Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)"

Átírás

1 Megoldások 1. Határozd meg az e: 3x 2y = 5 egyenes egy normálvektorát, egy irányvektorát, iránytangensét és irányszögét! Az e egyenes egy normálvektora leolvasható az egyenletéből: n e (3; 2). Ekkor az e egyenes egy irányvektora: v e (2; 3). Ezek alapján az e egyenes iránytangense: m = tg α = v 2 v 1 = 3 2. Ebből adódik, hogy az e egyenes irányszöge: tg α = 3 2 α 56,3. 2. Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (3; 8) ponton és normálvektora n e (2; 5)! Írjuk fel a normálvektoros egyenletet: 2x 5y = ( 8) 2x 5y = Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az A ( 1; 2) ponton és irányvektora v e (4; 5)! Írjuk fel az irányvektoros egyenletet: 5x 4y = 5 ( 1) 4 2 5x 4y = 13 Másik módszer: Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (5; 4). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 5x 4y = 5 ( 1) + ( 4) 2 5x 4y = Határozd meg az e: 5x 7y = 11 egyenes tengelyekkel vett metszéspontjait! Alakítsuk át az e egyenes egyenletét úgy, hogy a tengelymetszetes alakot kapjuk: 5 x 7 y = 1 x 11 y 11 = Ezek alapján az x - tengelyt a P ( ; 0), az y - tengelyt pedig a Q (0; ) pontban metszi

2 5. Írd fel a P 0 (0; 7) pontra illeszkedő egyenes egyenletét, ha irányszöge 60! Először számítsuk ki az egyenes iránytangensét: m = tg 60 = 3. Az egyenes az y tengelyt a 7 ben metszi. Ezek alapján az egyenes iránytényezős egyenlete: y = 3 x Írd fel az e: x = 3 egyenes iránytangenses egyenletét! Az e egyenes egy normálvektora: n e (1; 0). Az egyenes iránytangense: m = 1 0. Mivel a 0 val való osztást nem értelmezzük, így az egyenlet nem adható meg a kívánt alakban. 7. Határozd meg az e egyenes iránytényezős alakját, ha átmegy a P (2; 3) ponton és meredeksége m = 1 2! Írjuk fel az e egyenes iránytangenses alakját: y 3 = 1 (x 2). 2 Ezek alapján átrendezéssel megkapjuk az e egyenes iránytényezős alakját: y = 1 x Illeszkedik e a P 0 (2; 3) ponton átmenő, n (1; 5) normálvektorú egyenesre a P ( 3; 4) pont? Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét: x + 5y = x + 5y = 19. Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük be a P pont koordinátáit az egyenes egyenletébe: = Mivel ellentmondást kaptunk, így a P pont nem illeszkedik az egyenesre. 2

3 9. Határozd meg az A pont abszcisszáját, ha ordinátája 2 és a pont illeszkedik az e: 8x + y = 22 egyenesre! Az A pont koordinátákkal felírva: A (x; 2). Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük be az A pont y koordinátáját az e egyenes egyenletébe: 8x = 22. Ebből kapjuk, hogy x = 20 = 5, vagyis az e egyenesre illeszkedő A pont: A 8 2 (5 ; 2) Add meg az e: 3x + 5y = 15 egyenletű egyenesnek azt a P pontját, amelynek abszcisszája kétszer akkora, mint az ordinátája! A keresett P pont koordinátákkal felírva: P (2y; y). Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük be a P pont koordinátáit az e egyenes egyenletébe: 3 2y + 5y = 15. Ebből azt kapjuk, hogy y = 15 30, amiből a visszahelyettesítés után adódik, hogy x = Ezek alapján az e egyenesre illeszkedő P pont: P ( ; ). 11. Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a P (1; 3) és Q ( 5; 9) pontokra! Az egyenes egyenletéhez kell egy pontja és egy normálvektora (vagy irányvektora). Legyen az e egyenes egy pontja: P (1; 3). A PQ vektor illeszkedik az e egyenesre, így annak egy irányvektora: PQ ( 6; 6) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (6; 6) n e (1; 1). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x + y = x + y = 4. 3

4 12. Határozd meg az a és a b paraméterek értékét, ha tudjuk, hogy a P (4; 6) és a Q ( 6; 21) pontok illeszkednek az ax + by = 4 egyenesre! Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Helyettesítsük a pontok koordinátáit az egyenes egyenletébe: 4a + 6b = 4 6a + 21b = 4 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 1 2 és b = Írd fel a P (2; 5) ponton átmenő, az e: x 2y = 7 egyenesre merőleges, illetve párhuzamos f egyenes egyenletét! Az f egyenes egy pontja: P (2; 5). Merőleges f esetén az e egyenes normálvektora az f egyenes irányvektora: n e (1; 2) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (2; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 2x + y = x + y = 9. Párhuzamos f esetén az e egyenes normálvektora az f normálvektora: n e (1; 2) = n f. Ezek alapján az f egyenes egyenlete: x 2y = ( 2) 5 x 2y = Az e egyenes áthalad az A (4; 3) és B (x; 6) pontokon, továbbá merőleges az f: 4x y 3 = 0 egyenletű egyenesre. Számítsd ki a B pont első koordinátáját! Írjuk fel az e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: A (4; 3). Az f egyenes normálvektora az e egyenes egy irányvektora: n f (4; 1) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (1; 4). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x + 4y = ( 3) x + 4y = 8. 4

5 Helyettesítsük a B pont y koordinátáját az e egyenes egyenletébe: x = 8. Ebből azt kapjuk, hogy x = 32, vagyis a B pont: B ( 32; 6). 15. Számítsd ki, hogy milyen helyzetűek egymáshoz viszonyítva a következő egyenesek! a) a: 2x + y = 5 és a b: 2x 2y = 6 b) c: 3x 5y = 1 és d: 3 x y = 4 5 c) e: 7x 2y = 4 és f: 14x 4y = 8 d) g: 6x y = 1 és h: x + y = 8 a) Az a egyenes normálvektora n a ( 2; 1), vagyis a meredeksége: m a = 2 = 2. 1 A b egyenes normálvektora n b ( 2; 2), vagyis a meredeksége: m b = 2 = Mivel m a m b = = 1, így a két egyenes merőleges egymásra. b) A c egyenes normálvektora n c (3; 5), vagyis a meredeksége: m c = 3 = A d egyenes normálvektora n d ( 3 3 ; 1), vagyis a meredeksége: m 5 5 d = = Mivel m c = m d, így a két egyenes párhuzamos. c) Az e egyenes normálvektora n e (7; 2), vagyis a meredeksége: m e = 7 = Az f egyenes normálvektora n f (14; 4), vagyis a meredeksége: m f = 14 = Mivel m e = m f, s az f egyenlet az e kétszerese, így a két egyenes párhuzamos és egybeesik. d) A g egyenes normálvektora n g (6; 1), vagyis a meredeksége: m g = 6 = 6. 1 A h egyenes normálvektora n h ( 1; 1), vagyis a meredeksége: m h = 1 = 1. 1 Mivel m g m h és m g m h 1, így a két egyenes metsző, de nem merőleges. 5

6 16. Add meg az e: 3x y = 2 egyenesre merőleges, illetve azzal párhuzamos f egyenes iránytangensét (meredekségét)! Az e egyenes egy normálvektora n e (3; 1), amiből az iránytangense: m e = 3 = 3. 1 Ha a két egyenes merőleges, akkor felírhatjuk a következőt: m e = 1 m f, vagy m e m f = 1. Ezek alapján az f egyenes iránytangense: m f = 1 3. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor felírhatjuk a következőt: m e = m f. Ezek alapján az f egyenes iránytangense: m f = Az a paraméter mely értéke esetén lesznek az e: x + ay = 18 és az f: ax + 4y = 7 egyenletű egyenesek egymással párhuzamosak? Az e egyenes egy normálvektora n e (1; a), vagyis az iránytangense: m e = 1. a Az f egyenes egy normálvektora n f (a; 4), vagyis az iránytangense: m f = a. 4 Mivel a két egyenes párhuzamos, így felírhatjuk a következőt: 1 a = a 4. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 2 és a 2 = A p paraméter mely értéke esetén lesznek az e: px 2y = 5 és az f: px + 8y = 10 egyenletű egyenesek egymásra merőlegesek? Az e egyenes egy normálvektora n e (p; 2), vagyis az iránytangense: m e = p = p. 2 2 Az f egyenes egy normálvektora n f (p; 8), vagyis az iránytangense: m f = p. 8 Mivel a két egyenes merőleges, így felírhatjuk a következőt: p 2 ( p 8 ) = 1. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy p 1 = 4 és p 2 = 4. 6

7 19. Határozd meg, hogy az e: ax 2y = 1 és f: 6x 4y = b egyenesek az a és b milyen értéke esetén esnek egybe / párhuzamosak, de nem esnek egybe / metszik egymást! Két egyenes akkor esik egybe, ha az egyenletük egymásnak λ szorosa. Az y együtthatója alapján azt kapjuk, hogy λ = 4 = 2. Így adódik, hogy a = 6 = 3 és b = 1 2 = 2 esetén esnek 2 2 egybe az egyenesek. Két egyenes párhuzamos, ha normálvektoruk megegyezik, vagyis az egyenesek egyenletének bal oldala egymásnak λ - szorosa. Az előzőek alapján az a = 3, de a b értéke tetszőleges valós szám (b = 2 kivételével, mert akkor egybe esne a két egyenes). Két egyenes metsző, ha nem párhuzamosak, illetve nem is esnek egybe. Ezek alapján az a értéke tetszőleges valós szám (a = 3 kivételével, mert akkor párhuzamos a két egyenes), míg a b értéke ekkor már egy tetszőleges valós szám. 20. Írd fel a P (2; 11) ponton átmenő, az x tengellyel, illetve az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! Az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete: y = 11. Az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete: x = Határozd meg az a értékét úgy, hogy az e: (3a + 2) x + (1 4a) y = 8 és az f: (5a 2) x + (a + 4) y = 7 egyenesek merőlegesek / párhuzamosak legyenek! Az e egyenes normálvektora n e (3a + 2; 1 4a), amiből a meredeksége: m e = 3a a Az f egyenes normálvektora n f (5a 2; a + 4), amiből a meredeksége: m f = 5a 2. a + 4 A kifejezések értelmezési tartománya: 1 4a 0 és a + 4 0, vagyis a 1 és a 4. 4 Mivel a két egyenes merőleges, így felírhatjuk a következőt: ( 3a + 2 5a 2 ) ( ) = a a + 4 Rendezés után a következő adódik: 11a 2 11a = 0. Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 0 és a 2 = 1, s megfelelnek a feltételnek. 7

8 Mivel a két egyenes párhuzamos, így felírhatjuk a következőt: 3a a = 5a 2 a + 4. Rendezés után a következő adódik: 23a 2 + a + 10 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása. Ezek alapján nincs olyan a érték, melyre a két egyenes párhuzamos lenne egymással. 22. Az e egyenes egy irányvektora v e (1; 3) az f egyenes egy irányvektora v f ( 6; y). Számítsd ki y t, ha tudjuk, hogy e és f párhuzamosak, illetve merőlegesek! Ha a két egyenes párhuzamos, akkor felírhatjuk a következőt: v f = λ v e. A megfelelő koordináták segítségével számítsuk ki a λ értékét: λ 1 = 6 λ = 6. Ezek alapján a hiányzó koordináta értéke: y = ( 6) 3 = 18. Ha a két egyenes merőleges, akkor felírhatjuk a következőt: v e v f = 0. Írjuk fel a vektorok skaláris szorzatát a koordináták segítségével: 1 ( 6) + 3y = 0. Ezek alapján a hiányzó koordináta értéke: y = Számítsd ki az e: 2x + 3y = 1 és f: x 4y = 5 egyenesek metszéspontját! Írjuk fel a két egyenes egyenletét egyenletrendszerként: 2x + 3y = 1 x 4y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 1, vagyis a metszéspont: M ( 1; 1). 24. Számítsd ki a P (8; 5) pont távolságát az e: x + 2y = 8 egyenestől! Első módszer: Legyen az e egyenesre merőleges, P pontra illeszkedő egyenes f. 8

9 Írjuk fel az f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (8; 5). Az e egyenes egy normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e (1; 2) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (2; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 2x y = ( 1) 5 2x y = 11. Határozzuk meg az e és az fegyenes metszéspontját: x + 2y = 8 2x y = 11 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 6 és y = 1, vagyis a metszéspont koordinátái: M (6; 1). A keresett távolság a P és M pontok távolsága: PM = (6 8) 2 + (1 5) 2 = 20. Második módszer: Írjuk fel az e egyenes normálegyenletét: x + 2y = 0. Ezek alapján a P pont és az e egyenes távolsága: d(p; e) = = 10 5 = Számítsd ki az e: 3x + 2y = 12 és f: 3x + 2y = 6 egyenesek távolságát! Első módszer: Legyen az e és f egyenesre merőleges egyenes g, amely illeszkedik egy tetszőlegesen választott P pontra. Legyen a választott pont az origó. Írjuk fel a g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: P (0; 0). Az e egyenes normálvektora a g egyenes egy irányvektora: n e (3; 2) = v g. Az g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g (2; 3). Ezek alapján az g egyenes egyenlete: 2x 3y = ( 3) 0 2x 3y = 0. 9

10 Határozzuk meg az e és a g egyenes metszéspontját: 3x + 2y = 12 2x 3y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = és y = 24 13, vagyis a metszéspont: M 1 ( ; ). Határozzuk meg az f és a g egyenes metszéspontját: 3x + 2y = 6 2x 3y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = és y = 12 13, vagyis a metszéspont: M 2 ( ; ). A keresett távolság a két metszéspont távolsága: M 1 M 2 = ( )2 + ( )2 5. Második módszer: Legyen az f egyenes egy tetszőleges pontja: P ( 2; 0). Írjuk fel az e egyenes normálegyenletét: 3x + 2y = 0. Ezek alapján a P pont és az e egyenes távolsága: d(p; e) = 3 ( 2) = Számítsd ki az e: 2x 3y = 6 és az f: 4x + y = 8 egyenesek hajlásszögét! Az e egyenes egy normálvektora n e (2; 3), amiből egy irányvektora: v e (3; 2). Az f egyenes egy normálvektora n f (4; 1), amiből egy irányvektora: v f (1; 4). Számítsuk ki a két irányvektor által bezárt szöget a skaláris szorzat segítségével: cos φ = ( 4) ( 4) 2 = φ 109,6 Ezek alapján az egyenesek hajlásszöge: ,6 = 70,4. 10

11 27. Határozd meg az e: x + 3y = 20 egyenletű egyenesnek azt a pontját, amely egyenlő távolságra van az A ( 4; 5) és B (3; 2) pontoktól! A két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a szakasz felezőmerőlegese. Írjuk fel az f felezőmerőleges egyenletét: Az f egy pontja: F AB ( 1 2 ; 7 2 ). Az AB vektor az f egy normálvektora: AB (7; 3) = n f. Ezek alapján az f egyenlete: 7x 3y = 7 ( 1 2 ) x 3y = 14. A keresett pont illeszkedik az e és az f egyenesre is. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: x + 3y = 20 7x 3y = 14 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 7, vagyis a keresett pont: M (1; 7). 28. Egy egyenesre illeszkednek - e az A (7; 6), B (3; 4) és C(1; 9) pontok? Válasszunk ki tetszőlegesen két pontot, írjuk fel az ezeken átmenő egyenes egyenletét, majd vizsgáljuk meg, hogy erre illeszkedik - e a harmadik pont. Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: A (7; 6). Az AB vektor illeszkedik az e egyenesre, így annak egy irányvektora: AB ( 4; 10) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (10; 4) n e (5; 2). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 5x 2y = ( 2) 6 5y 2y = 23. A C pont koordinátáit helyettesítsük be az e egyenes egyenletébe: ( 9) = 23. Mivel azonosságot kapunk, így a három pont egy egyenesre esik. 11

12 29. Három egyenes közül az első áthalad az origón és irányvektora v (1; 1), a második tengelymetszetei 3 és 6 (az egyenes áthalad a (3; 0) és a (0; 6) koordinátájú pontokon), a harmadik egyenesre illeszkednek a P ( 5 ; 1 ) és a Q ( 1; 1) 2 2 koordinátájú pontok. Van e közös pontja a három egyenesnek? Határozzuk meg tetszőlegesen választott két egyenes metszéspontját, s vizsgáljuk meg ez illeszkedik e a harmadik egyenesre. Írjuk fel az első e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: P (0; 0). Az e egyenes egy irányvektora: v e (1; 1). Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (1; 1). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x y = 0. Írjuk fel a második f egyenes egyenletét: Az f egyenes tengelymetszetes alakja: x + y = 1 2x + y = Írjuk fel a harmadik g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: Q ( 1; 1). A PQ vektor a g egyenes egy irányvektora: v g ( 3 ; 1 ). 2 2 A g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g ( 1 ; 3 ) n 2 2 g (1; 3). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: x 3y = 1 ( 1) + ( 3) 1 x 3y = 4. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: x y = 0 2x + y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 2, vagyis a metszéspont: M (2; 2). Helyettesítsük az M pont koordinátáit a g egyenes egyenletébe: = 4. Mivel azonosságot kapunk, így az M (2; 2) pont illeszkedik mindhárom egyenesre. 12

13 30. Hogyan kell az m paraméter értékét megválasztani, hogy az e: mx y + 4 = 0 egyenletű egyenes áthaladjon az f: 2x y + 1 = 0 és a g: x y + 5 = 0 egyenletű egyenesek metszéspontján? Határozzuk meg az f és a g egyenes metszéspontját: 2x y = 1 x y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 és y = 9, vagyis a metszéspont: M (4; 9). Helyettesítsük az M pont koordinátáit az e egyenes egyenletébe: 4m = 0. Ezek alapján a megoldás: m = Add meg a P (3; 1) és Q ( 6; 5) ponton átmenő e egyenes, illetve a 2 meredekségű az y tengelyt 1 pontban metsző f egyenes iránytényezős alakját! Ábrázold közös koordináta rendszerben a grafikonjaikat! Írjuk fel az adott paraméterek alapján az f egyenes iránytényezős egyenletét: y = 2x 1. Az e egyenes esetében helyettesítsük az adott pontok koordinátáit az iránytényezős alakba: 1 = 3m + b 5 = 6m + b } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy m = 2 és b = 1. 3 Ezek alapján az e egyenes egyenlete: y = 2 x

14 32. Tükrözzük a P (3; 2) pontot az e: x + y + 8 = 0 egyenletű egyenesre. Számítsd ki a tükörkép koordinátáit! Rendezzük át az e egyenes egyenletét: x + y = 8. Írjuk fel a P ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (3; 2). Az e egyenes normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e (1; 1) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (1; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: x y = ( 1) 2 x y = 1. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x + y = 8 x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 7 2 és y = 9 2, vagyis a metszéspont: M ( 7 2 ; 9 2 ). Az M pont a PP szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a P koordinátáit: P ( 10; 11). 33. Add meg az A (1; 8) ponton átmenő e egyenes egyenletét, amely egyenlő távolságra van a P ( 3; 5) és Q (9; 1) pontoktól. Mennyi megoldás van? A feladatnak két megoldása van. Az első párhuzamos a P és Q pontokra illeszkedő egyenessel, a második pedig áthalad a PQ szakasz felezőpontján. Írjuk fel az első e 1 egyenes egyenletét: Az e 1 egyenes egy pontja: A (1; 8). A PQ vektor az e 1 egyenes egy irányvektora: PQ (12; 6) = v e. Az e 1 egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e1 (6; 12) n e1 (1; 2). Ezek alapján az e 1 egyenes egyenlete: x + 2y = x + 2y =

15 Írjuk fel a második e 2 egyenes egyenletét: Az e 2 egyenes egy pontja: F PQ (3; 2). Az AF vektor az e 2 egyenes egy irányvektora: AF (2; 6) = v f. Az e 2 egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e2 (6; 2) n e2 (3; 1). Ezek alapján az e 2 egyenes egyenlete: 3x + y = x + y = Milyen hosszúságú az e: y = 8 x 16 egyenletű egyenesnek az f: y = 2 x + 2 és a 3 3 g: y = 2 x 4 egyenletű egyenesek közé eső szakasza? 3 Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: y = 8 x 16 3 y = 2 x + 2 } 3 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 9 és y = 8, vagyis a metszéspont: M 1 (9; 8). Határozzuk meg az e és a g egyenes metszéspontját: y = 8 x 16 3 y = 2 x 4 } 3 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 6 és y = 0, vagyis a metszéspont: M 2 (6; 0). Ezek alapján a keresett szakasz hossza: M 1 M 2 = (6 9) 2 + (0 8) 2 = Adott az A (2; 9) és a B ( 3; 8) pont. Hol vannak azok a P (x; y) pontok a síkban, amelyekre teljesül az AP 2 BP 2 = 10 összefüggés? Írjuk fel az összefüggésnek megfelelő egyenletet: ( (x 2) 2 + (y 9) 2 ) 2 ( (x + 3) 2 + (y 8) 2 ) 2 = 10 Ezek alapján a megoldás egy egyenes, melynek egyenlete: 5x + y = 1. 15

16 36. Az e: y = x + 6 egyenletű egyenes melyik pontja van egyenlő távolságra az f: 3x 4y = 12 és a g: 3x 4y = 8 egyenletű egyenesektől? Az adott f és g egyenesek párhuzamosak, így a keresett pont illeszkedik a középpárhuzamosra. A két egyenes k középpárhuzamosának egyenlete: 3x 4y = 2. Határozzuk meg az e egyenes és a k középpárhuzamos metszéspontját: y = x + 6 3x 4y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = és y =, vagyis a keresett pont: P (22 ; 20 ) Az a mely értékére metszi egymást az e: ax y = 2 és az f: x ay = 3a 1 egyenletű egyenes az g: y = 2x egyenesen? Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját az a paraméter segítségével: ax y = 2 x ay = 3a 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5a + 1 és y = 3a2 + a + 2, ahol a ±1. a 2 1 a 2 1 Mivel a keresett metszéspont illeszkedik a harmadik egyenesre, így felírhatjuk a következőt: 3a 2 + a + 2 a 2 1 = 2 5a + 1 a 2 1. Rendezés után a következő adódik: 3a 2 9a = 0. Az egyenlet megoldása a 1 = 0 és a 2 = 3, s megfelelnek a feltételnek. 38. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (3; 4) ponton és a koordinátatengelyekből egyenlő szakaszokat vág le! A feladatnak három megoldása lehetséges, a meredekségtől függően. Ha m = 1, akkor az egyenes iránytangenses egyenlete: y 4 = x 3 x y = 1 16

17 Ha m = 1, akkor az egyenes iránytangenses egyenlete: y 4 = (x 3) x + y = 7 Ha átmegy az origón, akkor m = 4, vagyis az egyenlete: y 4 = 4 (x 3) 4x 3y = Írd fel azoknak az egyeneseknek az egyenletét, amelyek párhuzamosak az e: 2x 3y = 0 egyenletű egyenessel, és attól mért távolságuk 3 egység! Írjuk fel az e egyenes iránytényezős egyenletét: y = 2 3 x. Tekintsük a következő ábrát: A két háromszög egybevágó, így pitagorasz tétel segítségével számítsuk ki a b értékét: = b 2 b = ± 13. Ezek alapján a két párhuzamos egyenes egyenlete: y = 2 x + 13 és y = 2 x Határozd meg annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (5; 1) ponton és a P pont felezi az egyenesnek az f: x + 3y = 6 és a g: 2x y = 3 egyenletű egyenesek közé eső szakaszát! Legyen az e és f egyenesek metszéspontja M 1 (x 1 ; y 1 ), az e és g egyeneseké pedig M 2 (x 2 ; y 2 ). 17

18 Az adatok segítségével írjuk fel a következő egyenletrendszert: x 1 + 3y 1 = 6 2x 2 y 2 = 3 x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 = 5 = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 9; x 2 = 1; y 1 = 1 és y 2 = 1. Ezek alapján az egyenes illeszkedik az M 1 (9; 1) és M 2 (1; 1) pontokra, vagyis az egyenlete: y = Adott az A (4; 6) és a B (6; 2) pont. Keresd meg az ordinátatengelynek azt a P pontját, melyre az APB töröttvonal hossza a lehető legrövidebb lesz! A feladathoz használjuk fel a tengelyes tükrözés távolságtartó tulajdonságát, továbbá azt, hogy két pont között a legrövidebb út az egyenes. Tükrözzük a B (6; 2) pontot az y tengelyre: B ( 6; 2). Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: A (4; 6). Az AB vektor az e egyenes egy irányvektora: AB ( 10; 8) = ve v e (5; 4). Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (4; 5). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 4x 5y = x 5y = 14. Határozzuk meg az e egyenes és az y tengely metszéspontját: 4x 5y = 14 } x = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 0 és y = 14 14, vagyis a keresett pont: P (0; )

19 42. Írd fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P (3; 5) ponton és a tengelyek közé eső szakaszát a P pont felezi! Mennyi a P ponton átmenő egyenesek által a koordinátatengelyekkel bezárt területek minimális értéke? A feladathoz használjuk fel, hogy a háromszög középvonala párhuzamos a szemben fekvő oldallal és hossza annak a fele. Mivel a P pont az átfogó felezőpontja, így a befogók felezőpontja: F 1 (3; 0) és F 2 (0; 5). Az egyenes a tengelyekkel egy derékszögű háromszöget határoz meg, amely átfogóval szembeni csúcsa éppen az origó: C (0; 0). A felezőpontok segítségével számítsuk ki a hiányzó csúcsok koordinátáit: A (6; 0) és B (0; 10). Ezek alapján az e egyenes tengelymetszetes alakja: x 6 + y 10 = 1. Mivel a minimális területű derékszögű háromszög éppen a feladatnak megfelelő egyenessel keletkezik, így a háromszög területe: T = 6 10 = Egy egyenes egyenlete e: 2y x = 1. Az egyenesre nem illeszkedő két pont koordinátái: P (1; 4) és Q (5; 5). Keress az egyenesen olyan S pontot, hogy a PS egyenes ugyanakkora szöget zárjon be az adott egyenessel, mint a QS egyenes, de PS nem párhuzamos QS sel! Melyek az S pont koordinátái? A feladathoz használjuk fel a tengelyes tükrözés távolságtartó és szögtartó tulajdonságát. Tükrözzük a P pontot az e egyenesre. Írjuk fel a P ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (1; 4). Az e egyenes normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e ( 1; 2) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (2; 1). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 2x + y = x + y = 6. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: 2y x = 1 2x + y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 11 és y = 8, vagyis a metszéspont: M (11 ; 8 )

20 Az M pont a PP szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a P koordinátáit: P ( 17 5 ; 4 5 ). Írjuk fel a Q és P pontra illeszkedő g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: Q (5; 5). A QP vektor a g egyenes egy irányvektora: QP 8 ( ; 29 ) = v 5 5 g v g (8; 29). A g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g (29; 8). Ezek alapján a g egyenes egyenlete: 29x 8y = x 8y = 105 Határozzuk meg az e és a g egyenes metszéspontját: 2y x = 1 29x 8y = 105 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = és y =, vagyis a keresett pont: S (109 ; 67 ) Egy beeső fénysugár átmegy a P (3; 4) ponton és visszaverődik az e: 2x + y = 2 egyenesen. A visszaverődés után átmegy a Q (5; 2) ponton. Írd fel a visszaverődő fénysugár egyenletét! A feladathoz használjuk fel, hogy a visszavert fénysugár illeszkedik a P Q egyenesre. Tükrözzük a P pontot az e egyenesre. Írjuk fel a P ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét: Az f egyenes egy pontja: P (3; 4). Az e egyenes normálvektora az f egyenes egy irányvektora: n e (2; 1) = v f. Az f egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (1; 2). Ezek alapján az f egyenes egyenlete: x 2y = ( 2) 4 x 2y = 5. Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: 2x + y = 2 x 2y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 5 és y = 12 5, vagyis a metszéspont: M ( 1 5 ; 12 5 ). 20

21 Az M pont a PP szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a P koordinátáit: P ( 17 5 ; 4 5 ). Írjuk fel a Q és P pontonokra illeszkedő g egyenes egyenletét: A g egyenes egy pontja: Q (5; 2). A QP vektor a g egyenes egy irányvektora: QP 42 ( ; 6 ) = v 5 5 g v g (7; 1). A g egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n g (1; 7). Ezek alapján a g egyenes egyenlete: x 7y = x 7y = Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ( 4; 3) ponton és a koordinátatengelyekkel 25 egységnyi területű háromszöget zár be! Legyenek a keresett egyenes tengelymetszetei az A (a; 0) és B (0; b) pontok. Az egyenes a tengelyekkel egy derékszögű háromszöget határoz meg, amelynek befogói a és b hosszúságúak (a, b 0). Az adatok segítségével írjuk fel a következő egyenletrendszert: 4 a + 3 b = 1 a b 2 = 25 } Ezt megoldva a következő számpárok adódnak: (20; ), ( ; 15), ( 10; 5), ( ; 15 ) Ezek alapján a következő négy egyenes a megoldás: x + y = 1 x 10 + y = x 10 + y 5 = 1 x 20 + y 15 = Egy háromszög oldalegyenesei a: y = 1, b: x + y = 6 és c: 5x + 3y = 15. Számítsd ki a háromszög csúcsainak koordinátáit! A háromszög csúcsainak koordinátáit megkapjuk a megfelelő oldalak metszéspontjaként. 21

22 Határozzuk meg a b és a c egyenes metszéspontját: x + y = 6 5x + 3y = 15 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 8 és y = 45 8, vagyis a metszéspont: A (3 8 ; 45 8 ). Határozzuk meg az a és a c egyenes metszéspontját: y = 1 5x + 3y = 15 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 12 5 és y = 1, vagyis a metszéspont: B ( 12 5 ; 1). Határozzuk meg az a és a b egyenes metszéspontját: y = 1 x + y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 és y = 1, vagyis a metszéspont: C (5; 1). 47. Határozd meg a háromszög m a magasság talppontjának koordinátáit, ha csúcsai: A ( 2; 0); B (4; 0); C (0; 4)! Írjuk fel az a oldal egyenes egyenletét: Az a oldal egyenes egy pontja: B (4; 0). A BC vektor az a oldal egyenes egy irányvektora: BC ( 4; 4) = v a v a ( 1; 1) Az a oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (1; 1). Ezek alapján az a oldal egyenes egyenlete: x + y = x + y = 4 Írjuk fel az m a magasságvonal egyenletét: Az m a magasságvonal egy pontja: A ( 2; 0). A BC vektor az m a magasságvonal egy normálvektora: BC ( 4; 4) = n ma n ma (1; 1) Ezek alapján az m a magasságvonal egyenlete: x y = 1 ( 2) x y = 2 22

23 Határozzuk meg az a és az m a egyenes metszéspontját: x + y = 4 x y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 3, vagyis a keresett pont: M a (1; 3). 48. Bizonyítsd be, hogy az A ( 3; 0), B (5; 0) és C (3; 6) csúcsokkal megadott háromszög súlypontja, a körülírt kör középpontja és a magasságpontja egy egyenesen, az úgynevezett Euler - féle egyenesen van! Írjuk fel az m a magasságvonal egyenletét: Az m a magasságvonal egy pontja: A ( 3; 0). A BC vektor az m a magasságvonal egy normálvektora: BC ( 2; 6) = n ma. Ezek alapján az m a magasságvonal egyenlete: 2x + 6y = 6 x 3y = 3. Írjuk fel az m c magasságvonal egyenletét: Az m c magasságvonal egy pontja: C (3; 6). Az AB vektor az m c magasságvonal egy normálvektora: AB (8; 0) = n mc. Ezek alapján az m c magasságvonal egyenlete: 8x = 24 x = 3. Határozzuk meg az m a és az m c magasságvonalak metszéspontját: x 3y = 3 } x = 3 Ezt megoldva azt kapjuk, hogyx = 3 és y = 2, vagyis a magasságpont koordinátái: M (3; 2). Írjuk fel az AB oldal f c felezőmerőlegesének egyenletét: Az AB oldal felezőmerőlegesének egy pontja: F AB (1; 0). Az AB vektor az AB oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora: AB (8; 0) = n fc. Ezek alapján az AB oldal felezőmerőlegesének egyenlete: 8x = 8 x = 1. 23

24 Írjuk fel a BC oldal f a felezőmerőlegesének egyenletét: A BC oldal felezőmerőlegesének egy pontja: F BC (4; 3). A BC vektor a BC oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora: BC ( 2; 6) = n fa. Ezek alapján a BC oldal felezőmerőlegesének egyenlete: 2x + 6y = 10 x 3y = 5. Határozzuk meg az f a és az f c felezőmerőlegesek metszéspontját: x 3y = 5 } x = 1 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 2, vagyis a köré írható kör középpontja: K (1; 2). Írjuk fel az s b súlyvonal egyenletét: Az s b súlyvonal egy pontja: F AC (0; 3). Az FB vektor az s b súlyvonal egy irányvektora: FB (5; 3) = v sb. Az s b súlyvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n sb (3; 5). Ezek alapján az s b súlyvonal egyenlete: 3x + 5y = 15. Írjuk fel az s c súlyvonal egyenletét: Az s c súlyvonal egy pontja: F AB (1; 0). Az FC vektor az s c súlyvonal egy irányvektora: FC (2; 6) = v sc. Az s c súlyvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n sc (6; 2). Ezek alapján az s c súlyvonal egyenlete: 6x 2y = 6 3x y = 3. Határozzuk meg az s b és s c súlyvonalak metszéspontját: 3x + 5y = 15 3x y = 3 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 3 és y = 2, vagyis a súlypont koordinátái: S (5 3 ; 2). 24

25 Írjuk fel a K és M pontra illeszkedő e egyenes egyenletét: Az e egyenes egy pontja: K (1; 2). A KM vektor az e egyenes egy irányvektora: KM ( 2; 0) = v e. Az e egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n e (0; 2). Ezek alapján az e egyenes egyenlete: 2y = 4 y = 2. Mivel a K és M pontra illeszkedő egyenes egyenletébe behelyettesítve az S pont koordinátáit 2 = 2 azonosságot kapunk, így a három pont egy egyenesre illeszkedik. 49. Az ABC háromszögben az AC oldal egyenes egyenlete b: 7x + 5y = 54, az A csúcsból kiinduló súlyvonal egyenlete 6x + y = 20, a C csúcsból kiinduló súlyvonal egyenlete 9x + 13y = 30. Számítsd ki a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátáit! Határozzuk meg a b egyenes és az s a súlyvonal metszéspontját: 7x + 5y = 54 6x + y = 20 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 8, vagyis a metszéspont: A (2; 8). Határozzuk meg a b egyenes és az s c súlyvonal metszéspontját: 9x + 13y = 30 7x + 5y = 54 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 12 és y = 6, vagyis a metszéspont: C (12; 6). Határozzuk meg az s a és az s c súlyvonalak metszéspontját: 9x + 13y = 30 6x + y = 20 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 10 3 és y = 0, vagyis a súlypont koordinátái: S (10 3 ; 0). Az S súlypont segítségével számítsuk ki a B csúcs koordinátáit: B ( 4; 2). 25

26 50. Írd fel az A ( 4; 2), B(12; 8) és a C (6; 4) koordinátájú pontoktól egyenlő távol haladó egyenesek egyenletét! A három ponttól egyenlő távolságra haladó egyenesek éppen a háromszög középvonalai. Írjuk fel először az F AB (4; 3) és F BC (9; 2) pontokra illeszkedő k 1 középvonal egyenletét: A k 1 középvonal egy pontja: F AB (4; 3). Az F AB BC vektor a k 1 középvonal egy irányvektora: F AB BC (5; 1) = v k1. A k 1 középvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n k1 (1; 5). Ezek alapján az k 1 középvonal egyenlete: x 5y = ( 3) x 5y = 19 Írjuk fel most az F AB és F AC pontokra illeszkedő k 2 középvonal egyenletét: A k 2 középvonal egy pontja: F AB (4; 3). A BC vektor a k 2 középvonal egy irányvektora: BC ( 6; 12) = v k2. A k 2 középvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n k2 (12; 6) n k2 (2; 1). Ezek alapján az k 2 középvonal egyenlete: 2x + y = ( 3) 2x + y = 5 Írjuk fel végül a F AC és F BC pontokra illeszkedő k 3 középvonal egyenletét: A k 3 középvonal egy pontja: F BC (9; 2). Az AB vektor a k 3 középvonal egy irányvektora: AB (16; 10) = v k3. A k 3 középvonal irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n k3 (10; 16) n k3 (5; 8). Ezek alapján az k 3 középvonal egyenlete: 5x + 8y = ( 2) 5x + 8y = Számítsd ki annak a háromszögnek a területét, amelyet az e: 4x + 3y = 24 egyenletű egyenes zár be a koordináta rendszer tengelyeivel! Írjuk fel az e egyenes tengelymetszetes alakját: x 6 + y 8 = 1. 26

27 Ebből adódik, hogy az x - tengelyt a P (6; 0), az y - tengelyt pedig a Q (0; 8) pontban metszi. A háromszög harmadik csúcsa az origó R (0; 0) pont. Számítsuk ki a befogók hosszát: RP = (6 0) 2 + (0 0) 2 = 36 = 6 RQ = (0 0) 2 + (8 0) 2 = 64 = 8 Ezek alapján a derékszögű háromszög területe: T = = Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha a csúcspontjainak koordinátái: A ( 1; 1), B (1; 5) és C (7; 2)! Számítsuk ki a c oldal és az m c magasság hosszát, s így megkapjuk a háromszög területét. A c oldal hossza megegyezik az AB szakasz hosszával: c = AB = (1 ( 1)) 2 + (5 ( 1)) 2 = 40. Írjuk fel az m c magasságvonal egyenletét: Az m c magasságvonal egy pontja: C (7; 2). Az AB vektor a magasságvonal egy normálvektora: AB (2; 6) = n mc n mc (1; 3). Ezek alapján az m c magasságvonal egyenlete: x + 3y = ( 2) x + 3y = 1. Írjuk fel a c egyenes egyenletét: A c egyenes egy pontja: A ( 1; 1). Az AB vektor a c egyenes egy irányvektora: AB (2; 6) = v c. Az c egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (6; 2) n c (3; 1). Ezek alapján a c egyenes egyenlete: 3x y = 3 ( 1) + ( 1) ( 1) 3x y = 2. 27

28 Határozzuk meg a c egyenes és az m c magasságvonal metszéspontját: 3x y = 2 x + 3y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 2 éy = 1 2, vagyis a magasság talppontja: M c ( 1 2 ; 1 2 ). Az m c magasság hossza megegyezik az CM c szakasz hosszával: m c = CM = ( 1 2 7)2 + ( )2 = Ezek alapján a háromszög területe: T = c m c 2 = = Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái A ( 6; 2) és B (2; 2). A magasságpontja M (1; 2). Számítsd ki a harmadik csúcspont koordinátáit! Írjuk fel az m c magasságvonal egyenletét: Az m c magasságvonal egy pontja: M (1; 2). Az AB vektor az m c magasságvonal egy normálvektora: AB (8; 4) = n mc. Ezek alapján az m c magasságvonal egyenlete: 8x 4y = 0 2x y = 0. Írjuk fel a b oldal egyenes egyenletét: A b oldal egyenes egy pontja: A ( 6; 2). Az MB vektor a b oldal egyenes egy normálvektora: MB (1; 4) = n b. Ezek alapján a b oldal egyenes egyenlete: x 4y = 1 ( 6) 4 2 x 4y = 14 Határozzuk meg az m c magasságvonal és a b oldal egyenes metszéspontját: 2x y = 0 x 4y = 14 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 4, vagyis a harmadik csúcs: C (2; 4). 28

29 54. Az ABC háromszög AB oldal egyenesének egyenlete c: 2x 3y 9 = 0. Az A és a B csúcsok abszcisszái 3, illetve 9. A súlypont koordinátái: S (5; 4). Írd fel az AC és a BC oldal egyenesének egyenletét! Számítsd ki a háromszög kerületét és a szögeit! Az A és B csúcsok koordinátákkal felírva: A (3; y) és B (9; y). Mivel az A és B csúcsok illeszkednek a c oldal egyenesre, így helyettesítsük be a koordinátákat az egyenes egyenletébe. Az A csúcs esetén: 2 3 3y 9 = 0 y = 1 A (3; 1) A B csúcs esetén: 2 9 3y 9 = 0 y = 3 B (9; 3) Számítsuk ki a súlypont segítségével C csúcs koordinátáit: C (3; 10). Számítsuk ki az oldalak hosszát: a = BC = (3 9) 2 + (10 3) 2 = 85 b = AC = (3 3) 2 + (10 ( 8)) 2 = 121 = 11 c = AB = (9 3) 2 + (3 ( 1)) 2 = 52 Ezek alapján a háromszög kerülete: K = ,4. Számítsuk ki a C csúcsnál levő γ szöget a CA (0; 11) és CB (6; 7) skaláris szorzatával: cos γ = ( 11) ( 7) 0 2 +( 11) ( 7) 2 γ 40,6. Számítsuk ki a B csúcsnál levő β szöget a BC ( 6; 7) és BA ( 6; 4) skaláris szorzatával: cos β = ( 6) ( 6) + 7 ( 4) ( 6) ( 6) 2 +( 4) 2 β 83,1. Ezek alapján az A csúcsnál levő α szög nagysága: α = ,6 83,1 = 56,3. 29

30 Írjuk fel az BC oldal egyenes egyenletét: Az a oldal egyenes egy pontja: C (3; 10). A BC vektor az a egyenes egy irányvektora: BC ( 6; 7) = v a. Az a egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (7; 6). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: 7x + 6y = x + 6y = 81. Írjuk fel a AC oldal egyenes egyenletét: A b oldal egyenes egy pontja: A (3; 1). Az AC vektor a b egyenes egy irányvektora: AC (0; 11) = v b. A b egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n b (11; 0) n b (1; 0). Ezek alapján az AC oldal egyenes egyenlete: x = Az ABC háromszögben az AB oldal egyenes egyenlete c: 3x 2y + 1 = 0, az AC oldal egyenes egyenlete b: x y + 1 = 0, a C csúcsból induló súlyvonal egyenlete 2x y 1 = 0. Írd fel a BC oldal egyenes egyenletét! Határozzuk meg a c és a b oldal egyenes metszéspontját: 3x 2y = 1 x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 2, vagyis a metszéspont: A (1; 2). Határozzuk meg a b oldal egyenes és az s c súlyvonal metszéspontját: x y = 1 2x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 3, vagyis a metszéspont: C (2; 3). Határozzuk meg a c oldal egyenes és az s c súlyvonal metszéspontját: 3x 2y = 1 2x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 5, vagyis a metszéspont: F AB (3; 5). 30

31 Számítsuk ki a felezőpont segítségével a B csúcs koordinátáit: B (5; 8). Írjuk fel a BC oldal egyenes egyenletét: Az a oldal egyenes egy pontja: C (2; 3). A BC vektor az a oldal egyenes egy irányvektora: BC ( 3; 5) = v a. Az a oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (5; 3). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: 5x 3y = ( 3) 3 5x 3y = Egy háromszög egyik csúcsa A ( 3; 1). A C csúcsból induló magasságvonal egyenlete m: 2x + y = 3, és az ugyanonnan induló súlyvonal egyenlete s: x y = 1. Számítsd ki a két hiányzó csúcspont koordinátáit! Határozzuk meg az m magasságvonal és az s súlyvonal metszéspontját: 2x + y = 3 x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 3 és y = 1 3, vagyis a metszéspont: C (4 3 ; 1 3 ). Írjuk fel az m magasságra merőleges c oldal egyenes egyenletét. A c egyenes egy pontja: A ( 3; 1). Az m egyenes normálvektora a c egyenes egy irányvektora: n m (2; 1) = v c. A c egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (1; 2). Ezek alapján a c egyenes egyenlete: x 2y = 1 ( 3) 2 ( 1) x 2y = 1 Határozzuk meg az s súlyvonal és a c oldal egyenes metszéspontját: x y = 1 x 2y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 2, vagyis a metszéspont: F AB (3; 2). Számítsuk ki a felezőpont segítségével a B csúcs koordinátáit: B (9; 5). 31

32 57. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának végpontjai A ( 2; 1) és B (4; 3). Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit, ha illeszkedik az e: 3x 2y = 10 egyenesre! Számítsuk ki az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit: F AB (1; 2). Írjuk fel az AB oldal f felezőmerőlegesének egyenletét: Az f egyenes egy pontja: F AB (1; 2). Az AB vektor az f egyenes egy normálvektora: AB (6; 2) = n f. Ezek alapján az f egyenes egyenlete: 6x + 2y = x + y = 5 Határozzuk meg az f felezőmerőleges és az e egyenes metszéspontját: 3x 2y = 10 3x + y = 5 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 0 és y = 5, vagyis a keresett csúcs: C (0; 5). 58. Egy derékszögű háromszög két csúcspontja A ( 1; 1) és B (7; 1). Az egyik befogó egyenlete b: x 2y = 3. Számítsd ki a harmadik csúcspont koordinátáit! A pontok koordinátáinak behelyettesítésével azt kapjuk, hogy az A csúcs illeszkedik a befogóra. Írjuk fel a másik befogóra illeszkedő a oldal egyenes egyenletét: Az a egyenes egy pontja: B (7; 1). A b egyenes normálvektora az a egyenes egy irányvektora: n b (1; 2) = v a. Az a egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (2; 1). Ezek alapján az a oldal egyenes egyenlete: 2x + y = ( 1) 2x + y = 13 Határozzuk meg az a és a b oldal egyenes metszéspontját: 2x + y = 13 x 2y = 3 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = és y =, vagyis a keresett csúcs: C (23 ; 19 )

33 59. Egy egyenlőszárú háromszög szárszögének felezője a f: 2x + 3y = 7 egyenes, a szárak közös csúcsának, A nak az abszcisszája 1, az alapon fekvő egyik csúcs a B (2; 1) pont. Mi az AC oldal egyenlete? Mivel az A csúcs illeszkedik a szögfelezőre, így számítsuk ki koordinátáit: A (1; 3). Írjuk fel a c oldal egyenes egyenletét: A c egyenes egy pontja: B (2; 1). Az f egyenes normálvektora a c egyenes egy irányvektora: n f (2; 3) = v c. Az c egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (3; 2). Ezek alapján az AB oldal egyenes egyenlete: 3x 2y = x 2y = 4 Határozzuk meg a c oldal egyenes és az f szögfelező metszéspontját: 3x 2y = 4 2x + 3y = 7 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 13 és y = 29 13, vagyis a metszéspont: F BC ( 2 13 ; ). Számítsuk ki a felezőpont segítségével a C csúcs koordinátáit: C ( ; ). Írjuk fel az AC oldal egyenes egyenletét: A b egyenes egy pontja: A (1; 3). Az AC vektor a b egyenes egy irányvektora: AC ( 43 ; 32 ) = v b. v b (43; 32) A b egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n b (32; 43). Ezek alapján az AC oldal egyenes egyenlete: 32x 43y = Az ABC háromszög AB vel párhuzamos középvonala k: x 2y + 6 = 0, a háromszög súlypontja S (3; 2), egyik csúcsa C ( 1; 10) és egy további csúcs az x tengelyen van. Mik az A és B koordinátái? Legyen a háromszög x tengelyen levő csúcsa: B (x; 0). 33

34 Mivel a súlypont a háromszög csúcsától távolabbi harmadolópontja, így számítsuk ki az AB oldal felező pontjának koordinátáit: F AB (5; 2). Írjuk fel a k középvonallal párhuzamos c oldal egyenes egyenletét. A c egyenes egy pontja: F AB (5; 2). A k egyenes normálvektora a c egyenes egy normálvektora: n k (1; 2) = n c. Ezek alapján a c egyenes egyenlete: x 2y = ( 2) x 2y = 9 Számítsuk ki az illeszkedés segítségével a B csúcs hiányzó koordinátáját: B (9; 0). Számítsuk ki az F AB felezőpont segítségével a hiányzó csúcs koordinátáit: A (1; 4). 61. Egy háromszög két csúcsa A (2; 5) és B (8; 2), egyik szögfelezője az s: y = x egyenletű egyenes. Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáját! Az adott pontok koordinátáit behelyettesítve azt kapjuk, hogy nem illeszkednek a szögfelezőre. A feladathoz azt használjuk fel, hogy az adott csúcsot tükrözve a szögfelezőre, a képpont illeszkedik a háromszög harmadik oldalára. Számítsuk ki az A pont s egyenesre vonatkozó tükörképének a koordinátáit: A (5; 2). Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő a oldal egyenes egyenletét: Az a egyenes egy pontja: B (8; 2). Az A B vektor az a egyenes egy irányvektora: A B (3; 0) = va. Az a egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n a (0; 3). Ezek alapján az a egyenes egyenlete: 3y = 6. Határozzuk meg az s szögfelező és az a oldal egyenes metszéspontját: x = y 3y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 2, vagyis a keresett csúcs: C (2; 2). 34

35 62. Egy háromszög két csúcspontja A (3; 2) és B (5; 3). A harmadik csúcsnál levő szöget az abszcisszatengely felezi. Határozd meg a harmadik csúcspont koordinátáit! Legyen a háromszög x tengelyen levő csúcsa: C (x; 0). Írjuk fel az A és B pontra illeszkedő c oldal egyenes egyenletét: A c oldal egyenes egy pontja: A (3; 2). Az AB vektor az c oldal egyenes egy irányvektora: AB (2; 5) = v c. A c oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n c (5; 2). Ezek alapján a c egyenes egyenlete: 5x + 2y = x + 2y = 19 Határozzuk meg a c oldal egyenes és az x tengely metszéspontját: 5x + 2y = 19 } y = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 19 5 és y = 0, vagyis a metszéspont: M (19 5 ; 0). A szögfelező tétel segítségével írjuk fel a következő aránypárt: CA = MA CB MB (3 x) 2 +(2 0) 2 = 19 (3 5 )2 +(2 0) 2 (5 x) 2 +( 3 0) 2 ( )2 +( 3 0) 2 Rendezés után azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 1 és x 2 = 3,8. Mivel az x 2 = 3,8 esetén nem kapunk háromszöget, így a keresett csúcs: C ( 1; 0). 63. Egy háromszög két oldalegyenesének egyenlete a: 5x + 4y 11 = 0 és b: x 2y + 9 = 0. Súlypontjának koordinátái S ( 1; 5 ). Írd fel a háromszög 3 csúcsainak koordinátáit! Határozzuk meg az a és a b oldal egyenes metszéspontját: 5x + 4y 11 = 0 x 2y + 9 = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 4, vagyis a metszéspont: C ( 1; 4). 35

36 Legyenek a háromszög további keresett csúcsai: A (a 1 ; a 2 ) és B (b 1 ; b 2 ). Az adatok segítségével írjuk fel a következő egyenletrendszert: 5a 1 + 4a 2 11 = 0 b 1 2b = 0 a 1 +b 1 +( 1) 3 a 2 +b = 1 = 5 3 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 5; a 2 = 2; b 1 = 3 és b 2 = 1. Ezek alapján a keresett csúcsok koordinátái: A ( 5; 2) és B (3; 1). 64. Adott az e: x y + 8 = 0 és az f: x + 2y = 6 egyenletű egyenes. Számítsd ki a két egyenes metszéspontját, hajlásszögét és annak a síkidomnak a területét, amelyet a két egyenes a koordinátatengelyekkel bezár! Tekintsük a következő ábrát: Határozzuk meg az e és az f egyenes metszéspontját: x y = 8 x + 2y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = és y =, vagyis a metszéspont: M ( ; 14 )

37 Számítsuk ki a két egyenes hajlásszögét. Az e egyenes egy normálvektora n e (1; 1), az f egyenes egy normálvektora: n f (1; 2). Skaláris szorzat segítségével a vektorok szöge: cos φ = Ebből a két egyenes hajlásszöge: ,4 = 71, ( 1) ( 1) φ 108,4. Írjuk fel az e egyenes tengelymetszetes alakját: x 8 + y 8 = 1. Ebből adódik, hogy a koordináta - tengelyeket a P ( 8; 0) és Q (0; 8) pontokban metszi. Írjuk fel az f egyenes tengelymetszetes alakját: x 6 + y 3 = 1. Ebből adódik, hogy a koordináta - tengelyeket az R (6; 0) és S (0; 3) pontokban metszi. Számítsuk ki a keletkező derékszögű háromszögek területét: T 1 = = 98 3 T 2 = = 25 3 Ezek alapján a keletkező síkidom területe: T = = = Egy négyzet egyik csúcspontja A (12; 7), egyik átlójának egyenlete e: 5x + y = 28. Számítsd ki a hiányzó csúcsok koordinátáit! A koordináták behelyettesítése után azt kapjuk, hogy az A pont nem illeszkedik az adott átlóra. Írjuk fel a négyzet másik f átlójának egyenletét: Az f átló egy pontja: A (12; 7). Az e átló normálvektora az f átló egy irányvektora: n e (5; 1) = v f. Az f átló irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n f (1; 5). Ezek alapján az f átló egyenlete: x 5y = x 5y = 23 Határozzuk meg az e és az f átlók metszéspontját: 37

38 5x + y = 28 x 5y = 23 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 9 2 és y = 11 2, vagyis a metszéspont: M (9 2 ; 11 2 ). Az MA ( 15 ; 3 ) vektor os elforgatásával adódik az MB ( 3 ; 15 ) Az MA ( 15 ; 3 ) ellentettje az MC ( 15 ; 3 ), az MB ( 3 ; 15 ) ellentettje az MD ( 3 ; 15 ) Ezek alapján számítsuk ki a hiányzó csúcsok koordinátáit: B (3; 13), C ( 3; 4) és D (6; 2). 66. Az ABCD szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai AB és CD. (A szimmetriatengely merőlegesen felezi az AB oldalt.) Számítsd ki a hiányzó csúcs koordinátáit, ha A ( 2; 3), B (4; 1), C (1; 2)! Írjuk fel a CD oldal egyenes egyenletét: A CD oldal egyenes egy pontja: C (1; 2). Az AB vektor a CD oldal egyenes egy irányvektora: AB (6; 4) = v CD A CD oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n CD (4; 6) n CD (2; 3). Ezek alapján a CD oldal egyenes egyenlete: 2x 3y = 4. Írjuk fel az s szimmetriatengely egyenletét: Az s szimmetriatengely egy pontja: F AB (1; 1). Az AB vektor az s szimmetriatengely egy normálvektora: AB (6; 4) = n s n s (3; 2). Ezek alapján az s szimmetriatengely egyenlete: 3x + 2y = 1. Határozzuk meg a CD oldal egyenes és az s szimmetriatengely metszéspontját: 2x 3y = 4 3x + 2y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 13 és y = 14 13, vagyis a metszéspont: M ( 5 13 ; ). Az M pont a CD szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a D koordinátáit: D ( ; 2 13 ). 38

39 67. Az ABCD téglalap AB oldal egyenesének egyenlete y = 3x, átlói az M (12; 6) pontban metszik egymást; az AC átló párhuzamos az x - tengellyel. Határozd meg az A, B, C, D csúcsok koordinátáit! Írjuk fel az AC átló egyenletét: Az AC átló egy pontja: M (12; 6). Az x - tengely egyenletének normálvektora az AC átló egy normálvektora: n x (0; 1) = n AC. Ezek alapján az AC átló egyenlete: y = 6. Határozzuk meg az AC átló és az AB oldal egyenes metszéspontját: y = 3x y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2, vagyis a metszéspont: A (2; 6). Mivel az M pont az AC szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a C koordinátáit: C (22; 6). Írjuk fel a BC oldal egyenes egyenletét: A BC oldal egyenes egy pontja: C (22; 6). Az AB oldal egyenes normálvektora a BC oldal egyenes egy irányvektora: n AB ( 3; 1) = v BC. A BC oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n BC (1; 3). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: x + 3y = 40. Határozzuk meg az AB és a BC oldal egyenes metszéspontját: y = 3x x + 3y = 40 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 és y = 12, vagyis a metszéspont: B (4; 12). Mivel az M pont a BD szakasz felezőpontja, így számítsuk ki a D koordinátáit: D (20; 0). 39

40 68. Az ABCD paralelogramma csúcsai A (1; 4) és B (6; 6). A BC oldalegyenes egy pontja P (10; 18), a CD oldalegyenes egy pontja R ( 1; 11). Mekkora a négyszög kerülete? Írjuk fel a BC oldal egyenes egyenletét: A BC oldal egyenes egy pontja: B (6; 6). A BP vektor a BC oldal egyenes egy irányvektora: BP (4; 12) = v BC A BC oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n BC (12; 4) n BC (3; 1). Ezek alapján a BC oldal egyenes egyenlete: 3x y = 12. Írjuk fel a CD oldal egyenes egyenletét: A CD oldal egyenes egy pontja: R ( 1; 11). Az AB vektor a CD oldal egyenes egy irányvektora: AB (5; 2) = v CD A CD oldal egyenes irányvektorát átírhatjuk normálvektorrá: n CD (2; 5). Ezek alapján a CD oldal egyenes egyenlete: 2x 5y = 57. Határozzuk meg a BC és a CD oldal egyenes metszéspontját: 3x y = 12 2x 5y = 57 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 9 és y = 15, vagyis a metszéspont: C (9; 15). A paralelogramma K középpontja az AC átló felezőpontja: K (5; 19 2 ). A K pont a BD átló felezőpontja, így számítsuk ki a D csúcs koordinátáit: D (4; 13). Számítsuk ki az oldalak hosszát: AB = CD = (6 1) 2 + (6 4) 2 = 29 BC = AD = (9 6) 2 + (15 6) 2 = 90 Ezek alapján a paralelogramma kerülete: K = ,7. 40

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek.

45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek. Az egyenes egyenletei 8 67 a), n( -) x - y b) x - y c) n( ) x+ y- d) n( -), x- y 7 67 a) y x b) n(b a), nl(a - b) ax - by 0 c) n( -) nl( ) 7 x + y 7 d) x - y e) x - 9y f) x + y g) x - h) - O, 77 n( ) nl(

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont) 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások ) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Bevezetés a síkgeometriába

Bevezetés a síkgeometriába a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben