejtvénynek fogta fel a fázisátalakulásokat az 1960-as években. Gondoljunk mondjuk egy mágnesezett fémtömbre. A rendezett állapot felé haladva döntésre kell jutnia: mint mágnesnek vagy erre, vagy arra kell mutatnia. A választás szabad, de a fém minden egyes piciny darabjának ugyanazt kell választania. Vajon hogyan csinálja ezt? A választás folyamatában a fém atomjainak valamiképpen információt kell közölniük egymással. Kadanoff arra a belátásra jutott, hogy ezt a kommunikációt legegyszerűbben skálázással lehetne leírni. Közelebbről: úgy gondolta, hogy a fém dobozokra van felosztva, s ezek a dobozok a közvetlen szomszédaikkal kommunikálnak. Ez a kommunikáció ugyanúgy írható le, mint az atomok - a közvetlenül szomszédos atomok - közötti kommunikáció. Ezért alkalmazható a skálázás: a fémet legokosabb fraktálszerű modellként elképzelni, amelyben mindenféle méretű doboznak helye van. E skálázásra támaszkodó gondolat használhatóságának megalapozásához nem kevés matematikai analízisre és valóságos rendszerekkel kapcsolatos tapasztalatra volt szükség. Kadanoff úgy érezte, hogy nehéz vállalkozásba fogott, s egy rendkívül szép, az öntartalmazásra épülő világot alkotott. Ez a szépség részben az univerzalitásból fakadt. Kadanoff gondolata vált a gerincévé a kritikus jelenségek legmegdöbbentőbb tényének, annak ugyanis, hogy ezek a látszólag független átmenetek - a folyadékok forrása, a fémek mágnesezése - valamennyien ugyanazokat a szabályokat követik. Wilson azután mindezt belegyúrta a renormalizációs csoport elméletébe, s ezzel hatékony eszközt adott a valóságos rendszerekre vonatkozó számításokhoz. A renormalizáció az 1940-es években bukkant fel a fizikában: ez a konstrukció tette lehetővé a kvantummechanikában az elektronok és fotonok kölcsönhatásának kiszámítását. Ezekkel a számításokkal - akárcsak a Kadanoffot és Wilsont foglalkoztató számításokban - az volt a baj, hogy bizonyos pontokon végtelen mennyiségeket kellett kezelni, ami zűrzavaros és kellemetlen dolog. A rendszer renormalizálása révén - ahogyan azt Richard Feynman, Julian Schwinger, Freeman Dyson és más fizikusok kidolgozták - mindezt el lehetett kerülni.

127 Csak jóval később, az 1960-as években sikerült azonban leásni - Wilson jóvoltából - a renormalizáció sikerének alapjaiig. Kadanoffhoz hasonlóan Wilson is a skálázási elveken gondolkodott. A fizikában bizonyos mennyiségeket, például a részecskék tömegét, hagyományosan rögzítettnek vettek - minthogy a mindennapi tapasztalat szerint a tárgyak tömege állandó. A renormalizáció azért volt sikeres, mert a tömeget és a hozzá hasonló mennyiségeket nem tekintette egyszer s mindenkorra rögzített értékűnek. Ezek a mennyiségek nőttek vagy csökkentek, aszerint, hogy milyen mérettartományról volt éppen szó. Ez persze tökéletes képtelenségnek látszott, ámde pontosan megfelelt annak, amit Benoit Mandelbrot felismert a geometriai alakzatokkal és Anglia tengerpartjával kapcsolatban. Ezeknek az alakzatoknak a hosszát sem lehetett skálától függetlenül mérni. Egyfajta viszonylagosság - a megfigyelő helyzete: hogy közel van-e vagy távol, a tengerparton ül-e vagy egy űrhajón - befolyásolta a mérést. Mint azt Mandelbrot is látta, a mérettartományról mérettartományra megfigyelhető változás nem tetszőleges volt, hanem bizonyos szabályszerűségről tanúskodott. Az addig állandónak tartott mennyiségek (a tömeg vagy a hosszúság) helyébe más mennyiségek léptek: a fraktálok körében például a fraktáldimenzió - egy kiszámítható állandó, amely eszközként szolgált további számításokhoz. Az a tény, hogy a tömeg megszűnt állandónak lenni, s mérettartományonként más-más értéket vehetett fel, azt jelentette, hogy a matematikusok felismerték a mérettartományok hasonlóságát. Ilyenformán Wilson renormalizációs csoportról alkotott elmélete más utat nyitott a fáradságos számításokban a végtelen sűrűség problémájának kezeléséhez. Addig csupán egyféle módszer volt ismeretes a lineáristól erősen eltérő esetek kezelésére: az úgynevezett perturbációs elmélet. Ebben az elméletben felteszik, hogy a megoldandó nemlineáris probléma viszonylag kevéssé tér el egy megoldható lineáris problémától - éppen csak annyira, hogy a különbséget akár zavarként (perturbációként) is fel lehessen fogni. Ezek után megoldják ezt a bizonyos közel eső lineáris problémát, s a fennmaradó részt bonyolult eljárásnak vetik alá: úgynevezett Feynman-diagramok formájában sorba fejtik. Minél nagyobb pontosság szükséges, annál több ilyen - keservesen meghatározható - diagramot kell tekintetbe venni. Ezek a számítások némi szerencsével tartanak is valamilyen megoldáshoz, ámde a különösen érdekes problémákban rendszerint hiányzik ez a kis szerencse. Feigenbaum, mint az 1960-as években minden fiatal részecskefizikus, egyszer csak azon kapta magát, hogy mást sem tesz, csak Feynman-diagramokat gyárt. S arra a belátásra jutott, hogy a perturbációs elmélet unalmas, érthetetlen ostobaság. Így hát megszerette Wilson renormalizációs csoportról szóló új elméletét. Ez az elmélet az önhasonlóság felismerésével utat nyitott a komplexitás rétegről rétegre való csökkentéséhez. A gyakorlatban azonban egyáltalán nem volt egyszerű a renormalizációs csoportot használni. Az önhasonlóságot jól megragadó számításokra csak nagy leleményességgel lehetett rátalálni. Mindazonáltal a módszer elég jól működött és időről időre arra bátorított egyes fizikusokat, köztük Feigenbaumot is, hogy szegezzék neki a turbulencia problémájának is. Végül is úgy tetszett, az önhasonlóság a turbulencia - a fluktuáció hátán fluktuáció, örvény hátán örvény - kézjegye. De mit lehetne kezdeni a turbulencia felbukkanásával: azzal a rejtélyes pillanattal, amikor egy rendezett rendszer kaotikussá válik. Semmi sem utalt arra, hogy a renormalizációs csoportnak bármi köze volna ehhez az átmenethez. Semmi sem szólt amellett például, hogy az átmenet eleget tenne a skálatörvényeknek. Az MIT doktoranduszaként Feigenbaum sok éven át megmaradó tapasztalatokat szerzett. Sétált barátaival a Lincoln Víztároló körül Bostonban. Szokásává vált négy-öt órán át sétálni; s e séták alatt teljesen ráhangolódott a tudatán átáramló benyomásokra és gondola-

128 tokra. Ezen a napon leszakadt a csoporttól és egyedül sétált. Elment néhány piknikező mellett, és távolodva gyakran visszanézett, figyelte beszélgetésük hangjait, nézte mozdulataikat, amint gesztikuláltak vagy az ételért nyúltak. Hirtelen úgy érezte, hogy ez a csoportkép túlkerül a felfoghatóság határán. Az alakok már kivehetetlenül kicsivé lettek, cselekedeteik összefüggéstelennek, önkényesnek, véletlenszerűnek tetszettek. A füléig jutott gyenge hang elvesztette minden jelentését. Az élet szakadatlan mozgása és felfoghatatlan sürgés forgása. 1 Feigenbaumban felidéződtek Gustav Mahler szavai arról az érzésről, amit Második Szimfóniájának harmadik tételében igyekezett megragadni. Akár a táncoló alakok mozgása egy ragyogóan kivilágított bálteremben, ahová a sötét éjszakából pillantunk be, messziről, ahová már nem hallik el a zene... Az élet értelmetlennek tűnhet fel a szemünkben. Feigenbaum Mahlert hallgatott és Goethét olvasott, elmerült erősen romantikus világlátásukban. Goethe Faustjában lelte leginkább kedvét, magába szívta a világról támadt legszenvedélyesebb és legintellektuálisabb gondolatok kombinációját. Romantikus hajlandóság nélkül nemigen fogták volna el olyan érzések, mint ez a zavarodottság ott a víztárolónál. Végül is miért nem veszítik el értelmüket a jelenségek, ha messzebbről nézzük őket? Ami a méretcsökkenést illeti, arra a fizikai törvények nyilvánvaló magyarázattal szolgáltak. Az összezsugorodás és az értelemvesztés közötti kapcsolat azonban már korántsem volt olyan nyilvánvaló. Miért kellene a dolgoknak méretük csökkenésével mindjárt érthetetlenebbé is válniuk? Megpróbálta egészen komolyan elemezni ezt a tapasztalatot az elméleti fizika eszköztárával, kíváncsi lévén arra, mit mondhatna az agy érzékelési mechanizmusáról. Az ember látja mások cselekedeteit, és abból bizonyos következtetésekre jut. Dekódoló berendezésünk vajon hogyan válogatja ki ezt az érzékeinket érő töméntelen információból? Világos - legalábbis minden arra vall -, hogy az agyban nincsen semmiféle másolat a világban levő dolgokról. Nincsen benne könyvtár a formákról és gondolatokról, amelyből hasonmásokat kereshetne az érzékelt képekhez. Az információt alighanem valamilyen rugalmas módon tárolja, amely lehetővé teszi a képzetek fantasztikus elegyítését és egyik képzetről a másikra ugrást. Valamiféle káosz uralkodhat felette, és mintha nagyobb rugalmassággal lenne megáldva, mint a klasszikus fizika, amely rendet keres benne. Feigenbaum mindeközben a színekről is gondolkodott. A tizenkilencedik század első éveiben a színek természetét illetően kisebb tudományos csetepaté folyt Newton angliai követői és a német Goethe között. A newtoni fizika szemszögéből Goethe gondolatai csupán áltudományos tévelygésnek tűntek. Goethe ugyanis nem állandó - színképelemzővel megmérhető s aztán szinte pillangóként kartonlapra tűzhető - mennyiségeknek fogta fel a színeket, hanem olyasvalamiknek, amik az érzékelés körébe tartoznak. A fény rezgéseivel és ellenrezgéseivel a Természet oszcillál a számára megszabott határok között - írja -, ezáltal keletkeznek a jelenségek mindazon változatai és feltételei, amelyek megnyilvánulnak előttünk a térben és időben." 2 Newton elméletének próbaköve a nevezetes prizmakísérlet volt. A prizma a fehér fénysugarat színek szivárványává töri: szétszórja az egész látható színképen; Newton ezekben a tiszta színekben ismerte fel azokat az elemi összetevőket, amelyek együttesen fehéret adnak. Ezen lényegesen túllépve feltette továbbá, hogy a színek frekvenciáknak felelnek meg: úgy gondolta, hogy alighanem valamilyen rezgő testek - akkori kifejezéssel szólva: korpuszkulák - állítják elő a színeket, arányosan a rezgések gyorsaságával. Minthogy mindezt igen kevés bizonyíték támasztotta alá, ötlete éppoly igazolhatatlan volt, mint amilyen ragyogó. Mi a piros? A fizikusnak nem egyéb, mint méterenként milliárd 1 Gustav Mahler levele Max Marschalkhoz. 2 Goethe Zur Farbenlehre c. műve sok német és angol nyelvű kiadást ért meg.

129 hullámot vető fénysugárzás. A newtoni optika sokezerszer helyesnek bizonyult, Goethe tanulmánya pedig elmerült a könyörületes feledésben. Feigenbaum szeretett volna hozzájutni e tanulmányhoz, de kiderült, hogy a Harvard könyvtárának egyetlen darabja is eltűnt. Végül Feigenbaum csak szerzett egy példányt, melyből megtudta, hogy Goethe voltaképpen roppant sok kísérletet végzett a színek tanulmányozása során. Newtonhoz hasonlóan ő is prizmával kezdte. Newton a fény útjába állította a prizmát, majd a részeire bomlott sugarat fehér felületre vetítette. Goethe viszont a szeme elé tette a prizmát és azon át nézte a világot. Egyáltalán nem érzékelt színekre bomlást: sem szivárványt, sem színárnyalatokat. Ha tiszta fehér felületre vagy a tiszta kék égre tekintett a prizmán keresztül, mindig egyformának, egyszínűnek látta őket. De elég volt, hogy csak egy jelentéktelen foltocska megtörje a fehér felületet vagy egy felhő bukkanjon fel az égen, nyomban valóságos színáradat tűnt fel a szeme előtt. Ez a fény és árnyék váltakozása" kelti a színeket - vonta le a következtetést Goethe. Ezután elkezdte vizsgálni, hogyan érzékelik az emberek az árnyékokat, ha azok különböző színű fényforrásoktól származnak. Hosszú kísérletsorozatot végzett gyertyák és ceruzák, tükrök és színes üvegek, holdfény és napfény, kristályok, folyadékok és színkerekek felhasználásával; például szürkület idején meggyújtott egy gyertyát egy darab fehér papír előtt és közéjük tartott egy ceruzát. S a ceruza árnyéka ragyogó kék volt a gyertyafényben. Miért? A fehér papír önmagában fehérnek látszik, a gyengülő nappali fényben éppúgy, mint a melegebb gyertya járulékos fényében. Hogyan oszthatja fel az árnyék a fehéret egy kék és egy vörösessárga tartományra? A szín az árnyék velejárója: a sötétségnek egy bizonyos foka" - állította Goethe. A szín - modernebb nyelven megfogalmazva - legfőképpen határfeltételekből és szingularitásokból ered. Amiben Newton redukcionista nézeteket vallott, abban Goethe holista volt. Newton felbontotta a fényt és megtalálta a színek legalapvetőbb fizikai magyarázatát. Goethe ezzel szemben virágoskertekben sétált, festményeket tanulmányozott, s mindeközben a nagy, mindent átfogó magyarázatot kereste. Newton az egész fizikában érvényes matematikai rendszerbe illesztette a maga fényelméletét. Goethe viszont - akár szerencsés dolog ez, akár nem - ki nem állhatta a matematikát. Feigenbaum arra a következtetésre jutott, hogy a színek dolgában Goethének volt igaza. Goethe gondolatai talán arra a pszichológusok körében népszerű könnyed vélekedésre emlékeztethetnek bennünket, amely kettéválasztja a rideg fizikai valóságot és annak változékony, szubjektív érzékelését. Az általunk érzékelt színek időről időre és személyről személyre változnak - ezt nyugodtan megkockáztathatjuk. Ám ezek a gondolatok Feigenbaum értelmezésében valami magvasabbat, tudományosabbat mondanak: megállapításai szigorúan meghatározottak és tapasztalati jellegűek. Goethe újra és újra hangsúlyozza, hogy kísérletei mind megismételhetők. Goethe szemében nem maguk a színek, hanem a színek érzékelése volt egyetemes és objektív. Miféle tudományos bizonyíték hozható fel amellett, hogy a vörösség a valóságos világban is létező minőség, a mi emberi érzékelésünktől függetlenül? Feigenbaumot az a kérdés kezdte foglalkoztatni, hogy vajon miféle matematikai formalizmus felelne meg az emberi érzékelésnek, közelebbről annak, amely a tapasztalat rendezetlen sokféleségét átszűrve egyetemes minőségeket ismer fel. A vörösség nem szükségképpen a fény egy jellegzetes hullámsávja, ahogyan a Newtont követők tartják. Ez a kaotikus univerzum bizonyos tartománya, amelynek határait nem éppen könnyű megjelölni - másfelől viszont kétségtelen, hogy tudatunk szabályos és igazolható következetességgel felismeri a vörösséget. Ezek a gondolatok jártak a fiatal fizikus fejében, s általuk minden látszat szerint jócskán eltávolodott az olyasféle problémáktól, mint a folyadékturbulencia.

130 Holott ha meg akarjuk érteni, hogyan igazodik el az emberi tudat az érzékelés káoszában, nyilván meg kell értenünk, hogyan teremthet a rendezetlenség egyetemeset: univerzalitást. Amikor Feigenbaum a nemlinearitáson kezdett gondolkodni Los Alamosban, rájött, hogy iskolái semmi használhatót nem tanítottak meg neki. Lehetetlen volt nemlineáris differenciálegyenlet-rendszereket megoldani, hacsak nem a tankönyvekben bemutatott különleges példákat. A perturbációs módszer, amely egy megoldható problémából kiindulva, egymás utáni módosításokkal igyekszik eljutni a valóságos feladathoz, és felteszi, hogy a kettő elég közel esik egymáshoz, egyszerűen nevetségesnek tűnt. Nemlineáris áramlásokról és oszcillációkról szóló könyveket végigszenvedve arra jutott, hogy nemigen akad közöttük olyan, amelyik segíthetne egy ésszerűen gondolkodó fizikuson. Mivel a ceruza és papír volt minden számítóberendezése, úgy döntött, hogy egyszerű egyenlettel kezdi, ahhoz hasonlóval, amilyet Robert May tanulmányozott a populációbiológiával kapcsolatban. Ez történetesen a parabola y = r(x - x 2 ) egyenlete volt, amelyet már a középiskolás diákok is ismernek a koordináta-geometriából. Minden x értékhez tartozik y-nak egy értéke, s az így kapott görbe a két szám kapcsolatát fejezi ki az értelmezési tartományban. Ha x (populációbiológiai értelmezésben: az ez évi népesség) kicsi, akkor y (a következő évi népesség) is kicsi, de nagyobb x-nél; a görbe meredeken növekszik. Ha x a tartomány közepén van, akkor y nagy. A parabola azonban lassan vízszintessé válik, majd visszafordul, úgyhogy ha x nagy, akkor y megint kicsi lesz. Ez felel meg a népesség visszaesésének az ökológiai modellezésben, gátat szabva a valóságos körülmények között soha nem tapasztalható korlátlan növekedésnek. May, majd Feigenbaum azonban nem egyszer használták ezt az egyszerű képletet, hanem az eredményt visszacsatolva vég nélkül folytatták a számítást: az éppen elvégzett számítás kimenő adata lett a következő számítási ciklus bemenő adata. Az eredmények alakulásának grafikus ábrázolásában nagy segítségükre volt a parabola. Vegyünk fel egy kezdőértéket az x tengelyen. Húzzunk egy egyenes vonalat felfelé, egészen a parabolával való találkozásig. Olvassuk le az eredményt az y tengelyről, majd ezzel az eredménnyel mint újabb x értékkel ismételjük meg a számítást, s így tovább. A sorozat először ide-oda ugrál a parabolán, azután talán nyugalomra talál egy stabil egyensúlyban, ahol x és y egyenlők, így az értékük tovább már nem változik. Mindez roppant távol áll a szokásos fizika komplex számításainak szellemétől. Az egy időben megoldandó szövevényes rendszer helyett ez csupán egy újra és újra végrehajtandó egyszerű számítás volt. A numerikus kísérletező meg is figyelhette, mint a vegyész, aki ott látja a reakciót kísérő pezsgést a lombikban. A kimenet itt csak egy számsor volt, ám az nem tartott mindig valamilyen állandósult végállapothoz. Esetleg két érték közötti ide-oda ingadozás lett a numerikus kísérlet végeredménye - ahogyan May magyarázta a populációbiológusoknak: kaotikusan változott, bármeddig tartott is a megfigyelése. Hogy miképpen viselkedett, az a hangoló paraméter értékétől függött. Feigenbaum elvégezte ezeket a - valamelyest a kísérleti munkára emlékeztető - számításokat, egyszersmind végigpróbált több hagyományos elméleti módszert is, amelyeket a nemlineáris függvények elemzésére alakítottak ki. De még így sem tárult fel előtte minden, amit ez az egyenlet tud. Az azonban már ennyiből is látszott, hogy a lehetőségek jóval többrétűek, semhogy könnyen elemezni lehessen őket. Feigenbaum azt is tudta, hogy három Los Alamos-i matematikus - Nicholas Metropolis, Paul Stein és Myron Stein ben már tanulmányozott ilyesféle leképezéseket", és most Paul Stein figyelmeztette is őt az egészen ijesztő mértékű bonyolultságra. Ha már a legegyszerűbb ilyen egyenletek enge-

131 detlennek bizonyultak, mi várható azoktól a sokkalta bonyolultabbaktól, amelyeknek a valóságos rendszereket kellene le írniuk? Feigenbaum ekkor félretette az egész problémát. A káosz rövid történetében ez az ártatlannak látszó egyenlet mutatja meg a legcsattanósabban, mennyire eltérően közelítették meg ugyanazt a problémát a különböző típusú tudósok. 1 A biológusoknak ez az egyenlet azt mondta: lám, egyszerű rendszerektől is milyen bonyolult dolgok telnek ki. Metropolis, Stein és a másik Stein szemében ez a probléma katalógus volt a topológiai mintázatok tárházához, mindenfajta számértékre való hivatkozás nélkül. 2 Bárhol elindíthatták a visszacsatolási folyamatot, és megfigyelhették, hová pattannak az egymás után kapott értékek a parabolán. A jobbra-balra mozgásnak J-k és B-k sorozatát feleltették meg. Egyes számú mintázat: 1; kettes számú mintázat: JBJ; 193-as számú mintázat: JBBBBBJJBB. Ezek a sorozatok a matematikusok szemében érdekesek voltak, mert láthatólag mindig ugyanabban a jellegzetes sorrendben ismétlődtek, a fizikusoknak azonban érthetetlennek és unalmasnak tűntek. Akkor ezt még senki sem tudta, de tény, hogy Lorenz 1964-ben ugyanezt az egyenletet vizsgálta, egy éghajlattal kapcsolatos mélyen fekvő kérdés metaforájaként. Ez a kérdés annyira mélyenszántó, hogy szinte senki sem tette fel korábban: Létezik-e éghajlat? 3 Más szóval: van-e a földi időjárásnak hosszú távú átlaga? A legtöbb meteorológus magától értetődőnek vette a választ - éppúgy, mint ma: bizonyosan minden mérhető viselkedésnek, a fluktuációk módjától függetlenül, kell hogy legyen átlaga. Alaposabban meggondolva azonban a kérdést, ez korántsem nyilvánvaló. Ahogyan Lorenz kimutatta, az utolsó 12 ezer év átlagos időjárása jócskán eltér a megelőző 12 ezer évétől, amikor is ÉszakAmerikát nagyobbrészt jég fedte. Lett volna valamiféle időjárás, amely valamilyen fizikai okból megváltozott? Vagy létezne egy még hosszabb távú időjárás, amelyen belül csupán ingadozások ezek az időszakok? Vagy lehet, hogy egy ilyen rendszer, mint az időjárás, sosem tart valamiféle átlaghoz? Lorenz feltett még egy kérdést. Tegyük fel, mondta, hogy megvan az időjárást meghatározó teljes differenciálegyenlet-rendszer, avagy más szóval: birtokunkban van az isteni törvénykönyv. Használhatnánk-e ezeket az egyenleteket a hőmérséklet- vagy csapadékátlagok statisztikáinak kiszámítására? Ha az egyenletek lineárisak lennének, akkor könnyedén igennel válaszolhatnánk. Csakhogy az egyenletek nemlineárisak. Minthogy Isten nem tette hozzáférhetővé a valódi egyenleteket, Lorenz a kvadratikus differenciaegyenletet vette szemügyre helyettük. Mayhez hasonlóan először Lorenz is azt vizsgálta, mi történik, ha rögzíti a paraméter értékét és így iterálja az egyenletet. Látta, hogy ha a paraméter értéke kicsi, akkor az iteráció stabil fixpontot ér el. Ilyenkor a rendszer csakugyan szolgált éghajlattal", a lehető legegyszerűbb értelemben: az időjárás" sosem változott. Ha megnövelte a paraméter értékét, akkor az iterációval kapott értékek két pont között váltakoztak, s a rendszer ilyenkor is egyszerű átlag felé tartott. Egy bizonyos paraméterértéken túl azonban Lorenz azt tapasztalta, hogy eluralkodik a káosz. Mivel az éghajlatról gondolkodott, nemcsak az érdekelte, hogy származhat-e periodikus viselkedés a folytonos visszacsatolásból, hanem az is, hogy mi lesz az átlagos eredmény. És felismerte a választ: az átlag szintén instabil módon ingadozik. Elég volt, hogy a paraméter értéke egy hajszálnyit megváltozzon, s az átlag máris je- 1 Egy ponton Ulam és Neumann ennek az egyenletnek a kaotikus tulajdonságait használta fel a véletlen szá mok véges digitális számítógéppel való előállítása problémájának megoldására. 2 Ez a tanulmány - az egyetlen út Stanislaw Ulamtól és Neumann Jánostól James Yorke-hoz és Mitchell Feigenbaumhoz - a következő: On Finite Limit Sets for Transformations on the Unit Interval," Journal of Combinatorial Theory 15 (1973), pp The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations," Tellus 16 (1964), pp

132 lentősen módosult. Ez a földi éghajlatra megfogalmazva úgy hangzana, hogy a földi éghajlat voltaképpen sohasem igazodhat valamilyen átlagos hosszú távú viselkedéshez. Mint matematikai tanulmány, Lorenz éghajlattal kapcsolatos munkája kudarcnak minősülne: axiomatikus értelemben semmit sem bizonyított be kijelentéseiből. Fizikai írásként pedig az vethető ellene, hogy egyáltalán nem indokolta meg, miért lehetne következtetéseket levonni a földi időjárásra nézve egy ilyen egyszerű egyenletből. Lorenz azonban tudta, mit beszél. A szerző úgy véli, hogy ez a hasonlóság nem holmi véletlen: ez a differenciaegyenlet sok mindent megragad az egyik áramlási képből a másikba való átmenet, sőt az instabilitás egész jelenségének matematikájából, ha a fizikájából netán nem is." Még húsz évvel később sem értette senki, miféle belátás adott okot erre a vakmerő állításra, amelyet szerzője egy svéd meteorológiai folyóiratban, a Tellusban közölt. ( Tellus! - fakadt ki egy fizikus. - Ugyan ki olvas Tellust?!") Lorenz egyre mélyebbre látott a kaotikus rendszerek sajátos lehetőségeibe - mélyebbre, semhogy azt a meteorológia nyelvén kifejezhette volna. Ahogyan egyre világosabban mögé látott a dinamikai rendszerek változékony álarcainak, felismerte, hogy a kvadratikus leképezésnél alig hajszálnyival bonyolultabb rendszerek másfajta váratlan mintázatokat is adhatnak. Némely rendszerben több stabil megoldás is rejtőzhet. A megfigyelő esetleg nagyon hosszú időn át csupán egyfajta viselkedést tapasztal, holott a rendszerben éppannyira helye van egy teljesen másfajta viselkedésnek is. Az ilyen rendszert intranzitívnak nevezik: vagy ebben vagy abban az egyensúlyi állapotban van, de mindig csak egyben, s csak külső ráhatás késztetheti állapotának megváltoztatására. A közönséges ingaóra például nyilvánvalóan ilyen intranzitív rendszer. Állandóan energia áramlik belé egy felhúzható rugóból vagy egy elektromos elemből, ám a súrlódás miatt állandóan távozik is tőle energia. A nyilvánvaló egyensúlyi állapot a szabályos ingamozgás. Ha egy mellette elhaladó ember meglöki az órát, akkor az inga ettől felgyorsulhat vagy lelassulhat, de hamarosan visszatér egyensúlyi állapotához. Az órának azonban van egy második egyensúlyi állapota is - mozgásegyenleteinek egy másik érvényes megoldása: nevezetesen az az állapot, amelyben az inga függőlegesen lefelé lóg és nem mozdul. Egy bonyolultabb rendszer - alighanem számos különálló, eltérő viselkedésnek megfelelő tartománnyal - talán az éghajlatot is leírja. A földi légkör és az óceánok hosszú távú viselkedésének szimulálására globális számítógépmodelleket használó éghajlatkutatók már évek óta tudják, hogy modelljeik legalább egy gyökeresen más egyensúlyi állapotnak is teret hagynak. Ez az alternatív éghajlat ugyan soha sem létezett a geológiai múltban, de szintén megoldása a Földet kormányzó egyenletrendszernek. Ezt néhány kutató Fehér Föld éghajlatnak nevezi: ez egy olyan Föld időjárása, amelynek földrészeit hó, óceánjait jég borítja. Ez az eljegesedett Föld a beeső napsugárzás hetven százalékát visszaverné, és így rendkívül hideg maradna. A légkör legalsó rétege, a troposzféra sokkal vékonyabb lenne, a fagyott felszínen végigvonuló viharok pedig sokkal kisebbek lennének az általunk ismerteknél. Az éghajlat általában véve kevésbé kedvezne az életnek, mint a mostani. A számítógépes modellek annyira hajlamosak a Fehér Föld (egyensúlyi) állapotába jutni, hogy az éghajlatkutatók csodálják, miért nem következik be mindez a valóságban. Talán csak a véletlenen múlik. A földi éghajlat csak egy külső eredetű hatalmas lökés révén kerülhet ilyesfajta eljegesedett állapotba. Lorenz azonban leírt egy másik kézenfekvő viselkedéstípust, amelyet majdnem nemtranzitívnak" vagy majdnem intranzitívnak" neveztek el. A majdnem intranzitív rendszer hosszú időn át egyfajta átlaghoz igazodó viselkedést mutat, bizonyos korlátok között akörül ingadozik. Azután egyszerre minden látható ok nélkül áttér egy másik viselkedésre, s továbbra is valamilyen átlag körül ingadozik, de nem akörül, mint addig. A számítógépes modellek tervezői ismerik Lorenz felfedezését, de mindenáron megpróbálják

133 elkerülni ezt a majdnem intranzitivitást, mert az túlságosan megjósolhatatlan. Ők olyan modellekre hajlanak, amelyek erőteljesen igyekeznek vissza a bolygónkon napról napra mérhető egyensúlyhoz. A nagy éghajlati változásokra azután külső okokat keresnek magyarázatul: például a Föld Nap körüli pályájának megváltozásait. Pedig nem kell nagy képzelőerő ahhoz, hogy belássák, a majdnem intranzitivitás" kifogástalan magyarázat lehet arra, miért fordul a földi éghajlat hosszú jégkorszakokba, s rejtélyes, szabálytalan időközönként miért kerül ki mégis belőlük. S nem kell fizikai okot keresni arra, hogy miért éppen akkor, s nem máskor: a jégkorszakok talán csak a káosz melléktermékei. Ahogyan a fegyvergyűjtő az automata fegyverek korában reménytelenül áhítja vissza a 45- ös Coltot, a modern tudós is táplál magában némi nosztalgiát a HP-65-ös programozható kézi számológépek iránt. Ez a gép uralmának évei alatt visszafordíthatatlanul megváltoztatta számos tudós munkastílusát. Feigenbaum számára ez a számológép volt az átmenet a papír-ceruza módszer és az akkoriban még egyáltalán nem általános, számítógéppel végzett munka között. Feigenbaum semmit sem tudott Lorenzről, 1975 nyarán azonban Aspenben (Colorado állam) egy összejövetelen hallotta Steve Smale előadását ugyanannak a kvadratikus differenciaegyenletnek bizonyos matematikai tulajdonságairól. Smale láthatólag úgy gondolta, vannak érdekes nyitott kérdések azzal a ponttal kapcsolatban, ahol a leképezés periodikusból kaotikussá válik. Smale-t most sem hagyta cserben érzéke a kutatásra érdemes problémák iránt. Feigenbaum elhatározta, hogy még egyszer megvizsgálja a dolgot. Számológépén az analitikus algebrát és a numerikus kutatás módszerét elegyítve elkezdte összeépíteni a kvadratikus leképezésről tudottakat, főleg a rend és a káosz közötti határtartományra összpontosítva. Metaforikus - de csakis metaforikus - értelemben tudta, hogy ez a tartomány hasonlít a folyadékok sima áramlása és turbulenciája közötti rejtélyes határhoz. Ez volt az a tartomány, amelyre Robert May hívta fel a populációbiológusok figyelmét, akik korábban nem vették észre, hogy az állati populációk változásában a rendezett ciklusokon kívül más lehetőségek is vannak. A káoszhoz vezető úton egymást követték a perióduskettőződések: a kettős ciklusok négyesekké hasadtak fel, a négyesek nyolcasokká, és így tovább. Ezek a hasadások izgalmas mintázatot hoztak létre. Ezek voltak azok a pontok, amelyekben például a termékenység csekély változása a gyapjas lepkék négyéves populációs ciklusát nyolcévesre állította át. Feigenbaum elhatározta, hogy a hasadással járó értékek pontos kiszámításával kezdi. Végül a számológép lassúsága augusztusban elvezette egy felfedezéshez. Nagyon hosszú ideig - vagyis percekig - tartott egy-egy ilyen perióduskettőződés kiszámítása, s annál tovább, minél tovább ment a láncolatban. Ha gyors gépe és nyomtatója lett volna, talán nem is bukkan rá semmiféle mintázatra. De kézzel kellett leírni a számokat, azután várakozás közben gondolkoznia kellett rajtuk, s később már - időtöltésként - találgatta is, mi lesz a következő válasz. Azután egyszerre rájött, hogy nem kell találgatnia. Váratlan szabályosságra lett figyelmes: a számok geometriailag egyetlen pont felé tartottak, ahogyan távlati ábrázolásban az egyforma telefonpóznák is a látóhatár egy pontjához tartanak. Ha tudjuk, milyen nagyra rajzoljunk kettőt a telefonpóznák közül, akkor mindent tudunk; a másodiknak és az elsőnek az aránya ugyanakkora, mint a harmadiknak és a másodiknak az aránya és így tovább. A perióduskettőződések nem egyszerűen egyre gyorsabban jöttek, hanem állandó arányban váltak egyre szaporábbá.

134 Miért kell ennek így lennie? Normális esetben a geometriai konvergencia azt jelzi, hogy valami valahol különböző méretekben ismétli önmagát. De ha volt egyáltalán skálázási mintázat ebben az egyenletben, azt még soha senki nem látta. Feigenbaum a géptől telhető legnagyobb pontossággal - három tizedesjegyig - kiszámította a konvergencia arányát, és 4,669-et kapott. Jelent-e valamit ez a különös arány? Feigenbaum azt tette, amit bárki más is tett volna, aki számokkal bajlódik: a nap hátralevő részét azzal töltötte, hogy megpróbálta összekapcsolni ezt a számot az összes szokásos állandóval a π-vel, az e-vel és így tovább. De nem sült ki belőle semmi. Furcsa módon Robert May később rájött, hogy ő is látta ezt a geometriai konvergenciát. De ahogy észrevette, ugyanolyan gyorsan el is felejtette. May ökológiai nézőpontjából ez csak numerikus érdekesség volt, semmi több. Az általa vizsgált valóságos világbeli rendszerekben - állati populációkban, vagy akár a gazdasági modellekben - az elkerülhetetlen zaj bármely pontos részletet elnyomna. Az a nagy rendetlenség, ami idáig elvezette, megállította őt a döntő ponton. Mayt az egyenlet nagybani viselkedése izgatta; sosem képzelte volna, hogy a numerikus részletek fontosnak bizonyulhatnak. Feigenbaum tudta, mit talált, hiszen a geometriai konvergencia azt jelentette, hogy ebben az egyenletben skálázás van jelen, s tudatában volt annak is, hogy a skálázás fontos. Minden renormalizálási elmélet erre épített. Egy látszólag szabálytalan rendszerben a skálázás azt jelenti, hogy valamilyen tulajdonság megőrződik, ha közben minden egyéb megváltozik is. Valamilyen szabályosság rejtőzik az egyenlet turbulens felszíne alatt. De vajon hol? Nehéz volt eldönteni, mi legyen a következő lépés. A nyár gyorsan őszbe fordul a ritka Los Alamos-i levegőben, és már alig volt hátra valami az októberből, amikor Feigenbaumnak szokatlan ötlete támadt. Tudta, hogy Metropolis és a két Stein más egyenleteket is megvizsgált és úgy találta, hogy bizonyos mintázatok egyaránt jelen vannak az egymástól különböző függvények esetében: a J-k és B-k ugyanabban az egymásutánban tűntek fel. 1 Az egyik függvény tartalmazta egy szám szinuszát, és ez a fejlemény feleslegessé tette a parabola egyenletének Feigenbaum által gondosan kidolgozott megközelítését. Újra kellett kezdenie az egészet. Ismét vette a HP-65-öst, és elkezdte kiszámítani a perióduskettőződéseket az xt+l = r sin nxt egyenletre. A trigonometrikus függvény kiszámítása borzasztóan lelassította a folyamatot; Feigenbaum erre kíváncsi lett, választhatna-e valamilyen rövidebb utat, mint az egyenlet egyszerűbb változatával tette. És ahogyan a számokat áttekintette, látta, hogy azok megint geometriailag konvergálnak! Csak egy kis számolás kellett, s megállapíthatta a konvergencia arányát erre az új egyenletre vonatkozólag is. Az eredmény - megint korlátozott pontossággal - három tizedesjegyig kiszámítva 4,669 lett. Újra ugyanaz a szám! Ez a trigonometrikus egyenlet hihetetlen módon nemcsak állandó, geometriai szabályosságot mutatott, hanem még számszerűen is azonosat a sokkal egyszerűbb kvadratikus egyenletével. Nem volt olyan matematikai vagy fizikai elmélet, amely megmagyarázta volna, miért kell két ennyire különböző formájú és jelentésű egyenletnek ugyanarra az eredményre vezetnie. 1 On Finite Limit Sets, pp A döntő utalás: Az a tény, hogy ezek a mintázatok... sajátjai négy látszólag független transzformációnak... azt sugallja, hogy a mintázatsorozat általános jellegzetessége a leképezések egy széles osztályának. Ezért ezt a mintázatsorozatot U-sorozatnak neveztük el, ahol az U (némi túlzással) az»univerzálist«jelöli." E matematikusok azonban sosem gondolták, hogy az univerzalitás kiterjedne a tényleges számokra; készítettek egy táblázatot 84 különböző paraméterértékkel - mindegyiket hét tizedesjegy pontossággal - anélkül, hogy észrevették volna a bennük rejlő geometriai viszonyokat.

135 Feigenbaum felhívta Paul Steint. Öt ez a szegényes bizonyíték nem győzte meg az egybeesésről; a pontosság végül is elég kicsi volt. Feigenbaum mindenesetre felhívta a szüleit is New Jerseyben, hogy elmondja, rábukkant valami rejtélyre. Azt mondta a mamájának: ez híressé fogja tenni őt. Ezután elkezdett más függvényekkel próbálkozni, bármivel, amiről azt gondolhatta, hogy bifurkációkon fog keresztülmenni a rendezetlenséghez vezető úton. S mind, egytől egyig ugyanazt a számot adta. Feigenbaum egész életében számokkal játszott. Tizenéves korában tudta, hogyan kell kiszámítani a logaritmus- meg a szinuszértékeket, amelyeket az emberek többsége táblázatokból néz ki. De nem tanult meg kézi számológépénél nagyobb számítógépet használni - ebben a fizikusok és matematikusok azon típusához tartozott, akik hajlamosak voltak lenézni a számítógépes munkában meglevő mechanikus gondolkodást. Most azonban eljött a váltás ideje. Megkérte egy kollégáját, hogy tanítsa meg a Fortran nyelvre, és mire vége lett a napnak, több függvénynek is kiszámította öt tizedesjegyre az állandóját: mindig 4, et kapott. Éjjel olvasott a kézikönyvben a kétszeres pontosságról; ezzel a következő napon 4, ig jutott: ez a pontosság már elegendő volt Stein meggyőzéséhez. Feigenbaum azonban nem volt egészen biztos benne, hogy saját magát sikerült-e meggyőznie. A szabályosságot kereste - ezt jelentette a matematikai értelmezés -, de tudta, hogy az egyes egyenletek, akárcsak az egyes fizikai rendszerek, sajátos, csak rájuk jellemző módon viselkednek. Végül is ezek egyszerű egyenletek voltak. Feigenbaum értette a kvadratikus egyenletet, értette a szinuszos egyenletet - ezeknek nagyon egyszerű volt a matematikája. És mégis ezeknek a differenciálegyenleteknek a mélyén valami - újra és újra megismételve - ugyanazt a számot adta eredményül. Rábukkant valamire: talán csak egy különlegességre, talán egy új természeti törvényre. Képzeljük el, hogy egy történelem előtti zoológusnak az az ötlete támad, hogy bizonyos dolgok nehezebbek másoknál - van valamiféle elvont minőségük, amit ő súlynak nevez -, és tudományosan szeretné vizsgálni ezt a teóriát. Ténylegesen sosem mért súlyt, de úgy gondolja, van valami fogalma róla. Megjelennek előtte a nagy kígyók meg a kis kígyók, a nagy medvék és a kis medvék, és úgy véli, hogy ezeknek az állatoknak a súlya valahogyan kapcsolatban állhat a méretükkel. Felépít egy skálát és elkezdi mérni a kígyókat. Meglepetésére minden kígyó ugyanannyit nyom. Majd megdöbbenve tapasztalja, hogy a medvék is mind egyforma súlyúak. Az pedig végleg elképeszti, hogy a medvék ugyanannyit nyomnak, mint a kígyók: mind 4, súlyúak. Világos, hogy nem ilyennek gondolta a súlyt: az egész fogalmat kénytelen lesz újragondolni. Hömpölygő folyamok, lengő ingák, elektronikus oszcillátorok - sok fizikai rendszer megy át átalakuláson a kaotikus viselkedésig vezető útán, és ezek az átmenetek túl bonyolultak ahhoz, semhogy elemezni lehessen őket. Mind-mind olyan rendszerek voltak, amelyeknek a mechanikáját a látszat szerint tökéletesen kiismerték már a kutatók. A fizikusok ismerték az összes helyes egyenletet; s mégis lehetetlennek látszott eljutni az egyenletektől az átfogó, hosszú távú viselkedés megértéséig. Sajnos a folyadékokra, de még az ingára vonatkozó egyenletek is sokkal erősebben ellenálltak a kutatásnak, mint az egyszerű egydimenziós logisztikus leképezés. Feigenbaum felfedezéséből azonban következett, hogy azok az egyenletek nem számítanak: ahol megjelent a rend, hamarosan érdektelenné vált, mik voltak az eredeti egyenletek. Egyre ment, hogy kvadratikusak-e vagy trigonometrikusak, az eredmény ugyanaz volt. A fizika hagyományosan egyebet sem mond, mint hogy ismerd fel és válaszd el a mechanizmusokat, abból már minden egyéb következik - mondta Feigenbaum. - Ez a felfogás tökéletesen megbukott. Itt pontosan ismerjük a helyes egyenleteket és azok mégsem segítenek semmit. Összeadjuk az összes mikroszkopikus darabkát és arra jutunk, hogy képtelenek vagyunk őket hosszú távra kiterjeszteni. Nem ők a fonto-

136 sak a problémában. A valamit tudni jelentése teljesen megváltozik." Habár a számítások és a fizika között nem volt igazán erős a kapcsolat, Feigenbaum megtalálta a bizonyítékot, amelyre szüksége volt ahhoz, hogy új módszert alkothasson a komplex nemlineáris problémák kiszámítására. Minden addigi módszer a függvényekkel kapcsolatos részleteken alapult. Ha a függvény szinuszfüggvény volt, akkor Feigenbaum gondosan kidolgozott számításai a szinuszfüggvény tulajdonságaira épültek. Az univerzalitás felfedezése azt jelentette, hogy mindezek a módszerek kidobandóvá váltak. A szabályosságnak semmi köze a szinuszfüggvényhez, semmi köze a parabolákhoz, semmilyen más egyedi függvényhez. De vajon miért? Ez bizony kiábrándító volt: a természet egy pillanatra félrerántotta a függönyt és váratlanul rendet villantott fel. De mi volt még ott a függöny mögött?

137 A KÁOSZ BEÁ LLÍTÁSA. Egy egyszerű egyenlet, sokszor ismételve: Mitchell Feigenbaum egyszerű függvényeket választott; bemenetként vett egy számot és kimenetként kapott egy másikat. Állati populációkra vonatkoztatva ez a függvény az ez évi és a következő évi népesség közötti kapcsolatot fejezheti ki. Az ilyen függvényeket például olyan rajzzal ábrázolhatjuk, amelyen a bemeneti értéket a vízszintes tengelyen, a kimeneti értéket pedig a függőleges tengelyen jelöljük. Minden lehetséges x bemenethez pontosan egy y kimenet tartozik: ezeket az összetartozó párokat a vastagon kihúzott vonal mutatja. Á rendszer hosszú távú viselkedésének ábrázolására Feigenbaum egy pályát rajzolt fel, amely valamilyen tetszőleges x értéktől indult. Mivel mindig a kapott y értéket írta be soron következő beme-

138 netként, egészen egyszerű módon szemléltethette, mi is történik voltaképp: a pálya ide-oda pattog a 45 fokos meredekségű x = y egyenes és a választott függvény grafikonja kö zött. Az ökológus szemében a népességnövekedésre a lineáris függvény tetszik a legkézenfekvőbbnek - ez az állandó, korlátlan növekedés malthusi forgatókönyvének felel meg, azaz minden évben ugyanolyan arányú a növekedés (balra fent). Már köze lebb áll a valósághoz egy olyan függvény, amelynek egy vis szahajló ív a grafikonja: ez visszaszorítja a populációt, ha az túl népessé válna. Az ábrán a logisztikus leképezés" látható, egy tökéletes, y = rx(1- x) egyenletű parabola; az r értéke - a logisztikus leképezésben ez 0 és 4 kö zé esik - a parabola meredekségét határozza meg. Feigenbaum azonban felfedezte, hogy mindegy is, milyen fajta ívet használunk; az egyenletbeli részletek nem számítanak, csak az a fontos, hogy a függvény púpos" legyen. A tapasztalt viselkedés azonban érzékenyen függött a meredekségtől - azaz a nemlinearitás fokától, attól, amit Robert May fellendülés és hanyatlás"-nak nevezett. Ha túl lapos a függvény, akkor kihal a populáció: bármekkora is az induló populációméret, az végül a nullában állapodik meg (középen, balra). Á meredekség növekedésével áll elő az, amit a hagyományos felfogású ökológus vár - az állandósult egyensúly; az ennek megfelelő pont, amely az összes pályát behúzza, egy egydimenziós attraktor" (középen, jobbra). Egy bizonyos r értéken túl bifurkáció révén kettős periódusú oszcilláló populációk alakulnak ki (lent, balra). Még nagyobb r értékeken áthaladva több perióduskettőződés megy végbe, és végül a pálya egyáltalán nem kerül nyugalomba (lent, jobbra). Ilyen képek szolgáltak kiindulópontul Feigenbaumnak elmélete kiépítéséhez. Ismétlődő műveletekben kezdett gondolkodni: függvények függvényei, függvények függvényeinek függvényei, és így tovább; kétpúpú leképezések, azután négypúpúak... Feigenbaum képzeletét egy kép ihlette meg: két kicsi és egy nagy hullámszerű alakzat látomása. Ez volt az egész - egy ragyogó, éles kép vésődött a tudatába, talán csak a tudatosság vízvonala alatt zajló lelki folyamat hatalmas jéghegyének csúcsa. A skálázásra utalt és kijelölte Feigenbaum számára a továbblépés irányát. Feigenbaum az attraktorokat tanulmányozta. A leképezései által elért állandósult egyensúlyi állapot egy fixpont, amely maga felé vonz minden más pontot: bármi legyen is a kezdő populáció", az mindig attraktor felé fog ugrálni. Azután az első perióduskettőződéssel az attraktor kettéhasad, mint egy osztódó sejt. Először ez a két pont gyakorlatilag ugyanoda esik, azután a paraméterérték növekedtével egyre távolabb jutnak egymástól. Következik a második perióduskettőződés: az attraktor minden pontja újból - és egyszerre - kettéosztódik. A Feigenbaum-szám ismeretében megjósolhatta, mikor (azaz mely paraméterértéknél) történik majd meg a perióduskettőződés. Sőt rájött, hogy előre és pontosan tudhatja az egyes pontok elhelyezkedését is ezen az egyre bonyolultabb attraktoron - két pontét, négy pontét, nyolc pontét... Megjósolhatja az éves oszcillációkban kialakuló tényleges populációk nagyságát. És mindebben volt még egy geometriai konvergencia: ezek a számok eleget tettek a skálázási törvénynek is. Feigenbaum egy elfeledett tartományt tárt fel a matematika és fizika között. Munkáját nehéz volt ide vagy oda besorolni. Mert nem volt matematika; nem bizonyított be semmit. Kétségtelenül számokat tanulmányozott, de a számok olyasvalamik a matematikusok szemében, mint a pénzeszsákok a befektető bankáréban: névleg ezzel a nyersanyaggal dolgoznak, de ez a nyersanyag túlságosan körülhatárolt és részleges, semhogy időt vesztegessenek rá. A matematikusok igazi valutája a gondolat. Feigenbaum egy fizikai programot hajtott végre: sőt - ha furcsának tűnik is - szinte kísérleti fizikai programot. Nem mezonokat és kvarkokat vizsgált, hanem számokat és függvényeket, amelyekhez pálya is tartozott. Ki kellett nyomoznia a viselkedésüket. Ahogyan később mondták - s ez a kifejezés valóságos közhelyévé vált az új tudománynak - intuíciót kellett szereznie. A szá-

139 mítógépe szolgált gyorsítójául és ködkamrájául. Az elmélettel párhuzamosan módszertant is kiépített. A szokásos utat követő számítógépfelhasználó megszerkeszti a problémát, betáplálja a gépbe, és vár, amíg a gép kiszámítja a megoldást - azaz egy probléma, egy megoldás. Feigenbaumnak és az őt követő káosz-kutatóknak többre volt szükségük. Azt kellett tenniük, amit Lorenz tett: miniatűr világegyetemeket felépíteni és megfigyelni a fejlődésüket. Azután megváltoztatni e világegyetem egyik-másik tulajdonságát és megfigyelni az emiatt módosult fejlődési útvonalakat. S mindehhez megvolt az a friss meggyőződésük, hogy bizonyos tulajdonságok csekély megváltozása is jelentősen módosíthatja az általános viselkedést. Feigenbaum hamarosan rájött, milyen rosszul illeszkednek Los Alamosban a számítógépes lehetőségek ahhoz a számítási stílushoz, amelyet ki kívánt fejleszteni. Hiába voltak Los Alamosban hatalmas - az egyetemieknél sokkal nagyobb - gépek, kevés termináljuk volt ábrák és képek megjelenítésére, és az a néhány is a Fegyverek Osztályán működött. Feigenbaumnak számokra volt szüksége és azokat térképi pontokként akarta ábrázolni. Az elképzelhető legegyszerűbb módszerhez kellett hát folyamodnia: hosszú papírtekercsekre szinte csupa szóközből álló sorokat nyomtatott, s néhol egy-egy csillagot vagy pluszjelet. A Los Alamos-i hivatalos felfogás szerint a nagy számítógép sokkal inkább megérte, mint sok kicsi - ezt sugallta az egy probléma, egy megoldás hagyománya. A kis számítógépektől elriasztották az embereket. És ha valamelyik osztály számítógépet akart vásárolni, szigorú kormányzati előírásoknak és egy formális szemlének is eleget kellett tennie. Csak az Elméleti Osztály költségvetési bűnsegédletével" juthatott hozzá később Feigenbaum egy 20 ezer dolláros asztali számológéphez". Azon már futás közben is megváltoztathatta egyenleteit, megcsavarhatta és beállíthatta a képeit, s egyáltalán, úgy játszhatott rajta, mint egy hangszeren. Akkoriban csak a szigorúan titkos területeken - ahogyan Los Alamosban mondták: a kerítés mögött - voltak igazán komoly grafikus megjelenítők. Feigenbaum kénytelen volt olyan terminált használni, amely egy telefonvonal révén volt összekötve egy központi számítógéppel. A munkakörülmények elfedték, mekkora teljesítménnyel dolgozik a számítógép a vonal túlsó végén. Még a legegyszerűbb feladat is percekig tartott. Egy-egy programsort csak úgy lehetett beadni, hogy a felhasználó leütötte a Return billentyűt, és kivárta, míg a központi számítógép - a terminál serény működése közepette - eljátszotta a maga elektronikus körjátékát a többi felhasználóval. Feigenbaum e számítások közben sem tétlenkedett: azon gondolkodott, hogy miféle új matematikai leírást kívánnak meg ezek az általa megfigyelt többszörös skálamintázatok? Ezekben a függvényekben valaminek újra és újra visszatérőnek (rekurzívnak) kell lennie, ismerte fel, önmagára hivatkozónak, amelynek a viselkedését egy benne megbúvó másik irányítja. Az ihlet diktálta hullámzó kép olyasvalamit fejezett ki, hogy hogyan skálázódhat egy függvény a másikhoz illeszkedve. Feigenbaum a renormalizációs csoport elméletének matematikáját alkalmazta: a skálázás révén kezelhető mennyiségekké alakította a végteleneket tavaszán minden addiginál intenzívebb létezési módra tért át. Úgy koncentrált, mintha transzba esett volna: vadul programozott, firkált a ceruzájával, s megint programozott. Nem hívhatta fel segítségért a C osztályt, mert ahhoz le kellett volna kapcsolnia a telefonvonalról a számítógépet, s félt tőle, hogy esetleg nem sikerül újra kapcsolatba lépnie vele. Egyfolytában legfeljebb ha öt percig gondolkodhatott, mert öt perc állás után a számítógép automatikusan megszakította volna a telefonkapcsolatot. A számítógép még így is elég gyakran leállt, rútul cserbenhagyva a megugrott adrenalinszintű Feigenbaumot. Két hónapig dolgozott megállás nélkül, napi huszonkét órán át. Megpróbált aludni valamennyit a gép zümmögése mellett, de két óra múlva felébredt, pontosan azokkal a gondolatokkal, amelyekkel elaludt. Étrendje egyes-egyedül kávéból állt. (Feigenbaum egészséges és nyu-

140 godt állapotában is a lehető legvörösebb húson, vörösboron és kávén élt. Barátai arra következtettek, hogy nyilván a cigarettákból jut hozzá a vitaminokhoz.) Az egésznek az orvos vetett véget. Mérsékelt Valium-kúrát 1 és kényszerszabadságot írt elő, ám addigra Feigenbaum megalkotta az univerzalitási elméletet. Az univerzalitás elválasztotta a szépet a hasznostól. A matematikusok egy bizonyos ponton túl nem törődnek azzal, hogy módszereket adjanak a számításokhoz. A fizikusoknak viszont - ugyancsak egy bizonyos ponton túl - számok kellenek. Az univerzalitás reményt kínált arra, hogy a fizikusok egy könnyű probléma megoldása révén sokkal nehezebb problémákat is megoldhassanak. A válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük. És mert Feigenbaum a renormalizációs csoport keretében fogalmazta meg elméletét, a fizikusok szinte megszokott számítási eszközre ismerhettek benne. Mindazonáltal a fizikusoknak éppen az nehezítette meg az univerzalitási elmélet elfogadását, ami ezt az elméletet igazán hasznossá tette. Az univerzalitás annyit tesz, hogy egymástól különböző rendszerek azonosan viselkednek. Feigenbaum persze csak egyszerű numerikus függvényeket vizsgált, de hitt benne, hogy elmélete a rendszerek természeti törvényét fejezi ki a rendezett és turbulens közötti átmeneti pontban. Mindenki tudta, hogy a turbulencia különböző frekvenciák folytonos spektrumát jelenti, és mindenki kíváncsi volt, honnan jönnek a különböző frekvenciák. Egyszerre csak láthatták sorban jönni a frekvenciákat. Az univerzalitás fizikai következménye az volt, hogy a valóságos világban a rendszerek felismerhetően ugyanúgy viselkednek, sőt mérhető módon egyformák. Feigenbaum univerzalitása nem csak kvalitatív, hanem kvantitatív is volt: nem csupán szerkezeti, hanem mérhető univerzalitás. Nemcsak a mintázatokra terjedt ki, hanem a pontos számértékekre is. Mindez bizalmatlanná tette a fizikusokat. Feigenbaum még évekkel később is a keze ügyében - az íróasztalfiókjában - tartotta a neki küldött visszautasító leveleket. Addigra már megkapott minden elismerést, amire csak szüksége volt. Los Alamos-i munkájával díjakat és kitüntetéseket, 2 tekintélyt és pénzt szerzett. De továbbra is megkeserítette az életét, hogy a legjobb tudományos folyóiratok szerkesztői közlésre alkalmatlannak ítélték a munkáit, két évvel azután is, hogy elkezdte őket beküldeni. Hiszen már kissé megkopottnak tűnt az a nézet, hogy a tudományos áttörés (eredetisége és váratlansága miatt) alkalmatlan a publikálásra. A modern tudomány - gondolhatnánk - a maga mérhetetlen információáramlásával és pártatlan, alapos bírálati rendszerével nem lehet továbbra is az ízlésnek alárendelve. Az egyik szerkesztő, aki visszaküldte Feigenbaum kéziratát, évekkel később felismerte, hogy ezzel a tudományterületen fordulatot hozó tanulmányt utasított vissza; továbbra is azt hozta fel érvül azonban, hogy Feigenbaum cikke nem felelt meg a folyóiratát olvasó alkalmazott matematikusi közönségnek. Mindeközben Feigenbaum nevezetes eredményei publikálás nélkül is fortyogó újdonsággá váltak egyes matematikai és fizikai körökben. Az elmélet magva úgy terjedt szét, ahogyan a legtöbb tudományos eredmény manapság: előadások és preprintek révén. Feigenbaum konferenciákon ismertette munkáját, és tucat-, majd százszámra érkeztek hozzá a kérések cikkeinek másolatai iránt. A modern közgazdaságtan nagymértékben támaszkodik a hatékony piac elméletére. A közgazdák felteszik, hogy a tudás szabadon áramlik egyik helyről a másikra: véleményük sze- 1 Nálunk, Magyarországon inkább Seduxen néven ismert nyugtatószer - a fordító. 2 A MacArthur ösztöndíjat; az 1986-os fizikai Wolf-díjat.

141 rint a fontos döntéseket hozó emberek többé-kevésbé ugyanahhoz az információhalmazhoz férnek hozzá. Itt-ott persze maradnak fehér foltok vagy megrekedhetnek információk, de egészében véve, ha egyszer a tudás nyilvános, akkor a közgazdászok feltevése szerint mindenütt jelen van. A tudománytörténészek is sokszor magától értetődőnek tekintik a maguk elméletét a hatékony piacról. Ha felfedezés született, ha felmerült egy ötlet, akkor az - vélekedésük szerint - a tudományos világ közös tulajdonává válik. Minden felfedezés és minden új felfogás az előzőre épül. A tudomány úgy növekszik, mint egy épület: tégláról téglára. A eszmetörténetek gyakorlati szempontból lineárisnak tekinthetők. Ez a tudományfelfogás akkor áll a legközelebb a valósághoz, ha egy jól meghatározott tudományágról van szó, amely egy jól meghatározott probléma megoldására vár. Senki sem értette félre például a DNS molekuláris szerkezetének felfedezését. Az eszmék története azonban nem mindig ilyen egyenes vonalú. Amikor különböző tudományágak eldugott sarkaiban létrejött a nemlinearitás tudománya, a gondolatok áramlása nem követte a történészek szokásos logikáját. A káosznak mint önálló fogalomnak a színrelépése nemcsak új elméleteket és új felfedezéseket hozott, hanem régi gondolatok utólagos, megkésett megértését is. Az összerakós játék sok darabját látta már Poincaré, Maxwell, sőt Einstein is, csak mindez feledésbe merült. Számos új darabot előbb csak néhány beavatott ismert fel. A matematikai felfedezést csak matematikusok értették, a fizikai felfedezést fizikusok, a meteorológiait meg senki. A gondolatok terjedésének módja éppoly fontossá vált, mint keletkezésüké. Minden egyes tudósnak megvoltak a maga szellemi felmenői. Mindegyiknek megvolt a maga gondolati tájképe, és mindegyik kép korlátozott volt, az egyik így, a másik úgy. A tudás tökéletlen. A tudósokon nyomot hagytak tudományáguk bevett szokásai vagy neveltetésük esetlegességei. A tudományos világ meglepően korlátolt lehet. Semmilyen tudós bizottság nem adott új irányt a történelemnek - egy maroknyi egyén viszont igen, egyéni nézetekkel és egyéni célokkal. Később bizonyos egyetértés kezdett kialakulni afelől, hogy mely újítások és adalékok voltak a legmeghatározóbbak. Ebben az egyetértésben azonban bizonyos revizionista elemek is rejlettek. A felfedezés hevében, különösen az 1970-es évek végén, a fizikusok és a matematikusok ahányan voltak, annyiféleképpen értelmezték a káoszt. Aki hozzászokott a súrlódás vagy disszipáció nélküli klasszikus rendszerekhez, az az orosz A. N. Kolmogorov és V. I. Arnold eszméi folytatójának tarthatta magát. A klasszikus dinamikai rendszerekhez szokott matematikus úgy vélhette, hogy a Poincarétól Birkhoffig, Levinsonig és Smale-ig vezető vonalat követi. Később már Smale, Guckenheimer és Ruelle állhatott a matematikus csillagzat középpontjában. De szóba kerülhettek a számítástechnikai hajlandóságú Los Alamos-i elődök: Ulam, Metropolis, Stein. Az elméleti fizikus gondolhatott Ruelle-re, Lorenzre, Rösslerre és Yorkera, a biológus Smale-re, Guckenheimerre, Mayre és Yorke-ra. Se szeri, se száma a lehetséges kombinációknak. Anyagokkal dolgozó tudós - geológus vagy szeizmológus - elismerhette Mandelbrot közvetlen hatását; elméleti fizikus azonban nemigen vallhatta be, hogy ismeri a nevét. Feigenbaum szerepe sajátos viták forrásává vált. Sokkal később, félhírességének csúcsán, néhány fizikus odáig ment, hogy több kutatót is felemlegetett, akik néhány évnyi eltéréssel pontosan ugyanezen a problémán dolgoztak. Egyesek azzal vádolták Feigenbaumot, hogy a kaotikus viselkedés széles spektrumából egy túlságosan szűk, kicsiny darabkát szemelt csak ki. A Feigenbaumológiá"-t túlbecsülték - mondta egy fizikus -, csodálatos munka, nem vitás, de nem olyan hatású, mint például Yorke-é ben Feigenbaumot meghívták előadni Svédországba, a Nobel-szimpóziumra, és ott igen hevessé vált a vita. Benoit Mandelbrot tartott egy gonoszul csipkelődő előadást, amelyet később

142 a hallgatóság csak Antifeigenbaum-előadás"-ként emlegetett. Mandelbrot valahonnan előásta egy Myrberg nevű finn matematikus húszéves cikkét a perióduskettőződésről, és ezért a Feigenbaum-sorozatot minduntalan Myrberg-sorozat"-nak titulálta. De Feigenbaum valóban felfedezte az univerzalitást és elméletet is alkotott a magyarázatára. Ez volt az a tengely, amely körül az új tudomány forgott. Mivel képtelen volt publikálni ezt a megdöbbentő és a bevett szemlélet ellen szóló eredményt, előadássorozatokkal terjesztette igéit, előbb egy New Hampshire-i konferencián 1976 augusztusában, majd szeptemberben Los Alamosban egy nemzetközi matematikai találkozón, s novemberben a Brown Egyetemen. A felfedezés és az elmélet meglepetést, hitetlenséget és izgatottságot keltett. Minél többet gondolkodtak a kutatók a nemlinearitásról, annál inkább érezték a Feigenbaumféle univerzalitás erejét. Egyikük ezt így fejezte ki: Nagyon boldogító és megrázó felfedezés volt, hogy vannak struktúrák a nemlineáris rendszerekben, amelyek mindig ugyanazok, ha a megfelelő módon szemléljük őket." Néhány fizikus nem csupán a gondolatokat tette magáévá, hanem a módszereket is. Már a leképezésekkel való játék is megborzongatta őket. A maguk számológépei révén megtapasztalhatták azt a meglepetést és elégedettséget, amelyet Feigenbaum élt át Los Alamosban. Sőt tovább finomították az elméletet. A részecskefizikus Predrag Cvitanovic, meghallgatván Feigenbaum előadását a princetoni Felsőbb Tanulmányok Intézetében, segített Feigenbaumnak egyszerűbbé tenni az elméletét és kiterjeszteni univerzalitását. Cvitanović azonban egész idő alatt úgy tett, mintha ez csupán szórakozás lenne; nem tudta rávenni magát, hogy elmondja kollégáinak, mivel foglalkozik. A matematikusokra szintén inkább a tartózkodás volt jellemző, jórészt azért, mert Feigenbaum nem adott eredményeire szigorú bizonyítást. Oscar E. Lanford 1979-es munkája előtt nem is volt rá matematikai értelemben vett bizonyítás. 1 Feigenbaum gyakran felidézte, mi történt Los Alamosban szeptemberben, amikor előkelő közönség előtt számolt be elméletéről. Alig kezdett bele a mondandójába, felállt Mark Kac, a kiváló matematikus és nekiszegezte a kérdést: Uram, számokkal kíván foglalkozni vagy bizonyítással?" 2 Számoknál többel, bizonyításnál kevesebbel - válaszolta Feigenbaum. Nevezheti ezt egy ésszerűen gondolkodó ember bizonyításnak?" Feigenbaum erre azt felelte, hogy ezt a hallgatóságnak kell megítélnie. Miután befejezte az előadást, meg is kérdezte Kacot, aki gúnyosan így reagált: Hogyne, ez egy ésszerűen gondolkodó ember bizonyítása. És hogy igaz-e, amit bizonyít: azt döntsék el a matematikusok." Megindult egy mozgalom, és az univerzalitás felfedezése továbblendítette ezt a mozgalmat nyarán két fizikus, Joseph Ford és Giulio Casati megszervezte az első konferenciát egy káosznak nevezett tudományágban. A helyszín egy barátságos villa volt az olaszországi Comóban, egy aprócska városban a Comói-tó déli nyúlványának partján. Ebben a kék színű, meglepően mély tóban gyűlik össze az olasz Alpok vízzé olvadt hava. Száz ember jött el - főleg fizikusok, de más területek kíváncsi kutatói is. Mitch meglátta az univerzalitást, kitalálta, hogyan kell skálázni, és roppant intuitív utat talált a káoszhoz - mondta Ford. - Először volt világos, mindenki által érthető modellünk. És ez azok közé a dolgok közé tartozott, amelyeknek eljött az idejük. Az emberek 1 A bizonyítás még akkor sem volt hagyományos, mert hatalmas mennyiségű numerikus szá mításon alapult, úgyhogy nem lehetett megcsinálni vagy ellenőrizni számítógép használata nélkül. Oscar E. Lanford, A Computer-Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures," Bulletin of the American Mathematical Society 6 (1982), p. 427; és P. Collet, J.-P. Eckmann, and O. E. Lanford,,Universal Properties of Maps on an Interval," Communications in Mathematical Physics 81 (1980), p The Discovery of Universality," p. 17.

143 ugyanazokat a dolgokat csinálták a csillagászattól az állattanig, csak éppen a maguk elszigetelt szakfolyóirataiban adták közre az eredményeiket és fogalmuk sem volt a többiekről. Azt hitték, egyedül vannak, és a maguk szakterületén rendszerint kissé különcnek is számítottak. A végére jutottak az egyszerű kérdéseknek, és elkezdték őket foglalkoztatni a kicsit bonyolultabb jelenségekkel kapcsolatban felvethető kérdések. És ezek az emberek a könnyekig meghatódtak, látván, hogy mindenki más is ott van." Feigenbaum később szinte csupasz falak közt élt: az egyik szobában egy ágy volt, a másikban egy számítógép, a harmadikban pedig három fekete hifi-torony, amelyeken kizárólag német lemezgyűjteményének darabjait játszotta le. Egyszer megpróbálta kicsit berendezni a lakást: olaszországi tartózkodása alatt vett egy drága márvány kávézóasztalt; de kísérlete balul ütött ki, mert mire megérkezett a csomag, dirib-darabra tört benne a márvány. A falak mellett mindenütt papír- és könyvrakások sorakoztak. Gyorsan beszélt, homlokából hátravetett hosszú hajában már szürke is keveredett a barnához. Valami drámai történt a húszas években. A fizikusok minden különösebb alap nélkül rábukkantak a körülöttük levő világ lényegében helyes leírására - mert a kvantummechanika bizonyos értelemben lényegében helyes. Megmondja, hogyan csináljunk a földből számítógépet. Ez az a módszer, amit elsajátítottunk világegyetemünk kezelésére. Ezen az úton készülnek a vegyszerek, a műanyagok és egyáltalán minden. Tudjuk, hogyan kell vele számolni. Rendkívül jó elmélet - eltekintve attól, hogy egy bizonyos szinten nincs is értelme. A képből hiányzik egy rész. Ha azt kérdezed, mit jelentenek valójában az egyenletek és mi a világ leírása e szerint az elmélet szerint, akkor ez nem az a leírás, amely megfelelne a világról alkotott képednek. A részecskéről nem gondolhatod azt, hogy valamiféle pályán mozog; nem jelenítheted meg magad előtt ezen a módon. Ha elkezdesz egyre mélyebb kérdéseket feltenni - mit is mond neked ez az elmélet arról, milyen a világ? - ez az elmélet végül olyan távolinak mutatkozik majd a dolgok elképzelésének normális módjától, hogy mindenféle konfliktusba kerülsz. Lehet persze, hogy a világ csakugyan ilyen. De voltaképpen nem tudod, nem lehetne-e ezeket az információkat valahogyan másként, úgy is összerakni, hogy ne kelljen a dolgok szokásos felfogásától olyan nagyon eltávolodnod. A fizikában van egy alapvető feltevés: eszerint a világot úgy értheted meg, ha elszigetelten tartod a részeit, míg meg nem érted az igazán sarkalatosnak tartott dolgokat. Azután arra számítasz, hogy a nem értett többi dolog csupán részletkérdés. Az a kiindulási alap, hogy létezik néhány - kevés számú - elv, amelyek feltárulnak a dolgok tiszta állapotában (ez a megfelelő analitikus kifejezés), és ha azután piszkosabb problémákat akarunk megoldani, valahogy bonyolultabb úton-módon rakjuk össze ezeket az elveket. Persze, ha tudjuk. A végső megértéshez azonban sebességet kell váltani. Újra össze kell rakni elképzeléseinket a lezajló fontos dolgokról. Megpróbálhatsz egy folyadékrendszer-modellt szimulálni a számítógépen. Ez mostanában lassan lehetségessé is válik. De jelentős erőfeszítést kíván, mert ami eközben valójában történik, annak semmi köze sem folyadékhoz, sem ilyen vagy olyan egyenlethez. Annak általános leírásához, hogy mi történik rendszerek széles sokaságában, amikor a dolgok újra és újra magukban működnek, ahhoz más módon kell gondolkodni a problémáról. Ma az a kívánalom irántad, hogy amikor körülnézel ebben a szobában - ott látsz némi szemetet, itt egy embert, amott meg az ajtókat -, akkor a szoba leírásaként vedd az anyag elemi részecskéit és add meg a hullámfüggvényüket. No hát, ez megvalósíthatatlan elgondolás. Isten talán megtehetné, de a mi problémánk megértéséhez nem vezet analitikus gondolat.

144 Többé már nem akadémikus kérdés, hogy mi történik egy felhőben. Az emberek nagyon sokat akarnak tudni - és ez azt jelenti, hogy pénz is van rá. Ez a probléma nagyon is beletartozik a fizika birodalmába és kellően fontos is. Valami bonyolultat vizsgálunk, és erre ma az a módszer, hogy igyekszünk minél több pontban megvizsgálni, hol a felhő, hol a meleg levegő, mi a sebesség, és így tovább. Azután bedugva az egészet a hozzáférhető legnagyobb gépbe, megpróbálunk becslést kapni arra, vajon mi következik ezután. Csakhogy az eredmény nem tükrözi a valóságot." Elnyomott egy cigarettát és rágyújtott egy másikra. Az embernek más módszerekkel kell vizsgálódnia. Skálaszerkezeteket kell keresnie - hogyan viszonyulnak a nagy részletek a kicsikhez. Nézd a folyadékban megjelenő zavarokat: ezek bonyolult struktúrák, amelyeknek egy szakadatlan folyamat tartja fenn a a komplexitását. Bizonyos vonatkozásban nem igazán érdekes, mi a folyamat mérettartománya; lehet borsószemnyi vagy kosárlabdányi. Az sem számít, hogy hol zajlik ez a folyamat, az pedig még kevésbé, hogy mennyi ideig. Egyes-egyedül a skálázó dolgok lehetnek bizonyos értelemben valaha is univerzálisak. A művészet egyfajta elmélet arról, milyennek tűnik a világ az emberi lények számára. Teljesen nyilvánvaló, hogy az ember nem ismeri részleteiben a körülötte lévő világot. A művészek annyit tettek, hogy tudatosították magukban: a dolgoknak csak egy kis része fontos, és ezt felismerve csak azt nézték, mi is a lényeges rész. Így a kutatások bizonyos hányadát elvégezték helyettem. Ha megnézed Van Gogh korai munkáit, iszonyú sok részlet van rajtuk, mindig tömérdek információt tartalmaznak. Később nyilvánvalóan ráébredt, mi az a már nem csökkenthető mennyiségű tartalom, amit bele kell tennie a képbe. Vagy tanulmányozhatjuk a látóhatárokat az 1600 körüli németalföldi tusrajzokban, a piciny fákkal és tehenekkel, amelyek nagyon valóságosnak látszanak. Ha közelről nézzük, a fáknak egyfajta leveles határa van, de ettől még nem lenne hiteles az egész - vannak ott még kicsiny ágszerű tünemények is. Erős kölcsönhatás van a lágyabb textúrák és a határozottabb körvonalakkal rendelkező dolgok között. Talán ez a kombináció adja meg a helyes érzékelést. Ha megnézzük, hogyan szerkeszti meg Ruysdael és Turner a bonyolult vizet, világosan látszik, hogy iterációs módszert alkalmaztak. Indultak a látvány valamilyen alapszintjéről, azután ráfestettek mintákat, és végül arra is módosításokat tettek. Az ő számukra az örvénylő folyadékokban mindig benne rejlett a skála ideája. Tényleg tudni akarom, hogyan kell leírni a felhőket. De azt mondani, hogy itt van ez a darab ilyen sűrűséggel, mellette meg az a darab olyan sűrűséggel - ennyi részletes információt összegyűjteni: azt hiszem, ez így nem jó. Bizonyosan nem ez az a mód, ahogyan az emberi lény érzékeli ezeket a dolgokat, és az sem, ahogyan egy művész érzékeli őket. A parciális differenciálegyenletekkel való leírás mintha nem oldaná meg a problémát. Mintha az volna a Föld csodálatos ígérete, hogy vannak rajta gyönyörű dolgok, csodálatos és csábító dolgok, és a szakmád révén meg akarod érteni őket." Letette a cigarettát. Füst szállt fel a hamutartóból, először vékony oszlopban és azután (az univerzalitást ünnepelve) a mennyezet felé örvénylő ágakra bomolva.

145 A kísérletező Ez olyan tapasztalat, amelyet nem hasonlíthatok semmi egyébhez. Tudósnak mindennél többét jelent azt látni, hogy valami, ami a fejében lejátszódott, pontosan megfelel valaminek, ami a természetben zajlik. Ez mindig megdöbbentő élmény. Az embert meglepi, hogy elmeszüleménye csakugyan megvalósulhat odakint, a tényleges világban. Nagy megrázkódtatás ez és nagy-nagy öröm. LEO KADANOFF

146 Albertnek lassan nő be a feje lágya" - mondták a párizsi École Normale Supérieure-ön, a francia oktatás École Polytechnique-kel vetekvő fellegvárában. Arra gondoltak, talán az életkora követel ekkora áldozatot Albert Libchabertől, hiszen korábbi munkái révén, amelyekben a szuperfolyékony hélium által az abszolút nulla fok közvetlen közelében mutatott kvantumos jelenségeket vizsgálta, már kitűnő nevet szerzett magának mint alacsonyhőmérséklet-fizikus. Tekintélye és biztos helye volt a karon. És erre 1977-ben nem átallotta egy egészen nyilvánvalónak tűnő kísérletre vesztegetni a drága időt és az egyetem erőforrásait. Ő maga is félt ezzel kockára tenni valamelyik diákjának jövendő karrierjét, ezért inkább egy hivatásos mérnökkel dolgozott. Libchaber öt évvel a német megszállás előtt született Párizsban lengyel zsidók gyermekeként; egyik nagyapja rabbi volt. Ugyanúgy vészelte át a háborút, mint Benoit Mandelbrot: vidéken rejtegették, szüleitől elválasztva, mivel a szülők kiejtése gyanúra adott okot. Szülei is életben maradtak, a család többi része azonban áldozatul esett a náciknak. A sors furcsa fintoraként Libchaber a Pétain-féle titkosrendőrség egyik helyi vezetőjének köszönhette az életét, aki heves jobboldali volt, de még hevesebb antirasszista. A háború után a tízéves Libchaber meghálálta ezt a jótéteményt: félig-meddig felfogva csak, miről is van szó, tanúskodott egy háborús bűnöket vizsgáló bizottság előtt, és ezzel megmentette a megmentőt. Libchaber egyre előrébb és előrébb jutott a francia tudományos életben; éleselméjűségét ugyan soha senki nem vonta kétségbe, de a kollégái néha azt gondolták, hogy egy kicsit őrült: zsidó misztikus a racionalisták között, egy gaulle-ista a többségükben kommunista tudósok között. Tréfálkoztak történelemfelfogásán: hogy mekkora szerepet tulajdonít a nagy embereknek a történelemben, meg azon is, mennyire csügg Goethén, s hogy mennyire vonzzák a régi könyvek. Százával voltak eredeti kiadású tudományos könyvei, némelyik még az 1600-as évekből. Nem történeti érdekességként olvasta őket, hanem mint gondolatok forrását a valóság természetéről, amelyet ő már lézerekkel és csúcstechnikájú hűtőtekercsekkel vizsgált. Mérnökében, Jean Maurerban hasonszőrű franciára talált, aki csak akkor dolgozott, ha kedvet érzett hozzá. Libchaber úgy gondolta, Maurer szórakoztatónak fogja találni új munkáját - ilyen visszafogottan fejezik ki a gallok az érdekeset vagy izgalmasat, esetleg mélyenszántót ben nekifogtak egy kísérletnek, amellyel a turbulencia megjelenését szándékoztak feltárni. Kísérletezőként Libchaber tizenkilencedik századi stílusáról volt nevezetes: leleményes értelem, ügyes kéz, inkább találékonyság, mintsem nyers erő. Nem szeretett súlyos technikai eszközöket bevetni és nehéz számításokba bonyolódni. Ugyanazt gondolta a jó kísérletről, mint a matematikusok a jó bizonyításról. Az elegancia ugyanannyit számított a szemében, mint az eredmények. Néhány kollégája még így is azt gondolta, túl messzire ment a turbulencia megjelenését vizsgáló kísérletével. Nem kellett hozzá sok hely, csak egy gyufásdoboznyi; Libchaber időnként úgy kezelte, mintha valamilyen koncept art 1 műalko- 1 Conceptual art: az egyik legfrissebb művészeti irányzat ebben az időszakban; eszerint a művet nem fontos a maga valóságában létrehozni, csupán a befogadó képzeletét kell megmozgatni - a gondolkodás a lényeg, amit már a tervrajz is megindíthat - a fordító.

147 tásról lenne szó. Csak így nevezte: hélium egy kis dobozban'. 1 A kísérlet lényegi része még kisebb helyet foglalt el: egy citrommagnyi cellát, amelyet rozsdamentes acélba véstek bele, a lehető leghibátlanabb élekkel és oldalfalakkal. A cellába az abszolút nulla feletti négy fokra hűtött folyékony héliumot töltöttek; szinte meleg volt tehát Libchaber korábbi szuperfolyékonysági kísérleteihez képest. A laboratóriumi helyiség csupán száz méternyire volt Louis Pasteur egykori laboratóriumától, és az egyetem fizikai épületének második emeletét foglalta el. Mint minden jó, általános célú fizikai laboratóriumban, Libchaberében is állandó volt a felfordulás: festékes vödrök és kéziszerszámok hevertek szanaszét a padlón és az asztalokon, mindenütt szabálytalan méretű fém- és műanyagdarabok. A rendetlenség közepette meglepően célszerűnek tetszett a miniatűr folyadékcellát magába foglaló berendezés. A rozsdamentes acélcella alatt egy nagy tisztaságú rézből készített alaplap volt, felette pedig egy zafírkristály fedőlap. Az anyagokat a hővezetőképességük szerint válogatták össze. Piciny elektromos fűtőtekercsek és teflon tömítések is voltak rajta. A folyékony hélium egy egy centiméteres kocka alakú tartályból áramlott lefelé. Az egész rendszer egy tartály belsejében helyezkedett el, igen nagy vákuumban, a vákuumos tartályt pedig folyékony nitrogén vette körül: azzal tartották állandó értéken a hőmérsékletet. HÉLIUM EGY KIS DOBOZBAN" Albert Libchaber kísérlete: A lelke egy folyékony héliumot tartalmazó gondosan megmunkált derékszögű cella volt; piciny zafír hőérzékelők mérték a folyadék hőmérsékletét. A pici cellát egy burkolatba rejtették, amely megvédte a zajtól és rezgéstől, továbbá lehetővé tette a fűtés pontos szabályozását. A rezgések mindig aggasztották Libchabert. A kísérleteket, akárcsak a valóságos nemli- 1 Albert Libchaber: Experimental Study of Hydrodynamic Instabilities. RayleighBenard Experiment: Heliu m in a Small Box, in: Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities, ed. T. Riste (Plenum, New York 1982), p A differenciálegyenlettel leírható rendszereket vizsgáló szá mítógépes és laboratóriumi káoszkísérletekről magyarul Gnádig-Györgyi- Szépfalusy-Tél cikkében olvashatunk A káosz c. kötetben.

148 neáris rendszereket, állandó háttérzaj zavarta: gátolta a mérést és elrontotta az eredményeket. Az érzékeny áramlásokat és Libchaber olyan érzékennyé tette a magáét, amilyenné csak tudta - erősen megzavarhatja a zaj: könnyen átlökheti egy másfajta viselkedéssel járó állapotba. A nemlinearitás azonban nemcsak bizonytalanná teheti, de stabilizálhatja is a rendszereket: a nemlineáris visszacsatolás szabályozza és ezáltal sokkal ellenállóbbá teszi a mozgást. Egy lineáris rendszerben a zavarnak állandó hatása van. Nemlineáris viszonyok közepette azonban a zajok teljesen felemészthetik magukat, és ennek jóvoltából a rendszer automatikusan visszatér egy stabil állapotba. Libchaber úgy gondolta, hogy a biológiai rendszerek nemlinearitásukat zaj elleni védelmül használják. A fehérjék energiaszállítása, a szív elektromosságának hullámmozgása és az idegrendszer is megőrzi rugalmasságát a zajjal teli világban. Libchaber azt remélte, akármilyen struktúra rejtőzik is a mélyben, a folyadékáramlás elég ellenálló lesz ahhoz, hogy kísérletével mérhető legyen. Eltervezte, hogy az alaplap hőmérsékletét nagyobbra állítja a fedőlapénál és ezzel konvekciót indít a folyékony héliumban. Ez pontosan az Edward Lorenz által leírt konvekciós modell: a Rayleigh-Bénardféle konvekció néven ismert klasszikus rendszer. Libchaber azonban nem tudott Lorenzről - egyelőre. Mitchell Feigenbaum elméletéről sem volt tudomása. Feigenbaum 1977-ben kezdte tudományos előadókörútját, és felfedezései csak ott hagytak nyomot maguk után, ahol a tudósok tudták, hogyan értelmezzék őket. De a legtöbb fizikus véleménye szerint a feigenbaumológia mintázatai és szabályosságai nem álltak kétségbevonhatatlan kapcsolatban a valóságos rendszerekkel. Feigenbaum mintázatai egy digitális számológépből származtak, a fizikai rendszerek azonban sokkal-sokkal bonyolultabbak. További bizonyítékok nélkül legfeljebb annyit lehetett megkockáztatni, hogy Feigenbaum felfedezett egy matematikai hasonlóságot, amely úgy festett, mint a turbulencia kezdete. Libchaber tudta, hogy amerikai és francia kísérletek megrendítették Landau elméletét a turbulencia megjelenéséről: kimutatták ugyanis, hogy a turbulencia hirtelen átalakulásban bukkan fel, s nem különböző frekvenciák folytonos egymásra épülésével. A kísérletezők, mint például Jerry Gollub és Harry Swinney, a forgó hengerben megfigyelt áramlással bebizonyították, hogy új elméletre van szükség, de nem tudták teljes részletességgel feltérképezni a káoszba való átmenetet. Libchaber látta, hogy a laboratóriumban nem alakult ki világos elképzelés a turbulencia megjelenéséről, és úgy határozott, hogy csöppnyi folyadékcellájával a lehető legáttekinthetőbb képet fogja adni. A látás beszűkülése segít mozgásban tartani a tudományt. A hidrodinamikusok a maguk szemszögéből nézve helyesen jártak el, amikor kétségbe vonták, hogy Swinney és Gollub csakugyan olyan nagy pontosságot ért el a Couette-áramlás vizsgálatában. Saját szemszögükből a matematikusok is jogosan nehezteltek Ruelle-re, mert Ruelle megszegte a szabályokat. Nagyravágyó fizikai elméletet dolgozott ki, szigorú matematikai állításnak álcázva. Nem volt könnyű eldönteni, hogy mit feltételezett és mit bizonyított. A matematikus, mindaddig elutasítván a gondolatokat, amíg azok meg nem felelnek a tétel, bizonyítás, tétel, bizonyítás szabványnak, azt a szerepet tölti be, amit tudományága előír neki: tudatosan vagy nem tudatosan útját állja a csalásnak és a misztikának. A folyóirat-szerkesztőről, aki szokatlan megfogalmazásuk miatt elutasítja az új gondolatokat, a dologban kellemetlenül érintettek azt gondolják, hogy ezzel csak befutott kollégáinak érdekeit védi, pedig a szerkesztőnek egyebek között az is dolga, hogy ésszerű határok között óvakodjon mindentől, ami még kipróbálatlan. A tudomány egy csomó lehetetlenség ellenében épült fel" - vélekedett maga Libchaber is. Amikor kollégái misztikusnak nevezték, nem feltétlenül valami szeretetre méltóra céloztak vele. Libchaber kísérletező volt, gondos és fegyelmezett kísérletező, köztudomásúlag szigorú

149 és pontos az anyag vizsgálatában; s mégis: vonzódott az áramlásnak nevezett elvont, felében-harmadában meghatározott, kísérteties dologhoz. Az áramlás alak és változás, mozgás és forma. A differenciálegyenlet-rendszereket felfogó fizikus áramlásnak nevezhetné az egyenletek matematikai mozgását. Az áramlás platóni idea volt: arra épült, hogy a rendszerek változása mögött az adott pillanattól független valóság húzódik meg. Libchaber magáévá tette Platón felfogását, mely szerint a világegyetemet rejtett formák töltik ki. De hiszen tudjuk, hogy így van! Láttuk már növények leveleit. Ha sokat megnézünk, lehetetlen nem észrevennünk, hogy általános formáik száma véges. Könnyen lerajzolhatjuk a fő formát. Érdekes lenne ezt egyszer megérteni. Vagy más formákat. Egy kísérletben folyadékba hatoló folyadékot láttunk." Íróasztala tele volt ilyen kísérletek fényképeivel, folyadékok kövér fraktálujjaival. Nos, ha a konyhánkban meggyújtjuk a gázt, látjuk, hogy a láng megint csak ilyen alakú. Ez a forma nagyon elterjedt, mondhatni egyetemes. Nem érdekel, hogy lángról van szó, vagy folyadékról a folyadékban, vagy növekvő kristályról: engem a forma foglalkoztat." A tizennyolcadik században merült fel annak az ábrándképe, hogy a tudománynak mondania kellene valamit a formák fejlődéséről a térben és időben. Ha áramlásra gondolunk, számos lehetőségünk van rá: gondolhatunk gazdasági áramlatra vagy például történelmire. Az áramlás lehet előbb lamináris, azután kettéválhat és bonyolultabb állapotba juthat, esetleg oszcillációktól is kísérve. S ezután még lehet kaotikus is. A formák egyetemessége, az eltérő mérettartományokban mutatkozó hasonlóságok, az áramlásokon belüli áramlások visszatérítő ereje már túl van a változás hagyományos, differenciálhányadosokkal felírható egyenleteinek tartományán. De ezt nem volt könnyű észrevenni. A tudományos problémákat az éppen használatos tudományos nyelven fejezik ki. Libchaber áramlásról alkotott elképzelései a huszadik században leginkább a költészet nyelvén fejezhetők ki. Wallace Stevens például olyan benyomásokat fogalmazott meg a világról, amelyek előtte jártak a fizikusok számára felfogható tudásnak. Rejtélyes sejtelem volt ez az áramlásról, hogy változva hogyan ismétli mégis önmagát:... a foltos folyóról, Mely egyre folyt, de sosem ugyanúgy, átszelt Számos helyet, mintha egésze állna,..." 1 Stevens költészete többször is elénk tárja a légkörben és a vízben látható zűrzavar látomását. S gyakran közvetít egy hitet azokban a láthatatlan formákban, amelyet a rend hoz létre a természetben: azt a hitet, hogy a légben, hol nincsen árny, Ha észrevétlen is, ott a dolgok tudása." Amikor az 1970-es években Libchaber és néhány más kísérletező elkezdte vizsgálni a folyadékok mozgását, valahogy ez a felforgató költői szándék kelt életre bennük. Kapcsolatot gyanítottak a mozgás és az egyetemes forma között. Az egyetlen lehetséges módon gyűjtötték az adatokat: leírták a számokat vagy digitális számítógépben rögzítették őket. Később viszont már azt keresték, hogyan szervezhetnék úgy az adatokat, hogy feltáruljanak mögöttük a formák. Remélték, hogy a mozgással kifejezhetik a formákat. Meggyőződésükké vált, hogy a dinamikus formák, mint például a lángok és a szerves formák, például a levelek, az erők valamilyen még meg nem értett összekapcsolódásától nyerik alakjukat. Ezek a kísérletezők, akik a legkönyörtelenebbül üldözték a káoszt, azzal értek el sikereket, 1 Wallace Stevens: Zuhatagok magánya [This Solitude of Cataracts], in: Pasziánsz a tölgyek alatt, ford. Tandori Dezső (Európa, 1981), p. 102

150 hogy nem voltak hajlandók elfogadni semmiféle mozdulatlanságba dermedt valóságot. Még Libchaber sem ment volna odáig, hogy ezt ilymódon fejezze ki, mindazonáltal elképzelésük közel jutott Stevens érzeteihez a szilárd nem szilárd hullámzásá"-ról: Diadalmas erő, erek tündöklése, Ahogy születtek, sürögtek, s enyésztek a létezők, A térben, a mozgásban, vagy a semmiben, A nyári éj látható átváltozásai, Ezüstös elvontság, már-már alakot öltve, És hirtelen megtagadva önmagát." 1 Libchabernek nem Stevens, hanem Goethe adta a misztikus ihletet. Feigenbaum a Harvard könyvtárában kereste Goethe Színelméletét, Libchaber viszont gyűjteményében tudhatta A növények átalakulásáról című még kétesebb hírű monográfia eredeti kiadását. Ez volt Goethe oldalvágása a fizikusok felé, akik - mint hitte - kizárólag a statikus jelenségekkel törődtek, s nem azokkal az életerőkkel és áramlásokkal, amelyek a pillanatról pillanatra látható formákat létrehozzák. Goethe örökségének - az irodalomtörténészek szerint elhanyagolható - részét alkotta az a németországi és svájci áltudományos irányzat, amelyet olyan filozófusok tartottak elevenen, mint Rudolf Steiner és Theodor Schwenk. Libchaber őket is csodálta, amennyire az egy fizikustól telhetett. Érzékeny káosz" - Das sensible Chaos - ezt a kifejezést használta Schwenk az erő és a forma kapcsolatára. Címéül adta egy furcsa kis könyvének, amelyet először 1965-ben adtak ki, azután hol kapható volt, hol nem. A könyv először is a vízről szólt. Az angol kiadás Jacques Y. Cousteau kapitány elragadtatott előszavával jelent meg, és további ajánlásokkal a Water Resources Bulletintől (Közlöny a vízkészletekről) és a Journal of the Institute of Water Engineerstől (Vízmérnöki Intézet Folyóirata). A tudomány kevéssé befolyásolta Schwenk fejtegetéseit, a matematika pedig még annyira sem. Mindazonáltal tökéletes megfigyeléseket tett. A művész szemével mutatta be a természeti áramlások formáinak sokaságát. Fényképeket gyűjtött össze és több tucat pontos rajzot készített, amelyek az először mikroszkópba néző sejtbiológus vázlataira hasonlítottak. Nyitottságára és naivitására Goethe is büszke lett volna. Könyvének oldalai csupa áramlással vannak tele. A Mississippihez fogható nagy folyók kígyóznak széles kanyarokkal a tengerbe, vagy a franciaországi Arcachoni-öböl. Magában a tengerben pedig a Golf-áramlás kanyarog, s nagy hurkokat vet kelet és nyugat felé. Ez egy óriási melegvizű folyó a hideg vízben; ahogyan Schwenk mondta: folyó, amely magából a hideg vízből építi fel partjait". 2 Ha az áramlás maga megszűnik vagy láthatatlan, a nyomai akkor is láthatók maradnak. A levegőtenger folyói is otthagyják nyomukat a sivatagi homokon, s hullámokat formálnak. Az apálykor visszahúzódó áramlat erek hálózatát rajzolja a tengerpartra. Schwenk úgy vélte, ez nem véletlen egybeesés. Egyetemes elvekben hitt, és az egyetemességen túl valamiféle természeti szellemben is, ami kellemetlenül antropomorffá tette prózáját. A következő archetipikus elvet" vallotta: az áramlás a környező anyagtól függetlenül igyekszik megvalósítani önmagát". 3 Tudta, hogy az áramokon belül léteznek másodlagos áramok. A kanyargó folyóban lefelé mozgó víz másodlagosan a folyó tengelye körül áramlik az egyik part felé, lefelé a folyóágyban, a másik part felé, fel a felszínre, akár egy spirálisan mozgó részecske egy gyű- 1 Reality Is an Activity of the Most August Imagination, The Palm at the End of the Mind, ed. Holly Stevens (Vintage, New Yo rk 1972), p Theodor Schwenk: Sensitive Chaos (Schocken, New York 1976), p U.o.

151 rűsfánk körül. Bármely vízrészecske pályája más fonalak köré csavarodó fonalat ír le. Schwenk szinte egy topológus képzeletével látta az ilyen mintázatokat. A spirálba csavarodó szálak képe csak a tényleges mozgásra vonatkoztatva pontos. Gyakran beszélünk»vízfonalakról«, holott ezek valójában nem elkülönült fonalak, hanem egész felületek, amelyek térbelileg összefonódnak és elfolynak egymás mellett." 1 Versengő ritmusokat látott a hullámokban, egymást legyőző hullámokat, elválasztó felületeket és határrétegeket. Forgókat, örvényeket és örvénysorokat látott, amelyeket az egyik felületnek a másikon való gördüléseként" fogott fel. Itt olyan közel került a turbulencia dinamikájának fizikus elképzeléséhez, amennyire egy filozófus egyáltalán közel kerülhet. Művészi meggyőződése megkívánta az egyetemességet. Schwenknek az örvények az instabilitást jelentették, az instabilitás pedig azt, hogy az áramlás szembeszáll a magába foglalt egyenlőtlenséggel és hogy ez az egyenlőtlenség archetipikus". A forgók gördülése, a páfrányok kibomlása, a hegyláncok gyűrődése, az állati szervek üregesedése az ő szemében mind ugyanazt az utat követték. Ennek semmi köze nem volt semmilyen sajátos közeghez vagy egyedi különbséghez. Az egyenlőtlenségek megtestesülhettek a lassú és a gyors, a meleg és a hideg, a sűrű és a ritka, a sós és az édesvíz, a sűrűn folyós és a hígan folyós, a sav és a lúg közötti különbségben. És a határon az élet virágzik. 2 MEANDEREZŐ ÉS SPIRÁ LBAN MOZGÓ ÁRAMLÁSOK. Theodor Schwenk a természeti áramlásokat mint másodlagos mozgásokkal összekapcsolódott fonalakat írta le.... ezek valójában nem elkülönült fonalak-írta-,hanem egész felületek, amelyek térbelileg összefonódnak...". Ami viszont az életet illeti, az D'Arcy Wentworth Thompson felségterülete volt. Ez a 1 U.o. p U.o. p. 39.

152 rendkívüli természettudós 1917-ben a következőket írta: Lehetséges, hogy az energia valamennyi törvénye, az anyag minden tulajdonsága és a kolloidok egész kémiája éppoly kevés a test megmagyarázására, mint a lélek megértésére. Magam azonban úgy vélem, hogy nem az." 1 D'Arcy Thompson éppen azt hozta meg az élet tanulmányozásában, ami Schwenk munkáiból oly nagyon hiányzott: a matematikát. Schwenk analógiával érvelt. Az ő lélektől áthatott, virágzó, enciklopédikus látomása végül nem lépett túl a hasonlóságok feltárásán. D'Arcy Thompson mesterneve, az On Growth and Form (A növekedésről és a formáról) stílusában és módszerében azért követte valamelyest Schwenket. A mai olvasó eltűnődik rajta, mit gondoljon a kanyargós indákban aláhulló sokágú folyadékcseppek aprólékosan kimunkált képeiről, amelyeket D'Arcy Thompson a hozzájuk meglepően hasonló élő medúza képe mellé állít. Talán csak véletlen egybeesés? Ha két forma hasonlít egymásra, kell-e e mögött mindjárt hasonló okokat keresnünk? D'Arcy Thompson bizonyára a legnagyobb befolyású biológus azok között is, akik rajta hagyták kezük nyomát a hivatalos tudományon. A biológia huszadik századi forradalma már jócskán zajlott életében, de őt ez a legkevésbé sem érintette meg. A kémiát figyelmen kívül hagyta, félreértette a sejtet, és egyáltalán nem látta előre, milyen robbanásszerű fejlődés vár a genetikára. Munkája már megírásának idején is túl klasszikusnak és irodalminak - túlontúl szépnek - tűnt, semhogy megbízhatóan tudományos legyen. Egyetlen mai biológusnak sem kell elolvasnia D'Arcy Thompsont. Mégis valahogy a legnagyobbak vonzódnak ehhez a könyvhöz. Sir Peter Medawar az angol nyelvű tudományos irodalom minden egyéb fölött álló legjobb művének" nevezte. 2 Stephen Jay Gould sem talált jobb gondolati előzményt nála, amikor egyre határozottabb benyomásává vált, hogy a természet kikényszeríti a dolgok formáját. D'Arcy Thompsonon kívül nem sok modern biológus tanulmányozta az élő szervezetek eltagadhatatlan egységét. Mint Gould megállapítja: Kevesen kérdezték meg, hogy vajon minden mintázatot vissza lehet-e vezetni csupán az azt létrehozó erők rendszerére. És mintha kevesen érezték volna át, milyen jelentőségű lehet a szerves formák tudományában, ha ez a próbálkozás sikerrel jár." 3 Ez a klasszikussá vált, több nyelven beszélő matematikus és egy személyben zoológus megpróbálta az életet egészben látni, éspedig éppen akkor, amikor a biológia oly sokat termően kanyarodott el a szervezetet alkotórészeire visszavezető módszerek felé. A redukcionizmus győzelmet aratott, legfölényesebben a molekuláris biológiában, de máshol is, mindenütt, az evolúciótól az orvostudományig. Hogyan érthetnénk meg másképpen a sejteket, ha nem a membránok és sejtmagok, végső soron pedig a fehérjék, enzimek, kromoszómák és bázispárok jóvoltából? Amikor végül a biológia előhozta az üregek, a recehártyák, az idegek, az agyszövet belső működését, egyszerre unalmasan ósdi dologgá vált a koponya alakjával törődni. D'Arcy Thompson volt az utolsó, aki ezzel foglalkozott. És ő volt az utolsó nagy biológus, aki - sok éven át - energiát szentelt az okok gondos tárgyalásának, főként a cél-okok és a ható- vagy fizikai okok megkülönböztetésének. A cél-ok szándékon vagy terven alapuló ok: a kerék kerek, mert ez a forma ad lehetőséget a szállításra. A fizikai ok mechanikus: a Föld gömbölyű, mert a gravitáció gömbszerűvé húzza össze a forgó folyadékot. A megkülönböztetés azonban nem mindig ilyen egyszerű. A pohár kerek, mert magától is ezt az alakot ölti az agyag a fazekaskorongon vagy az üveg az üvegfúvó pipa végén. A tudomány egészét tekintve a fizikai ok uralkodik. Amikor ugyanis a csillagászat és a 1 D'Arcy Wentworth Thompson: On Growth and Form, J. T. Bonner, ed. (Cambridge University Press, Cambridge 1961), p U.o. P. viii. 3 Stephen Jay Gould: Hen's Teeth and Horse's Toes (Norton, New York 1983), p. 369

153 LESZÁLLÓ CSEPPEK. D'Arcy Wentworth Thompson bemutatta a vízbe hulló tintacseppek által keltett lehajló fonalakat és oszlopokat (balra) és a medúzát (jobbra). Rendkívül különös eredmény... amely arra utal, milyen érzékenyek ezek... a cseppek a fizikai körülményekre. Végig ugyanazt a zselatint használva és csupán a folyadék sűrűségét változtatva (a harmadik tizedesjegyben), egész sorozatra való alakzatot kapunk a szokásos csüngő csepptől a bordás mintájúig..." fizika kilépett a vallás árnyékából, minden nehézség nélkül szakíthatott a mindig előretekintő teleológiával - a Föld csupáncsak Föld, az emberiség tehát megteheti, amit tesz. A biológiában viszont - Darwin keze nyomán - a teleologikus felfogás uralkodóvá vált az okról való gondolkodásban. A biológiai világ talán nem teljesít be isteni eredetű terveket, de bizonyosan beteljesíti a természetes kiválogatódás kialakította terveket. A természetes kiválogatódás nem a génekre vagy az embriókra hat, hanem arra, ami végül is előáll. Ilyenformán a szervezetek formájára vagy a szervek működésére adandó adaptációs magyarázat mindig az okra figyel: nem a fizikai, hanem a cél-okra. A cél-ok mindenütt fennmaradt, ahol szokássá lett a darwini gondolkodásmód. A mai antropológus, ha mondjuk a kannibalizmuson vagy az emberáldozaton mint szokáson gondolkodik, akkor - okkal vagy ok nélkül - csak azt firtatja, hogy az vajon mi célt szolgál. D'Arcy Thompson előre látta ezt. Úgy tartotta, hogy a biológusnak gondolnia kell a fizikai okokra is, vagyis a mechanizmusra éppúgy, mint a teleológiára. Elszánta magát az életben működő matematikai és fizikai erők megmagyarázására. Mivel akkoriban az adaptációs felfogás uralkodott, haszontalannak tűnt az efféle magyarázat. Ez időben az tetszett sokrétű és gyümölcsöző problémának, hogy vajon hogyan formálta a természetes kiválasztódás hatékony napelemmé a növények levelét. Csak jóval később kezdett néhány tudós megint a természet megmagyarázatlanul hagyott oldalán tépelődni. A levelek bizonyos formákat öltenek fel az összes elképzelhetőből, és a levelek formáját nem a működésük szabja meg. D'Arcy Thompson a rendelkezésére álló matematikával nem bizonyíthatta be azt, amit

154 szeretett volna. Többet nem tehetett, mint hogy lerajzolta például a rokon fajok koponyáját, koordinátákat jelölt meg rajtuk és megmutatta azt az egyszerű geometriai transzformációt, amely egyiket a másikba viszi. Az egyszerű szervezetekkel kapcsolatban - amelyeknek az alakja oly kínosan emlékeztet a folyadéksugarakra, a cseppek fröcskölésére és az áramlás más megnyilvánulásaira fizikai okokat feltételezett, mint például a gravitációt és a felületi feszültséget, azok azonban nem fejthetik ki azt a hatást, amelyet tulajdonított nekik. Miért gondolkozott hát Albert Libchaber az On Growth and Farmon, amikor elkezdte folyadékkísérleteit? D'Arcy Thompson intuitív nézetei az életet formáló erőkről olyan közel jutottak a dinamikai rendszerekhez, mint semmi más a biológia fő áramlatában. Az életet életnek képzelte el, valami olyannak, ami mindig mozgásban van, ami az egyetemes formák létrehozóiként feltételezett ritmusoknak - a növekedés mélyen gyökerező ritmusainak" 1 - a hatása alatt áll. Nem a dolgok anyagi formáit tekintette voltaképpen vizsgálatra érdemesnek, hanem a dinamikájukat: az erő hatása, az Energia működése szerinti értelmezést". 2 Eléggé matematikus lélek volt ahhoz, hogy tudja: a formák katalogizálása semmit sem bizonyít. Másfelől viszont eléggé költői lélek is ahhoz, hogy hihesse: sem véletlen, sem szándék nem magyarázhatja, miért olyan megdöbbentően egyetemesek a természetkutatásban hosszú esztendők alatt összegyűjtött formák. Erre fizikai törvényeknek kell magyarázattal szolgálniuk: az erőket és a növekedést meghatározó fizikai törvényeknek, csakhogy azok működése kívül esett a már megértett dolgok tartományán. Ismét Platónhoz jutottunk: az egyes, a látható anyagformák mögött láthatatlan mintaként kísérteties formáknak kell meghúzódniuk. Mozgásban levő formáknak. Libchaber a folyékony héliumot választotta kísérletének céljaira. A folyékony héliumnak rendkívül kicsi a belső súrlódása, úgyhogy a legkisebb lökéstől is arrébb gördül. Ha közepes belső súrlódású folyadékot - például vizet - vagy levegőt választ, sokkal nagyobb dobozt kellett volna vennie. A kis belső súrlódás jóvoltából a kísérlet sokkal érzékenyebb lett a fűtésre. Ebben a milliméteres cellában elég volt ezredfoknyi hőmérséklet-különbség a felső és az alsó felület között, s máris megindult a konvekció. Ezért kellett tehát a cellának olyan picinek lennie: nagyobb dobozban, ahol a folyékony héliumnak több helye lett volna az odébb gördülésre, még gyengébb - sokkal-sokkal gyengébb - fűtés is ugyanilyen mozgást keltett volna. Egy minden irányban tízszer ekkora, vagyis szőlőszem nagyságú dobozban - tehát ezerszer akkora térfogatban - a konvekció már egymilliomod foknyi hőmérséklet-különbségnél is megindult volna. Ilyen kis hőmérséklet-különbséget nem lehet beállítani. A tervezés és a megépítés során Libchaber és mérnöke igyekezett teljesen kiküszöbölni a lehetséges zavarokat. Igazán mindent megtettek, hogy megszüntessék azt a mozgást, amelyet tanulmányozni akartak. A folyadékmozgást - a sima áramlástól kezdve a turbulenciáig - térbeli mozgásnak gondoljuk. Komplexitása térbeli komplexitásként, zavarai, örvényei térbeli káoszként jelennek meg. Libchaber azonban olyan ritmusokat keresett, amelyek időbeli változások alakját öltik. Az idő volt a játéktér és a mérőrúd. A teret szinte egy egydimenziós pontba sűrítette. A szélsőségig fokozta azt a technikát, amelyet már elődei is alkalmaztak a folyadékkísérletekben. Mindenki tudta, hogy a bezárt áramlás - a dobozba szorított Rayleigh-Bénard konvekció vagy a henger belsejére korlátozott Couette-Taylorféle forgás - mérhetően jobban viselkedik, mint egy nyílt áramlás, mint a hullámok az óce- 1 On Growth and Form, p U.o. p. 114.

155 ánban vagy a levegőben. A nyílt áramlásban szabad marad a határfelület, és ettől megsokszorozódik a komplexitás. Mivel egy szögletes dobozban a konvekció virslihez, vagy ez esetben inkább szezámmaghoz hasonló folyadékhengereket hoz létre, gondosan úgy választotta meg a cellája méretét, hogy abban éppen két henger férhessen el. A folyékony hélium középen felemelkedik, majd balra és jobbra fordul és leereszkedik a cella külső oldalai mentén. A geometria határt szabott a lehetőségeknek: kordában tartotta az ingadozásokat. A sima vonalak és a gondosan kialakított arányok kiküszöbölték a nem kívánatos fluktuációkat. Libchaber befagyasztotta a teret, hogy játszhasson az idővel. A kísérlet megindulása után a folyékony hélium a nitrogénfürdőbe merülő vákuumtartályba tett cella belsejében görgött, Libchabernek tehát valahogyan bele kellett látnia a cellába, hogy tudja, mi történik benne. Két mikroszkopikus hőmérséklet-érzékelőt épített a cella zafír fedőlapjába, s egy rajzgéppel folyamatosan rögzítette az általuk adott kimeneti értékeket. Így a folyadék tetején két helyen figyelhette a hőmérsékletet. Ez olyan érzékeny, olyan ügyes módszer volt, hogy Libchabernek - mint egy másik fizikus mondta - sikerült rászednie a természetet. Két évbe telt, mire ez az aprócska precíziós mestermű mindent feltárt, de Libchaber szerint ez volt a megfelelő ecset az ő festészetéhez: nem túl nagy és nem túl bonyolult. Végre mindent látott. Óráról órára, éjjelnappal folytatta a kísérletet, s végül kiderült, hogy a turbulencia megjelenését bonyolultabb viselkedési mintázat kíséri, mint amilyenre valaha is számított. Megjelent a teljes perióduskettőződési sorozat. Libchaber korlátozta és finomította egy melegítésre felemelkedő folyadék mozgását. A folyamat az első bifurkációval kezdődik, a mozgás megindulásával, amint a nagy tisztaságú réz alaplemez eléggé felmelegszik ahhoz, hogy legyőzze a folyadék hajlamát a mozdulatlanságra. Néhány fokkal az abszolút nulla fok felett ehhez egyezred fok is elég. Alul a folyadék felmelegszik, kitágul és könnyebb lesz a felső hideg folyadéknál. A hideg folyadék erre lesüllyed és helyet ad a melegebbnek. Hogy a kétirányú mozgás lehetővé váljon, a folyadék azonnal forgó hengerpárrá szerveződik. A gördülés sebessége állandósul: a rendszer egyensúlyba jut, mozgó egyensúlyba, amelyben a hőenergia folyamatosan mozgássá alakul át, majd a súrlódás révén hővé disszipálódik és a hideg fedőlemezen át eltávozik. Ez idáig Libchaber egy jól ismert hidrodinamikai kísérletet ismételt meg, s ezért próbálkozását haszontalannak is tartották. Klasszikus fizika volt - mondta -, ami sajnos azt jelentette, hogy régi, következésképpen érdektelen." Ráadásul ez éppen az az áramlás volt, amelyet háromegyenletes rendszerével Lorenz is modellezett. A valóságos világban - valódi folyadékkal, egy technikus által kivágott dobozzal, a párizsi közlekedés által okozott rezgéseknek kitett laboratóriumban - végzett kísérletben azonban sokkal fáradságosabb volt az adatgyűjtés, mint a számok előállítása egy számítógéppel. A Libchaber-féle kísérletezők egyszerű rajzgépet használtak a fedőlapba rögzített érzékelő által mért hőmérséklet rögzítésére. Az első bifurkáció utáni egyensúlyi állapotban a hőmérséklet minden pontban többé-kevésbé állandó marad, és a rajztoll egy egyenest ír le. Erőteljesebb fűtésre szaporodnak az instabilitások. Egy-egy hurok fejlődik ki a hengerekben, és ezek a hurkok előre-hátra mozognak. Hullámzásuk két érték között emelkedő és süllyedő hőmérsékletként jelenik meg: a toll hullámos vonalat rajzol a papírra. Egy egyszerű hőmérsékletgörbéből, amely állandóan változik és rázkódik a kísérleti zaj miatt, lehetetlen kiolvasni az új bifurkációk pontos idejét vagy kikövetkeztetni természetüket. A vonalon véletlen hegyekvölgyek következnek egymás után, minden látszat szerint éppoly véletlenszerűen, mint a tőzsdei árak lázgörbéjén. Libchaber spektrum-ábrán elemezte ezeket az adatokat, s az kimutatta a változó hőmérsékletekben rejlő fő frekvenciá-

156 kat. Kísérleti adatokból spektrum-ábrát készíteni olyasvalami, mint felrajzolni egy szimfónia bonyolult akkordját alkotó hangfrekvenciákat. Az ábra alján mindig borzas, egyenetlen vonal fut végig: a kísérleti zaj. A fő hangszínek kiugró csúcsokként jelennek meg: minél hangosabb a kérdéses hang, annál magasabb a csúcs. S ha az adatok valamilyen uralkodó frekvenciára utalnak - például egy másodpercenként egyszer tetőző ritmusra -, akkor az a frekvencia a spektrumábrán csúcsként fog feltűnni. KÉT LEHETŐSÉG A BIFURKÁ CIÓ SZEMLÉLTETÉSÉRE. Ha egy kísérletben, mint például Libchaber konvekciós cellájában állandó oszcilláció alakul ki, akkor a fázistérbeli ábrán egy szabályos időközönként ismétlődő hurok látható (balra, fent). Az adatokban mutatkozó frekvenciákra kíváncsi kísérletező ilyenkor erős csúcsot lát a spektrum-ábrának ehhez a ritmushoz tartozó helyén (balra, lent). Egy perióduskettőző bifurkáció után a rendszer kettős hurkot ír le, s a továbbiakban ezt ismételgeti (középen, fent); a kísérletező pedig új ritmust figyelhet meg az eredeti frekvencia felénél, azaz a kétszeres periódusidőnél (középen, lent). Az újabb és újabb perióduskettőződések további csúcsokkal tűzdelik tele a spektrumot (jobbra). Libchaber kísérletében az első megjelenő hullámhossz történetesen nagyjából két másodpercnek felelt meg. A második bifurkáció rejtélyes változást hozott. A henger továbbra is hullámzott, s a hőérzékelő által mutatott hőmérséklet továbbra is egyetlen uralkodó ritmusban emelkedett és süllyedt, ám a hőmérséklet a páratlan ciklusokban elkezdett a korábbinál egy kicsit magasabbra szökni, a páros ciklusokban pedig egy kicsit lejjebb szállni. A maximális hőmérséklet lényegében kettéhasadt, úgyhogy két különböző maximum és két minimum volt. A rajztoll, bár ezt nem volt könnyű észrevenni, a hullámra újabb hullámot - metahullámot - rajzolt. A spektrum-ábrán mindez világosabban látszott. A régi frekvencia még mindig erősen jelen volt, mivel a hőmérséklet két másodperces időközönként továbbra is emelkedett. Felbukkant azonban egy újabb frekvencia, éspedig a régi frekvencia felénél, mivel a rendszerben kialakult egy minden négy másodpercben ismétlődő összetevő. 1 Ahogyan a bifurkációk folytatódtak, kitűnt egy különösen szilárd mintázat: az új frekvenciák kétszer akkorák voltak, mint a régiek, úgyhogy az ábra csúcsokkal népesült be a negyed-, nyolcad-, tizenhatod távolságoknál, s mindinkább egy rövidebb-hosszabb lécekből összerótt kerítéshez kezdett hasonlítani. Még annak az embernek is, aki kereste a rejtett formákat a zűrzavaros adatokban, több tucat, majd több száz kísérletet kellett végeznie, míg végre látni kezdte ennek a pici cellának a viselkedésmódját. Minden pillanatban várható volt, hogy valami különös történik, amint 1 Libchaber és Maurer, 1980 és Cvitanović bevezetése is világos összegzést ad.

157 AZ ELMÉLETET MEGERŐSÍTŐ VALÓSÁGOS VILÁ GBELI ADATOK. Libchaber spektrum-ábrái életszerűen megmutatták az elmélet által megjósolt perióduskettőződés pontos mintázatait. Az új frekvenciák csúcsai világosan kiemelkednek a kísérleti zajból. Feigenbaum skálázási elmélete nem csak azt jósolta meg, mikor és hol tűnnek fel az új frekvenciák, hanem azt is milyen erősek lesznek - vagyis a nagyságukat. Libchaber és mérnöke lassan növelte a hőmérsékletet és a rendszer egyik egyensúlyból átkerült egy másikba. Időnként átmeneti frekvenciák bukkantak fel, lassan átsiklottak a spektrum-ábrán, s aztán eltűntek. Időnként az ügyes geometriai szerkezettel mit sem törődve nem két, hanem három henger alakult; és valójában honnan is tudhatták volna, mi történik abban a pici cellában? Ha Libchaber ismerte volna Feigenbaum felfedezését az univerzalitásról, akkor pontosan tudta volna, hol keresse a bifurkációit és mit tartson felőlük re mind több matematikus és matematika iránt vonzódó fizikus figyelt fel Feigenbaum új elméletére. A valódi fi-

158 zikai rendszereket ismerő tudósok többsége azonban úgy gondolta, jó oka van még várni a véleménynyilvánítással. Más dolog volt a komplexitás az egydimenziós rendszerekben, May és Feigenbaum leképezéseiben, és megint más a mérnök által megépíthető mechanikai eszközöket jellemző két-, három- vagy négydimenziós rendszerekben. Ezekhez súlyos differenciálegyenletek kellettek, az egyszerű differenciaegyenletek már nem voltak használhatók. Úgy tetszett, egy másik szakadék is elválasztja a kis dimenziószámú rendszereket a folyadékáramlási rendszerektől, amelyeket a fizikusok potenciálisan végtelendimenziós rendszereknek gondoltak. Tulajdonképpen még Libchaber gondosan megszerkesztett cellája is szinte végtelen sok folyadékrészecskét tartalmazott. S elvileg minden részecskének lehetősége van a független mozgásra, bizonyos körülmények között bármelyikük megindíthat egy új kanyart vagy örvényt. Az elképzelést, hogy a lényeget jelentő, hús-vér mozgás egy ilyen rendszerben leképezésekre egyszerűsödik, senki sem fogadta el." - mondta Pierre Hohenberg az AT&T Bell Laboratórium (New Jersey állam) munkatársa. Hohenberg azon kevesek közé tartozott fizikus körökben, akik az új elméletet és az új kísérleteket is figyelemmel kísérték. Feigenbaum talán ábrándozott róla, de mondani biztosan nem mondta. Az ő munkája a leképezésekről szólt. Miért érdekelték volna a fizikusokat a leképezések; hiszen az csak egy játék? És ameddig csupán a leképezésekkel folyt a játszadozás, úgy tűnt, mindez eléggé távol esik attól, amit meg akartunk érteni." Amikor azonban látni lehetett kísérletekben, akkor tényleg izgalmassá vált. Igazán csodálatos. Az benne a csoda, hogy még az érdekes rendszerek viselkedését is részletesen megérthetjük egy ilyen kevés szabadsági fokú modell alapján." Végül is ő, Hohenberg hozta össze az elméleti kutatót a kísérletivel nyarán tudományos szemináriumot vezetett Aspenben, s azon Libchaber is részt vett. (Négy évvel korábban, ugyanazon a nyári tudományos szemináriumon hallotta Feigenbaum Steve Smale-t egy számról - egyetlen egy számról - beszélni, amely akkor bukkant fel, amikor egy matematikus egy bizonyos egyenletben megvizsgálta a káoszba való átmenetet.) Hohenberg felfigyelt Libchaber beszámolójára a héliumos kísérletekről. Hazafelé menet Hohenberg véletlenül megállt új-mexikóban és felkereste Feigenbaumot. S nem sokkal később Feigenbaum meglátogatta Libchabert Párizsban. Ott álltak Libchaber laboratóriumának szanaszét heverő alkatrészei és műszerei között. Libchaber büszkén mutatta piciny celláját, és meghallgatta Feigenbaum magyarázatát legutóbbi elméletéről. Azután sétáltak Párizs utcáin, és keresték, hol adják a legjobb kávét. Libchaber később felemlegette, mennyire meglepte, hogy ilyen fiatal és - ahogy mondta: eleven - elméleti embert látott. Az ugrás a leképezésektől a folyadékáramlásig akkorának tűnt, hogy még a dologban legilletékesebb kutatók is időről időre úgy érezték: talán csak álmodnak. A legkevésbé sem volt nyilvánvaló, hogyan kapcsolhat a természet ilyen komplexitást ilyen egyszerűséghez. Ahogyan Jerry Gollub mondta: Ebben inkább csodát kell látnunk, mintsem az elmélet és kísérlet közötti szokásos kapcsolatot." A csoda néhány éven belül többször is megismétlődött a laboratóriumi rendszerek nagy bestiáriumában: nagyobb folyadékcellákban s vízzel meg higannyal is, elektronikus oszcillátorokban, lézerekben, sőt kémiai reakciókban. 1 Az elméleti kutatók felhasználták Feigenbaum módszerét és más matematikai utakat is talál- 1 Az irodalom ugyanolyan nagy terjedelmű. A különböző rendszereken végzett kísérletek és az elmélet egyesítését összegzi például: Harry L. Swinney: Observations of Order and Chaos in Nonlinear Systems, Physica 7D (1983), pp. 3-15; Swinney kategóriák szerinti forráslistát ad az elektronikától és a kémiai oszcillátoroktól az egészen különös fajta kísérletekig.

159 tak a káoszhoz, a perióduskettőződés unokatestvéreit: olyan mintázatokat, mint az intermittencia és a kváziperiodicitás. Ezek szintén univerzálisnak bizonyultak, elméletileg éppúgy, mint kísérletileg. A kísérletezők felfedezései elősegítették a számítógépes kísérletezés kibontakozását is. A fizikusok felismerték, hogy a számítógépek ugyanazokat a kvalitatív képeket adják, mint az igazi kísérletek, csak milliószor gyorsabban és megbízhatóbban. Sokak számára még Libchaber eredményeinél is meggyőzőbb volt az a folyadékmodell, amelyet Valter Franceschini készített Olaszországban, a Modenai Egyetemen: ez az öt differenciálegyenletből álló rendszer attraktorokat és perióduskettőződést produkált. 1 Franceschini mit sem tudott Feigenbaumról, komplex, sokdimenziós modellje ugyanazokat az állandókat adta, amelyeket Feigenbaum talált az egydimenziós leképezések körében. Egy európai csoport ban meggyőző matematikai magyarázattal állt elő: a disszipáció elvérezteti' a sok ellentétes mozgás komplex rendszerét és a sokdimenziós viselkedést végül egydimenzióssá teszi. 2 Nem számítástechnikai módszerrel - például folyadékkísérletben - továbbra sem volt könnyű dolog különös attraktort találni. Ez még a 80-as években is sok munkát adott a kísérletezőknek, például Harry Swinney-nek. És mikor a kísérletezők végül sikerrel jártak, eredményeiket az újsütetű számítógépszakértők nemegyszer lekicsinyelték, mint kezdetleges, megjósolható visszfényeit az ő grafikus terminálokon kikevert pazar részletességű képeiknek. Mire a számítógépes kísérletekben kirajzolódik az ezernyi vagy milliónyi adatnak megfelelő pont, többé-kevésbé feltárulnak a mintázatok is. A laboratóriumban viszont, akárcsak a valóságos világban, a használható információt el kell választani a zajtól. A számítógépkísérletben szüntelenül zúdulnak az adatok, mint kehelyből a bor, de a laboratóriumi kísérletben minden kis cseppért meg kell küzdeni. A számítógépes kísérletek azonban önmagukban aligha lettek volna elegendők ahhoz, hogy Feigenbaum és mások új elméletei ilyen széles körben felkeltsék a kutatók érdeklődését. A módosítások, a kompromisszumok, a közelítések, amelyek a nemlineáris differenciálegyenlet-rendszerek digitalizálásához szükségesek voltak, túl sok gyanúra adtak okot. A szimulációk nagy darabokra tördelték a valóságot, olyan sokra, amennyire csak lehetett, de még így is túl kevésre. A számítógépes modell csupán a programozók által önkényesen kiválasztott halomnyi szabály. Nem is lehet vitás, hogy a tényleges folyadéknak - még egy teljesen lecsupaszított milliméteres cellába zárva is - minden lehetősége megmarad a természeti rendezetlenségre jellemző szabad, akadálytalan mozgásra. Bármikor meglepetést okozhat. Nehéz elhinni, hogy a számítógépes szimuláció korában, amikor a sugárhajtóművektől kezdve a szívbillentyűkig minden áramlást szuperszámítógépeken modelleznek, milyen könnyen zavarba hozhatja a természet a kísérletezőt. Hiszen voltaképp ma nincsen olyan számítógép, amely tökéletesen szimulálhatna egy mégoly egyszerű rendszert is, mint Libchaber folyékony hélium cellája. Valahányszor egy jó fizikus megvizsgál egy szimulációt, mindig eltűnődik rajta, vajon a valóságnak mely darabja maradt ki, milyen lehetséges meglepetés maradt a háttérben. Libchaber gyakran mondogatta, hogy nem szeretne szimulált repülőgépen repülni: folyton az járna a fejében, hogy vajon mi minden hiányozhat belőle. Azonfelül szerinte a számítógépes szimulációk hasznosak ugyan a szemléletmód kialakításában és a számítások finomításában, de nem vezetnek eredeti felfedezésekre. Leg- 1 Valter Franceschini and Claudio Tebaldi: Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a Five-Mode Truncation of the Navier-Stokes Equations, Journal of Statistical Physics 21 (1979), pp P. Collet, J.-P. Eckmann, and H. Koch: Period Doubling Bifurcations for Families of Maps on R, Journal of Statistical Physics 25 (1981), p. 1.

160 alábbis ez a kísérletező hitvallása. Kísérlete annyira hibátlan volt, tudományos célját tekintve pedig annyira elvont, hogy továbbra is akadtak fizikusok, akik inkább filozófiának vagy matematikának tekintették, semmint fizikának. Ő meg azt hitte, hogy területén túltengnek a redukcionista kívánalmak, amelyek az atomok tulajdonságait állítják előtérbe. Egy fizikus megkérdezhetné tőlem, hogy ez az atom ugyan honnan került ide és tapadt meg? És mi az, hogy felületre való érzékenység? Meg hogy: fel tudja írni a rendszer Hamilton-függvényét?" És ha azt válaszolom, hogy ezzel nem törődöm, engem a forma érdekel, a forma matematikája és fejlődése, a bifurkáció ebből a formából egy másik formába, majd onnan egy harmadikba, akkor azt fogja mondani nekem, hogy amit te csinálsz az nem fizika, az matematika. Még ma is ez lesz a véleménye. Mit mondhatnék erre? Persze, matematikát csinálok. De ez fontos a körülöttünk levő világ szempontjából. Ez is a természet része." A mintázatok, amelyekre rátalált, absztraktak voltak csakugyan, matematikai jellegűek. Semmit sem mondtak a folyékony hélium, a réz tulajdonságairól vagy az atomok viselkedéséről az abszolút nulla fok közelében. De pontosan azok a mintázatok voltak, amelyeket Libchaber misztikus elődei megálmodtak. Újabb tartományt nyitottak meg a kísérletezés előtt, s ebben a tartományban a mozgás új elemeit kutatva sokan hamarosan felfedezővé is váltak, a vegyészektől a villamosmérnökökig. A mintázatok nyomban láthatóvá váltak, amint sikerült eléggé megemelni a hőmérsékletet az első, majd a következő és az azutáni perióduskettőződés elkülönítéséhez. Az új elmélet szerint a bifurkációknak pontos skálázás jellemezte geometriát kellett alkotniuk, és Libchaber pontosan ezt látta: az univerzális Feigenbaum állandókat, amik ettől matematikai képzetből mérhető és megismételhető fizikai valósággá váltak. Sokkal később is élénken élt benne, milyen hátborzongató érzés volt látni, ahogy egymást követték a bifurkációk, és ráébredni, hogy egy gazdag szerkezetű, végtelen sorozat bukkan fel a szeme előtt. Ez - az ő szavaival élve - igen szórakoztató volt.

161 A káosz képei Miként is lehetne másképp, ha a káosz Így összpontosítja minden erejét, Hogy megformáljon egyetlen levelet?... CONRAD AIKEN Collected Poems (Oxford University Press, 1970.)

162 Michael Barnsley oxfordi matematikus 1979-ben, egy korzikai konferencián találkozott Mitchell Feigenbaummal. Barnsley ekkor hallott először az univerzalitásról, a perióduskettőződésről és a bifurkációk végtelen sorozatáról. Jó ötlet, gondolta, éppen az a fajta, amelyet nyilván azért ismertetnek a tolongó tudósokkal, hogy ki-ki lekanyaríthassa belőle a maga darabját. Barnsley úgy vélte, hogy ő meg is látott benne egy olyan darabot, amelyet más senki. Honnan származnak ezek a 2, 4, 8, 16-os ciklusok, ezek a Feigenbaum-sorozatok? Varázslat révén bukkantak elő valamilyen matematikai űrből, vagy valami még mélyebben fekvőre utalnak? Barnsley felfogása szerint ezeknek valamilyen mesés, addig rejtve maradt fraktálobjektum részeinek kell lenniük. Ehhez az ötlethez megvolt a megfelelő közeg is: a komplex síkként ismert számtartomány. A komplex síkon a mínusz végtelentől végtelenig egymás után sorakozó számok - azaz minden valós szám - egy egyenesen fekszik, amelynek a nulla van a közepén, és nyugat s kelet felé, végtelen távolig nyúlik el. Ez a vonal azonban csak egyenlítője egy nagyobb világnak, amely északi és déli irányában is a végtelenig terjed. Minden szám két részből áll: egy valós részből, amely a kelet-nyugati hosszúságnak felel meg, és egy képzetes részből, amely az észak-déli irányú magasságnak. Megegyezés szerint ezeket a komplex számokat a következőképpen írjuk: 2 + 3i, ahol az i jelöli a képzetes részt. Ez a két rész minden számhoz egyértelmű címet rendel a kétdimenziós síkon. A valós számok eredeti egyenese itt csupán különleges eset: azoknak a számoknak a halmaza, amelyeknek a képzetes része nullával egyenlő. Ha a komplex síkon csak a valós számokat - csak az egyenlítőn levő pontokat - nézzük, akkor a formáknak csupán esetlegesen kiválasztott metszeteire korlátozzuk a látványt, pedig az két dimenzióban vizsgálva további titkokat is felfedne. Ez motoszkált Barnsley fejében. A valós és képzetes nevek abból a korból erednek, amikor a rendes számok valóságosabbnak tűntek ezeknél az új keverékeknél; ma viszont már meglehetősen önkényesnek tűnik az efféle megkülönböztetés, hiszen mindkét fajta szám éppoly valós vagy képzetes, mint bármelyik másik típusú. A képzetes számokat annak idején annak a fogalmi űrnek a kitöltésére találták ki, amely a Mi a négyzetgyöke egy negatív számnak?" kérdés nyomában támad. A -1 négyzetgyöke megállapodás szerint i lett, a -4 négyzetgyöke 2i, és így tovább. Innen már csak egy kis lépés volt felismerni, hogy a valós és képzetes számok együttese új lehetőségeket ad a polinom alakban felírható egyenletekkel végzett számításokban. A komplex számok körében is elvégezhető az összeadás, a szorzás, az átlagképzés, a tényezőkre bontás vagy az integrálás. A valós számokkal végzett számításokat komplex számokkal is megpróbálhatjuk elvégezni. Amikor Barnsley elkezdte kiterjeszteni a Feigenbaum-féle függvényeket a komplex síkra, egy fantasztikus formacsalád körvonalait látta kirajzolódni; ez a család láthatólag a kísérleti fizikusokat érdeklő dinamikai fogalmakhoz kapcsolódott, ám matematikai konstrukcióként sem volt érdektelen. Felismerte, hogy ezek a ciklusok végül is nem csak úgy a levegőből bukkannak fel, hanem a komplex síkból kerülnek a valós egyenesre, amely komplex síkon garmadával fordulnak elő a mindenféle nagyságrendű ciklusok. Mindig volt egy kettős ciklus, egy hármas ciklus, egy négyes ciklus, éppen csak valamivel a látótéren kívül, amíg végre el nem jutot-

163 tak a valós egyenesig. Barnsley Korzikáról hazasietett a Georgia Műegyetemre, a dolgozószobájába, ott megírt egy cikket, s közlésre elküldte a Communications in Mathematical Physics (Matematikai Fizikai Közlemények) című folyóiratnak. Szerkesztőként történetesen David Ruelle kapta kézhez a cikket, és néhány kellemetlen hír kíséretében vissza is küldte Barnsley-nak. Barnsley ugyanis tudtán kívül újra felfedezte egy francia matematikus ötven éve eltemetett munkáját. Ruelle visszatolta nekem, mint valami kínos ügyet és azt mondta:»michael, te a Julia-halmazokról beszélsz«" - emlékezett vissza Barnsley. De adott azért egy jótanácsot is: Lépj kapcsolatba Mandelbrottal!" A Barnsley-val történtek idején John Hubbard, egy amerikai matematikus, aki szerette a divatos, feltűnő ingeket, már három éve tanított elemi matematikai analízist elsőéves egyetemi hallgatóknak a franciaországi Orsay-ben. Szokásos témakörei között ott szerepelt a Newton-módszer is: egy klasszikus egyenletmegoldó módszer, amely egyre jobb és jobb közelítést ad a megoldandó egyenlet gyökeire. Hubbard azonban kissé unta a szokásos témákat, és egyszer csak úgy döntött, hogy olyan utat választ a Newton-módszer bevezetésére, amellyel gondolkodásra késztetheti hallgatóit. 1 A Newton-módszer régóta ismert, és az volt már akkor is, amikor Newton feltalálta: egy változatában az ókori görögök is használták a négyzetgyökök kiszámítására. A módszer egy becsléssel kezdődik, ez a becslés egy újabb és jobb becsléshez vezet, s így tovább: ez az iterációs folyamat egyre inkább ráhúzódik" a válaszul adódó számra, éppúgy, ahogyan egy dinamikai rendszer megkeresi' a maga állandósult állapotát. Ez a gyökkereső eljárás meglehetősen gyors: lépésenként rendszerint megkétszereződik a pontos tizedesjegyek száma. Manapság persze analitikusabb módszerekkel határozzák meg a négyzetgyököket és általában a másodfokú egyenletek gyökeit: azokét az egyenletekét, amelyekben a keresendő szám legfeljebb a második hatványon szerepel. A Newton-módszer azonban a magasabbfokú egyenletekre is használható, amelyeket nem lehet közvetlenül megoldani. A módszer igen sok számítógépes algoritmusban is kitűnően működik, hiszen az iteráció nagy erőssége a számítógépeknek. A Newton-módszerben némi kényelmetlenséget szül azonban, hogy az egyenleteknek rendszerint egynél több megoldásuk van, különösen ha a komplex síkon meghatározandó megoldásokról van szó. Hogy melyik megoldást találja meg a módszer, az a kezdeti becsléstől függ. A hallgatók általában úgy ítélik meg, hogy ez egyáltalán nem olyan nagy baj: az embernek többnyire van valami épkézláb ötlete, hol is kezdje, és ha a becslés nem megfelelő megoldáshoz látszik közelíteni, akkor valahol máshol újrakezdhető az egész. Megkérdezhetjük, hogy pontosan milyen utat is jár be a Newtonmódszer, amikor egy másodfokú egyenlet gyöke felé kanyarog a komplex síkon. Geometriai szempontból azt válaszolhatjuk erre, hogy a módszer a két gyök közül azt veszi célba, amelyik közelebb esik a kezdeti becsléshez. Ezt mondta Hubbard a hallgatóinak Orsay-ben, amikor egyszer felvetődött ez a kérdés. De, mondjuk a harmadfokú egyenletek esetében már bonyolultabbnak tűnik a dolog - tette hozzá magabiztosan. - Gondolkodom rajta és a következő héten elmondom Önöknek." Változatlanul úgy vélte, hogy a dologban az iteráció műveletének elvégzése az igazi nehézség, a kezdeti becslés voltaképpen gyerekjáték. Minél többet gondolkodott azonban raj- 1 Adrien Douady: Julia Sets and the Mandelbrot Set. in: The Beauty of Fractals pp A The Beauty of Fractals főszövegében megtalálható a Newton-módszer matematikai összefoglalása, akárcsak az e fejezetben tárgyalt komplex dinamika más alapjai is.

164 ta, annál kevésbé tudta, mit is értsen értelmes becslésen vagy mit is csinál voltaképpen a Newtonmódszer. Geometriailag az lenne kézenfekvő, ha három egyenlő tortaszeletre osztanánk a síkot, úgy, hogy mindegyikben legyen egy-egy gyök; ámde Hubbard rájött, hogy ez az ötlet hasznavehetetlen: furcsa dolgokat tapasztalt ugyanis a határok közelében. Azután felfedezte, hogy nem is ő az első matematikus, aki belebotlott ebbe a meglepően bonyolult kérdésbe ben már Arthur Cayley is megpróbált áttérni az engedelmes másodfokú esetről az ijesztően engedetlen harmadfokúra. Hubbardnak azonban egy évszázaddal később már a kezében volt valami, ami Cayleynek még nem. Hubbard azok közé a szigorú felfogású matematikusok közé tartozott, akik megvetették a találgatásokat, közelítéseket, az inkább szemléletre, mintsem bizonyításra épített féligazságokat. Az a fajta matematikus volt, aki - húsz évvel azután is, hogy Edward Lorenz attraktora megjelent az irodalomban - rendületlenül kitartott amellett, hogy senki sem tudja igazán, különös attraktort adnak-e meg azok a bizonyos egyenletek. Ez továbbra is bizonyítatlan feltevés volt. Az ismerős kettős spirális - mondta - nem bizonyítás, csupán bizonyíték, valami, amit a számítógépek rajzoltak. De ez alkalommal, szinte önmagát megtagadva, mégis elővette a számítógépet, hogy megtegye vele azt, amire a bevett módszerek nem voltak képesek. A számítógép semmit sem bizonyít ugyan, de leleplezheti az igazságot, s ezzel a matematikus tudtára adhatja: mi az, amit be kellene bizonyítania. Hubbard tehát elkezdett kísérletezni. A Newton-módszerben nem problémamegoldási módszert látott már, hanem megoldandó problémát. A legegyszerűbb harmadfokú egyenletet választotta: x 3-1 = 0, azaz meghatározandó az 1 köbgyöke. A valós számok között természetesen nincs más megoldás, mint a nyilvánvaló megoldás: az 1. Ám ennek a polinomiális egyenletnek van két komplex megoldása is: -1/2 + i 3 /2, és -1/2 - i 3 /2. Ez a három gyök a komplex síkra felrajzolva egy egyenlő oldalú háromszöget jelöl ki: e háromszög egyik csúcsa a három óra felé mutatna az óra számlapján, a másik a hét óra felé, a harmadik pedig a tizenegy óra felé. Mármost az volt a kérdés, hogy ha kiindulásul adva van egy tetszőlegesen választott komplex szám, akkor e három csúcs közül vajon melyikhez vezet el a Newton-módszer? Szinte mintha a Newtonmódszer valamiféle dinamikai rendszer lett volna, a három megoldás pedig három attraktor; vagy mintha a komplex sík egyébként sima felülete három mély völgy felé lejtene: a síkon valahonnan elinduló játékgolyó belegurul az egyik völgybe - de vajon melyikbe? Hubbard nekifogott mintát venni a síkot alkotó végtelen sok pontból. Egyik pontról a másikra állítgatta a számítógépét, s mindenütt kiszámította, hová vezet el a Newton-módszer, majd a kiindulópontot a végeredménytől függően más-más színnel jelölte meg: az egyikhez tartókat kékkel, a másihoz tartókat pirossal, a harmadikhoz tartókat pedig zölddel. Az első, igen elnagyolt közelítés azt mutatta, mintha a Newton-módszer dinamikája valóban három tortaszeletre osztaná a síkot: az egyes megoldások közelében fekvő pontok hamarosan eljutottak ehhez a hozzájuk legközelebbi megoldáshoz. A további rendszeres és alapos számítógépes vizsgálat azonban egy igen bonyolult alapszerveződésre derített fényt, olyanra, amilyet addig még nem láthattak a mindig csak néhány, itt-ott kiválasztott pont sorsát figyelemmel kísérő matematikusok. Egyes kezdőbecslések gyorsan eljutottak az egyik gyökhöz, mások viszont minden látszat szerint véletlenszerűen ide-oda ugráltak, s csak azután vették célba valamelyik megoldást. Időnként egy-egy pont mintha végtelen, örökké ismétlődő ciklusba esett volna, s örökre elkerülni látszott a megoldásokat. Ahogy Hubbard a tér egyre finomabb részleteinek feltárására ösztökélte a számítógépét, hallgatóival egyetemben mindinkább zavarba jött a lassan kirajzolódó kép láttán. A kék és piros völgyek között például tiszta gerinc helyett ékszerszerűen felfűzött zöld foltokat láttak. Úgy festett, mintha a játékgolyó, nem tudván dönteni a két szomszédos völgy egymás-

165 sal ellentétes vonzása között, a harmadik és egyben legtávolabbi völgyben fejezné be pályafutását. Semelyik két szín között sem alakul ki zavartalan határ. 1 És a még behatóbb vizsgálat újabb meglepetéssel szolgált: a zöld folt és a kék völgy közötti vonal piros foltokat tartalmaz. És így tovább: a határvonal végül is olyan különös tulajdonságról tett tanúbizonyságot, amely még a Mandelbrot rettenetes fraktáljait ismerők szemében is meghökkentőnek tetszhet: nem akadt egyetlen olyan pont sem, amely csupán két szín között lett volna határ. Ha két szín megpróbálna összejönni", a harmadik is mindig odatolakszik egy sor új, önmagához hasonló beékelődés alakjában. A határpontok a lehető leglehetetlenebb módon soha nem két, hanem mindig három különböző színű tartomány határán állnak. VÉGTELEN BONYOLULTSÁ GÚ HATÁROK. Ha egy tortát három szeletre vágnak, azok egyet len pontban találkoznak, és bármely két szelet közötti határok egyszerűek. Az elvont matematikának és a valóságos világ fizikájának sok folyamatáról kiderült, hogy majdnem elképzelhetetlenül komplex határokat hoznak létre. Fent a -1 köbgyökének meghatározására alkalmazott Newton-módszer a síkot három azonos részre osztja, amelyek közül az egyiket a fehér szín mutatja. Az összes fehér pontot az a gyök vonzza", amelyik a legnagyobb fehér terület belsejében van; az összes fekete pontot pedig a másik két gyök valamelyike vonzza. A határ azzal a sajátos tulajdonsággal rendelkezik, hogy minden pontja mindhárom tartományt határolja. És ahogy a képek mutatják, a kinagyított részletek egy fraktálszerkezetet tárnak fel, amely egyre kisebb méretekben ismétli meg az alapvető mintázatot. Hubbard tehát belevágott ezeknek a bonyolult formáknak és matematikai következményeiknek a vizsgálatába. Az általa és kollégái által végzett munka csakhamar új frontszakaszt nyitott a dinamikai rendszerek problémáival vívott küzdelemben. Hubbard felismer- 1 The Beauty of Fractals; Peter H. Richter and Heinz-Otto Peitgen: Morphology of Complex Boundaries. Bunsen-Gesellschaft für Physikalische Chemie 89 (1985) pp

166 te, hogy ez a Newton-módszer révén felismert leképezés csak magányos hírmondó a valóságos világ erőinek viselkedésére utaló képek még feltáratlan családjából. Michel Barnsley a család más tagjait vizsgálta. Mint Hubbard és Barnsley nemsokára megtudta, Benoit Mandelbrotnak volt szerencséje mindeme formák nagypapáját felfedezni. A Mandelbrot-halmaz - mint csodálói előszeretettel hangoztatják - a matematika legbonyolultabb objektuma. 1 Az örökkévalóság sem lenne elég az egészet átlátni: a szúrós tövisekkel díszített tárcsákat, a kifelé és körbe csavarodó spirálokat és szálakat, amelyekről kimeríthetetlen változatosságban csüngnek alá a gumós molekulák: így festhetnek a szőlőszemek Isten szőlőtőkéjén. Ha számítógép képernyőjén, színesben vizsgáljuk a Mandelbrothalmazt, az fraktálszerűbbnek tűnik a fraktáloknál, annyira sokrétűen bonyolult a különféle mérettartományokban. A benne rejlő képeket csak végtelen mennyiségű információ megadásával lehetne felsorolni, s ez éppígy igaz a halmaz körvonalainak számszerű leírására is. Ezek után paradoxonnak hat, hogy a halmaz teljes leírásához alig néhány tucat jelet kell csak továbbítani, mondjuk egy vezetéken. Egy rövid számítógépes program már elegendő információt adhat a teljes halmaz előállításához. Akik elsőkként szembesültek vele, hogyan vegyíti ez a halmaz a bonyolultságot az egyszerűséggel, azokat bizony váratlanul érte ez a felismerés - még Mandelbrotot is. A Mandelbrot-halmaz a káosz közkeletű emblémájává vált: felbukkant konferenciakiadványok és műszaki folyóiratok fényes borítóin, s központi szerepet játszott a számítógépes művészet nemzetközi vándorkiállításán 1985-ben és 1986-ban. Szépségét könnyű volt átérezni e képek láttán, de jelentését már korántsem volt ilyen egyszerű kibogozniuk a lassanlassan a megértéséig eljutó matematikusoknak. NÉHÁNY JULIA-HALMAZ. 1 Olvasható bevezetést ad útmutatóval egy önállóan is megírható számítógép programhoz: A. K. Dewdney: Észjáték. A számítógép mint mikroszkóp behatolhat a matematika legbonyolultabb területeire. Tudomány 1985 / 2 pp Peitgen és Richter a The Beauty of Fractals-ban részletesen bemutatják a matematikáját és néhány látványos képet. A Mandelbrot-halmaz előállítását magyarul tárgyalja (néhány képet is bemutat) Borsa Béla cikke az Élet és Tudomány 1993 / 28- as számában.

167 Iterált folyamatok révén sokféle fraktálalakzat hozható létre a komplex síkon, Mandelbrot-halmazból azonban csak egy van. Ez akkor kezdett homályosan, mondhatni kísértetiesen felderengeni, amikor Mandelbrot megkísérelte általánosítani a Julia-halmazok néven ismert formacsaládot. Ezeket a formákat az I. világháború idején fedezte fel Gaston Juha és Pierre Fatou francia matematikus, és ők voltak első tanulmányozói is, persze még nélkülözve a csak számítógéppel kirajzolható képeket. Mandelbrot húszéves korában látta egyszerű rajzaikat és elolvasta addigra már elfeledett munkájukat. Éppen ezek a különféle alakban feltűnő Julia-halmazok voltak azok az objektumok, amelyek iránt Barnsley érdeklődött. Némelyikük körszerű volt, becsipkedve és eltorzítva a fraktálszerkezet miatt. Mások tartományokra töredeztek szét, megint mások meg porszerűek voltak. De nem lehet leírni őket sem szóval, sem az euklideszi geometria fogalmaival. Adrien Douady francia matematikus ezt mondta róluk: A Julia-halmazok hihetetlenül sokfélék: némelyikük kövér felhő, mások sovány szederbokrok, de van, amelyik olyan látványt nyújt, mint a levegőben lebegő szikrák petárdarobbanás után. Akad, amelyiknek nyúl alakja van, és közülük sokan a tengeri csikóéhoz hasonló farokban végződnek." 1 Mandelbrot 1979-ben felfedezte, hogy a komplex síkon létrehozható egy olyan kép, amely felöleli valamennyi Julia-halmazt: mindegyikhez útikalauzul szolgál. 2 Bonyolult folyamatok - négyzetgyökös, szinuszos és koszinuszos kifejezéseket tartalmazó egyenletek - iterációját tárta fel. Jóllehet Mandelbrot a köré a tétel köré építette ki a maga gondolatrendszerét, mely szerint az egyszerűség bonyolultságot szül, de így is időbe telt felfognia, milyen rendkívüli az objektum, amely az IBM és a Harvard számítógépeinek képernyőin megjelenő látvány mögött meghúzódik. Keményen hajszolta programozóit, hogy még több részletet csikarjanak ki a látványból, és azoknak megállás nélkül küszködniük kellett a már amúgy is kizsigerelt memória még hathatósabb kiosztásával, meg a pontok új interpolációjával, s mindezt egy olyan IBM nagyszámítógépen kellett megtenniük, amelynek silány felbontású fekete-fehér képernyője volt. Tetejébe mindig szem előtt kellett tartaniuk a számítógépes kutatás mindennapos csapdáját, a műtermékeket", vagyis azokat a jellegzetességeket, amelyek pusztán a géptől erednek, és nyomban eltűnnek, mihelyt másképpen írjuk meg a számítógépes programot. Mandelbrot figyelme ekkor egy egyszerű leképezés felé fordult, amelyet különösen könnyű volt programozni. Elég volt egy durva rácson csak néhányszor egymás után alkalmazni ezt a leképezést, máris korongok körvonalai jelentek meg a képernyőn. És néhány sorban, papíron is kiszámítható volt, hogy valóságos matematikai alakzatokról van szó, nem valamiféle számítástechnikai délibábról". A fő korongoktól jobbra és balra további alakzatok nyomai bukkantak fel. Mandelbrot később azt mondta, hogy a képzeletében még több merült fel: formák hierarchiája, egyre kisebb és kisebb atomokat sarjadzó atomok. És ahol a halmaz metszette a valós egyenest, az egyre kisebb korongok geometriai szabályossággal jelenítették meg a mind kisebb mérettartományban azt, amit a dinamikával foglalkozók ma a bifurkációk Feigenbaum-sorozataként ismernek. Mindez arra serkentette Mandelbrotot, hogy tovább végeztesse a számításokat, az első, durva képeknél jobb felbontással, és csakhamar felfedezte, hogy a korongok széle elmosódott, s hogy ez a homályosság szétterül a közeli helyeken. Ahogy egyre kisebb részleteket igyekezett kiszámítani, egyszer csak azt érezte, hogy véget ért a szerencsesorozat. 3 A kép ahelyett, hogy élesebbé vált volna, csak egyre kuszább lett. Mandelbrot visszament az 1 Julia Sets and the Mandelbrot Set. p Mandelbrot első személyben írt beszámolója: Fractals and the Rebirth of Iteration Theory. in: The Beauty of Fractals. pp The Beauty of Fractals.

168 IBM Westchester megyei kutatóközpontjába, mert ott olyan számítástechnikai teljesítmény állt rendelkezésére, amilyennel a Harvard nem büszkélkedhetett. Meglepetésére a növekvő zűrzavarban megjelent a realitás. Hajtások, kacsok fordultak ki lustán a főszigetből. Mandelbrot láthatta, amint a látszólag sima határ spirálisok tengeri csikó farkára emlékeztető láncává bomlik fel. Az irracionális megihlette a racionálist. MEGJELENIK A MANDELBROT-HALMAZ. Benoit Mandelbrot első számítógéppel kinyomtatott nyers ábráin megjelent egy durva szerkezet, amely aztán sok részlettel gyarapodott, ahogy a számítások minősége javult. Vajon a rovarszerű, lebegő molekulák" különálló szigetek? Vagy megfigyelhetetlen finomságú szálak kapcsolják őket a fő részhez? Lehetetlen volt megmondani.

169

170 A Mandelbrot-halmaz pontok összessége; a komplex sík minden pontja - tehát minden komplex szám - vagy belül van a halmazon, vagy kívül. Ezt a halmazt például úgy adhatjuk meg, hogy minden ponton elvégzünk egy egyszerű iterációs számításon alapuló próbát. Ez a próba legyen a következő: vegyük a kipróbálandó komplex számot, emeljük négyzetre, adjuk hozzá az eredeti számot, az eredményt emeljük megint négyzetre, adjuk hozzá az eredeti számot, az összeget is emeljük négyzetre, s így tovább, vég nélkül. Ha az összeg elfut a végtelenbe, akkor a pont nincsen benne a Mandelbrot-halmazban; ha azonban véges marad (megállapodik valahány iteráció után vagy kaotikusan vándorol), akkor a pont benne van a Mandelbrot-halmazban. Ez a végtelenségig nyúló ismételgetés, meg az a kérdés, hogy vajon végtelen-e az eredmény, a mindennapi világ visszacsatolási folyamataira emlékeztet. Képzeljük el, hogy mikrofont, erősítőt és hangszórókat állítunk fel egy előadóteremben, s nyugtalanít bennünket, hogy pokoli zaj támad majd a hangvisszacsatolás ( begerjedés") miatt. Ha a mikrofon kellően erős zajt vesz fel, a hangszórókból jövő, már felerősített hang egy végtelen ciklus révén egyre nagyobb hangerővel jut vissza a mikrofonba. Ha viszont a hang elég kicsi, akkor nem erősödik fel, csak elhal. E visszacsatolási folyamat számokkal való modellezésére válasszunk egy kezdőszámot, szorozzuk meg önmagával, az eredményt megint szorozzuk meg önmagával, és így tovább. Láthatjuk, hogy a nagy számok gyorsan a végtelenbe vezetnek: 10, 100, ,... A kis számok viszont a nullához tartanak: 1/2, 1/4, 1/16,... Szemléltetésül készítsünk ábrát: határozzuk meg azoknak a pontoknak az összességét, amelyeket ebbe az eljárásba helyettesítve, nem futunk ki a végtelenbe. Vegyük a számegyenes 0- tól jobbra eső (0-nál nagyobb számoknak megfelelő) pontjait; ha valamely pont begerjed" a visszacsatolástól, akkor színezzük fehérre, egyébként pedig feketére. Hamarosan meg is kapjuk a keresett alakzatot: egy feketére színezett szakaszt a 0 és az 1 között. Az egydimenziós folyamatokkal nem is kell ténylegesen elvégezni a kísérletet, hiszen elég könnyű megállapítani, hogy az egynél nagyobb számok a végtelenbe vezetnek, a többi viszont nem. A komplex síkon, két dimenzióban azonban már nem ilyen egyszerű a dolog: az egyenlet ismeretében rendszerint még nem tudjuk felrajzolni, milyen alakzatot ad meg egy-egy iterációs folyamat. A geometria hagyományos alakzataitól: a köröktől, ellipszisektől és paraboláktól eltérően, a Mandelbrot-halmaz nem engedi meg az egyszerűsítéseket. Az egyenletekből származó alakzatok láthatóvá tételére nincs más út, mint a próba-szerencse módszer, ami az új terület felfedezőit inkább Magellán, mint Eukleidész szelleméhez közelítette. A formák világát így összekötni a számok világával: ez szakítást jelentett a múlttal. Az új geometriák mindig azzal kezdődnek, hogy valaki megváltoztat egy alapszabályt. Tegyük fel, hogy a tér ezentúl görbült is lehet, jelenti ki egy geométer, és az eredmény egy furcsa, görbült Eukleidész-paródia, ám éppen megfelelő alkotmány az általános relativitás elméletéhez. Vagy tegyük fel, hogy a térnek négy, vagy öt, vagy hat dimenziója is lehet. Vagy tegyük fel, hogy a dimenzió törtszám is lehet. Vagy tegyük fel, hogy az alakzatok ki- és összecsavarhatók, nyújthatók, összebogozhatók. Vagy éppenséggel tegyük fel, hogy az alakzatok nemcsak valamilyen egyenlet egyszeri megoldásával definiálhatók, hanem iterációs hurokkal (ciklussal) is. Julia, Fatou, Hubbard, Barnsley és Mandelbrot mind megváltoztatták a geometriai formák előállításának szabályait. Az egyenletek görbékké alakításának eukleidészi és descartes-i módszere mindenkinek ismerős, aki tanult középiskolai geometriát, vagy valaha is megtalált a térképen egy pontot két koordinátája alapján. A szokásos geometria egy egyenletről azt kérdezi, hogy mely számhalmaz tesz eleget annak. Az olyan egyenletek, mint az x 2 +y 2 =1, valamilyen alakzatot írnak le, ez esetben éppen egy kört. Más egyszerű

171 egyenletek más alakzatokat adnak meg, kúpszeleteket: ellipszist, parabolát vagy hiperbolát, vagy náluk is bonyolultabb alakzatokat, amilyeneket a fázistérbeli differenciálegyenletek határoznak meg. De ha a geométer megoldás helyett iterálja az egyenletet, akkor az statikus leírásból dinamikus folyamattá válik. Egy szám bekerül az egyenletbe, s egy újabb szám kerül ki belőle; ez az új szám megint belekerül, és így tovább; a pontok egyik helyről a másikra ugrálnak. Nem akkor kell a pontok helyét megjelölni, amikor kielégítik az egyenletet, hanem akkor, amikor egy bizonyos fajta viselkedést mutatnak. Ilyen viselkedés lehet például az állandósulás, vagy éppen az állapotok periodikus ismétléséhez való közeledés, vagy akár az észveszejtő száguldás a végtelenbe. A számítógépkorszak előtt Julianak és Fatou-nak nem voltak meg az eszközeik arra, hogy tudománnyá tegyék ezt az újfajta formaalkotást, jóllehet átlátták milyen lehetőségeket rejt. A számítógépek megjelenése után megnyílt az út a próba-szerencse geometria előtt. Hubbard - pontról pontra kiszámítva, melyik gyök lesz a célpont - feltárta a Newtonmódszert, és Mandelbrot is így pillantotta meg először a maga halmazát: számítógépet használva a sík pontjainak módszeres végigpásztázására. Persze nem jutott el minden pontra, hiszen az idő éppúgy véges, mint a számítógépek; az efféle számításokban ezért pontrácsot használnak. Sűrűbb rács - hosszabb számítási idő árán - élesebb képet ad. A Mandelbrot-halmaz esetében a számítás egyszerű volt, mert az volt maga a folyamat is: a z z 2 +c leképezés iterációja a komplex síkon. Végy egy számot, szorozd meg önmagával és add hozzá az eredeti számot. Ahogy Hubbard előrehaladt a formák feltárásának ezzel az új számítógépes stílusával, a komplex analízis módszereit alkalmazva egy új matematikai stílust is meghonosított, hiszen a komplex analízist addig nem használták fel a dinamikai rendszerek vizsgálatára. Érezte, hogy minden egyfelé tart: különböző matematikai tudományágak találkoztak a keresztutaknál. Tudta, hogy kevés lenne csak látnia a Mandelbrot-halmazt, előbb még meg is akarta érteni; és valóban, végül azt állította, hogy sikerült is megértenie. Ha a határ csupán fraktál lenne - fraktálon Mandelbrot századforduló környéki szörnyeit értve -, akkor már az első kép többé-kevésbé úgy festett volna, ahogyan az utolsó. A különböző mérettartományokra érvényes önhasonlóság elve alapján meg lehetett volna jósolni, mit lát az elektronikus mikroszkóp a nagyítás következő szintjén. A Mandelbrot-halmazba való behatolás ezzel szemben egyre újabb és újabb meglepetéseket hozott az egymást követő szinteken. Mandelbrot kezdett aggódni, hogy túlságosan szűk meghatározást adott a fraktálra: szerette volna, hogy erre az új objektumra is kiterjedjen az érvénye. Annyi bebizonyosodott a halmazról, hogy elég erős nagyításban kivehetők benne nagy vonalakban rá hasonlító másolatok: apró, rovarszerű objektumok, amelyek mintegy leúsznak" a fő részről, de még erősebb nagyításban az is kiderült, hogy ezeknek a molekuláknak egyike sem felel meg pontosan a többinek. Mindig újabb fajtájú tengeri csikók bukkantak fel: újszerűen csavarodó üvegházi fajták. A halmaznak nincs olyan része, amely valamilyen nagyításban pontosan megegyezne egy másik résszel. Ezeknek az úszó molekuláknak a felfedezése felvetett egy sürgősen megoldandó kérdést is, éspedig azt, hogy vajon összefüggő-e a Mandelbrot halmaz, azaz egyetlen kontinens-e csupán, messze ágazó félszigetekkel, vagy inkább porszerű valami: egy fő sziget apróbbaktól övezve? Ez egyáltalán nem volt nyilvánvaló. A Julia-halmazokkal folytatott kísérletek e tekintetben nem adtak útbaigazítást, mert a Julia-halmazok mindkét formában jelentkeztek, egészet alkotó alakzatokként is, és porszerű formában is. A poroknak, fraktálok lévén, megvolt az a jellegzetes tulajdonságuk, hogy semelyik két darabjuk nem volt együtt" - mert minden darabot egy üres tértartomány választott el a többitől -, de egyik sem volt külön': mert minden darabhoz tetszőleges közelségben akadt valamilyen másik darab.

172 Mandelbrot a képeit vizsgálgatva rájött, hogy ezt a sarkalatos kérdést nem is lehet számítógépes kísérletezéssel megválaszolni. Jobban odafigyelt a fő test körül lebegő foltokra. Némelyikük eltűnt, mások viszont majdnem tökéletes másolattá rukkoltak elő. Függetleneknek látszottak, mindazonáltal nem tűnt lehetetlennek, hogy roppant finom - a tekintetbe vett pontok hálóján soha fent nem akadó - vonalak kapcsolják őket egymáshoz. És Douady meg Hubbard az új matematikára támaszkodó, ragyogó okfejtéssel be is bizonyította, hogy az úszó molekulákat valóban igen finom függeszték köti össze egymással: egy a főhalmazból kinyúló apró nyelekből szőtt leheletvékony háló; ahogyan Mandelbrot nevezte, az ördög polimerje". A matematikusok bebizonyították, hogy a számítógéppel mint mikroszkóppal felnagyítva minden darab - bárhol van és bármily kicsi - újabb és újabb molekulákat fog ontani magából, s azok mind hasonlítani fognak a főhalmazra, de mégsem egészen ugyanolyanok. Minden új molekulát körülvesznek a maga spirálisai és lángszerű nyúlványai, s azok szükségszerűen még kisebb molekulákat tartalmaznak majd, mindig hasonlókat, de sosem azonosakat, valami küldetésszerű végtelen változatosságban, egyszersmind a miniatürizálás csodájában, amelyben minden új részlet önmagában is sajátos és teljes univerzum. Minden nagyon geometriai, egyenes vonalú felfogásban készült" - mondta Heinz-Otto Peitgen. A modern művészetről beszélt. Josef Albers például, aki a színek kapcsolatát igyekezett kifürkészni, lényegében csak különböző színű, egymásra tett négyzeteket alkotott. Ezek a dolgok nagyon népszerűek voltak. De ha ma rájuk nézünk, idejétmúltnak tűnnek. Az embereknek már egyáltalán nem tetszenek. Németországban nagy bérházakat építettek a Bauhaus stílusában, de az emberek ma kiköltöznek belőlük, mert nem szeretnek ott élni. Úgy tűnik nekem, nagyon mély társadalmi okok játszanak közre abban, hogy természetfelfogásunk bizonyos szempontjait most nemigen szeretik." Peitgen segített egy látogatónak kiválogatni néhány képet a Mandelbrot-halmaz különböző tartományairól, Juliahalmazokról és más komplex iteratív folyamatokról készült gyönyörű színes nagyítások közül. Diaképeket, írásvetítő fóliákat, sőt még Mandelbrot-halmazos naptárt is ajánlgatott aprócska kaliforniai dolgozószobájában. Mély rajongásunk alighanem a természetszemléletnek ezzel a másmilyen távlatával függ össze. Mi az igazán fontos a természeti tárgyban? Mondjuk, mi fontos egy fában? Mi a fa: egyenes vonal, vagy inkább fraktálobjektum?" Mindeközben John Hubbard a Cornell Egyetemen a kereskedelem igényeivel igyekezett megbirkózni. Levelek százai érkeztek a matematikai tanszékre, s íróik mind a Mandelbrothalmazról kértek képeket; Hubbard tehát arra jutott, hogy kénytelen lesz mintákat és árjegyzékeket készíteni. Doktoranduszai közreműködésével - akik mind ismerték a technikai részleteket - tucatjával számították ki a képeket, és számítógépeken tárolták őket, hogy pillanatok alatt megjeleníthetők legyenek. A leglátványosabb, legjobb felbontású és legelevenebb színű képek azonban két némettől, Peitgentől, Peter H. Richtertől és a Brémai Egyetemen dolgozó kutatócsoportjuktól származtak, ők egy helyi bank lelkes támogatását élvezhették ez irányú munkájukban. Peitgen és Richter - egyikőjük matematikus, másikuk fizikus - a Mandelbrot-halmaznak szentelték egész pályájukat. Ötletek valóságos univerzumával szolgált nekik: modern művészetfilozófiával, bizonyítékkal az iránt, hogy a kísérletezés újfajta jelentőségre tett szert a matematikában, sőt módszerrel is, amellyel nagyközönség elé tárhatták a komplex rendszereket. Fényes katalógusokat és könyveket adtak ki, számítógépes képeik kiállításával bejárták az egész világot. Richter a kémián, majd a biokémián át, a biológiai oszcillációk tanulmányozása révén jutott el a fizikától a komplex rendszerekig. Több cikket is írt olyan

173 jelenségekről, mint az immunrendszer, és arra jutott, hogy az oszcillációkat gyakran a folyamatok dinamikája szabályozza, jóllehet ezek a folyamatok rendszerint statikusnak minősültek, mivel az élő rendszerekhez nem éppen egyszerű valós idejű vizsgálatokkal hozzáférni. Richter az ablakpárkányára erősített egy jól olajozott kettős ingát, kedvenc dinamikai rendszerét", amely egyenesen az ő céljaira készült az egyetemi gépműhelyben. Időnként ritmustalan, kaotikus forgásba hozta, s ezt a forgást számítógépen is utánozta. Az inga olyannyira érzékeny volt a kezdeti feltételek iránt, hogy egy kilométeres távolságban lehulló esőcsepp gravitációs vonzása is összezavarta a mozgását alig ötven-hatvan fordulaton belül, nagyjából két perc alatt. Ennek a kettős ingának a fázisteréről készített színes ábrák láthatóvá tették a periodicitás és a káosz egymásba vegyült tartományait. Richter ugyanezt a grafikai módszert használta a fémbeli ideális mágnesezettségi tartományok megjelenítésére, valamint a Mandelbrot-halmaz feltárására. Kollégájának, Peitgennek a komplexitás tanulmányozása - a szokásos problémamegoldás helyett - új tudományos hagyományok kialakítására kínált lehetőséget. Egy vadonatúj területen, mint amilyen ez is, az ember azon nyomban elkezd gondolkodni, és ha jó tudós, akkor néhány napon vagy héten, esetleg egy hónapon belül már elő is állhat érdekes megoldásokkal" - mondta. Még strukturálatlan az egész. Egy strukturált dologban ismert, hogy mit tudunk, mit nem, s mi az, amivel mások már megpróbálkoztak, de nem vezetett sehová. Ilyenkor olyasvalamin kell dolgozni, amit problémaként ismertek el, különben elvész az ember. De az e célra szóba jöhető problémák csak nehezek lehetnek, hisz másképpen már megoldották volna őket." Peitgen nemigen osztotta a matematikusok aggályait a számítógépek kísérletezésre való felhasználása iránt. Az eredményeket végül is a bizonyítás szokásos módszereivel szigorúvá kell tenni, különben nem válhatnak a matematika részévé. Ha egy kép feltűnik a monitoron, abból még egyáltalán nem következik, hogy az a kép a tétel és bizonyítás" nyelvén is létezik. Mindazonáltal egy-egy ilyen kép feltűnése elegendő volt a matematika fejlődési irányának megváltoztatásához. Peitgen úgy vélekedett, hogy a számítógépes felfedezés természetesebb utakat is elfogadhatóvá, sőt járhatóvá tett a matematikusoknak. Átmenetileg, egy-egy pillanatra a matematikus túlteheti magát a szigorú bizonyítás követelményein; mehet arra, amerre a kísérletek vezetik, akár egy fizikus. A roppant számítási teljesítmény és az intuíciót bujtogató" látvány ígéretes sugárutakat nyit meg a matematikus szemei előtt, és elkerülhetővé teszi a gondolati zsákutcákat. Az új utak megalapozása és az új objektumok elkülönítése után a matematikus már visszatérhet a szokásos bizonyításokhoz. A szigorúság erőssége a matematikának mondta Peitgen. - Ha meggondolásunk tökéletesen szavatolt gondolatmenetre épül, akkor azt a matematikusok soha sem fogják elvetni. Ámde vizsgálhatunk olyan helyzeteket is, amelyeket ma még csak részben lehet megérteni, teljes szigorral csak talán a következő nemzedékeknek fog sikerülni. Hogyne, legyen szigorúság, de nem olyan mértékben, hogy el kelljen dobnom valamit, csak mert most még nem tudom megcsinálni." Az 1980-as évekre az otthoni számítógépek kellő pontossággal dolgoztak már ahhoz, hogy színes képeket állítsanak elő a halmazról, 1 és az amatőrök gyorsan rájöttek, hogy 1 A Mandelbrot-halmaz programja csupán néhány lényeges részt tartalmaz. A fő eszköz egy utasításciklus, amely veszi a kezdőértékként szolgáló komplex szá mot és alkalmazza rá a megfelelő aritmetikai szabályt. A Mandelbrot-halmaz esetében a szabály: z z 2 +c, ahol z nullával kezdődik, c pedig a kipróbálandó ponthoz tartozó komplex szá m. Szóval, vegyük a 0-t, szorozzuk még önmagával és adjuk hozzá a kiindulási számot; vegyük az eredményt - a kiindulásként szolgáló számot - szorozzuk még önmagával és adjuk hozzá a kiindulási számot; vegyük az új eredményt, szorozzuk még önmagával és adjuk hozzá a kiindulási számot. A komplex számok aritmetikája egyszerű. A komplex szá mot két rész segítségével írjuk fel: például 2+3i (ez an- >>>folytatás174

174 ezeknek a képeknek a mind erősebb nagyításban történő feltárása elevenen képes érzékeltetni a kiterjedő skálát. Ha az egész halmazt bolygó méretű tárgynak tekintjük, akkor a személyi számítógépek bemutathatják az egész tárgyat, de elénk hozhatják a városok méretét, vagy az épületekét, a szobákét, a könyvekét, a betűkét, a baktériumokét, sőt az atomokét is. Az emberek a képeket böngészve láthatták, hogy a mintázatok minden léptéktartományban hasonlóak, de azért el is térnek egymástól. S ezeket a mikroszkopikus tájképeket ugyanaz a néhány számítógépes programsor hozta létre. A határ az a hely, ahol a Mandelbrot-halmazt előállító program a legtöbbet időz, és itt kényszerül kompromisszumokra. Hiába nem szakad meg ugyanis az iteráció 100, 1000 vagy ismétlés után sem a komplex síknak ezen vagy azon a pontján, ebből még nem tudni, hogy csakugyan hozzátartozik-e a halmazhoz. Ki tudja, mit hozna a milliomodik iteráció? Így azután a halmazról a legnagyobb hatású, legerősebben nagyított képeket előállító programok nagy, központi számítógépeken futnak vagy olyanokon, amelyekben párhuzamos feldolgozás folyik, azaz egyedi agyak ezreivel, amelyek mind ugyanazt a zárt eljárást hajtják végre. A határon szöknek el a pontok a leghosszadalmasabban a halmaz vonzásából. Mintha egyensúlyoznának a két versengő attraktor között: a nullában levő meg aközt, amelyik voltaképpen végtelen távolban övezi a halmazt. >>>folytatás173 nak a pontnak a neve, amely a komplex síkon 2 egységnyire keletre és 3 egységnyire északra helyezkedik el). Két komplex szám összeadásához csak össze kell adni a valós részeket, hogy megkapjuk az új valós részt, és a képzetes részeket, hogy megkapjuk az új képzetes részt: 2 3 i 9 2 i 11 5 i Két komplex szám szorzásakor az egyik szám minden részét meg kell szorozni a másik minden részével, és a négy eredményt össze kell adni. Mivel az i önmagával szorozva, a képzetes számok eredeti definíciója szerint -1-et ad, az eredmény egyik tagja átváltozik a másikká. Ennek a ciklusnak a megszakításához a programnak figyelnie kell az egymás után következő összegeket. Ha az összeg a végtelenbe vezet, egyre távolabb kerülve a sík kö zéppontjától, akkor az eredeti pont nem tartozik a halmazhoz, márpedig ha a soron következő összeg akár valós, akár képzetes része nagyobb lesz mint 2 vagy kisebb mint -2, akkor bizonyosan a végtelenbe tart - a program továbbléphet. Ha viszont a program sokszor megis métli a számítást, anélkül, hogy a szám nagyobb lenne 2-nél, akkor a pont része a halmaznak. Hogy mennyiszer ismételje, az a nagyítás mértékétől függ. A személyi számítógép számára elérhető tartományokban 100 vagy 200 gyakran elég, 1000 pedig biztosan. A programnak ezt a folyamatot kell megismételnie egy rács pontjainak ezreire, egy a nagyításhoz illeszthető skálán. A halmaz pontjait feketére lehet színezni, a többi pontot fehérre. Még vonzóbb kép készíthető a fehér pontok színes árnyalatokkal való helyettesítésével. Ha az iteráció megszakad például tíz ismétlés után, a program rajzolhat egy píros pontot; húsz ismétlés után egy narancssárga pontot, negyven ismétlés után egy sárga pontot és így tovább. A színek és a határok megválasztása igazodhat a programozó ízléséhez. A színek éppen a valódi halmaz szélén tárják fel a területek körvonalait.

A világtörvény keresése

A világtörvény keresése A világtörvény keresése Kopernikusz, Kepler, Galilei után is sokan kételkedtek a heliocent. elméletben Ennek okai: vallási politikai Új elméletek: mozgásformák (egyenletes, gyorsuló, egyenes, görbe vonalú,...)

Részletesebben

OLVASÁS-ÉLMÉNYEK A K Ö N Y V C Í M L A P J A K I V O N A T B U D A P E S T, 2 0 1 3. J Ú N I U S 1 6.

OLVASÁS-ÉLMÉNYEK A K Ö N Y V C Í M L A P J A K I V O N A T B U D A P E S T, 2 0 1 3. J Ú N I U S 1 6. OLVASÁS-ÉLMÉNYEK A K Ö N Y V C Í M L A P J A K I V O N A T B U D A P E S T, 2 0 1 3. J Ú N I U S 1 6. A K Ö N Y V H Á T S Ó F Ü L S Z Ö V E G E Zsebpénzét és nyári diákmunka keresetét félretette repülőgép

Részletesebben

A meteorológia az időjárás tudománya

A meteorológia az időjárás tudománya Ismerd meg! A meteorológia az időjárás tudománya A meteorológia a légkörben végbemenő folyamatok, jelenségek vizsgálatával foglalkozó tudomány, amelyen belül különös hangsúlyt fektetnek az időjárási és

Részletesebben

Véletlen vagy előre meghatározott

Véletlen vagy előre meghatározott Véletlen vagy előre meghatározott Amikor fejlődésről beszélünk, vagy tágabb értelemben a világban lezajló folyamatokról, akkor mindig felmerül az a filozófiai kérdés, hogy a jelenségek, történések vajon

Részletesebben

A SZOCIOLÓGIA ALAPÍTÓJA. AugustE Comte

A SZOCIOLÓGIA ALAPÍTÓJA. AugustE Comte A SZOCIOLÓGIA ALAPÍTÓJA AugustE Comte A szociológia önálló tudománnyá válása a 19.század közepén TUDOMÁNYTÖRTÉNET: a felvilágosodás eszméi: Szabadság, egyenlőség, testvériség. Az elképzelt tökéletes társadalom

Részletesebben

Idő és tér. Idő és tér. Tartalom. Megjegyzés

Idő és tér. Idő és tér. Tartalom. Megjegyzés Tartalom Az idő és tér fogalma és legfontosabb sajátosságaik. Megjegyzés Ez egy rövid, de meglehetősen elvont téma. Annyiból érdekes, hogy tér és idő a világunk legalapvetőbb jellemzői, és mindannyian

Részletesebben

P. Müller Péter Székely György pályaképe

P. Müller Péter Székely György pályaképe 1 P. Müller Péter Székely György pályaképe Bizonyos értelemben méltánytalan dolog egy 94 éves életutat, és azon belül egy több mint hét évtizedes szakmai pályafutást egy rövid előadás keretében összegezni.

Részletesebben

egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky-

egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- Rosen cikk törekvés az egységes térelmélet létrehozására

Részletesebben

Klímaváltozás a kő magnószalag Földtudományok a társadalomért

Klímaváltozás a kő magnószalag Földtudományok a társadalomért Klímaváltozás a kő magnószalag Földtudományok a társadalomért Bevezető a kő magnószalag Földünk éghajlati rendszerében történt ősi változások kőbe vannak vésve. A por és jég felhalmozódásai, tavak és tengeri

Részletesebben

A MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI

A MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ MECHANIKAI ÉS GÉPTANI INTÉZET A MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI Dr. M. Csizmadia Béla egyetemi tanár, az MMK Gépészeti Tagozatának elnöke Budapest 2013. október. 25. BPMK

Részletesebben

Fizika óra. Érdekes-e a fizika? Vagy mégsem? A fizikusok számára ez nem kérdés, ők biztosan nem unatkoznak.

Fizika óra. Érdekes-e a fizika? Vagy mégsem? A fizikusok számára ez nem kérdés, ők biztosan nem unatkoznak. Fizika óra Érdekes-e a fizika? A fizikusok számára ez nem kérdés, ők biztosan nem unatkoznak. A fizika, mint tantárgy lehet ugyan sokak számára unalmas, de a fizikusok világa a nagyközönség számára is

Részletesebben

Szerintem vannak csodák

Szerintem vannak csodák Brjeska Dóra Szerintem vannak csodák De neked is tenned kell értük 2015 Bevezetés Ajánlom ezt a könyvet valakinek, aki már egy másik, sokkal békésebb helyről vigyáz ránk és segít nekünk. Így kezdődik egy

Részletesebben

A cikkeket írta: Károlyi Veronika (Ronyka) www.varazslatostitkok.com. Korrektúra: Egri Anikó

A cikkeket írta: Károlyi Veronika (Ronyka) www.varazslatostitkok.com. Korrektúra: Egri Anikó A cikkeket írta: Károlyi Veronika (Ronyka) www.varazslatostitkok.com Korrektúra: Egri Anikó 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 3 Az összefogás döbbenetes ereje... 4 Depressziós helyett bajnok... 6 Na

Részletesebben

Az értelem elemei. Az értelem elemei. Tartalom. Megjegyzés

Az értelem elemei. Az értelem elemei. Tartalom. Megjegyzés Tartalom Az értelem és elemei: a tudás, az intelligencia és a beleérző képesség. Mennyire járnak ezek együtt, és milyen kombinációkban fordulnak elő az emberekben? Mi jellemzi a zsenit, tehetséget és a

Részletesebben

Ensemble előrejelzések: elméleti és gyakorlati háttér HÁGEL Edit Országos Meteorológiai Szolgálat Numerikus Modellező és Éghajlat-dinamikai Osztály 34

Ensemble előrejelzések: elméleti és gyakorlati háttér HÁGEL Edit Országos Meteorológiai Szolgálat Numerikus Modellező és Éghajlat-dinamikai Osztály 34 Ensemble előrejelzések: elméleti és gyakorlati háttér HÁGEL Edit Országos Meteorológiai Szolgálat Numerikus Modellező és Éghajlat-dinamikai Osztály 34. Meteorológiai Tudományos Napok Az előadás vázlata

Részletesebben

The Limits the Growth No Limits to Learning The Inner Limits of Mankind Perhaps the only limits to the human mind are those we believe in

The Limits the Growth No Limits to Learning The Inner Limits of Mankind Perhaps the only limits to the human mind are those we believe in Határok és korlátok The Limits the Growth No Limits to Learning The Inner Limits of Mankind Perhaps the only limits to the human mind are those we believe in Az emberi gondolkodás kezdeteitől fogva létezik

Részletesebben

A TEST ÉS AZ ELME VISZONYA

A TEST ÉS AZ ELME VISZONYA A TEST ÉS AZ ELME VISZONYA Amikor ujjammal a falra mutatok és felkérem Önöket, hogy nézzenek oda, minden tekintet a falra irányul, és senki sem az ujjamat nézi. Az ujjam rámutat valamire, és Önök nyilvánvalóan

Részletesebben

Legénytoll a láthatáron II.

Legénytoll a láthatáron II. DIÓSI PÁL Legénytoll a láthatáron II. A fiatalok helyzetérõl, problémáiról Feladatunkat szûkösen értelmeznénk, ha megkerülnénk annak vizsgálatát, hogy a megkérdezettek milyennek látják generációjuk körülményeit.

Részletesebben

INTERJ1] FELSŐOKTATÁSRÓL. független parlamenti hét módosító indítványt nyújtott be az

INTERJ1] FELSŐOKTATÁSRÓL. független parlamenti hét módosító indítványt nyújtott be az INTERJ1] FELSŐOKTATÁSRÓL független parlamenti hét módosító indítványt nyújtott be az or;;zái2,g'~tűl(~s elnökének a felsőoktatási törvényjavaslat vitája során. Pénzügyminisztertámogatta és sürgette a felsőoktatási

Részletesebben

A SIKER MOTORJA: HISZEM, HOGY KÉPES VAGYOK RÁ! WALTER MISCHEL PILLECUKORTESZT. Hogyan fejlesszük önuralmunkat?

A SIKER MOTORJA: HISZEM, HOGY KÉPES VAGYOK RÁ! WALTER MISCHEL PILLECUKORTESZT. Hogyan fejlesszük önuralmunkat? A SIKER MOTORJA: HISZEM, HOGY KÉPES VAGYOK RÁ! 3 WALTER MISCHEL PILLECUKORTESZT Hogyan fejlesszük önuralmunkat? A SIKER MOTORJA: HISZEM, HOGY KÉPES VAGYOK RÁ! 5 Judynak, Rebeccának, Lindának A SIKER MOTORJA:

Részletesebben

Pesti krimi a védői oldalról

Pesti krimi a védői oldalról Fazekas Tamás Pesti krimi a védői oldalról 1999. nyarán egy fiatalember érkezett a Társaság a Szabadságjogokért drogjogsegélyszolgálatára. Akkoriban szigorítottak a büntető törvénykönyv kábítószerrel való

Részletesebben

A világegyetem elképzelt kialakulása.

A világegyetem elképzelt kialakulása. A világegyetem elképzelt kialakulása. Régi-régi kérdés: Mi volt előbb? A tyúk vagy a tojás? Talán ez a gondolat járhatott Georges Lamaitre (1894-1966) belga abbénak és fizikusnak a fejében, amikor kijelentette,

Részletesebben

Buzsáki Gábor: Az életed kiszámolható!

Buzsáki Gábor: Az életed kiszámolható! Minden jog fenntartva 2015 www.asztropatika.hu 1 Ha egy problémával sokat foglalkozol, előbb-utóbb rátalálsz a megoldásra! Pontosan úgy, ahogyan ez lassan már 20 éve velem is történt a személyes tanácsadásaim

Részletesebben

MAGAZIN 2014 április, I. évfolyam 2. szám

MAGAZIN 2014 április, I. évfolyam 2. szám Napharcos biológiai sejtjavító specialista NAPHARCOS MAGAZIN 2014 április, I. évfolyam 2. szám Visszatérés a természetes testműködéshez - 50 év tévelygés - Túlságos elszakadás a természettől: veszélyek

Részletesebben

MÁRAI SÁNDOR UTOLSÓ NAPLÓJA

MÁRAI SÁNDOR UTOLSÓ NAPLÓJA MÁRAI SÁNDOR UTOLSÓ NAPLÓJA UTASI CSABA A nyolcvanas évek derekán, amikor már csaknem negyven éve a naplófeljegyzések pótolják számára a publicisztikát, a kapcsolatot a mindennapi valósággal, a századunkkal

Részletesebben

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok Iskolakultúra 005/10 Radnóti Katalin Általános Fizika Tanszék, TTK, ELTE Hogyan lehet eredményesen tanulni a fizika tantárgyat? Szinte közhelyszámba megy, hogy a fizika az egyik legkeésbé kedelt a tantárgyak

Részletesebben

Miért tanulod a nyelvtant?

Miért tanulod a nyelvtant? Szilágyi N. Sándor Mi kell a beszédhez? Miért tanulod a nyelvtant? Nyelvtani kiskalauz (Részletek a szerző Ne lógasd a nyelved hiába! c. kötetéből, Anyanyelvápolók Erdélyi Szövetsége, 2000) 2. rész Térjünk

Részletesebben

JELENKOR. Propaganda Hitler után

JELENKOR. Propaganda Hitler után JELENKOR Propaganda Hitler után Thomas Mergel 1 Propaganda Hitler után című könyvében elsősorban azt vizsgálja, milyen politikai elvárások születnek a szavazók és a politikai aktivisták választások alatt

Részletesebben

Akikért a törvény szól

Akikért a törvény szól SZISZIK ERIKA KLÉR ANDREA Akikért a törvény szól Családsegítõ és gyermekjóléti szolgálatunk keretein belül olyan kutatást végeztünk Zuglóban, amelyben igyekeztünk képet kapni a kerületben veszélyeztetettként

Részletesebben

A VÁLASZTÁS M VÉSZETE

A VÁLASZTÁS M VÉSZETE A VÁLASZTÁS M VÉSZETE Sheena Iyengar A VÁLASZTÁS M VÉSZETE A fordítás alapja: Sheena Iyengar: The Art of Choosing. Twelve, New York, 2010 Sheena Iyengar, 2010 Fordította Bozai Ágota, 2010 Szerkesztette:

Részletesebben

A jövő éghajlatának kutatása

A jövő éghajlatának kutatása Múzeumok Éjszakája 2018.06.23. A jövő éghajlatának kutatása Zsebeházi Gabriella Klímamodellező Csoport Hogyan lehet előrejelezni a következő évtizedek csapadékváltozását, miközben a következő heti is bizonytalan?

Részletesebben

A Vízöntő kora Egy ajtó kinyílik

A Vízöntő kora Egy ajtó kinyílik 30 március 2018 A Vízöntő kora Egy ajtó kinyílik.media Egy lépés a fejlődésünkben Text: Michel Cohen Image: Pixabay CC0 Egyre több és több újságcikk jelenik meg a tudományról és a spiritualitásról. Olyan

Részletesebben

Az élet keresése a Naprendszerben

Az élet keresése a Naprendszerben II/1. FEJEZET Az élet keresése a Naprendszerben 1. rész: Helyzetáttekintés Arra az egyszerû, de nagyon fontos kérdésre, hogy van-e vagy volt-e élet a Földön kívül valahol máshol is a Naprendszerben, évszázadok

Részletesebben

A tabloidizáció megjelenése a megyei napilapokban

A tabloidizáció megjelenése a megyei napilapokban Bak Ivett A tabloidizáció megjelenése a megyei napilapokban A Zalai Hírlap vizsgálata Tabloidizáció A tabloidizáció jelensége néhány évtizede jelent meg a média területén, és a médiapiac számos képviselőjének

Részletesebben

A modern fizika születése

A modern fizika születése MODERN FIZIKA A modern fizika születése Eddig: Olyan törvényekkel ismerkedtünk meg melyekhez tapasztalatokat a mindennapi életből is szerezhettünk. Klasszikus fizika: mechanika, hőtan, elektromosságtan,

Részletesebben

Marx György: Gyorsuló idő Rényi Alfréd: Ars Mathematica Székely Gábor: Paradoxonok Tusnády Gábor: Sztochasztika

Marx György: Gyorsuló idő Rényi Alfréd: Ars Mathematica Székely Gábor: Paradoxonok Tusnády Gábor: Sztochasztika Játék a végtelennel MAGYAR TUDÓSOK Marx György: Gyorsuló idő Rényi Alfréd: Ars Mathematica Székely Gábor: Paradoxonok Tusnády Gábor: Sztochasztika Péter Rózsa Játék a végtelennel Matematika kívülállóknak

Részletesebben

isteve Szerkesztette George Beahm Steve Jobs egy az egyben Kukkants bele egy zseni agyába!

isteve Szerkesztette George Beahm Steve Jobs egy az egyben Kukkants bele egy zseni agyába! isteve Szerkesztette George Beahm Steve Jobs egy az egyben Kukkants bele egy zseni agyába! Az Apple tehetségekre épül, olyan tehetségekre, akik, azt hiszem, képesek jó hardvert tervezni, erősek az ipari

Részletesebben

Projektfeladat Földrajzi ismeretszerzés rajzolás segítségével

Projektfeladat Földrajzi ismeretszerzés rajzolás segítségével Projektfeladat Földrajzi ismeretszerzés rajzolás segítségével Készítette: Kedves Júlia - Toró Norbert - Tóth Enikő 2010. február 18. Megbeszéltük az előadás előtt, hogy mi leszünk majd egy csoportban.

Részletesebben

A MUNKÁSIFJÚSÁG GYÓGYÜDÜLTETÉSÉNEK TÁRSADALOMEGÉSZSÉGÜGYI ÉS TÁRSADALOMNEVELŐI JELENTŐSÉGE ÍRTA: DR. BATIZ DÉNES

A MUNKÁSIFJÚSÁG GYÓGYÜDÜLTETÉSÉNEK TÁRSADALOMEGÉSZSÉGÜGYI ÉS TÁRSADALOMNEVELŐI JELENTŐSÉGE ÍRTA: DR. BATIZ DÉNES A MUNKÁSIFJÚSÁG GYÓGYÜDÜLTETÉSÉNEK TÁRSADALOMEGÉSZSÉGÜGYI ÉS TÁRSADALOMNEVELŐI JELENTŐSÉGE ÍRTA: DR. BATIZ DÉNES Azt olvassuk a Társadalombiztosító Intézet jogelődjének, az Országos Munkásbiztosító Pénztárnak

Részletesebben

SZKA_209_22. Maszkok tánca

SZKA_209_22. Maszkok tánca SZKA_209_22 Maszkok tánca diákmelléklet maszkok tánca 9. évfolyam 207 Diákmelléklet 22/1 AUSZTRÁLIA TOTÓ Jelöld X-szel azokat a válaszokat, amiket helyesnek tartasz! Hány millió négyzetkilométer Ausztrália

Részletesebben

Biciklizéseink Mahlerrel

Biciklizéseink Mahlerrel Biciklizéseink Mahlerrel Aaron Blumm-mal és Orcsik Rolanddal Mikola Gyöngyi beszélget 76 Jó estét kívánok! Két író van a színpadon, de én meg sem kíséreltem közös pontokat keresni a könyveikben, részben

Részletesebben

Dr. Grandpierre Atilla A kozmikus tudat 1. rész Megjelent: IPM 2015. Június, 10-15. old.

Dr. Grandpierre Atilla A kozmikus tudat 1. rész Megjelent: IPM 2015. Június, 10-15. old. Dr. Grandpierre Atilla A kozmikus tudat 1. rész Megjelent: IPM 2015. Június, 10-15. old. Létezik egy kulcs a tudat kozmikus titkához, és mindannyian ezt a kulcsot használjuk, amikor gondolatainkat valóra

Részletesebben

A Naprendszeri Változások Kivonat Richard Hoagland & David Wilcock irásából Sári Izabella fordításába

A Naprendszeri Változások Kivonat Richard Hoagland & David Wilcock irásából Sári Izabella fordításába A Naprendszeri Változások Kivonat Richard Hoagland & David Wilcock irásából Sári Izabella fordításába A Naprendszeri Változások Kivonat Richard Hoagland & David Wilcock irásából Sári Izabella fordításában

Részletesebben

TÖRPE GONDOLATOK TÖRPE JÖVŐ*

TÖRPE GONDOLATOK TÖRPE JÖVŐ* TÖRPE GONDOLATOK TÖRPE JÖVŐ* BESZÉLGETÉS KOVÁCS GÉZÁVAL, A MAGYAR TUDOMÁNYOS JÖVŐKUTATÁSI SZAKOSZTÁLYÁNAK VEZETŐJÉVEL AKADÉMIA KORPA: Egy idézettel kezdeném a beszélgetést: A jövő kritikus elágazási pontjai"

Részletesebben

A szeretet intimitása

A szeretet intimitása Farkas Péter A szeretet intimitása Buda Béla fontosabb családügyi munkáinak áttekintése Buda Béla Tanár Úr korunk ritka polihisztorainak egyike volt. Hihetetlenül gazdag munkássága kötetek sokaságában

Részletesebben

A Földtől a Világegyetemig From Earth to the Universe

A Földtől a Világegyetemig From Earth to the Universe A Földtől a Világegyetemig From Earth to the Universe Hungarian narration: Hungarian translation: Consultant: Recording: Editing and post production: Klári Varga András Szepesi, Borbála Kulin György Zajácz,

Részletesebben

Bói Anna. Konfliktus? K. könyvecskék sorozat 1.

Bói Anna. Konfliktus? K. könyvecskék sorozat 1. Bói Anna Konfliktus? K könyvecskék sorozat 1. Tartalom: Üdvözölöm a kedves Olvasót! Nem lehetne konfliktusok nélkül élni? Lehet konfliktusokkal jól élni? Akkor miért rossz mégis annyira? Megoldás K Összegzés

Részletesebben

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt

Részletesebben

A relativitáselmélet története

A relativitáselmélet története A relativitáselmélet története a parallaxis keresése közben felfedezik az aberrációt (1725-1728) James Bradley (1693-1762) ennek alapján becsülhető a fény sebessége a csillagfény ugyanúgy törik meg a prizmán,

Részletesebben

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;

Részletesebben

A kvantum impulzus és a téridő mátrix hétköznapjaink a kvantum fizika nyelvén A 2015 október 8-i könyv bemutató előadás teljes anyaga

A kvantum impulzus és a téridő mátrix hétköznapjaink a kvantum fizika nyelvén A 2015 október 8-i könyv bemutató előadás teljes anyaga A kvantum impulzus és a téridő mátrix hétköznapjaink a kvantum fizika nyelvén A 2015 október 8-i könyv bemutató előadás teljes anyaga Kiss Zoltán J Azoknak, akik nem tudtak eljönni és azoknak is szeretettel

Részletesebben

A biztonság és a légvédelmi rakétacsapatok

A biztonság és a légvédelmi rakétacsapatok NB03_bel.qxd 2009.04.08 5:43 du. Page 44 44 Varga László A biztonság és a légvédelmi rakétacsapatok A Magyar Köztársaság 1999-ben az akkor éppen ötven éve létezõ szövetséghez, a NATO-hoz csatlakozott.

Részletesebben

Mindszenty József bíboros engedelmességének kérdése

Mindszenty József bíboros engedelmességének kérdése Mindszenty József bíboros engedelmességének kérdése [ Orvos Levente 2012 orvosl.hu] Mindszenty József mai megítélésének két sarkalatos pontja is van. Egyrészt az ő állítólagos engedetlensége, másrészt

Részletesebben

HASZNÁLD A SORSKAPCSOLÓD!

HASZNÁLD A SORSKAPCSOLÓD! HASZNÁLD A SORSKAPCSOLÓD! Peggy McColl HASZNÁLD A SORSKAPCSOLÓD! ÉDESVÍZ KIADÓ BUDAPEST A fordítás az alábbi kiadás alapján készült: Peggy McColl / Your Destiny Switch Hay House, Inc., USA, 2007 Fordította

Részletesebben

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló láttuk, hogy a Lorenz egyenletek megoldásai egy nagyon bonyolult halmazt alkottak a fázistérben végtelenül komplex felület fraktál: komplex geometriai alakzatok, melyeknek elemi kis skálán is van finomszerkezete

Részletesebben

Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat)

Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat) Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat) dr. Tasnádi Tamás 1 2018. február 16. 1 BME, Matematikai Intézet Tartalom Mi a rend? Érdekes grafikáktól a periodikus rácsokig Nem periodikus parkettázások

Részletesebben

A kultúra menedzselése

A kultúra menedzselése A kultúra menedzselése Beszélgetés Pius Knüsellel Svájcban tavasztól őszig nagy rendezvénysorozaton mutatkozik be a négy visegrádi ország kultúrája. A programot, amely a Centrelyuropdriims összefoglaló

Részletesebben

MIT KELL KUTATNUNK 1944-45 KAPCSÁN?

MIT KELL KUTATNUNK 1944-45 KAPCSÁN? Matuska Márton, újvidéki újságíró a Délvidéki Mártírium 1944-45. Alapítvány kuratóriumi tagja MIT KELL KUTATNUNK 1944-45 KAPCSÁN? (A Délvidéki Mártírium 1944-45 Alapítvány megalakításának közvetlen előzménye)

Részletesebben

A poláros fény rejtett dimenziói

A poláros fény rejtett dimenziói HORVÁTH GÁBOR BARTA ANDRÁS SUHAI BENCE VARJÚ DEZSÕ A poláros fény rejtett dimenziói Elsõ rész Sarkított fény a természetben, polarizációs mintázatok Mivel az emberi szem fotoreceptorai érzéketlenek a fény

Részletesebben

REFORMÁCIÓ. Konferencia 2012 áprils 5-8. Konstanz, Németország

REFORMÁCIÓ. Konferencia 2012 áprils 5-8. Konstanz, Németország REFORMÁCIÓ Konferencia 2012 áprils 5-8. Konstanz, Németország Szolgál: Johannes Wöhr apostol info: www.nagykovetseg.com www.fegyvertar.com www.km-null.de Felhasználási feltételek: A blogon található tartalmak

Részletesebben

Feldmár András ÉLETUNALOM, ÉLETTÉR, ÉLETKEDV

Feldmár András ÉLETUNALOM, ÉLETTÉR, ÉLETKEDV Feldmár András ÉLETUNALOM, ÉLETTÉR, ÉLETKEDV A kötet gondozásában közremûködött a Feldmár Intézet. A Feldmár Intézet szellemi mûhely, amely a filozófia, az etika és az interperszonális fenomenológia eszközeivel

Részletesebben

DEREK PRINCE. Isten Gyülekezetének Újrafelfedezése

DEREK PRINCE. Isten Gyülekezetének Újrafelfedezése DEREK PRINCE Isten Gyülekezetének Újrafelfedezése Bevezető - A Derek Prince Ministries ismertetője Az 1930-as években, a történet szerint, megcsörrent a telefon az igazgatói irodában, abban a washingtoni

Részletesebben

A dolgok arca részletek

A dolgok arca részletek 1 Bakonyi István: A dolgok arca Arcképvázlat Pék Pálról Nagykanizsa, Czupi Kiadó Pannon Tükör, 2007. A dolgok arca részletek Pék Pál 1939. július 26-án született Nagykanizsán. A szülőhely mindmáig lakóhelye

Részletesebben

SCHRÖDINGER mi is az élet? Rausch Péter ELTE TTK kémia-környezettan

SCHRÖDINGER mi is az élet? Rausch Péter ELTE TTK kémia-környezettan Rausch Péter ELTE TTK kémia-környezettan A természettudományok nem véletlenül képeznek szerves egységet, hiszen a körülöttünk lévő világ a természet működését igyekeznek tudományos igényességgel leírni.

Részletesebben

SIKER CLUB. SIKER CLUB 2009, No. 23. Siker tippek és stratégiák

SIKER CLUB. SIKER CLUB 2009, No. 23. Siker tippek és stratégiák SIKER CLUB SIKER CLUB 2009, No. 23 Siker tippek és stratégiák James Vágyi vagyok a Siker Club huszonharmadik számával, ahol sikeres gondolatokat, ötleteket és információkat ajánlunk arról, hogy hogyan

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

Beszélgetés Pongrácz Tiborné demográfussal

Beszélgetés Pongrácz Tiborné demográfussal Fórum Beszélgetés Pongrácz Tiborné demográfussal Pongrácz Tiborné Hüttl Marietta egész aktív pályáját a ma már patinásnak mondható Népességtudományi Kutatóintézetben töltötte. Az ifjú munkatárs hamarosan

Részletesebben

Az európai időszemlélet változása és értelmezése

Az európai időszemlélet változása és értelmezése MACZÁK NÓRA Az európai időszemlélet változása és értelmezése Toronyórák, karórák, templomharangok szabdalják az éveket hónapokra, a hónapokat napokra, a napokat órákra, az órákat másodpercekre. Az idő

Részletesebben

EGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ

EGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ EGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ AVAGY EGY FIZIKUS (FIZIKATANÁR?) VILÁGKÉPE Trócsányi Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport 62. Országos Fizikatanári Ankét és Eszközbemutató,

Részletesebben

A törzsszámok sorozatáról

A törzsszámok sorozatáról A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel

Részletesebben

A mérés. A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell

A mérés. A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell A mérés A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell törekedni, minél közelebb kerülni a mérés során a valós mennyiség megismeréséhez. Mérési

Részletesebben

Új SátóhatSrok & természettudomány és bölcselet határmesgyéjéről.

Új SátóhatSrok & természettudomány és bölcselet határmesgyéjéről. Új SátóhatSrok & természettudomány és bölcselet határmesgyéjéről. A következőkben két könyvre akarom a figyelmet felhívni. Egy pár idézetet bocsátok előre: Amig a fizika a közönséges világon való pepecselésével,

Részletesebben

Kvantumszimulátorok. Szirmai Gergely MTA SZFKI. Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI

Kvantumszimulátorok. Szirmai Gergely MTA SZFKI. Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI Kvantumszimulátorok Szirmai Gergely MTA SZFKI Graphics: Harald Ritsch / Rainer Blatt, IQOQI A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép, mobiltelefon A kvantummechanika körülvesz tranzisztor számítógép,

Részletesebben

Helyi emberek kellenek a vezetésbe

Helyi emberek kellenek a vezetésbe Varga László Helyi emberek kellenek a vezetésbe Ön szerint minek köszönhető, hogy az hetvenes-nyolvanas években egy sokszínű és pezsgő kulturális élet tudott létrejönni Kecskeméten? Milyen szerepe volt

Részletesebben

Informatika a valós világban: a számítógépek és környezetünk kapcsolódási lehetőségei

Informatika a valós világban: a számítógépek és környezetünk kapcsolódási lehetőségei Informatika a valós világban: a számítógépek és környezetünk kapcsolódási lehetőségei Dr. Gingl Zoltán SZTE, Kísérleti Fizikai Tanszék Szeged, 2000 Február e-mail : gingl@physx.u-szeged.hu 1 Az ember kapcsolata

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN)

OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN) OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN) Fábos Róbert 1 Alapvető elvárás a logisztika területeinek szereplői (termelő, szolgáltató, megrendelő, stb.)

Részletesebben

KÁRPÁT-MEDENCE KINCSEI VETÉLKEDŐ 2. FELADAT AKIRE BÜSZKÉK VAGYUNK INTERJÚ KÉSZÍTÉSE

KÁRPÁT-MEDENCE KINCSEI VETÉLKEDŐ 2. FELADAT AKIRE BÜSZKÉK VAGYUNK INTERJÚ KÉSZÍTÉSE KÁRPÁT-MEDENCE KINCSEI VETÉLKEDŐ 2. FELADAT Csapatnév Vörösmarty-Fröccs Település Pincehely Interjúalany Spacérné Szili Zsuzsanna INTERJÚALANY: SPACÉRNÉ SZILI ZSUZSANNA CSAPAT NEVE: VÖRÖSMARTY-FRÖCCS 1/1

Részletesebben

Lakatos Éva sajtótörténeti bibliográfiájának margójára

Lakatos Éva sajtótörténeti bibliográfiájának margójára Lengyel András A bibliográfus dicsérete Lakatos Éva sajtótörténeti bibliográfiájának margójára 1 Többféle bibliográfia s bibliográfus létezik. Van, aki könyvel, rendszerez, rendet teremt, aki könyvészeti

Részletesebben

Európai Nukleáris Kutatási Szervezet Európai Részecskefizikai Laboratórium. 58 év a részecskefizikai kutatásban

Európai Nukleáris Kutatási Szervezet Európai Részecskefizikai Laboratórium. 58 év a részecskefizikai kutatásban Európai Nukleáris Kutatási Szervezet Európai Részecskefizikai Laboratórium 58 év a részecskefizikai kutatásban CERN Európai Nukleáris Kutatási Szervezet Európai Részecskefizikai Laboratórium 1954-ben 12

Részletesebben

A Halál antropológiája című egyetemi kurzus létjogosultsága. Egy fogorvos találkozása a halállal

A Halál antropológiája című egyetemi kurzus létjogosultsága. Egy fogorvos találkozása a halállal SZLEPÁK BÁLINT A Halál antropológiája című egyetemi kurzus létjogosultsága. Egy fogorvos találkozása a halállal SZEMLE Összefoglalás Tanulmányom témája az általános fogászati ellátásban résztvevő fogorvosok

Részletesebben

ATOMBOMBA FELTALÁLÓI Szilárd Leó (1898-1964)

ATOMBOMBA FELTALÁLÓI Szilárd Leó (1898-1964) ATOMBOMBA FELTALÁLÓI Szilárd Leó (1898-1964) Világhírő magyar természettudós, egy középosztálybeli zsidó értelmiségi család gyermeke volt, Spitz vezetéknévvel született, de családja 1900-ban magyarosította

Részletesebben

Isten nem személyválogató

Isten nem személyválogató más. Ezért gondolhatja őszintén azt, hogy ő, aki az összes többi apostolnál többet tett, még arról is lemond, ami a többi apostolnak jár. Mert mid van, amit nem Istentől kaptál volna? És amit tőle kaptál,

Részletesebben

FEHÉRVÁRI ANIKÓ KUDARCOK A SZAKISKOLÁKBAN TANULÓI ÖSSZETÉTEL

FEHÉRVÁRI ANIKÓ KUDARCOK A SZAKISKOLÁKBAN TANULÓI ÖSSZETÉTEL 23 FEHÉRVÁRI ANIKÓ KUDARCOK A SZAKISKOLÁKBAN A tanulmány egy 2008-as vizsgálat eredményei 1 alapján mutatja be a szakiskolai tanulók szociális összetételét, iskolai kudarcait és az azokra adott iskolai

Részletesebben

Folyadékok és gázok áramlása

Folyadékok és gázok áramlása Folyadékok és gázok áramlása Hőkerék készítése házilag Gázok és folyadékok áramlása A meleg fűtőtest vagy rezsó felett a levegő felmelegszik és kitágul, sűrűsége kisebb lesz, mint a környezetéé, ezért

Részletesebben

Az alábbi áttekintés Délkelet-Európa (a volt Jugoszlávia országai

Az alábbi áttekintés Délkelet-Európa (a volt Jugoszlávia országai OKTATÁSIRÁNYÍTÁS ÉS OKTATÁSPOLITIKA A BALKÁNON Az alábbi áttekintés Délkelet-Európa (a volt Jugoszlávia országai Szlovénia kivételével, Bulgária, Románia és Albánia) oktatási rendszerei előtt álló kihívásokat

Részletesebben

KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K!

KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K! KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K! Gyakran Ismételt Kérdések a Vonzás Törvényéről 2010 KORÓDI SÁNDOR TITKOS GY.I.K! A kiadvány a tartalom módosítása nélkül, és a forrás pontos megjelölésével szabadon terjeszthető.

Részletesebben

A csúfolórigó nyomában

A csúfolórigó nyomában A csúfolórigó nyomában A logika világa Raymond Smullyan: A hölgy vagy a tigris? Raymond Smullyan: A tao hallgat Raymond Smullyan: Emlékek, történetek, paradoxonok Raymond Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek?

Részletesebben

Biztos, hogy a narratíva közös téma?

Biztos, hogy a narratíva közös téma? VILÁGOSSÁG 2007/6. Közös témák Erdélyi Ágnes Biztos, hogy a narratíva közös téma? Annyi biztos, hogy a történelmi és az irodalmi elbeszélés közti hasonlóságok és különbségek tárgyalása régi közös témája

Részletesebben

21.45 Távcsöves megfigyelések (felhőtlen égbolt esetén), (Veress Zoltán Általános

21.45 Távcsöves megfigyelések (felhőtlen égbolt esetén), (Veress Zoltán Általános 2017. 07. 03. Hétfő 20.00-20.35 Kísérletek héliummal, Hogyan szól a mese, ha héliumot nyelünk a tüdőnkbe, vagy ha kézen állunk? Lufikat is fújunk, de mire jó még a hélium? 20.45-21.20 A művészi Világegyetem

Részletesebben

2015 június: A hallás elemzése - Winkler István

2015 június: A hallás elemzése - Winkler István 2015 június: A hallás elemzése - Winkler István Winkler István tudományos tanácsadó, az MTA Természettudományi Kutatóintézetében a Kognitív Idegtudományi II. csoport vezetője. Villamosmérnöki és pszichológusi

Részletesebben

A KÖRNYEZETI INNOVÁCIÓK MOZGATÓRUGÓI A HAZAI FELDOLGOZÓIPARBAN EGY VÁLLALATI FELMÉRÉS TANULSÁGAI

A KÖRNYEZETI INNOVÁCIÓK MOZGATÓRUGÓI A HAZAI FELDOLGOZÓIPARBAN EGY VÁLLALATI FELMÉRÉS TANULSÁGAI A KÖRNYEZETI INNOVÁCIÓK MOZGATÓRUGÓI A HAZAI FELDOLGOZÓIPARBAN EGY VÁLLALATI FELMÉRÉS TANULSÁGAI Széchy Anna Zilahy Gyula Bevezetés Az innováció, mint versenyképességi tényező a közelmúltban mindinkább

Részletesebben

Földünk a világegyetemben

Földünk a világegyetemben Földünk a világegyetemben A Tejútrendszer a Lokális Galaxiscsoport egyik küllős spirálgalaxisa, melyben a Naprendszer és ezen belül Földünk található. 200-400 milliárd csillag található benne, átmérője

Részletesebben

AZ OMBUDSMAN ALAPJOG-ÉRTELMEZÉSE ÉS NORMAKONTROLLJA *

AZ OMBUDSMAN ALAPJOG-ÉRTELMEZÉSE ÉS NORMAKONTROLLJA * Sólyom László AZ OMBUDSMAN ALAPJOG-ÉRTELMEZÉSE ÉS NORMAKONTROLLJA * 1. Ha már ombudsman, akkor rendes közjogi ombudsman legyen mondta Tölgyessy Péter az Ellenzéki Kerekasztal 1989. szeptember 18-i drámai

Részletesebben

Háttéranyag a Budapesti Békéltető Testület 2015. február 13-i sajtótájékoztatójára

Háttéranyag a Budapesti Békéltető Testület 2015. február 13-i sajtótájékoztatójára Háttéranyag a Budapesti Békéltető Testület 2015. február 13-i sajtótájékoztatójára A Budapesti Békéltető Testület 2014-es éve Értékelés, tapasztalatok Majdnem négyezer beérkezett és 3720 lezárt ügy, mintegy

Részletesebben

válni a helyzet. Kész csoda, hogy ilyen sokáig maradt. Alig ha nem arra az ideje indulni -érzésre várt, amely néhány évenként rendre a hatalmába

válni a helyzet. Kész csoda, hogy ilyen sokáig maradt. Alig ha nem arra az ideje indulni -érzésre várt, amely néhány évenként rendre a hatalmába 2. fejezet Huszonnégy órányi utazás után finoman szólva jólesett feküdnie. A háta hónapok, de talán régebb óta fájt maga sem igazán tudta, mióta. A Kongói Demokratikus Köztársaság Bukavu nevű településén

Részletesebben

Robert Antoni. Bezárt szabadság. 31 nap az USA bevándorlási börtönében

Robert Antoni. Bezárt szabadság. 31 nap az USA bevándorlási börtönében Robert Antoni Bezárt szabadság 31 nap az USA bevándorlási börtönében 3 4 A könyv igaz, megtörtént események alapján íródott. A könyvben említett egyes személyek nevét megváltoztattam, hogy ezzel is védjem

Részletesebben

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan

Részletesebben

A KRITIKA, ÉS AKIKNEK NEM KELL

A KRITIKA, ÉS AKIKNEK NEM KELL A KRITIKA, ÉS AKIKNEK NEM KELL Vita a kritikáról a Revizoron, 4. 2012.09.26. Ha tizenöt éves koromban megkérdezte valaki s naná, hogy meg is kérdezték, mi akarsz lenni, kisfiam, ha nagy leszel, habozás

Részletesebben

Frank megállt kocsijával a folyó előtt, ami enyhén szakadékos partjával és sötét vizével tiszteletet parancsolt. Mindennek lehetett nevezni, csak jó

Frank megállt kocsijával a folyó előtt, ami enyhén szakadékos partjával és sötét vizével tiszteletet parancsolt. Mindennek lehetett nevezni, csak jó 1. Frank megállt kocsijával a folyó előtt, ami enyhén szakadékos partjával és sötét vizével tiszteletet parancsolt. Mindennek lehetett nevezni, csak jó barátnak nem. A motort nem állította le, halk zúgása

Részletesebben

Fotós az utcán. Skuta Vilmos képei ürügyén

Fotós az utcán. Skuta Vilmos képei ürügyén SZARKA KLÁRA Fotós az utcán Skuta Vilmos képei ürügyén Az olyan fotografálás, amilyet Skuta Vilmos művel, a XIX. század végén kezdődött, és a múlt század utolsó évtizedeiben kellett volna kilehelnie a

Részletesebben