Kvantitatív módszerek II. Fejezetek az operációkutatásból

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kvantitatív módszerek II. Fejezetek az operációkutatásból"

Átírás

1 Kvantitatív módszerek II. Fejezetek az operációkutatásból Szerzők: Bakos Viktor Bánhalmi Árpád Fejes Ferenc Dr. Fenyves Ferenc Horváth Gézáné dr. Pákolicz Orsolya

2 Kvantitatív módszerek II. Fejezetek az operációkutatásból Szerzők: Bakos Viktor Bánhalmi Árpád Fejes Ferenc Dr. Fenyves Ferenc Horváth Gézáné dr. Pákolicz Orsolya PR-405-II/11

3 Szerzők: c Bakos Viktor (1. fejezet) c Bánhalmi Árpád (5. fejezet) c Fejes Ferenc (2. és 3. fejezet) c Dr. Fenyves Ferenc (1. fejezet) c Horváth Gézáné dr (6. fejezet) c Pákolicz Orsolya (4. fejezet) Alkotó szerkesztő Horváth Gézáné dr. ISBN A kiadvány szerzői jogi védelem alatt áll, arról másolat készítése a kiadó előzetes írásbeli engedélye nélkül tilos. A kiadvány másolása és jogosulatlan felhasználása bűncselekmény! Kiadja a Perfekt Gazdasági Tanácsadó Oktató és Kiadó Zártkörűen Működő Részvénytársaság a Sanoma company A kiadásért felelős: Kiss János Tamás vezérigazgató Borítóterv: Korda Ágnes Felelős szerkesztő: Budavári Andrea Műszaki szerkesztő: Fried Katalin Terjedelem: (A/5) ív Prospektkop Nyomda A kiadványt újrahasznosított papírra nyomtattuk.

4 TARTALOM Bevezetés ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 7 1. A lineáris algebra alapjai (Dr. Fenyves Ferenc) :::::::::::::::::: Mátrixaritmetika :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Lineáris terek (vektorterek) ::::::::::::::::::::::::::::::::::: Elemi bázistranszformáció (Bakos Viktor) :::::::::::::::::::: Mátrixaritmetikai példák :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Gazdasági feladatok megoldása mátrixaritmetikával ::::::::::: Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Megoldások az 1. fejezet feladataihoz ::::::::::::::::::::::::: Bevezetés a lineáris programozásba (Fejes Ferenc) ::::::::::::::: Lineáris modellek :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Grafikus módszer ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Dualitás :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Többváltozós lineáris programozási feladat :::::::::::::::::::: Szimplex módszer :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Megoldások a 2. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: Hozzárendelési feladat (Fejes Ferenc) :::::::::::::::::::::::::::: Magyar módszer ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Megoldások a 3. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: Szállítási feladat (Pákolicz Orsolya) :::::::::::::::::::::::::::::: A kiegyensúlyozott feladat matematikai modellje :::::::::::::: Nem kiegyensúlyozott szállítási feladatok ::::::::::::::::::::: Szállítási modellek további vizsgálata ::::::::::::::::::::::::: Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Megoldások a 4. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: 182 5

5 KVANTITATÍV MÓDSZEREK 5. Hálótervezés (Bánhalmi Árpád) ::::::::::::::::::::::::::::::::::: Irányított gráfok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Súlyozott élű irányított gráfok mátrixreprezentációja :::::::::: Hálótervezés ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: A háló kiértékelése ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Megoldások az 5. fejezet feladataihoz ::::::::::::::::::::::::: Döntésanalízis döntési fa alkalmazásával (Dr. Horváth Gézáné Ph.D) ::::::::::::::::::::::::::::::::::: Bayes-elemzés szerepe a döntéshozatalban :::::::::::::::::::: Egyszerű döntési diagram szerkesztésének bemutatása ::::::::: A Bayes-tételen alapuló döntési modell ::::::::::::::::::::::: Esettanulmány a Bayes-döntési modell bemutatására :::::::::: Feladatok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Megoldások a 6. fejezet feladataihoz :::::::::::::::::::::::::: 243 6

6 BEVEZETÉS Ez a könyv bővített és átdolgozott kiadása a 2005-ben megjelent Kvantitatív módszerek II. tankönyvnek. Az új kiadás a bolonyai képzés operációkutatás tananyagát az eredetihez képest kibővítve tárgyalja. Mielőtt ezekkel a módszerekkel foglalkozunk, tisztáznunk kell az operációkutatás fogalmát. Több évtized elteltével sem sikerült minden szakembert kielégítő definíciót adni erre a fogalomra. A sokféle definíció közül vizsgáljunk meg néhány számunkra megfelelőt. Az operációkutatás a döntés előkészítés tudománya. Ez a definíció keveset árul el magáról az operációkutatásról; csupán azt jelzi, hogy milyen célra használható. Az operációkutatás az a tudomány, amely az optimális döntések előkészítésében matematikai módszereket használ. Az optimális szóval utalás történik a döntés előkészítés minőségére, illetve ebből a definícióból megtudjuk, hogy ez az új tudományág kapcsolatban van a matematikával. Az operációkutatás tudományos módszerek alkalmazása az ipar, a kereskedelem, az államigazgatás és a honvédelem területén, olyan komplex problémák megoldására, amelyek emberekből, gépekből, anyagokból és pénzeszközökből álló nagy rendszerek irányítása és vezetése során lépnek fel. Ebből a definícióból kitűnik, hogy az operációkutatás mely területeken alkalmazható, amelyeket a XXI. században kiegészíthetünk a szolgáltatások további területeivel is (oktatás, egészségügy, kultúra stb.). További információ, hogy ez a tudomány komplex, bonyolult problémáknak, nagy rendszereknek az optimális megoldását keresi. Az operációkutatás kezdettől olyan team munkát jelent, amelyben a matematikus a különböző szakterületek gazdasági, számítástechnikai szakembereivel együtt dolgozik. Az új tudományág határterület a matematika, a gazdaságtudomány és a számítástudomány között. Az operációkutatás középpontjában a közgazdasági és a matematikai modell áll. Hosszú az út a döntési probléma megfogalmazásától a modell megalkotásáig. A feladat a probléma részletes leírásával a változók, a korlátozó feltételek megadásával kezdődik, majd a célra vonatkozó ismeretek mélyítésével, pontosításával folytatódik. A szükséges adatok megszerzése és pontosságuknak ellenőrzése után következik az adott körülményeknek 7

7 KVANTITATÍV MÓDSZEREK legjobban megfelelő modell számszerűsítése és megoldása. A modell helyességét a gyakorlattal való egybevetéssel ellenőrizzük. A döntéshozó szempontjából a modelleknek kettős hasznuk van. Egyik oldalról a döntéshozó a rendszer részletekbe menő vizsgálatára kényszerül; a modell előkészítése során fel kell tárnia a rendszer összefüggéseit, és így a modell a gazdasági folyamat elemzésének eszközévé válik. Másrészt viszont az operációkutatási modell alkalmas a vizsgált paraméterek különböző kritériumok szerinti optimális értékeinek meghatározására, ezért képes a döntés orientálására is. Könyvünk a gazdasági felsőoktatás hallgatóit bevezeti a lineáris algebrai alapok után (amit kibővítettünk az elemi bázistranszformáció eljárásának és alkalmazásainak bemutatásával) a lineáris programozásba, a hozzárendelési probléma modellezésébe, a szállítási probléma disztribúciós megoldásába, a hálótervezésbe és a Bayes-döntésanalízisbe. A fejezetek végén található feladatok és azok részletes megoldásai hozzásegítik a BA képzések hallgatóit a sikeres megmérettetéshez. A szerzők várják és előre köszönik a tisztelt Olvasók észrevételeit, megjegyzéseit. Budapest, május A szerkesztő BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály 8

8 A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL a 0 megrendel = 7000 = 8000 s 3 = 8000 P( )=0 15 P( )=0 45 P(s 3 )= gyártás (automata) = 7000 = 8000 s 3 = 8000 P( )=0 15 P( )=0 45 P(s 3 )= a 2 gyártás (hagyományos) = 7000 = 8000 s 3 = 8000 P( )=0 15 P( )=0 45 P(s 3 )= ábra Döntési fa a vásárolni, vagy gyártani jellegű problémához M (C 2 )= = A legalacsonyabb várható költsége az automata gépsoron történő gyártásnak van, tehát a legkedvezőbb az döntési alternatíva A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL Az üzleti életben rendszeresen előforduló, nagy kockázattal járó döntési helyzetek megoldásához az összes lehetséges információt figyelembe vevő leghatékonyabb eszköz a Bayes-tételen alapuló döntési modell. A módszer lényege, hogy az a priori (előzetes) val sz n s gek és az ehhez további inform ci k beszerzésével meghatározható felt teles val sz n s gek birtok ban a Bayes-tétel alkalmazásával a posteriori (utólagos, felülvizsgált) val sz n s gek és felt teles val sz n s gek sz m that k. Ezek a posteriori, többlet információt tartalmazó val sz n s gek r szei a Bayes-d nt si modell bemeneteli adatainak. Jelölje a döntési modellben: 217

9 DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL az (e) információszerzésre vonatkozó d nt si lehet s gek halmaz t E = = {e 1 e 2 : : : e k }; a beszerezhet inform ci k összes lehetséges (z) kimenetel nek halmaz t Z = {z 0 z 1 : : : z l }; az (a) döntési változók halmazát A = {a 0 : : : a m }; a döntéseket követő (s)esem nyek halmaz t S = { : : : s n }! A Bayes-d nt si modell strukt r ja döntési diagrammal reprezentálható. A d nt si diagram, fa csom pontokb l: kezdőpontból, elágazási pontokból, végpontokból; gakb l s utakb l ll. Bizonyos csomópontokat g köt össze. Az t a kezdőpontból valamely végpontba vezető ágak egymásutánja. v(e 0 z 0 ) e 0 z 0 v(e 0 z 0 ) a 0 s 0 v(e 0 z 0 a 0 s 0 ) v(e 1 z 1 ) z 1 v(e 1 z 1 ) a 0 s 0 v(e 1 z 1 a 0 s 0 ) e 1 v(e 1 z 2 ) z 2 v(e 1 z 2 ) a 0 s 0 v(e 1 z 2 a 0 s 0 ) kezdőpont elágazási pontok végpontok utak 6.3. ábra Döntési diagram szerkezete A kezdőpontból kiinduló ágak az információszerzésre vonatkozó döntési változó (e) értékeit jelzik és az információ megszerzésének a költségét is 218

10 A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL tartalmazzák. Ezen elágazási pontokat követő ágak a beszerezhető információk kimeneteleit (z j ) jelölik, és a P(z j ) valószínűségeket is tartalmazzák minden j -re. A következő lépcsőben az újabb elágazási pontokból induló ágak a döntési változó (a) lehetséges értékeit, a cselekvési lehetőségeket reprezentálják. Az utolsó szintnél minden elágazási pontból a lehetséges (s i ) események ágaznak ki P(s i ) valószínűségeivel vagy P(s i z j ) feltételes valószínűségeivel. A végpontokhoz v(s) becsült nyereség, illetve veszteség értékek rendelhetők. A végpontok v(e z a s) utakkal azonosíthatók. A döntési probléma megoldását a döntési fa számszerűsítésével kezdjük. Ezt követően minden elágazási pontra ki kell számítani a várható nyereség/veszteség értékét. Az egyes döntési pontokban a legnagyobb értéket választva, majd a fán tovább haladva ezeket kell versenyeztetni. Végül a nem tökéletes e i információ értéke az e i (i = 0) ághoz tartozó maximális várható nyereség érték és az e 0 (nincs többlet információ) ágon elérhető maximális nyereség várható értéke különbségeként megbecsülhető, és összehasonlítandó az e i információ költségével. A döntési fa alkalmazható a termelés, a szolgáltatás, a marketingkutatás és az üzleti élet egyéb területein. Az oktatásban, az egészségügyben és a politikában is széles körben alkalmazható a döntések megalapozott előkészítésére. A továbbiakban először egy egyszer bb esetet t rgyalunk. A döntési diagram szerkezete egyszerűbbé válik, ha pl. termel v llalatok kapacit s nak b v t sekor a menedzsment a döntés-előkészítésbe külső céget nem von be. A döntési modell ilyenkor nem tartalmazza az információszerzésre vonatkozó e döntési változót és a beszerezhető információ z j lehetséges kimeneteleit. A döntési fa kezdőpontjából az a döntési változó (kapacitásbővítés) értékeihez tartozó ágak indulnak ki és ezek mindegyikéhez elágazási pontok tartoznak. Az elágazási pontokból kiinduló ágak jelölik a döntést követő eseményeket a hozzájuk rendelt P(s i ) szubjektív valószínűségekkel. A v(s i ) végpontokhoz a becsült nyereség értékek tartoznak. A végpontok v(a j s i ) utakkal azonosíthatók példa. A) A Csepel Kerékpárgyár főmérnökének egy fontos alkatrész gyártásáról, vagy beszállítatásáról kell döntenie. Ez a döntés és az elérhető profit nagysága összefügg az újonnan kifejlesztett kerékpár iránt várható kereslettel. 219

11 DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL Az alábbi táblázat tartalmazza a becsült profitot, illetve veszteséget ban a döntési alternatíva és a kereslet nagyságának függvényében. Döntési lehetőségek Kereslet nagysága alacsony ( ) közepes ( ) magas (s 3 ) Gyártás ( ) Beszerzés (a 2 ) Az új kerékpár iránti kereslet valószínűsége, ha a kereslet alacsony 0 35, ha a kereslet közepes 0 35, ha a kereslet magas Keresse meg az optimális döntési alternatívát döntési fa alkalmazásával! Megold s. A modell változóinak és eseményeinek halmaza: A = {a 0 }, S = { s 3 }. Az alkatrészellátásra vonatkozó döntések: : Csepel Kerékpárgyár állítja elő a 2 : Beszállítóval gyártatja le Lehetséges események és valószínűségei: : alacsony kereslet P( )=0 35 : közepes kereslet P( )=0 35 s 3 : magas kereslet P(s 3 )=0 30 A döntési fa kezdőpontja: d nt si pont. A döntési pontból a 2 döntési változatoknak megfelelő ágak indulnak ki. Az ágak csomópontokban végződnek. A döntési fa csomópontjaiból a döntéshozótól és a döntéstől független,, s 3 eseményeknek megfelelő ágak következnek. Mivel ezen események valamelyike a majdani döntéstől függetlenül bekövetkezik, ezért mind a három döntési alternatívát P(s i ) valószínűséggel követik az s i események. Az események ágai végpontokban végződnek. Ezekhez a végpontokhoz hozzárendeljük a várható nyereségeket, illetve veszteséget. A döntési fánknak hat végpontja van. A döntési diagram információinak felhasználásával az egyes döntési alternatívákhoz kiszámíthatjuk a várható nyereség értékét. M ( )=0 35 ( ) = M (a 2 )=0 35 (10 000) = A várható nyereség értéke magasabb, ha beszállítókkal gyártatják az alkatrészt. 220

12 A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL Gyártás Kereslet alacsony P( )=0 35 közepes P( )=0 35 magas P(s 3 )=0 30 Nyereség Rendelés alacsony közepes magas P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )= ábra. Döntési fa vásárolni vagy gyártani jellegű problémához 6.1. példa. B) A Csepel Kerékpárgyár főmérnöke nincs megelégedve az egyszerű döntési modell alapján készített döntés megalapozottságával. Kíváncsi, hogy megérné-e a cégnek egy előzetes piackutatást lebonyolítani. Ismeretes a marketing osztály eddigi sokéves tevékenysége alapján, hogy magas kereslet esetén 0 6 valószínűséggel lesz kedvező a piackutatás eredménye; közepes kereslet esetén 0 6 valószínűséggel lesz kedvezőtlen ez; és alacsony kereslet mellett 0 9 valószínűséggel lesz kedvezőtlen a piackutatás eredménye. Mi a valószínűsége, hogy a piackutató részleg jelentése kedvező? Mi a cég optimális stratégiája a Bayes-döntési fa kiértékelése alapján? Megold s. A modell változóinak és eseményeinek halmaza bővül: E = {e 1 e 2 : : : e k } Z = {z 0 z 1 : : : z l }: Az előzetes információszerzésére vonatkozó döntés: e 0 : nem alkalmazunk előzetes vizsgálatot, e 1 : megszervezzük az előzetes piackutatást. A beszerezhető információk kimenetele: z 0 : a piackutatás eredménye kedvezőtlen, z 1 : a piackutatás eredménye kedvező. Rajzoljuk fel a Bayes-döntési fát! (6.5. ábra) A Bayes-döntési fa e 1 ágának számszerűsítéséhez szükségünk van a val sz n s gi fa megrajzol s ra s az inverz felt teles val sz n s gek kisz m t s ra. 221

13 DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL e 0 e 1 M (e 0 ) = P(z 0 )=0 645 P(z 1 )=0 355 a 2 a 2 a 2 P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( z 0 ) P( z 0 ) P(s 3 z 0 ) P( z 0 ) P( z 0 ) P(s 3 z 0 ) P( z 1 ) P( z 1 ) P(s 3 z 1 ) P( z 1 ) P( z 1 ) P(s 3 z 1 ) ábra. Bayes-döntési fa struktúrája (hiányzó valószínűségekkel) A rendelkezésünkre álló valószínűségek P( )=0 35, P( )=0 35, P(s 3 )= =0 30 A feltételes valószínűségek: P(z 1 s 3 )=0 6, P(z 1 )=0 4, P(z 1 )= =0 1, P(z 0 s 3 )=0 4, P(z 0 )=0 6, P(z 0 )=0 9 Számszerűsítsük a valószínűségi fát! (6.6. ábra) P( )=0 35 P(z 0 )=0 9 P(z 1 )=0 1 P( z 0 )=0 315 P( z 1 )=0 035 P( z 0 )=0 488 P( z 1 )=0 099 P( )=0 35 P(z 0 )=0 6 P(z 1 )=0 4 P( z 0 )=0 21 P( z 1 )=0 14 P( z 0 )=0 326 P( z 1 )=0 394 P(s 3 )=0 30 P(z 0 s 3 )=0 4 P(z 1 s 3 )=0 6 P(s 3 z 0 )=0 12 P(s 3 z 1 )=0 18 P(s 3 z 0 )=0 186 P(s 3 z 1 )= ábra. Valószínűségi fa 222

14 A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL e 0 e 1 M (e 0 ) = P(z 0 )=0 645 P(z 1 )=0 355 a 2 a 2 a ábra. Bayes-döntési fa P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( )=0 35 P( )=0 35 P(s 3 )=0 30 P( z 0 )=0 488 P( z 0 )=0 326 P(s 3 z 0 )=0 186 P( z 0 )=0 488 P( z 0 )=0 326 P(s 3 z 0 )=0 186 P( z 1 )=0 099 P( z 1 )=0 394 P(s 3 z 1 )=0 507 P( z 1 )=0 099 P( z 1 )=0 394 P(s 3 z 1 )= Az input adatok ismeretében rajzoljuk fel és számszerűsítsük a Bayesdöntési fát! (6.7. ábra) A várható nyereség a z 0 ágon: M ( z 0 )=0 488 ( 20) = ezer M (a 2 z 0 )= = ezer A várható nyereség a z 1 ágon: M ( z 1 )=0 099 ( 20) = ezer M (a 2 z 1 )= = ezer A várható nyereség az e 1 ágon: M (e 1 )= = ezer A Bayes-döntési modell kiértékelése alapján javasolható, hogy végeztessék el az előzetes piackutatást, és annak kedvező kimenetele esetén a Csepel Kerékpárgyárban gyártsák le az adott alkatrészeket; amennyiben a piackutatási eredmény kedvezőtlen, érdemes beszállítóra bízni a gyártást. 223

15 DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL 6.2. példa. Az University Press könyvkiadó szerkesztője megkapta a Bevezetés az operációkutatásba című egyetemi tankönyv kéziratát. A szerkesztő már ismeri a szerzőket, a könyv sikerét 0 65 valószínűségűre becsülte. Ha a tankönyv sikeres lesz, akkor a várható profit Haakiadó a tankönyv kiadása mellett dönt és ez a hallgatók körében nem arat sikert, akkor veszteségre számítanak. Mielőtt a kiadásról döntenének, lehetőség van a kézirat felülvizsgálatára. A felülvizsgálati folyamat kimenetele lehet kedvező vagy kedvezőtlen. Múltbeli tapasztalatok alapján annak a valószínűsége, hogy a felülvizsgálati folyamat eredménye kedvező, feltéve, hogy a könyv sikeres 0,7; annak a valószínűsége, hogy a felülvizsgálati folyamat eredménye kedvezőtlen, feltéve, hogy a könyv nem arat sikert 0,75. Szerkesszük meg a Bayes-döntési fát, feltételezve, hogy először dönteni kell a kézirat felülvizsgálatáról, illetve annak elfogadásáról, vagy visszautasításáról! Elemezzük ki a döntési fát és határozzuk meg az optimális stratégiát a kiadó részére! Ha a kézirat felülvizsgálata ba kerül, akkor miként alakul a javaslat? Megold s. A modell változóinak és eseményeinek a halmaza: E = {e 0 e 1 } A = {a 0 } Z = {z 0 z 1 } S = {s 0 }: A kézirat felülvizsgálatára vonatkozó döntési alternatívák: e 0 : nem küldik a kéziratot felülvizsgálatra; e 1 : megrendelik a kézirat felülvizsgálatát. A kézirat kiadására vonatkozó döntési alternatívák: a 0 : nem fogadják el a kéziratot kiadásra; : kiadják az egyetemi tankönyvet, A kézirat felülvizsgálatának lehetséges eredménye: z 0 : kedvezőtlen; z 1 : kedvező. Az egyetemi tankönyv iránti kereslet: s 0 : a könyv nem lesz sikeres az egyetemi hallgatók körében; ennek valószínűsége 0 35, a várható veszteség : a tankönyv sikert arat; ennek valószínűsége 0 65, a várható profit

16 A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL Adottak továbbá a következő a priori valószínűségek: P(z 1 ) = 0 7, P(z 0 s 0 )=0 75, amelyekből kiszámíthatók a komplementer feltételes valószínűségek: P(z 0 )=0 3, P(z 1 s 0 )=0 25. (6.8. ábra) e 0 P(z 1 ) a 0 P(s0) =0 35 P( )=0 65 P(s 0 z 1 ) e 1 P(z 0 ) P( z 1 ) P(s 0 z 0 ) P( z 0 ) ábra. Bayes-döntési fa szerkezete Az a priori P(s i ) valószínűségek revíziója elvégezhető a felülvizsgálatra vonatkozó feltételes valószínűségek formájában megadott referenciák (új információk) figyelembevételével. Az a priori P(s i ) valószínűségek a Bayestétel alkalmazásával meghatározott, nagyobb biztonságot adó P(s i z j ) a posteriori valószínűségekkel helyettesíthetők a döntési fa számszerűsítésénél. Tehát írjuk fel a rendelkezésre álló valószínűségek segítségével a valószínűségi fát! (6.9. ábra) P(s 0 )=0 35 P(z 1 )=0 25 P(z 0 s 0 )=0 75 P(s 0 z 1 )= P(s 0 z 0 )= P( )=0 65 P(z 1 )=0 7 P(z 0 )=0 3 P( z 1 )= P( z 0 )= ábra. Valószínűségi fa 225

17 DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL A valószínűségi fából kiszámítható, hogy milyen valószínűséggel lesz a piackutatás eredménye kedvező P(z 1 ), illetve kedvezőtlen P(z 2 ). P(z 1 )=P( z 1 )+P( z 1 )= P(z 2 )=1 P(z 1 )= A valószínűségi fa alapján egyszerűen meghatározhatók az a posteriori valószínűségek, amelyek a döntési fa döntési alternatíváit követő eseményekhez rendelendők. P( z 1 )= P( z 1 ) P(z 1 ) P( z 0 )= P( z 0 ) P(z 0 ) = P(s 0 z 1 )= P(s 0 z 1 ) P(z 1 ) = P(s 0 z 02 )= P(s 0 z 0 ) P(z 0 ) = = Most már képesek vagyunk számszerűsíteni a Bayes-döntési fát. (6.10. ábra) a 0 P(s 0 )= e P(z 0 )= a 0 P( )=0 65 P(s 0 z 0 )= e 1 P( z 0 )= P(z 1 )= P(s 0 z 1 )= P( z 1 )= ábra. Bayes-döntési fa M (e 0 ) >M (e 1 ). Teljesen fölösleges a kézirat felülvizsgálatára pénzt és időt pazarolni, hiszen mindenképpen a kiadás mellett kell dönteni a Bayesmodell alapján is. Ezt a döntést a szerkesztő bátran vállalhatja. A Bayesdöntési fa eredményeivel az University Press menedzsmentje is meggyőzhető a szerkesztő döntésének helyességéről. 226

18 A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL 6.3. példa. A) Egy szolgáltató cég felméréseik kiértékelésére számítógépes rendszert akar telepíteni. A cél a rendszer méretének optimalizálása. Dönteni kell nagyméretű, közepes méretű, vagy kisméretű rendszer lízingelése között. A döntési alternatíva kiválasztása a cég szolgáltatása iránt várhatóan jelentkező alacsony, vagy magas igénytől függ. A szakemberek a magas igény bekövetkezésének valószínűségét 30%-ra becsülik. Az alábbi táblázat tartalmazza a nyereség várható nagyságát a döntési alternatívák és a lehetséges események szerint csoportosítva. Döntési alternatíva Magas várható igény Alacsony várható igény Nagyméretű rendszer Közepes méretű rendszer Kisméretű rendszer Rajzoljuk fel a döntési fát, és határozzuk meg a kiépítendő számítógépes rendszer optimális méretét! Megold s. A döntési alternatívák: : nagyméretű számítógépes rendszer lízingelése, a 2 : közepes méretű számítógépes rendszer lízingelése, a 3 : kisméretű számítógépes rendszer lízingelése. Az s i esemény lehetséges kimenetelei: : az igény magas a cég szolgáltatásai iránt P( )=0 30, : az igény alacsony a cég szolgáltatásai iránt P( )=0 70. Az egyes ágakhoz tartozó várható nyereség nagyságának számítása: M ( )= ( ) = M (a 2 )= = M (a 3 )= = A legkedvezőbb döntés: a kisméretű rendszer kiépítése. (6.11. ábra) Újabb információk beszerzésével pontosítani lehet a kereslet nagyságára vonatkozó valószínűségeket példa. B) [Módosított változata a 6.3. példa A) pontjának] Tegyük fel, hogy a szolgáltató cég felkér egy piackutató szakembert, hogy végezzen vizsgálatot a bevezetendő új szolgáltatások potenciális felhasználóira vonatkozóan! 227

19 DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL Várható profit nagy P( )=0 3 Profit P( )= a 2 közepes P( )= P( )= a 3 kicsi P( )=0 3 P( )= ábra. Döntési fa A piackutatói vizsgálat új információi feltételes valószínűségek az a priori P(s i ) valószínűségekkel együtt a Bayes-tétel alkalmazása után a poszteriori valószínűségeket eredményeznek, amelyek pontosítják a cég becslését a várható kereslet nagyságára vonatkozóan. A piackutató szakember vizsgálatának eredménye lehet kedvező (z 1 ) és kedvezőtlen (z 0 ). A kapott eredményeket táblázatba rendeztük. Az új információk feltételes valószínűségek formájában: Események Piackutatási eredmény kedvező Piackutatási eredmény kedvezőtlen (z 1 ) (z 0 ) A várható kereslet magas ( ) P(z 1 )=0 8 P(z 0 )=0 2 A várható kereslet alacsony ( ) P(z 1 )=0 1 P(z 0 )=0 9 Rajzoljuk fel a döntési fát, és adjuk meg az optimális döntési változatot! Megold s. Az új információk figyelembevétele mellett a döntési diagram szerkezete az alábbiak szerint módosul (6.12. ábra): AzaprioriP(s i ) valószínűségek revíziója elvégezhető a piackutatás eredményeinek figyelembevételével. Az a priori P(s i )valószínűségek a Bayestétel alkalmazásával meghatározott, nagyobb biztonságot adó P(s i z j )a posteriori valószínűségekkel helyettesíthetők a döntési fa számszerűsítésénél (6.13. ábra). 228

20 A BAYES-TÉTELEN ALAPULÓ DÖNTÉSI MODELL z 1 a a z 2 a a ábra. A döntési diagram (e 1 ) új ágának szerkezete P( )=0 3 P(z 1 )=0 8 P(z 0 )=0 2 P( z 1 )=0 24 P( z 2 )=0 06 P( )=0 7 P(z 1 )=0 1 P(z 0 )=0 9 P( z 1 )=0 07 P( z 2 )= ábra. Valószínűségi fa A döntési fából kiszámítható, hogy milyen valószínűséggel lesz a piackutatás eredménye kedvező P(z 1 ), illetve kedvezőtlen P(z 0 ). P(z 1 )=P( z 1 )+P( z 1 )=0 31 P(z 0 )=1 P(z 1 )=0 69 A valószínűségi fa alapján egyszerűen meghatározhatók a posteriori valószínűségek, amelyek a döntési fa döntési alternatíváit követő eseményekhez rendelendők. P( z 1 )= P( z 1 ) P(z 1 ) P( z 0 )= P( z 0 ) P(z 0 ) = =0 087 P( z 1 )= P( z 1 ) P(z 1 ) P( z 0 )= P( z 0 ) P(z 0 ) = =

21 DÖNTÉSANALÍZIS DÖNTÉSI FA ALKALMAZÁSÁVAL A várható nyereség nagysága a z 1 ágon: M ( z 1 )= ( 20) = M (a 2 z 1 )= = M (a 3 z 1 )= = A várható nyereség nagysága a z 0 ágon: M ( z 0 )= ( 20) = 860 M (a 2 z 0 )= = M (a 3 z 0 )= = M (e 1 )= = A szolgáltató cég döntési stratégiája a döntési alternatívákhoz kiszámított várható nyereség értékei alapján (6.14. ábra): Várható profit s P( z 1 )= profit z 1 z 0 P(z 1 )=0 31 P(z 0 )=0 69 a 2 a 3 a 2 a P( z 1 )= P( z 1 )= P( z 1 )= P( z 1 )= P( z 1 )= P( z 0 )=0 913 P( z 0 )=0 087 P( z 0 )=0 913 P( z 0 )=0 087 P( z 0 )= P( z 0 )= ábra. Döntési fa (e 1 ) előzetes vizsgálat esetére vonatkozó ága ha a piackutatás eredménye kedvező, akkor ajánlott egy nagy kapacitású számítógépes rendszer lízingelése; ha a piackutatás eredménye kedvezőtlen, akkor kis kapacitású számítógépes rendszer kiépítése is elegendő. 230

Salamon Péter. Az Európai Unió. által nyújtott támogatások ellenőrzése PR 308/14

Salamon Péter. Az Európai Unió. által nyújtott támogatások ellenőrzése PR 308/14 Salamon Péter Az Európai Unió által nyújtott támogatások ellenőrzése PR 308/14 Budapest 2014 Szerző: Salamon Péter Alkotószerkesztő: Blumné Bán Erika főiskolai adjunktus Számvitel Intézeti Tanszék BGF-PSZK

Részletesebben

Dr. Siklósi Ágnes Dr. Simon Szilvia. Bevezetés. a számvitelbe. Számvitel alapjai példatár

Dr. Siklósi Ágnes Dr. Simon Szilvia. Bevezetés. a számvitelbe. Számvitel alapjai példatár Dr. Siklósi Ágnes Dr. Simon Szilvia Dr. Veress Attila Bevezetés a számvitelbe Számvitel alapjai példatár Szerzők: Dr. Siklósi Ágnes, 2014 Dr. Simon Szilvia, 2014 Dr. Veress Attila, 2014 Lektor: dr. Sztanó

Részletesebben

Fogyasztói magatartás

Fogyasztói magatartás Dr. Fodor Mónika Fürediné Dr. Kovács Annamária Dr. Horváth Ágnes Rácz Georgina Fogyasztói magatartás PR-215/12 Szerzők: Dr. Fodor Mónika, 2011 főiskolai docens Fürediné Dr. Kovács Annamária, 2011 egyetemi

Részletesebben

Balázsiné Farkas Katalin Havass Norbert Kardos Barbara. Pénzügyi számviteli példatár

Balázsiné Farkas Katalin Havass Norbert Kardos Barbara. Pénzügyi számviteli példatár Balázsiné Farkas Katalin Havass Norbert Kardos Barbara Pénzügyi számviteli példatár Balázsiné Farkas Katalin Havass Norbert Kardos Barbara Pénzügyi számviteli példatár Üzleti szakügyintézõk és államháztartási

Részletesebben

Tételvázlatok a vállalkozási mérlegképes könyvelõi komplex szakmai vizsgához

Tételvázlatok a vállalkozási mérlegképes könyvelõi komplex szakmai vizsgához Blumné Bán Erika Kresalek Péter Dr. Pucsek József Dr. Siklósi Ágnes Sisa Krisztina Dr. Sztanó Imre Dr. Veress Attila Tételvázlatok a vállalkozási mérlegképes könyvelõi komplex szakmai vizsgához Számvitel-elemzés-ellenõrzés

Részletesebben

KÉPZÉSI PROGRAM NEMZETKÖZI GAZDÁLKODÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK

KÉPZÉSI PROGRAM NEMZETKÖZI GAZDÁLKODÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK KÉPZÉSI PROGRAM NEMZETKÖZI GAZDÁLKODÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV érvényes a 2013/2014. tanévtől felmenő rendszerben NEMZETKÖZI GAZDÁLKODÁS ALAPKÉPZÉSI

Részletesebben

KIEMELT PROJEKTEK MEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNYAINAK TARTALMI KÖVETELMÉNYEI JAVASLAT

KIEMELT PROJEKTEK MEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNYAINAK TARTALMI KÖVETELMÉNYEI JAVASLAT KIEMELT PROJEKTEK MEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNYAINAK TARTALMI KÖVETELMÉNYEI JAVASLAT Készítette a Terra Studio Kft. a Nemzeti Fejlesztési Ügynökség megbízásából a Kiemelt Programok és Projektek Főosztályának

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI SZABÓ GÁBOR KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI SZABÓ GÁBOR KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI SZABÓ GÁBOR KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR 2011 KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR VÁLLALATGAZDASÁGI ÉS SZERVEZÉSI TANSZÉK A doktori iskola vezetője: DR. UDOVECZ

Részletesebben

2.2 Logisztorik (Gindilla Orsolya) 2012. szeptember 2.3 Barangolás a nagyotmondók földjén (Gindilla Orsolya) 3. Halmazelmélet

2.2 Logisztorik (Gindilla Orsolya) 2012. szeptember 2.3 Barangolás a nagyotmondók földjén (Gindilla Orsolya) 3. Halmazelmélet Tartalomjegyzék Az Ön könyve tartalmazza Tartalomjegyzék Szerzők Használati útmutató A megjelenés dátuma A GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK 2. Logika 2.1 Képes sudoku kezdőknek (Tariné Berkes Judit Katalin) 2.2

Részletesebben

TERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006.

TERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006. Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás Mezőtúr TERMELÉSMENEDZSMENT Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár Mezőtúr 6.

Részletesebben

AZ ESÉLY AZ ÖNÁLLÓ ÉLETKEZDÉSRE CÍMŰ, TÁMOP-3.3.8-12/2-2012-0089 AZONOSÍTÓSZÁMÚ PÁLYÁZAT. Szakmai Nap II. 2015. február 5.

AZ ESÉLY AZ ÖNÁLLÓ ÉLETKEZDÉSRE CÍMŰ, TÁMOP-3.3.8-12/2-2012-0089 AZONOSÍTÓSZÁMÚ PÁLYÁZAT. Szakmai Nap II. 2015. február 5. AZ ESÉLY AZ ÖNÁLLÓ ÉLETKEZDÉSRE CÍMŰ, TÁMOP-3.3.8-12/2-2012-0089 AZONOSÍTÓSZÁMÚ PÁLYÁZAT Szakmai Nap II. (rendezvény) 2015. február 5. (rendezvény dátuma) Kiss István (előadó) Bemeneti mérés - matematika

Részletesebben

A vállalkozások tevékenységének komplex elemzése

A vállalkozások tevékenységének komplex elemzése Dr. Bíró Tibor Kresalek Péter Dr. Pucsek József Dr. Sztanó Imre A vállalkozások tevékenységének komplex elemzése Dr. Bíró Tibor Kresalek Péter Dr. Pucsek József Dr. Sztanó Imre A vállalkozások tevékenységének

Részletesebben

A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLEX MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL

A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLEX MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL Wolfgang Lassmann - Günter Peissker A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLE MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL A termelési folyamat hatékonyabb irányítása közepes és nagy gazdasági vállalatokban,

Részletesebben

Mezőgazdasági vállalatok stratégiai menedzsmentje. /Elméleti jegyzet/

Mezőgazdasági vállalatok stratégiai menedzsmentje. /Elméleti jegyzet/ Mezőgazdasági vállalatok stratégiai menedzsmentje /Elméleti jegyzet/ 1 Mezőgazdasági vállalatok stratégiai menedzsmentje /Elméleti jegyzet/ Szerző: Berde Csaba Nábrádi András Szücs István Debreceni Egyetem

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Tárgyszavak: internet; digitális termék; digitális tartalom; marketing-mix.

Tárgyszavak: internet; digitális termék; digitális tartalom; marketing-mix. A MARKETING TERÜLETEI Digitális termékek marketingje Melyek a digitális termékek legfőbb jellegzetességei? Miben különböznek a hagyományos termékektől és szolgáltatásoktól? Hogyan alkalmazható a marketingmix

Részletesebben

Vállalati és ágazati gazdaságtani ismeretek. /Felzárkóztató modul elméleti jegyzet/

Vállalati és ágazati gazdaságtani ismeretek. /Felzárkóztató modul elméleti jegyzet/ Vállalati és ágazati gazdaságtani ismeretek /Felzárkóztató modul elméleti jegyzet/ Vállalati és ágazati gazdaságtani ismeretek /Felzárkóztató modul elméleti jegyzet/ Szerzők: Apáti Ferenc Debreceni Egyetem

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

A számviteli törvény 2013

A számviteli törvény 2013 A számviteli törvény 2013 A számviteli törvény 2013 PR-015/13 ISBN 978-963-394-822-4 Kiadja a Perfekt Gazdasági Tanácsadó, Oktató és Kiadó Zártkörűen Működő Részvénytársaság a Sanoma company A kiadásért

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Székely Csaba. Agrár-gazdaságtan 8. AGAT8 modul. Vállalati tervezés és fejlesztés

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Székely Csaba. Agrár-gazdaságtan 8. AGAT8 modul. Vállalati tervezés és fejlesztés Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Székely Csaba Agrár-gazdaságtan 8. AGAT8 modul Vállalati tervezés és fejlesztés SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló

Részletesebben

Felhasználók hatása a Szolnoki Főiskola képzésfejlesztési tevékenységére

Felhasználók hatása a Szolnoki Főiskola képzésfejlesztési tevékenységére TÁMOP-4.1.1/A-10/1/KONV-2010-0019. Munkaerő-piaci igényekhez alkalmazkodó integrált hallgatói és intézményi szolgáltatásfejlesztés a Szolnoki Főiskolán Munkaerő-piaci alkalmazkodás fejlesztése alprojekt

Részletesebben

dr. Gyulai László Illés Ivánné dr. Paróczai Péterné dr. Sándorné Új Éva PÉNZÜGYEK PÉLDATÁR a mérlegképes könyvelõk írásbeli vizsgáihoz

dr. Gyulai László Illés Ivánné dr. Paróczai Péterné dr. Sándorné Új Éva PÉNZÜGYEK PÉLDATÁR a mérlegképes könyvelõk írásbeli vizsgáihoz dr. Gyulai László Illés Ivánné dr. Paróczai Péterné dr. Sándorné Új Éva PÉNZÜGYEK PÉLDATÁR a mérlegképes könyvelõk írásbeli vizsgáihoz Szerzõk: dr. Gyulai László, 2008 Illés Ivánné dr., 2008 Paróczai Péterné

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Mérlegképes könyvelői képzés VIZSGÁZÓK KÖNYVE számvitelből és elemzésből

Mérlegképes könyvelői képzés VIZSGÁZÓK KÖNYVE számvitelből és elemzésből Dr. Siklósi Ágnes Sisa Krisztina Dr. Veress Attila Mérlegképes könyvelői képzés VIZSGÁZÓK KÖNYVE számvitelből és elemzésből PR-090/13 Szerzők: Dr. Siklósi Ágnes, 2013 Sisa Krisztina, 2013 Dr. Veress Attila,

Részletesebben

S z á m v i t e l I I I.

S z á m v i t e l I I I. S z á m v i t e l I I I. F Korom Erik, Madarasiné Szirmai Andrea, Miklósyné Ács Klára, Reizingerné Ducsai Anita, Romsics Anikó, Siklósi Ágnes, Simon Szilvia eladatgyûjtemény a vállalkozói könyvvitelhez

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti

Részletesebben

1. Az ár jelentősége. Az ár az áru pénzben kifejezett ellenértéke. Az a pénzmennyiség, amennyiért az áru eladható, megvehető.

1. Az ár jelentősége. Az ár az áru pénzben kifejezett ellenértéke. Az a pénzmennyiség, amennyiért az áru eladható, megvehető. Vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosítója, megnevezése: 1495-06 Marketing és PR ismeret Vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése: 1495-06/2 Marketing- és PR alapfogalmainak ismertetése,

Részletesebben

Nagy számviteli tesztkönyv PR-004/13

Nagy számviteli tesztkönyv PR-004/13 Fridrich Péter Dr. Kardos Barbara Miklósyné Ács Klára Dr. Siklósi Ágnes Dr. Simon Szilvia Sisa Krisztina Dr. Szekeres Bernadett Dr. Sztanó Imre Dr. Veress Attila Nagy számviteli tesztkönyv PR-004/13 Szerzõk:

Részletesebben

Bevezetés 2. Aggregált terv készítése (esettanulmány) 3. Megoldás 3. Aggregált termelési terv összeállítása 8. Érzékenységvizsgálat 12

Bevezetés 2. Aggregált terv készítése (esettanulmány) 3. Megoldás 3. Aggregált termelési terv összeállítása 8. Érzékenységvizsgálat 12 Bevezetés 2 Aggregált terv készítése (esettanulmány) 3 Megoldás 3 Zéró raktárkészlet stratégia 4 Állandó munkaerőszint stratégia 5 Az optimális megoldás lineáris programozással 6 Aggregált termelési terv

Részletesebben

Penta Unió Zrt. A telephely szabályozása kettős adóztatási egyezményeinkben

Penta Unió Zrt. A telephely szabályozása kettős adóztatási egyezményeinkben Penta Unió Zrt. A telephely szabályozása kettős adóztatási egyezményeinkben NÉV: Szőke Angéla Szak: Okleveles nemzetköziadó-szakértő Konzulens: Csantavériné Botgál Tünde Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

V. V. Praszolov. Lineáris algebra. TypoTEX

V. V. Praszolov. Lineáris algebra. TypoTEX Lineáris algebra V. V. Praszolov Lineáris algebra TypoTEX 2005 A mű eredeti címe: Problems and Theorems in Linear Algebra c American Mathematical Society, 1994 A könyv az támogatásával a Felsőoktatási

Részletesebben

TÁMOP-4.1.1-08/1-2009-0005. Diplomás Pályakövetési vizsgálat Kutatási jelentés. Végzettek pályakövetésére vonatkozó vizsgálat

TÁMOP-4.1.1-08/1-2009-0005. Diplomás Pályakövetési vizsgálat Kutatási jelentés. Végzettek pályakövetésére vonatkozó vizsgálat A 21. század igényeinek megfelelő differenciált és komplex hallgatói és menedzsment szolgáltatások fejlesztése a Szolnoki Főiskolán TÁMOP-4.1.1-08/1-2009-0005 Diplomás Pályakövetési vizsgálat Kutatási

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

INVERZ FERTŐZÉSI PROBLÉMA

INVERZ FERTŐZÉSI PROBLÉMA INVERZ FERTŐZÉSI PROBLÉMA Bóta András SZTE, Informatika Pluhár András SZTE, Informatika Tartalom Fertőzési modellek Domingos-Richardson (kaszkád) modell Általánosított Kaszkád modell Inverz fertőzési probléma

Részletesebben

KÉPZÉSI PROGRAM KERESKEDELEM ÉS MARKETING ALAPKÉPZÉSI SZAK

KÉPZÉSI PROGRAM KERESKEDELEM ÉS MARKETING ALAPKÉPZÉSI SZAK KÉPZÉSI PROGRAM KERESKEDELEM ÉS MARKETING ALAPKÉPZÉSI SZAK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV KERESKEDELEM ÉS MARKETING ALAPKÉPZÉSI SZAK (BA.) NAPPALI TAGOZAT érvényes a 2013/2014.

Részletesebben

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Vállalati informatika példatár. Dr. Bodnár Pál D.Sc.

Vállalati informatika példatár. Dr. Bodnár Pál D.Sc. Vállalati informatika példatár Dr. Bodnár Pál D.Sc. BGF Tartalomjegyzék Elõszó......7 I. kötet MENEDZSMENT ÜGYVITEL INFORMATIKAI TÁMOGATÁSA...9 II. kötet ÜZLETI ÜGYVITEL IFNORMATIKAI TÁMOGATÁSA...97 III.

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői

A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői Az első adatbázis-kezelő rendszerek a hierarchikus modellen alapultak. Ennek az volt a magyarázata, hogy az élet sok területén első közelítésben elég jól lehet

Részletesebben

Szerkesztette: Fenyvesi Éva Vágány Judit

Szerkesztette: Fenyvesi Éva Vágány Judit Szerkesztette: Fenyvesi Éva Vágány Judit Borítóterv: FLOW PR A fejezetek illusztrációi: Fenyvesi Éva Lektorok: Salamonné Huszty Anna, Török Hilda ISBN: 978-615-5607-20-2 Kiadja: Budapesti Gazdasági Egyetem

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Fogyasztói magatartás

Fogyasztói magatartás Fogyasztói magatartás Dr. Fodor Mónika Fürediné Dr. Kovács Annamária Dr. Horváth Ágnes Rácz Georgina Fogyasztói magatartás PR-215/12 Szerzők: Dr. Fodor Mónika, 2011 főiskolai docens Fürediné Dr. Kovács

Részletesebben

Jäckel Katalin Nagy Orsolya. Üzleti terv készítése

Jäckel Katalin Nagy Orsolya. Üzleti terv készítése Jäckel Katalin Nagy Orsolya Üzleti terv készítése A kiadvány a 14447/5/2009 ügyiratszámon 2009. október 27-tõl tankönyvvé nyilvánítási engedélyt kapott. Szerzõk: Jäckel Katalin, 2009 Nagy Orsolya, 2009

Részletesebben

eladatgyûjtemény a könyvviteli alapismeretekhez

eladatgyûjtemény a könyvviteli alapismeretekhez S z á m v i t e l I. F Éva Katalin, Madarasiné Szirmai Andrea, Miklósyné Ács Klára, Reizingerné Ducsai Anita, Romsics Anikó, Siklósi Ágnes, Simon Szilvia eladatgyûjtemény a könyvviteli alapismeretekhez

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS - TÉZISFÜZET

SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS - TÉZISFÜZET SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ GAZDÁLKODÁS ÉS SZERVEZÉSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS - TÉZISFÜZET A MINŐSÉG- ÉS BIZTONSÁGMENEDZSMENT SZEREPÉNEK ÉS HATÉKONYSÁGÁNAK ÖKONÓMIAI VIZSGÁLATA

Részletesebben

A repülő műszaki állomány kompetencia alapú képzésének és felkészítésének elemzése

A repülő műszaki állomány kompetencia alapú képzésének és felkészítésének elemzése NEMZETI KÖZSZOLGÁLATI EGYETEM KATONAI MŰSZAKI DOKTORI ISKOLA Tóth József A repülő műszaki állomány kompetencia alapú képzésének és felkészítésének elemzése Doktori (PhD) Értekezés (Tervezet) Témavezető:

Részletesebben

Kovácsné Bakosi Éva. A gyakorlatvezetés módszertani kézikönyve

Kovácsné Bakosi Éva. A gyakorlatvezetés módszertani kézikönyve Kovácsné Bakosi Éva A gyakorlatvezetés módszertani kézikönyve DEBRECENI EGYETEM TANÁRKÉPZÉSI KÖZPONT A gyakorlatvezetés módszertani kézikönyve Az óvodai gyakorlati képzés korszerűsítése KÉSZÍTETTE: KOVÁCSNÉ

Részletesebben

DESZTINÁCIÓ MENEDZSMENT MODUL

DESZTINÁCIÓ MENEDZSMENT MODUL DESZTINÁCIÓ MENEDZSMENT MODUL Minőség és innováció menedzsment Megjegyzés [b1]: MODUL /TANTÁRGY CÍME Szerkesztette: Szabó Imre László Egyetemi tankönyv Megjegyzés [b2]: HA VAN KIADÓ, VAGY BÁRMILYEN EGYÜTTMŰKÖDŐ

Részletesebben

Stratégiai menedzsment

Stratégiai menedzsment Fülöp Gyula Stratégiai menedzsment Elmélet és gyakorlat Perfekt Kiadó Tartalom Bevezetés... 9 1. A stratégia lényege, stratégiai alapfogalmak... 11 1.1. Katonai gyökerek... 11 1.2. Stratégia az üzleti

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM

SZENT ISTVÁN EGYETEM SZENT ISTVÁN EGYETEM A magyar mezőgazdasági gépgyártók innovációs aktivitása Doktori (PhD) értekezés tézisei Bak Árpád Gödöllő 2013 A doktori iskola Megnevezése: Műszaki Tudományi Doktori Iskola Tudományága:

Részletesebben

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés Készítette: Körei Attila okleveles matematikus Hatvany József Informatikai Tudományok

Részletesebben

DR. PFEFFER ZSOLT Gyakorló kérdések és válaszok közbeszerzési jogi ismeretekből (közbeszerzési kis-káté)

DR. PFEFFER ZSOLT Gyakorló kérdések és válaszok közbeszerzési jogi ismeretekből (közbeszerzési kis-káté) DR. PFEFFER ZSOLT Gyakorló kérdések és válaszok közbeszerzési jogi ismeretekből (közbeszerzési kis-káté) Összeállította: dr. Pfeffer Zsolt 1 Készült: 2009 októberében, figyelemmel a tervezett 2010. január

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN)

OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN) OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN) Fábos Róbert 1 Alapvető elvárás a logisztika területeinek szereplői (termelő, szolgáltató, megrendelő, stb.)

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Alpolgármester JAVASLAT

Alpolgármester JAVASLAT BUDAPEST XXI. KERÜLET CSEPEL ÖNKORMÁNYZATA Alpolgármester JAVASLAT az önkormányzatok, illetőleg önkormányzati feladatellátást biztosító egyes közszolgáltatások akadálymentesítéséről szóló KMOP-2007-4.5.3

Részletesebben

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM MEZŐGAZDASÁG- ÉS ÉLELMISZERTUDOMÁNYI KAR AGRÁRGAZDASÁGTANI ÉS MARKETING TANSZÉK Programvezető: Dr. Dr. hc. Iváncsics János egyetemi tanár az

Részletesebben

MUNKAANYAG. Tordai György. Kombinációs logikai hálózatok II. A követelménymodul megnevezése: Elektronikai áramkörök tervezése, dokumentálása

MUNKAANYAG. Tordai György. Kombinációs logikai hálózatok II. A követelménymodul megnevezése: Elektronikai áramkörök tervezése, dokumentálása Tordai György Kombinációs logikai hálózatok II. A követelménymodul megnevezése: Elektronikai áramkörök tervezése, dokumentálása A követelménymodul száma: 0917-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja:

Részletesebben

SZAKMAI BESZÁMOLÓ (Beszámoló terjedelme 15280 karakter, a többi a melléklet) A tárgykörben létrehozott adatbázis és módszer

SZAKMAI BESZÁMOLÓ (Beszámoló terjedelme 15280 karakter, a többi a melléklet) A tárgykörben létrehozott adatbázis és módszer SZAKMAI BESZÁMOLÓ (Beszámoló terjedelme 15280 karakter, a többi a melléklet) A tárgykörben létrehozott adatbázis és módszer A kutatás keretében KSH adatok alapján létrehoztunk egy olyan adatbázist és módszert,

Részletesebben

VÁLLALATI INFORMÁCIÓS RENDSZEREK, INTERNETES TECHNIKÁK

VÁLLALATI INFORMÁCIÓS RENDSZEREK, INTERNETES TECHNIKÁK VÁLLALATI INFORMÁCIÓS RENDSZEREK, INTERNETES TECHNIKÁK A digitális gyár mint a termékéletciklusmenedzsment megvalósításának központi eleme A termékéletciklus-menedzsment lényege az üzleti folyamatok olyan

Részletesebben

Doktori (PhD) értekezés tézisei. A minőség- és eredettanúsítás lehetősége és alkalmazása a magyar erdőgazdálkodásban. Bodnár Sándor okl.

Doktori (PhD) értekezés tézisei. A minőség- és eredettanúsítás lehetősége és alkalmazása a magyar erdőgazdálkodásban. Bodnár Sándor okl. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Doktori (PhD) értekezés tézisei A minőség- és eredettanúsítás lehetősége és alkalmazása a magyar erdőgazdálkodásban Bodnár Sándor okl. erdőmérnök Sopron 2005 Roth Gyula Erdészeti

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

ELEMZÉS. A nyilvántartott álláskeresők létszámának trendje és összetétele 1998. január és 2008. december között. Készítette. MultiRáció Kft.

ELEMZÉS. A nyilvántartott álláskeresők létszámának trendje és összetétele 1998. január és 2008. december között. Készítette. MultiRáció Kft. ELEMZÉS A nyilvántartott álláskeresők létszámának trendje és összetétele 1998. január és 2008. december között Készítette MultiRáció Kft. Budapest, 2008. április 1 Tartalom 1. Bevezetés...3 2. A létszámtrendek

Részletesebben

KÉPZÉSI PROGRAM PÉNZÜGY ÉS SZÁMVITEL ALAPKÉPZÉSI SZAK

KÉPZÉSI PROGRAM PÉNZÜGY ÉS SZÁMVITEL ALAPKÉPZÉSI SZAK KÉPZÉSI PROGRAM PÉNZÜGY ÉS SZÁMVITEL ALAPKÉPZÉSI SZAK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV érvényes a 2013/2014. tanévtől felmenő rendszerben PÉNZÜGY ÉS SZÁMVITEL ALAPKÉPZÉSI SZAK

Részletesebben

PROJEKT-ELŐKÉSZÍTÉS, TERVEZÉS

PROJEKT-ELŐKÉSZÍTÉS, TERVEZÉS A3 Project Kft. széleskörű, személyre szabott, komplex tanácsadói szolgáltatást nyújt ügyfelei számára. Bármely projekt sikerességét nagymértékben segíti, hogy a projekt tervezésétől a megvalósítás során,

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

Kultúraközi kommunikáció Az interkulturális menedzsment aspektusai

Kultúraközi kommunikáció Az interkulturális menedzsment aspektusai Falkné Bánó Klára Kultúraközi kommunikáció Az interkulturális menedzsment aspektusai Szerző: Falkné dr. Bánó Klára, 2008. ISBN 978-963-394-747-0 A kiadvány szerzői jogi védelem alatt áll, arról másolat

Részletesebben

Kiadja az Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft. Országos Felsőoktatási Információs Központ (OFIK) Felelős kiadó Visnyei Csaba

Kiadja az Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft. Országos Felsőoktatási Információs Központ (OFIK) Felelős kiadó Visnyei Csaba Készült a Társadalmi Megújulás Operatív Program 4.1.3 A felsőoktatási szolgáltatások rendszer szintű fejlesztése kiemelt projekt intézkedési keretében a Diplomás Pályakövető Rendszer megvalósítása során.

Részletesebben

A 2. fejezet (68 oldal) a határfelületek mikroszkopikus tulajdonságaival kapcsolatos eredményeket összegzi. A 4 alfejezet mindegyike szakirodalmi

A 2. fejezet (68 oldal) a határfelületek mikroszkopikus tulajdonságaival kapcsolatos eredményeket összegzi. A 4 alfejezet mindegyike szakirodalmi Bírálat Dr. Nagy Gábor Szilárd/folyadék határfelületek elméleti leírása, kísérleti vizsgálata és gyakorlati szerepe címmel benyújtott doktori értekezéséhez Az elektrokémiai témájú doktori értekezések bírálói

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

VESZPRÉM MEGYE SZÁMOKBAN

VESZPRÉM MEGYE SZÁMOKBAN VESZPRÉM MEGYE SZÁMOKBAN 214 Tartalom Főbb jellemzők.... 2 1. Népesség, népmozgalom.... 4 2. Munkaerőpiac... 6 3. Egészségügy, baleset... 8 4. Szociális ellátás...1 5. Oktatás, kultúra...12 6. GDP, kutatás-fejlesztés...14

Részletesebben

szervezés a nyomdaiparban ( K nappali)

szervezés a nyomdaiparban ( K nappali) Budapesti Műszaki Főiskola Rejtő Sándor Könnyűipari és Környezetmérnöki Kar Médiatechnológiai Intézet Karbantartás-szervezés szervezés a nyomdaiparban ( K nappali) Budapesti Műszaki Főiskola Rejtő Sándor

Részletesebben

KÉPZÉSI PROGRAM TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK

KÉPZÉSI PROGRAM TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK KÉPZÉSI PROGRAM TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV érvényes a 2013/2014. tanévtől felmenő rendszerben TURIZMUS-VENDÉGLÁTÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK

Részletesebben

Szakmai zárójelentés

Szakmai zárójelentés Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott

Részletesebben

Menedzsment és Vállalatgazdaságtan PhD. Marketing: 3. előadás. Termékstratégiai döntések piackutatási esetek

Menedzsment és Vállalatgazdaságtan PhD. Marketing: 3. előadás. Termékstratégiai döntések piackutatási esetek Menedzsment és Vállalatgazdaságtan PhD Marketing: 3. előadás Termékstratégiai döntések piackutatási esetek 2016. 05. 20. Előadó: Dr. Bíró-Szigeti Szilvia, egyetemi adjunktus BME-MVT Az előadás témakörei:

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Tóth János

Részletesebben

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

FELSÕOKTATÁSI ÉS SZAKKÉPZÉSI KÖNYVAJÁNLÓ

FELSÕOKTATÁSI ÉS SZAKKÉPZÉSI KÖNYVAJÁNLÓ FELSÕOKTATÁSI ÉS SZAKKÉPZÉSI KÖNYVAJÁNLÓ 2010 a Sanoma company Perfekt Universitas TARTALOMJEGYZÉK Bevezetõ...3 Könyvértékesítés...4 A Perfekt Kiadó kiadványai A Budapesti Gazdasági Fõiskola alaptankönyvei...7

Részletesebben

TÁMOP-4.1.1/A-10/1/KONV-2010-0019.

TÁMOP-4.1.1/A-10/1/KONV-2010-0019. TÁMOP-4.1.1/A-10/1/KONV-2010-0019. Munkaerő-piaci igényekhez alkalmazkodó integrált hallgatói és intézményi szolgáltatásfejlesztés a Szolnoki Főiskolán Munkaerő-piaci alkalmazkodás fejlesztése alprojekt

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Az elektronikus katalógus

Az elektronikus katalógus Az elektronikus katalógus A katalógus fogalma A könyvtk nyvtárban találhat lható művek rendszerezett, áttekinthető felsorolása. sa. ajtái: édulakatalógus önyvkatalógus ikrofilm-katal katalógus lektronikus

Részletesebben

FELSÕOKTATÁSI ÉS SZAKKÉPZÉSI KÖNYVAJÁNLÓ

FELSÕOKTATÁSI ÉS SZAKKÉPZÉSI KÖNYVAJÁNLÓ FELSÕOKTATÁSI ÉS SZAKKÉPZÉSI KÖNYVAJÁNLÓ 2009 a Sanoma company Perfekt Universitas TARTALOMJEGYZÉK Bevezetõ...3 Könyvértékesítés...4 A Perfekt Kiadó kiadványai A Budapesti Gazdasági Fõiskola alaptankönyvei...7

Részletesebben

Óravázlat. A piac fogalma, elemei, szereplői. Az óra anyaga: Új ismeret feldolgozó óra. Az óra típusa: A tanulók. Oktatási cél:

Óravázlat. A piac fogalma, elemei, szereplői. Az óra anyaga: Új ismeret feldolgozó óra. Az óra típusa: A tanulók. Oktatási cél: Óravázlat Marketing óravázlat A piaci környezet, a piac fogalma, elemei, szereplői Tantárgy: Marketing Évfolyam: 11. évfolyam Témakör: A vállalkozások környezete Tanár: Szemerédi Orsolya Az óra anyaga:

Részletesebben

SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV. érvényes a. 2011/2012. tanévtől. felmenő rendszerben KERESKEDELEM ÉS MARKETING ALAPKÉPZÉSI SZAK (BA.

SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV. érvényes a. 2011/2012. tanévtől. felmenő rendszerben KERESKEDELEM ÉS MARKETING ALAPKÉPZÉSI SZAK (BA. SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV érvényes a 2011/2012. tanévtől felmenő rendszerben KERESKEDELEM ÉS MARKETING ALAPKÉPZÉSI SZAK (BA.) LEVELEZŐ ÉS TÁVOKTATÁSI TAGOZAT Szakirányok ÉRTÉKESÍTÉS-SZERVEZÉS MARKETING

Részletesebben

AZ EURÓPAI KÖZÖSSÉGEK BIZOTTSÁGA

AZ EURÓPAI KÖZÖSSÉGEK BIZOTTSÁGA AZ EURÓPAI KÖZÖSSÉGEK BIZOTTSÁGA Brüsszel, 14.12.2007 COM(2007) 799 végleges A BIZOTTSÁG KÖZLEMÉNYE AZ EURÓPAI PARLAMENTNEK, A TANÁCSNAK, AZ EURÓPAI GAZDASÁGI ÉS SZOCIÁLIS BIZOTTSÁGNAK ÉS A RÉGIÓK BIZOTTSÁGÁNAK

Részletesebben

Gáspár Bencéné Vér Katalin * AZ ÜZLETI INTELLIGENCIA RENDSZEREINEK KIALAKULÁSÁRÓL

Gáspár Bencéné Vér Katalin * AZ ÜZLETI INTELLIGENCIA RENDSZEREINEK KIALAKULÁSÁRÓL 123 Gáspár Bencéné Vér Katalin * AZ ÜZLETI INTELLIGENCIA RENDSZEREINEK KIALAKULÁSÁRÓL Az igazi szûk keresztmetszet nem technológiai, nem pénzügyi, de még csak nem is információs szûkösség. A kényszertényezõ

Részletesebben

Bevezetés s a piacgazdaságba. gba. Alapprobléma. Mikroökonómia: elkülönült piaci szereplık, egyéni érdekek alapvetı piaci törvények

Bevezetés s a piacgazdaságba. gba. Alapprobléma. Mikroökonómia: elkülönült piaci szereplık, egyéni érdekek alapvetı piaci törvények A mikroökonómia és makroökonómia eltérése: Bevezetés s a piacgazdaságba gba Alapfogalmak, piaci egyensúly Mikroökonómia: elkülönült piaci szereplık, egyéni érdekek alapvetı piaci törvények Makroökonómia:

Részletesebben

KISTELEPÜLÉSEK ÖNFENNTARTÓ, HATÉKONY ÉS ÉRTÉKTEREMTİ KÖZFOGLALKOZTATÁSA

KISTELEPÜLÉSEK ÖNFENNTARTÓ, HATÉKONY ÉS ÉRTÉKTEREMTİ KÖZFOGLALKOZTATÁSA KISTELEPÜLÉSEK ÖNFENNTARTÓ, HATÉKONY ÉS ÉRTÉKTEREMTİ KÖZFOGLALKOZTATÁSA ADITUS Tanácsadó Zrt. 1054 Budapest, Báthori u. 3. 2011. november 21. 1/362 oldal Tartalomjegyzék 1 Elızmények...8 1.1 A kutatás

Részletesebben

ZÁRÓTANULMÁNYOK CSÁNYI TAMÁS - DOLGOS OLGA - WIMMER ÁGNES: KÖLTSÉGGAZDÁLKODÁS, TELJESÍTMÉNYMÉRÉS ÉS HATÉKONYSÁG A MAGYAR VÁLLALATI GYAKORLATBAN

ZÁRÓTANULMÁNYOK CSÁNYI TAMÁS - DOLGOS OLGA - WIMMER ÁGNES: KÖLTSÉGGAZDÁLKODÁS, TELJESÍTMÉNYMÉRÉS ÉS HATÉKONYSÁG A MAGYAR VÁLLALATI GYAKORLATBAN ZÁRÓTANULMÁNYOK CSÁNYI TAMÁS - DOLGOS OLGA - WIMMER ÁGNES: KÖLTSÉGGAZDÁLKODÁS, TELJESÍTMÉNYMÉRÉS ÉS HATÉKONYSÁG A MAGYAR VÁLLALATI GYAKORLATBAN - Költséggazdálkodás alprojekt zárótanulmánya - A tanulmánysorozat

Részletesebben

Miben új az új Kbt.? Szakmai nap és konzultáció közbeszerzők részére. 2015. október 21. AZ UNIÓS ÉRTÉKHATÁR ALATTI ELJÁRÁS DR.

Miben új az új Kbt.? Szakmai nap és konzultáció közbeszerzők részére. 2015. október 21. AZ UNIÓS ÉRTÉKHATÁR ALATTI ELJÁRÁS DR. Szakmai nap és konzultáció közbeszerzők részére 2015. október 21. DR. MACZURKA CSILLA Ún. kis értékű eljárások: - Árubeszerzés, Szolgáltatás: 8-18 millió Ft, - Építési beruházás: 15-100 millió Ft, Kivéve:

Részletesebben

Záróbeszámoló. Magyar beszállító vállalatok képességei az autóipari ellátási láncban c. (OTKA T 049147 sz.) kutatáshoz

Záróbeszámoló. Magyar beszállító vállalatok képességei az autóipari ellátási láncban c. (OTKA T 049147 sz.) kutatáshoz Záróbeszámoló Magyar beszállító vállalatok képességei az autóipari ellátási láncban c. (OTKA T 049147 sz.) kutatáshoz A kutatás időtartama: 2005. január 2007. június Témavezető: Demeter Krisztina Résztvevők:

Részletesebben

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi. Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség

Részletesebben

EMLÉKEZTETŐ. az MTA Közlekedéstudományi Bizottság 2012. november 14-i üléséről

EMLÉKEZTETŐ. az MTA Közlekedéstudományi Bizottság 2012. november 14-i üléséről Magyar Tudományos Akadémia Műszaki Tudományok Osztálya Közlekedéstudományi Bizottság Elnök: Dr. Tánczos Lászlóné az MTA doktora tel.: +36-1-463-3265 fax: +36-1-463-3267 e-mail: ktanczos@kgazd.bme.hu Titkár:

Részletesebben