MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 0. szakiskolai évfolyam tanulók könyve. FÉLÉV

2 A kiadvány KHF/485-/008. engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program... központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Szakmai vezető: Oláh Vera Alkotószerkesztők: Ratkó Istvánné, Ruzsinszkyné Lukácsy Margit Grafika: Vidra Gábor Lektor: Koller Lászlóné dr. Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT004 Szerzők: Csákvári Ágnes, Koller Lászlóné dr., Vidra Gábor Educatio Kht Tömeg: 50 gramm Terjedelem: 0,5 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos szakmai szakértő: dr.marosváry Erika Technológiai szakértő: Ábrahám Júlianna

3 tartalom 4. modul: A hasonlóság alkalmazásai (Vidra Gábor) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Hatványozás, oszthatóság, normálalak (Csákvári Ágnes) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Kombinatorika, valószínűség, statisztika (Vidra Gábor) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Térgeometria (Vidra Gábor) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

4

5 4. MODUL a hasonlóság alkalmazásai Készítette: Vidra Gábor

6 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Hasonlóság, középpontos hasonlóság Korábban tanultunk már geometriai transzformációkról: tükrözésekről, forgatásról, eltolásról. Ezek egybevágóságok voltak, vagyis például egy háromszöget elforgatva vele egybevágó háromszöget kaptunk. A gyakorlati életben azonban szükség van arra, hogy a pici dolgokat (például vírusokat, atomszerkezetet) nagyban, nagy dolgokat (épületet, galaxist, autót) kicsiben ábrázoljunk. Ehhez a hasonlóságot használjuk. Feladatok. Az ábrán látható ABC háromszöget kétszeresére nagyítottuk az O pontból, úgy kaptuk az A B C háromszöget. a) Állítsd a szerkesztés lépéseit a megfelelő sorrendbe! A. C pontból párhuzamost húzunk a BC szakasszal. B. A pontból párhuzamost húzunk az AC szakasszal, és erre az A pontból felmérjük az AC szakasz hosszának kétszeresét. C. Az OA félegyenesre rámérjük O-ból az OA távolság kétszeresét. D. Összekötjük A-t O-val. E. A pontból körívezünk az AB távolság kétszeresével, és ennek a körívnek a metszéspontja a már meglévő OB félegyenessel adja a B pontot. A helyes sorrend: b) A szerkesztés többféleképpen is elvégezhető. Írd le egy másik lehetséges szerkesztés menetét!

7 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 c) Az ábrákon ugyanazt a háromszöget nagyítottuk úgy, hogy mindig ugyanazokat a képháromszögeket kaptuk. Melyik ábrát melyik pontból nagyíthattuk?. a) Kösd össze a hasonló síkidomok betűjeleit!

8 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) Határozd meg a hasonlóságok arányát a megfelelő oldalak segítségével! Folytasd a táblázatot: az egymás alatti cellákba kerüljön rendre a két hasonló síkidom jele és a hasonlóság aránya! A hatékonyabb megoldás miatt osszátok meg a feladatokat! Síkidom jele Síkidom jele Oldalak aránya C A c) Határozd meg a trapézok területeit és azt is, hogy mennyi a hasonló trapézok területeinek aránya! Milyen összefüggést találsz az oldalak aránya és a területek aránya között?. Az A B C háromszög az ABC háromszög nagyított képe. Mérd meg a lenti szakaszokat, és számítsd ki az arányukat! Ahol egyforma arányokat kapsz, magyarázd meg, hogy miért egyeznek! A ' B' ; AB AB ; BC A' C' ; B' C' B' C' ; A' C' B ' C' ; BC A' B' ; B' C' A' B' ; A' C' BC ; AC A ' C' ; AC AC ; BC AB ; AC AC. A'C' 4. A képen egy háromszöget kétszeresére nagyítottunk. Figyeld meg a rajzot, és egészítsd ki a szöveget! a) Az AB oldal és a... oldal párhuzamos egymással. b) A... oldal és a... oldal párhuzamos egymással. c) Az α szög és a... szög egyállásúak, ezért nagyságuk

9 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9... d) A... szög és a... szög egyenlő nagyságú, mert... e) Az A B és az AB oldal hosszának aránya:... f) Az A C és az AC oldal hosszának aránya:... g) A B C és a BC oldal aránya egyenlő a... és a... oldalak arányával. h) Hasonlóság esetén a megfelelő oldalak aránya... i) Hasonlóság esetén a megfelelő szögek nagysága... Szerkesszünk, mérjünk, számoljunk! 5. Egy háromszög oldalainak hossza: 5 cm, 7 cm és 0 cm. A háromszöget,5-szeresére nagyítjuk. a) Mekkorák a keletkező háromszög oldalai? b) Hányszorosára változik a háromszög kerülete? 6. Nagyítsd az ABC háromszöget az O pontból -szorosára! a) Készítsd el az ábrát! b) Mekkora az OA és az OA szakasz aránya? OA' = OA c) Mekkora a háromszögek megfelelő oldalainak aránya? a' ; a b' ; b c'. c 7. Nagyítsd az ábrát az O pontból úgy, hogy az A pont képe A legyen! Az eredetihez hasonló ábrát kapunk. A ' B' a) Melyik aránnyal egyezik meg a hasonlóság aránya: az távolságok arányával, AB OA' vagy az aránnyal? OA

10 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. A szakaszokat háromszorosára nagyítottuk középpontosan, de csak az egyik végpont képét adtuk meg. Keresd meg, hogy hol lehet a középpont, és végezd el a nagyítást!

11 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI A hasonlóság és a középpontos hasonlóság A nagyítás/kicsinyítés neve a matematikában: középpontos hasonlóság. Nagyításkor vagy kicsinyítéskor középpontos hasonlóságot alkalmazunk. A középpontos hasonlóság megadásakor megadjuk a hasonlóság középpontját és a hasonlóság arányát. A geometriai transzformációk egyik fajtája a középpontos hasonlóság. Adott egy O középpont és egy k pozitív arányszám. Ha például k =, akkor bármely P pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és az OP félegyenesre felmérjük az OP távolság kétszeresét. Ha k =, akkor egy tetszőleges S pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és az OS félegyenesre felmérjük az OS távolság részét. Az egybevágóságokhoz hasonlóan nem adjuk meg, hogy mit nagyítunk. De meg kell tudnunk mondani minden pont esetén, hogy mi lesz annak az adott pontnak a képe: erre szabályt fogalmazunk meg. A középpontos hasonlóság definíciója a következő: Adott a síkon egy O pont (középpont), és egy k pozitív szám. Rendeljük O -hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P pontját, hogy legyen OP = k OP, és P az O-ból kiinduló, P-t tartalmazó félegyenes pontja. Az O pontból kiinduló félegyeneseket vetítősugaraknak nevezzük. Ha k értéke egynél nagyobb, akkor középpontos nagyításról beszélünk, mert a szakaszok hossza a transzformáció végrehajtása után növekszik (k-val, vagyis -nél nagyobb számmal szorzódik a hossz). Ha k értéke kisebb mint egy, akkor középpontos kicsinyítésről van szó. k = esetén az ábra változatlan, és a transzformáció egybevágóság.

12 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Pont transzformálása Egyenes, háromszög transzformálása A geometriai transzformációk (pl. tengelyes tükrözés, forgatás stb.) meghatározásakor pontok képéről beszélünk, ezért minden síkidomot mint ponthalmazt kell transzformálnunk. A síkidomok transzformációja nevezetes pontjaik transzformálásával történik: a körnek például a középpontját és egy tetszőleges pontját transzformáljuk. Általánosságban elmondhatjuk, hogy ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor minden távolságadata k-szorosára, területe pedig k -szeresére változik. Középpontos hasonlóság esetén a megfelelő távolságadatok aránya egyenlő ezt a tulajdonságot aránytartásnak nevezzük. Ha összehasonlítjuk a képet az eredeti ábrával, akkor megállapíthatjuk, hogy a megfelelő szögek nagysága egyenlő (szögtartás) ezért hasonlít a kép az eredeti tárgyra (például makettek). Megjegyzés: a középpontos hasonlóság további tulajdonságai: egyenestartó (egy egyenes képe is egyenes; sőt az eredetivel párhuzamos egyenes); párhuzamosságtartó (ha két egyenes párhuzamos egymással, akkor képeik is párhuzamosak lesznek);

13 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI illeszkedéstartó (ha egy pont illeszkedik egy egyenesre, akkor a pont képe is illeszkedni fog az egyenes képére; úgy is mondhatjuk, hogy metsző alakzatok képe is metszi egymást); körüljárási irány tartó. A középpontos hasonlóság nem mozdítja el a középpontot és a középponton áthaladó egyeneseket. Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sokszor történő egymás utáni végrehajtásával keletkeznek. Az olyan síkidomokhoz, amelyek egyforma alakúak, vagyis megfelelő szakaszaik aránya és szögeik egyenlők, mindig található hasonlóság, amely őket egymásba viszi. Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC ~ PQR ). A hasonlóság és a középpontos hasonlóság különböző fogalmak. A középpontos hasonlóság során transzformációt végzünk: pontok (vagy ponthalmazok) képét szerkesztjük meg. Ez azt jelenti, hogy a középpontos hasonlóság pont-pont függvény: a sík minden pontjához hozzárendel egy pontot. Ha egy síkidomot nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor az oldalegyeneseik párhuzamosok maradnak. A hasonlóság két síkidom viszonyát kifejező fogalom. Ha két síkidom hasonló, akkor az oldalaik aránya és szögeik biztosan egyenlők (vagyis alakjuk egyforma, legfeljebb méreteikben különböznek egymástól), azonban oldalaik nem feltétlenül párhuzamosak.

14 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 9. Másold át a füzetedbe az ábrát, utána nagyítsd az O pontból középpontosan kétszeresére a kisszéket! 0. Kicsinyítsd a zászlót az O pontból -ára középpontosan!. Mennyi a hasonlóság aránya, ha az O középpont, és az A pont képe A? Készítsd el az alakzat középpontosan hasonló képét!

15 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 5. A pontrácson alakzatokat és középpontokat adtunk meg. Minden alakzat valamely pontjának középpontosan nagyított vagy kicsinyített képét megtalálod az ábrán. Határozd meg a középpontos hasonlóság arányát, és végezd el az alakzat nagyítását, illetve kicsinyítését a pontrács segítségével!. Rajzolj a füzetedbe két pontot! Az egyiket jelöld A-val, a másikat O-val! Legyen az O a hasonlóság középpontja. Hol lesz az A pont képe (A ), ha a) a hasonlóság aránya:, b) a hasonlóság aránya:, c) a hasonlóság aránya:? Mindegyik esetben szerkeszd meg az A pontot!

16 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Az ábrán egy téglalapot nagyítottunk. Keresd meg a nagyítás centrumát (középpontját), és egészítsd ki a rajzot! 5. Adott a síkon az ABCDE ötszög, nagyítsd A pontból a háromszorosára! Mérd meg az oldalakat, és foglald táblázatba az eredményeket! AB BC CD DE EA A B B C C D D E E A 6. A kék kört C centrumból -szeresére nagyítottuk. Keresd meg a nagyítás középpontját! a) b)

17 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 7. Kicsinyítsd 0,5-szörösére az egyenest és a kört tartalmazó alakzatot a P pontból! a) b) 8. Rajzolj a füzetedbe egy négyszöget! Először nagyítsd a kétszeresére az egyik csúcsából, majd a kapott képet kicsinyítsd az ötödrészére! Az eredetinek milyen arányú hasonló képét kaptad? 9. Rajzolj egy paralelogrammát, és jelöld be a szimmetria középpontját (O) is! Szerkeszd meg a középpontosan hasonló képét úgy, hogy legyen O a hasonlóság középpontja, és az arány pedig! 0. Válaszolj a következő kérdésekre: mit kell megadni, amikor definiáljuk a következő transzformációkat: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, pont körüli forgatás, hasonlósági transzformáció? Meg kell-e adni azt, hogy mit transzformálunk? Miért?

18 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Síkidomok hasonlósága A sokszögek (végső soron a síkidomok) hasonlósága adja a hasonlóság gyakorlati hasznát: kicsinyítve vagy nagyítva megalkothatjuk a tárgyak modelljeit, és azon kísérleteket hajthatunk végre (például szélcsatornában hajómodelleken, vagy kilengési teszteket megépítendő toronyházak modelljein). Hasonlóság nélkül nem lenne fényképezés, kivetítés a rendezvényeken, és nem értenénk meg azt sem, hogyan keringenek a bolygók a naprendszerben, vagy éppen az elektron az atommag körül. A síkidomok hasonlóságának vizsgálatát a háromszögek hasonlóságának vizsgálatával kezdjük. Tudjuk, hogy ha két síkidom hasonló egymáshoz, akkor a megfelelő szakaszok aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor hasonlóak. A későbbiekben látni fogjuk, hogy a síkidomok hasonlóságához általában nem elég, ha a megfelelő oldalaik aránya egyenlő. A háromszögek egybevágóságának kritériuma, hogy a megfelelő távolságadatok megegyezzenek. A hasonlóságnál nincs ilyen feltétel. A háromszögek hasonlósága fontos kérdés, mert a gyakorlati életben sokféle, háromszögekből összeállítható sokszöggel találkozunk. A háromszögek hasonlóságának alapesetei Két háromszög hasonló, ha a ' b' c'. megfelelő oldalainak aránya megegyezik = = ; a b c. két-két szögük egyenlő ( α α', β = β ', γ = γ ') = ;. két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik a' b' például = és γ = γ ' ; a b 4. két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik a' b' például b > a esetén = és β = β'. a b

19 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9 Sokszögek hasonlósága A definíció szerint két síkidom akkor hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A háromszögek hasonlóságához elég, hogy a megfelelő oldalak aránya egyenlő legyen, de a sokszögek hasonlóságához ez általában nem elegendő. Például az ábrán látható két deltoid megfelelő oldalainak aránya kettő, és mégsem hasonlók. Négyszögek körében a megfelelő szögek egyenlősége sem biztosítja a két négyszög hasonlóságát (például négyzet és téglalap). Bonyolultabb síkidomok hasonlóságára nincs is általánosan használható szabály. Két sokszög biztosan hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők. Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló. Feladatok. Végezd el a következő műveleteket! 4 4 ; b) : a) f) 4 x ; c) 4 = ; d) 5 ; g) ( x + 6) ; h) ( 5) + x x + ; e) : ; 5 0 x :. 4. Oldd meg a következő egyenleteket! x a) = e) x + 5 = x + ; b) = x 8 ; f) = ; g) = 5 7 x + : = ; 7 ; c) ( x ) 6; d) ( ) x x = ; h) 6 x + x 4 =. 4

20 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Igaz vagy hamis a következő kijelentések logikai értéke? a) Minden kör hasonló egymáshoz. b) Minden rombusz hasonló egymással, mert minden rombuszban egyenlők az oldalak. c) Minden négyzet hasonló egymáshoz. d) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor az két, hasonló trapézra bontja a trapézt. e) Ha egy deltoid oldalai 5 cm, 5 cm, cm, cm, akkor az hasonló ahhoz a deltoidhoz, amelynek oldalai 5 cm, 5 cm, 9 cm, 9 cm. f) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor a keletkező kisebbik trapéz az eredetihez hasonló. g) Két rombusz hasonló, ha van azonos nagyságú szögük. h) Két négyszög hasonló, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők. Mintapélda Egy derékszögű háromszög két befogójának hossza 0 cm és 4 cm. Mekkora lesz a háromszög kerülete és területe, ha háromszorosára nagyítjuk? Megoldás: Hasonlóság esetén minden távolságadat ugyanannyi szorosára változik, így a befogók új hossza: 0 = 0 (cm), valamint 4 = 7 (cm). A kerülethez szükség van a harmadik oldalra. Mivel a háromszög derékszögű, érvényes rá a Pitagorasz-tétel: a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével, a = + b c. Az új háromszög átfogója: c = = 6084, ebből gyököt vonva 78 cm-t kapunk. A kerület: K = = 80 (cm). A derékszögű háromszög területe a befogók szorzatának a fele: a b 0 7 T = = = 080 (cm ).

21 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Mintapélda Egy négyszög oldalainak aránya 7 : 7 : 9 :. Határozd meg annak a hozzá hasonló négyszögnek az oldalait, melynek a) legkisebb oldala 4 cm; b) kerülete 85 cm! Megoldás: a) Hasonlóság esetén az oldalak arányai megmaradnak, vagyis az új háromszög oldalainak aránya is 7 : 7 : 9 :. Ez azt jelenti, hogy a 4 cm 7 részt képvisel, vagyis egy kis rész 4 = cm. A többi oldal tehát: 4 cm, 9 = 8 (cm), = (cm). 7 b) Az oldalak arányait összeadva: = 4 részt kapunk, ennyi résznek felel meg a kerület. Mivel a kerület 85 cm, egy rész : 85 =, 5 cm. Így az oldalak hossza: 4,5 7 = 7,5 (cm), még egyszer 7,5 cm,,5 9 =, 5 (cm) és,5 = 7, 5 (cm). A hiányzó távolságokat sokszor ábra segítségével számítjuk ki. Ekkor a feladatok megoldásának menete: Mintapélda A létrát milyen hosszú lánc fogja össze a létra magasságának alulról mért harmadánál, ha a talajon a két szárának távolsága 8 cm? Megoldás: Az ábra felrajzolása után kapunk két hasonló háromszöget: ABC ~ DEC, mert szögeik egyenlők (oldalaik párhuzamosak, így megfelelő szögeik egyállású szögpárokat alkotnak). A hasonlóság ará-

22 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE nya, mert a két háromszög magasságának aránya (a DE szakasz alatt a magasság harmadrésze található, fölötte pedig a kétharmada). Ezért a keresett DE távolság: DE = AB = 8 = 54 (cm). Szakasz felosztása A hasonlóság segítségével egy szakaszt könnyen feloszthatunk adott (racionális) arányú részekre. Azt hihetnénk, hogy ez centiméter-skálával ellátott vonalzóval könnyű, mert csak lemérjük és bejelöljük a beosztást. A vonalzóval azonban csak milliméter nagyságrendig mérhetünk, és ez sokszor problémákhoz vezet. Például ha egy 0 cm-es szakaszt kell 0 : 7 arányban felosztani, akkor,765 cm és 8,5 cm hosszúságú szakaszokat kellene felmérni, amit nem tudunk pontosan kivitelezni. Vizsgáljuk meg egyszerű példán, hogyan lehet felosztani egy tetszőleges hosszúságú AB szakaszt : 5 arányú részekre!. A szakasz egyik végpontjából (az ábrán A-ból) húzunk egy félegyenest (e), amire felmérünk + 5 = 8 egyenlő kis szakaszt, a. után megjelölve az osztópontot (R).. Az utolsó osztópontot (Q) összekötjük a szakasz másik végpontjával (B-vel).. Az összekötő szakasszal (QB szakasszal) párhuzamost húzunk a megjelölt osztóponton (R ponton) keresztül. Ahol ez metszi a szakaszt, ott a megadott arányban osztó pont (P).

23 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Feladatok 4. Egy térképen két település távolsága 5, cm. Mekkora a valóságban ez a távolság, ha a térkép méteraránya :5000? 5. Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló négyszögnek az oldalait, melynek a) legkisebb oldala 0 cm; b) kerülete 46 cm. 6. Egy ötszög oldalainak aránya 6:8:9::5, egy hozzá hasonló ötszög kerülete 50 cm. Mekkorák az oldalai? 7. Igaz-e, hogy a háromszög oldalfelező pontjait összekötő szakasz (középvonal) az eredetihez hasonló háromszöget vág le a nagy háromszögből? 8. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 5 cm, egy hozzá hasonló háromszög megfelelő oldala 5 cm. Határozd meg a két háromszög oldalait, ha a kisebb háromszög kerülete 7 cm. 9. Két hasonló egyenlőszárú háromszög leghosszabb oldala 0 cm, illetve 5 cm, kerületeik különbsége cm. Mekkora a két háromszög kerülete? 0. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. Hol kell meghúzni az egyenest, ha a paralelogramma oldalai a) b = 6 cm és a = 0 cm; b) a és b?. Egy A4-es oldal méretei 0 mm 97 mm. Hogyan kell kétfelé vágni a lapot, hogy a keletkező két lap közül az egyik hasonló legyen az eredetihez? Hasonló-e ekkor a másik is az eredeti A4-es laphoz?. Két háromszög közül az egyiknek az oldalai: AB =, cm, BC = 6,4 cm és AC = = 4,8 cm, a másiké EF = 4,8 cm, FG =,4 cm, és EG =,6 cm. Igaz-e, hogy a két háromszög hasonló? Ha igen, akkor mely oldalak és csúcsok felelnek meg egymásnak?

24 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Két négyszög oldalai ebben a sorrendben cm, 4,5 cm,, cm és 5,5 cm, valamint 6 cm, 9 cm, 6,4 cm és cm. Hasonló-e a két négyszög? 4. Egy háromszögről azt tudjuk, hogy két szöge 45 és 56 fokos. Egy másik háromszögnek van egy 79 és egy 56 fokos szöge. Hasonló-e a két háromszög? 5. Egy háromszög oldalai: cm,,5 cm és 4,5 cm. Egy hozzá hasonló háromszög kerülete cm. Mekkorák az oldalai? 6. Egy ötszöget egy pontból nagyítottunk, és az a oldala,5 cm-ről 4,5 cm-re változott. Mekkorák az új ötszögnek az oldalai, ha az eredeti ötszög másik négy oldala: b =,6 cm, c = 4 cm, d = 5, cm, e = 4, cm. Hányszorosára változott az ötszög kerülete és területe? 7. A festők kinyújtott karjukkal méregetik az arányokat a ceruzájukon. Mekkorának méri az, méteres magasságot a festő, ha a modell tőle 4 méterre van, és a ceruzával a szemétől 50 cm-re mér? 8. Egy fényképész a múzeumban egy 50 cm magas képről szeretne fotót készíteni úgy, hogy az egész kép magassága látható legyen a fotón. A fényképezőgépében 5 mm magas a film, amin a kép keletkezik, és a film az objektívtől 00 mm-re található. Milyen messze tegye a fényképezőgép állványát a képtől? Készíts vázlatot a feladat megoldásához! 9. A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot a földbe, és megfigyelte azt a pillanatot, amikor azonos hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis árnyéka is egyenlő a magasságával.

25 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 5 Peti a testmagasságát akarja hasonló módszerrel megmérni. Leszúr egy botot a földbe, aminek 4 cm-es darabja áll ki. Az árnyék hossza 6 cm. A saját árnyéka 09 cm hosszú. Milyen magas Peti? 40. Az ABCD rombusz BC oldalának H harmadoló pontját összekötjük a D csúccsal, és a DH egyenes és AB egyenes metszéspontját P-vel jelöljük. Mekkora BP szakasz hossza, ha a rombusz oldala cm? 4. Rajzolj egy 7 cm hosszúságú szakaszt, és oszd fel a következő arányú részekre: a) :7; b) :5; c) 75% : 5%; d) 40% : 60%; e) 45% : 55%. 4. Keresd meg a megfelelő arányokat, és számítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b p q x y ,4 6, 4, 5 4,4 6 6,

26 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Szögfüggvények Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelő oldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk, hogy a háromszögben a szögek és az oldalak aránya között kapcsolat van. A trigonometria (háromszögtan) foglalkozik a háromszögek adatainak, a szögek és oldalak kapcsolatával. A szögek és távolságok kapcsolatát már az ókorban is tanulmányozták és használták Kína, India területén csakúgy, mint Egyiptomban az építkezéseknél. Kr. e körül már használtak húrtáblázatokat, sőt szinusztáblázatokat is. Az első évszázadban a kör középponti hegyesszögeihez tartozó húrok hosszát foglalták táblázatba, félfokonként, és ismerték a két szög öszszegének és különbségének szögfüggvényeire vonatkozó képleteket (ma az emelt szintű érettségi tananyaga). Az árnyékok délután fokozatosan megnyúlnak. Mindennek az árnyéka. Miért? Van-e valami közös a tárgyak magassága és árnyékuk hosszának arányában, ha ugyanabban az időben vizsgáljuk azokat? Azért növekednek az árnyékok estefelé, mert a nap sugarai egyre kisebb szögben érik a tárgyakat. Ha egy adott időpontban megvizsgáljuk a tárgyak magasságát és az árnyék hosszát, akkor a kettő arányát minden tárgy esetén egyenlőnek találjuk. Ez azért van, mert a tárgyakat a napsugár ugyanabban a szögben éri. Tehát kapcsolat van a háromszögek szögei és oldalainak aránya között. Ezt a kapcsolatot fejezik ki a szögfüggvények, amelyek meghatározását derékszögű háromszög segítségével végezzük.

27 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 A hegyesszögek szinusza Egy aluljáróból 7 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a járda szintjére, és a rámpa egyenletesen, 6,5 -os szögben emelkedik a vízszinteshez viszonyítva. Ezekből az adatokból meghatározható, hogy milyen mélyen van az aluljáró. Segítségül hívjuk a valóság egy modelljét: jelen esetben az eredetihez hasonló derékszögű háromszöget. Szerkesszünk egy 6,5 -os derékszögű háromszöget például 5 cm-es átfogóval. A két háromszög megfelelő szögei páronként egyenlők, ezért a két háromszög hasonló, tehát a megfelelő oldalaik aránya is egyenlő. Ha lemérjük az ABC háromszög 6,5 -os szöggel szemközti befogóját, akkor a, cm-t kapunk. A keresett oldal hoszszát x-szel jelölve: x a, 7 =, innen x 7, 5 méter Segítségül bármilyen 6,5 -os derékszögű háromszöget hívhattunk volna, mert a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya a hasonlóság miatt állandó. Ezt a hányadost a hegyesszög szinuszának nevezzük, és jelen esetben 4 tizedesjegyre közelítő értéke 0, 446. A szöggel szemközti befogó, az átfogó és a hegyesszög között a szinusz szögfüggvény teremti meg a kapcsolatot. A 6,5 -os szög szinusza közelítőleg 0,446. Ez a szorzószám adja meg, hogy egy ehhez hasonló háromszögben az átfogót mennyivel kell megszorozni, hogy megkapjuk a szöggel szemközti x befogót: sin 6,5 =, ahonnan x = 7 sin 6,5 7, 59 méter. 7 Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa.

28 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0,446 0,894,86 sin 6,5 = = =, A szögek szögfüggvényeinek értékét legegyszerűbben zsebszámológép segítségével tudjuk meghatározni. Számológépet használunk akkor is, amikor azt kell meghatároznunk, hogy egy adott szögfüggvényértékhez mekkora szög tartozik. Jelenleg sokféle tudományos számológépet találunk a piacon. Leggyakoribbak a normál és a DAL típusúak. A normál típusúaknál előbb a számokat visszük be, majd a műveleteket választjuk ki a megfelelő gombokkal. A DAL típusú kalkulátoroknál a képleteket olyan módon visszük be a gépbe, ahogyan azt a papírra leírjuk (például kezel törteket, és a szorzásjelet sem kell bevinni, ha zárójeles kifejezést szorzunk). A DAL típusú számológépeknél a műveletet előre jelezzük: A normál típusúaknál a szögfüggvény értékét így határozzuk meg: Visszakereséshez ugyanezeket a billentyűket használjuk: a ndf vagy Shift billentyűvel elérhető második (sin - ) funkciójukat: DAL gépen:, normál típusú gépen: A szögek mértékegységei között a számológépen található DRG vagy RAD gombbal válthatunk. Amennyiben D üzemmódot jelöl a kijelző, a megadott adatokat a számológép foknak értelmezi. R esetében radiánnak, G esetén újfoknak.. A hegyesszögek koszinusza A szög szinusza a derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogót és az átfogót kapcsolja össze. Hasonlóan egy szög koszinusza összekapcsolja a szög melletti befogót az átfogóval.

29 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9 Az 57 méter magas pisai ferde torony árnyéka 5 méter délben. Ezekből az adatokból a koszinusz szögfüggvény segítségével kiszámíthatjuk, hogy mekkora szöget zár be a talajjal a torony. A szemléltetés kedvéért kicsit még jobban eldöntöttük a tornyot. cos α = 5 57 Zsebszámológép használata után α 85. Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és az átfogó hányadosa.. A hegyesszögek tangense és kotangense Egy permetező repülőgép olyan helyen áll, ahol gyorsítás után a fákig 8 méter szabad út áll rendelkezésre a felszálláshoz. A 8 méter alatt 0 méter magasra kell emelkednie. A pilótának felszálláskor az emelkedés szögét be kell állítania. Mekkora a kérdéses szög? A feladatban a derékszögű háromszög két befogója és a hegyesszög közötti kapcsolatot a tangens szögfüggvény 0 teremti meg: tg α =, ahonnan α 7, 04. Ha a befogók arányát fordítva írjuk fel, a szög kotangensét kap- 8 juk.

30 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti és az α melletti befogó hányadosa. Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti és az α szöggel szemközti befogó hányadosa. Összefoglalva: a hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói derékszögű háromszögben: szöggel szemközti befogó sinα = átfogó a = c szög mellettibefogó b cosα = = átfogó c tgα = szöggel szemközti befogó szög melletti befogó a = b ctgα = szög melletti befogó szöggel szemközti befogó b = a Vizsgáljuk meg, hogyan változik a szög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense a szög változásával!

31 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI szög szinusza szög koszinusza szög szög szög tangense szög kotangense szög szög A szögfüggvények értékeit általában négy tizedesjegyre kerekítjük (mert az ezred nagyságrendű eltérés fok nagyságrendű szögeltérést eredményezhet), a fokokban megadott szögeket egy tizedesjegyre. Régebben szinusz- és koszinusztáblázatokból határozták meg a szögfüggvények értékét (a függvénytáblázatban is találunk ilyen jellegű táblázatokat), ma számológépet (kalkulátort) használunk. Vegyük észre, hogy a szögfüggvényértékeknek nincs mértékegysége, hiszen két távolság hányadosaként értelmeztük azokat. Mintapélda 4 Határozzuk meg zsebszámológéppel 5 szögfüggvényeit! Megoldás: Egyes számológépeken nem kell átváltani a -et fokká, külön billentyű található a fokperces adatbevitelre (DMS vagy jelzéssel). Akinek nem ilyen a számológépe, előtte át kell váltani a -et fokká: ' = = 0,, és 5, -ot kell beütnie a gépbe. 60

32 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A számológép kiadja az eredményt: 0, Kerekítve 4 tizedesjegyre: sin 5 ' = 0, 790. Hasonlóan, a többi szögfüggvényérték: cos 5 ' = 0, 69 ; tg 5 ' =, 89. A számológépen nincsen gomb, amivel ki tudnánk számolni ctg 5 ' értékét. A definíciókból azonban kiderül, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka, ezért ctg 5 ' = = 0,7757. tg 5 ' Megjegyzések: DAL típusú számológépeken a művelet nyomógombja után a számok begépelése és az egyenlőségjel használata adja a szöget. Amennyiben a szöget ívmértékben (radiánban) adják meg, a RAD billentyűvel állíthatjuk át a számológépet ívmértékre. Mintapélda 5 Az emelkedő előtti közlekedési táblára %-ot írtak. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes irányú haladáshoz képest a lejtő emelkedése %. Hány fokos a lejtő emelkedési szöge? Megoldás: Az adatok felhasználásával vázlatot készítünk. Kérdés:α nagysága. A megadott oldalak és α között a kapcsolatot a tangens 0, x szögfüggvény teremti meg: tg α = = 0,. x Visszakeresve: a szög 6,848, kerekítve 6,8. Mintapélda 6 A négyzet alapú Nagy Piramis magassága 46 méter, alapjának hossza 0 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok a talajjal?

33 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Megoldás: A vázlat mutatja az alaplap és az oldallap szögét és azt a derékszögű háromszöget, amelynek segítségével a keresett szög kiszámítható. A két befogót a tangens szögfüggvény kapcsolja össze: tg α = α 5, Feladatok 4. Határozd meg a következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével! Figyelj a helyes kerekítésre! a) 0 ; b) 0 ; c) 45 ; d) 70 ; e) 0 ; f) 60 g) 8,6 ; h) 67,54 ; i) 6 ; j) Mekkora az ismeretlen hegyesszög, ha a) sin α = 0, 4 ; b) sin α = 0, 40 ; c) cos α = 0, 680 ; d) cos α = 0, 087 ; e) tg α = 0, 89; f) tg α =, 445 ; g) ctg α = 0, 45; h) ctg α =, Igaz-e, hogy egy hegyesszög szinusza és koszinusza mindig -nél kisebb szám? Indokold a választ! Elmondható-e ugyanez a hegyesszögek tangensére és kotangensére? 46. Adott a derékszögű háromszög két befogója: a = 4, cm, b = 5, 4 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 47. A derékszögű háromszög 6 cm-es befogóján -os szög nyugszik. Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? 48. Derékszögű háromszög 4 centiméteres magassága az átfogóból egy centiméteres szakaszt vág le. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 49. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 8 cm, a rajta fekvő szögek 45 -osak, a szárak hossza 5 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe?

34 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 50. a) Egy lejtő hossza méter, hajlásszöge 7 5. Milyen magasra visz a lejtő? b) Egy lejtő hossza a, hajlásszögeα. Milyen magasra visz a lejtő? 5. Egyenlőszárú háromszög alapja 0 cm, az alaphoz tartozó magasság szintén 0 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 5. Mekkora a faltól a tető gerincéig tartó tetőgerendák hossza, ha az egyenlőszárú háromszög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és a gerendák hajlásszöge a vízszinteshez képest 5? 5. Egyenlőszárú háromszögben a szárak hajlásszöge 70, az alap 0,8 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? 54. Egy létra lábainak távolsága a talajon 86 cm, és 5 -ig hajtottuk szét a lábait. Hány fokú a létra, ha a fokok 45 cm-enként követik egymást? Milyen magasan van a teteje a talajtól, ha szétnyitják? 55. Egy téglalap oldalai 0 cm és 5 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldalak az átlóval? 56. Az Eiffel-torony aljának középpontjától 50 méterre áll egy autó. Mekkora szögben látszik a torony emeleteiről, ha az emeletek 54 m, 5 m és 74 m magasan találhatók? 57. Egy forgáskúp alapkörének sugara 0 cm, testmagassága 5 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? (A nyílásszög a kúp csúcsánál található, szemközti alkotók által bezárt szög.) 58. Egy inka piramisról tudjuk, hogy alapja egy 0 m, illetve 50 m oldalhosszúságú téglalap, magassága 8 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?

35 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Mekkora szögben látszik és egy 7 cm-es húr az 5 cm sugarú kör középpontjából? Milyen távolságra van ez a húr a kör középpontjától? 60. Mekkora szögben látszik egy 0 cm-es húr a 8 cm sugarú kör középpontjából? Milyen távolságra van ez a húr a kör középpontjától? Mennyi a körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? 6. Egy rombusz egyik átlója 0, cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei? 6. Egy rombusz átlói 6 cm és,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei? 6. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 0 cm, szárai 5 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szögei? 64. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 0 cm, szárai 8 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szögei? 65. Egy trapéz hosszabbik alapja cm, az ezen fekvő szögek és 44 -osak. A 44 -os szög melletti szár hossza 6 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe? 66. Az AD oszlop teteje a talajon az A-tól 6 méterre levő B pontból 45 -os szögben látszik. Az AB irányban addig távolodunk az oszloptól a talajon, amíg azt 0 -os szögben nem látjuk. Milyen messze vagyunk az oszloptól? 67. Határozd meg a háromszög területét, ha két oldala 7 cm és 0 cm, a köztük levő szög 8 -os! 68. Mekkora szöget zár be a két belső, illetve a két külső érintő egymással annál a két körnél, amelyek sugara 8 cm és cm, és középpontjaik távolsága 6 cm?

36 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 69. Mekkora szöget zár be a két belső, illetve a két külső érintő egymással annál a két körnél, amelyek sugara 8 cm és cm, és középpontjaik távolsága 0 cm? 70. A szánkó 70 centiméteres kötelét a földtől cm magasságban rögzítették a szánkóhoz, és a kötél végét a földtől,0 méter magasan húzzuk, 0 N erővel. Mekkora a húzóerő vízszintes és függőleges komponense? 7. A földtől 50 cm magasan lóg egy m hosszú láncra erősített hinta. Milyen magasan van a hinta a földtől akkor, amikor a lánca a függőlegessel 8 -ot zár be? 7. Egy 76 nyílásszögű spotlámpát egy gerendára rögzítettek 60 cm magasan, és pontosan függőlegesen lefelé irányítottak. Mekkora a padlón megvilágított terület? 7. Egy félgömb alakú domb szélétől 6 méterre a domb a vízszintes talajhoz képest 7 -os szögben látszik. Milyen magas a domb? 74. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyhez a körtől 5 cm távolságra levő külső pontból húzható érintők hajlásszöge 46?

37 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 Vegyes feladatok 75. A dolgokat sokszor nem ábrázolhatjuk az eredeti nagyságukban (például nem rajzolhatjuk le eredeti méreteiben az Eiffel-tornyot vagy egy vírust), ezért nagyítani-kicsinyíteni kell azokat lehetőleg úgy, hogy a kapott kép valahogyan megfeleljen az eredeti tárgynak. Nem biztos, hogy mindig az alakhűség a legfontosabb szempont. a) Melyik térkép lehet mérethű, melyik mutatja legjobban a távolságok, illetve a területek arányát? b) Gyűjtsetek olyan helyzeteket különböző alkalmazási területekről, amelyekben az egyes térképeket használnátok! 76. Nagyítsd,5-szeresére az egyenest és a kört tartalmazó alakzatot a P pontból! a) b)

38 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 77. Szerkeszd meg az ABC háromszög S súlypontját, és nagyítsd abból a háromszöget -szeresére, majd a kapott háromszöget tükrözd a súlypontjára! A keletkező háromszögnek milyen vonalai lesznek az ABC háromszög súlyvonalainak egyenesei, és milyen pontjai az A, B, C pontok? 78. Ábrázold és kösd össze a koordináta-rendszerben a következő pontokat: A( 6; 4), B( 4; ), C( ; 4), D( 4; 7)! a) Készítsd el a négyszög hasonló képét úgy, hogy az AB oldal képe az A B legyen, ha A (; ), D (7; ). b) Számítsd ki a megfelelő oldalak arányát! c) Az A, B és C pontok, illetve az A, B és C pontok meghatároznak egy-egy háromszöget. Rajzold meg a magasságokat, végezz méréseket, és határozd meg a két magasság arányát! 79. Rajzold meg azt a háromszöget, melynek csúcsai: A( 4; 5), B( 7; 4), C(8; )! Készítsd el a háromszög hasonló képét úgy, hogy az AB oldal képe az A B, és A (9; 4), B (5; 6) legyen! Számítsd ki a hasonlóság arányát is! 80. Rajzolj a füzetedbe egy 6 cm oldalú négyzetet, és valahol a belsejében vegyél fel egy O pontot! Kicsinyítsd a négyzetet az O pontból a felére! 8. Szerkessz rombuszt, melynek oldala 7 cm, és egyik szöge 60 -os! a) Kicsinyítsd a rombuszt az egyik csúcsából negyedére!

39 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9 b) Kicsinyítsd az előző csúcsából 4 -ére! 8. Szerkessz paralelogrammát, melynek oldalai cm és 4 cm, és egyik szöge 0 -os! Nagyítsd az egyik csúcsából -szorosra! 8. Szerkessz deltoidot, melynek szimmetriaátlója 0 cm, és oldalai 5 és 7 cm-esek! Kicsinyítsd az átlói metszéspontjából felére! 84. Az ABC háromszög oldalfelező pontjai P, Q és R. Milyen hasonló háromszögeket találunk az ábrán? A hasonlóságnak melyik alapesete teljesül? 85. P és R harmadoló pontok. Igazold, hogy ABC ~ PBR! 86. Egy trapéz két alapja és 5 cm. a) Az átlókat berajzolva az alapoknál két háromszög keletkezik. Miért hasonló ez a két háromszög? b) A két háromszög hasonlóságát felhasználva válaszolj a következő kérdésre: Milyen hosszúságú szakaszokra osztják egymást az átlók, ha azok hossza 8 és cm? 87. Mekkorák a trapéz szárainak meghosszabbításával kapott kiegészítő háromszög oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik alappal kezdve rendre a) 0 cm, 6 cm, cm, 4 cm; b) cm, 5,4 cm, 6 cm,,5 cm? 88. Egy piramis magasságát úgy határozzuk meg, hogy segítségül hívjuk társunkat: a piramis és közöttünk oda állítjuk, ahol a sisakja legfelső pontja éppen egyvonalban látszik a piramis tetejével. A piramis tőlünk,4 km távolságban van, a társunk 5,5 méterre. A szemünk 6 cm magasan, társunk sisakjának legfelső pontja 9 cm magasan van a talaj fölött. Milyen magas a piramis? 89. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 0 cm és 4 cm, szárai 7 cm hosszúak?

40 40 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 90. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 4 cm és 8 cm, szárai 5 cm hosszúak? 9. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha oldalának hossza a) 8 cm; b),8 cm? 9. Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha A ( 5;), B(;5), C(; 4)! 9. Akadálymentesítéshez egy lépcsőre rámpát terveznek. A lépcsők magassága 0 cm, hosszuk 0 cm, és 5 lépcső visz fel a járdáról a bejárathoz (a 6. a bejárat szintje). Milyen hosszú legyen a rámpa? Mekkora szöget zár be a járdával? 94. Az Eiffel-torony magassága 6 m, kilengése a legnagyobb szélben sem haladja meg a cm-t. Mekkora a torony tetejének a függőlegessel bezárt szöge, ha a kilengés cm? 95. Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a 8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki? 96. Egy 0 cm sugarú kör húrja a középponttól 5 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz tartozó középponti szöget! 97. Mekkora annak a cm oldalhosszúságú szabályos sokszögnek a területe, amelynek oldalszáma a) 5; b) 8; c)?

41 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 4 Ajánlott szakmai jellegű feladatok Hasonlóság. Mekkora az alábbi transzformátorlemezek valódi mérete, ha a tervrajz és a valós méret aránya: :? Mekkora a lemezek kerülete és területe? a) b). Az ábrán látható alátétlemez rajza és a valódi méretének aránya: :. Mekkora az alátétlemez valódi mérete? Mekkora a kerülete és területe?

42 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. A tervrajz egy családi ház alaprajza. Mekkora a ház és az egyes helyiségek alapterülete, ha a tervrajz méretaránya : 0? 4. Egy m széles út két oldalán, egymással szemközt két kertes ház áll. A házak a kertben az úttesttől, 6 6 méterre állnak. Mind a két kertet az úttesttől,5 m magas kerítés választja el. Az egyik ház gazdája azt szeretné, hogy szemközti szomszédja a m magasan végződő ablakából ne lásson be az ő alagsori ablakán, amelynek felső vége,5 m magasan van. Hány cm-rel emelje meg a kerítését? 5. Egy egyenlőszárú derékszögű háromszög alakú ablakra, melynek befogói 45 cm-esek, rácsot szerelnek, az ábrán látható módon. Hány méter acélrúd szükséges a rács elkészítéséhez? (A rács kerete is ugyanolyan acélrúdból van, mint a rács többi része.)

43 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 4 6. Egy szimmetrikus trapéz alakú tetősíkot palával fednek be. Az ereszvonal m, a tetőgerinc 6 m hosszú, a tetősík magassága 4 m. A palákat a trapéz alapjaival párhuzamos lécekre szögelik. A tetőgerinc és az eresztartó közt, egyenlő távolságra, 9 lécet helyeznek el. Milyen hosszú a legalsó és a legfelső léc? 7. Az alábbi rajzon fémlemezek tervrajzát látjuk. Szerkesszük meg a lemezek valódi méret szerinti sablonját az adott arányok szerint! a) : b) : c) : d) :

44 44 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Szögfüggvények 8. Egy lámpa felszereléséhez egy derékszögben meghajlított vaspántot használnak. A pánt egyik része a falra simul, a másik, 56 cm hosszú részt, amelyre a lámpát függesztik, az eredeti derékszögből tovább hajlítják, hogy a lámpa a faltól 40 cm távol legyen. Hány fokos hajlásszöge lesz így a vaspántnak? 9. Az ábrán látható kovácsoltvas fali virágtartón elfér-e egy olyan virágcserép, amelynek legnagyobb átmérője 0 cm? 0. Egy daru tartórúdját függőleges falon, a talajtól m magasan rögzítették. A daru csúcsa, legmagasabb állásban, 4 m magasan van a talajtól, és 6 o -os szöget zár be a függőleges fallal. Hány m-re hajlik el a daru a faltól, amelyhez rögzítették?

45 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 45. Egy téglalap alakú vasajtóra két átlós merevítőt tesznek. Az ajtó,8 m magas és,5 m széles. Hány fokos szöget zárnak be a merevítők egymással?. Egy egyenlőszárú trapéz alakú fedéllemez alapjai 50 és 70 cm hosszúak. A szárak a rövidebbik alappal 0 o -os belső szöget zárnak be. Mekkora a lemez területe?. Milyen magasra ér fel a fogaskerekű vasút egy 500 m-es útszakasz megtételével, ha a pálya emelkedési szöge 7,5 o? 4. Egy M8-as csavar átmérője 7, mm. A menetemelkedés 0,98 mm. Mekkora a menetemelkedés szöge? 5. Egy csavar menetemelkedése mm, és menetemelkedési szöge o. A csavaron 5 menet van. Mennyi a csavar átmérője, és milyen hosszú a csavarmenet? 6. A viharban egy gyaloghíd megrongálódott, ezért a híd szárazföldön lévő pilléreit megtámasztották. A támasztógerenda egyik talajon lévő vége a pillértől,5 m távol van, és o -os szöget zár be a vízszintes talajszinttel. Milyen hosszú egy ilyen gerenda? 7. Egy 4 km hosszú csatorna lejtési szöge 0,98 o -os. A szennyvízgyűjtő tengerszint feletti magassága 8 m. Milyen magasról indul a csatorna? 8. Egy kémény magasságát kívánjuk meghatározni, ami tőlünk m-re van, sík területen. A kémény tetejét egy,5 m magas állványon lévő mérőműszerrel 0,59 o -os szögben látjuk. Milyen magas a kémény? 9. Egy egyenlőszárú trapéz keresztmetszetű vízelvezető betonárkot építenek. Az árok alja 60 cm széles. Az m magas oldalfalak 0 o -os szöget alkotnak az árok aljával. Milyen mély az árok?

46 46 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Egy családi ház garázsába, melynek padlózata m-rel a talajszint alatt van,,8 m széles lehajtót építenek, amely a garázs szintjével o -os szöget zár be. A lehajtót 0 cm oldalú, négyzet alakú csúszásgátló lapokkal borítják. Hány lap szükséges a lehajtó borításához?. Egy szék ülőkéje egyenlőszárú trapéz alakú. A párhuzamos oldalak hossza 4 cm és 46 cm. A szárak 87 o -os szöget zárnak be a 46 cm-es oldallal. Mekkora szegőfóliával lehet az ülőkéket bekeretezni?. Egy szobor talapzatának keresztmetszete szabályos ötszög alakú. Az ötszög oldalai 6 cm hosszúak. Mekkora a keresztmetszet területe?. Egy kör keresztmetszetű acélhengerből szabályos hétszög keresztmetszetű idomot reszelnek. A hétszög oldalai 8 mm hosszúak. Mekkora volt az acélhenger átmérője? 4. Egy falra szerelhető asztalt készítenek. Levágnak egy 90 cm átmérőjű körlapból egy körszeletet úgy, hogy az asztalnak a faltól való legtávolabbi pontja 0 cm legyen. Hány m az asztallap területe? 5. Egy textilüzem fonodájában a levegő páratartalmát adott értéken kell tartani, ezért párásító készüléket szerelnek fel. A készülék egy acélsodrony közepén függ, és súlya 86 N. A kötélszárak 56 o -os szöget zárnak be egymással. Mekkora erő ébred az egyes kötélszárakban? 6. Egy csőbilincsre a két csőszár 80 N és 0 N húzóerőt gyakorol. Mekkora a csőbilincsre ható eredő erő, ha a két csőszár egymással 60 o -os szöget zár be? Hány fokos szöget zár be az eredő erő iránya az egyes csőszárakkal? 7. Egy vízirakományt a kikötőnek kialakított csatorna két oldalán rögzített csörlőkkel vontatnak ki. Az egyik csörlő 5600 N, a másik 6500 N erővel húzza a rakományt. A két vontatókötél 68 o -os szöget zár be egymással. Mekkora a rakományt húzó eredő erő? 8. Egy 500 N súlyú hordót kívánunk egy 6 o -os lejtőn felgurítani. Mekkora erő kell ehhez? (A súrlódást nem vesszük figyelembe.)

47 5. MODUL hatványozás, oszthatóság, normálalak Készítette: Csákvári Ágnes

48 48 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Pozitív egész kitevőjű hatvány (Ismétlő anyag) Korábban már találkoztunk a hatványozás műveletével, például a Pitagorasz-tétel kapcsán, vagy a négyzet területének, kocka felszínének, térfogatának kiszámításakor. Elevenítsük fel ismereteinket! Hatványozáskor egy tetszőleges számot szorzunk meg önmagával. Egy 5 cm oldalú négyzet területe: 5 5 = 5 (cm ). Egy cm élű kocka térfogata: = 4 (cm ) A megoldást mindkét esetben azonos tényezőkből álló szorzat adja. Ezt a műveletet hatványozásnak nevezzük, az azonos tényezőkből álló szorzat a hatvány. Az azonos tényező (az 5, illetve a 4) a hatvány alapja. A tényezők száma a kitevő (itt, illetve ). Az 5 és 4 alakban felírt szorzat a hatvány. Általánosan megfogalmazva: a n (ahol a tetszőleges valós szám és n pozitív egész) olyan n tényezős szorzatot jelent, amelynek minden tényezője a. a n -t hatványnak nevezzük, melyben a a hatványalap és n a hatványkitevő. A műveletet hatványozásnak nevezzük. Minden szám első hatványa önmaga, azaz a = a (az kitevőt nem szoktuk kiírni). Szorzat hatványozása: ( 7) = 4 = 744; 7 = 8 4 = Hányados hatványozása: = 0,8 = 0, 64 ; = = 0, Azonos alapú hatványok szorzata: = 7 9 = 4; + = 5 = 4. Azonos alapú hatványok hányadosa: = = 5, = 5 = 5. Hatvány hatványa: ( ) 8 = 64 = ; = 6 = 64.

49 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 49 Általánosan megfogalmazva: A hatványozás azonosságai Az alap minden esetben tetszőleges valós szám, a kitevők pozitív egész számok.. (a b) n = a n b n n n a a. =, b 0 n b b. a n a m = a n+m n a nm 4. = a, a 0 és n > m m a n n k 5. ( a ) a k = FONTOS! Összeget és különbséget úgy hatványozunk, hogy a hatvány definíciója alapján szorzótényezőkre bontjuk a hatványt, majd minden tagot minden taggal megszorzunk. Például Mintapélda ( a b) = ( a + b)( a + b) = a + ab + b +. Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, illetve a definícióját! a) (5 8) ; b) ; c) ; d) ; ; f) ( + 4) e) ( ) Megoldás: a ; g) a) (5 8) = ; b) = ; c) = 7 +5 = 7 7 ; d) 8 = 8 = 5 6 ; e) ( ) = = ; f) ( a + 4) = ( a + 4) ( a + 4) ( a + 4) = ( a + 8a + 6) ( a + 4) = = a + 4a + 8a + a + 6a + 64 = a + a + 48a + 64 ; 4 g) = ( + ) = +.

50 50 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Hatványozás számológéppel Mielőtt rátérünk a feladatok megoldására, megnézzük, hogyan tudunk magasabb hatványokat számolni számológéppel. Megjegyzés: Érdemes megnézni és gyakorolni az egyes gépeken a hatványozást. Például a hatványozás jele szokott lenni a zsebszámológép gombján ez a felfelé mutató ék-forma: ^. A következő leírás a legtöbb számológépre érvényes, de előfordulhat, hogy a műveleti sorrend eltér, vagy nincs külön x y hatvány gomb, hanem nd vagy SHIFT funkcióval érhetjük el úgy, hogy először megnyomjuk a nd vagy SHIFT gombot, és utána azt a gombot, amelyik felett található x y. Számoljuk ki a 7 hatvány értékét! Megoldás: Begépeljük a 7-et, majd lenyomjuk az 89 gombot. A kijelzőn megjelenik az eredmény: Most számoljuk ki 5 értékét! Megoldás: Először megadjuk a hatványalapot, ami most, majd lenyomjuk az gombot. Végül megadjuk a hatványkitevőt, ami most 5. A kijelzőn megjelenik az eredmény: 4. Feladatok. Számítsd ki számológép segítségével a következő hatványok értékét! a) ; b) 4 ; c) 0 5 ; d) 5 ; e) 00 ; f) 0, ; g) ( ) ; h) ( ) ; i) ( ) ; j) ( ) 4 ; k),4 ; l) 0,5.

51 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 5. A hatványozás azonosságainak segítségével bontsd fel a zárójelet, majd számold ki számológép segítségével a kifejezések értékét! a) (4 ) ; b) (5 ) ; c) ( 7) ; d) ( 9) ; e) 7 ; f) ; g) ; h) Alkalmazd a hatványozás azonosságait, majd számold ki számológép segítségével a kifejezések értékét! a) ; b) 5 4 ; c) ( ) ( ) ; d) 5 ( ) ; 5 e) ; f) ; 0 ( ) g) ( 6) ; h) (0) Alkalmazd a hatványozás azonosságait, majd számold ki számológép segítségével a kifejezések értékét! a) ; b) ; c) ( 0,) 5, ( 0,) ; d), ; 0 ; f) ( ) e) 8 0 [ ] ; g) ( ) ; h) 0.

52 5 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Negatív egész és nulla kitevőjű hatvány Nulla és negatív egész kitevőjű hatvány definíciója Bizonyos gyakorlati problémák szükségessé teszik, hogy a hatványozás fogalmát kiterjesszük negatív egész és nulla hatványkitevőre is. Kiterjesztés közben fontos, hogy a tanult azonosságok érvényben maradjanak. Ez a permanencia-elv. Például a tizedestörtek használata is igényli a hatványozás kiterjesztését. Mintapélda Helyezzük el a 4594,67 számot a helyiérték-táblázatban! Helyiérték A szám: Hatvány ????? Hatványkitevő 5 4????? Százezertől tízig a hatványkitevők folyamatosan csökkennek. Ha következetesen szeretnénk a táblázat. és 4. sorának többi oszlopát is kitölteni, akkor folytassuk ezt a csökkenő sorozatot. Így az helyi értékhez tíz 0 kitevőjű hatványát rendeljük, 0 -hez a kitevőjű hatványt, -hoz a kitevőjű hatványt, és így tovább: 00 Helyiérték A szám: Hatvány Hatványkitevő Itt már a hatvány eddig megismert definíciójának nincs értelme, ezért nulla és negatív egész kitevő értelmezéséhez a hatványozás tulajdonságait hívhatjuk segítségül.

53 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 5 Ahhoz, hogy a tulajdonságok érvényben maradjanak, a nulla és negatív egész kitevőjű hatványt a következőképpen definiáljuk: Bármely, nullától különböző szám nulladik hatványa, vagyis a 0 =, és a 0 (0 0 -t nem értelmezzük). Bármely, nullától különböző szám negatív egész kitevőjű hatványa egyenlő ugyanezen alap pozitív kitevőjű hatványának reciprokával, vagyis n a =, ahol a 0. n a Mintapélda Írjuk fel a következő hatványokat negatív kitevő használata nélkül, vagy adjuk meg a pontos értéket! a) ; b) ; c) ; d) ; 5 e) 7 Megoldás: a) 4 5 ; f) 7 = ; b) = ; ; g) 0 ; h) 504,6 0. c) = = ; d) = = = () = 8; e) = ; f) = = g) 0 = ; h) 504,6 0 =. 4 4 ; Megjegyzés: A c), d), e) és f) feladatok azt mutatják, hogy tetszőleges, 0-tól különböző alapot úgy is emelhetünk negatív egész hatványkitevőre, hogy vesszük az alap reciprokát, és a reciprokot emeljük a megfelelő pozitív hatványkitevőre.

54 54 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 5. Írd fel a következő hatványokat negatív kitevő használata nélkül, vagy adjuk meg a pontos értéket!! a) 6 ; b) 4 ; c) 5 e) 5 ; f) 5 4 i), k. k + ; d) 5 ; g) 0, ; h) ( 6) 0 ; ; 6. Írd fel a következő hatványokat negatív kitevő használata nélkül, vagy adjuk meg a pontos értéket!! a) 5 ; b) 5 4 ; c) ; d) ( ) 4 e) a, a 0; f) (m + ) ; g),( b 0) ; b h),( c ) ; i). c 0, ; 7. Írd fel törtmentes alakban a következő hatványokat! a) ; b) 5 ; c) ; d) 5 ; e) ; f) a b. 8. Melyik az a szám, amelynek 9 a). hatványa (négyzete) 5? b). hatványa (négyzete)? 5 c). hatványa (köbe) 8? d). hatványa 7 4? e). hatványa? f). hatványa 7 4? g). hatványa 4? h). hatványa 4? 64 i). hatványa (köbe)? 7 7 j). hatványa? 8 k) 0. hatványa? l). hatványa (négyzete)? m). hatványa 0?

55 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 55 A hatványozás azonosságai Mintapélda 4 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, majd határozzuk meg a hatványok értékét! a) ; 4 ; b) ; 5 ; c) ( ) 4 7 ; ( ) 4 7 ; d) ( ) 5 ; 6 5 ; e) 7 4 ; 5 :. Megoldás: a) ( ) = = = = = + ; ( ) = = = = = + ; b) = = = = ; ( ) = = = = + ; c) ( ) ( )( ) = = = ; ( ) ( )( ) = = = ; d) ( ) = = = = ; = = = = ; e) = = = ; : 5 : = = = = = =.

56 56 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kiegészítő anyag Megmutatjuk, hogy az azonosságok valóban érvényesek maradnak. Végezzük el a következő műveleteket!. 4 A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint = és 4 4 =, azaz = = = +. Ha az m n m n a a a + = azonosságot alkalmazzuk, akkor a következőt kapjuk: ( ) = = = +. A két eredmény megegyezik, ez az azonosság érvényes marad.. 5 A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint = és 5 5 =, azaz 8 4 : = = = =. Ha az m n m n a a a = azonosságot alkalmazzuk, akkor a következőt kapjuk: ( ) = = = = +. A két eredmény megegyezik, ez az azonosság érvényes marad. A hatványozás azonosságai Az alap tetszőleges valós szám, a kitevő egész szám.. (a b) n = a n b n. n n n b a b a =, b 0. a n a m = a n + m 4. m n m n a a a =, a 0 5. ( ) k n k n a a =

57 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 57 Feladatok 9. Alkalmazd a hatványozás azonosságait, majd határozd meg a hatványok értékét! Végül rakd növekvő sorrendbe a kifejezéseket! a) 5 5 ; b) ( ) 7 5 ; c) 0 5 ; d) 7 : 7 ; e) ( 4) 7 ; f) 4 : ; 0 g) ( 7 ) 7 5 ; h). A továbbiakban megpróbáljuk eddigi tapasztalatainkat olyan kifejezések esetén alkalmazni, amelyekben nem számok, hanem betűk szerepelnek. 0. Végezd el a következő műveleteket! Az eredményt egyetlen hatványként írd fel! a) f) a 7 5 a a ; b) 4 ; c) a a a 5 g) a a 6 ; h) ( ) ; d) ( a ) ; e) a a ; i) a a ; j) 5 ; a 4 0 a a ; k) a ; l) ( ) a m) a a 0 a 7 5 a ; n) ; o) ; a 8 a 4 p) ( ) 6 a.

58 58 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Töltsd ki a következő TOTÓ-szelvényt! Hatványok A B C x x x x a a b b b 6 x a b 4 x a b x a b c c c d d e c c d e e c d e k k k 48 k k g 4 5 g g 9 g 9 g 6 4 m m 4 m 4 m 7 ( x y) 5 5 x y 5 5 x y x 5 y 8 v v v v v 9 ( ) 5 z z 5 z 5 z 0 5 i h h i h i ( ) 5 h i 5 q 0, q 0 0 q q 4 q 7 q q 4 4 s r s r s r r s a b c + 7 b c 5 c c a b c a b b

59 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 59 III. Oszthatóság Oszthatóság, osztó, többszörös, prímszámok Mintapélda 5 Van 4 forintom. Hány darab forintos cukrot tudok venni belőle, és mennyi pénzem marad? Megoldás: 4 : = 7, és marad 7. 7 db cukrot tudok vásárolni, és 7 forintom marad. Korábban számtalan ehhez hasonló feladattal találkoztunk. A megoldás során maradékos osztást végeztünk. A fenti példában a 4-et osztandónak nevezzük, a -t osztónak, 7 a hányados és 7 a maradék. Mintapélda 6 Van 6 forintom. Legfeljebb hány darab 4 forintos tojást tudok venni belőle, és mennyi pénzem marad? Megoldás: 6 : 4 = 9, és nem marad semmi. Legfeljebb 9 db tojást tudok vásárolni, és ekkor nem marad pénzem. Ezúttal az osztás eredményeképpen a maradék 0. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a 6 osztható 4-gyel, vagy fordítva, a 4-nek többszöröse a 6. Az is igaz, hogy a 6-nak osztója a 9, vagy a 9-nek többszöröse a 6. Legyenek a és b pozitív egész számok. Az a számnak osztója a b szám, ha b maradék nélkül megvan a-ban. Ekkor azt is mondhatjuk, hogy az a többszöröse b-nek. Azokat a számokat, amelyeknek pontosan osztójuk van, prímszámoknak nevezzük. Ha egy számnak kettőnél több osztója van, akkor azt összetett számnak nevezzük.

60 60 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A prímszámokat törzsszámoknak is nevezzük. A prímszámok két osztója és önmaguk. Másképp fogalmazva: egy -nél nagyobb pozitív egészszámot prímszámnak nevezünk, ha -en és önmagán kívül más pozitív egész osztója nincsen. Példák:. 4 osztói:,,, 4, 6, 8,, 4. A 4-nek 8 db osztója van.. 4 többszörösei: 4, 8,, 6, 0 stb.. Prímszámok:,, 5, 7,,, 7, 9,, 9, stb. Megjegyzés:. Az minden számnak osztója.. A 0 minden számnak többszöröse, mivel bármely számot 0-val szorozva 0-t kapunk.. Egy számnak végtelen sok többszöröse van. 4. Az nem prímszám, mivel csak egyetlen osztója van. 5. Az osztó és a többszörös fogalma tetszőleges egész szám esetén értelmezhető, kivéve a 0-val való osztást. 6. Ebben a fejezetben csak pozitív egész számokkal foglalkozunk. Feladatok. Csoportosítsd a következő számokat a szerint, hogy az prímszám, összetett szám vagy egyik sem! ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; ; 7; ; ; 5; 40; 47; 5; 58; 6; 6; 67; 7.. Csoportosítsd a fenti számokat a következők alapján, majd egészítsd ki még - számmal! -vel osztható számok; -mal osztható számok; 4-gyel osztható számok; 5-tel osztható számok; 6-tal osztható számok; 8-cal osztható számok; 9-cel osztható számok; 0-zel osztható számok.

61 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 6 Ismételjük át az oszthatósági szabályokat! Megjegyzés: Ezeket korábban, a törtekkel való műveletek kapcsán vettük. Oszthatósági szabályok: Egy szám osztható -vel, ha 0-ra, -re, 4-re, 6-ra vagy 8-ra végződik. Egy szám osztható -mal, ha számjegyeinek összege osztható -mal. Egy szám osztható 4-gyel, ha utolsó két számjegye osztható 4-gyel. Egy szám osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végződik. Egy szám osztható 6-tal, ha -vel is és -mal is osztható. Egy szám osztható 8-cal, ha utolsó jegye osztható 8-cal. Egy szám osztható 9-cel, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel. Egy szám osztható 0-zel, ha 0-ra végződik. 4. Keresd meg a következő számok összes, -től és önmagától különböző osztóját! 4; 6; 8; ; 5; ; 6; 45; 54; 60; 8; 00; ; 95. Egy szám egytől és önmagától különböző osztóit valódi osztóknak nevezzük. A prímszám definíciója másképp: olyan szám, amelynek nincs valódi osztója. Prímtényezőkre bontás 5. Az előző feladatban szereplő számok osztói közül válogasd ki a prímszámokat! Megjegyzés: Összehasonlítva a 4. és 5. feladatok megoldásait látható, hogy minden osztó előáll a prímosztók szorzataként vagy hatványaként. Minden szám felírható ezen törzsszámok hatványainak szorzataként. A felírási módszert akasztófának is szokták nevezni. A lényege, hogy a szám jobb oldalára húzunk egy egyenes vonalat. A vonaltól jobbra azokat a prímszámokat írjuk, amelyekkel osztunk, bal oldalra a következő sorba pedig a hányadost. Addig osztunk, míg a bal oldalon -et nem kapunk. Célszerű a lehető legkisebb prímszámmal kezdeni az osztást, és addig nem átváltani a következőre, amíg a hányados osztható az aktuális prímszámmal.

62 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megszámoljuk, hogy az egyes prímszámokkal hányszor osztottunk. Ezek a darabszámok lesznek a prímek hatványkitevői. Végül felírjuk a számot e hatványok szorzataként. Mintapélda 7 Bontsuk fel prímtényezők szorzatára a 60-at! Megoldás: = 5 Megjegyzés: 60 osztóit a következőképpen írhatjuk fel: Minden prímtényezőt leírunk egyszer: ; ; 5. Vesszük a tényezők összes lehetséges kombinációját: ; ; 5; 5; ; 5; 5 és 5. Feladatok 6. Bontsuk fel prímtényezők szorzatára a következő számokat! 4; 90; ; 50; ; 88; 70.

63 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 6 Közös osztó, legnagyobb közös osztó Mintapélda Egyszerűsítsük a törtet! 4045 Megoldás: Bontsuk fel prímtényezők szorzatára mindkét számot! Felírjuk a számokat prímszámok szorzataként, majd a megfelelő szorzótényezőkkel egyszerűsítünk: = = = Megjegyzés: Írjuk fel a fenti szorzatot hatványok segítségével! 7 = = 7 Egyszerűsítéskor közös tényezők esetén a nagyobb hatványkitevőből vonjuk ki a kisebbet, a többi tényezőt pedig változatlanul írjuk le: 5 7 = = =. 5 7 Egyszerűsítéskor olyan hatványokat keresünk, amelyek mindkét szorzatban megtalálhatók, vagyis mindkét számnak osztói. Ezek a tényezők a két szám közös osztói. Két szám közös osztója az a szám, amely mindkét számnak osztója. Két számnak több közös osztója is lehet. A közös osztók közül a legnagyobbat legnagyobb közös osztónak nevezzük. Ha a két szám a és b, akkor a legnagyobb közös osztójuk jelölése: (a; b). Ha a két számnak -en kívül más közös osztója nincs, akkor a két szám relatív prím.

64 64 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megjegyzés: Két szám közös osztói egyúttal a legnagyobb közös osztónak is osztói. (Egy szám osztóinak meghatározásával már találkoztunk a 7. mintapéldánál.) Most mutatunk egy másik módszert a legnagyobb közös osztó megkeresésére és a tört egyszerűsítésére. Mintapélda 9 a) Keressük meg a 8875 és az 86 legnagyobb közös osztóját: (8875; 86) =? 8875 b) Egyszerűsítsük a törtet! 86 Megoldás: a) Törzstényezőkre bontjuk a két számot: = = 7 A legnagyobb közös osztó olyan szorzat, melynek tényezői a közös prímtényezők, az előforduló legkisebb hatványkitevőn. (8875; 86) = 7 =. A 7 és a mindkét felbontásban azonos hatványkitevőn szerepel, ezért változatlanul leírjunk. A is szerepel mindkét felbontásban, de az egyikben első, a másikban. hatványkitevőn. A szorzatba a = -t írunk, mert -nak az. hatványával osztható mindkét szám. b) A számláló is és a nevező is osztható -gyel, és ennél nagyobb számmal nem. = 7 A hatványozás azonosságait alkalmazva elvégezzük az osztásokat: = = 5 = 5, 7

65 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK = = = 6. 7 A tört egyszerűsítés után 5 lesz. 6 Megjegyzés: Ha a legnagyobb közös osztó, akkor a tört nem egyszerűsíthető. Feladatok 7. Keresd meg a következő számok -től különböző közös osztóit! a) 9 és 8; b) 5 és 5; c) 6 és 5; d) 8 és 6; e) 0 és Keresd meg a következő számok legnagyobb közös osztóját! a) 5 és 0; b) 6 és 0; c) 6 és 5; d) és 8; e) 0 és 45; f) 5 és Egyszerűsítsd a következő törteket! a) ; b) ; c) ; d) 5 ; e) 5 ; f). 0. Hozd a lehető legegyszerűbb alakra a következő törteket! a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) Közös többszörös, legkisebb közös többszörös Mintapélda Végezzük el a következő műveletet: +! megoldás: Hozzunk közös nevezőre! Közös nevező lehet például a 08 7 = Bővítsük az összeadandó törteket úgy, hogy nevezőjük 7776 legyen! = illetve =

66 66 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Végezzük el az összeadást! = Egyszerűsítsük a végeredményt a tanult módon! A számláló prímtényezős felbontása: 7 9. A nevező prímtényezős felbontása: = = = A két tört összege. 08 A közös nevezőt úgy határoztuk meg, hogy a két nevezőt összeszoroztuk. Ezzel az eljárással az a probléma, hogy nagyon nagy számokkal kellett dolgoznunk. Lehet-e kisebb szám a közös nevező? Végezzük el még egyszer a feladatot, csak ezúttal másképp határozzuk meg a közös nevezőt.. megoldás: Bontsuk fel prímtényezők szorzatára mindkét nevezőt! = 08 = Keressük azt a legkisebb számot, amelynek mindkét nevező osztója. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, a keresett szám prímtényezős felbontásában szerepelnie kell. és. hatványának, illetve. és. hatványának. többszöröse -nak, ezért a közös nevezőben lesz (ekkor osztható -nal is). Vagyis a keresett szám egyik szorzótényezője. Hasonlóan a másik szorzótényező. A közös nevező = = illetve =

67 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 67 Végezzük el az összeadást! = = Ugyanazt az eredményt kaptuk, csak lényegesen kisebb számokkal számoltunk. A közös nevező megállapításakor olyan számokat keresünk, amelyek mindkét nevezőnek többszörösei. Végtelen sok ilyen szám létezik, ezért célszerű közöttük megkeresni a legkisebbet. Két szám közös többszöröse az a szám, amelynek mindkét szám osztója. A közös többszörösök közül a legkisebbet legkisebb közös többszörösnek nevezzük. Ha a két szám a és b, akkor a legkisebb közös többszörösük jelölése: [a; b]. Két szám legkisebb közös többszörösét megkapjuk, ha vesszük a törzstényezős felbontásokban szereplő összes prímszámot a legnagyobb hatványkitevőn, és ezeket a hatványokat összeszorozzuk. Megjegyzés: Két szám közös többszörösei oszthatók legkisebb közös többszörössel. Mintapélda Számítsuk ki a 965 és a 980 legkisebb közös többszörösét! Megoldás: Törzstényezőkre bontjuk a két számot = = 5 7 A legkisebb közös többszöröst úgy állapítjuk meg, hogy vesszük az összes prímtényezőt, mégpedig a legnagyobb hatványon: [965; 980] = 5 7 = A két szám legkisebb közös többszöröse

68 68 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Írd fel a következő számpárok 5 db közös többszörösét! a) és 4; b) és ; c) 6 és 9; d) 6 és 5; e) és 45.. Keresd meg a következő számok legkisebb közös többszörösét! a) 5 és 0; b) 6 és 0; c) 6 és 5; d) és 8; e) 0 és 45; f) 5 és 8. Megjegyzés: a. és a 4. feladatban lehetőleg legkisebb közös többszörössel számolj!. Hozd közös nevezőre a törteket, majd állapítsd meg, hogy melyik a nagyobb! a) 4 7 és 9 4 ; b) 4 és ; c) és ; d) 9 8 és ; e) és Közös nevezőre hozás után végezd el a kijelölt műveleteket! Egyszerűsítsd az eredményt! a) ; b) + ; c) + ; d) ; e)

69 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 69 IV. Pozitív számok normálalakja Fizikában, kémiában, csillagászatban találkozhatunk olyan nagy vagy olyan kicsi számokkal, amelyek kiírása rendkívül helyigényes. Például: A csillagászatban a fény terjedési sebessége km/h. A fény egy év alatt kb km-t tesz meg. A Nap Föld távolság km. A Nap egy km átmérőjű, kg tömegű törpecsillag. A kémiában az atomi tömegegység 0, kg. Egy mol mennyiségű anyag db elemi egységet (atomot, iont, molekulát stb.) tartalmaz. Ezeket a mennyiségeket rövidebben is felírhatjuk a következőképpen: km/h = 0 5 km/h; km = 9,5 0 km; km =, km; km =,4 0 6 km; kg = 0 0 kg; 0, kg =, kg; db = 6 0 db. Ha egy pozitív számot egy és 0 közé eső szám és 0 megfelelő egész kitevős hatványaként írunk fel, akkor ezt az írásmódot a szám normálalakjának nevezzük. Mintapélda Írjuk fel a következő számok normálalakját: a) 6 58; b) 0, Megoldás: A hangsúly azon van, hogy 0-nek hányadik hatványával szorozzuk meg az és 0 közé eső számot. Készítsünk a számokhoz helyiérték-táblázatot!

70 70 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) 658 = = (0000) 0 (000) 0 (00) 0 (0) 0 0 () 0 (0,) 0 (0,0) 0 (0,00) 0 4 (0,000) A táblázat második sorát úgy kaptuk, hogy az eredeti számot az -es helyiértéknél kezdtük felírni. A táblázatban a dupla vonal a tizedesvessző helyét jelzi. A második sorban lévő számot 0 4 -nel, azaz tízezerrel kell megszorozni ahhoz, hogy megkapjuk az eredeti számot: 658 = 6, A szám normálalakja: 6, Megjegyzés: A normálalakot úgy is megkapjuk, ha a számot addig osztjuk 0-zel, amíg a hányados egészrésze és 0 közé esik: = 65,8 0 = 6,58 0 = 6,58 0 = 6, b) 0, = = A második sorban lévő számot úgy kaptuk, hogy balról indulva megkerestük az első nullától különböző számjegyet, amit az -es helyiértékhez írtunk, majd a többi számjegyet változatlan sorrendben utána írtuk. A második sorban lévő számot 0 -nal, vagyis ezerrel kell osztani ahhoz, hogy megkapjuk az eredeti számot: 0, = 4,906:0 4,906 =. 0 Felhasználva az a n = n a azonosságot kapjuk, hogy 0, = 4, A szám normálalakja: 4, Megjegyzés: A normálalakot úgy is megkapjuk, ha a számot addig szorozzuk 0-zel, amíg a szorzat egészrésze és 0 közé esik.

71 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 7 0, , = 0, , = 0,4906 0, = 4,906 Azaz 0, = 4,906 :000 = 4,906 = 4, Röviden ismételjük át néhány helyiérték elnevezését! Helyiérték Elnevezés Helyiérték Elnevezés 0 billió (ezermilliárd) 0 tíz 0 százmilliárd 0 0 egy 0 0 tízmilliárd 0 tized 0 9 milliárd (ezermillió) 0 század 0 8 százmillió 0 ezred 0 7 tízmillió 0 4 tízezred 0 6 millió 0 5 százezred 0 5 százezer 0 6 milliomod 0 4 tízezer 0 7 tízmilliomod 0 ezer 0 8 százmilliomod 0 száz A mintapéldában bemutatott táblázatos felírásnak megfelel a következő forma: 0-nél nagyobb számok esetén a tizedesvessző balra vándorol, azaz 0 megfelelő hatványával szorzunk. A kitevőbe az a szám kerül, ahány helyiértéket vándorol a tizedesvessző. -nél kisebb, pozitív szám esetén a tizedesvessző jobbra vándorol. Ez 0 megfelelő hatványával való osztást jelent. A kitevőbe az a szám kerül negatív előjellel, ahány helyiértéket vándorol a tizedesvessző. (0-zel, 00-zal, 000-rel stb. történő osztás ugyanaz, mint = 0 -nal való szorzás.) 000 = 0 -nel, 0 = 0 -nel, 00

72 7 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Írjuk fel a következő szorzatok számértékét: a), ; b) 7, Megoldás: a), = ; b) 7, = 0, Feladatok 5. Írd be helyiérték-táblázatba az alábbi számokat: 6; 0,; 80,76; 0,00; 5004;, Írd fel a következő számok normálalakját! a) ; b) ; c) 7 65; d) 0; e) 76,; f) 6,04; g),8; h) 0, ; i) 0,00; j) 0,67; k) 0,800; l) 0, Írd fel a következő szorzatok számértékét! a) 0 ; b) 5 0 ; c),5 0; d) 6,9 0 ; e) 4,6 0 4 ; f) 7,085 0 ; g) 9, Melyik a nagyobb? a) 9548 vagy 9,548 0 ; b), vagy 0,00098; c) 46,5 vagy 4, Csoportosítsd nagyságrendek (0 hatványai) szerint a normálalakban megadott számokat, majd állítsd növekvő sorrendbe!,4 0 ; 6,8 0 ; 6,84 0 ;,4 0 ; ;,4 0 0 ; 7,9 0 ; 4,5 0 ;,8 0 ; 0 8,7 0.

73 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 7 Műveletek normálalakban megadott számokkal Mintapélda 4 Hány kilométer távolságra van a Földtől a 5, fényévre lévő bolygó? ( fényév = 9,46 0 km) Megoldás: 5, fényév = 5, 9,46 0 km = 44,78 0 km = 44, km = =, km A bolygó, km távolságra van a Földtől. 44,78 Mintapélda 5 Végezzük el a következő műveleteket, és adjuk meg a végeredményt normálalakban! a), 0 5 6,5 0,6 0 ; b) ; c) 9, , Megoldás: a), 0 5 6,5 0 =, 6, = 8, = 8, ; b) 5 5,6 0, = = 0,4 0 = 0,4 0 = = ,4. c) 9, ,5 0 4 = = =, Műveletek normálalakban megadott számokkal: I. Szorzás és osztás: A műveleteket külön végezzük az és 0 közé eső számokkal és 0 hatványaival. Ez utóbbinál alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. Az eredményül kapott szorzatot továbbalakítjuk normálalakká. II. Összeadás és kivonás: A műveletet nem célszerű normálalakban elvégezni. A normálalakokat számmá alakítjuk, elvégezzük a műveletet, majd az eredményt felírjuk normálalakban.

74 74 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 0. Végezd el a kijelölt műveleteket, és add meg normálalakban az eredményeket, majd állítsd csökkenő sorrendbe az eredeti mennyiségeket! a) ,5 0 ; b) ; c) ; d) 4,5, 0 0 ; e), ,5 0 ; f)

75 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 75 Ajánlott szakmai jellegű feladatok Hatványozás. Egy gazdaságban az őszi szántást végzik. Ehhez traktorokat bérelnek. Az elvégzett munkát lassúnak találják, ezért újabb traktorokat állítanak be. Minden következő napon kétszer akkora területet szántanak fel, mint az azt megelőző napon. A szántást így 4 nap alatt végezték el. Az utolsó napon 44 hektárt szántottak fel. Mekkora az összes felszántott terület?. Egy cipő árát egymás után háromszor 0 százalékkal csökkentették. A cipő végső ára 645 Ft lett. Mennyi volt az eredeti ára?. Egy erdőgazdaságban egy területen jelentősen csökkent a faállomány. Ezért leálltak a fakitermeléssel, és elkezdték a facsemeték ültetését. Ezzel elérhetik, hogy a megmaradt faállomány évente 8%-kal nőjön. Hány százalékkal nő a faállomány 5 év alatt a jelenlegihez viszonyítva? 4. Egy mérőműszer amortizációja (értékcsökkenése) évi 5%. Mennyit ér a,8 millió értékű műszer 4 évi használat után? 5. Egy üzem 8 évvel ezelőtt egy új termék gyártására tért át. Az első három évben évente átlagosan 4,5 százalékkal, az utóbbi években évente 8,5 százalékkal növelni tudta a termelését. Hány százalékkal nőtt a termelésük mostanra a 8 évvel ezelőttihez képest? 6. Egy vállalkozó nagyobb arányú korszerűsítésre készül. A bevételeiből származó hasznát, 4, millió forintot egy kedvező banki akcióban,5%-os kamatra évre leköti. Mekkora összeg felett rendelkezhet a év leteltével? 7. Egy gazda birkákat kezd tenyészteni. Az állatok egy részét eladja, más részét megtartja és szaporítja. Az állomány évente 5%-kal növekszik. Hány év alatt növekszik az állomány közelítőleg a kétszeresére?

76 76 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Oszthatóság 8. Egy családban az apa három, az anya két műszakban dolgozik, heti váltásban. Ezen a héten mind a ketten azonos műszakban dolgoznak. Mikor lesznek ismét azonos műszakban? 9. Egy kötöde 9 üzletbe szállít ugyanolyan pulóvereket. Eddig 40 pulóver készült el. Lehete ugyanannyi pulóvert szállítani mindegyik üzletbe? Legalább hány pulóvert készítsenek még, hogy mind a 9 üzletbe azonos mennyiséget szállíthassanak? 0. Egy építkezésen a kőműveseknek 780 db 00 Ft-os étkezési utalványt is ad a megbízó. Lehet-e minden kőművesnek egyenlő értékben utalványt adni? A kőművesek száma legalább 4, de -nél nem több. Hány kőműves dolgozhat az építkezésen, hogy mindegyiknek egyformán jusson utalvány?. Egy textilgyárban targoncával szállítják a gyapotbálákat. Ha a raktárban lévő bálákat kettesével szállítják el, akkor a végén bála marad a raktárban. Ha hármasával szállítják, akkor bála, ha négyesével, akkor bála marad a végén a raktárban. Hány bála volt a raktárban? Hány megoldás lehetséges?. Két fűrészgéppel közelítőleg egyenlő keresztmetszetű farönköket vág szét két favágó. Az egyik gép 0, a másik 40 perc alatt vág fel m rönkfa-köteget. A favágók megállapodnak, hogy csak akkor tartanak pihenőt, amikor mindketten egyszerre végeznek egy köbméteres rönkfa-köteggel. Mennyi idő múlva pihennek?. Két egymáshoz kapcsolódó fogaskerék fogszáma 90 és 48. Az indításkor megjelöljük az érintkező fogaskerekeket a két keréken. Hányszor fordul a kicsi és hányszor a nagyobb fogaskerék addig, amíg a megjelölt érintkező kerekek ismét érintkeznek? 4. Egy 8 fogú fogaskerék forgat egy 4 fogú fogaskereket. A kisebbik fogaskeréknek hány teljes fordulatot kell megtennie ahhoz, hogy a nagyobbik is éppen egy teljes fordulatot fejezzen be? Ez a forgatás lassító vagy gyorsító? 5. Egy villamos végállomásról háromféle villamos indul különböző irányba. Az egyik villamost 5, a másikat 4, a harmadikat 0 percenként indítják. A három villamos hajnali négykor egyszerre indul el a végállomásról. Mennyi idő múlva indul el ismét egyszerre a háromféle villamos a végállomásról?

77 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 77 Normálalak 6. Egy hektárnyi területre eső gabonaszemek száma körülbelül gabonaszem. A vetést olyan vetőgéppel végzik, amely,5 cm-es sortávolságra van beállítva. Körülbelül hány szem gabona kerül egy folyóméterre? 7. Egy ember óra alatt,64 g szén-dioxidot lehel ki. Hány db szén-dioxid molekulát jelent ez? (44 g széndioxidban 6 0 db szén-dioxid molekula van.) 8. Hány vízmolekula van 9 dl vízben? (8 g vízben 6 0 db vízmolekula van) 9. Bizonyos igen nagy pontosságot igénylő huzalok átmérőjét megfelelő mérőműszerrel mérjük. A kívánt átmérő 0,0mm, a hibahatár ± 5.0 mm. A következő méréseket végeztük: 0,049; 0,0098; 0,009; 0,05; 0,0094; 0,009; 0,060. Írjuk fel a számokat normálalakban! Mely mérési adatok esnek a tűréshatáron belülre? 0. Az élettani sóoldat 0,9% különlegesen tiszta konyhasót (NaCl) tartalmaz. Infúzióban percenként 60 cseppet kapnak a betegek. 60 csepp ml, ennek tömege g. Hány molekula konyhasót kapnak a betegek perc alatt? (58,5 g NaCl-ban 6 0 molekula van.). Néhány anyag lineáris (hosszanti) hőtágulási tényezőit adjuk meg 0 o C-on: Alumínium 5,9 0, Vörösréz 5,6 0, Sárgaréz 5,84 0, Vas 5,7 0, Porcelán 5 0, 0, Beton 5,4 0, Jég 5 5, 0. Írjuk fel a tényezőket tizedestört-alakban!. Néhány anyag körülbelüli sűrűsége: kg kg Acél: 785, Aszfalt: 00, m m kg kg Mészkő: 450, Ablaküveg: 490, m m kg kg Fenyőfa: 45, Tölgyfa: 800. m m g Írjuk fel ezeket cm mértékegységben, normálalakban!

78

79 6. MODUL kombinatorika, valószínűség, statisztika Készítette: Vidra Gábor

80 80 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Kombinatorika Mintapélda Vegyünk elő egy 00-as, 50-es, 0-as és egy 0-es pénzérmét, és állítsuk sorrendbe minél többféleképpen! Jegyezzük fel a sorrendeket, majd a végén számoljuk össze, hogy hányféleképpen tudjuk sorrendbe rakni az érméket! Megoldás: Az első helyre 4 különböző érmét választhatunk, a másodikra -at, a harmadikra -t, a negyedikre lehetőség marad. Ezt a következő ábrával szemléltethetjük: Az egyes helyeken szereplő lehetőségek számát összeszorozzuk. Ugyanis ha rögzítjük az. érmét (például 0 Ft-os legyen), akkor a maradék hármat 6-féleképpen tudjuk sorba rakni. Ha egy másik érme az első, a maradék hármat megint 6-féleképpen rakhatjuk sorba stb. Ez azt jelenti, hogy összesen 4 6 = 4 sorba rakási lehetőséget kapunk. A lehetőségek számbavételét kezdhettük volna az utolsó hellyel is, az eredmény ugyanaz. Ha négy különböző színű golyót szeretnénk sorba rakni, a sorrendek szemléltethetők egy faszerkezettel:

81 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 8 Mintapélda Az ábrán látható zár 4 jegyű kombinációra nyílik. Hányféle kombináció lehetséges, ha tudjuk, hogy a zárat nyitó kód betűvel kezdődik, és a helyes kombináció a) tartalmazhat azonos jeleket? b) nem tartalmaz azonos jeleket? Megoldás: a) Az első jel -féle lehet: A vagy B. A.,. és 4. jel 5-féle (bármelyik jel). A lehetőségeket szemléltető ábránk így alakul: b) Az első jel most is kétféle lehet, de a második már csak 4-féle, mert nem azonos az első számmal. Az ábra így alakul: Ebben a feladatban nem a sorrendek számát kellett megállapítani. A feladat a lehetőségek számának meghatározása volt, és ehhez a megoldásokban használt ábra nagy segítséget nyújt. Mintapélda Albert, Béla, Cecil, Dóri és Elemér versenyeznek. a) Írjuk fel, hogy az első két helyen milyen sorrendek alakulhatnak ki! b) Készítsünk olyan ábrát, amelynek segítségével kiszámítható, hogy az első két helyen hányféle sorrend alakulhat ki! c) Hányféle sorrend alakulhat ki az első három helyen, ha 5 helyett 0 versenyző van? Megoldás: a) Rendszerezett formában felírjuk az első két helyezés lehetőségeit: AB AC AD AE BA BC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DE EA EB EC ED

82 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) Mivel két helyre kell beosztani 5 főt, az. helyre 5 lehetőség van. Ha kiválasztunk valakit (például Albertet) első helyezettnek, akkor 4 másik versenyző kerülhet a. helyre. Így minden egyes első helyezetthez 4 második tartozik, vagyis a lehetőségek száma 5 4 = 0, mint ahogyan a felsoroláskor láttuk. c) Az ábránk így alakul: Feladatok. Egy pénzérmét -szor dobunk fel. Rajzold fel rendszerezve a dobások összes kimenetelét! (Jelöld F-fel a fejet, I-vel az írást.). Egy pénzérmét 4-szer feldobunk. a) Írd le az összes lehetőséget, amit a fejek, illetve írások feljegyzése után kaphatunk! Hány lehetőséget kaptál? b) Hányféle eredmény adódhat, ha 6-szor dobjuk fel a pénzérmét?. Egy kétsávos zászlót szeretnénk kiszínezni sárga, fekete és piros színek közül kettővel úgy, hogy mindkét sáv lehet akár azonos színű is. Számítással határozzuk meg a lehetőségek számát, majd soroljuk is fel az összes lehetőséget! 4. Egy lóversenyen 7 ló indul. Hányféle lehet az első három befutó sorrendje? 5. Egy zsákba piros, sárga, kék és zöld golyót raktunk. Véletlenszerűen húzunk, majd visszatesszük a golyót. Hányféleképpen alakulhat a kihúzott golyók sorrendje, ha háromszor húzunk? 6. A grafikus kijelzőkön sokszor 8 8-as pontmátrixban ábrázolják a betűket: a program azokat villantja fel a 64 fényforrásból, amelyikből kirajzolódik egy betű (az ábra egy A betű képét mutatja). Összesen hány jel programozható a 8 8-as pontmátrixban?

83 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 8 7. Hány olyan 5 jegyű számot találunk, amelyik a) -re végződik; b) páros; c) 0-zel osztható; d) 5-tel osztható? 8. 7 gyermeket hányféleképpen lehet sorba állítani? 9. Egy versenyen 0-en indultak. Hányféle sorrendben kerülhet ki közülük az első három helyezett? 0. Hányféleképpen lehet kitölteni a totószelvényt?. Egy aktatáska két számzára 4 4 korongot tartalmaz, mindegyiken 0 0 számjeggyel. Összesen hányféle számkombináció állítható be a két záron együtt?. a) Hány olyan 4 jegyű szám van, amelynek a számjegyei 0,,,? b) Írd fel az összes olyan 4 jegyű számot, amelynek a számjegyei 0,,,, és egy számjegy csak egyszer szerepelhet! Felírás nélkül hogyan lehetne kiszámítani, hogy hány ilyen szám van?. Ilonka néni öt, egymás melletti ágyás közül kettőbe salátát (S), háromba paprikát (P) szeretne ültetni úgy, hogy két szomszédos ágyásba ne kerüljön saláta. Például: S P S P P Keresd meg a megadott példától eltérő és a feltételeknek megfelelő összes lehetséges beültetést! Írd be az előzőhöz hasonló ábrákba a saláta (S) és a paprika (P) betűjelét!

84 84 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Zsófi iskolai szekrényén egyszerű számkombinációs lakat van, de sajnos elfelejtette a lakat kódját. Először csak arra emlékezett, hogy a kód olyan háromjegyű szám, amiben a,, 4 számok mindegyike pontosan egyszer szerepel. a) Hány lehetőséget kellene kipróbálnia, hogy biztosan ki tudja nyitni a lakatot? b) Mielőtt a próbálgatásnak nekilátott volna, eszébe jutott, hogy a háromjegyű kódszám a fenti feltételek mellett még páros is. Ennek ismeretében hány lehetőséget kellene kipróbálnia, hogy biztosan ki tudja nyitni a lakatot? 5. Egy faipari üzemben szabályos háromszög alakú mozaikparkettát gyártanak. Egy mozaiklap négy egyforma, szabályos háromszög alakú falapból áll össze a példa szerint. A kis lapok bükkfából (B), illetve tölgyfából (T) készülnek. Mindegyik mozaiklap kétféle fából készül. Tervezd meg az összes különböző összeállítású mozaikparkettát! Az egymással (esetleg forgatás után is) fedésbe hozható összeállításokat nem tekintjük különbözőnek. Írd be a háromszögekbe a kis lapok anyagának kezdőbetűjét a példa szerint! Pl.: 6. Adottak a következő betűk: M, M, A, A, A, T, T, E, I, K. Ha kirakjuk az összes lehetséges sorrendet, akkor hány esetben fordul elő a MATEMATIKA szó? A színek is számítanak! 7. Egy cég a logóján található, számmal jelzett területeket az ábrán látható színekkel akarja kiszínezni. Hányféle különböző színezés adható meg ugyanezekkel a színekkel? (Két színezés akkor különböző, ha a korongok elforgatásával nem vihetők át egymásba.)

85 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG Egy oszlop alakú hirdetőtáblán négy plakátot akarunk egymás mellé ragasztani. A négy plakát együtt teljesen körbefogja az oszlopot. Hányféle sorrendben helyezhetők el a plakátok az oszlopon?

86 86 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Amikor nem számít a sorrend Mintapélda 4 Egy rajzversenyen öt indulóból (Albert, Béla, Cili, Dezső, Elemér) kettő fog egyforma díjat kapni. Írjuk fel az összes lehetőséget a díjak szétosztására! Megoldás: Először írjuk fel a lehetséges sorrendeket, utána vizsgáljuk meg, hogy milyen sorrendek adják ugyanazt az eredményt! Az AB és a BA páros különböző sorrendet, de azonos eredményt ad (mert ugyanannak a két személynek a kiválasztását mutatja). Hasonlóan azonos eredményt ad az AC és a CA, AD és DA stb. A megmaradó párok alkotják a megoldást: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Vizsgáljuk meg, hogy a fenti mintapélda miben különbözött az eddigi feladatoktól! Eddig sorrendeket kerestünk, és gyakran a sorrendek számának meghatározása volt a feladat. Ebben a példában azonban nem számít a sorrend, vagyis vannak olyan sorrendek, amelyek egynek számítanak, ugyanazt az eredményt adják a feladat szempontjából. A mintapéldában a sorrendek száma 0, de ezt -vel osztjuk, mert sorrend szolgáltat azonos eredményt ( embert -féleképpen lehet sorrendbe állítani). Ezért maradt 0 lehetőség a feladat végére. Mintapélda 5 Három motoros különböző bukósisakot akar venni egy boltban, ahol ötféle sisak kapható. Hányféleképpen választhatják ki a három sisakot? Megoldás: A sorrendek száma: Vizsgáljuk meg, hány sorrend ad azonos eredményt! Egynek számít az a hármas, amelyik azonos elemeket (sisakokat) tartalmaz, de különböző sorrendben. Ha a sisakokat számokkal jelöljük meg, és az sisakokat választjuk ki, akkor ezzel azonos eredményt ad az,,,, sorrend is. Ez minden számhármasra igaz: három elemet 6-féleképpen lehet sorrendbe állítani, ezért a

87 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG sorrendek számát 6-tal kell osztani: = 0, vagyis 0-féleképpen tudnak kiválasztani 6 három különböző sisakot. A feladat modellezhető egy 5 elemű halmazzal, amiben hármasával csoportosítjuk az elemeket ekkor az a kérdés, hányféleképpen lehet bekeretezni hármasával az elemeket. Úgy is fogalmazhatunk, hogy egy 5 elemű halmaznak hány elemű részhalmaza lehet. Az biztos, hogy nem jutunk eredményre, ha megpróbáljuk felrajzolni az 5 számot és bekeretezni hármasával annyiféleképpen, ahányféleképpen csak tudjuk, és utána összeszámoljuk (lásd ábra). Ráadásul bonyolultabb kérdések esetén ez kivitelezhetetlen (például a lottó esetén 90 darab számból kell kiválasztani 5-öt, és ekkor 90 elemű halmazt kellene felrajzolni). Szerencsére nem az a feladat, hogy az összes lehetséges, egymástól különböző csoportosítást megtaláljuk, hanem csak a számukat kell kiszámítani. Ezt a fentiek értelmében a sorrendek meghatározásával kezdjük, majd megvizsgáljuk, hogy vannak-e azonos eredményt adó sorrendek. Ha vannak, akkor elosztjuk annyival, ahány sorrend adja ugyanazt az eredményt. Például az 5-ös lottó esetén 90 számból kell 5-öt kiválasztani. A lehetséges kiválasztások számát így tudjuk meghatározni: 90-ből 5 számot ennyiféleképpen tudunk sorba állítani: Mivel vannak azonos eredményt adó elrendezések, a fenti szorzatot elosztjuk annyival, ahányféleképpen 5 elemet sorba tudunk állítani: Az eredmény: = Ennyiféleképpen lehet kitölteni a 5 4 lottószelvényt. Az eredmény azt is jelenti, hogy egy a több mint 4 millióhoz az esélye annak, hogy ötösünk lesz a lottón, ha kitöltünk egy szelvényt.

88 88 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 9. Egy zsákba négy golyót rakunk: pirosat, kéket, zöldet és fehéret. Kihúzunk egy golyót, feljegyezzük a színét, majd visszatesszük. Négy ilyen húzás után hányféle színsorrend alakulhat ki? 0. Egy falu lakosságát vizsgálva a szociológusok a lakosok nemét íratják ki számítógéppel. A számítógép véletlenszerűen kiválaszt tíz főt, majd kiírja a nemüket (nő vagy férfi). Hányféle kimenetel lehetséges a 0 fő esetében?. A TOTÓ szelvényen + kérdés található, és mindegyikre háromféle tippünk lehet:, vagy X. Hányféle kitöltése lehet a totószelvénynek?. Egy dobókockával kétszer dobunk. a) Hányféle szám-kettest kaphatunk? b) Ha összeadjuk a dobások összegét, hányféle összeget kaphatunk?. 0-tagú társaság választ egy elnököt, egy titkárt és egy pénztárost. Hányféleképpen teheti ezt meg? 4. 0-tagú társaság -tagú vezetőséget választ. Hányféleképpen teheti ezt meg? 5. A 6-os lottón 45 számból választunk ki 6 számot. Hányféleképpen lehet kitölteni egy 6-os lottószelvényt? 6. 4 narancsos és mentolos tiktakból hányféleképpen lehet két különböző ízűt kiválasztani? 7. Tudjuk, hogy 6 tolvajból 4 igazat mond és hazudik. Hányféleképpen lehet igazmondót és hazudóst egy cellába zárni? Az elméleti meggondolás mellett próbáld felsorolni a lehetőségeket is! 8. 6 piros és 4 bordó cserépből kell kiválasztanunk piros és bordó cserepet. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? 9. Hányféle találatos szelvény lehetséges elméletileg az ötöslottón?

89 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 89 II. Statisztika A statisztika feladata a valóság számszerű adatainak megfigyelése, összegyűjtése, rendszerezése, elemzése, tárolása és modellezése. Mindennapi életünkben is nagy a szerepe, például a biztosítások díjait vagy az ország éves költségvetését is statisztikai alapon állapítják meg. A tudományág alapjainak megismerése lehetőséget ad arra, hogy az adatok elemzésén keresztül közelebb jussunk az újságokban látható grafikonok és megállapítások értelmezéséhez. Mintapélda 6 Dobjunk fel 0-szor egy dobókockát, és írjuk fel az eredményeket egy papírra. Az adathalmazt (más néven mintát) elemezzük a következő szempontok alapján: a) Állapítsuk meg az egyes adatokról, hogy hányszor fordulnak elő a mintában, és foglaljuk az eredményeket táblázatba! b) Állapítsuk meg a legnagyobb és a legkisebb adat különbségét! c) Számítsuk ki az adatok összegét és átlagát! d) Ábrázoljuk oszlopdiagramon és kördiagramon az adatokat! e) Melyik a legtöbbször előforduló érték? Megoldás: a) Például ha az adathalmaznak ezt kaptuk:,,, 5, 4, 6,, 4,,, 4,, 4, 5, 6,, 6,, 5, 6, akkor a táblázatunk így alakul: Dobás Előfordulás b) A legnagyobb adat 6, a legkisebb, a különbség tehát 6 = 5. c) Az adatok összege: = 7. adatok összege 7 Az adatok átlaga: átlag = = =, 55. adatok száma 0 d) Az oszlopdiagram tengelyeire a Dobás és az Előfordulás feliratok kerülnek, és az adatokat értelemszerűen ábrázoljuk:

90 90 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A kördiagram körcikkeinek középponti szögét ki kell számítani. Ezeket arányosság alkalmazásával határozzuk meg, mert a középponti szögek nagysága egyenesen arányos az előfordulások számával: 60 Az -es dobás esetében : 0= x : 60 x = = A -es dobás esetében: 5 : 0= x : 60 x = = A -as dobás esetében: : 0= x : 60 x = = A 4-es dobás esetében: 4 : 0= x : 60 x = = 7. 0 Az 5-ös dobás esetében: 54, mint az -esnél. A 6-os dobás esetében: 7, mint a 4-esnél. e) A leggyakoribb érték a -es, abból van a legtöbb a mintában. A mintapéldában több statisztikai fogalmat is használtunk: minta terjedelme: a legnagyobb és a legkisebb érték különbsége; módusz: leggyakoribb adat; átlag: adatok összege osztva az adatok számával; gyakorisági táblázat: az elemek előfordulásainak a számát mutatja; gyakorisági diagram: az elemek előfordulásainak a számát mutatja, oszlopdiagram formájában; kördiagram: az elemek előfordulásainak arányát mutatja. Az adatokat és egyes jellemzőiket számegyenesen is ábrázolhatjuk:

91 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 9 Mintapélda 7 Egy gyárban 6 ember 90 fabatkát keres, az igazgatóhelyettes 50 fabatkát, az igazgató fabatkát. Mennyi a gyárban az átlagkereset? adatok összege Megoldás: Az átlag = = = = 4 fabatka. adatok száma 8 Az előző példa azt mutatja, hogy az átlag nem mindig jellemzi jól az adatokat: a kiugró értékek elrontják az átlagot. Ezért más középértékeket is használunk, amelyek egyike a medián. A medián a rendezett minta középső adata, ha páratlan számú adat található a mintában. Páros számú adat esetén a medián a rendezett minta két középső adatának átlaga. A gyárban (7. mintapélda) a fizetések 8 adatát sorban felírjuk, és kijelöljük a középső két számot: A két középső szám átlaga = 90. Vagyis a fizetések mediánja 90, ami már jobban mutatja a kereseti viszonyokat. A 4. mintapéldában a medián (a középső adat) a 0. és a. adat átlaga. De vigyázat! A mintát előtte rendezni kell! A sorbarendezett mintában a 0. és a. adat egyaránt a 4, így azok átlaga, a medián is 4.

92 9 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 8 Egy városban tavalyelőtt 0, tavaly 9, idén 68 új lakás épült, és ezt diagramon is ábrázolták. A polgármester a következő megjegyzést fűzte egy előadáson a diagramhoz: Városunkban nagyarányú lakásszám növekedés tapasztalható az utóbbi években." a) Meg tudnád-e támadni matematikai érvekkel ezt a mondatot? b) Mi a hiba ezzel a grafikonnal? c) Érdemes-e kördiagramon ábrázolni az adatokat? Megoldás: a) A növekedés aránya nem nagy, ui ben a növekedés 00 5% a évi lakásszámhoz képest, és ban a 005. évi lakásszámnál 00 6%-kal volt több lakás, ami nem 9 nagyarányú növekedés. b) A diagram nagyarányú növekedést mutat, hogy a polgármester szavait alátámassza. A hiba az, hogy nem 0-ról indul a függőleges tengely, hanem 00-ról. 0-ról indulva mást mutat a diagram. A tengelyekre nem írtak megnevezést és egységet. Helyesen a diagram így nézne ki: c) Kördiagramon nem érdemes ábrázolni az adatokat, mert azok egy folyamatot mutatnak, a kördiagram pedig akkor hasznos, ha az adatok egymáshoz viszonyított arányát akarjuk ábrázolni.

93 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 9 Feladatok 0. A következő táblázat egy beteg lázadatait tartalmazza (R: reggel, D: délben, E: este).. nap. nap. nap Idő R D E R D E R D E Testhőmérséklet 9,7 9, 40, 8,6 7, 7, 6,8 6,6 6,5 a) Az alábbi diagramok közül melyik ábrázolja legjobban a lázadatokat: az A jelű oszlopdiagram, a B jelű grafikon vagy a C kördiagram? b) Az említett diagramtípusokból melyik ábrázolja legjobban az adatok egymáshoz viszonyított arányát; az adatok időbeli változását; az adatok nagyságát?. Józsi négy tantárgyat tart fontosnak tanulmányai szempontjából: a matematikát, a magyart, a történelmet és a németet. Tantárgy 8. év vége 9. év vége 0. év vége matematika 4 5 történelem 4 4 magyar német 5 4 A 8., 9. és 0. évfolyam végi eredményeket összevetve állapítsuk meg, hogy mennyit változott a négy tantárgyból számított átlag az egyes évfolyamokon!. Egy üzemben öten dolgoznak, a keresetük 70 tallér, 80 tallér, 90 tallér, 00 tallér és 0 tallér. Mennyi az átlagkereset az üzemben?

94 94 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Egy kisvállalkozásnak három alkalmazottja van, a keresetük 90 tallér, 0 tallér és 80 tallér. a) Mennyi az átlagkereset? b) Ha mindenkinek 5 tallérral növelik a keresetét, mennyivel változik az átlagkereset? c) A fizetéseket a következő módon, differenciáltan növelik: a 90 tallért kereső fizetéséhez 0 tallért, a 0-et kereső fizetéséhez 0 tallért, a 80 tallért kereső fizetéséhez 0 tallért adnak. Igaz-e, hogy az átlagkereset 0 tallérral, vagyis a növekedés átlagával változik? d) Ha egy új alkalmazottat vesznek fel, mennyi fizetést adjanak neki, hogy az addigi alkalmazottak fizetését megtartva az átlagkereset 5%-kal növekedjen? 4. Egy osztályban -en tanulnak angolt és 6-an németet. Az angolos csoport félévi átlaga, a németes csoport átlaga,5. a) Igaz-e, hogy a két csoport együttes átlaga,5? b) Teljesül-e a feladatban, hogy az átlagok átlaga egyenlő az átlaggal? 5. Egy festéküzletben kétfajta festéket vásároltunk: 5 kis dobozost és 5 nagy dobozost. A kis dobozosok átlagára tallér, a nagy dobozosoké tallér. a) Mennyi az összes vásárolt festék átlagára? b) Igaz-e ebben a feladatban, hogy az átlagok átlaga egyenlő az átlaggal? 6. Egy cégnél átlagosan hónapja dolgoznak az alkalmazottak. Az igazgató 40 hónapja, a helyettese 8 hónapja dolgozik a cégnél, és legutoljára fél éve jött alkalmazott. a) Hány hónapja dolgozik a cégnél az a két ember, aki egy időben állt munkába? b) Átlagosan hány hónapot dolgoztak az alkalmazottak 5 hónappal ezelőtt?

95 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG Egy focicsapat hét meccset megnyert, két mérkőzést elveszített, és három lett döntetlen. Ezen a bajnokságon a győzelemért pont jár, a döntetlenért, a vereségért nem jár pont. a) Hány pontja van a csapatnak? b) Mennyi a meccsenkénti pontátlag? c) Növelhető-e a meccsenkénti gólátlag egytizeddel egyetlen mérkőzés alkalmával? d) Ábrázold kördiagramon a mérkőzések eredményét! 8. Egy üzemben az egyik műszakban összeírta a főnök, hogy a dolgozók hány munkadarabot gyártottak: 7; ; 8; 9; 7; 8; 6; 6; ; ; 6; 8. a) Készíts gyakorisági táblázatot és gyakorisági diagramot a teljesítményekből! b) Határozd meg, hogy hány dolgozó gyártott kevesebbet az átlagnál! c) Határozd meg a teljesítmények mediánját (középső adatát)! 9. Egy csoportban a csoporttagok testvéreinek a számát nyilakkal jelölték: ahány nyíl mutat az egyes pontokba, a pontnak megfelelő csoporttagnak annyi testvére van. A csoportban nincsenek egy családhoz tartozók, és a nyilak kiindulópontja érdektelen a feladat szempontjából. a) Készíts oszlopdiagramot a gyakoriságokból! b) Készíts kördiagramot, mely az arányokat mutatja! c) Mennyi az adatok módusza (leggyakrabban előforduló adat), átlaga, mediánja (középső adat)? 40. A grafikon a benzin árának havonkénti változását mutatja az egyik évben.

96 96 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) Hány hónapban volt a benzin ára 7 forintnál magasabb? b) Határozd meg a minta terjedelmét! c) A nyári hónapokban (június, július, augusztus) hány forint volt a benzin átlagos ára? 4. Egy gátőr minden este leolvassa a Duna vízszintjét, és az értékeket grafikonon ábrázolja. Április első két hetében a következő grafikont készítette: a) Mely napokon volt a legmagasabb a vízszint ebben az időszakban? b) Mekkora a minta terjedelme? c) Mennyi a medián (középső adat) és a módusz (leggyakrabban előforduló adat)? d) Mekkora volt 4-étől 8-áig (öt nap) a vízszint átlaga?

97 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 97 e) Melyik napon észlelte a gátőr a legnagyobb vízszintváltozást? 4. Az alábbi grafikon az egyik magyarországi megyében, a hét különböző napjain történt közúti balesetek számáról készült a 004-es adatok alapján. A grafikon alap- ján válaszolj a kérdésekre! a) Határozd meg az adathalmaz terjedelmét! b) Mekkora a balesetek napi átlaga éves szinten? c) Hány százalékkal volt több baleset a legveszélyesebb napon, mint az átlag? 4. A következő kördiagram azt mutatja, hogy milyen arányban érkezett jó, jó, jó, illetve 4 jó megoldást tartalmazó válasz egy levelező versenyre. 4 feladat volt, és összesen 0 beküldőtől érkezett válasz.

98 98 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) Készítsd el az adatok gyakorisági táblázatát! b) A gyakorisági táblázat alapján ábrázold oszlopdiagramon az adatokat! 44. A 8. osztályosok két felmérőt írtak, mindkettőt ugyanannyi tanuló írta meg. Az eredményeket az alábbi diagramok mutatják. a) Hány közepes volt a második felmérőben? b) Az első felmérőben hány százalék volt a jó osztályzatú? c) Melyik felmérőben volt több jeles? d) A második felmérőben hánnyal volt több közepes osztályzat, mint jeles? 45. A diagram az autógyárban óránként elkészült gépkocsik számát mutatja egy tízórás időszak alatt. A gyár vezetése 6 db/óra átlagos teljesítményt vár el.

99 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 99 a) Készíts gyakorisági táblázatot az adatokból! b) Mely órákban termeltek a 6 db/óra teljesítmény fölött? c) Az egész időszakra vonatkozóan összességében teljesítették-e az elvárást? 46. A következő diagramon a XX. század utolsó négy olimpiáján szerzett magyar érmek számát találjuk (A: arany, E: ezüst, B: bronz). a) A négy közül melyik olimpián szereztük a legkevesebb ezüstérmet? b) Összesen hány aranyérmet szereztünk ezen a négy olimpián? c) Átlagosan hány ezüstérmet szereztünk ezen a négy olimpián?

100 00 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) Melyik fajta éremből szereztük összesen a legtöbbet ezen a négy olimpián? e) Ábrázold az 99-es olimpián szerzett érmek számát kördiagramon!

101 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 0 III. Valószínűségszámítás Sokszor latolgatjuk az esélyeket: milyen időjárás lesz egy adott időpontban, nyerünk-e a kaparós sorsjeggyel, mennyire változik a benzin ára. Biztosítások díjai, piaci viszonyok felmérése, szavazások eredményeinek megjósolása: csak egy pár példa arra, hogy a valószínűség-számítás mennyire fontos helyet foglal el a hétköznapok során még akkor is, ha személy szerint ritkán használjuk. Vajon mekkora az esélye annak, hogy holnap nem kel fel a nap? Egyesek szerint 50%, mert vagy felkel, vagy nem, de a tapasztalatok alapján érezzük, hogy ez a meggondolás nem állja meg a helyét. A valószínűségszámítás alapját épp az irányított megfigyelés adja: sok-sok kísérletet végzünk egy esemény megfigyelésére. Nem biztos, hogy véletlen jelenségekről van szó: igazából az a fontos, hogy az egyes jelenségek bekövetkezését minél pontosabban meg tudjuk jósolni. Ha már nem érjük el a lottó ötöst, legalább meg tudjuk határozni, hogy mekkora esélyünk van a főnyereményre! A valószínűség definíciója Mintapélda 9 Dobjunk fel 5-ször egy dobókockát, és írjuk le a dobások eredményét. a) Készítsünk az adatokból gyakorisági diagramot, és azt is határozzuk meg, hogy az esetek hány százalékában volt -es, -es stb. dobás. Ellenőrizzük az eredményeket összeadással! Megoldás: A megoldáshoz egy dobássorozatot használunk, de mindenki azzal az adathalmazzal dolgozik, amelyet ő dobott. A dobássorozat eredménye:,, 4, 5,,, 6,, 4,, 5, 6,,,,,,,,, 5, 6, 4,, 5. A gyakorisági diagram most kiegészül az arányokkal: Dobás Összeg Előfordulás Arány 4 0, 6 7 = = 0, 8 0,6 = 0, 0,6 0, b) Sokan úgy gondolják, hogy 6-ost nehezebb dobni a többinél. Vizsgáljuk meg, hogy nagyszámú dobás (azaz több csoport dobásainak eredménye) esetén milyen arányban fordul elő -es, -es stb.! Készítsünk olyan grafikont, amelyik a dobások arányát ábrázolja a dobások

102 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE számának függvényében! Ehhez töltsük ki a táblázatokat, majd rajzoljuk meg a grafikonokat! Dobások száma Előfordulás Arány előfordulása Dobások száma Előfordulás Arány előfordulása

103 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 0 Megoldás: Most csak a 6-os dobásának arányát vizsgáljuk, a többi dobás esetén is így kell vizsgálni az előfordulások arányát. Tegyük fel, hogy volt az osztályban 7 darab 4 fős csoport. Mindegyiktől összegyűjtöttük a táblázatban a 6-osok előfordulásának számát, így összesen 700 dobást elemzünk. 6-os előfordulása Dobások száma Előfordulás Arány 0, 0, 0,6 0,7 0,6 0,5 0,6 Egy érték előfordulásának arányát az érték relatív gyakoriságának nevezzük. Például ha 00 esetből 48-szor fordul elő 6-os, akkor a 6-os relatív gyakorisága 48 = 0, 6. Ha egy 00 esemény bekövetkezésének valószínűségét vizsgáljuk, ugyanúgy járunk el, mint a fenti példában. Kísérleteket végzünk azonos körülményekkel, és azt vizsgáljuk, hogy az adott esemény milyen arányban fordul elő. A kockadobás során dobott számok előfordulásának vizsgálatakor azt tapasztaltuk, hogy nagy számú kísérlet esetén minden dobás előfordulásának

104 04 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE aránya 0, 7 körüli érték. Minél több dobást vizsgálunk, az arány annál jobban megközelíti 6 az -ot. 6 Ha sok kísérletet végzünk, akkor egy esemény bekövetkezésének aránya egy adott érték körül ingadozik. Ezt az értéket nevezzük az adott esemény valószínűségének. Egy esemény valószínűségének a jele: P( esemény ). Egy esemény valószínűsége 0 és közötti szám. A valószínűséget kifejezhetjük közönséges- törttel, tizedestörttel vagy százalékban. Például 4, 0,5 és 5% ugyanazokat a valószínűség értékeket jelentik. Sokszor nem tudunk elég sok kísérletet végezni ahhoz, hogy megállapítsuk ezt a számot. Képzeljük el a következő helyzetet: egy izzókat gyártó üzemben vizsgálják a valószínűségét annak, hogy egy véletlenül kiválasztott izzó selejtes. Elvileg minden izzót ellenőrizni kellene, de ez túl sok időt és pénzt emésztene fel, ezért kiválasztanak néhány darabot, és azokat vizsgálják. A valószínűség definíciója szerint elvileg nagyszámú kísérlet mellett is megkaphatjuk azt az előfordulási arányt, mint amit az összes mintát elemezve kapnánk. (Például a 6-osok dobásait elemezve a 0,7-es arány már 400 dobás után megjelenik.) A kérdés az, hogy hány izzót válasszunk ki vizsgálatra, és a kapott eredmény mennyire helytálló az összes gyártott izzó tekintetében. Látjuk, hogy a minőségellenőrzés során a valószínűségszámítást a gyakorlatban alkalmazzuk.

105 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 05 A valószínűség kiszámítása egyszerű esetekben A valószínűségszámítás egyik célja az, hogy megjósoljuk egy esemény valószínűségét. Egyszerűbb esetekben a kísérlet kimenetelei olyan elemi események lehetnek, amelyek egyenlő eséllyel következnek be. Ilyen elemi esemény például kockadobáskor az -es dobása, de elemi esemény a -es dobása is. Összesen 6 elemi esemény lehetséges, vagyis az összes esetek száma 6. Mindegyik elemi esemény egyforma valószínűségű:. Az -es dobásának 6 valószínűsége ugyanannyi, mint a 6-os dobásának valószínűsége: 6. Jelöléssel: P (-es dobása) = P (6-os dobása) =. 6 Pénzérme feldobásakor az elemi események száma : fej vagy írás, így az összes esetek száma:, a fej és az írás valószínűsége egyaránt = 0, 5. Az ilyen esetekben egy esemény bekövetkezésének valószínűségét a P ( esemény ) = képlet segítségével határozzuk meg. kedvező esetek száma összes eset száma Figyelem! Ez az összefüggés csak olyan esetekben alkalmazható, amikor egyenlő az elemi események valószínűsége. Nem ilyen esetek például a fiú vagy lány születésének valószínűsége, ui. általában nem egyenlő számban születnek fiú, illetve lány csecsemők. Például megfigyelték, hogy háborúk után nagyobb arányban születik fiú, mint leány. Így bár a születendő gyermek neme kétesélyes, mégsem 0,5 a valószínűsége annak, hogy fiú születik.

106 06 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 0 Egy dobókockát egyszer feldobunk. Határozzuk meg a következő események valószínűségét! A = legfeljebb -est dobunk; B = prímszámot dobunk; C = legalább -ast dobunk. Megoldás: Az elemi események:,,, 4, 5, 6. Ha legfeljebb -est dobunk, akkor a jó lehetőségek: -es vagy -es, azaz a jó lehetőségek száma. Ezért P( A )= =. 6 A dobható számok közötti prímszámok:,, 5, ezért P( B )= =. (Az nem 6 prímszám, mert prímszámnak nevezzük azokat a pozitív egészeket, amelyeknek pontosan két osztójuk van: és önmaguk, de az -nek csak egy osztója van.) Ha legalább -ast dobunk, akkor a jó lehetőségek:, 4, 5 vagy 6, azaz a jó lehetőségek 4 száma 4. Ezért P( C )= =. 6 Ha egy esemény biztosan bekövetkezik, akkor annak a valószínűsége. A fenti példában az A és a C esemény közül az egyik biztosan bekövetkezik, de együttesen nem teljesülhetnek. Ilyen esetekben a valószínűségük összege. A lehetetlen esemény sohasem következik be, a valószínűsége 0. Észrevehetjük, hogy ha több egymást kizáró (vagyis egyszerre nem teljesülő) esemény közül az egyik biztosan bekövetkezik, akkor ezen események valószínűségének összege. Ilyen a kockadobás is: minden szám dobásának valószínűsége, a valószínűségek összege 6 =. 6 6 Másik példa a mintapélda A és C eseménye: vagy legfeljebb -est dobunk, vagy legalább hármast, de az egyik mindenképp bekövetkezik, valószínűségük összege + =. Ilyen esetben az egyik valószínűség ismeretében kiszámíthatjuk a másikat: P( A) = P( C ).

107 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG 07 Mintapélda Egy pénzérmét 4-szer feldobunk, és leírjuk a dobások eredményeit. a) Sorold fel az összes lehetőséget! b) Mi a valószínűsége annak, hogy fejet és írást dobunk? Megoldás: a) Jelöljük I-vel az írást, F-fel a fejet. Ekkor az összes lehetőség: IIII, IIIF, IIFI, IIFF, IFII, IFIF, IFFI, IFFF, FIII, FIIF, FIFI, FIFF, FFII, FFIF, FFFI, FFFF. b) Az összes eset száma: 6. Összeszámoljuk a jó esetek számát: 4. Így a keresett kedvező esetek száma 4 valószínűség: P ( esemény) = = = = 0, 5. összes eset száma 6 4 Feladatok 47. Egy gyártósor naponta 800 terméket gyárt. a) Az elmúlt héten csak 5 nap működött a gépsor, és 68 selejtes terméket állított elő. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy terméket a múlt héten gyártottakból, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy selejtes, illetve annak, hogy nem selejtes? b) A minőségellenőrzés során kiderült, hogy ha véletlenszerűen kiválasztunk egy terméket a tegnap gyártottakból, akkor az 0,985 valószínűséggel nem selejtes. Hány selejtes terméket állított elő tegnap a gépsor? 48. Egy novemberi hónap csapadékmennyiségét találjuk a diagramon. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott novemberi napon a csapadékmennyiség 6 mm felett volt, illetve, hogy nem haladta túl a 6 mm-t?

108 08 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) A novembert tartalmazó negyedévben kb. 0,4 volt annak a valószínűsége, hogy a napi csapadékmennyiség egy véletlenszerűen kiválasztott napon túllépi a 6 mm-t. Hány napon mértek 6 mm-nél több csapadékot? 49. Egy cipőboltba az elmúlt hónapban a gyakorisági táblázatban látható cipők érkeztek. Méret Darab a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha véletlenszerűen kiválasztunk egy cipőt a kapott készletből, akkor annak a mérete 45-ös vagy annál nagyobb? Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott cipő 45-ösnél kisebb? b) Régebben nem ment ennyire a bolt, és nem is kellett ennyi nagyméretű cipő. Annak a valószínűsége, hogy a havonta rendelt 40 darabból egy véletlenszerűen kiválasztott cipő mérete 45-ös vagy annál nagyobb, kb. 0,06 volt. Hány darab nagy cipőt rendeltek? 50. Az ábrán egy pörgetős szerencsejáték korongját látod (minden színes háromszög egyforma méretű). a) Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerű pörgetés után piros, illetve hogy nem piros mezőre mutat a jelző? b) Egy másik táblán a körnek megfelelő területet kétszer ennyi egyforma cikkre osztottak fel, és azon a piros véletlenszerű eltalálásának a valószínűsége. Mennyi 6 piros cikkelyt tartalmaz a másik tábla? A legnépszerűbb kártyajátékok során kétféle kártyát használunk: Magyar kártya: négyféle szín található a pakliban: piros, zöld, makk és tök, és minden színből van 7-es (VII), 8-as (VIII), 9-es (IX), 0-es (X), valamint a négy figura: alsó, felső, király, ász. Ily módon a magyar kártyában lapot számolhatunk meg. Francia kártya: itt is négyféle szín van: pikk ( ), kör ( ), káró ( ) és treff ( ). A kártyák értékei: -es, -as, 4-es, 5-ös, 6-os, 7-es, 8-as, 9-es, 0-es, bubi, dáma, király, ász. A franciakártya-pakliban 5 lap van.

109 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG Mi a valószínűsége annak, hogy egy magyar kártya csomagból véletlenszerűen kihúzott lap a) piros; b) 7-es; c) zöld vagy ász; d) makk király? 5. Mi a valószínűsége annak, hogy egy francia kártya csomagból véletlenszerűen kihúzott lap a) treff; b) dáma; c) pikk vagy 8-as; d) káró király? Két kocka feldobásakor az elemi események számpárok. A ; 6 például azt jelenti, hogy az első dobás -es, a második 6-os. A következő ábrával a dobások összegét szemléltetjük: 5. Mi a valószínűsége annak, hogy két dobókocka feldobásakor a dobott számok összege a) 6; b) páros; c) prím szám? 54. Melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége két dobókocka feldobásakor: A a második dobás nagyobb, mint az első; B az első dobás 4-nél nagyobb, vagy a második dobás -nál kisebb?

110 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ajánlott szakmai jellegű feladatok Kombinatorika. Egy munkadarab elkészítése 4 műveletből áll. Közülük egyet elsőként kell elvégezni, a többit tetszőleges sorrendben. Hányféleképpen készíthető el a munkadarab?. Egy szerelési munkához kézi fúróra, kombinált fogóra és csavarhúzóra van szükség. Kétféle kézi fúrónk, -féle kombinált fogónk és 4-féle csavarhúzónk van. Kiválasztunk három szerszámot: kézi fúrót, kombinált fogót és csavarhúzót. Hányféleképpen választhatjuk ki a szerszámot?. Egy munkafolyamat 6 lépésből áll. Ezek közül kettő adott sorrendben, csak közvetlenül egymás után végezhető el. A többi sorrendje tetszőleges. Hányféle sorrendje lehet a munkafolyamatnak? 4. Egy szerszámosládában 0 különböző méretű villáskulcs található. Hányféleképpen vehetünk ki belőle 5 darabot? (Az, hogy az 5 darabot milyen sorrendben vesszük ki, nem számít.) 5. Egy dobozban harapófogó, csípőfogó, 4 egyforma csavarhúzó, egyforma csavarkulcs és egyforma laposfogó van. Sorban mindegyiket kivesszük, anélkül, hogy figyelnénk arra, hogy mit veszünk ki. Hányféle sorrendben vehetjük ki a szerszámokat, ha az egyforma szerszámokat nem különböztetjük meg egymástól? 6. Hányféleképpen helyezhető el 9 beteg kórteremben úgy, hogy minden szobába beteg kerüljön? A kórtermek meg vannak számozva, az egy szobán belüli ágyakat nem különböztetjük meg. 7. Egy három műszakban dolgozó üzemben három gépmester van. Hányféleképpen lehet beosztani a gépmestereket az egyes műszakokba? 8. Egy tanműhelyben előfonógép és gyűrűsfonógép van. 6 tanulóból -at kell beosztani a gépekhez. Minden tanulónak egyszer az előfonógépen, egyszer az egyik gyűrűsfonógépen kell dolgoznia. Hányféle kiválasztás lehetséges?

111 6. modul: KOMBINATORIKA, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG Valószínűség 9. Egy autó útjavításhoz érkezik. A forgalom ezen a szakaszon felváltva egyirányú, amit azonos ideig tartó piros vagy zöld lámpa jelez. Mi a valószínűsége annak, hogy az autó zöld jelzést kap? 0. Egy villanyszerelő szerelőládájában 5 védőérintkezős és védőérintkező nélküli dugaszolóaljzat van. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha ezek közül egyet kiválasztunk, az védőérintkezős dugaszolóaljzat lesz?. Egy műhelyben 6-féle közönséges csavarhúzó és -féle csillagcsavarhúzó van. A csavarhúzókat egy lyukacsos táblába szúrva tárolják A csavarhúzók fogantyúja egyforma. Hány százalék a valószínűsége annak, hogy ha két csavarhúzót találomra kihúznak, akkor az egyik közönséges, a másik csillagcsavarhúzó lesz?. Egy dobozban 500 csavar van. Ezek közül általában % selejtes. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobozból egy csavart kivéve, selejtes csavart veszünk ki?. Egy kórházban egy bizonyos napon 6 beteg vár műtétre. Hányféle sorrendben kerülhetnek a műtőbe? Egy beteg azt szeretné, hogy őt elsőnek műtsék. Mi ennek a valószínűsége, ha véletlenszerűen választják ki a betegek sorrendjét? 4. Egy dobozban 0 golyóscsapágy van, ezek közül egy hibás. Mi a valószínűsége annak, hogy ha 4 csapágyat kiveszünk, a hibás közte lesz? 5. Egy ékszerboltban 0 azonos típusú ezüstlánc van. Egy láncon hibás a kapocs. 5 láncot veszünk. Mi a valószínűsége annak, hogy közte van a hibás lánc? 6. Az izzókat 0 darabos csomagolásban árulják, a csomagokban levő izzókat véletlenszerűen válogatták. A polcon összesen 00 izzó van. Általában az izzók százaléka hibás. Egy 0 darabos csomagot veszünk. Mi a valószínűsége annak, hogy az összes hibás izzó éppen abban a csomagban van? 7. Négy gépsoron gyártják ugyanazt az alkatrészt. Két gépen a selejt %, gépen % és gépen 4%. Mind a négy gép ugyanannyi alkatrészt gyártott, és a kész alkatrészeket együtt tárolják. Mi a valószínűsége annak, hogy egy alkatrészt kivéve, az selejtes lesz?

112 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Statisztika 8. Egy üzemben, terv szerint napi 50 alkatrészt kellett gyártani. Két héten keresztül, 5 munkanapon írták a teljesítményt: napok száma termék száma a) Mennyi volt a napi átlagtermelés? b) Tudták-e teljesíteni a tervet? c) Hányadik napon volt a legtöbb és hányadik napon volt a legkevesebb a napi termelés? d) Melyik érték fordul elő legtöbbször, melyik legkevesebbszer? e) Állítsuk növekvő sorrendbe a termelési adatokat, és állapítsuk meg, hogy melyik érték esik középre? 9. Egy áruházláncnak egy fővárosi és egy vidéki üzletében a három legjelentősebb részleg forgalma, millió Ft-ban így alakult: Január Január Február Február Március Március Részlegek Budapest Vidék Budapest Vidék Budapest Vidék Élelmiszer 0,5 50,8 5,6 5,5 50, 60, Ruházat 95,4 80,5 00, 8, 9,5 48, Iparcikk 980, 98,5 990,5 75,5 86, 70, a) Mennyi az egyes áruházak havi forgalma? b) Mennyi az egyes áruházak havi átlagforgalma? c) Mennyi az egyes áruházak negyedéves forgalma az egyes árucsoportokban? d) Mennyi az egyes áruházak negyedéves átlagforgalma? 0. Egy áruház havi forgalmát látjuk millió Ft-ban: I. II. III.. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. 75,6 700, 75, 70, 780,0 790,5 8, 79,5 90,4 690,5 78, 80, a) Mennyi az áruház éves forgalma? b) Mennyi az áruház havi átlagforgalma? c) Állítsuk nagyság szerint sorba a forgalmi adatokat növekvő sorrendbe! d) Melyik a legkisebb és legnagyobb érték? e) Melyik érték fordul elő legtöbbször? f) Melyik a középső érték?

113 7. MODUL térgeometria Készítette: Vidra Gábor

114 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Ismétlés A lakásban szeretnénk átalakításokat végezni: új falat emelni gipszkartonból, klímát beszereltetni, a falat lefestetni. Csupa olyan probléma, amelynek megoldásához alapvető térgeometriai ismeretekre van szükség: a festék mennyiségének meghatározásához területet, felszínt kell számolni, a megfelelő hűtőrendszer kiválasztásához pedig ismernünk kell a helyiség térfogatát. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben lehet metsző, párhuzamos vagy kitérő. Két sík kölcsönös helyzete a térben lehet párhuzamos vagy metsző. Egyenes és sík kölcsönös helyzete a térben lehet párhuzamos vagy metsző.

115 7. modul: TÉRGEOMETRIA 5 Távolságok Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hosszát értjük. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hosszát értjük. Definíció szerint: egy egyenes merőleges a síkra, ha a sík összes egyenesére merőleges. A jelölés azért dupla derékszög, mert igazolható a következő állítás: ha egy egyenes merőleges a sík két metsző egyenesére, akkor merőleges a síkra, vagyis a sík minden egyenesére. Párhuzamos egyenesek távolságát az őket összekötő, rájuk merőleges szakasz hossza adja. Fogalmazhatunk úgy is, hogy az egyik egyenesen kiválasztunk egy tetszőleges pontot, és ennek a pontnak a másik egyenestől való távolsága adja a két egyenes távolságát. Párhuzamos síkok távolságát az őket összekötő, rájuk merőleges szakasz hossza adja. Fogalmazhatunk úgy is, hogy az egyik síkon kiválasztunk egy tetszőleges pontot, és ennek a pontnak a másik síktól való távolsága adja a két sík távolságát. Egyenes és vele párhuzamos sík távolságát az egyenesre és a síkra egyaránt merőleges, közöttük elhelyezkedő szakasz adja. Fogalmazhatunk úgy is, hogy az egyenesen kiválasztunk egy tetszőleges pontot, és ennek a pontnak a síktól való távolsága adja az egyenes és a sík távolságát.

116 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Hajlásszögek Egyenes és sík hajlásszögén értjük az egyenes és ennek a síkra eső merőleges vetülete által bezárt szöget. Ha a vetület egy pont, akkor az egyenes merőleges a síkra. Más esetben az így kapott képegyenes és az eredeti egyenes hajlásszöge adja az egyenes és a sík hajlásszögét. Két kitérő egyenes hajlásszögét a velük párhuzamos, egymást metsző egyenesek hajlásszöge adja. Két sík hajlásszögét úgy kapjuk, hogy a metszésvonalra, annak egy tetszőleges pontjában mindkét síkban egy-egy merőleges egyenest bocsátunk. Ennek a két egyenesnek a hajlásszöge adja a két sík hajlásszögét. Két sík hajlásszöge derékszögnél nem nagyobb. A test térfogata annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk, amely az egységélű kocka térfogata. A test felszíne a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területének összege. Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszöglap határolja. A poliéder konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Egy poliéder szabályos, ha élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Összesen öt ilyen test van: tetraéder (4 lap), hexaéder (kocka; 6 lap), oktaéder (8 lap), dodekaéder ( lap), ikozaéder (0 lap).

117 7. modul: TÉRGEOMETRIA 7 Egyéb poliéderek: A test hálója poliéderek esetén az a sokszöglap, amelyet ha egy síklapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete.

118 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A hasáb és a henger Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap), és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel, hasábfelületet kapunk. Ezt elmetszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező korlátos (zárt) térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasábot kapunk, ha az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Az oldallapokat együtt palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a hasáb magasságát. A hasáb térfogata: V = alapterület testmagasság, felszíne: A = alapterület + a palást területe. A térfogat- és felszínképletek bizonyítható állítások. A téglatest és a kocka speciális hasábok. A kocka térfogata: V = a, felszíne A = 6a (a a kocka élhossza). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek hossza). A hengert a hasábhoz hasonlóan származtatjuk. Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap), és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a görbe minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az

119 7. modul: TÉRGEOMETRIA 9 adott egyenessel (alkotók), hengerfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező, az alaplap és a fedőlap közé eső térrészt nevezzük hengernek. Ha a görbe kör, a test neve körhenger. Egyenes körhengernél az alkotók merőlegesek az alapsíkra. A test görbe határoló felületét palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a testmagasságot. A hasáb térfogatához hasonló a henger térfogata: az alapterület és a testmagasság szorzatával határozhatjuk meg. Körhenger esetén: V = r π M, ahol r az alapkör sugara, M a test- magasság. Az egyenes körhenger (a továbbiakban ezt nevezzük hengernek, ha a feladat szövege nem utal a henger egyéb tulajdonságaira) felszínének kiszámításakor figyelembe vesszük, hogy a henger palástja síkba kiterítve téglalap. A henger felszíne: A = r π + rπm = rπ ( r + M ). A henger és a hasáb esetében ugyanúgy számítjuk ki a térfogatot: A henger térfogata: V = alapterület testmagasság. Mintapélda Az ábrán látható prizma egy fényképezőgép alkatrésze. Négy darab téglalap határolja, amelyek közül a szomszédosak egy-egy oldala közös és 4 cm hosszú, valamint két szimmetrikus trapéz, amelyek alapjai 4 cm és cm, magassága cm. Észrevehetjük, hogy ez egy trapéz alapú egyenes hasáb. A két trapéz síkja merőleges a prizma alap- és fedőlapjára. Számítsuk ki a prizma felszínét és a térfogatát! Megoldás: A felszín kiszámításához szükségünk van a trapéz szárára: c = + = 5.

120 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A test hálóját felrajzolva láthatók a testet határoló síkidomok. A felszín ezek területének összege: + 4 A = 4 ( ) + = ,9. A térfogat kiszámításához felhasználjuk, hogy a test egy trapéz alapú egyenes hasáb, az + 4 alapterület a trapéz területe: T = = 6 (cm ), a testmagasság M = 4 (cm), így V = T M = 4. A felszín 47,9 cm, a térfogat 4 cm. Mintapélda Egy négyzet alapú ferde hasáb két oldallapja téglalap, másik két oldallapja olyan paralelogramma, melynek egyik szöge 60. Mekkora a hasáb térfogata és felszíne, ha az alapél 4 cm, az oldalél hossza 0 cm? Megoldás: Ábrát készítünk, és ráírjuk a megfelelő adatokat. Az alapterület T =4 = 96 (cm ). Az egyik alapél és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögből számítható a testmagasság, amely ebben az esetben az egyik oldallap magassága is egyben: sin 60 =, ahonnan m = 0 sin 60 7, (cm). 0 m V = T m 94,7, A = ( ,) 46, 96. A térfogat 94,7 cm, a felszín 46,96 cm. Feladatok. Mekkora az a alapélű, b oldalélű négyzetes oszlop térfogata és felszíne, ha a) a = cm, b = dm; b) a =,4 cm, b = 5 mm; c) a = 400 mm, b = 4 dm; d) a = 55 mm, b = 0, dm?

121 7. modul: TÉRGEOMETRIA. Egy négyzetes oszlop magassága háromszorosa az alapélnek. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! alapél térfogat felszín a) 6 cm b) 4,6 dm c) 686 cm d) 46,875 m. Egy építkezéshez darab, négyzetes oszlop alapú gerendát használnak fel. A gerenda keresztmetszete 0,5 cm 0,5 cm, hosszuk egységesen 8,4 m. a) Hány m a gerendák térfogata összesen? b) A gerendákat olyan felületkezelő anyaggal vonják be, amelynek kiadóssága 0 m /liter (azaz 0 m kezeléséhez egy liter vegyszer szükséges). Hány liter vegyszerre van szükség? 4. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög alapú hasáb térfogatát és felszínét, ha az alaplap alapja 50 cm, szárai 45 cm hosszúak, és a hasáb magassága 70 cm! 5. Az alábbi lakás szobáiba és konyhájába szeretnének klímaberendezést vásárolni. A lakás magassága,8 méter. Becsüljük meg, mekkora teljesítményű berendezéseket vásároljanak az egyes helyiségekbe! Átlagosan 5 W/m teljesítményegységgel számolhatunk. Megjegyzés: A kapott érték valóban becslés, mert a kívánt teljesítmény függ a helyiség használatának jellegétől, a benne tartózkodó személyek számától, a burkolófelületek anyagától, a tájolástól stb. 6. Egy 9 cm oldalhosszúságú kocka sarkaiból levágunk egyegy cm oldalélű kockát az ábra szerint. Mekkora a megmaradó rész térfogata és felszíne?

122 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Egy téglatest egyik éle m-rel hosszabb a másiknál, a harmadik éle 0 m, a térfogata 600 m. Mekkorák az élei és a felszíne? 8. Egy ajtóban az üveg keretét 8 cm széles és cm vastag deszkából készítették. Az ajtó 0 cm magas és 86 cm széles, az üveg 8 mm vastag. Az ajtó térfogatának hány százaléka az üveg térfogata? 9. Egy szabályos hatszög alapú hasáb alapéle cm, testmagassága 5 cm. Számítsd ki a térfogatát és a felszínét! Mintapélda Egy ideiglenes, téglatest alakú színpad vas keretéhez merevítésként be kell hegeszteni síkonként egy-egy lapátlót és két testátlót (amelyek metszik egymást, ezért a két testátlót négy egyforma darabból kell összeállítani). Számítsuk ki, hogy a kerettel együtt milyen hosszú vasanyagra lesz szükség, ha a színpad,6 m magas, és 0 m x 6 m a felület, amin fellépnek a művészek. Mekkora szögben illeszkedik egymáshoz a két testátló és milyen hosszú az a négy darab, amiből összehegesztve megkapjuk ezt a merevítést? Megoldás: A téglatest lapátlóit Pitagorasz-tétellel számítjuk ki: x = 6 +,6 = 8,56 6, (m); y = = 6,66 (m); z =,6 + 0 = 0,56 0, (m). A testátlót a kiemelt derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: d = 0 + x = ,6, ahonnan =8, 56 d, d, 77 (m). A megfelelő darabok hosszát összeadva kapjuk a szükséges anyagmennyiséget: 4 ( ,6) + ( x + y + z) +,77 50, vagyis 50 m anyagra van szükség. A hajlásszög kiszámításához derékszögű háromszöget keresünk a testátlók által meghatározott síkban.

123 7. modul: TÉRGEOMETRIA Szögfüggvény segítségével α 64. x x tgα = =, ahonnan α, 8. A keresett hajlásszög 5 0 A feladat megoldása során láttuk, hogy a testátló hossza hogyan függ az oldalak hosszától: d = a + b + c. Ebből kapunk egy általánosan is igaz összefüggést: A téglatest testátlójának hossza: d + = a + b c, ahol a, b és c a téglatest egy csúcsban összefutó élei. Mintapélda 4 Hogyan függ a kocka testátlójának hossza a kocka oldalhosszától (a)? Megoldás: A kocka is téglatest, így a testátlóra kapott összefüggést itt is alkalmazhatjuk. Most minden oldal egyenlő: = a + a + a a, ahonnan a d = d =. Feladatok 0. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a, b és c egy téglatest egy csúcsban összefutó élei, d a testátló, A a felszín és V a térfogat. a b c d A V a) 5 cm 8 cm 0 cm b), cm 0,46 dm 7 mm c) 0 m 0 m 4, m d) 6 cm 4,8 cm 9,4 cm e) 6, dm

124 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Mekkora szöget zár be a kocka testátlója a) a kocka éleivel; b) a kocka lapjaival; c) a kocka egy másik testátlójával?. Mekkora a kocka térfogata és a felszíne, ha testátlója cm?. Mekkora szöget zár be a 4 cm alapélű, 499 cm térfogatú, szabályos hatszög alapú hasáb leghosszabb testátlója az alaplappal? Hengerrel kapcsolatos feladatok Mintapélda 5 Az üvegben a címke szerint 750 ml méz található. Milyen magasan áll a méz a henger alakú üvegben, ha az alaplap belső átmérője 9 cm? Megoldás: 750 ml = 750 cm. A térfogat képlete V = r π M, behelyettesítve 750 = 4,5 π M M,8 cm. A méznek az üvegben kb. cm magasan kell állnia. Mintapélda 6 Egy henger magassága kétszerese az alaplap átmérőjének. Mekkora a térfogata, ha a felszíne 985, cm? Megoldás: M = d = 4r ; behelyettesítve a felszín képletébe: A = rπ ( r + 4r) = rπ 5r = 0r π = 985, (cm ). 985, r = 5,6 (cm). A térfogat értéke a V = r π M = 4r π összefüggésből: 0 π V 06,9 cm.

125 7. modul: TÉRGEOMETRIA 5 Feladatok 4. Számítsd ki annak a hengernek a térfogatát és felszínét, amelyet egy 6 cm x 0 cm-es téglalap megforgatásával kapunk, ha a téglalapot a a) rövidebb oldalának felezőmerőlegese; b) hosszabb oldalának felezőmerőlegese; c) rövidebb oldala; d) hosszabb oldala körül forgatjuk meg. Az eredményeket foglald táblázatba! 5. Az a és b oldalú téglalapot megforgatjuk az a oldala körül, a keletkező test térfogata V, felszíne A. Keresd meg az összetartozó betű-szám párosokat! A) a = 5 ; b = 5; B) a = 8 ; b = ; C) a = 4 ; b = ; D) b = 7 ; a = ; ) V A 8 = ; ) 5 A 0 = V ; ) V A 5 = ; 4) 8 V 6 =. A 7 6. Mekkora az ábrán látható henger térfogata? a = 5 cm. 7. Egy 6 hengeres motorról a henger leírásában a következőt találjuk: furat / lökethossz = 89,00/74,8 mm. Hány cm -es a motor? 8. Kati mamája egy fektetett félhenger alakú fóliasátrat szeretne, amelyikben ki is tud egyenesedni. Ezért szeretnék, hogy a méter hosszú sátor teteje méter magas legyen. a) Hány m fóliával lehet a sátrat bevonni? b) Hány m a sátor térfogata? 9. Egy henger kiterített palástja négyzet, a felszíne 84,5 cm. Mekkora a térfogata? 0. Egy betoncső külső átmérője 50 cm, a belső átmérő 40 cm. Mekkora a 6 méteres betoncső tömege, ha a beton sűrűsége 00 kg/m m? (A sűrűséget a ρ = összefüggés V adja, ahol m a tömeg, V a térfogat, és a csőben levő levegő tömege elhanyagolható.)

126 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Egy henger alakú vödör átmérője 6 cm, és felmosáskor 0 cm magasan áll benne a víz. A mosószer kupakján ez áll: 5 liter vízhez kupakkal öntsön. Hány kupakkal kell öntenünk felmosáskor a vödörbe?. Egy henger alaplapjának átmérője harmada a testmagasságnak. Mekkora a) a térfogata, ha a felszíne 95,8 cm ; b) a felszíne, ha a térfogata 7, dm?. Egy ferde henger alkotói 55 -os szöget zárnak be a 8 cm átmérőjű alaplappal, az alkotók hossza 0 cm. a) Válaszd ki, hogy milyen alakú a ferde henger palástja! b) Mekkora a henger térfogata? 4. Egy henger palástja síkba kiterítve cm x 8 cm-es téglalap. Mennyi a henger felszíne és térfogata? Ne csak egy megoldásra gondolj! 5. Egyenlő oldalú henger (az alapkör átmérője egyenlő a magassággal) a) térfogata 55, m. Mennyi a felszíne? b) felszíne 85,7 dm. Mennyi a térfogata?

127 7. modul: TÉRGEOMETRIA 7 III. A gúla és a kúp A gúla Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap), és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel öszszekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező korlátos térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága. A kúp Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap), és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a görbe minden pontját egyenesek segítségével összekötjük az adott ponttal, kúpfelületet kapunk. A keletkező korlátos testet kúpnak nevezzük. Ha a zárt görbe kör, a test neve körkúp. Egyenes körkúpnak nevezzük a körkúpot, ha a pontnak az alaplap síkjára eső merőleges vetülete az alapkör középpontjába esik. A test határoló felületét nevezzük palástnak (egyenes körkúp síkba kiterített palástja körcikk; a palást az alaplapot nem tartalmazza), a csúcspont és a görbe pontjai által meghatározott szakaszokat pedig alkotóknak. Az alaplap síkjának és a csúcsnak a távolsága adja a kúp magasságát. Ha az egyenes körkúpot elmetsszük egy olyan síkkal, amely a kúp magasságának egyenesét tartalmazza (tengelymetszet), akkor egyenlőszárú háromszöget kapunk (alapja az alapkör átmérője, szárai a kúp alkotói). Másként: az egyenes körkúp tengelymetszete egyenlőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget (φ) a kúp nyílásszögének nevezzük. Az egyenes körkúp szimmetrikus bármely, a tengelyét tartalmazó síkra.

128 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A sugár, a testmagasság és az alkotók között fennáll a derékszögű háromszögre érvényes Pitagorasz-tétel: az r + M = a összefüggés. A gúla és a kúp térfogatát hasonlóan számítjuk ki: A felszín is mindkét esetben hasonló: V A = T alapterüle + T. t alapterület testmagass ág =. palást A körkúp esetén az alapterület az alapkör területe A képletben r az alapkör sugara, M a kúp magassága. r π. A körkúp térfogata V r π M =. Az egyenes körkúp felszínének meghatározásához a kúpot az egyik alkotója mentén szét kell vágnunk : a palást síkba kiterítve egy körcikk, amelynek területe: ra π. Az egyenes körkúp térfogata: V r π M =, felszíne: A = rπ ( r + a). A képletben r az alapkör sugara, M a kúp magasságának, a az alkotónak a hossza. Feladatok 6. Kheopsz fáraó négyzet alapú szabályos gúlát formáló Nagy Piramisának eredeti alapéle 0 m, magassága 47 m volt. Számítsuk ki, hogy mekkora a térfogata és a felszíne! 7. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle,5 dm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 50 cm a) a testmagassága; b) az oldallapjának magassága; c) az oldaléle? 8. Egy szabályos hatszög alapú egyenes gúla alapéle a = cm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 0 cm a) testmagassága; b) oldallapjának magassága; c) oldaléle?

129 7. modul: TÉRGEOMETRIA 9 9. Reklámcélra egy cég legyártja az ábrán látható testet: egy 0 cm élű kocka éleinek harmadoló pontjait kötötték össze, és levágták a kocka így adódó sarkait. a) Mekkora a keletkező test térfogata? b) Mekkora a felülete a piros és a kék részeknek összesen? 0. A Téglatest együttes új nevet vett fel: Pyramys. Az együttes koncertjein árult, műanyagból készült, cm x 4 cm x 5 cm élű téglatestekből 60 darab megmaradt. Ezeket megolvasztják, és olyan négyzet alapú szabályos piramisokat gyártatnak belőle, amelyek alapéle 7 cm, testmagassága,5 cm. A gyártás során 7%-os térfogatveszteséggel kell számolni. Hány ilyen piramis készíthető?. Egy vállalkozás reklámcélokra szabályos hatszög alapú szabályos gúlákat csináltat, amit fából készítenek el. A gúla alapélei 4, cm hosszúak, magassága 5 mm. Eddig 50 ilyen ajándékot osztottak ki. a) Hány cm faanyag van az eddig kiosztott gúlákban? b) A gúla oldallapjait színesre festik. Hány cm felületet festenek be egy gúla oldallapjainak a színezésekor? Mennyi festékre volt szükség a 50 ajándék befestésekor, ha m -hez,6 liter festék kell? Kúpokkal kapcsolatos feladatok. Számítsd ki a következő adatokkal megadott kúpok nyílásszögeit, és csoportosítsd az egyenlőket! (Minden távolságadat cm-ben értendő. K az alapkör kerülete, T a területe, a az alkotó hossza, r az alapkör sugara, M a kúp magassága.) A. r =, a = 4; A. r =, M =,4; A. a =, K = 47,; A4. M = 9,4, T = 78, 5 B. r =,, a = 8,8; B. r =, M = 5,; B. a = 5, K = 6,8; B4. M = 0, T = 804, C. r = 4, a = 6; C. r = 0, M =,5; C. a = 64, K = 00,5; C4. M = 9,, T = 80, D. r = 5, a = 8; D. r =,5, M =,6; D. a = 9,6, K = 0,; D4. M =,4, T = 45, 4

130 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Döntsd el a következő állításokról, hogy melyik állítás igaz, és melyik hamis. a) A kúp alkotójának hossza egyenlő a testmagasságával (a = M). b) Ha a kúp alkotója kétszerese az alapkör átmérőjének, akkor a kúp nyílásszöge kb. 9. c) Minden kúp nyílásszöge egyenlő a kiterített palást középponti szögével. d) A palást középponti szöge és az alapkör sugara egyértelműen meghatározza a kúpot. e) Ha egy kúpot kétszeresére nagyítunk, a palástjának felszíne is kétszeresére növekszik. 4. Egy a alapú, b szárú egyenlőszárú háromszöget megforgatunk a szimmetriatengelye körül. Állítsd térfogatuk szerint növekvő sorrendbe a keletkező kúpokat! A. B. C. D. a 0,8 dm dm 6 cm cm b 0 cm 8 cm, dm 8 cm 5. Egy csokigyárban naponta 000 darab csokikúpot gyártanak, amelyet egyenként fóliába csomagolnak. A kúpok alapkörének átmérője és magassága egyaránt 4 cm. a) Hány liter csokoládéból készül el a napi készlet? b) Mekkora felületű fóliát használnak naponta csomagolásra, ha a hajtogatás miatt 5%-kal többet kell számítani? 6. Egy kúp kiterített palástjának területe 6 cm, az alkotó és az alaplap hajlásszöge 7 8. Mekkora a kúp térfogata és a palást középponti szöge? 7. Egy 4,8 m sugarú körlapot négy egybevágó körcikkre vágunk. Milyen magas körkúp alakú sátor készíthető egy-egy darabból? 8. Egy kúp felszíne 79 π, alkotója 8 egységgel hosszabb a sugaránál. Mekkora a térfogata?

131 7. modul: TÉRGEOMETRIA IV. A csonkagúla Ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, csonkagúlát kapunk. Mintapélda 7 Hány liter virágföldet vásároljunk abba a négyzet alapú, csonkagúla alakú virágládába, amelynek belső méretei: az alaplap éle 6 cm, a fedőlap éle 8 cm, a láda magassága 47 cm? Megoldás: A cserép térfogatának meghatározásához ismerni kell a csonkagúla térfogatának kiszámítási módját. Hasonlóság segítségével a következő képletet lehet levezetni: M A csonkagúla térfogata: V ( T + t T + t) =, ahol M a testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe. Az adatokat a képletbe behelyettesítve: ( ) = 4869 cm 48,7 liter V = 47 zsák virágföldet megvásárolni.. Érdemes tehát egy 50 literes A csonkagúla felszínének kiszámításához nincs képlet, minden feladatot egyedi módon oldunk meg. Ha a csonkgúla négyzet alapú szabályos gúlából származott, melynek adatai az ábrán láthatók, akkor meghatározzuk az oldallapok (trapézok) területét. Az oldallap magassága (m) és testmagasság (M), valamint az oldallap magassága és az oldalél (b) között a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot: m b = M = m a c + a c +

132 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 9. Egy egyiptomi matematikatörténeti emlék, a moszkvai papirusz a következőképpen írja le a csonkagúla térfogatának kiszámítását: [ ] alapélek:, illetve 4 könyök, magasság: 6 könyök.. Add össze ezt a 6-ot. ezzel a 8-cal és ezzel a 4-gyel:. kijön 8. Számítsd ki 4. /-át a 6-nak. Kijön. 5. Számolj 8-asával kétszer. Kijön Nézd, ez 56. Helyesen számítottad ki. Valóban helyes a számolás? Ellenőrizd! 40. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b c m M V A a) b) c) d) Egy,6 dm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpontjával, majd az így kapott gúlát elvágjuk az adott oldallal párhuzamos, a kocka középpontján átmenő síkkal. Határozd meg az így kapott csonkagúla térfogatát és felszínét! 4. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 6 cm, fedőlapjának éle 8 cm, és az oldallapok 7 -os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne? 4. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 6 cm, fedőlapjának éle 8 cm, és az oldalélek 64 -os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne?

133 7. modul: TÉRGEOMETRIA 44. Egy szobor talapzata,7 méter magas szabályos hatszög alapú egyenes csonkagúla, az alaplap éle 0 cm, és a fedőlap éle 0%-kal kisebb az alaplap élénél. a) Mekkora a talapzat tömege, ha az anyaga,7 kg/dm sűrűségű márvány? b) Télire becsomagolják a szobor talapzatát, hogy megóvják az időjárás viszontagságaitól. Mennyi csomagolóanyagra van szükség, ha a kötözéshez a talapzat felszínén kívül még 0% anyagot rá kell számolni? 45. Az ábrákon kürtős páraelszívók láthatók. Számítsd ki a térfogatukat és a felszínüket! A páraelszívók szimmetrikusak egy olyan síkra, amelyik az alaplap 60 cm-es élével párhuzamos és az alaplapra merőleges. Minden távolságadat cm-ben értendő. a) b)

134 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. A csonkakúp Ha a kúpot elmetszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és egy másik testet is kapunk, amelyet csonkakúpnak nevezünk. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a csonkakúp testmagasságát. Az egyenes körkúpból származtatott csonkakúp térfogata: ( r + r R R ) M π V = +. A csonkakúp felszínét megkapjuk, ha az alapkör és a fedőkör területéhez hozzáadjuk a csonkakúp palástjának felszínét. A palást síkba kiterítve körgyűrűcikket alkot. A csonkakúp felszíne A [ r + R + ( r + R) a ] = π. A a felszín, r az alapkör sugara, R a fedőkör sugara, a az alkotó. Mintapélda 8 Egy csonkakúp alapkörének sugara 9 cm, a fedőköré 4 cm, az alkotója 5 cm. a) Számítsd ki a csonkakúp térfogatát! b) Számítsd ki a csonkakúp palástjának területét és a felszínét! Megoldás: A szokásos jelölésekkel a = M + ( R r) M = 00 4, a) Képletbe helyettesítés után V 96,8 cm ; b) P = ( r + R) a π 6,6 cm ; A 97, cm. (cm).

135 7. modul: TÉRGEOMETRIA 5 Feladatok 46. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! Minden adat azonos egységrendszerben értendő. r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara, M a csonkakúp magassága, a az alkotó, P a palást felszíne, A a csonkakúp felszíne és V a csonkakúp térfogata. r R a M V P A a) 5 0 b) 8 8,0 c) 4 0,0 47. Egy csonkakúp alapkörének sugara cm, a fedőköré 8 cm, a magassága 5 cm. a) Számítsd ki a kiegészítő kúp alkotójának hosszát! b) Számítsd ki, hogy mekkora középponti szögű körcikkből lehet elkészíteni a csonkakúp palástját! c) Számítsd ki, hogy a kiegészítő kúp térfogata hány százaléka a csonkakúp térfogatának! 48. Egy gyertyaöntő olyan csonkakúp alakú gyertyákat önt, amelyek alapkörének átmérője 0 cm, a fedőköré 6 cm, és a magassága 8 cm. a) Hány gyertyát tud kiönteni 50 liter folyékony viaszból? b) Minden gyertyát külön celofánba csomagol, és a gyertya felszínénél 7%-kal többet kell számolnia a csomagoláshoz. Hány m celofánt használ fel a kiöntött gyertyák csomagolásához?

136 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A gömb térfogata, felszíne A gömb a természet egyik, talán a legfontosabb alapformája. Bizonyítható, hogy az egyenlő térfogatú testek közül a gömbnek a legkisebb a felszíne, ezért ugrik össze gömb alakú cseppé a folyadék, ha teheti (például a higany). Az égitestek alakja többé-kevésbé gömb, és kis golyókkal modellezzük a természet sok jelenségét (például az atommagot és a körülötte keringő elektronokat csakúgy, mint a gázrészecskéket az ideális gázban, vagy a légszennyezést okozó aeroszol részecskéket). A gömb egy adott ponttól (a középponttól) egyenlő távolságra levő pontok halmaza a térben. Minden síkmetszete kör, a legnagyobb területű síkmetszetet főkörnek nevezzük. Ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg keletkezik (a gömbsüvegre vonatkozó összefüggéseket megtalálod a függvénytáblázatban). A gömb térfogatát, illetve felszínét az integrálszámítás segítségével határozzuk meg, ami túlmutat a középszintű érettségi tananyagán. Az r sugarú gömb térfogata és felszíne: V = 4 r π, A = 4 r π Feladatok 49. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! r a gömb sugara, V a térfogata, A a felszíne. r A V a) b) 54,5 c) 44,6 d) 5,6

137 7. modul: TÉRGEOMETRIA Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, illetve melyik hamis! a) Ha egy gömb sugarát háromszorosára növeljük, a felszíne és a térfogata is háromszorosára változik. b) Az egység sugarú gömb felszínének mérőszáma háromszorosa a térfogat mérőszámának. c) Ha egy 5 cm-nél nagyobb r sugarú gömb sugarát cm-rel növeljük, a felszíne 4 ( r + ) -nel növekszik. d) Ha egy 5 cm-nél nagyobb r sugarú gömb sugarát cm-rel növeljük, a térfogata 4 r π -vel növekszik. e) Ha két gömb felszínének különbsége 490 cm, akkor a két gömb sugarát R-rel és r- rel jelölve R r = Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelyre igaz, hogy térfogatának mérőszáma duplája a felszíne mérőszámának? 5. Egy 7 cm átmérőjű üveggolyó belül üreges, a falvastagság 6 mm. Mekkora az üveggolyó tömege, ha az üvegben elhanyagolható súlyú levegő van, és az üveg sűrűsége ρ = 800 kg/m, és a tömeg az m = ρ V képlettel számolható? 5. Mekkora oldalú fémkockából tudnak önteni 0 darab, 4,6 cm átmérőjű gömböt?

138 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VII. Feladatgyűjtemény 54. Egy ajtót úgy készítettek, hogy két bútorlapot összeragasztottak. Az egyik méretei: 8 cm 0 cm mm, a másik méretei: 85 cm 0,5 cm 5 mm. a) Számítsd ki az egyes bútorlapok, majd az egész ajtó anyagának térfogatát! b) Mekkora a tömege az ajtónak, ha a bútorlap sűrűsége 600 kg/m? m A sűrűség, a tömeg és a térfogat közötti összefüggés: ρ =. V 55. Egy hasáb alakú sarokgardrób alaplapja látható az ábrán. Mennyibe kerül a bútorlap, ha a szekrény magassága 9 cm, körben mindenhol bútorlap határolja, és a négyzetméterár 400 tallér? 56. Egy 4 cm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpontjával. Határozd meg az így kapott gúla térfogatát és felszínét! 57. Egy kerítésdíszt úgy készítenek, hogy egy 6 cm élű kocka szemközti oldalainak csúcsait összekötik a kocka középpontjával (középen pontszerűen összehegesztik). Határozd meg az így kapott dísz térfogatát és felszínét! 58. Egy négyzet alapú csonkagúla testmagassága 5 -os szöget zár be az oldallap magasságával, és a két magasság különbsége 6,8 cm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha a fedőlap éle cm?

139 7. modul: TÉRGEOMETRIA Mekkora annak a négyzet alapú csonkagúlának a térfogata és felszíne, amelyiknek hálója az ábrán látható? 60. A szilikon tömítőanyagot hengerekben árulják. A henger belső átmérője 45 mm, a tubus hossza,6 cm, és az aljától 4 cm-nyi helyet nem szilikon tölt ki. A henger folytatása egy 0,6 cm alkotójú csonkakúp alakú kinyomócső, amelynek egyik végén 8 mm, a másik végén mm átmérőjű a lyuk. Hány méteres egyenes csíkot tudnánk kinyomni a csőből? (A benne található szilikon folyékony, összenyomhatatlan.) 6. A szomszéd szeretett volna hétvégi telkére egy jurtát, és találtunk is egy angol nyelvű honlapot az interneten, ahol rendelni lehet. A szavak jelentése: Diameter : átmérő Wall Height : falmagasság Roof Height : tetőmagasság feet : láb ( láb = 0,48 cm) Forrás: [ MongolianGer.aspx] Diameter (feet) Wall Height (feet) 4 Roof Height (feet) 7'6" Mekkora a jurta felszíne és térfogata? (Az egyszerűség kedvéért modellezzük alul-felül nyitott henger és kúp összerakásával a jurtát.) Megjegyzés: A hüvelyk olyan régi hosszmérték (a tízes számrendszeren alapuló mértékrendszer előtti időszakból), amely az emberi test egyik részét, a hüvelykujj nagyságát vette mértékül. A hüvelyk a tizenkettes mértékrendszerbe tartozik; egy lábnak a -ed része. Egy hüvelyk vonalból áll, azaz,6 cm (tehát egy vonal 0, cm). Négy hüvelyk (azaz 0,4 cm) alkotott egy markot. A hüvelyk német neve (Zoll) is elterjedt: coll. Ezt az elnevezést főleg kézművesek, ácsok, asztalosok, használták (colos deszka, colos szeg, fél colos cső stb.). [Forrás: Magyar néprajzi lexikon.]

140 40 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Az ábra egy 9 mm átmérőjű lőszer oldalnézetét mutatja. Végezz méréseket az ábrán, és számítsd ki a lövedék felszínét és térfogatát! 6. Egy csonkakúp alakú parfümös üveget kartondobozba csomagolnak. A doboz méretei: 6 cm 6 cm 8 cm, a parfümös üveg méretei: a fedőlap átmérője 5 cm, az alaplap átmérője cm, a magassága 7 cm. a) Hány ml parfüm van az üvegben, ha az üveg térfogatának 56%-a a folyadék? b) A doboz térfogatának hány százaléka üres, azaz nincs kitöltve a parfümös üveggel? darab 9 cm átmérőjű, gömb alakú gyertyát csomagolnak kartondobozba, szorosan egymás mellé. a) A doboz térfogatának hány százalékát töltik ki a gyertyák? b) A sérülések elkerülése érdekében a gyertyák közé az alaplap közepére egy hungarocell hengert tolnak, ami a gyertyákat érinti, és nem engedi elmozdulni. Legfeljebb mekkora legyen a henger sugara? 65. Egy teniszlabdagyárban labdát csomagolnak kétféle csomagolásba: négyzetes oszlop, illetve henger alakú, műanyag oldalfalú dobozba. A dobozokat kartonokkal zárják le, mindkét végükön. A labdák átmérője 6,5 cm. a) Mekkora területű kartonra, illetve műanyagra van szükség az egyes dobozok elkészítéséhez? b) A dobozok térfogatának hány százaléka a három teniszlabda térfogata? c) Anyagfelhasználás és térkitöltés szempontjából melyik dobozt célszerűbb gyártani?

141 7. modul: TÉRGEOMETRIA Egy ipari alpinista csoport azt a megbízást kapja, hogy fesse le az itt látható, hengerből és kúpból összeállított kilátó külső felületét. A tető kúp alakú, a torony szélétől cm távolságra nyúlik ki. Az egész torony magassága 5, m. Határozd meg, hogy a tetőre és a vakolatra használt festékből hány m -re valót kell a csapatnak beszereznie! 67. Ferde körkúp alapkörének területe 45,4 cm, a leghosszabb alkotó 4 -os szöget zár be az alaplappal. Mekkora a legrövidebb alkotó, ha a kúp magassága 5 cm? 68. Egy forgáskúp alapkörének sugara 0, felszíne 4π egység. Hányszorosára növekszik a kúp térfogata, ha alkotóit 0 egységgel meghosszabbítjuk? 69. Egy csonkakúp fedőkörének sugara 5 cm-rel kisebb az alapkör sugaránál, testmagassága 9,4 cm. Mekkora a felszíne, ha a térfogata 567, cm? 70. Egy csonkakúp alapkörének sugara 4 m, fedőkörének sugara 0 cm, és az alkotók az alaplappal 48 -os szöget zárnak be. Mekkora a csonkakúp felszíne és térfogata? 7. A Föld felszínének 80%-a víz. Mit gondolsz, melyik égitesten nagyobb a szárazföld területe, ha a Holdon nincsen víz? A Föld sugara 670 km, a Hold átmérője 476 km. 7. A föld kérge és a földköpeny legfelső része összefüggő és együtt mozgó réteget alkot, ezt nevezzük a föld kőzetburkának (litoszféra). Határozd meg az ábra alapján, hogy a szilárd kőzetburok térfogata hány százaléka az egész föld térfogatának? (Tekintsük a Földet gömb alakúnak.)

142 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Egy 9 cm és cm befogójú derékszögű háromszöget megforgatunk az egyik oldala körül. Állítsd nagyságrendi sorrendbe a keletkező testek felszínét és térfogatát, ha a) a rövidebb befogója; b) a hosszabb befogója; c) az átfogója mentén forgatjuk meg? 74. Egy húrtrapézt megforgatunk a szimmetriatengelye körül. A trapéz alapjai 58 mm és 0 mm, szárai mm hosszúak. Mekkora a keletkező test térfogata és felszíne?

143 7. modul: TÉRGEOMETRIA 4 Ajánlott szakmai jellegű feladatok Térgeometria. Egy 40 mm oldalú, négyzet keresztmetszetű acélrúdból 88 mm hosszú, téglalap keresztmetszetű szögacélt kovácsolnak. A keresztmetszet oldalai 40 és 5 mm hosszúak. Hány mm hosszú acélrudat kell ehhez átkovácsolni? Az átkovácsolás 5% oxidációs anyagveszteséget eredményez.. A gázvezetékhez használt acélcső külső átmérője, mm, a falvastagsága,8 mm. kg Hány kg a tömege egy 5,5 m hosszú gázvezetéknek? (Az acél tömege 7,8.) dm. Csonkakúp alakú bádogvödör alsó átmérője cm, a felső 0 cm, magassága 5 cm. Mekkora a vödör űrtartalma, és hány cm bádoglemez szükséges az elkészítéséhez? 4. Mekkora az ábrán látható csapágypersely tömege, ha kg 7,85 sűrűségű acélból készül? dm 5. Egy korong alakú lendítőkerék átmérője 5 mm, magassága 65 mm. A közepén lévő furat átmérője 44 mm. A kerék felületét korrózió elleni bevonattal védik. Mekkora felületet kell a védőfolyadékkal kezelni? 6. Számítsuk ki az ábrán látható transzformátor-vasmag tömegét! kg (A vas sűrűsége 7,85.) dm

144 44 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Egy lépcsőkorlátot 4 cm átmérőjű sárgaréz golyókkal díszítünk. Hány kg sárgaréz szükséges 50 golyó öntéséhez? (A sárgaréz sűrűsége 8,6 kg.) dm 8. Egy kúpos csap forgácsolásához hány fokos szögre kell állítani a szánszerkezetet (ez szabja meg, hogy mekkora lesz a kúp félnyílásszöge), ha a kúpos rész (a csonkakúp alakú csap) legnagyobb átmérője 80 mm, a legkisebb0 mm, és a kúpos rész hossza 00 mm? 9. Egy 85 mm átmérőjű tengely kúpos része 5 mm hosszú és kúpszöge 8 o. Mekkora a kúpos rész legkisebb átmérője? 0. Egy 75 mm átmérőjű, kör keresztmetszetű tengelyre kúpos csapot marnak, amelynek legkisebb átmérője 70 mm, a kúpossága (a hozzá tartozó kúp félnyílásszöge),5 o. Milyen hosszú a kúpos rész?. Egy négyzet keresztmetszetű acélrúdra egyenes, négyzet alapú gúla alakú csapot marnak. A csapot lezáró négyzet oldala 6 mm, a csap 0 mm hoszszú. Hány fokos szöget zár be a gúla oldallapja az acélrúd oldallapjával?. Két m hosszú farönköt kell elszállítani. Az egyik közelítőleg henger alakú, keresztmetszetének átmérője 6 cm. A másik farönk csonkagúla alakú, keresztmetszetének legnagyobb átmérője 0 cm, a legkisebb átmérője 4 cm. kg Mindkét rönk azonos fából van, melynek sűrűsége 0, 68. dm Melyik rönk nehezebb és mennyivel?

145 7. modul: TÉRGEOMETRIA 45. Acélrúdból 75 darab éket forgácsolnak. Az ékek téglalap alapú gúlák, alapéleik mm, illetve 0 mm hosszúak, magasságuk 70 mm. A forgácsolási veszteség 60%. Hány kg kg 7,8 sűrűségű acélidomot használnak fel az ékek elkészítéséhez? dm 4. Egy kör keresztmetszetű 90 mm hosszú és 90 mm átmérőjű munkadarabból tengelyt esztergálunk. Hány százalék az anyagveszteség, ha a fogásmélység 4 mm? (A fogásmélység azt jelenti, hogy hány mm-t forgácsolnak le a munkadarabról.) 5. Bizonyos anyagok keménységét úgy vizsgálják, hogy egy 0 mm átmérőjű golyó által benyomott, körkeresztmetszetű benyomódásnak mekkora az átmérője. Számítsuk ki a benyomódás mélységét, ha a benyomódás átmérője,8 mm! 6. Egy cm élű tölgyfa kockából a lehető legnagyobb golyókat esztergálják. A tölgyfa sűrűsége: 0,744. kg. Hány kg egy gömb? dm 7. Egy műemlék épületen az esővíz elvezető csatornája egy szabályos hatszög alapú beton oszlop belsejében halad lefelé. Az oszlop 4 m magas. A hatszög oldalai 0 cm hosszúak, a kg csatorna 5 cm átmérőjű henger. A beton sűrűsége,4. Mekkora az oszlop tömege? dm 8. Egy szabályos hatszög alapú, csonkagúla alakú virágtartó méretei a következők: A kisebbik hatszög oldalai 0 cm, a nagyobbik hatszögé 50 cm hosszúak. A virágtartó magassága 80 cm, falai 0 cm vastagok. A virágtartót márványból faragták. A márvány sű- kg rűsége 800. Mekkora a virágtartó tömege? m

146