MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 0. szakiskolai évfolyam tanulók könyve. FÉLÉV

2 A kiadvány KHF/485-/008. engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program... központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Szakmai vezető: Oláh Vera Alkotószerkesztők: Ratkó Istvánné, Ruzsinszkyné Lukácsy Margit Grafika: Vidra Gábor Lektor: Koller Lászlóné dr. Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT004 Szerzők: Csákvári Ágnes, Koller Lászlóné dr., Vidra Gábor Educatio Kht Tömeg: 50 gramm Terjedelem: 0,5 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos szakmai szakértő: dr.marosváry Erika Technológiai szakértő: Ábrahám Júlianna

3 tartalom 4. modul: A hasonlóság alkalmazásai (Vidra Gábor) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Hatványozás, oszthatóság, normálalak (Csákvári Ágnes) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Kombinatorika, valószínűség, statisztika (Vidra Gábor) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Térgeometria (Vidra Gábor) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

4

5 4. MODUL a hasonlóság alkalmazásai Készítette: Vidra Gábor

6 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Hasonlóság, középpontos hasonlóság Korábban tanultunk már geometriai transzformációkról: tükrözésekről, forgatásról, eltolásról. Ezek egybevágóságok voltak, vagyis például egy háromszöget elforgatva vele egybevágó háromszöget kaptunk. A gyakorlati életben azonban szükség van arra, hogy a pici dolgokat (például vírusokat, atomszerkezetet) nagyban, nagy dolgokat (épületet, galaxist, autót) kicsiben ábrázoljunk. Ehhez a hasonlóságot használjuk. Feladatok. Az ábrán látható ABC háromszöget kétszeresére nagyítottuk az O pontból, úgy kaptuk az A B C háromszöget. a) Állítsd a szerkesztés lépéseit a megfelelő sorrendbe! A. C pontból párhuzamost húzunk a BC szakasszal. B. A pontból párhuzamost húzunk az AC szakasszal, és erre az A pontból felmérjük az AC szakasz hosszának kétszeresét. C. Az OA félegyenesre rámérjük O-ból az OA távolság kétszeresét. D. Összekötjük A-t O-val. E. A pontból körívezünk az AB távolság kétszeresével, és ennek a körívnek a metszéspontja a már meglévő OB félegyenessel adja a B pontot. A helyes sorrend: b) A szerkesztés többféleképpen is elvégezhető. Írd le egy másik lehetséges szerkesztés menetét!

7 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 c) Az ábrákon ugyanazt a háromszöget nagyítottuk úgy, hogy mindig ugyanazokat a képháromszögeket kaptuk. Melyik ábrát melyik pontból nagyíthattuk?. a) Kösd össze a hasonló síkidomok betűjeleit!

8 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) Határozd meg a hasonlóságok arányát a megfelelő oldalak segítségével! Folytasd a táblázatot: az egymás alatti cellákba kerüljön rendre a két hasonló síkidom jele és a hasonlóság aránya! A hatékonyabb megoldás miatt osszátok meg a feladatokat! Síkidom jele Síkidom jele Oldalak aránya C A c) Határozd meg a trapézok területeit és azt is, hogy mennyi a hasonló trapézok területeinek aránya! Milyen összefüggést találsz az oldalak aránya és a területek aránya között?. Az A B C háromszög az ABC háromszög nagyított képe. Mérd meg a lenti szakaszokat, és számítsd ki az arányukat! Ahol egyforma arányokat kapsz, magyarázd meg, hogy miért egyeznek! A ' B' ; AB AB ; BC A' C' ; B' C' B' C' ; A' C' B ' C' ; BC A' B' ; B' C' A' B' ; A' C' BC ; AC A ' C' ; AC AC ; BC AB ; AC AC. A'C' 4. A képen egy háromszöget kétszeresére nagyítottunk. Figyeld meg a rajzot, és egészítsd ki a szöveget! a) Az AB oldal és a... oldal párhuzamos egymással. b) A... oldal és a... oldal párhuzamos egymással. c) Az α szög és a... szög egyállásúak, ezért nagyságuk

9 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9... d) A... szög és a... szög egyenlő nagyságú, mert... e) Az A B és az AB oldal hosszának aránya:... f) Az A C és az AC oldal hosszának aránya:... g) A B C és a BC oldal aránya egyenlő a... és a... oldalak arányával. h) Hasonlóság esetén a megfelelő oldalak aránya... i) Hasonlóság esetén a megfelelő szögek nagysága... Szerkesszünk, mérjünk, számoljunk! 5. Egy háromszög oldalainak hossza: 5 cm, 7 cm és 0 cm. A háromszöget,5-szeresére nagyítjuk. a) Mekkorák a keletkező háromszög oldalai? b) Hányszorosára változik a háromszög kerülete? 6. Nagyítsd az ABC háromszöget az O pontból -szorosára! a) Készítsd el az ábrát! b) Mekkora az OA és az OA szakasz aránya? OA' = OA c) Mekkora a háromszögek megfelelő oldalainak aránya? a' ; a b' ; b c'. c 7. Nagyítsd az ábrát az O pontból úgy, hogy az A pont képe A legyen! Az eredetihez hasonló ábrát kapunk. A ' B' a) Melyik aránnyal egyezik meg a hasonlóság aránya: az távolságok arányával, AB OA' vagy az aránnyal? OA

10 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. A szakaszokat háromszorosára nagyítottuk középpontosan, de csak az egyik végpont képét adtuk meg. Keresd meg, hogy hol lehet a középpont, és végezd el a nagyítást!

11 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI A hasonlóság és a középpontos hasonlóság A nagyítás/kicsinyítés neve a matematikában: középpontos hasonlóság. Nagyításkor vagy kicsinyítéskor középpontos hasonlóságot alkalmazunk. A középpontos hasonlóság megadásakor megadjuk a hasonlóság középpontját és a hasonlóság arányát. A geometriai transzformációk egyik fajtája a középpontos hasonlóság. Adott egy O középpont és egy k pozitív arányszám. Ha például k =, akkor bármely P pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és az OP félegyenesre felmérjük az OP távolság kétszeresét. Ha k =, akkor egy tetszőleges S pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és az OS félegyenesre felmérjük az OS távolság részét. Az egybevágóságokhoz hasonlóan nem adjuk meg, hogy mit nagyítunk. De meg kell tudnunk mondani minden pont esetén, hogy mi lesz annak az adott pontnak a képe: erre szabályt fogalmazunk meg. A középpontos hasonlóság definíciója a következő: Adott a síkon egy O pont (középpont), és egy k pozitív szám. Rendeljük O -hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P pontját, hogy legyen OP = k OP, és P az O-ból kiinduló, P-t tartalmazó félegyenes pontja. Az O pontból kiinduló félegyeneseket vetítősugaraknak nevezzük. Ha k értéke egynél nagyobb, akkor középpontos nagyításról beszélünk, mert a szakaszok hossza a transzformáció végrehajtása után növekszik (k-val, vagyis -nél nagyobb számmal szorzódik a hossz). Ha k értéke kisebb mint egy, akkor középpontos kicsinyítésről van szó. k = esetén az ábra változatlan, és a transzformáció egybevágóság.

12 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Pont transzformálása Egyenes, háromszög transzformálása A geometriai transzformációk (pl. tengelyes tükrözés, forgatás stb.) meghatározásakor pontok képéről beszélünk, ezért minden síkidomot mint ponthalmazt kell transzformálnunk. A síkidomok transzformációja nevezetes pontjaik transzformálásával történik: a körnek például a középpontját és egy tetszőleges pontját transzformáljuk. Általánosságban elmondhatjuk, hogy ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor minden távolságadata k-szorosára, területe pedig k -szeresére változik. Középpontos hasonlóság esetén a megfelelő távolságadatok aránya egyenlő ezt a tulajdonságot aránytartásnak nevezzük. Ha összehasonlítjuk a képet az eredeti ábrával, akkor megállapíthatjuk, hogy a megfelelő szögek nagysága egyenlő (szögtartás) ezért hasonlít a kép az eredeti tárgyra (például makettek). Megjegyzés: a középpontos hasonlóság további tulajdonságai: egyenestartó (egy egyenes képe is egyenes; sőt az eredetivel párhuzamos egyenes); párhuzamosságtartó (ha két egyenes párhuzamos egymással, akkor képeik is párhuzamosak lesznek);

13 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI illeszkedéstartó (ha egy pont illeszkedik egy egyenesre, akkor a pont képe is illeszkedni fog az egyenes képére; úgy is mondhatjuk, hogy metsző alakzatok képe is metszi egymást); körüljárási irány tartó. A középpontos hasonlóság nem mozdítja el a középpontot és a középponton áthaladó egyeneseket. Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sokszor történő egymás utáni végrehajtásával keletkeznek. Az olyan síkidomokhoz, amelyek egyforma alakúak, vagyis megfelelő szakaszaik aránya és szögeik egyenlők, mindig található hasonlóság, amely őket egymásba viszi. Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC ~ PQR ). A hasonlóság és a középpontos hasonlóság különböző fogalmak. A középpontos hasonlóság során transzformációt végzünk: pontok (vagy ponthalmazok) képét szerkesztjük meg. Ez azt jelenti, hogy a középpontos hasonlóság pont-pont függvény: a sík minden pontjához hozzárendel egy pontot. Ha egy síkidomot nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor az oldalegyeneseik párhuzamosok maradnak. A hasonlóság két síkidom viszonyát kifejező fogalom. Ha két síkidom hasonló, akkor az oldalaik aránya és szögeik biztosan egyenlők (vagyis alakjuk egyforma, legfeljebb méreteikben különböznek egymástól), azonban oldalaik nem feltétlenül párhuzamosak.

14 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 9. Másold át a füzetedbe az ábrát, utána nagyítsd az O pontból középpontosan kétszeresére a kisszéket! 0. Kicsinyítsd a zászlót az O pontból -ára középpontosan!. Mennyi a hasonlóság aránya, ha az O középpont, és az A pont képe A? Készítsd el az alakzat középpontosan hasonló képét!

15 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 5. A pontrácson alakzatokat és középpontokat adtunk meg. Minden alakzat valamely pontjának középpontosan nagyított vagy kicsinyített képét megtalálod az ábrán. Határozd meg a középpontos hasonlóság arányát, és végezd el az alakzat nagyítását, illetve kicsinyítését a pontrács segítségével!. Rajzolj a füzetedbe két pontot! Az egyiket jelöld A-val, a másikat O-val! Legyen az O a hasonlóság középpontja. Hol lesz az A pont képe (A ), ha a) a hasonlóság aránya:, b) a hasonlóság aránya:, c) a hasonlóság aránya:? Mindegyik esetben szerkeszd meg az A pontot!

16 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Az ábrán egy téglalapot nagyítottunk. Keresd meg a nagyítás centrumát (középpontját), és egészítsd ki a rajzot! 5. Adott a síkon az ABCDE ötszög, nagyítsd A pontból a háromszorosára! Mérd meg az oldalakat, és foglald táblázatba az eredményeket! AB BC CD DE EA A B B C C D D E E A 6. A kék kört C centrumból -szeresére nagyítottuk. Keresd meg a nagyítás középpontját! a) b)

17 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 7. Kicsinyítsd 0,5-szörösére az egyenest és a kört tartalmazó alakzatot a P pontból! a) b) 8. Rajzolj a füzetedbe egy négyszöget! Először nagyítsd a kétszeresére az egyik csúcsából, majd a kapott képet kicsinyítsd az ötödrészére! Az eredetinek milyen arányú hasonló képét kaptad? 9. Rajzolj egy paralelogrammát, és jelöld be a szimmetria középpontját (O) is! Szerkeszd meg a középpontosan hasonló képét úgy, hogy legyen O a hasonlóság középpontja, és az arány pedig! 0. Válaszolj a következő kérdésekre: mit kell megadni, amikor definiáljuk a következő transzformációkat: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, pont körüli forgatás, hasonlósági transzformáció? Meg kell-e adni azt, hogy mit transzformálunk? Miért?

18 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Síkidomok hasonlósága A sokszögek (végső soron a síkidomok) hasonlósága adja a hasonlóság gyakorlati hasznát: kicsinyítve vagy nagyítva megalkothatjuk a tárgyak modelljeit, és azon kísérleteket hajthatunk végre (például szélcsatornában hajómodelleken, vagy kilengési teszteket megépítendő toronyházak modelljein). Hasonlóság nélkül nem lenne fényképezés, kivetítés a rendezvényeken, és nem értenénk meg azt sem, hogyan keringenek a bolygók a naprendszerben, vagy éppen az elektron az atommag körül. A síkidomok hasonlóságának vizsgálatát a háromszögek hasonlóságának vizsgálatával kezdjük. Tudjuk, hogy ha két síkidom hasonló egymáshoz, akkor a megfelelő szakaszok aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor hasonlóak. A későbbiekben látni fogjuk, hogy a síkidomok hasonlóságához általában nem elég, ha a megfelelő oldalaik aránya egyenlő. A háromszögek egybevágóságának kritériuma, hogy a megfelelő távolságadatok megegyezzenek. A hasonlóságnál nincs ilyen feltétel. A háromszögek hasonlósága fontos kérdés, mert a gyakorlati életben sokféle, háromszögekből összeállítható sokszöggel találkozunk. A háromszögek hasonlóságának alapesetei Két háromszög hasonló, ha a ' b' c'. megfelelő oldalainak aránya megegyezik = = ; a b c. két-két szögük egyenlő ( α α', β = β ', γ = γ ') = ;. két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik a' b' például = és γ = γ ' ; a b 4. két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik a' b' például b > a esetén = és β = β'. a b

19 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9 Sokszögek hasonlósága A definíció szerint két síkidom akkor hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A háromszögek hasonlóságához elég, hogy a megfelelő oldalak aránya egyenlő legyen, de a sokszögek hasonlóságához ez általában nem elegendő. Például az ábrán látható két deltoid megfelelő oldalainak aránya kettő, és mégsem hasonlók. Négyszögek körében a megfelelő szögek egyenlősége sem biztosítja a két négyszög hasonlóságát (például négyzet és téglalap). Bonyolultabb síkidomok hasonlóságára nincs is általánosan használható szabály. Két sokszög biztosan hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők. Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló. Feladatok. Végezd el a következő műveleteket! 4 4 ; b) : a) f) 4 x ; c) 4 = ; d) 5 ; g) ( x + 6) ; h) ( 5) + x x + ; e) : ; 5 0 x :. 4. Oldd meg a következő egyenleteket! x a) = e) x + 5 = x + ; b) = x 8 ; f) = ; g) = 5 7 x + : = ; 7 ; c) ( x ) 6; d) ( ) x x = ; h) 6 x + x 4 =. 4

20 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Igaz vagy hamis a következő kijelentések logikai értéke? a) Minden kör hasonló egymáshoz. b) Minden rombusz hasonló egymással, mert minden rombuszban egyenlők az oldalak. c) Minden négyzet hasonló egymáshoz. d) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor az két, hasonló trapézra bontja a trapézt. e) Ha egy deltoid oldalai 5 cm, 5 cm, cm, cm, akkor az hasonló ahhoz a deltoidhoz, amelynek oldalai 5 cm, 5 cm, 9 cm, 9 cm. f) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor a keletkező kisebbik trapéz az eredetihez hasonló. g) Két rombusz hasonló, ha van azonos nagyságú szögük. h) Két négyszög hasonló, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők. Mintapélda Egy derékszögű háromszög két befogójának hossza 0 cm és 4 cm. Mekkora lesz a háromszög kerülete és területe, ha háromszorosára nagyítjuk? Megoldás: Hasonlóság esetén minden távolságadat ugyanannyi szorosára változik, így a befogók új hossza: 0 = 0 (cm), valamint 4 = 7 (cm). A kerülethez szükség van a harmadik oldalra. Mivel a háromszög derékszögű, érvényes rá a Pitagorasz-tétel: a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével, a = + b c. Az új háromszög átfogója: c = = 6084, ebből gyököt vonva 78 cm-t kapunk. A kerület: K = = 80 (cm). A derékszögű háromszög területe a befogók szorzatának a fele: a b 0 7 T = = = 080 (cm ).

21 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Mintapélda Egy négyszög oldalainak aránya 7 : 7 : 9 :. Határozd meg annak a hozzá hasonló négyszögnek az oldalait, melynek a) legkisebb oldala 4 cm; b) kerülete 85 cm! Megoldás: a) Hasonlóság esetén az oldalak arányai megmaradnak, vagyis az új háromszög oldalainak aránya is 7 : 7 : 9 :. Ez azt jelenti, hogy a 4 cm 7 részt képvisel, vagyis egy kis rész 4 = cm. A többi oldal tehát: 4 cm, 9 = 8 (cm), = (cm). 7 b) Az oldalak arányait összeadva: = 4 részt kapunk, ennyi résznek felel meg a kerület. Mivel a kerület 85 cm, egy rész : 85 =, 5 cm. Így az oldalak hossza: 4,5 7 = 7,5 (cm), még egyszer 7,5 cm,,5 9 =, 5 (cm) és,5 = 7, 5 (cm). A hiányzó távolságokat sokszor ábra segítségével számítjuk ki. Ekkor a feladatok megoldásának menete: Mintapélda A létrát milyen hosszú lánc fogja össze a létra magasságának alulról mért harmadánál, ha a talajon a két szárának távolsága 8 cm? Megoldás: Az ábra felrajzolása után kapunk két hasonló háromszöget: ABC ~ DEC, mert szögeik egyenlők (oldalaik párhuzamosak, így megfelelő szögeik egyállású szögpárokat alkotnak). A hasonlóság ará-

22 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE nya, mert a két háromszög magasságának aránya (a DE szakasz alatt a magasság harmadrésze található, fölötte pedig a kétharmada). Ezért a keresett DE távolság: DE = AB = 8 = 54 (cm). Szakasz felosztása A hasonlóság segítségével egy szakaszt könnyen feloszthatunk adott (racionális) arányú részekre. Azt hihetnénk, hogy ez centiméter-skálával ellátott vonalzóval könnyű, mert csak lemérjük és bejelöljük a beosztást. A vonalzóval azonban csak milliméter nagyságrendig mérhetünk, és ez sokszor problémákhoz vezet. Például ha egy 0 cm-es szakaszt kell 0 : 7 arányban felosztani, akkor,765 cm és 8,5 cm hosszúságú szakaszokat kellene felmérni, amit nem tudunk pontosan kivitelezni. Vizsgáljuk meg egyszerű példán, hogyan lehet felosztani egy tetszőleges hosszúságú AB szakaszt : 5 arányú részekre!. A szakasz egyik végpontjából (az ábrán A-ból) húzunk egy félegyenest (e), amire felmérünk + 5 = 8 egyenlő kis szakaszt, a. után megjelölve az osztópontot (R).. Az utolsó osztópontot (Q) összekötjük a szakasz másik végpontjával (B-vel).. Az összekötő szakasszal (QB szakasszal) párhuzamost húzunk a megjelölt osztóponton (R ponton) keresztül. Ahol ez metszi a szakaszt, ott a megadott arányban osztó pont (P).

23 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Feladatok 4. Egy térképen két település távolsága 5, cm. Mekkora a valóságban ez a távolság, ha a térkép méteraránya :5000? 5. Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló négyszögnek az oldalait, melynek a) legkisebb oldala 0 cm; b) kerülete 46 cm. 6. Egy ötszög oldalainak aránya 6:8:9::5, egy hozzá hasonló ötszög kerülete 50 cm. Mekkorák az oldalai? 7. Igaz-e, hogy a háromszög oldalfelező pontjait összekötő szakasz (középvonal) az eredetihez hasonló háromszöget vág le a nagy háromszögből? 8. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 5 cm, egy hozzá hasonló háromszög megfelelő oldala 5 cm. Határozd meg a két háromszög oldalait, ha a kisebb háromszög kerülete 7 cm. 9. Két hasonló egyenlőszárú háromszög leghosszabb oldala 0 cm, illetve 5 cm, kerületeik különbsége cm. Mekkora a két háromszög kerülete? 0. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. Hol kell meghúzni az egyenest, ha a paralelogramma oldalai a) b = 6 cm és a = 0 cm; b) a és b?. Egy A4-es oldal méretei 0 mm 97 mm. Hogyan kell kétfelé vágni a lapot, hogy a keletkező két lap közül az egyik hasonló legyen az eredetihez? Hasonló-e ekkor a másik is az eredeti A4-es laphoz?. Két háromszög közül az egyiknek az oldalai: AB =, cm, BC = 6,4 cm és AC = = 4,8 cm, a másiké EF = 4,8 cm, FG =,4 cm, és EG =,6 cm. Igaz-e, hogy a két háromszög hasonló? Ha igen, akkor mely oldalak és csúcsok felelnek meg egymásnak?

24 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Két négyszög oldalai ebben a sorrendben cm, 4,5 cm,, cm és 5,5 cm, valamint 6 cm, 9 cm, 6,4 cm és cm. Hasonló-e a két négyszög? 4. Egy háromszögről azt tudjuk, hogy két szöge 45 és 56 fokos. Egy másik háromszögnek van egy 79 és egy 56 fokos szöge. Hasonló-e a két háromszög? 5. Egy háromszög oldalai: cm,,5 cm és 4,5 cm. Egy hozzá hasonló háromszög kerülete cm. Mekkorák az oldalai? 6. Egy ötszöget egy pontból nagyítottunk, és az a oldala,5 cm-ről 4,5 cm-re változott. Mekkorák az új ötszögnek az oldalai, ha az eredeti ötszög másik négy oldala: b =,6 cm, c = 4 cm, d = 5, cm, e = 4, cm. Hányszorosára változott az ötszög kerülete és területe? 7. A festők kinyújtott karjukkal méregetik az arányokat a ceruzájukon. Mekkorának méri az, méteres magasságot a festő, ha a modell tőle 4 méterre van, és a ceruzával a szemétől 50 cm-re mér? 8. Egy fényképész a múzeumban egy 50 cm magas képről szeretne fotót készíteni úgy, hogy az egész kép magassága látható legyen a fotón. A fényképezőgépében 5 mm magas a film, amin a kép keletkezik, és a film az objektívtől 00 mm-re található. Milyen messze tegye a fényképezőgép állványát a képtől? Készíts vázlatot a feladat megoldásához! 9. A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot a földbe, és megfigyelte azt a pillanatot, amikor azonos hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis árnyéka is egyenlő a magasságával.

25 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 5 Peti a testmagasságát akarja hasonló módszerrel megmérni. Leszúr egy botot a földbe, aminek 4 cm-es darabja áll ki. Az árnyék hossza 6 cm. A saját árnyéka 09 cm hosszú. Milyen magas Peti? 40. Az ABCD rombusz BC oldalának H harmadoló pontját összekötjük a D csúccsal, és a DH egyenes és AB egyenes metszéspontját P-vel jelöljük. Mekkora BP szakasz hossza, ha a rombusz oldala cm? 4. Rajzolj egy 7 cm hosszúságú szakaszt, és oszd fel a következő arányú részekre: a) :7; b) :5; c) 75% : 5%; d) 40% : 60%; e) 45% : 55%. 4. Keresd meg a megfelelő arányokat, és számítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b p q x y ,4 6, 4, 5 4,4 6 6,

26 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Szögfüggvények Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelő oldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk, hogy a háromszögben a szögek és az oldalak aránya között kapcsolat van. A trigonometria (háromszögtan) foglalkozik a háromszögek adatainak, a szögek és oldalak kapcsolatával. A szögek és távolságok kapcsolatát már az ókorban is tanulmányozták és használták Kína, India területén csakúgy, mint Egyiptomban az építkezéseknél. Kr. e körül már használtak húrtáblázatokat, sőt szinusztáblázatokat is. Az első évszázadban a kör középponti hegyesszögeihez tartozó húrok hosszát foglalták táblázatba, félfokonként, és ismerték a két szög öszszegének és különbségének szögfüggvényeire vonatkozó képleteket (ma az emelt szintű érettségi tananyaga). Az árnyékok délután fokozatosan megnyúlnak. Mindennek az árnyéka. Miért? Van-e valami közös a tárgyak magassága és árnyékuk hosszának arányában, ha ugyanabban az időben vizsgáljuk azokat? Azért növekednek az árnyékok estefelé, mert a nap sugarai egyre kisebb szögben érik a tárgyakat. Ha egy adott időpontban megvizsgáljuk a tárgyak magasságát és az árnyék hosszát, akkor a kettő arányát minden tárgy esetén egyenlőnek találjuk. Ez azért van, mert a tárgyakat a napsugár ugyanabban a szögben éri. Tehát kapcsolat van a háromszögek szögei és oldalainak aránya között. Ezt a kapcsolatot fejezik ki a szögfüggvények, amelyek meghatározását derékszögű háromszög segítségével végezzük.

27 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 A hegyesszögek szinusza Egy aluljáróból 7 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a járda szintjére, és a rámpa egyenletesen, 6,5 -os szögben emelkedik a vízszinteshez viszonyítva. Ezekből az adatokból meghatározható, hogy milyen mélyen van az aluljáró. Segítségül hívjuk a valóság egy modelljét: jelen esetben az eredetihez hasonló derékszögű háromszöget. Szerkesszünk egy 6,5 -os derékszögű háromszöget például 5 cm-es átfogóval. A két háromszög megfelelő szögei páronként egyenlők, ezért a két háromszög hasonló, tehát a megfelelő oldalaik aránya is egyenlő. Ha lemérjük az ABC háromszög 6,5 -os szöggel szemközti befogóját, akkor a, cm-t kapunk. A keresett oldal hoszszát x-szel jelölve: x a, 7 =, innen x 7, 5 méter Segítségül bármilyen 6,5 -os derékszögű háromszöget hívhattunk volna, mert a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya a hasonlóság miatt állandó. Ezt a hányadost a hegyesszög szinuszának nevezzük, és jelen esetben 4 tizedesjegyre közelítő értéke 0, 446. A szöggel szemközti befogó, az átfogó és a hegyesszög között a szinusz szögfüggvény teremti meg a kapcsolatot. A 6,5 -os szög szinusza közelítőleg 0,446. Ez a szorzószám adja meg, hogy egy ehhez hasonló háromszögben az átfogót mennyivel kell megszorozni, hogy megkapjuk a szöggel szemközti x befogót: sin 6,5 =, ahonnan x = 7 sin 6,5 7, 59 méter. 7 Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa.

28 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0,446 0,894,86 sin 6,5 = = =, A szögek szögfüggvényeinek értékét legegyszerűbben zsebszámológép segítségével tudjuk meghatározni. Számológépet használunk akkor is, amikor azt kell meghatároznunk, hogy egy adott szögfüggvényértékhez mekkora szög tartozik. Jelenleg sokféle tudományos számológépet találunk a piacon. Leggyakoribbak a normál és a DAL típusúak. A normál típusúaknál előbb a számokat visszük be, majd a műveleteket választjuk ki a megfelelő gombokkal. A DAL típusú kalkulátoroknál a képleteket olyan módon visszük be a gépbe, ahogyan azt a papírra leírjuk (például kezel törteket, és a szorzásjelet sem kell bevinni, ha zárójeles kifejezést szorzunk). A DAL típusú számológépeknél a műveletet előre jelezzük: A normál típusúaknál a szögfüggvény értékét így határozzuk meg: Visszakereséshez ugyanezeket a billentyűket használjuk: a ndf vagy Shift billentyűvel elérhető második (sin - ) funkciójukat: DAL gépen:, normál típusú gépen: A szögek mértékegységei között a számológépen található DRG vagy RAD gombbal válthatunk. Amennyiben D üzemmódot jelöl a kijelző, a megadott adatokat a számológép foknak értelmezi. R esetében radiánnak, G esetén újfoknak.. A hegyesszögek koszinusza A szög szinusza a derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogót és az átfogót kapcsolja össze. Hasonlóan egy szög koszinusza összekapcsolja a szög melletti befogót az átfogóval.

29 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9 Az 57 méter magas pisai ferde torony árnyéka 5 méter délben. Ezekből az adatokból a koszinusz szögfüggvény segítségével kiszámíthatjuk, hogy mekkora szöget zár be a talajjal a torony. A szemléltetés kedvéért kicsit még jobban eldöntöttük a tornyot. cos α = 5 57 Zsebszámológép használata után α 85. Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és az átfogó hányadosa.. A hegyesszögek tangense és kotangense Egy permetező repülőgép olyan helyen áll, ahol gyorsítás után a fákig 8 méter szabad út áll rendelkezésre a felszálláshoz. A 8 méter alatt 0 méter magasra kell emelkednie. A pilótának felszálláskor az emelkedés szögét be kell állítania. Mekkora a kérdéses szög? A feladatban a derékszögű háromszög két befogója és a hegyesszög közötti kapcsolatot a tangens szögfüggvény 0 teremti meg: tg α =, ahonnan α 7, 04. Ha a befogók arányát fordítva írjuk fel, a szög kotangensét kap- 8 juk.

30 0 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti és az α melletti befogó hányadosa. Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti és az α szöggel szemközti befogó hányadosa. Összefoglalva: a hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói derékszögű háromszögben: szöggel szemközti befogó sinα = átfogó a = c szög mellettibefogó b cosα = = átfogó c tgα = szöggel szemközti befogó szög melletti befogó a = b ctgα = szög melletti befogó szöggel szemközti befogó b = a Vizsgáljuk meg, hogyan változik a szög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense a szög változásával!

31 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI szög szinusza szög koszinusza szög szög szög tangense szög kotangense szög szög A szögfüggvények értékeit általában négy tizedesjegyre kerekítjük (mert az ezred nagyságrendű eltérés fok nagyságrendű szögeltérést eredményezhet), a fokokban megadott szögeket egy tizedesjegyre. Régebben szinusz- és koszinusztáblázatokból határozták meg a szögfüggvények értékét (a függvénytáblázatban is találunk ilyen jellegű táblázatokat), ma számológépet (kalkulátort) használunk. Vegyük észre, hogy a szögfüggvényértékeknek nincs mértékegysége, hiszen két távolság hányadosaként értelmeztük azokat. Mintapélda 4 Határozzuk meg zsebszámológéppel 5 szögfüggvényeit! Megoldás: Egyes számológépeken nem kell átváltani a -et fokká, külön billentyű található a fokperces adatbevitelre (DMS vagy jelzéssel). Akinek nem ilyen a számológépe, előtte át kell váltani a -et fokká: ' = = 0,, és 5, -ot kell beütnie a gépbe. 60

32 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A számológép kiadja az eredményt: 0, Kerekítve 4 tizedesjegyre: sin 5 ' = 0, 790. Hasonlóan, a többi szögfüggvényérték: cos 5 ' = 0, 69 ; tg 5 ' =, 89. A számológépen nincsen gomb, amivel ki tudnánk számolni ctg 5 ' értékét. A definíciókból azonban kiderül, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka, ezért ctg 5 ' = = 0,7757. tg 5 ' Megjegyzések: DAL típusú számológépeken a művelet nyomógombja után a számok begépelése és az egyenlőségjel használata adja a szöget. Amennyiben a szöget ívmértékben (radiánban) adják meg, a RAD billentyűvel állíthatjuk át a számológépet ívmértékre. Mintapélda 5 Az emelkedő előtti közlekedési táblára %-ot írtak. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes irányú haladáshoz képest a lejtő emelkedése %. Hány fokos a lejtő emelkedési szöge? Megoldás: Az adatok felhasználásával vázlatot készítünk. Kérdés:α nagysága. A megadott oldalak és α között a kapcsolatot a tangens 0, x szögfüggvény teremti meg: tg α = = 0,. x Visszakeresve: a szög 6,848, kerekítve 6,8. Mintapélda 6 A négyzet alapú Nagy Piramis magassága 46 méter, alapjának hossza 0 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok a talajjal?

33 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Megoldás: A vázlat mutatja az alaplap és az oldallap szögét és azt a derékszögű háromszöget, amelynek segítségével a keresett szög kiszámítható. A két befogót a tangens szögfüggvény kapcsolja össze: tg α = α 5, Feladatok 4. Határozd meg a következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével! Figyelj a helyes kerekítésre! a) 0 ; b) 0 ; c) 45 ; d) 70 ; e) 0 ; f) 60 g) 8,6 ; h) 67,54 ; i) 6 ; j) Mekkora az ismeretlen hegyesszög, ha a) sin α = 0, 4 ; b) sin α = 0, 40 ; c) cos α = 0, 680 ; d) cos α = 0, 087 ; e) tg α = 0, 89; f) tg α =, 445 ; g) ctg α = 0, 45; h) ctg α =, Igaz-e, hogy egy hegyesszög szinusza és koszinusza mindig -nél kisebb szám? Indokold a választ! Elmondható-e ugyanez a hegyesszögek tangensére és kotangensére? 46. Adott a derékszögű háromszög két befogója: a = 4, cm, b = 5, 4 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 47. A derékszögű háromszög 6 cm-es befogóján -os szög nyugszik. Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? 48. Derékszögű háromszög 4 centiméteres magassága az átfogóból egy centiméteres szakaszt vág le. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 49. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 8 cm, a rajta fekvő szögek 45 -osak, a szárak hossza 5 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe?

34 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 50. a) Egy lejtő hossza méter, hajlásszöge 7 5. Milyen magasra visz a lejtő? b) Egy lejtő hossza a, hajlásszögeα. Milyen magasra visz a lejtő? 5. Egyenlőszárú háromszög alapja 0 cm, az alaphoz tartozó magasság szintén 0 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 5. Mekkora a faltól a tető gerincéig tartó tetőgerendák hossza, ha az egyenlőszárú háromszög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és a gerendák hajlásszöge a vízszinteshez képest 5? 5. Egyenlőszárú háromszögben a szárak hajlásszöge 70, az alap 0,8 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? 54. Egy létra lábainak távolsága a talajon 86 cm, és 5 -ig hajtottuk szét a lábait. Hány fokú a létra, ha a fokok 45 cm-enként követik egymást? Milyen magasan van a teteje a talajtól, ha szétnyitják? 55. Egy téglalap oldalai 0 cm és 5 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldalak az átlóval? 56. Az Eiffel-torony aljának középpontjától 50 méterre áll egy autó. Mekkora szögben látszik a torony emeleteiről, ha az emeletek 54 m, 5 m és 74 m magasan találhatók? 57. Egy forgáskúp alapkörének sugara 0 cm, testmagassága 5 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? (A nyílásszög a kúp csúcsánál található, szemközti alkotók által bezárt szög.) 58. Egy inka piramisról tudjuk, hogy alapja egy 0 m, illetve 50 m oldalhosszúságú téglalap, magassága 8 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?

35 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI Mekkora szögben látszik és egy 7 cm-es húr az 5 cm sugarú kör középpontjából? Milyen távolságra van ez a húr a kör középpontjától? 60. Mekkora szögben látszik egy 0 cm-es húr a 8 cm sugarú kör középpontjából? Milyen távolságra van ez a húr a kör középpontjától? Mennyi a körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? 6. Egy rombusz egyik átlója 0, cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei? 6. Egy rombusz átlói 6 cm és,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei? 6. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 0 cm, szárai 5 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szögei? 64. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 0 cm, szárai 8 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szögei? 65. Egy trapéz hosszabbik alapja cm, az ezen fekvő szögek és 44 -osak. A 44 -os szög melletti szár hossza 6 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe? 66. Az AD oszlop teteje a talajon az A-tól 6 méterre levő B pontból 45 -os szögben látszik. Az AB irányban addig távolodunk az oszloptól a talajon, amíg azt 0 -os szögben nem látjuk. Milyen messze vagyunk az oszloptól? 67. Határozd meg a háromszög területét, ha két oldala 7 cm és 0 cm, a köztük levő szög 8 -os! 68. Mekkora szöget zár be a két belső, illetve a két külső érintő egymással annál a két körnél, amelyek sugara 8 cm és cm, és középpontjaik távolsága 6 cm?

36 6 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 69. Mekkora szöget zár be a két belső, illetve a két külső érintő egymással annál a két körnél, amelyek sugara 8 cm és cm, és középpontjaik távolsága 0 cm? 70. A szánkó 70 centiméteres kötelét a földtől cm magasságban rögzítették a szánkóhoz, és a kötél végét a földtől,0 méter magasan húzzuk, 0 N erővel. Mekkora a húzóerő vízszintes és függőleges komponense? 7. A földtől 50 cm magasan lóg egy m hosszú láncra erősített hinta. Milyen magasan van a hinta a földtől akkor, amikor a lánca a függőlegessel 8 -ot zár be? 7. Egy 76 nyílásszögű spotlámpát egy gerendára rögzítettek 60 cm magasan, és pontosan függőlegesen lefelé irányítottak. Mekkora a padlón megvilágított terület? 7. Egy félgömb alakú domb szélétől 6 méterre a domb a vízszintes talajhoz képest 7 -os szögben látszik. Milyen magas a domb? 74. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyhez a körtől 5 cm távolságra levő külső pontból húzható érintők hajlásszöge 46?

37 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 7 Vegyes feladatok 75. A dolgokat sokszor nem ábrázolhatjuk az eredeti nagyságukban (például nem rajzolhatjuk le eredeti méreteiben az Eiffel-tornyot vagy egy vírust), ezért nagyítani-kicsinyíteni kell azokat lehetőleg úgy, hogy a kapott kép valahogyan megfeleljen az eredeti tárgynak. Nem biztos, hogy mindig az alakhűség a legfontosabb szempont. a) Melyik térkép lehet mérethű, melyik mutatja legjobban a távolságok, illetve a területek arányát? b) Gyűjtsetek olyan helyzeteket különböző alkalmazási területekről, amelyekben az egyes térképeket használnátok! 76. Nagyítsd,5-szeresére az egyenest és a kört tartalmazó alakzatot a P pontból! a) b)

38 8 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 77. Szerkeszd meg az ABC háromszög S súlypontját, és nagyítsd abból a háromszöget -szeresére, majd a kapott háromszöget tükrözd a súlypontjára! A keletkező háromszögnek milyen vonalai lesznek az ABC háromszög súlyvonalainak egyenesei, és milyen pontjai az A, B, C pontok? 78. Ábrázold és kösd össze a koordináta-rendszerben a következő pontokat: A( 6; 4), B( 4; ), C( ; 4), D( 4; 7)! a) Készítsd el a négyszög hasonló képét úgy, hogy az AB oldal képe az A B legyen, ha A (; ), D (7; ). b) Számítsd ki a megfelelő oldalak arányát! c) Az A, B és C pontok, illetve az A, B és C pontok meghatároznak egy-egy háromszöget. Rajzold meg a magasságokat, végezz méréseket, és határozd meg a két magasság arányát! 79. Rajzold meg azt a háromszöget, melynek csúcsai: A( 4; 5), B( 7; 4), C(8; )! Készítsd el a háromszög hasonló képét úgy, hogy az AB oldal képe az A B, és A (9; 4), B (5; 6) legyen! Számítsd ki a hasonlóság arányát is! 80. Rajzolj a füzetedbe egy 6 cm oldalú négyzetet, és valahol a belsejében vegyél fel egy O pontot! Kicsinyítsd a négyzetet az O pontból a felére! 8. Szerkessz rombuszt, melynek oldala 7 cm, és egyik szöge 60 -os! a) Kicsinyítsd a rombuszt az egyik csúcsából negyedére!

39 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 9 b) Kicsinyítsd az előző csúcsából 4 -ére! 8. Szerkessz paralelogrammát, melynek oldalai cm és 4 cm, és egyik szöge 0 -os! Nagyítsd az egyik csúcsából -szorosra! 8. Szerkessz deltoidot, melynek szimmetriaátlója 0 cm, és oldalai 5 és 7 cm-esek! Kicsinyítsd az átlói metszéspontjából felére! 84. Az ABC háromszög oldalfelező pontjai P, Q és R. Milyen hasonló háromszögeket találunk az ábrán? A hasonlóságnak melyik alapesete teljesül? 85. P és R harmadoló pontok. Igazold, hogy ABC ~ PBR! 86. Egy trapéz két alapja és 5 cm. a) Az átlókat berajzolva az alapoknál két háromszög keletkezik. Miért hasonló ez a két háromszög? b) A két háromszög hasonlóságát felhasználva válaszolj a következő kérdésre: Milyen hosszúságú szakaszokra osztják egymást az átlók, ha azok hossza 8 és cm? 87. Mekkorák a trapéz szárainak meghosszabbításával kapott kiegészítő háromszög oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik alappal kezdve rendre a) 0 cm, 6 cm, cm, 4 cm; b) cm, 5,4 cm, 6 cm,,5 cm? 88. Egy piramis magasságát úgy határozzuk meg, hogy segítségül hívjuk társunkat: a piramis és közöttünk oda állítjuk, ahol a sisakja legfelső pontja éppen egyvonalban látszik a piramis tetejével. A piramis tőlünk,4 km távolságban van, a társunk 5,5 méterre. A szemünk 6 cm magasan, társunk sisakjának legfelső pontja 9 cm magasan van a talaj fölött. Milyen magas a piramis? 89. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 0 cm és 4 cm, szárai 7 cm hosszúak?

40 40 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 90. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 4 cm és 8 cm, szárai 5 cm hosszúak? 9. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha oldalának hossza a) 8 cm; b),8 cm? 9. Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha A ( 5;), B(;5), C(; 4)! 9. Akadálymentesítéshez egy lépcsőre rámpát terveznek. A lépcsők magassága 0 cm, hosszuk 0 cm, és 5 lépcső visz fel a járdáról a bejárathoz (a 6. a bejárat szintje). Milyen hosszú legyen a rámpa? Mekkora szöget zár be a járdával? 94. Az Eiffel-torony magassága 6 m, kilengése a legnagyobb szélben sem haladja meg a cm-t. Mekkora a torony tetejének a függőlegessel bezárt szöge, ha a kilengés cm? 95. Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a 8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki? 96. Egy 0 cm sugarú kör húrja a középponttól 5 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz tartozó középponti szöget! 97. Mekkora annak a cm oldalhosszúságú szabályos sokszögnek a területe, amelynek oldalszáma a) 5; b) 8; c)?

41 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 4 Ajánlott szakmai jellegű feladatok Hasonlóság. Mekkora az alábbi transzformátorlemezek valódi mérete, ha a tervrajz és a valós méret aránya: :? Mekkora a lemezek kerülete és területe? a) b). Az ábrán látható alátétlemez rajza és a valódi méretének aránya: :. Mekkora az alátétlemez valódi mérete? Mekkora a kerülete és területe?

42 4 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. A tervrajz egy családi ház alaprajza. Mekkora a ház és az egyes helyiségek alapterülete, ha a tervrajz méretaránya : 0? 4. Egy m széles út két oldalán, egymással szemközt két kertes ház áll. A házak a kertben az úttesttől, 6 6 méterre állnak. Mind a két kertet az úttesttől,5 m magas kerítés választja el. Az egyik ház gazdája azt szeretné, hogy szemközti szomszédja a m magasan végződő ablakából ne lásson be az ő alagsori ablakán, amelynek felső vége,5 m magasan van. Hány cm-rel emelje meg a kerítését? 5. Egy egyenlőszárú derékszögű háromszög alakú ablakra, melynek befogói 45 cm-esek, rácsot szerelnek, az ábrán látható módon. Hány méter acélrúd szükséges a rács elkészítéséhez? (A rács kerete is ugyanolyan acélrúdból van, mint a rács többi része.)

43 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 4 6. Egy szimmetrikus trapéz alakú tetősíkot palával fednek be. Az ereszvonal m, a tetőgerinc 6 m hosszú, a tetősík magassága 4 m. A palákat a trapéz alapjaival párhuzamos lécekre szögelik. A tetőgerinc és az eresztartó közt, egyenlő távolságra, 9 lécet helyeznek el. Milyen hosszú a legalsó és a legfelső léc? 7. Az alábbi rajzon fémlemezek tervrajzát látjuk. Szerkesszük meg a lemezek valódi méret szerinti sablonját az adott arányok szerint! a) : b) : c) : d) :

44 44 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Szögfüggvények 8. Egy lámpa felszereléséhez egy derékszögben meghajlított vaspántot használnak. A pánt egyik része a falra simul, a másik, 56 cm hosszú részt, amelyre a lámpát függesztik, az eredeti derékszögből tovább hajlítják, hogy a lámpa a faltól 40 cm távol legyen. Hány fokos hajlásszöge lesz így a vaspántnak? 9. Az ábrán látható kovácsoltvas fali virágtartón elfér-e egy olyan virágcserép, amelynek legnagyobb átmérője 0 cm? 0. Egy daru tartórúdját függőleges falon, a talajtól m magasan rögzítették. A daru csúcsa, legmagasabb állásban, 4 m magasan van a talajtól, és 6 o -os szöget zár be a függőleges fallal. Hány m-re hajlik el a daru a faltól, amelyhez rögzítették?

45 4. modul: A HASONLÓSÁG ALKALMAZÁSAI 45. Egy téglalap alakú vasajtóra két átlós merevítőt tesznek. Az ajtó,8 m magas és,5 m széles. Hány fokos szöget zárnak be a merevítők egymással?. Egy egyenlőszárú trapéz alakú fedéllemez alapjai 50 és 70 cm hosszúak. A szárak a rövidebbik alappal 0 o -os belső szöget zárnak be. Mekkora a lemez területe?. Milyen magasra ér fel a fogaskerekű vasút egy 500 m-es útszakasz megtételével, ha a pálya emelkedési szöge 7,5 o? 4. Egy M8-as csavar átmérője 7, mm. A menetemelkedés 0,98 mm. Mekkora a menetemelkedés szöge? 5. Egy csavar menetemelkedése mm, és menetemelkedési szöge o. A csavaron 5 menet van. Mennyi a csavar átmérője, és milyen hosszú a csavarmenet? 6. A viharban egy gyaloghíd megrongálódott, ezért a híd szárazföldön lévő pilléreit megtámasztották. A támasztógerenda egyik talajon lévő vége a pillértől,5 m távol van, és o -os szöget zár be a vízszintes talajszinttel. Milyen hosszú egy ilyen gerenda? 7. Egy 4 km hosszú csatorna lejtési szöge 0,98 o -os. A szennyvízgyűjtő tengerszint feletti magassága 8 m. Milyen magasról indul a csatorna? 8. Egy kémény magasságát kívánjuk meghatározni, ami tőlünk m-re van, sík területen. A kémény tetejét egy,5 m magas állványon lévő mérőműszerrel 0,59 o -os szögben látjuk. Milyen magas a kémény? 9. Egy egyenlőszárú trapéz keresztmetszetű vízelvezető betonárkot építenek. Az árok alja 60 cm széles. Az m magas oldalfalak 0 o -os szöget alkotnak az árok aljával. Milyen mély az árok?

46 46 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Egy családi ház garázsába, melynek padlózata m-rel a talajszint alatt van,,8 m széles lehajtót építenek, amely a garázs szintjével o -os szöget zár be. A lehajtót 0 cm oldalú, négyzet alakú csúszásgátló lapokkal borítják. Hány lap szükséges a lehajtó borításához?. Egy szék ülőkéje egyenlőszárú trapéz alakú. A párhuzamos oldalak hossza 4 cm és 46 cm. A szárak 87 o -os szöget zárnak be a 46 cm-es oldallal. Mekkora szegőfóliával lehet az ülőkéket bekeretezni?. Egy szobor talapzatának keresztmetszete szabályos ötszög alakú. Az ötszög oldalai 6 cm hosszúak. Mekkora a keresztmetszet területe?. Egy kör keresztmetszetű acélhengerből szabályos hétszög keresztmetszetű idomot reszelnek. A hétszög oldalai 8 mm hosszúak. Mekkora volt az acélhenger átmérője? 4. Egy falra szerelhető asztalt készítenek. Levágnak egy 90 cm átmérőjű körlapból egy körszeletet úgy, hogy az asztalnak a faltól való legtávolabbi pontja 0 cm legyen. Hány m az asztallap területe? 5. Egy textilüzem fonodájában a levegő páratartalmát adott értéken kell tartani, ezért párásító készüléket szerelnek fel. A készülék egy acélsodrony közepén függ, és súlya 86 N. A kötélszárak 56 o -os szöget zárnak be egymással. Mekkora erő ébred az egyes kötélszárakban? 6. Egy csőbilincsre a két csőszár 80 N és 0 N húzóerőt gyakorol. Mekkora a csőbilincsre ható eredő erő, ha a két csőszár egymással 60 o -os szöget zár be? Hány fokos szöget zár be az eredő erő iránya az egyes csőszárakkal? 7. Egy vízirakományt a kikötőnek kialakított csatorna két oldalán rögzített csörlőkkel vontatnak ki. Az egyik csörlő 5600 N, a másik 6500 N erővel húzza a rakományt. A két vontatókötél 68 o -os szöget zár be egymással. Mekkora a rakományt húzó eredő erő? 8. Egy 500 N súlyú hordót kívánunk egy 6 o -os lejtőn felgurítani. Mekkora erő kell ehhez? (A súrlódást nem vesszük figyelembe.)

47 5. MODUL hatványozás, oszthatóság, normálalak Készítette: Csákvári Ágnes

48 48 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Pozitív egész kitevőjű hatvány (Ismétlő anyag) Korábban már találkoztunk a hatványozás műveletével, például a Pitagorasz-tétel kapcsán, vagy a négyzet területének, kocka felszínének, térfogatának kiszámításakor. Elevenítsük fel ismereteinket! Hatványozáskor egy tetszőleges számot szorzunk meg önmagával. Egy 5 cm oldalú négyzet területe: 5 5 = 5 (cm ). Egy cm élű kocka térfogata: = 4 (cm ) A megoldást mindkét esetben azonos tényezőkből álló szorzat adja. Ezt a műveletet hatványozásnak nevezzük, az azonos tényezőkből álló szorzat a hatvány. Az azonos tényező (az 5, illetve a 4) a hatvány alapja. A tényezők száma a kitevő (itt, illetve ). Az 5 és 4 alakban felírt szorzat a hatvány. Általánosan megfogalmazva: a n (ahol a tetszőleges valós szám és n pozitív egész) olyan n tényezős szorzatot jelent, amelynek minden tényezője a. a n -t hatványnak nevezzük, melyben a a hatványalap és n a hatványkitevő. A műveletet hatványozásnak nevezzük. Minden szám első hatványa önmaga, azaz a = a (az kitevőt nem szoktuk kiírni). Szorzat hatványozása: ( 7) = 4 = 744; 7 = 8 4 = Hányados hatványozása: = 0,8 = 0, 64 ; = = 0, Azonos alapú hatványok szorzata: = 7 9 = 4; + = 5 = 4. Azonos alapú hatványok hányadosa: = = 5, = 5 = 5. Hatvány hatványa: ( ) 8 = 64 = ; = 6 = 64.

49 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 49 Általánosan megfogalmazva: A hatványozás azonosságai Az alap minden esetben tetszőleges valós szám, a kitevők pozitív egész számok.. (a b) n = a n b n n n a a. =, b 0 n b b. a n a m = a n+m n a nm 4. = a, a 0 és n > m m a n n k 5. ( a ) a k = FONTOS! Összeget és különbséget úgy hatványozunk, hogy a hatvány definíciója alapján szorzótényezőkre bontjuk a hatványt, majd minden tagot minden taggal megszorzunk. Például Mintapélda ( a b) = ( a + b)( a + b) = a + ab + b +. Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, illetve a definícióját! a) (5 8) ; b) ; c) ; d) ; ; f) ( + 4) e) ( ) Megoldás: a ; g) a) (5 8) = ; b) = ; c) = 7 +5 = 7 7 ; d) 8 = 8 = 5 6 ; e) ( ) = = ; f) ( a + 4) = ( a + 4) ( a + 4) ( a + 4) = ( a + 8a + 6) ( a + 4) = = a + 4a + 8a + a + 6a + 64 = a + a + 48a + 64 ; 4 g) = ( + ) = +.

50 50 MATEMATIKA A 0. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Hatványozás számológéppel Mielőtt rátérünk a feladatok megoldására, megnézzük, hogyan tudunk magasabb hatványokat számolni számológéppel. Megjegyzés: Érdemes megnézni és gyakorolni az egyes gépeken a hatványozást. Például a hatványozás jele szokott lenni a zsebszámológép gombján ez a felfelé mutató ék-forma: ^. A következő leírás a legtöbb számológépre érvényes, de előfordulhat, hogy a műveleti sorrend eltér, vagy nincs külön x y hatvány gomb, hanem nd vagy SHIFT funkcióval érhetjük el úgy, hogy először megnyomjuk a nd vagy SHIFT gombot, és utána azt a gombot, amelyik felett található x y. Számoljuk ki a 7 hatvány értékét! Megoldás: Begépeljük a 7-et, majd lenyomjuk az 89 gombot. A kijelzőn megjelenik az eredmény: Most számoljuk ki 5 értékét! Megoldás: Először megadjuk a hatványalapot, ami most, majd lenyomjuk az gombot. Végül megadjuk a hatványkitevőt, ami most 5. A kijelzőn megjelenik az eredmény: 4. Feladatok. Számítsd ki számológép segítségével a következő hatványok értékét! a) ; b) 4 ; c) 0 5 ; d) 5 ; e) 00 ; f) 0, ; g) ( ) ; h) ( ) ; i) ( ) ; j) ( ) 4 ; k),4 ; l) 0,5.

51 5. modul: HATVÁNYOZÁS, OSZTHATÓSÁG, NORMÁLALAK 5. A hatványozás azonosságainak segítségével bontsd fel a zárójelet, majd számold ki számológép segítségével a kifejezések értékét! a) (4 ) ; b) (5 ) ; c) ( 7) ; d) ( 9) ; e) 7 ; f) ; g) ; h) Alkalmazd a hatványozás azonosságait, majd számold ki számológép segítségével a kifejezések értékét! a) ; b) 5 4 ; c) ( ) ( ) ; d) 5 ( ) ; 5 e) ; f) ; 0 ( ) g) ( 6) ; h) (0) Alkalmazd a hatványozás azonosságait, majd számold ki számológép segítségével a kifejezések értékét! a) ; b) ; c) ( 0,) 5, ( 0,) ; d), ; 0 ; f) ( ) e) 8 0 [ ] ; g) ( ) ; h) 0.