Omnidirekcionális kerekek modellezési és irányítási kérdései

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Irányítástechnika és Informatika Tanszék Kálmán Viktor Omnidirekcionális kerekek modellezési és irányítási kérdései című PhD. értekezés tézisei Témavezető: Dr. Vajta László, egyetemi docens Budapest 2013.

2 Tartalomjegyzék 1 BEVEZETÉS KITŰZÖTT CÉLOK VÁLASZTOTT MÓDSZEREK ÉS ESZKÖZÖK TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK OMNIDIREKCIONÁLIS KERÉK SZIMULÁCIÓS MODELLJÉNEK MEGALKOTÁSA Kerékmodellek Omnidirekcionális modell, gyakorlat orientált megközelítés FÉKASSZISZTENS OMNIDIREKCIONÁLIS KEREKEKHEZ Demonstratív kísérletek OPTIKAI MOZGÁS VISSZACSATOLÁS Szimulációs eredmények Gyakorlati kérdések EREDMÉNYEK HASZNOSÍTÁSA, TOVÁBBLÉPÉSI LEHETŐSÉGEK KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS IRODALOM A TÉZISEKBEN HIVATKOZOTT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEK TOVÁBBI SAJÁT PUBLIKÁCIÓK HIVATKOZOTT PUBLIKÁCIÓK... 21

3 Bevezetés 1 Bevezetés Disszertációm a mobilis robotok egy osztályának néhány fontos modellezési és irányítási kérdéséről szól. Ma már mindennapos, hogy gyárakban anyagmozgatásra automatizált mobil robotokat használnak, de számtalan egyéb alkalmazást sorolhatnánk az automatizált vonatszerelvénytől kezdve, az autonóm repülőtéri kisbuszon keresztül, a katonai felderítő repülőgépig. Számos automatizált robot megalkotásának célja az ember lehetőségeinek kiterjesztése, másoké az ember védelme, az emberi tévedések kiküszöbölése. Jó példát adnak erre az autókban használt menetstabilizáló és vezetést segítő rendszerek, melyek napjainkban utat találnak az ipari robotika területére is. A mobilitási kihívások egy részére kiváló manőverező képességük miatt jó válasznak bizonyulnak az omnidirekcionális hajtású eszközök. Omnidirekcionális hajtás alatt azt értjük, hogy az ilyen jármű saját erejéből képes orientáció változtatás nélkül mozgásának irányát tetszőlegesen megválasztani. Ehhez sok esetben alkalmazzák a kerületén szabadon forgó görgőkkel ellátott omnidirekcionális kereket, melynek talán legismertebb változata a keréktengellyel 45 fokot bezáró görgőkkel rendelkező Mecanum kerék (1. ábra). Ezt a megoldást a hetvenes évek elején szabadalmaztatta Bengt Erland Ilon svéd feltaláló [11]. 1. Mecanum kerék [24] A megoldás előnye az elérhető jó manőverező képességben rejlik, hátránya, hogy alapvetően csak sík, merev talajon működik jól és gördülési tulajdonságai messze elmaradnak egy normál kerékétől. Működtetéséhez minden keréknek külön meghajtómotorral és független vezérléssel kell rendelkeznie. Felhasználása robotikai alkalmazásokban a legjellemzőbb, hobbisták körében igen népszerű. Számos ipari alkalmazása is ismert, szabadalmát kezdetben az Amerikai Haditengerészet vásárolta meg, napjainkban legismertebb alkalmazásai az Airtrax villástargoncák és a KUKA anyagmozgató járművei 1. A mai mérnöki gyakorlatban igen fontos szerepet töltenek be a szimulációs kísérletek, segítségükkel például a fejlesztés korai fázisában felderíthetők a potenciális hibák és megspórolható néhány működésképtelen prototípus elkészítése. A járműtechnikai szimulációkban talán a legfontosabb elemet a kerekek jelentik, hiszen ezek közvetítik a talajerőket és nyomatékokat a járműtestnek, így ezek szimulációja a legkritikusabb a valósághű működés szempontjából. A gépjárműtechnikában az abroncsok működésének modellezése több mint 80 éves múltra tekint vissza [8], a járműtechnikában meglévő tudás és tapasztalat a mobil robotikában is jól felhasználható. Az emberi hiba kiküszöbölésének szükségessége igen szembeötlő abban az esetben, amikor az embernek nagy tömegű, nagy értékű járműveket kell irányítania, esetenként szűk helyen, precíz módon manőverezve. A probléma megjelenik az utakon, a személyes közlekedés és a teherszállítás terén, valamint más formában, de hasonló igényekkel a beltéri anyagmozgatás esetén is. Egyfelől kihívást jelent a környezet dinamikus változásaira való megfelelő reagálás, (hozzáférés május) 1

4 Kitűzött célok az akadályok és egyéb közlekedők elkerülése, másfelől szükséges a szállítójármű feletti uralom megtartása, változó környezeti és terhelési viszonyok esetén. 2 Kitűzött célok Az értekezés robotizált szállítójárművek egy osztályának modellezésével és irányításával foglalkozik. Munkámban a következő feladatok megoldását tűztem ki célul: Az egyre nagyobb igényeket támasztó robotizált logisztika számos kihívására ad választ az omnidirekcionális hajtás. A speciális hajtás bonyolultabb vezérlést igényel, melynek fejlesztéséhez komoly segítséget nyújthat a szimuláció. A gépjármű-technikai szimulációkkal ellentétben ezen a területen nem választhatunk a kerékmodellek széles palettájából. Egyik célom volt a járműtechnikai modellezésben meglévő tudás adaptálása erre a speciális mobil robotikai területre. Az omnidirekcionális kerekek működési elvükből fakadóan gyakorlatilag csak egy kitüntetett irányban képesek erőt kifejteni, pontosan emiatt teszik lehetővé a holonom mozgást. Ennek következménye az oldaltartás hiánya és az ebből fakadó megpördülési hajlandóság, erős fékezés esetén. A kerekeken keletkező súrlódási erők kiegyensúlyozatlansága a tömegközéppont körül forgatónyomatékot ébreszt. Megvizsgáltam a fékező jármű irányítási problémáját. A nemlineáris kerék-talaj kapcsolat, valamint a járműmodell pontatlanságából fakadó bizonytalanság miatt a járműtest elfordulásának kiküszöbölése érdekében nemlineáris szabályzó készítése mellett döntöttem. A szárazföldi járművek egy csoportjának hajtására, a lánctalpas, bizonyos differenciális, a légpárnás, és az omnidirekcionális hajtásokra általában igaz, hogy a kerekek ha vannak mozgásának ismerete nem elegendő a jármű mozgásának pontos meghatározásához; például a nagymértékű slip vagy a bizonytalan fordulási középpont miatt. Célom volt egy olyan sebességszenzor rendszer megalkotása amely képes egy sík talajon mozgó robotplatform sebességét a platform kinematikájától függetlenül mérni három szabadságfok mentén. Elvében az optikai egérhez hasonlóan, ám annál szélesebb sebességtartományban. Az eredmények gyakorlati alkalmazhatóságát mind a szenzorrendszer, mind a modellek esetén szimulációs és gyakorlati kísérletekkel kell igazolni. 3 Választott módszerek és eszközök Az eredmények használhatóságának értékeléséhez számítógépes szimulációt használtam. A robot modelleket a mérnöki szimulációs gyakorlatban igen elterjedt Modelica 2 nyelven készítettem, Dymola környezetben. A sebességszenzorral végzett szimulációs kísérleteket Matlab környezetben végeztem. A Modelica nyelv egy ingyenes objektum orientált programnyelv, amellyel egyszerűen algebrai, diszkrét és differenciálegyenletekkel írhatók le fizikai rendszerek. Sokféle diszciplína szimulációs igényei kielégíthetők vele, többek közt mechatronikai, robotikai, jármű és repüléstechnikai területen. Sokoldalúságát mutatja, hogy például mechanikus, elektronikus, hidraulikus és irányítástechnikai, folyamatorientált és villamos energia termelő rendszerek és ezek együtteseinek szimulációjára alkalmas. A modellépítés filozófiája a mérnöki észjárásra hasonlít, a felhasználó elsőként sztenderd alkatrészeket, például motorokat, szelepeket keres a könyvtárakban, megfelelő paraméterekkel, és csak ha nem található akkor épít saját modellt szabványos interfészek felhasználásával

5 Választott módszerek és eszközök Matematikailag a modellek algebrai, diszkrét és differenciálegyenletekből épülnek fel. Egyetlen változó értékét sem kell külön kifejezni, a beépített numerikus egyenletmegoldó akár többszázezer egyenletből álló modellek kezelésére, az állapotváltozók automatikus kiválasztására is alkalmas [16]. A rendszer fő vonzereje az objektum orientált felépítésből adódó hierarchikus modellépítés lehetősége, és a fizikai leíráson alapuló modellépítési filozófia amely tapasztalatom szerint közelebb áll a mérnöki szemlélethez a matematikainál. A Dymola környezet grafikus interfészt biztosít a fejlesztéshez, és lehetővé teszi a Modelica nyelven írt modellek animációját. A 2. ábrán a két legnépszerűbb omnidirekcionális platform, általam készített modelljének Dymola animációi láthatók. 2. Mecanum és háromkerekű omni-platform, Dymola-ban készült animáció A sebességmérő szenzor koncepciós próbáihoz optikai egérben alkalmazott navigációs szenzorokkal felépített rendszert, valamint egy vonalkamerás szenzort használtam. A valódi szenzorok és optikájuk rugalmatlansága miatt, az algoritmus és a konstrukció hangolásához Takács Tibor kollégám segítségével készített szimulátort alkalmaztam, amely Matlab környezetben működött. 3

6 4 A disszertáció tudományos eredményeit a kitűzött célok szerint a következő alfejezetekben foglalom össze. 4.1 Omnidirekcionális kerék szimulációs modelljének megalkotása 1. Tézis: Módszert adtam a járműtechnikában elterjedt empirikus kerékmodellek átalakítására, mellyel alkalmassá tehetők a robotikában elterjedt omnidirekcionális kerekek modellezésére. A modell megtartja az eredeti kerékmodell paramétereit és a választott omnidirekcionális kerék paraméterei például görgők iránya erre szuperponálódnak. [KJVS12], [KV12b], [VAL12] Napjainkban a szabályozástechnika, a mechatronika és a gyártástechnológia fejlődése nyomán reneszánszukat élik a 70-es évek derekán feltalált [11] omnidirekcionális mozgás végrehajtására képes kerekek. Sokféle kialakítás ismert [5], [18], felhasználásuk az oktatási célú robotversenyektől kezdve, a kutatási stádiumban lévő jármű szimulátoron [1] át a professzionális áruraktári anyagmozgató megoldásokig [20] és tanulási célú játékos felhasználásokig [14], [3] sokféle területen jellemző. A 3. ábra erre mutat néhány példát. A közúti járművek szimulációjában évtizedek óta fontos szerepet kapnak a különböző kerékmodellek, melyek az abroncs nemlineáris viselkedését modellezik. A talaj és a jármű között fellépő erőket és nyomatékokat generálva, lehetővé teszik a valósághű szimulációt. Az omnidirekcionális kerekekhez azonban, talán jóval kisebb elterjedtségük okán nem jelentek meg kiforrott szimulációs megoldások. A nagyméretű omnidirekcionális járműveknél a kerekek a megszokott gépjármű kerekekhez hasonlóan gumi borításúak, így indokolt a járműtechnikában elterjedt jól bevált kerékmodellek adaptációja, megfelelő paraméterezéssel és dinamikus modellel, a valósághű szimuláció érdekében. Az irodalomban való kutatásom során Mecanum kerék szimulációs modelljével csak elnagyolt, vagy publikusan nem hozzáférhető formában [24] találkoztam, ennek oka talán az, hogy főleg a hobbisták körében és komoly ipari vállalatoknál népszerű. Ez indított arra, hogy saját modellt készítsek. A modell elkészítésénél, fő szempont az egyszerűség és a meglévő megoldások maximális kihasználása volt Kerékmodellek Az autók kerekének modellezése hosszú ideje aktív kutatási terület, mivel a gumiabroncs viselkedésének leírása nehéz, ám az eredmények számtalan helyen felhasználhatók, kutatása így kihívásokkal teli, de hálás feladat. A kerék fő feladata az utasok kényelmén túl erők és nyomatékok továbbítása az út és a jármű között, három egymásra merőleges irány mentén. Ezen erők és nyomatékok azok, melyek a járművet mozgatják és irányítását lehetővé teszik. Ennek érdekében a modellnek kezelnie kell a talajkontaktust és előállítania az itt ébredő erőket és nyomatékokat. A legtöbb erre irányuló számítás nemlineáris, a gumiabroncs anyagából és felépítéséből fakadóan [4]. 4

7 3. Omnidirekcionális kerekek felhasználása 3 A kerékmodellek jelentős része esik az ún. empirikus modellek kategóriájába, amelyek tapasztalati úton, mérések alapján jellemzik a kerék viselkedését. Az empirikus modellek jól ismert példái Hans Pacejka és Georg Rill modelljei [17], [19]. A mérési adatokra függvényeket illesztenek és ezek együtthatói jellemzik a kereket. A 4. ábrán egy példa látható [10] nyomán, amely a kerék által generált súrlódási erőt mutatja slip függvényében statikus állapotban. F F ds F max parabola parabola lineáris szakasz lineáris szakasz s Fmax s s total s 4. Rill modell statikus slip F görbe [10] A modellezés elvéből következik, hogy a paraméterek sok esetben nem rendelkeznek valódi fizikai jelentéssel, mivel egész egyszerűen egy matematikai függvény együtthatói. Ez a modellek használhatóságát korlátozza, mivel csak valós kerékkel végzett valós mérések után használhatók. Ebből kifolyólag döntöttem úgy, hogy első kísérleteimhez a Rill modellen alapuló TMEasy [10] modellt használom, amely azzal a filozófiával készült, hogy csak kevés, 3 [14], [1], [22] 5

8 és valódi fizikai jelentéssel rendelkező paramétert használ, így azok becsléssel, intuitív módon is beállíthatók, kiegészíthetők Omnidirekcionális modell, gyakorlat orientált megközelítés Sok görgős megvalósítás: Talán a leg-kézenfekvőbb módszer omnidirekcionális kerékmodell megalkotására: - válasszuk ki a kerékmodellt amely alapul szolgál - állítsuk be a mért (vagy becsült) paramétereket és geometriát - állítsuk be a görgők számát és irányát (γ) - a görgők tengelye fusson szabadon, a fő tengelyt hajtsuk meg Ezt a koncepciót szimulációban megvalósítva a következő ábra illusztrálja, Mecanum kerék esetére (γ = 45 görgő irány). A középen lévő henger a hajtott fő tengely, a kerületen elhelyezkedő hengerek a görgők. 5. Mecanum kerék, Dymola animáció A görgők középpontjába mutató vektorok a következő módon számíthatók: d i = R 0 sin 2πi n 2πi, 0, cos n ahol i [1, n] és R 0 a kerék görgők nélküli sugara. Ez a megközelítés a kerék mechanikájának egyenes adaptációja, és használható eredményt ad szimulációban. Előnyei: - kézenfekvő megvalósítás - könnyű váltás az alap modellek között - implicit módon kezeli a görgő tehetetlenségét és gördülési ellenállását - a görgők folytonossági hiánya a modell része - több görgő, vagy jobb kontaktusmodell a valósághűségen javíthat Számos hátránnyal is számolnunk kell: - valós idejű szimulációhoz nem felel meg, mert bonyolult a kontaktusszámítás: egy tipikus, hat görgős Mecanum platformhoz legalább huszonnégy kontaktust kell meghatározni - az alap modell extrém munkapontban működik: akár 90 oldalkúszás és dőlés is előfordul, ezt a kerékmodell kezeli, de pontatlanná válik - elnagyolt geometria, a gyakorlatban a legtöbb görgő nem henger, hanem változó keresztmetszetű, viszont egy javított geometriájú modell tovább bonyolítaná a kontaktusszámítást A hátrányok kiküszöbölése azt a kiindulási szempontot érvénytelenítené mely szerint, fő cél az egyszerűség és a meglévő modellek maximális kihasználása. Egy görgős megvalósítás: A fenti megközelítés hibáit kijavítandó egy másik módszert alkalmaztam. Az alap gondolat a görgők egyenkénti modellezése helyett, egy kerékmodell átalakítása omnidirekcionális karakterisztikára. (1) 6

9 A talajt érintő görgőt leíró vektorok a 6. ábrán láthatók. u x, n y, k z egységvektorok a W kerék koordinátarendszer tengelyeinek irányába mutatnak a TYDEX jelölésrendszernek [25] megfelelően. Az omnidirekcionális kerék leírásához definiáltam az n w egységvektort a görgő tengelyének irányában, erre tud erőt kifejteni, így ezt aktív iránynak hívom. n w = u x Rot γ (2) ahol Rot γ 3x3-mas rotációs mátrix γ szöggel. u x n w görgő γ u w n y 6. Görgő vektorok x előre y oldalt z ki a papírból u w irányában passzív irány az erők a görgő tehetetlenségéből, a csapágy súrlódásából és gördülési ellenállásából adódnak. Ezek az erők jó közelítéssel elhanyagolhatók, a valósághűség különösebb csorbítása nélkül. A következő lépés a slip transzformálása. A legtöbb kerékmodell ennek függvényében generálja az erőket, így ez egy fontos aspektusa a modellnek. A slipet külön definiáljuk x és y irányban. Mivel az omnidirekcionális kerék csak egy irányban generál erőt (n w ) ezért csak ebben az irányban számítjuk. Rill [19] a slipet a következő módon definiálja egy normál kerékre: v kerék sziluett s = ahol v = v 2 R ω +v x + v2 y (3) num R a kerék sugara ω a szögsebessége és v num egy kis pozitív szám a nullával való osztás elkerülésére. Az én modellemben a slip egyenlete v, v omni ra cserélésével módosul: 2 v omni = v fw (4) ahol v fw a kerék középponti sebességének vetülete a n w irányban. Az alapul vett kerékmodell által generált y irányú erőket egyenlővé tesszük nullával és az x irányú erőket a módosított slip alapján számolva n w irányába forgatjuk. Ez a megközelítés jelentősen csökkenti a szimuláció idejét, annak köszönhetően, hogy csak egy kontaktusszámításra van szükség kerekenként. Az átalakítás más alapmodellel is könnyen alkalmazható. Nagyobb pontosság érhető el, ha a görgő tehetetlenségét és veszteségeit is modellezzük, valamint a görgőváltásnál fellépő kontaktuspont változást [7]. Munkám során ezeket a hatásokat elhanyagoltam. A két nagyságrend sebességnövekedés miatt a továbbiakban ezt az egy görgős modellt használtam. A modell funkcionálisan helyes működését szimulációval ellenőriztem az általános kinematikai modellnek megfelelő [12] vezérlés alkalmazásával. A 7. ábra a forgó-haladó mozgást mutatja be egy Mecanum targonca és egy háromkerekű γ = 0 platform példáján. konstans x irányú, szinuszos y irányú és állandó szögsebesség mellett. 7

10 7. Pillanatképek a forgó-haladó mozgás végrehajtása közben, Mecanum és háromkerekű platform 8

11 4.2 Fékasszisztens omnidirekcionális kerekekhez 2. Tézis: Fékasszisztenst készítettem a mobil robotok egy családjához, mely a robot mozgását fékezéskor egy biztonságos trajektóriára kényszeríti. A csúszó módú fékerő szabályzó általánosan alkalmazható omnidirekcionális kerekekkel ellátott járműveken. Az irányítási szabály előnye, hogy a járműmodell hibái és változásai tekintetében robosztus, a szabályzó csak a kinematikai modellre alapul, a tömegeloszlástól és a kerék paramétereitől függetlenül működik. [Kal13], [KV12a], [VAL12] Kialakításuk miatt az omnidirekcionális kerekek, a hagyományos kerekekkel ellentétben nem képesek oldalirányú a görgő passzív irányába ható erő komponens kifejtésére. Ez a tulajdonság teszi lehetővé a holonom mozgást. Érdekes következmény, hogy a szabadon futó, vagy fékező kerekek nem feltétlen tartják meg eredeti mozgási irányukat, így például a jármű, erős fékezés esetén, orientációját jelentős mértékben megváltoztatja. Ez az egyenetlen terhelés következtében fellépő, különböző súrlódási erők által generált forgatónyomaték következménye. A jelenség hasonló a kanyarban megcsúszó autó viselkedéséhez, csak ebben az esetben a jelenség a kerekek blokkolása nélkül is bekövetkezik. A jelenség nem okozza fékút számottevő megnövekedését, azonban rendkívül zavarólag hat a sofőr számára, és váratlan veszélyes helyzetet okozhat. kerék 1 v 1 f 1 r c1.. ω C r c2 v c v c0 v c v c f 2 v 2 kerék 2 8. Erők és sebességek fékezés esetén, általános illusztráció A kerekek által generált súrlódási erő mindig ellentétes irányú a kerék központjának sebességével, nagysága a fékezés intenzitásától, a kerék terhelésétől, és a talaj kontaktus tulajdonságaitól függ. Ez megfelelő modell segítségével pontosan meghatározható, ám az eredmény csak annyira lesz pontos, mint az aktuális tömegközéppont helyzetéről és a talajkerék kölcsönhatásról lévő ismeretünk. Mindkettő meghatározása nehéz feladat. A terhelésfüggés nemlineáris, gyakran negatív négyzetes függvénnyel becslik [10]. Az erő iránya a v i sebességek trigonometrikus függvénye. A bizonytalanságok és nemlinearitások jelenléte a rendszerben arra indított, hogy nemlineáris irányítási stratégiát keressek. Az irodalom alapján a leg-ígéretesebbnek a csúszó módú 9

12 szabályzás tűnt [6], [13], [21], [26], [27]. A fékező omnidirekcionális platform egy paramétereiben bizonytalan nemlineáris MIMO rendszer. Állapotegyenlete a következő általános formában írható fel: x = f x, u (5) ahol a megszokott jelölésekkel x az állapotvektor, u a bemenet és f( ) nemlineáris függvény. Egy gyorsuló mechanikai rendszer esetén kézenfekvően az állapotvektor egy referencia pont eredő lineáris és szögsebességét tartalmazza. Ebben az esetben azonban praktikus belevenni a v i kerék-középpont sebességeket is, így x = v i, v c, ω. Ezek a platform középpontjának sebességeiből könnyen meghatározhatók: v i = v c + ω r ci (6) ahol r ci a platform középpontjából egy adott kerék középpontjába mutató vektor. A bemenetet az f i súrlódási erők adják. A rendszer paraméterei nem függenek az időtől, így autonómnak, vagy időinvariánsnak tekinthetjük. A dinamikai egyenleteket Newton törvényei alapján írhatjuk fel: mv c = i f i (7) J c ω = i f i r i Az egyenleteket a jármű geometriai közepére mint referenciára írtam fel. Bizonytalan paraméterek a jármű m tömege az f i erők nagysága és J c inercia mátrix. Feltételezem, hogy v c és ω állapotváltozók mérhetők 4. További fontos tulajdonsága a rendszernek, hogy keresztcsatolt, minden bemeneti változó hatással van minden állapotváltozóra. Ez a kinematikai egyenletek következménye [12]: (8) M v c ω = R Ω cos γ (9) M = n w1 x n w1 y r 1 T u w1 n w2 x n w2 y r T 2 u w2 n wn x n wn y r T N u wn (10) ahol - cos (γ) 0 azaz a görgő tengelyek nem párhuzamosak a kerék tengellyel, ami a működést ellehetetlenítené - rank M = 3, ez a rendszer irányíthatóságára vonatkozó feltétel A szabályzó működése arra gondolatra alapul, hogy a befordulás az egyes kerekek középpontja sebességének nem kívánatos komponenseinek következménye. Ennek megfelelően a csúszó felület egy olyan trajektóriát kell, hogy leírjon melyben nincsen mozgás a nem kívánatos irányban. Ez a gondolatmenet minden kerékre egy külön hibafüggvényt eredményez, amely csúszó felületként szolgál. s itot = s i + s iω r i + s i (11) ahol s i a kerék mozgása a platform fékezéskor mért sebességére merőleges irányban. 4 Például a 3. tézis módszerével. 10

13 s i = f i v i (12) jelölések a 8. ábra alapján. f i a súrlódási erő irányába mutató egységvektor, v i pedig v i - nek v c0 kezdeti sebességvektorra merőleges vetülete. s iω = β wi ω (13) ahol β wi a kerék által okozott szöggyorsulással párhuzamos egységvektor. Azaz a wheel i kerék által keltett súrlódási erő nyomatékának iránya. s i = ψ δ i f i v i (14) ahol δ i a kerék aktív irányának v i -vel bezárt szöge ψ egy nemlineáris súlyozófüggvény. Az irányítási szabály azt mondja, hogy kapcsoljuk ki a féket, ha a csúszó felülettől eltávolítja a trajektóriát, azaz ha s itot 0 és kapcsoljuk be egyébként: ahol ζ x = u i = f i ζ(s itot ) (15) 0 for x 0 1 for x < 0 A szabályzási kör a 9. ábrán látható. x R (16) vezető f u jármű hiba számítás s tot v c, ω, v i 9. A szabályzási kör A szabályzási kör stabilitásának igazolásához az ún. passzivitás elméletet alkalmazom [13] (p. 436). Amennyiben a visszacsatoló ág elemei passzívak, azaz maguk nem juttatnak energiát a rendszerbe, intuitíve nyilvánvaló, hogy a rendszer passzív. Általánosságban azt mondhatjuk, hogy egy rendszer passzív, ha felírható egy energiafüggvény V t 0, amelyre t 0 < t 1 -re: V t 1 V t 0 + t 0 t 1 y t u t dt ahol y a rendszer kimenete, u a bemenet. Az egyenlet szerint a rendszer V t energiája a kezdeti energiával és az yu teljesítmény által betáplált energiával egyezik meg. Ha egyenlőségről van szó, a rendszer veszteségmentes, a válóságban egyenlőtlenségről és veszteséges rendszerekről beszélhetünk. A veszteség mechanikai rendszereknél például súrlódás, termodinamikai rendszereknél hőátadás, elektromos rendszereknél hő disszipáció formájában jelentkezik. Ha a visszacsatolás u = Ky formájú ahol K pozitív, akkor garantált, hogy a rendszer energiája korlátos marad és a visszacsatolás stabil. (17) 11

14 A fékező manőver célja a teljes mozgási energia disszipációja. A súrlódási erők minden esetben a pillanatnyi sebesség ellen hatnak, így mivel ezáltal a rendszer energiája mindenképpen csak csökkenhet a rendszer passzív és a (17) egyenlőtlenség igaz t 0, t 1 időpillanatra. Természetesen a fékezéshez ha a csapágy súrlódását és a gördülési ellenállást elhanyagoljuk szigorú egyenlőtlenségnek kell érvényesülnie, ehhez szükséges, hogy: legalább egy fék aktív a fékezés időtartama alatt, úgy hogy a fékezett kerék aktív iránya 90 -tól különböző szöget zár be a platform sebességével. A második kritérium szerinti irányú kerék mindig lesz ha a (9) egyenlet szerinti M rangja 3, azaz a jármű irányítható. Az első feltétel azt jelenti, hogy legalább egy kerék hibafüggvénye negatív. Ez könnyen garantálható, ha egy új szabályt vezetünk be, mely minden féket aktivál ha s itot Demonstratív kísérletek Elkészítettem egy Mecanum kerekes targonca és egy háromkerekű platform modelljét, hogy az ezekkel végzett kísérletekkel demonstráljam a szabályzási kör működését és zavartűrését. Többféle zavarás hatását is bemutattam, az első amit megvalósítottam, v i és ω visszacsatolás időbeli kvantálása volt, közelítve ezzel egy digitális szenzor viselkedését. A szimulált mintavételi idő 0,01s és két mintavétel között nulladrendű tartó szolgáltatja a jelet a 10 ábra 10m/s sebességű egyenes vonalú mozgásból való megállást mutat a fenti visszacsatolást alkalmazva. fékezés kezdete 10. Fékezés 10m/s- ról, egyenes mozgás közben, A talaj megváltozásának hatását egy megfelelő helyen elhelyezett jégfolttal modelleztem. A kisebb súrlódási együtthatóval rendelkező felületen fékeztem a jármű egyik kerekével, a többivel a normál talajon. Ezen felül a visszacsatolást zajjal terheltem, amelyet a jel százalékában egyenletes eloszlással 5 adtam meg a valódi érték körül (η), a zavaráshoz ofszet is definiálható: v c = v c + η v c + v 0 (18) A szögsebesség ettől függetlenül, de hasonló módon terhelhető zajjal. A 11. ábra egymásra montírozott pillanatképeket mutat a fékasszisztens be és kikapcsolt állapotában végzett szimulációkból. A demonstráció a háromkerekű platformmal készült, zajos visszacsatolással. A világosabb színű platform esetében a szabályzó aktív volt a másik esetben nem minden kerék egyformán fékezett. 5 Lehetséges, hogy nem az egyenletes eloszlás modellezi a visszacsatolás zaját a legjobban, azonban célom a zavartűrés tesztelése volt, amelyhez megfelelő. 12

15 STOP μ = 0.8 Jég μ = 0.2 Fékezés 11. Zavartűrés demonstrációja, háromkerekű jármű jégen Az általam készített fékasszisztens általánosan alkalmazható omnidirekcionális kerekekhez, és a fékezéskor fellépő befordulási hajlandóság kiküszöbölésére szolgál. A szabályzó működése kizárólag a platform kinematikájának ismeretére épít, feltételezve, hogy a pontos tömegeloszlás a talaj és a kerekek paraméterei ismeretlenek. Feltételeztem továbbá, hogy a visszacsatolás zajos. A probléma nemlineáris természete és a bizonytalanságok miatt csúszó módú szabályzót készítettem. A csúszó felületet úgy alakítottam ki, hogy az egyes kerekek platform szögsebességből eredő és oldalirányú komponensei ezen felület mentén nulla értékűek. A jármű kinematikai felépítéséből adódó keresztcsatolások miatt a szabályzó a platformot véges idő alatt megállítja. A zárt hurok stabilitását passzivitása garantálja. 13

16 4.3 Optikai mozgás visszacsatolás 3. Tézis: Nagypontosságú, nagysebességű, kontaktusmentes elmozdulásmérés valósítható meg vonalkamerán alapuló mérőeszközzel, mely paramétereinek helyes beállításával pontos egydimenziós mérés végezhető tetszőleges két dimenziós mozgás esetén is. [BKS06], [KT07], [TK07], [KT08], [TK08], [TKV08] Az omnidirekcionális járművek kerekei nagy passzív irányú slip-pel működnek, ami működésük velejárója. Emiatt azonban a hagyományos, kerék elfordulás alapú sebességmérési módszerek nem, vagy csak nagy kompromisszumokkal alkalmazhatók. A probléma megoldására megalkottam egy újszerű elven alapuló sebesség mérő rendszert amely három szabadságfok mentén szolgáltat adatokat a kerekek mozgásától függetlenül. Az eljárás alapja önmagában ismert, hasonló az optikai egér működéséhez [9]: a talajról felvételeket készítünk adott időközönként, majd a szomszédos képeket összehasonlítjuk. A textúra elemek elmozdulásából és a képfrekvenciából a sebesség kiszámítható. A pontos sebességmérésre és a gyakorlatban használható széles mérési tartomány elérésére azonban az egerek navigációs szenzora nem alkalmas. A működési elvet változtatás nélkül alkalmazva a mérési tulajdonságok javítása nagyobb felbontású kamera alkalmazásával lenne elérhető. Korlátot a kép kiolvasási sebessége és a feldolgozás ideje jelent, ami a gyakorlatban drága kamera és nagyteljesítményű feldolgozó elektronika használatát tenné szükségessé. Az általam leírt megoldásban az optikai érzékelő egy vonalkamera, amely egy dimenzióban igen nagy felbontással rendelkezik. A piacon elérhető vonalkamerák között nem számít különlegesnek a több tíz khz képfrekvencia néhány ezer pixel esetén, áruk pedig messze a nagysebességű mátrixkamerák alatt marad. Minden módosítás nélkül a detektor csak egy vékony csíkot lát a talajon. Ahhoz hogy az átfedést garantáljuk két kép között, például hengerlencsét helyezhetünk el az érzékelő előtt, vagy magas pixeles detektort alkalmazhatunk. 12. Az optikai integrálás és az oldalirányú mozgás illusztrációja Ezek hatása gyakorlatilag optikai úton történő összegzésként fogható fel mintha egy mátrixkamera sorait összegezve állítanánk elő egy oszlopvektort így a detektor tengellyel szöget bezáró mozgások tengely irányú komponense mérhető. Az oldalirányú mozgás mérési hibát okozhat, mert megváltoztathatja a detektor által látott mintát, anélkül hogy a párhuzamos irányban elmozdulás történne. 14

17 A működési elv és az oldalirányú mozgás szemléltetése a 12. ábrán látható. A hiba nem küszöbölhető ki teljesen, ám a hatása csökkenthető nagy képfrekvencia és/vagy nagyobb látószög használatával. Ha a képfrekvencia elegendően nagy (nem probléma vonalkamera esetén) az elmozdulás elég kicsi lehet ahhoz, hogy gyakorlatilag ugyanaz a textúra elem látsszon így az elmozdulás pontosan mérhető marad. Az egydimenziós mérés nagy előnye, hogy egyszerű algoritmus alkalmazását teszi lehetővé, csak távolságmérés és minimumkeresés szükséges. A képszekvencia szomszédos elemei 1 x n-es vektorok ahol n a vonaldetektor felbontása. Távolságmetrika gyanánt bármely ismert módszer alkalmazható én a jól bevált korrelációt alkalmaztam. Pearson korreláció: két profil, vagy vektor közötti hasonlóságot méri, r a korrelációs együttható: r = 1 n 1 d = 1 r n i=1 x i X s X y i Y s Y ahol x i X s X, X és s X, X Z-pontszáma, várható értéke és szórása. r 1. A szenzor optimális paraméterei és a megfelelő algoritmus meghatározásához Matlab szimulátort készítettem Takács Tibor kollégám segítségével. A szimulátorban egy virtuális, paraméterezhető kamera mozog a talaj felett. A talajt nagyfelbontású képek helyettesítették amelyeket fejjel lefelé fordított szkennerrel készítettünk (HP scanjet 3970). (19) a) aszfalt b) parafa c) kő d) por e) díszkő f) fa g) föld h) linóleum i) fém j) műanyag 13. Minta képek a szimulátorból (2x2cm) Ezzel a módszerrel könnyen biztosíthatók az egyforma körülmények megvilágítás, képtávolság és pixel/mm arány tekintetében. A 13. ábrán látható képeket változatos textúra méretük és kontrasztjuk miatt választottam. Mindegyik 2400dpi felbontással készült és 20 x 20cm, x pixel méretű. A virtuális kamera számos állítható paraméterrel rendelkezik: mozgás sebessége mozgás iránya (α) képfrekvencia látott terület hossza, szélessége 15

18 zaj felbontás távolság mérték A virtuális kamera paraméterezésével és a talaj változtatásával változatos kísérletek végezhetők el. A szimuláció futtatásakor az egymást követő képeket a rendszer automatikusan újra mintavételezi a talaj képéből egy k x l mm es ablakot mozgatva a megadott sebesség irány és képfrekvencia alapján. A működés módja a 14. ábrán látható. Az algoritmus vázlata a 15. ábrán látszik, működése a következő: két szomszédos képet kiválasztva lépésenként 0, 1, l k pixellel eltoljuk az egyiket a másikhoz képest, és minden eltoláshoz meghatározzuk a távolságmérték értékét. A legkisebb értékhez tartozó eltolás lesz a becsült érték. A pontos elmozdulás számítható a szimulált sebességből, így a mérés hibája számítható. Az eltolási értékek kamera pixelben értendők, l/k a kamera felbontása elosztva egy limit értékkel, ez praktikusan például k = 2 lehet, azaz a maximális eltolást a kép hosszának a felében határozzuk meg, a képek kis részén való összehasonlításból eredő hamis egyezések elkerülése végett. A szimuláció célja az elv kipróbálása és a használható paraméterek meghatározása volt, mivel a gyakorlatban az optika rugalmatlansága miatt ez nehézkes lenne. 14. A szimulátor működési elve Szimulációs eredmények A legfontosabb paraméter a detektorra vetülő terület nagysága és alaktényezője. Mivel a látott területet téglalap alakúnak modelleztem ezért az alaktényező praktikusan a szélesség/hossz százalékban. Kis területet belátó szenzor kisebb, azaz olcsóbb optikával is megépíthető. Ha a hengerlencse használata elkerülhető jelentősen egyszerűsödik a szerkezet. Fontos célja a kísérleteknek a pontosság, a képméret és az alaktényező közti összefüggés megvizsgálása. Hiba mérése: érdemes néhány gondolatot szentelni a hiba definíciójára, és szemléltetésére. A háttérben a Matlab kód mindent kép-pixelben mint legkisebb kvantumban számol. A legpraktikusabb a hiba mérőszámot kamera pixelben értelmezni, ezzel ugyanis tisztán látszik, sikerült-e megtalálni a korrekt elmozdulást vagy sem. A hiba ezek alapján: E cpx = d mcpx Round d ripx r i r c (20) 16

19 Omnidirekcionális kerekek modellezési és irányítási kérdései magyarul: a hiba kamera pixel mértékegységben, megegyezik a kamerapixelben mért távolság, és a valódi, talajpixelben megtett út, kamerapixelbe skálázott értékének különbségével. A cpx és ipx kamera és talaj-pixelre utalnak r i és r c mm/pixel skálázó faktorok. Fontos megjegyezni, hogy ezzel a módszerrel egy nagyfelbontású kamera hibája nagyobbnak adódhat egy kisfelbontásúnál, miközben az abszolút hibája kisebb, ezt az értékelésnél figyelembe kell venni. Kép 1 t = 1/fps Kép 2 1 Eltolás, távolság metrika számítás 5 2 l k Minimum keresés Az algoritmus illusztrációja A kísérletek alapján azt a következtetést vontam le, hogy a textúrán kívül a legfontosabb paraméter a szomszédos képek közötti átfedés mértéke. Ezt illusztrálja a 16. ábra ahol baloldalt egy mérés hibája látható 12m/s sebességnél 2500fps képfrekvenciánál a kő mintán haladva, jobboldalt az átfedés százaléka hasonló beállításokkal az alaktényező függvényében. Több (a disszertációban szereplő) szimuláció és a 16. ábra alapján jó becslésnek a 60%-os átfedés tűnik, ez minden használható textúrán jó eredményt adott. Hosszabb látott terület jobb eredményeket hoz, de nagyobb abszolút hibát is jelent a pixel/mm arány változása miatt. 17

20 Length mm Length (x10mm) Omnidirekcionális kerekek modellezési és irányítási kérdései 10 Stone - error in camera pixels (hi-res) Width percent 40 a) b) Width percent (x10) 16. Átfedés százaléka az alaktényező függvényében 12 m/s, 2500fps, kő Gyakorlati kérdések A megbízható működés határaihoz érve a képek közti átfedés csökken a nagy sebesség miatt pontszerű hibák jelennek meg az egymás utáni mérésekben, azaz egy-egy szomszédos képpár között nem egyértelmű a korreláció. A sebesség további növelésével a hibák terjednek, sorozatos tévesztések következnek be a mérés használhatatlanná válik. A működés megbízhatóbbá tehető például medián szűrés alkalmazásával n egymás utáni mérés egydimenziós medián szűrése és átlagolása a helyes eredményt adja. Természetesen ha túl sok a hiba ez a módszer sem ad jó eredményt. Apriori információ használata is javíthat az eredményeken, például tudjuk, hogy a mechanikai rendszerek gyorsulása limitált, így a mért sebesség értékek különbségére korlátot adhatunk, kisebb eltolásokkal (nagyobb k érték) vizsgálva a korrelációt, nagyobb feldolgozási sebességet és kevesebb hibát kaphatunk. Valósidejű működéshez a távolságszámítás és minimumkeresés valósidejű végrehajtása szükséges. 2500fps képfrekvenciát véve alapul 400μs idő áll rendelkezésre a feldolgozáshoz. Az algoritmus praktikusan FPGA alapon valósítható meg, és az irodalomban található példák alapján [2], [15] nyugodtan kijelenthetjük, hogy az általam leírthoz hasonló algoritmus valós időben futtatható egy mai FPGA-n. Optika: a telecentrikus optika alkalmasnak bizonyult a talajtól való távolság okozta problémák kiküszöbölésére [23]. Amennyiben a hengerlencse használata elkerülhető, megfelelő magas pixeles vonalkamera alkalmazásával, katalógusból választható az optika. A telecentrikus optika átmérője akkora mint a látott terület legnagyobb dimenziója így az árnak ez a tényező a legfontosabb összetevője. Textúra: a szenzor a textúra változásait figyeli, így textúra szegény felületen, nem vagy sok hibával működik (pl: műanyag, fém 13. ábra), Ezen a megvilágítás fajtája, iránya segíthet. Víz, piszok: a rendszer eredendően érzékeny a piszokra és a csillogó felületekre, így főleg kontrollált pályán vagy beltéren használható. 18

21 Eredmények hasznosítása, továbblépési lehetőségek 5 Eredmények hasznosítása, továbblépési lehetőségek Az eredményeket számos konferencián és folyóiratban publikáltam. A Modelica nyelven elkészített szimuláció széleskörűen felhasználható további Mecanum rendszerű robotokkal kapcsolatos kutatásokra, mind az irányítási, mind az identifikációs vonalon. A Mecanum kerekes jármű szimulációja a magdeburgi Fraunhofer intézet kollégáinak közreműködésével készült, ahol számos hasonló robotikai és logisztikai kutatás-fejlesztési feladatot valósítottak meg a virtuális mérnöki laborban. Az eredmények gyakorlati hasznosítása robotizált logisztikai megoldások fejlesztésében és különleges hajtások odometriai és biztonsági feladatainak kutatásában képzelhető el. Az optikai sebességmérő szenzor 2005-ben az Irinyi János pályázaton támogatást nyert, mely segítségével a fejlesztés elindult. A szenzor prototípusának fejlesztésébe több hallgató is bekapcsolódott diplomamunkája kapcsán. Légpárnás járműre szerelve egy egyetemi robotversenyen is jó szolgálatot tett. 17. Az optikai sebességmérő egérszenzoros prototípusa és annak felhasználása egy légpárnás járművön 6 Köszönetnyilvánítás Szeretném köszönetemet kifejezni mindazoknak aki a PhD. munkám évei alatt segítségemre voltak. Köszönöm konzulensemnek Dr. Vajta Lászlónak inspiráló ötleteit és támogatását, a labor dolgozóinak és a Tanszéknek a munkámhoz az eszközök és a légkör megteremtését. Köszönettel tartozom Dr. Juhász Tamásnak, aki önzetlenül segítségemre volt a Modelica nyelv elsajátításában, és az IFF Fraunhofer munkatársainak, akik egy időre laborukba fogadtak. Szeretném megköszönni kollégámnak Takács Tibornak kiváló munkáját a szimulátor elkészítésében, hasznos tanácsait és észrevételeit munkám során. 19

22 Irodalom 7 Irodalom 7.4 A tézisekben hivatkozott tudományos közlemények [Kal13] [KV12a] [KV12b] Viktor Kalman. Controlled braking for omnidirectional wheels. International Journal of Control Science and Engineering, 3(2): p.10, Viktor Kalman and Laszlo Vajta. Designing and tuning a brake assistant for omnidirectional wheels. PERIODICA POLYTECHNICA-ELECTRICAL ENGINEERING, 4: p.11, Viktor Kálmán and László Vajta. Slip based center of gravity estimation for transport robots. In Factory Automation, pages 50 55, Veszprém, Hungary, May University of Pannonia. [VAL12] Kálmán Viktor, Dr. Majdik András, and Dr. Vajta László. Omnidirekcionális járművek szimulációja és irányítási kérdései. In Számítástechnika és Oktatás Konferencia, pages , Alba Iulia, Romania, (in Hungarian) [KJVS12] Viktor Kálmán, Tamás Juhász, László Vajta, and Ulrich Schmucker. Mecanum wheel library in modelica. In 15. IFF-Wissenschaftstage: Digitales Engineering zum planen, testen und betreiben technischer systeme., page 6, Magdeburg, Germany, June IFF Fraunhofer Institute. [KT08] [TK08] Viktor Kálmán and Tibor Takács. True ground speed measurement: A novel optical approach. In CLAWAR 2008: 11th International Conference on Climbing and Walking Robots and the Support Technologies for Mobile Machines., page 8., Coimbra, Portugal, August Tibor Takács and Viktor Kálmán. Velocity measurement using line-scan cameras. In Robotica th International Conference on Robotics., pages , Brasov, Romania, November [TKV08] Tibor Takács, Viktor Kálmán, and László Vajta. Frontiers in Robotics, Automation and Control, Optical Speed Measurement and applications., chapter 10, pages InTech Open Access Publisher, [KT07] [TK07] [BKS06] Viktor Kálmán and Tibor Takács. Továbbfejlesztett optikai sebességmérő. A JÖVŐ JÁRMŰVE, 3-4:46 49., (in Hungarian) Tibor Takacs and Viktor Kalman. Optical navigation sensor - Incorporating vehicle dynamics information in mapmaking. ICINCO 2007, 4th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, Angers, FRANCE, MAY 09-12, pages Gergely Bári, Viktor Kálmán, and Bálint Szabó. Járműdinamikai állapotbecslő algoritmus kifejlesztése. A JÖVŐ JÁRMŰVE, 1-2:37 40., (in Hungarian) 20

23 Irodalom 7.5 További saját publikációk [ATV + 12] Majdik András, Takács Tibor, Kálmán Viktor, Tamás Levente, and Vajta László. Vizuális hasonlóságon alapuló pozíció felismerés városi környezetekben. In Számítástechnika és Oktatás Konferencia, pages , Alba Iulia, Romania, (in Hungarian) [KTT10] [Kál08] Viktor Kálmán, Tibor Takács, and Attila Tekes. Intelligens fogyasztásmérés a víziközmű-társaságoknál. VÍZMŰ PANORÁMA, 5:26 29., (in Hungarian) Viktor Kálmán. Internal modeling for mobile robots. In Robotica th International Conference on Robotics., pages , Brasov, Romania, November [DVK + 08] András Dán, László Vajta, Viktor Kálmán, Tibor Takács, and Zoltán Molnár. Intelligens kommunális villamos fogyasztásmérés lehetőségének vizsgálata kutatás fejlesztés keretében az e.on tiszántúli Áramszolgáltató zrt-nél. In MEE 55. Vándorgyűlés., Eger, Hungary, September (in Hungarian) [KVV08] Viktor Kálmán, Miklós Vogel, and László Vajta. Demining in shallow inland water areas. In HUDEM 2008 The 7th IARP Workshop Robotics and Mechanical assistance in Humanitarian De-mining and Similar risky interventions., pages , Cairo, Egypt, March [VVJ + 07] László Vajta, Ferenc Vajda, Tamás Juhász, Tamás Urbancsek, Viktor Kálmán, Miklós Vogel, and Ádám Helybély. Emser. Technical report, BME, VIK, IIT, 3DMR, GVOP /3.0. [DHJ + 06] Á. Dálnoki, Á. Helybéli, T. Juhász, V. Kálmán, T. Urbancsek, F. Vajda, and L. Vajta. Rendszer és eljárás valós objektumok mozgatására virtuális térben végrehajtott műveletekkel., [KBHK04] Viktor Kálmán, Károly Béres, Gábor Hesz, and Szabolcs Kautny. Coconut rugby: Bute s robot in the eurobot 2004 cup. In 1st CLAWAR/EURON Workshop on Robots for Entertainment, Leisure and Hobby., number 009, page 4, Vienna, Austria, December [Kál04] Viktor Kálmán. Building a teleoperated mobile robot. In L. Lehoczky and L. Kalmár, editors, MicroCad 2004 International Scientific Conference., page 4, Miskolc, Hungary, March Hivatkozott publikációk [1] R. Ahmad, P. Toonders, M.J.D. Hayes, and R.G. Langlois. Atlas mecanum wheel jacobian empirical validation. In CSME International Congress, Winnipeg, MA, Canada, [2] M. Bilal and S. Masud. Efficient computation of correlation coefficient using negative reference in template matching applications. Image Processing, IET, 6(2): , march

24 Irodalom [3] Magnus Jonason Bjärenstam and Michael Lennartsson. Development of a ball balancing robot with omni wheels. Master s thesis, Lund University, Department of Automatic Control, [4] Raymond M. Brach and R. Matthew Brach. Tire models for vehicle dynamic simulation and accident reconstruction. Technical report, Brach Engineering, SAE Technical Paper. [5] Jochen Brunhorn, Oliver Tenchio, and Raúl Rojas. Robocup 2006: Robot soccer world cup x. chapter A Novel Omnidirectional Wheel Based on Reuleaux-Triangles, pages Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, [6] R.A. DeCarlo, S.H. Zak, and G.P. Matthews. Variable structure control of nonlinear multivariable systems: a tutorial. Proceedings of the IEEE, 76(3): , mar [7] A. Gfrerrer. Geometry and kinematics of the mecanum wheel. Computer Aided Geometric Design, 25(9): , December [8] Thomas D. Gillespie. Fundamentals of Vehicle Dynamics. SAE International, 1 edition, ISBN: [9] Gary B. Gordon, Derek L. Knee, Rajeev Badyal, and Jason T. Hartlove. Seeing eye mouse for a computer system, [10] W. Hirschberg, G. Rill, and H. Weinfurter. Tire model TMeasy. VEHICLE SYSTEM DYNAMICS, 45(S): , [11] Bengt Erland Ilon. Wheels for a course stable selfpropelling vehicle movable any desired direction on the ground or some other base, US Patent No [12] Giovanni Indiveri. Swedish wheeled omnidirectional mobile robots: Kinematics analysis and control. IEEE Transactions on Robotics, 25: , [13] Hassan K. Khalil. Nonlinear systems. Prentice-Hall, 2 edition, ISBN [14] Masaaki Kumaga and Takaya Ochiai. Development of a robot balanced on a ball - application of passive motion to transport. In Robotics and Automation, ICRA 09. IEEE International Conference on, pages , may [15] Almudena Lindoso and Luis Entrena. High performance fpga-based image correlation. Journal of Real-Time Image Processing, 2: , /s [16] Martin Otter and Hilding Elmqvist. Modelica - Language, Libraries, Tools, Workshop and EU-Project RealSim. German Aerospace Center, Dynasim AB, June [17] Hans B. Pacejka. Tyre and vehicle dynamics. Butterworth-Heinemann, [18] F.G. Pin and S.M. Killough. A new family of omnidirectional and holonomic wheeled platforms for mobile robots. Robotics and Automation, IEEE Transactions on, 10(4): , aug [19] Prof. Dr.-Ing. Georg Rill. Simulation von Kraftfahrzeugen. Vieweg+Teubner Verlag, [20] Daniel Ruf and Jakub Tobolár. Omnidirektionale fahrzeuge für schwerlasttransport in produktion und logistik. Logistik und Verkehr in Bayern, 12:34 35,

25 Irodalom [21] Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li. Applied nonlinear control. Prentice Hall, ISBN [22] D. Stonier, Se-Hyoung Cho, Sung-Lok Choi, N.S. Kuppuswamy, and Jong-Hwan Kim. Nonlinear slip dynamics for an omniwheel mobile robot platform. In Robotics and Automation, 2007 IEEE International Conference on, pages , april [23] Tibor Takacs and Viktor Kalman. Optical navigation sensor - Incorporating vehicle dynamics information in mapmaking. In ICINCO Proc. of the Fourth Int. Conf. on Informatics in Control, Automation and Robotics, pages , Portugal, [24] J. Tobolár, F. Herrmann, and T. Bünte. Object-oriented modelling and control of vehicles with omni-directional wheels. In Computational mechanics 25th conference with international participation, Hrad Nectiny, Czech Republic, November [25] H.-J. Unrau and J. Zamow. TYDEX-Format, Description and Ref. ManualTYDEX- Format, Description and Ref. Manual. Initiated by the TYDEX Workshop, release 1.3 edition, Sept [26] Claudio Vecchio. Sliding Mode Control: theoretical developments and applications to uncertain mechanical systems. PhD thesis, Universitá Degli Studi di Pavia, Dipartimento di Informatica e Sistemistica, [27] K.D. Young, V.I. Utkin, and U. Ozguner. A control engineer s guide to sliding mode control. Control Systems Technology, IEEE Transactions on, 7(3): , may