XII. SZILÁRD LEÓ NUKLEÁRIS TANULMÁNYI VERSENY Beszámoló, I. rész

Átírás

1 felelôbbnek bizonyuló volfrámötvözettel történô helyettesítését oldotta meg, majd megalkotta a mérések fotografikus regisztrálását, valamint az inga méretét jelentôsen csökkentette Ez, az Auterbal fantázianevû inga a két világháború között igen népszerûvé vált az egész világon A háborút követôen, az 1952-ben publikált újabb kutatási eredményei alapján (a lecsökkentett lengésidônek köszönhetôen gyorsabb, pontosabb mérés) kifejlesztette az E 54 jelzésû ingát, melyet az 1958-as brüsszeli expó magyar pavilonjában mutattak be (12 ábra) A mûszer elnyerte a világkiállítás nagydíját Az E 54 kifejlesztése (13 ábra) a korábbiakhoz hasonlóan az ELGI-ben történt, gyártása pedig a Süssvállalat államosítását követôen utódjában, a Magyar Optikai Mûvekben folyt továbbra is A FIZIKA TANÍTÁSA XII SZILÁRD LEÓ NUKLEÁRIS TANULMÁNYI VERSENY Beszámoló, I rész Sükösd Csaba BME Nukleáris Technika Tanszék Szilárd Leó születésének centenáriuma alkalmából, Marx György professzor kezdeményezésére ban került elôször megrendezésre a Szilárd Leó Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny Azóta a Szilárd Leó Tehetséggondozó Alapítvány és az Eötvös Loránd Fizikai Társulat minden évben megrendezi a versenyt 2006 óta határon túli magyar anyanyelvû iskolák tanulói részére is megnyitottuk a részvétel lehetôségét Az idén ezzel hárordélyi iskola, a Berde Mózes Unitárius Kollégium (Székelykeresztúr), a János Zsigmond Unitárius Kollégium (Kolozsvár) valamint a Nagykárolyi Elméleti Líceum (Nagykároly) élt, ahonnan összesen hét elsô kategóriás (11 12 osztályos), és egy junior kategóriás tanulót neveztek be a versenybe Sajnos, Felvidékrôl, Vajdaságból és Kárpátaljáról 2008-ban sem kaptunk nevezéseket Összesen 220 elsô kategóriás (a már említett határon túliakon kívül 160 vidéki és 53 budapesti) valamint 169 junior kategóriás (vidékrôl 103, Budapestrôl 65) nevezés érkezett A 2009 március 2-án megtartott elsô forduló (válogató verseny) tíz feladatát az iskolákban lehetett megoldani három óra alatt Kijavítás után a tanárok azokat a megoldásokat küldték be a BME Nukleáris Technika Tanszékére, ahol a 9 10 osztályos (junior) versenyzôk legalább 40%-os, a osztályos (I kategóriás) versenyzôk legalább 60%-os eredményt értek el Az elsô forduló után 49 db I kategóriás (38 vidéki, 11 budapesti) és 16 db II kategóriás (15 vidéki és 1 budapesti) dolgozatot küldtek be a javító tanárok Határon túlról sajnos egy dolgozat sem érkezett A beküldött dolgozatokat ellenôrizve egy egyetemi oktatókból álló bírálóbizottság a legjobb tíz junior versenyzôt és a legjobb húsz elsô kategóriás versenyzôt hívta be a paksi Energetikai Szakközépiskolában 2009 április 25-én megrendezett döntôre A döntôn minden behívott versenyzô megjelent Az idén hét lány jutott be a verseny döntôjébe, öten az I kategóriában, ketten a juniorok között A verseny fordulóin (mobiltelefon és Internet kivételével) bármilyen segédeszköz használható volt A döntôt megelôzô napon a versenyzôk és kísérô tanáraik üzemlátogatáson vettek részt a Paksi Atomerômûben, este pedig kulturális programként az érdeklôdôk megnézhették Michael Frayn: Koppenhága címû színdarabját, amelyet a Budapest Mûszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Karának három hallgatója állított színre Az alábbiakban ismertetjük a válogató verseny, valamint a döntô feladatait, és röviden a megoldásokat Valamennyi feladatra 5 pontot lehetett kapni A válogató verseny (I forduló) feladatai és megoldásuk 1 feladat A 32 P foszforizotópot az orvosi gyakorlatban is használják radioaktív nyomjelzôként A vizsgálathoz a kórház Bq aktivitású 32 P-t tartalmazó preparátumot kap a) Mennyi ideig használhatják ezt, ha aktivitásának 3, Bq-re történô csökkenése esetén már nem alkalmazhatják? b) A 32 P izotópot egy magyar tudós állította elô elôször Ki volt ô? Mit tudsz még róla? Adatok: A 32 P szükséges adatait a Függvénytáblázat tartalmazza Megoldás: a) A bomlási törvény alkalmazásával Ebbôl 3, t 14,2 t 14,2, azaz 16,22 2 lg 16,22 lg 2 57 nap t 14,2 A FIZIKA TANÍTÁSA 25

2 b) A 32 P elsô elôállítója Hevesy György ( ), aki 1943-ban kapott Nobel-díjat a radioaktív nyomjelzéses vizsgálatok felfedezéséért 2 feladat A fénymikroszkóp felbontóképessége az a legkisebb távolság két pont között (Δx ), amit még meg tudunk különböztetni Ez arányos a mikroszkóphoz használt fény λ hullámhosszával (Δx λ) Felgyorsított elektronokat elektromos és mágneses mezôk úgy el tudnak téríteni, mint a fénysugarakat a lencsék Ezt felhasználva elektronmikroszkópot készíthetünk Tekintsünk egy olyan elektronmikroszkópot, ahol az elektronokat 10 kv feszültséggel gyorsítjuk a) Hányszor kisebb távolságokat lehet ezzel felbontani, mint a 340 nm hullámhosszúságra érzékeny fénymikroszkóppal? b) Diszkutáljuk, hogy milyen elhanyagolásokkal, feltételezésekkel éltünk a megoldás során! Megoldás: a) A de Broglie-összefüggés: λ h /p, és az energiamegmaradás szerint (klasszikusan) Így λ p 2 2 m eu Behelyettesítve a megfelelô értékeket, az elektron hullámhossza 1, m A feladat szövege szerint a felbontóképesség egyenesen arányos a hullámhosszal, tehát a felbontóképességek aránya: h 2 meu ,23 10 b) Az egyik elhanyagolás az volt, hogy az elektronok lendületét nem relativisztikusan számítottuk ki Másrészt feltételeztük, hogy az elektronmikroszkópra ugyanaz az arányossági tényezô a hullámhossz és a felbontóképesség között, mint a fénymikroszkópnál Ez nem feltétlenül van így 3 feladat Egy, a bôrgyógyászatban használt CO 2 lézer 10,6 μm hullámhosszúságú fényt bocsát ki, amely hegesedés nélküli beavatkozások elvégzésére alkalmas A lézerfényt a bôrön egy 100 μm átmérôjû köralakú foltra fókuszálva ott 5 GW/m 2 teljesítménysûrûséget kapunk Hány foton érkezik másodpercenként a bôrre? Megoldás: A kör alakú folt területe: A r 2 π ( ) 2 π 7, m 2 A bôrre a lézerfénybôl másodpercenként érkezô energia (teljesítmény): P I A , ,25 W A lézerforrás által kibocsátott foton energiája: E 0 h c λ 1, J A másodpercenként érkezô fotonok száma: E E 0 39,25 1, , db 4 feladat A Föld természetes uránkészletét 2,2 megatonnára (Mt) becsülik Ha ezzel az uránkészlettel termikus reaktorokban (hô formájában felszabaduló) energiát termelnénk, hány m 3 gázolajjal lenne ez egyenértékû? Csak a 235 U tömegszámú uránizotóp hasadásából nyerhetô energiával számoljunk! Adatok: Az uránkészlet 0,72 tömegszázaléka 235 U A 235 U hasadásakor felszabaduló energiát vegyük 200 MeV-nek A gázolaj adatait a Függvénytáblázat tartalmazza Megoldás: Az urán 235 atommagok száma: N 1 7,2 2, Ennek elhasításakor keletkezô energia (amely hô formájában szabadul fel): Q , , J Ugyanennyi energiát m 2 Q 1 L f 1, , , kg gázolajból nyerhetnénk Ennek a térfogata V 2 m 2 ρ 2 2, , m 3 lenne 5 feladat A müon az elektron nagyobb tömegû változata, a tömege 207-szer nagyobb, mint az elektroné Vegyünk egy olyan hidrogénatomot, amelyben az elektron helyét elfoglalja egy müon (ez a müónium) A hidrogénatom négy színt bocsát ki a látható fény tartományában, (Balmer-sorozat) ezek hullámhossza: ibolya: 410,1 nm; kék: 434 nm; világoskék: 486,1 nm, és piros: 656,3 nm Milyen hullámhosszúak a müónium által kibocsátott, ezeknek megfelelô elektromágneses hullámok? Hogy nevezzük a nagyságrendileg ilyen hullámhosszú sugarakat? Megoldás: Az atommag körül keringô elektron n -edik pályájának energiája a következô képlettel határozható meg: E n me 4 Z 2 8 ε 2 0 h 2 1 n 2 Ebbôl látszik, hogy az atommag körül elhelyezkedô részecske energiája az m tömeggel egyenesen ará- 26 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 1

3 nyos Valamely (n k ) átmenet során kibocsátott fotonok energiája: hf E n E k 4 Z ε 2 h, 2 k 2 n 2 0 illetve hullámhossza: Mivel a müónium Balmer-sorozatának hullámhosz- szait keressük, ezért a képletben egyedül a tömeg különbözik, minden más paraméter ugyanaz marad Így a második törtet összefoglalhatjuk egy K konstansba: λ 1 m hc e 4 Z ε 2 h 2 k 2 n 2 0 λ 1 m K Tehát a kibocsátott fotonok hullámhossza annyiszor kisebb lesz, ahányszor nagyobb tömeget kell ebbe a képletbe helyettesíteni A müontömeg az elektrontömeg 207-szerese, tehát a kibocsátott fotonok hullámhossza 207-szer kisebb, azaz 410, ,98 nm, 434, ,1 nm, 486, ,35 nm, 656, ,17 nm Ezek már a röntgen-tartományba esnek Ha a tanuló a hullámmodell alapján jut arra a következtetésre, hogy a hullámhosszak 207-ed részükre csökkennek, azt is teljes értékû megoldásnak fogadjuk el Bár nem követelmény, de kiemelendô, ha a diák rájön arra, hogy a müóniumnál már figyelembe kell venni azt, hogy a proton és a müon tömege között nincs olyan nagy különbség, mint az elektron és a proton tömege között, ezért a fenti képletbe nem a müon tömegét, hanem a müon-proton rendszer redukált tömegét kell behelyettesíteni Itt is célszerû a redukált tömeg és az elektrontömeg arányát kiszámítani (sôt, még pontosabb számításnál a müon redukált tömegének és az elektron redukált tömegének az arányát): tehát m rμ m re m rμ m μ m μ, m re, m μ m μ ,13 Vagyis pontosabb értéket kapunk, ha 207 helyett ezzel az értékkel osztunk, azaz 410,1 186,13 2,20 nm, 434,0 2,33 nm, 186,13 486,1 186,13 2,61 nm, 656,3 3,53 nm 186,13 6 feladat A CERN új gyorsítójában, a 26,7 km kerületû LHCben 7 TeV energiájú protonok keringenek és ütköznek A teljes kerület mentén 2808 csomagban keringenek a protonok Egy csomagban 1, darab proton van a) Mekkora egy protoncsomag teljes energiája? Ha egy 150 kg tömegû kismotor ekkora mozgási energiával rendelkezne, mekkora sebességgel mozogna? b) Mekkora a teljes kerület mentén mozgó protonok energiája? Mekkora tömegû 25 C fokos aranytömböt lehetne megolvasztani ekkora energiával? Adatok: az arany móltömege M 197 g, mólhôje: 25,418 J/(K mol), olvadáspontja: 1337,6 K, olvadáshôje pedig J/mol Megoldás: a)7tev , , J egy darab részecske energiája Egy csomag energiája tehát: 1, J 1, , J A kismotor sebessége v 2 E m 2, ,47 m/s 149 km/h b) A teljes kerület mentén mozgó összes proton energiája: E össz 1, J ,2 MJ Nyilván E össz cmδt+l m,amibôl kapjuk: m E össz c Δ T L 3, ,418 (1337,6 298) Ennek a tömege 1830,8 kg 9293 mol 7 feladat Egy 25 kev mozgási energiával rendelkezô elektron esetén hány %-os relatív hibát követünk el de Broglie-hullámhosszának kiszámításakor, ha relativisztikus számolás helyett a klasszikus utat választjuk? És neutron esetén? Megoldás: A de Broglie-hullámhossz: λ h /p A klasszikusan, illetve relativisztikusan számolt hullámhosszak annyiban térnek el, hogy az egyiknél a lendületet klasszikusan, a másiknál relativisztikusan kell meghatározni a részecske mozgási energiájának segítségével Klasszikusan p k, ahol a részecske mozgási energiája, m 0 pedig a (nyugalmi) tömege Innen Relativisztikusan λ k h p 2 c c 2 c 2, A FIZIKA TANÍTÁSA 27

4 amibôl átrendezés és négyzetre emelés után kapjuk: Végül tehát a lendület relativisztikus kifejezése a moz- gási energiával: p 2 c 2 c 2 p r 1 c Ennek alapján tehát A relatív eltérés: s Δλ λ k c 2 Ebbôl adódik elektron esetén: Δλ λ Neutron esetén: Δλ λ n c 2 hc c 2 λ k 1 c e c ,0123 1,23% , , ,00067% 8 feladat A paksi atomreaktorokban a víz alulról felfelé áramlik keresztül az aktív zónán A nyitott, medence típusú oktató- és kutatóreaktorokban viszont a sugárvédelmi szakemberek javaslatára felülrôl lefelé keringetik a hûtôvizet Mi lehet ennek az oka? Megoldás: A reaktor belsejében keletkezhetnek radioaktív izotópok (aktivációs termékek), amelyek a hûtôvízbe kerülhetnek, vagy már eleve a vízben voltak (pl oldott sók) Ha lefelé kering a hûtôvíz, akkor mire a víz körbeér, és ismét a felszínre kerül, addigra a rövid felezési idejû aktivációs termékek elbomlanak, így a környezetet érô sugárterhelés csökkenthetô Az energiatermelô reaktorokban a hûtôvíz hermetikusan el van zárva a környezettôl, így ez nem tervezési szempont 9 feladat A Nap fô energiatermelô folyamata az úgynevezett pp-ciklus, amelynek során (több részfolyamatban) végeredményben négy protonból hélium keletkezik: 4p 4 He+2e + +2ν e +26 MeV A Nap anyagának összetétele kezdetben: 75% (tömegszázalék) hidrogén, 25% hélium A Nap mûködésének elsô 7 milliárd évében a kezdeti protontartalom körülbelül 10%-a alakul át a pp-ciklusban A Nap átlagos sugárzási teljesítménye (luminozitása) L 3, W Ezek alapján becsüljük meg a következôket: a) Kezdetben átlagosan hány proton lehetett a Napban? b) Mekkora volt a Nap teljes tömege? c) Mennyit változik a Nap tömege 7 milliárd év alatt a kisugárzott energia következtében? Adatok: a proton tömegét vegyük a Függvénytáblázatból! Megoldás: Elsô lépésben azt határozzuk meg, hogy a Napban az adott energiatermelési szakaszban összesen hány pp-ciklus zajlott le Ehhez a kisugárzott teljes energiát el kell osztani egyetlen pp-ciklus alatt felszabadult energiával: N pp t L Δ E , , , Tudjuk, hogy egy pp-ciklusban 4 proton vesz részt, tehát a folyamat során összesen 4N pp 8, proton fogyott el Mivel a Nap kezdeti protontartalmának mindössze 10%-a vett részt az energiatermelésben, könnyen kiszámíthatjuk a kezdeti teljes protonszámot: a) N 8, /0,1 8, Ennyi proton tömege: M p 8, , , kg A protonok a Nap tömegének csak 75%-át tették ki, tehát a Nap kezdeti tömege: b) M 1, /0,75 1, kg c) A 7 milliárd év alatt kisugárzott teljes energia: N pp 26 MeV 2, Ennek megfelelô tömeg: 8, J 19 1, Δ M E 8, , kg 2 c Ez ugyan óriási tömeg (kb százötvenszer akkor, mint a Föld tömege), de a Nap kezdeti tömegének mindössze 5 tízezreléke Megjegyzések: 1) A megoldás során feltételeztük, hogy a 7 milliárd év alatt a Nap luminozitása nem változik Ez a valóságban nincs így 2) Az irodalomban megtalálható (Particle Physics Booklet, 2004) naptömeg: 1,98844(30) kg Látható, hogy ezzel az egyszerû gondolatmenettel is már nagyságrendileg jó eredményt kapunk 10 feladat Az úgynevezett mikrorobbantásos fúziós berendezésekben nagy, gömb alakú reaktorkamrába egyenként belôtt kicsiny üzemanyag-kapszulákat he- 28 FIZIKAI SZEMLE 2010 / 1

5 vítenek lézerekkel, ily módon indítva be a fúziós reakciót Egy 1 mm átmérôjû üzemanyag-kapszula térfogatának fele 1000 kg/m 3 sûrûségû deutérium-trícium (D-T) keverék, a másik fele egyéb anyag a) Számítsuk ki, hogy egy 1 GW termikus teljesítményû fúziós erômûnél másodpercenként hány kapszulát kell felrobbantani, ha az elégetett üzemanyag aránya 30% Számoljunk csak a fúzióban felszabaduló energiával! b) Milyen korrekciók lennének még az energiamérleghez, ha nem csak a fúziós reakcióban felszabaduló összes energiával számolnánk? (Nem számszerû eredményt várunk!) c) A kapszula másik felét alkotó adalékanyagok elpárolognak, és egyenletesen lerakódnak a 10 m átmérôjû, gömb alakú reaktorkamra falán Milyen vastag réteg képzôdik ezekbôl egy év alatt? Adatok: a D-T ( 2 H+ 3 H) fúziós reakció adatait vegyük a Függvénytáblázatból! Megoldás: a) Egy kapszula térfogata: V 4 r 3 π π 3 5, m 3 Ennek fele D-T keverék A kapszulában lévô D-T tömege: m ρ V , , kg Ennek 30%-a vesz részt a reakcióban, ezért a reakcióban résztvevô tömeg: 7, kg Egy D-T pár móltömege 5 g, ezért 7, , részecskepár van Egyetlen kapszulából keletkezô energia: E 9, ,62 MeV 26,4 MJ Innen a robbanások gyakorisága: f 10 9 J/s 26, J 38 Hz b) A fúzióban felszabaduló energia jelentôs részét (kb 80%-át) a neutronok viszik el Bár a neutronok nagy részét a reaktort körülvevô köpenyben befogják, egy részük mégis kiszökhet a reaktorból Az ezek által elvitt energia nyilván nem hasznosítható, csökkenti az energiamérleget Másrészt azonban a köpenyben befogott neutronok nemcsak a mozgási energiájukat adják le, hanem további magreakciókat is létrehozhatnak, amelyek további (esetleg hasznosítható) energiaforrást jelenthetnek Ez viszont növelheti a megtermelt energiát c) Egy év alatt , kapszulát kell felrobbantani A kapszulák térfogatának fele rakódik le a reaktortartály felszínére, azaz d 4π R 2 1, V 2 1, , ,312 m 3 Mivel R 5 m, ezért a lerakódott réteg vastagsága d 0,312 4 π 5 2 1mm Az elôdöntô feladatait 51 fô I kategóriás, és 16 fô junior versenyzô teljesítette olyan szinten, hogy dolgozataikat a javító tanárok tovább tudták küldeni a BME Nukleáris Technika Tanszékére további rangsorolás végett A beküldött dolgozatokból választotta ki a zsûri a legjobb húsz I kategóriás, és a legjobb tíz junior versenyzôt, akiket behívtak a döntôbe BECSLÉSI VERSENY AZ ÁRPÁD VEZÉR GIMNÁZIUM Bigus Imre ÉS KOLLÉGIUMBAN Árpád Vezér Gimnázium, Sárospatak A matematikában és a természettudományokban, de a mindennapi életben is gyakran elôfordulnak olyan problémák, feladatok, amikor valaminek az értékét nem határozzuk meg pontosan, vagy azért, mert nincs rá szükségünk, vagy azért, mert nem is tudjuk meghatározni Ezekben az esetekben megpróbálunk valamilyen becsült értéket adni Sok esetben az érzékelt (látott, hallott, tapintott) jelenségeket a bennünk kialakult képességek alapján igyekszünk térben és idôben elhelyezni, becsüljük a nagyságot, a tôlünk való távolságot Egyes emberekben nagyon pontos idôérzék alakul ki, mások térbeli látása, tájékozódása kiváló Megtervezik, mennyi lesz a privatizációs bevétel vagy a gazdaság egyes ágazataiban a termelés, a fogyasztás, megbecsülik, mennyi jut az oktatásra a nemzeti jövedelembôl A mezôgazdaságban becsüljük a várható termést, a kárszakértô becsüli a kárt Természetesen becsléskor bizonyos dolgoktól eltekintünk, így a becslési adatok nem minden esetben felelnek meg az adott terület szakemberei által igényelt szintnek Melyek azok az oktatási értékek, amelyek a becslési képesség növelésében rejtôznek? Úgy gondolom, hogy a becslési képesség fejlesztése elôsegíti a matematikai képességek és a mindennapi életben a helyes döntések számának növekedését Ezért a tanulókat meg kell tanítani arra, hogy legyenek képesek a mindennapi életben használt méretek, mértékek, árak becslésére A FIZIKA TANÍTÁSA 29