A CINDERELLA PROGRAM HASZNÁLATA A GEOMETRIA TANÍTÁSÁBAN
|
|
- Piroska Csonkané
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A CINDERELLA PROGRAM HASZNÁLATA A GEOMETRIA TANÍTÁSÁBAN Nagyné Kondor Rita DE MFK Ipari Menedzsment és Mûszaki Informatika Tanszék Absztrakt: A számítógépes rajzolóprogramok új lehetõségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan, a bemeneti adatokat rugalmasan változtatva lehet rajzok sokaságát elõállítani, megkönnyítve ezzel a geometria felfedezésének útját. Az elõadás célja rámutatni a dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetõségeire az általános- és középiskolában, valamint a távoktatásban. E rendszerek általános jellemzõje, hogy a szerkesztés lépéseit raktározzák, mely lépéseket a bemeneti adatok változtatása után is végrehajtanak. Az alkalmazások bemutatásához a Cinderella programot választottuk.
2 A Cinderella program használata a geometria tanításában A geometria az a mûvészet, mely rossz ábrákból jó következtetéseket von le. Pólya György a hagyományos matematikatanárról A gondolkodás iskolája c. könyvében 1. Bevezetés Az USA-ban már az 1970-es évek közepére kiderült, hogy a tanulók a tudásszintjüket és neveltségüket tekintve messze elmaradnak az elõzõ generációtól. A neveléstudomány szakemberei keresték az utat, hogyan lehetne a tanulást az eddiginél jóval hatékonyabbá tenni. A kutatásnak nagy lendületet adott a számítógépek megjelenése és rohamos elterjedése. A számítógépes programok elterjedése az oktatásban egy szemléletváltást kényszerít ki: át kell gondolnunk azt, hogy mit tartunk fontosnak: leértékelõdik a formális tudás (a számítógép ezt gyorsabban és jobban tudja) és felértékelõdik a problémamegoldás képessége. [13] A geometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez pontos rajzok szükségesek. Példaként tekintsük a közismert tételt, amely szerint bármely háromszögben a magasságvonalak egy pontban metszik egymást. Azért, hogy meggyõzzük a tanulókat ezen egyszerû állítás érvényességérõl, egy diákkal felrajzoltatunk egy példát errõl a tételrõl. Sajnos a gyakorlatban a legtöbb esetben a három egyenes nem fog egy közös pontban találkozni. Elegendõ egy kis pontatlanság és a magasságvonal elcsúszik kissé. Ez nemhogy tanulságos nem lesz a gyerekeknek, hanem inkább összezavarja õket. Tehát az oktatásban és a gyakorlatban nélkülözhetetlen a korrekt ábra. A számítógépes rajzoló programok ezt a célt támogatva segítenek a szerkesztéseknél, új lehetõségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan, a bemeneti adatokat rugalmasan változtatva lehet rajzok sokaságát elõállítani, megkönnyítve ezzel a geometria felfedezésének útját. A dolgozat célja rámutatni a dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetõségeire az általános és középiskolában. Ehhez alapul a Cinderella programot választottuk, amely természetesen nem az egyedüli választási lehetõség lenne (Euklides, Cabri, Euklid,...). Minden alkalmazási lehetõséget egy-két kidolgozott példával illusztrálunk. 2. A dinamikus geometriai rendszerek fõ jellemzõi A dinamikus geometriai rendszer (DGS) nem egyszerûen komputerrel támogatott rajzeszköz, mely egy konkrét statikus ábra elkészítését teszi lehetõvé, hanem az ábrákat dinamikus egységnek tekinti. E rendszerek általános jellemzõje, hogy a szerkesztés lépéseit raktározzák, mely lépéseket a bemeneti adatok változtatása után is végrehajtják. A bevezetésben említett példára visszatérve képesek leszünk ellenõrizni a három magasságvonal egy pontra való illeszkedésére vonatkozó tényt nem csupán egy háromszögre, hanem a háromszögek egy igen nagy halmazára is. Így el lehet kerülni, hogy az ábra egyes részei között olyan szembeötlõ összefüggések legyenek, melyeket a feladat nem ír elõ. A DGS-el szemben támasztott követelmény egy fontos kérdést vet fel: mennyire marad elvégezhetõ a szerkesztés a bemeneti adatok változtatása után. A Cinderella válasza erre a kérdésre, két példával illusztrálva: Tekintsük a következõ esetet: Rajzoljunk két kört, amelyek egymást metszik két pontban. E két pontot kössük össze egy egyenessel, (ez lesz a két kör hatványvonala). A körök mozgatásakor ez az egyenes is elmozdul, de mindig merõleges lesz a két kör középpontját összekötõ egyenesre. De vajon mi történik, ha a két kör középpontja a két sugár összegénél
3 távolabb kerül egymástól? A két metszéspont eltûnik, és az egyenes is? Vagy ami még rosszabb: a program nem engedi meg a két kör ilyen mozgatását? A Cinderella ekkor is megszerkeszti a hatványvonalat, mert a számolásokat komplex számokkal végzi el, s a két kör (nem végtelen távoli) metszéspontjait és az ezekre illeszkedõ (már valós) egyenest ekkor is megtalálja. (1. ábra) Ez a példa mutatja, hogy a komplex számokkal való számolás bevezetése igen leegyszerûsíti a geometriai szerkesztéseket az eltûnõ metszéspontok kiküszöbölésével. 1. ábra. Hatványvonal szerkesztése. Az euklideszi síkon két egyenes metszi egymást, ha nem párhuzamosak. Két metszõ egyenes lehet, hogy párhuzamos lesz, ha a szerkesztés néhány elemét elmozdítjuk. Ez a következõ problémához vezethet: Mi lesz azokkal az egyenesekkel, amelyeket ez a metszéspont és egy másik pont határozott meg? Az ilyen egyeneseknek párhuzamosaknak kellene ezután lennie a két adott egyenessel, de ehelyett eltûnnek, mivel a meghatározó pontjai többé már nem
4 határozzák meg õket. Hogyan kerülhetjük el ezt a helyzetet? A Cinderella a projektív síkon végzi a számításokat, ezért a két párhuzamos egyenes végtelen távoli metszéspontját tudja értelmezni homogén koordinátákkal. A harmadik egyenest ezekkel párhuzamosan fogja megrajzolni, az adott végtelen távoli ponton keresztül. (2. ábra) 2. ábra. Metszõ egyenesek euklideszi és projektív síkon. Az alkalmazó szempontjából a fontos megállapítás az, hogy a Cinderella a számításokat a komplex projektív síkon végzi. Didaktikai szempontból ez lehet zavaró (az elõzõ szerkesztés elvégezhetõsége egy középiskolásnak is problémát okozhat). Az alkalmazó tanárnak a felhasználás tervezésekor ezt figyelembe kell venni, s az így felmerülõ problémákat el kell kerülni. [5], [6], [7] 3. Alkalmazási lehetõségek A Cinderellának a geometria oktatásban való alkalmazási lehetõségei közül a következõket vizsgáltuk: Ponthalmazok keresése (egyszerû halmazkeresés; feltételek elhagyásának módszere). Diszkusszió, a határesetek vizsgálata. Automatikus tételellenõrzés. A szerkesztõeszközök korlátozása. Az összehasonlító geometria. Web-alapú oktatás (tanári irányítással; Internet alapú távoktatás e-learning). Minden alkalmazási lehetõséget egy-két kidolgozott példával illusztrálunk. 4. A kreativitás fejlesztésének néhány eszköze A tanulók kreativitásá nak fejlesztése az egyik legerõsebben tanár-függõ területe a matematikai nevelésnek. E területen eredményes lehet a Cinderella a tanulók fejlesztésében.
5 4.1. Ponthalmazok keresése Halmazkeresés A Cinderella lehetõséget ad a ponthalmaz megtalálására akkor is, ha nem körrõl vagy egyenesrõl van szó, mivel a program a kúpszeletet is felismeri. Meg kell adnunk, hogy melyik pont mozogjon, melyik objektumon és ennek hatására melyik pont mozgását rajzolja meg a program. A Cinderella ponthalmazok keresésére a középiskolában lehet alkalmazható, miután a tanulók tisztában vannak a kúpszeletek fogalmával. Célunk a sejtéshez juttatás. Ha dinamikus ábrát szeretnénk, lehetõségünk van animációk készítésére akár html formátumban is. 1. Példa. Adott egy kör és a belsejében az M pont. Egy M csúcsú derékszög szárai a kört az A és B pontokban metszik. Mi az AB szakasz felezõpontjának mértani helye, ha a derékszög körbefordul az M pont körül? (KöMaL november, B 3588.) (3. ábra) A feltételek elhagyásának módszere 3. ábra. B A feltételek elhagyásának módszere gyakran használt megoldástípus a geometriában. Ha több feltételt kielégítõ pontok halmazát kell megkeresnünk, akkor sorban külön-külön megkeressük az egyes feltételeknek megfelelõ ponthalmazokat, majd azok közös részét képezzük. Pólya klasszikus feladata: a gótikus ablak (Az AB szakasz és két körív, AC és BC háromszögletû idomot zár be. Az egyik kör középpontja A, a másiké B, és mindkét kör átmegy a másik középpontján. Írjunk a háromszögletû idomba mind a három határvonalat érintõ kört.) A feltételek elhagyásának módszerével a feladat az az érdekes probléma, hogy találjunk két feltételt teljesítõ kört (tehát amely érinti az egyik kört és a szakaszt). Ha megadjuk az érintési pontot, mondjuk a körön, a Cinderella segítségével, középpontos hasonlósággal megszerkeszthetõ a keresett kör. Ha ezen a problémán a diák túl van, akkor kerestetheti a programmal a megoldások halmazát, miközben az érintési pont mozog a körön. Nemcsak a kapott ábra alapján sejtheti, hogy paraboláról van szó, hanem a szerkesztési lista kiíratásával fel is ismerheti a parabola egyenletét. (4. ábra)
6 4. ábra. A gótikus ablak feladat és a szerkesztési lista Diszkusszió, a határesetek vizsgálata Egy geometriai feladat megoldása során gondolnunk kell arra is, hogy a kiindulási adatoktól függõen módosulhatnak a szerkesztési eljárások vagy maga a szerkeszthetõség. Tehát a szerkesztési feladatok megoldása gondos elemzést kíván. Szükséges megvizsgálni, hogyan alakul a feladat megoldása, megoldhatósága, ha nem általános, hanem speciális eseteket tekintünk. Ezen egérvezérelt interaktív geometriai program segítségével a szerkesztés befejezése után egy kiválasztott alapelem az egér segítségével tetszõleges irányba elmozdítható, és az egész szerkesztés következetesen változik ennek hatására. Így lehetõvé válik a rajz dinamikus viselkedésének a vizsgálata akár az általános iskola 8. osztályától kezdve. 1. Példa. Az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja. E középpont elhelyezkedése hogyan függ a háromszög legnagyobb szögétõl. (8. osztály) (5. ábra) Diszkuss zió: Ha a háromszög hegyesszögû, akkor a köré írt kör középpontja a háromszögön belül van; ha derékszögû, akkor a köré írt kör középpontja az átfogó felezõpontja és ha tompaszögû, akkor a pont a háromszögön kívül van. 5. ábra. A háromszög köré írt kör középpontjának elhelyezkedése.
7 4.3. Automatikus tétel ellenõrzés A bizonyítások tanítása során három fázist különböztetünk meg: tételek megsejtése; bizonyítási ötlet megtalálása, bizonyítási stratégiák, módszerek alkalmazása; bizonyítás rögzítése, leírása; reflexió. [1] Az illeszkedésre vonatkozó tételek érvényességérõl meggyõzõdhetnek a diákok a Cinderellába beépített automatikus tételellenõrzõ funkció révén. A Cinderella fõként a bizonyítás elsõ fázisában használható az általános iskola 8. osztályától kezdve, tehát a program használatával a célunk a sejtéshez juttatás. 1. Példa. Bármely háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. (6. ábra) 6. ábra. A háromszög magasságvonalai. 2. Példa. Desargues-tétel: ha két háromszög oldalaira nézve perspektív, akkor csúcsaira nézve is az. (7. ábra) 7. ábra. Desargues-tétel.
8 4.4. A szerkesztõeszközök korlátozása A kreativitás fejlesztésének egyik eszköze az ismert problémák újfajta szabályok szerinti megközelítése. Jó példa erre a geometriában a szerkesztés szabályainak megváltoztatása, például a szerkesztõeszközök korlátozása. Példaként nézzünk három lehetõséget: a) a szerkesztésnél csak a vonalzó használatát engedjük meg; b) a régi, ismert szerkesztéseket végezzük el csak körzõvel (Mascheroni-féle szerkesztés); c) egy körvonal adva van a középpontjával együtt, és csak vonalzó használatát engedélyezzük (Steiner-féle szerkesztés). Csak vonalzóval olyan szerkesztések végezhetõk el, amelyek pontoknak egyenesekkel való összekötését és egyenesek metszéspontjainak meghatározását kívánják meg. Az utóbbi két szerkesztésfajtával az euklideszi szerkesztéssel megoldható feladatok mindegyike megoldható, eltekintve attól, hogy természetesen nem szerkeszthetünk az elsõvel egyenest, a másodikkal pedig kört (Mohr-Mascheroni tétel; Poncelet-Steiner tétel). Az interaktív feladatok kitûzésekor a tanár szabályozhatja a rendelkezésre álló szerkesztõeszközöket a Cinderellában és akár 8. osztálytól kezdve használható a kreativitás fejlesztésére. A célunk a szerkesztés elvégzése a program segítségével. Fontosabb (szerkesztõ)eszközök: (8. ábra) Mozgatás. Pont felvétele. Egyenes felvétele két ponttal. Egyenes felvétele pont és irány segítségével. Kör szerkesztése középpontjával és egy pontjával. Távolság felmérése. Metszéspont kijelölése. Párhuzamos szerkesztése adott ponton át. Merõleges szerkesztése adott ponton át. Utolsó szerkesztési lépés visszavonása. Segítség kérése. Feladat újrakezdése. 8. ábra. Szerkesztõeszközök. Az összes igénybe vehetõ eszközt a pont felvételére és a körzõre korlátoztuk.
9 1. Példa. Adott az AB szakasz F felezõpontjával és a P pont. Szerkesszünk a P ponton át párhuzamost az AB egyenessel, csak vonalzóval. [12] (9. ábra) 9. ábra. P-n át párhuzamos szerkesztése AB-vel, csak vonalzóval. Ez az ábra egyúttal azt is mutatja, hogy miképp lehet vonalzóval megszerkeszteni az AB szakasz felezõpontját, ha adva van az AB egyenessel párhuzamos egyenes. 2. Példa. Napoleon-feladat: négyzet szerkesztése körbe csak körzõvel. (10. ábra) 4.5. Az összehasonlító geometria 10. ábra. Napoleon-feladat. Az összehasonlító geometria a matematika többszempontú megközelítését kívánja megvalósítani. Az iskolában tanult euklideszi geometriáról is teljesebb, pontosabb képet kapunk,
10 ha bepillantunk egyéb geometriai rendszerekbe is. A Magyarországon folyó összehasonlítógeometriai oktatási kísérletek néhány középiskolában tanórán illetve szakköri foglalkozásokon vizsgálták az euklidészi geometriában tanultak érvényességét, a gömbi geometriában és a hiperbolikus geometriában (Horváth Jenõ, Kálmán Attila, Lénárt István, Schwenner Katalin, Tarcsay Tamás,...). A tanulók kedvezõen nyilatkoztak a tanultakról. A Cinderella lehetõséget nyújt szerkesztések elvégzésére gömbön (egyszeres elliptikus geometriában) és Poincare-féle körmodellben (hiperbolikus geometriában) is a fent említett oktatási kísérletekhez hasonlóan akár 8. osztálytól. Célunk itt a sejtéshez juttatás. 1. Példa. Két különbözõ egyenesnek hány közös pontja lehet? (11. ábra) Az euklideszi geometriában legfeljebb 1. A hiperbolikus geometriában legfeljebb 1. Az (egyszeres) elliptikus geometriában ábra. Két különbözõ egyenes közös pontja. 2. Példa. A háromszög belsõ szögeinek összege. (12. ábra) Az euklideszi geometriában 180. Az elliptikus geometriában 180 -nál nagyobb. A hiperbolikus geometriában 180 -nál kisebb. 12. ábra. A háromszög belsõ szögeinek összege.
11 5. Web-alapú oktatás 5.1. Tanári irányítással Mivel minden szerkesztés kimenthetõ interaktív weblapként, lehetõsége nyílik a tanulóknak a szerkesztések gyakorlására és a számonkérés is megvalósítható ilyen módon. A tanár beállíthatja a kiinduló objektumok és a kívánt objektumok halmazát a szerkesztéshez. Ezután kimentheti a feladatot a szerkesztõeszközök korlátozott halmazával. (Például ha egy olyan feladatot szeretne adni a diákoknak, amelyben a merõleges szerkesztését egy körzõ vel és egy vonalzóval kell elvégezni, akkor ehhez egy interaktív feladatlapot kell csak elkészítenie.) Így tanulóknak szóló feladatok, útmutatások, szerkesztési segítségek készíthetõk. Az útmutatásoknak kettõs célja van. Az elsõ: segítséget nyújtani a diáknak egy bizonyos feladat megoldásában. A második: fejleszteni a diák abbeli készségét, hogy a jövõben önállóan tudjon feladatokat megoldani. [9] Az útmutatások az általunk készített oktatási segédanyagban elõször általánosak, éppen csak irányt adnak és elég tennivalót hagynak a diák számára. Ha szükséges, áttér részletesebb és konkrétabb útmutatásokra. Fokozatosan következnek a speciálisabb útmutatások, hogy a munkának minél nagyobb részét a tanuló végezhesse el. Lehetõség van a szerkesztési feladatok megoldásának automatikus ellenõrzésére is. Példa: Az ábrázoló geometriából a Monge-projekció szerkesztéseit gyakoroltató saját fejlesztésû oktatócsomag. Az oktatócsomag témakörei: A kétképsíkos ábrázolásmód; pont és egyenes ábrázolása (1.-7. feladat) Síkábrázolás ( feladat) Metszési feladatok ( feladat) 1. Példa. Adottak az a és b általános helyzetû kitérõ egyenesek, az a egyenesre illeszkedõ A pont és egy v elsõ vetítõegyenes. Szerkessz olyan e egyenest, amely metszi mind a három adott egyenest és átmegy az A ponton. I/6. feladat (13. ábra) 2. Példa. Adott az ABCDEF hatszög második képe és az A, B, C csúcsok elsõ képe is. Határozd meg a D, E, F csúcsok elsõ képét úgy, hogy benne legyenek az ABC síkban. II/10. feladat (14. ábra) A feladatok megoldásánál azonban nemcsak a végeredmény a fontos, hanem tanulságos a gondolkodásnak az az útja is, amely a megoldáshoz vezetett. Ennek elemzése fejleszti a gondolkodókészséget. Mivel az elkészített feladatlapoknál lehetõség van a megoldási lépések visszavonására, illetve újbóli elvégeztetésére, nyomon követhetõ a megoldás menete, így e programot az iskolában oktatási segédeszközként használhatjuk anélkül, hogy korlátoznánk a tanulókat a kreativitásban.
12 13. ábra. I/6. feladat és a hozzá tartozó szerkesztési segítségek.
13 14. ábra. II/10. feladat és a hozzá tartozó szerkesztési segítségek.
14 5.2. Internet alapú távoktatás e-learning A tudásalapú társadalom követelményeire válaszul az oktatás és képzés iránti kereslet folyamatosan nõ. Mindez a hagyományos oktatás oldaláról az egyénre szabott oktatás irányába történt elmozdulásként összegezhetõ. Az internet alapú oktatás egy kommunikációs folyamat, mely túlnyomórészt internetes eszközökön keresztül zajlik, átviteli közegként az internet ill. intranet hálózatok szolgálnak. A tanulási folyamat a tanár személyes jelenlétére már csak kis mértékben alapoz. Az igazi távoktatás két fontos elemet tartalmaz: az egyik, hogy a tananyag nem csupán egy könyv vagy egy CD, hanem egy olyan módon elkészített anyag, melybe a tanár úgymond be van építve. Az anyagot úgy olvashatjuk el, hogy közben feladatokat kell teljesítenünk és lehetõséget kapunk saját elõrehaladásunk ellenõrzésére is. A kommunikációs folyamat szinkron vagy aszinkron jellegû. A szinkron távtanulás egyidõben, különbözõ helyen a tanulási folyamat azon formáját jelenti, amikor az oktató és a diák közvetlen kapcsolatban áll egymással. A tananyag elsajátítása az oktatásszervezõk ütemezésében történik. Szinkron távtanulási eszközök például a videokonferencia, az alkalmazás megosztás, csevegés. Az aszinkron távtanulás különbözõ idõben, különbözõ helyen egyidõben egymástól független, lekérdezhetõ eseményekre épül. Az aszinkron e-learning esetében egy adott szerver gépen elhelyezett elektronikus tananyag önállóan is feldolgozható, egyéni ütemezésben. Aszinkron távtanulás fontos elemei például az elektronikus levelezés, a dokumentum letöltés. Mindkét kommunikációs formára igaz, hogy a folyamat során az oktatótól a diák felé irányuló információ dominál, azonban a visszairányú és a diákok közötti kommunikáció megfelelõ minõsége és gyakorisága is kulcsfontosságú. Példa: az elõbb említett feladatok. A példánál a kommunikációs folyamat az oktató és a diák között lehet akár szinkron, akár aszinkron jellegû, célja a felnõttoktatás segítése. 6. A matematikai programcsomagok alkalmazásának haszna és veszélyei Lehetõségünk volt a dolgozat egyes részeinek kipróbálására egy általános iskola 8. osztályában (4.3. fejezet). Tapasztalatok szerint a diákok szívesen fogadják a számítógépes matematika gyakorlatot. A diákoknak lehetõségük volt elõzõ órán (szakköri foglalkozáson) a programmal ismerkedni, ezért nem okozott gondot az, hogy a program angol nyelvû. Tapasztalatunk szerint a számítógépes gyakorlat elõkészítése jóval idõigényesebb és költségesebb a hagyományos gyakorlatokénál, de a sikerélmény lehetõségét hordozza magában mind a tanár, mind a tanuló részére. Ahhoz, hogy a diákok nagyrészt önállóan dolgozhassanak megfelelõ útmutatókat kellett készíteni a feladatokhoz. Az útmutató részletesen tartalmazta a diák tevékenységét, és azt is, hogy mit miért csinál. Az útmutató készítésénél figyelembe kellett venni, milyen számítógépi ismerete van már a tanulóknak. A feltételek is adottak voltak az iskolákban, megfelelõ számú és minõségû számítógép. A tanárnak sikerült megtalálni közelítõleg az elmélet és az alkalmazás helyes arányát. Nyilvánvaló, hogy nemcsak a számítógéppel segített oktatás megszervezése, hanem az így született alkotások értékelése is sajátos szakértelmet igényel, de a számítógéppel modellezett tanulási környezetben az értékelés életszerûbb: a tanuló tudásáról nem csak azt tudjuk meg, menynyire gazdag és pontos, hanem azt is, használható-e és elõhívható-e, ha az életben szükség van rá. [4] A számítógépre tervezett taneszközök és oktatási rendszerek bemutatóin szükségszerûen kevés szó esett a lehetséges hátrányokról, a módszer buktatóiról. Abban többnyire megegyeznek
15 a szakértõk, hogy nem sok értelme van az új eszközökkel a régi céloknak való megfelelést keresni, ehelyett a gyorsan változó világ követelményeihez kellene igazodnia az oktatásnak is. A felmerülõ elméleti viták eldöntésének legjobb módja a kísérleti kipróbálás. Megfelelõen használva a matematikai szoftverek a tényleges matematikai ismeretek elsajátításában segíthetnek. Igen pontos, szép és látványos ábrázolási lehetõségeikkel jól segíthetik a megértést (kézzel táblán vagy papíron csak idõtrabló módon és pontatlanul tudunk ábrázolni, szemléltetni), így a matematikai ismeretek oktatásában is jól használhatók. [3]
16 Felhasznált irodalom [1] Ambrus András. Bevezetés a matematikadidaktikába. ELTE Eötvös Kiadó, [2] Kálmán Attila. Nemeuklideszi geometriák elemei. Nemzeti Tankönyvkiadó, [3] Kárpáti Andrea. Számítógéppel segített tanulás. Iskolakultúra, 1997/12. [4] Kis Piroska. A matematikai programcsomagok alkalmazása, haszna és veszélyei. [5] Ulrich H. Kortenkamp. Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie in Cinderella. Institut für Theoretische Informatik Zürich, [6] Ulrich H. Kortenkamp. Foundations of Dynamic Geometry. PhD thesis, Swiss Federal Institute of Technology Zürich, [7] Ulrich H. Kortenkamp, Jürgen Richter-Gerbert. Geometry and education in the internet age. [8] Lénárt István. Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Munkalapok a síkgeometria és a gömbi geometria összehasonlításához [9] Pólya György. A gondolkodás iskolája. Gondolat, [10] Pólya György. A problémamegoldás iskolája. Tankönyvkiadó, [11] Reiman István. Ábrázoló geometria (gimnáziumi fakultatív tárgy tankönyve). Tankönyvkiadó, [12] Szõkefalvi Nagy Gyula. A geometriai szerkesztések elmélete. Akadémiai Kiadó, [13] Tarcsay Tamás. A számítógép és az Internet felhasználása a matematika oktatásában.
Ageometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez
Iskolakultúra 2003/12 Nagyné Kondor Rita Dinamikus geometriai rendszerek a geometria oktatásában A számítógépes rajzolóprogramok új lehetőségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan,
RészletesebbenÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS
Nagyné Kondor Rita ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS Az élő, korszerű matematikaoktatás legfontosabb feladata, hogy önálló gondolkozásra, a döntéshelyzetek megismerésére és megoldására nevelje a fiatalokat.
RészletesebbenInteraktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-
Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges
RészletesebbenVI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői
VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai: szögfelező, oldalfelező merőleges, magasság, beírt kör és középpontja, körülírt kör
RészletesebbenEgy feladat megoldása Geogebra segítségével
Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra
RészletesebbenFeuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével
Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Buzogány Ágota IV. Matematika-Angol Fejezetek a matematika tanításából Kovács Zoltán 2004-12-10 2 A Feuerbach körnek többféle elnevezése is van,
RészletesebbenA DINAMIKUS GEOMETRIAI RENDSZEREK ÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA
A DINAMIKUS GEOMETRIAI RENDSZEREK ÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA NAGYNÉ KONDOR Rita Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék 4028 Debrecen, Ótemető u. 2 4. rita@mk.unideb.hu KIVONAT A GeoGebra
RészletesebbenDinamikus geometriai programok
2010. szeptember 18. Ebben a vázlatban arról írok, hogyan válhatnak a dinamikus geometriai programok a matematika tanítás hatékony segítőivé. Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori
RészletesebbenDinamikus geometriai programok
2011. február 19. Eszköz és médium (fotó: http://sliderulemuseum.com) ugyanez egyben: Enter Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori sajátosságoknak megfelelő tárgyi tevékenységnek
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenA dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe
Fejezetek a matematika tanításából A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató Porcsalma, 2004. december
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenMatematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 15. modul SÍKIDOMOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 15. modul: SÍKIDOMOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenA hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenA matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenA MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN
A MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN Dr. Kocsis Imre DE Műszaki Kar Dr. Papp Ildikó DE Informatikai
RészletesebbenMinden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.
1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen
RészletesebbenDobos Sándor és Hraskó András: Inverzió. Inverzió. 2. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd meg az adott pont adott
Inverzió 1. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd meg az adott pont adott körre vonatkozó inverz képét! 2. Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkeszd
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenMegoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.
1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenGEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenA tér lineáris leképezései síkra
A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása
RészletesebbenSíklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal
Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú
RészletesebbenKövetelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenSZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1
A LOGO MindStorms NXT/EV3 robot grafikus képernyőjét használva különböző ábrákat tudunk rajzolni. A képek létrehozásához koordináta rendszerben adott alakzatok (kör, téglalap, szakasz, pont) meghatározó
RészletesebbenHarmadikos vizsga Név: osztály:
. a) b) c) Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! log 6 log log 49 4 7 d) log log 6 log 8 feladat pontszáma: p. Döntsd el az alábbi öt állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! A pontozott
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenVII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői
VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások,
RészletesebbenTémák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenEgy tételr½ol, melyet Dürer majdnem megtalált
Haladvány Kiadvány 2017.03.26 Egy tételr½ol, melyet Dürer majdnem megtalált Hujter Mihály hujter.misi@gmail.com A német reneszánsz legfontosabb alakjaként ismert Albrecht Dürer. Mivel apja (id½osebb Albrecht
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenKOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)
KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **
RészletesebbenVI.3. TORPEDÓ. A feladatsor jellemzői
VI.. TORPEDÓ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Tengelyes és középpontos tükrözés, forgatás, eltolás és szimmetriák. Előzmények A tanulók ismerik a tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, 0 -os pont
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenKocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés
1 Kocka perspektivikus ábrázolása Bevezetés Előző három dolgozatunkban ~ melyek címe: 1. Sínpár perspektivikus ábrázolása, 2. Sínpár perspektivikus ábrázolása másként, 3. Sínpár perspektivikus ábrázolása
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenTelepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100
RészletesebbenDinamikus geometriai rendszerek jellemzõi
Dinamikus módszerek alkalmazása a geometriaoktatás különbözõ területein Árki Tamás SzTE JGYTFK Matematikai Tanszék Ebben a cikkben a dinamikus geometriai rendszerek tipikus szolgáltatásainak módszertani
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenDIGITÁLIS KOMPETENCIA FEJLESZTÉSE TANÍTÁSI ÓRÁKON
DIGITÁLIS KOMPETENCIA FEJLESZTÉSE TANÍTÁSI ÓRÁKON Juhász Gabriella A digitális kompetencia fogalma A digitális kompetencia az elektronikus média magabiztos és kritikus alkalmazása munkában, szabadidőben
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenSZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1
A LEGO MindStorms NXT/EV3 robot grafikus képernyőjét és programozási eszközeit használva különböző dinamikus (időben változó) ábrákat tudunk rajzolni. A képek létrehozásához koordináta rendszerben adott
RészletesebbenTávoktatási tananyagok. fejlesztése
Távoktatási tananyagok 1 fejlesztése se Kérdések 1. Miért választotta a tárgyat? 2. Mire akarja használni a megtanultakat? 2 A tárgyról Célja, bemutatni: a távoktatás módszerét, rendszerét, a tananyagfejlesztés
RészletesebbenFontos a pontosság. Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Fontos a pontosság Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok miklosildiko@komal.hu Amikor egy geometriai feladathoz megpróbálunk ábrát rajzolni, elıfordulhat, hogy nehézségekbe ütközünk:
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
RészletesebbenAlapszintű számítástechnikai ismeretek pedagógusoknak 30 óra. Továbbképzési tájékoztató 2017.
Alapszintű számítástechnikai ismeretek pedagógusoknak 30 óra Akkreditált pedagógus-továbbképzés Alapítási engedély nyilvántartási száma: 575-2/2017. (e-learning képzés) Továbbképzési tájékoztató 2017.
RészletesebbenOrbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA
Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA A matematikai feladatok egy része olyan szellemi erőfeszítést igénylő rejtvényként fogható fel, amelynek megoldása jóleső érzést (sikerélményt) biztosít. Fokozott mértékben
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenSzerkesztés a gömbi geometriában
Szerkesztés a gömbi geometriában Szakdolgozat Készítette: Vad Szilvia Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak, Tanári Szakirány
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben1.Háromszög szerkesztése három oldalból
1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,
RészletesebbenA TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
RészletesebbenÓratípusok. Dr. Nyéki Lajos 2016
Óratípusok Dr. Nyéki Lajos 2016 Bevezetés Az oktatási folyamatban alkalmazott szervezeti formák legfontosabb komponense a tanítási óra. Az ismeret-elsajátítás alapegysége a témakör. A tanítási órák felosztása,
Részletesebben