0)+ ε 2(x,y)(y-y 0) ahol = = 0

Átírás

1 . Téel Az R R R R{,,, єr de -re} éező Dere-zorozo dezó érek evezzük z eleek redeze vló zá -eek. Geoer jeleé k,, eeé dhuk. eeé záegee, eeé záík, eeé dezó érről v zó, lekor,, hele,,z koordáák hzáluk. DEF : A,B є R ook ávolágá... záo érjük é ςa,b vel jelöljük. DEF : A P o ugrú körezee : BP, {PςP,P< є} DEF : Lege { },{ } ké ezőlege oroz. A ík zo ojk hlzá, elek koordáá e vló záoroz egelelő elee, ík eg oorozák hívjuk. Jelölée {P, } vg {P } DEF : A P, ooroz kovergál z A, ohoz, h A é A. Ekkor A- P oroz lezoják hívjuk. DEF : A öválozó válozó vló üggvé ol lekéezé, el z R ér eg rézhlzák de ojához oo eg vló záo redel hozzá. A ovák k válozó üggvéekkel ogllkozuk. Megdá ódjuk lehe : kéleel l:, vg z, h, uíál { }, álázl, deáeee,5 7,5 5 grku l: érké zvol zvolk: ZZ ko íkkl ve eze. DEF: Az kéválozó üggvé P el háréréke A h áre {P } P ooroz eeé l P A,P P. Jelölée, A P P DEF: Az kéválozó üggvé P - oloo, h árel {P } P eeé P P DEF: Az kéválozó üggvé P, el zer rál derváljá z lá háréréke l,, érjük,, zer holó eg. záíá : l :, e - kok vezzü o e. Geoer jeleée: A ez ík kez elüleől z eg egválozó válozó üggvé é eek derváljáról v zó zz z érő eredekégéről. A orál eredekége : z érő eredekége d d d d ézre kell ve hog ez z orgó közéoú kör egelee. Megoldáok k ozív eé d.. Téel Az, kéválozó üggvé zer rál derválj, l,, Ez e z egválozó üggvé derválják álláoíá, er l lehe, hog üggvé rál dereálhó, de e oloo. PL: Az egválozó v derválj : l h - h -, ez elhzálv kjuk z álláo deíó: DEF: z, kéválozó üggvé oál dereálhó P, o, h léezek A,BєR záok, ováá,,, üggvéek, elre,-,a- B-,,- hol l l Téel: h z, kéválozó üggvé oál dereálhó P o, kkor o oloo. Bzoíá : P -P, -,,, P P Téel : h oál dereálhó P o, kkor o dké válozój zer rál dereálhó égedg P A é P B hol A,B єr Bzoíá : Lege PP, ekkor P P é ehá l l B,,,, A, A A ehá oál dereálhóág zükége eléele olooág é rál derválk léezée de e elégége eléel. Téel : elégége eléel H, k léezk, é, rál derválüggvée é ezek olook P o, kkor oál dereálhó P-. Mg redű rál derválk: DEF: h z, kéválozó üggvé rál derválüggvée rál dereálhók P kkor e erválk z üggvé áodredű rál derválják evezzük Jelöléek : PP P. éle v ; ; ;. Holó érelezheő.,. redű rál dervál. YOUNG TÉTEL : H, rál derválüggvée olook P kkor P P Beugró : hározz eg zélőérékheleke., -

2 . Téel DEF : H z üggvé dké válozój zer rál dereálhó z M D hlz de ojá, kkor erzőlege P M o z grdevekor grd PP P ; P vekor. DEF : ráe dervál Lege ík P, ojá áeő rázögű egee o réere egeleredzere :, z, P, el zöghöz rozó ráe derválj kövekező ódo jelöl PP hárérék, h z léezk é vége : P P P l hol z egee rázöge, z egee P, edg P ojához rozó réerérék. Az ráe dervál záíá : A oál dereálhóág zer :,, P-P P - P - P-P P o P, o, /: P - P P o P, o, /lez P P o P Téel zélőérék léezééek zükége eléele : H,-k P rál derválj ullák, zz P P ováá P P - P >, kkor ek P zélőérékhele v. H P > kkor u, h P < kkor u v. H P P - P < kkor zélőérékhel, h P P - P kkor e lehe ud hog v-e zélőérékhele P. DEF : AZ, üggvéek P lokál u hele v, h léezk >, hog P B P, -r P P / P P / Téel : H, k P, lokál zélőéréke v, é, léezek, kkor P P BIZ : Az, é, egválozó üggvéek derváljról v zó ezekről dg udjuk hog ullák. Ne elégége eléel, er l elleéld eregelüle, Z ; o.. Téel DEF : Az F üggvé rív üggvée, h F Téel : H ek léezk F rív üggvée, kkor végele ok rív üggvée v é ezek k ko külöözek egáól, zz egk FC lkú. BIZ:, FC rív üggvé, er FC F C, Téleg k ko külöözek,, vg egük el, hog F G g ekkor F -G F-G F-GC FGC DEF: Az rív üggvéeek hlzá z hározl egrálják evezzük. Jelölé d F C, C ko. Téel hározl egrál luljdoág : H z é g üggvéek v rív üggvée, kkor ek é g ek v, égedg :, é, g g BIZ :, Lege F, ekkor F F, F ; G g; ekkor FG F G g Kövekezé :... d... Téel : özee v egrálá : H F rív üggvée é g derválhó é léezk o g, kkor g g F g C BIZ: [ F g C] F g g g g Eek eál eee :, d d F C ekkor g g é g., d g d g C g l ekkor g é Fg l g g g g, g g d C, ekkor gg, g é Fg Kövekezé : heleeíée egrálá Téel : H z üggvéek léezk rív üggvée é g derválhó é verálhó, kkor d g g d g g g verze BIZ: Az előző éelől udjuk, hog g g d F g C é vel g g ezér ká FC d Téel rál egrálá : H z u é v üggvéek derválhók é u v ek v rív üggvée, kkor uv k v, égedg uv uv u v BIZ:U v u vu v /u v u v -u v u v / u v - u v u v Láhó, hog z öze éel derválál zoíouk., d l d l [ r ] l r r > > koverge u u, d l [ ] d l l l l u l dverge ü ü ü >

3 5. Téel Mováó: Newo : Muk WF I, h F álldó, de v kkor h F eg üggvé eé válozk? Mováó: Függvé grkoj l erüle eghározá. DEF: Az [,] ervllu vlel réze elozáák N evezzük de eleű F ohlz, ehre gz hog F {,,, } é < < < <. DEF: Az F elozá oág leghoz ervllu hoz; d F[ - -],,,..,. DEF: lege F,F, F eg elozáoroz [,]. Az odjuk, hog ez elozáoroz de háro úl oodk, h eeé d F DEF elozá űríée: eglévő ozóookhoz újk redelük. A elozá űríée e jele k oíáá. DEF : Az [,] ervlluo éreleze üggvéek z [,] ezőlege F elozához rozó Re-éle egrálközelíő özegé égláözegé érjük O Σ özege, hol [ ],,,, DEF Az üggvé z [,] egrálhó, h árel F végeleül oodó elozáoroz é árel [ ] válzá eeé Re éle egrálközelíő érékekek orozák v háréréke é ez ugz vége zá. Ez közö hárérék üggvé [,]- ve hározo egrálj. Azz l d d F Elleveéek : egrdu üggvé [,] egrálá vg egráó ervllu, z egrálá ló é elő hár. Megállodá : Az egrálhóág zükége eléele : A korláoág, zz : Téel : H egrálhó [,]-, kkor o korláo, de ez e elégége eléel l Drhle, h roál üggvé. Bz : l O l Σ I. Mvel, h rroál d F d F hárérék léezk, íg ezőlege > hoz hez v ol elozá [,]-ek elre σ I < üggeleül ól, hog,,,, érékeke hog válzjuk. Tehá I-< <I gz kválzo elozár de -re. Az egrálhóág elégége eléele : korláoág é olooág. TÉTEL : H korláo é ooo [,]-, kkor o egrálhó. TÉTEL : H oloo [,]-, kkor o egrálhó. Megjegzé : egk e zükége eléel er l ek v ol ervllu hol e ooo é vk ol üggvéek k e olook, ég egrálhó. Az egrálhóággl ekvvle egállodáok zükége é elégége eléelek DEF : Aló egrálközelíő özeg I Σ, hol { [ ] } Felő egrálközelíő özeg Σ, hol u{ [ ] } Téel :. ekvvle : Lege [,]- éreleze korláo üggvé. Ekkor egrálhóágák zükége é elégége eléele : l I l d F d F DEF: Lege [,]- éreleze korláo üggvé. Ekkor z [,] F eloáához rozó ozlláó özege : O -I Σ Téel :. ekvvle : Lege [,]- éreleze korláo üggvé. Ekkor z egrálhóágák zükége é elégége eléele l O d F Műveleek egrálhó üggvéekkel : Téel : h z [,]- egrálhó, kkor egrálhó é BIZ : üggvé Re éle egrálközelíő özege degkéől keelheő єr 5. Téel Téel : H é g egrálhók [,]-, kkor g egrálhó é g g BIZ : Az g árel Re éle egrál közelíő özege é g közelíő özegéek z özege íg hárérék keőek z özege. Kövekezéek g g... d... Téel : BIZ : k z kell elá hog [,]- egrálhó, er z előző éele eláuk z egelőége. Mvel [,]- é [,]- egrálhó léezek -hoz ol elozáok, elekre z ozlláó özeg -él keek. Ekkor ké eloá eggüvéve [,]-ek eg ol elozáá kjuk elre OO O < BEUGRÓ d üggvé u -, u eze z ervlluo. Felő elé : u érék ervllu hoz - - Aló elé : u érék ervllu hoz ló elé : - elő elé : - M

4 . Téel H z [,]- egrálhó é [, ] -re kkor Bz : Mvel, íg árle elozáál z egrálközelíő özeg e egív, íg k háréréke e egív. Téel : H é g üggvéek egrálhók [,]- é g [, ] -re kkor g BIZ: eléelek zer g- g g g Téel : H z üggvé [,]- egrálhó é ló M edg elő korlá, kkor - M- BIZ: M d d Md M Téel közéérékéel : H z üggvé oloo [,]- kkor léezk ol [,] elre BIZ : Mvel oloo íg Weerr éel zer elvez uá é ureuá é M ekkor d M d M Az ervlluo oloo üggvéek Bolzo uljdoág zer z z [,]- de é M közé eő éréke elvez, ehá d -e. Tehá de [,] elre d d Megjegzé : olooág elegedheele eléel. DEF : Lege egrálhó [,]- Érelezzük z F üggvé kövekezőkée : D F[,] érelezé roá é F d ekkor F e egrálüggvééek evezzük. Megjegzé : z egrálá válozó -vel jelölük, vel z e elő hár jelöléére hzáluk.. Nlvá egehező ez vel z d d dd ugzzl egelőek, égedg z üggvé [,]- ve hározo egráljávl. TÉTEL : lege z [,]- oloo, ekkor d egrálüggvé z [,]- egrálhó, é F, hol F d de [, ] -re. BIZ: z F üggvé dereálhádo eg Δ Δ F Δ F ezőlege є, o : d d Δ Δ Δ d z egrálzáíá közéérékéele zer z [, ] ervllu lálhó eg ol ζ hel hol Δ F Δ F d, ezér, hol ζ. H o r hoz, kkor Δ Δ F Δ F ζ r hez, íg vel oloo, zz F l Δ Δ. Téel DEF : Az F üggvé rív üggvée, h F Téel : H ek léezk F rív üggvée, kkor végele ok rív üggvée v é ezek k ko külöözek egáól, zz egk FC lkú. TÉTEL Newo-Lez orul : Lege egrálhó üggvé z [,] ervlluo. H üggvéek léezk z F rív üggvée [,] -, kkor d F F BIZ : Tekük z [,] ervllu eg ezőlege F elozáá. Mvel rív üggvée [,] ervlluo F, íg F oloo é dereálhó [,]-, vl k árel ezőlege ervlluá. Az [ -, ] rézervlluoko z F üggvére lklzzuk Lgrge éle F F közéérék éel F hol z -, ervllu vlelk oj. Tekük o z üggvéek z [,] ervllu F elozáához rozó közelíőözege közül z, elél,,,..., ook ée Lgrge éle közéérék éel áll eghározo e ook,. Ekkor F F σ F F F F F F... F F F F F F ehá σ F F gelee véve [ ] hog egrálhó [,]- l σ l F F σ z F-F külöége d F d F rövde [ F vel jelöljük, ekkor Newo Lez orul kövekező kée írhó : [ F ] ] BIZ : Az egrálüggvé deíójáól kövekezk, hog d F F áréz F rív üggvé é k ko ér el ől, zz FC FC vg F-C é F-C ho - F-C-F- F F d l 5 d l5 d u l 5 d u 5 v v l d l5 d l5 d l5 d d 5 [ l5 ] [ ] l 5 5 l8 l8 5

5 7. Téel Lege üggvé oloo [,] ervlluo. Ekkor göre l erülee z grkoj, z, z egel, z é egeeek áll hárol erülee. DEF: erüle : z [,] ervlluo éreleze eegív oloo üggvé grkoj l erüle, zz z, є[,] egeleű göre, z egel, z é egeeek áll hárol eroá erülee l z üggé [,] ervlluo ve hározo egráljá érjük h kkor T d ÁLLÍTÁ : h kkor T d BIZ: I Σ T ; Σ M T I T I é r I hez I hárérék h eloá rézervllu de háro úl oíjuk ezér T r I hez. Megjegzé : h kkor T d üggvé é z egel köz erüle z d zolúéréke dj. Ké göre áll közezár erülee úg záíuk, hog egkereük ezéojk, ez egeleredzer egoldjuk, uá egézzük, hog ezéook közö elk v elül é eől kvojuk ák d - d. Ez dj ké gore áll közezár erülee, lekor léegele hog hol v z egel. Préeree do üggvé eeé : ϕ Ψ [, β ] hol euá rá lege ozív z ór járáávl elleée, A é B o z egrálá ló é elő éréke, C o eg köze o. A,B,C ook réere koordáá kövekezőek : A ϕ ; Ψ, B ϕ ; Ψ, < < < β ; C ϕ ; Ψ ϕ β ; Ψ β. Tegük el, hog ϕ é Ψ üggvéek zer, β ervlluo. Jelölje elő íve előállíó derválüggvée léezek é olook [ ] üggvé, z lő előállíó üggvé. Ekkor előállíáávl krjuk egd. Ekkor elhzáláávl áírjuk le lkr : heleeíéel kjuk β heleeíé elvégezve edg : Ezeke elhzálv : heleeíéel dódk : keree erüle T T Ψ & ϕ d!!!!! T. A T erülee G göre d é d egrálok heleeíé z ϕ, ϕ & ϕ d & ϕ Ψ d. Az ϕ, β ϕ & ϕ d & ϕ Ψ d β & ϕ Ψ d & ϕ Ψ d z ϕ, ϕ & ϕ d Ψ & ϕ d eől kövekezk, hog d d & ϕ Ψ d & ϕ Ψ d Ψ & ϕ d β β 8. Téel A orgáeek érogák eghározááál z lá ké elvől duluk k.. z egéz e érog rézek érogák özegével egelő.. z egee körheger érog lerüle gággl. Lege [,]- oloo, eegív üggvé. Az üggvé grkoj, z, é z egel áll hárol íkdoo z egel körül egorgv orgáee kuk. Eek érogá eír é köréír hegerek érogk özegével közelíjük. Lege [,] eg eloá < < < < < ookkl dv. Lege { _ [, ]} M { _ [, ]} Ekkor eír gegerek érog :, körülír hegereké edg M,,,,. Nlvá - - V M - -, hol V orgáe érog, ezek üggvéek ló é elő közelíő özege. Mvel oloo íg oloo é egrálhó.ezér l - - l M - - d F Tehá orgáe érog V d d F Préeree do üggvé eeé ϕ, Ψ, β ϕ Ψ V d [ ] ϕ & ϕ d Ψ & ϕ d, lklzzuk ϕ heleeíé egkjuk V d Ψ & ϕ d eredé, hol ϕ é ϕ heleeíé : u u eől é u ől u u u u u u u d d du d du u u u u rg u u u rg rg rg u rg

6 9. Téel /. íkgöre ívhoz DEF: Eg oloo göre ívhozák evezzük z záo, elhez göréhez ír örövolk höz rk, h z ozóook záá de háro úl öveljük, köze zkzkk hozák u zéruhoz r. DEF : z ívhozl redelkező göréke rekkálhók evezzük. Péld e rekkálhó görére, h ; é h [,] ervlluo. TÉTEL : Lege z üggvé z [,]- oloo dereálhó. Ekkor z 7 göre rekkálhó é z ívhoz d BIZ : örvolk hoz : [ ] [ ] [ ] Mvel eléelük üggvéük oloo z [,]- íg korláo z [,] ervlluo. Jelölje K z üggvé eg korlájá, zz K eg ol zá, elre gz hog K < de ], [ -re. A örövol hozár gz, hog [ ] K K P P < ez közelíőözeg z d üggvé Re éle közelíő özege, íg ee z {F } eg de háro úl oodó elozá [,]-ek, kkor eze özegek háréréke oo d Préeree do göre eeé : Ψ Ψ ] [ ] [ d d d ϕ ϕ ϕ & & & & -,- - -,- - v o o,-, - 9. Téel /. úlo záíá DEF: z öegoredzer egelére vokozó k oék d DEF : z öegoredzer úloj M h d M d. Eek egelelőe íkleez úloj : Lege z üggvé [,]- oloo üggvé. Tegük el, hog vlel hoogé öegelozláú é egég elüle űrűégű íkleez z, z, é görék hárolják. Ekkor göre l erüle érőzá egelő öeg érőzáávl. Tekük z [,] F {,,, } elozá z edk rézervllu edg Tégllokkl közelíve íkleez, z edk égll k oék z egelre : - - ζ ζ, re : - - ζ ζ. Özegezve : de háro úl oodó elozáekve ezek háréréké véve : d d X d d d X d -,- - -,- - v o o,-, -

7 . Téel Irou zz e vlód egrál. A hározo egrál oglá kerjezjük ol eeekre, kor z egrdu :,:z ervlluo elül vége ok hele érelezve,,: e korláo,,: z egrálá ervllu végele., üggvé dehol érelezve vége ok o : DEF : lege z üggvé z [,] ervlluo,,.. ook kvéelével deü érelezve é korláo. lege z g üggvé z [,] ervlluo,,.. ook kvéelével deü g. H g egrálhó [,] kkor g egrál z üggvé rou egrálják ekjük, zz g. Megjegzé : léegele, hog g ek k z éréke z ook., küggvé e korláo : ekük z [,] ervlluo éreleze, de z o körezeée e korláo üggvé. Ekkor z üggvé z [,] < <- ervlluo de -r egrálhó é l háréréke léezk é vége, kkor z [,] rou egrálhó é l Elevezé : h l vége, kkor z rou egrál kovergeek, egéké dvergeek evezzük. Ugez él. H egk végoál e korláo, kor l l, egrálá végele ervlluo : DEF : lege z üggvé érelezé roá [, ] ervllu, é lege egrálhó de [,] ervlluo. Ekkor h l háréréke léezk é vége, kkor z odjuk, hog z rou egrál koverge é éréke ez hárérék, zz dverge. Holó l. H ez hárérék e léezk, vg e vége, kkor l ováá l l zélőérékhel o v hol Megoldo egeleredzerké : é eől - ez eírv z elő egelee : - - eől é ehá P, P,- hog éleg v e zélőérék z zo úlk, hog - >? h ge, kkor v. P, ehá zélőérékhel P,- - - ehá v zélőérékhel é vel > ezér u uú. Téel Leheége hog vlel üggvé egrálhó, de hározo egrálj ége záolhó k rív üggvéek egíégével. Ug előordulh, hog, üggvé egrálhó, de rív üggvée z ele üggvéek körée., üggvé egrálhó, de e udjuk eghároz egele rív üggvéé e z ele üggvéek körée., z egrdu k grku, vg álázl udjuk k egd. A közelíő egrálá lgodol : z d egrál vége özegekkel közelíjük, úg hog z [,] ervllu < < < < oj eroláó lookk véve z üggvé ol g eroláó üggvéel közelíjük állá olol, ek hározo egráljá vzolg köe k udjuk záí. TRAPÉZ FORMULA : z üggvé [,] ervlluo ve d hározo egrál kzáíáához ozuk el z [,] ervlluo egelő hozúágú rézre ekvdzá elozá, ekkor de ege ervllu hoz : h, hol z elő réz erülee : h, áod, rézé h, z. rézé h lez, hol,,,,. Ezeke erüleeke özedv T.h [ ] ehá ez ekhejük z d közelíő egrálják réz ódzer zer. Ez kelezé réz orulák evezzük. Az eléré z egrál K oo érékéől :, hol K z áodk derválják korláj [,] ervlluo. IMPON FORMULA : I rolívekkel közelíük. TÉTEL : z hozzáredelé örvéel do üggvé grkoj l erüle z [, -] ervlluo z orulávl záolhó k. Az üggvé [,] ervlluo ve d hározo egrálják közelíő kzáíáához ozuk el z [,] ervlluo egelő rézre, ekkor de ervllu h hozúágú. Az göré heleeíük rolívekkel, égedg úg, hog elozáál kelekeze rézervlluok ároávl özeogv ezek végozj áll eghározo göreoo á ekeük rá rolíveke, z d egrál közelíő éréké rolívek l erüleek özege ogj d. Az elő le rézervlluo ekve,, rolív l erüle : h [ ] [ ] A áodk le rézervlluo ekve,, rolív l erüle : h [ ] [ ] Az uóló -; -; le rézervlluo ekve rolív l erüle : h [ ] [ ]

8 . Téel Ezeke erüleeke özedv : [... ] kejezé kjuk, ez evezzük o orulák. ez eg elő redű leál hoogé deredál egele. Y Y Y Y Y dy d l Y l l C l C Y Y kereée k lk, eírv z erede egelee : [ k ] k k k k k ez egrálv : k zz Y C elleőrzé : C C C C. Téel DEF: z ol egeleeke, eleke z erele eg üggvé, üggvéegeleekek evezzük. DEF : h üggvéegeleeke üggvé derválh zereelek, kkor dereálegeleekről ezélük. D egeleekozálozá :, közöége h egválozó, lger üggvéek é derváljk k oloj zereelek, rzede á eeeke, rál h üggvé öválozó. Ekkor üggvé rál derválj zereelek z egelee Eg ák ooroíá ód, dereálegeleek redje zer ooroíá. DEF : A dereál egele redű, h ee zerelő üggvé derváljk ál redje. l : -5 ez áodredű leál közöége dereál egele. DEF : dereál egele egoldá zok üggvéek, elek derválüggvéekkel egü kelégík dereál egelee. Láhó, hog dereál egeleekek egé eléelek háá végele ok egoldá v, ez hívjuk egrál göreeregek. DEF : z ed redű dereál egele álláo egoldá z üggvé, el egoldá é oo dr egáól üggele réer rlz, rkulár egoldá edg legelje - dr egáól üggele réer rlz. lehe ol egoldá, elk e zárzhó z állláo egoldáól, ez zgulár egoldá zéválzhó válozójú dereál egeleek : DEF : z g lkr hozhó dereál egeleeke zéválzhó válozójú dereál egeleekek evezzük. Megoldá eléelezzük ovák, hog,g olook d d d d Eől g g g egkjuk egoldá ug lege l oldl F C l oldl F C derváljuk zer, ől z g vló kelégí dereál g egelee. H z, kezde eléelhez rozó rkulár egoldá kereük d d özeüggéel egdo göreeregől kválz, kkor z z d d özeüggé dj h vlel η érékél z, kkor z dereálegeleek z álláo egoldááól e zárzhó egoldá z η göre. Leíro eldo é : e -o -o -o -o Tehá z kuk váruk, hog. Téel eál dereál egeleek vzvezeheőek zéválzhó válozójúr., h dereál egele lkú, kkor z u hozzáredelé uíál új erele üggvé, u- vezeük. dké oldl zer dereálv u, jd hele u- írv u u dereál egelee kjuk,el z u üggvére ézve ár közveleül zéválzhó válozójú dereál egele.. h dereál egele lkú, kkor z u hozzáredelé uíál ugk új erele üggvé vezeük e. Eől : u. dké oldl zer dereálv : u u, jd hele u írv u uu dereálegelee kjuk, el z u üggvére ézve ár közveleül zéválzhó válozójú dereál egele. - d d l- l - l e - e e. Téel DEF: z ol egeleeke, eleke z erele eg üggvé, üggvéegeleekek evezzük. DEF : h üggvéegeleeke üggvé derválh zereelek, kkor dereálegeleekről ezélük. D egeleekozálozá :, közöége h egválozó, lger üggvéek é derváljk k oloj zereelek, rzede á eeeke, rál h üggvé öválozó. Ekkor üggvé rál derválj zereelek z egelee Eg ák ooroíá ód, dereálegeleek redje zer ooroíá. DEF : A dereál egele redű, h ee zerelő üggvé derváljk ál redje. l : -5 ez áodredű leál közöége dereál egele. DEF : dereál egele egoldá zok üggvéek, elek derválüggvéekkel egü kelégík dereál egelee. Láhó, hog dereál egeleekek egé eléelek háá végele ok egoldá v, ez hívjuk egrál göreeregek. DEF : z ed redű dereál egele álláo egoldá z üggvé, el egoldá é oo dr egáól üggele réer rlz, rkulár egoldá edg legelje - dr egáól üggele réer rlz. lehe ol egoldá, elk e zárzhó z állláo egoldáól, ez zgulár egoldá zéválzhó válozójú dereál egeleek : DEF :z g lkr hozhó dereál egeleeke előredű leál dereálegeleekek evezzük. H h, kkor hoogé, egéké hoogé leál dereál egeleről ezélük. Hoogé dereál egeleek : g lvávló egoldá. A ovák egük el, hog. vegük ézre, hog eg eál zéválzhó dereál egeleel v dolguk. Megoldá : g /: g d g d g d d g d l g d l C Ce ez álláo egoldá z előredű leál hoogé dereál egeleek. Ug g d g d Ce g g Ce A egoldá zdo válzo ko rlz. Mvel egoldá, íg á eleérve z álláo egoldá g d Ce

9 . Téel Ihoogé : g h h!!! Téel : e dereál egele álláo egoldá z ehez hozzáredel Y gy hoogé dereál egele Y l jelöl álláo egoldáák, vl z hoogé dereál egele vel jelöl eg rkulár egoldáák özege, zz Y BIZ : e kell láuk, hog Y hoogéeg álláo egoldá, vg egréz kelégí z egelee, áréz oo eg zd válozó rlz., - eírv hoogé dereál egele l oldlá : g g g [ g ] [ g ] h h h z hoogé egele jo oldl, vel z hoogé egele álláo egoldá, ezér dr zd réer rlz, vel z hoogé egele rkulár egoldá, ezér dr zd réer rlz, íg z özegük k zd réer rlz. Eek egelelőe z hoogé egele egoldá léée gh, Y g d, Y Ce g d, le lk kereük, de C hele eg üggvé íruk, zz k álldó vráláák ódzere, k e zerelő ko k válzjuk k zd réer lehe, z edg ár Y v g d g d, özedv Y Ce k e Eg kokré éldá euv :, ekkor g g d, Y Ce d Ce d Ce Ce l C, k, eírv z egelee : k - k k k-k k k, k d, C C ϕ o Ψ ϕ& T o d d d d o d e 5. Téel DEF: z ol egeleeke, eleke z erele eg üggvé, üggvéegeleekek evezzük. DEF : h üggvéegeleeke üggvé derválh zereelek, kkor dereálegeleekről ezélük. D egeleekozálozá :, közöége h egválozó, lger üggvéek é derváljk k oloj zereelek, rzede á eeeke, rál h üggvé öválozó. Ekkor üggvé rál derválj zereelek z egelee Eg ák ooroíá ód, dereálegeleek redje zer ooroíá. DEF : A dereál egele redű, h ee zerelő üggvé derváljk ál redje. l : -5 ez áodredű leál közöége dereál egele. DEF : dereál egele egoldá zok üggvéek, elek derválüggvéekkel egü kelégík dereál egelee. Láhó, hog dereál egeleekek egé eléelek háá végele ok egoldá v, ez hívjuk egrál göreeregek. DEF : z ed redű dereál egele álláo egoldá z üggvé, el egoldá é oo dr egáól üggele réer rlz, rkulár egoldá edg legelje - dr egáól üggele réer rlz. lehe ol egoldá, elk e zárzhó z állláo egoldáól, ez zgulár egoldá A áodredű dereál egeleek álláo lkj F,,, H kejezheő,, kkor z el lk :,,. z álláo áodredű dereál egeleek egoldáár e eree ódzer, de zoo eál eeeke eg uduk old. DEF : vlel áodredű dereál egelee háok evezük, h ee zerelő,, közül, legelá z egk házk. e háozh, er kkor e lee áodredű z lá eál eeel ogllkozuk : F, ; F,, ; F,,,. F, de lkr írhó, kkor z álláo egoldá ké egá uá egrálál dódk. d C [ d C ] C [ d] d C C h e hozhó el lkr, kkor egoldhóágáról e oduk e. Pl : 5 ez e dhó eg, hze ööd okú.. ; F,, lkú áodredű dereál egele eeé lklzzuk z heleeíé! Ekkor, íg z egele F,, lkú, ehá előredűre vezeük vz. Ez egoldv d végő egoldá.. F,,, lklzzuk z heleeíé! H ez z előredű dereál egelee egoldjuk, kkor ár egoldhó, er zéválzhó válozójú dereál egele. Pl : lege P eől kövekezk, hog P P z egelez ezekzer P P P eől P P P P d d P P d d P C P C P C P l l l l l C C d Cd rh C C egoldá : hcc BEUGRÓ: r r r r r r V d d