Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók. Ha a v vektort az A kezdőpontjának és a B végpontjának megadásával definiáljuk, akkor a v = AB jelölést is használjuk. 2. Legyen v és w két vektor. Ekkor a két vektor v + w összegét a paralelogramma-szabállyal definiáljuk: eltoljuk a vektorokat úgy, hogy közös kezdőpontból induljanak ki, ezután a vektorok által kifeszített síkban tekintjük az egyik vektor végpontján átmenő és a másik vektor egyenesével párhuzamos egyenesek metszéspontját. A közös kezdőpontból ebbe a metszéspontba mutató vektor a v + w vektor. A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív művelet, azaz v + w = w + v, (1) (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w. (2) 3. Az előbbi két vektor v w különbségét így definiáljuk: eltoljuk a vektorokat úgy, hogy közös kezdőpontból induljanak ki, ekkor a w végpontjából a v végpontjába mutató vektor a v w vektor.

4. A v vektor v hosszán a vektort reprezentáló szakasz hosszát értjük. Ha ez 1, akkor a vektort egységvektornak hívjuk. 5. Nullvektornak hívjuk azt a vektort, amelynek a hossza nulla. A nullvektor jele 0. A v = BA vektort a v = AB vektor ellentettjének hívjuk. A nullvektor és az ellentett vektor legfontosabb tulajdonsága, hogy v + 0 = v, v + ( v) = 0. (3) 6. Legyen λ > 0 valós szám, v tetszőleges vektor. Ekkor a v vektor λ-szorosán azt a λ v vektort értjük, amelyik kezdőpontja egybeesik v kezdőpontjával, ugyanabba az irányba mutatat, mint v, és hossza a v hosszának λ-szorosa. Ha λ < 0, akkor a λ v vektor a λ v vektor ellentettje. A számszorosra teljesülnek a következők: (λ µ) v = λ (µ v), (4) λ (v + w) = λ v + λ w, (5) (λ + µ) v = λ v + µ v, (6)

λ v = λ v, (7) 1 v = v, ( 1) v = v, 0 v = 0. (8) A vektorok valós szorzóit skalároknak is hívjuk. Ezentúl a skalár és a vektor közötti pontot nem írjuk ki. 7. Tüntessük ki a tér egy tetszőleges pontját, amit O-val jelölünk és origónak hívunk. Ekkor a tér tetszőleges A pontjába mutató OA vektort az A pont helyvektorának hívjuk. A kivonás definíciója miatt bármely O, A és B pont esetén AB = OB OA. (9) 8. Legyenek v 1, v 2,..., v n tetszőleges vektorok, λ 1, λ 2,..., λ n pedig tetszőleges számok. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ n v n (10) vektort a v i vektorok λ i együtthatókkal képzett lineáris kombinációjának hívjuk. A lineáris kombinációknak a továbbiakban igen fontos szerepük lesz. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy természetesen a λ i számok között negatívak is lehetnek.

Feladat 1 Legyen A, B, C és D négy különböző pont a térben. Jelölje M az AD szakasz, N a BC szakasz felezőpontját. Bizonyítsuk be, hogy ekkor AB + DC = 2 MN. Megoldás: A feladat egy négyszögről szól. Ezt a négyszöget meghatározza az O origóból a négy csúcspontba mutató OA, OB, OC, OD vektor. Az ilyen feladatok megoldása során gyakran hasznos, ha minden vektort és összefüggést az origóból kiinduló vektorokkal fejezünk ki. Tudjuk, hogy AB = OB OA, A parelelogramma átlói felezik egymást, így Ezért OM = 1 ( ) OA + OD, 2 MN = ON OM = 1 2 DC = OC OD. ON = 1 ( ) OB + OC. 2 ( ) OB + OC 1 ( ) OA + OD = 2 = 1 2 ( ) OB OA + 1 ( ) OC OD 2 = 1 2 ( AB + DC ).

Feladat 2 Jelölje A, B, C egy háromszög három csúcspontját, és legyen P a tér egy tetszőleges negyedik pontja. Tükrözzük a P pontot az A pontra, a tükörképet a B pontra, azt a tükörképet a C pontra, azt a tükörképet ismét az A pontra, azt a tükörképet a B pontra, végül azt a tükörképet újra a C pontra. Mutassuk meg, hogy ekkor a hatodik tükörkép ismét a P pont. Megoldás: Egy pont tükrözése egy másik pontra egy jól definiált transzformáció, azaz ha adott a pont, amelyiket tükrözünk és adott a pont, amelyikre tükrözünk, akkor a tükörkép is meghatározható. Adjuk meg az X pontot az OX helyvektorral, az Y pontot az OY helyvektorral, tükrözzük az X pontot az Y pontra és határozzuk meg az X tükörkép OX helyvektorát. Nyilvánvaló, hogy XX = 2 XY. Az is világos, hogy OX = OX + XX. Mivel XY = OY OX, azt kapjuk, hogy OX = OX + 2 XY = OX + 2( OY OX) = 2 OY OX. Tehát a tükörkép helyvektorát úgy kapjuk, hogy annak a pontnak a helyvektorának a kétszereséből, amire tükrözünk, levonjuk annak a pontnak a helyvektorát, amit tükrözünk. A feladat megoldásához ezt szabályt kell hatszor egymás utan alkalmazni. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Tekintjük a feladatban szereplő pontok OA, OB, OC és OP helyvektorait. Azt fogjuk megmutatni, hogy a hatodik tükörkép helyvektora ismét OP. Az első tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OA OP. A második tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OB (2 OA OP ) = 2 OB 2 OA + OP. A harmadik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OC 2 OB + 2 OA OP. A negyedik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OA 2 OC + 2 OB 2 OA + OP = 2 OC + 2 OB + OP. Az ötödik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OB + 2 OC 2 OB OP = 2 OC OP. Végül a hatodik tükrözés után kapott pont helyvektora 2 OC 2 OC + OP = OP. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

9. Tekintsünk az i, j, k egységnyi hosszú, egymásra páronként merőleges vektorokat, amelyek ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha a k vektor irányával szemben nézve letekintünk az i és a j vektorok által kifeszített síkra, akkor ezen a síkon az i vektort az óramutató járásával ellentétes irányú 180 -nál kisebb szögű forgatás viszi a j vektorra. Ekkor igazolható, hogy a tér minden v vektora pontosan egyféleképpen állítható elő az i, j, k vektorok lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan egyértelműen meghatározott α, β, γ számok, hogy v = αi + βj + γk. (11) Ha megeggyezük abban, hogy ezt mindig úgy írjuk fel, hogy elöl az i, középen a j, hátul a k vektor áll, akkor az α, β, γ számok megadása egyértelműen meghatározza ezt a lineáris kombinációt: v = (α, β, γ). (12) Ezt az (α, β, γ) rendezett számhármast hívjuk a v vektornak az i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáinak. Szokás egy v vektor koordinátáit a v = (v 1, v 2, v 3 ) indexes fomában is megadni, ezentúl mi is ezt használjuk.

10. Legyen v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ). Ekkor v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ), (13) v w = (v 1 w 1, v 2 w 2, v 3 w 3 ), (14) λv = (λv 1, λv 2, λv 3 ), (15) v = v 2 1 + v2 2 + v2 3. (16) Egy P pont koordinátáin az OP vektor koordinátáit értjük, ahol O az i, j, k vektorok közös kezdőpontja. Tekintsük a P (p 1, p 2, p 3 ) és a Q(q 1, q 2, q 3 ) pontokat. Ekkor P Q = OQ OP = (q 1 p 1, q 2 p 2, q 3 p 3 ). (17) A P és a Q pontok távolsága P Q, erre fennáll, hogy P Q = (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + (q 3 p 3 ) 2.

Feladat 3 Számítsuk ki a v = i + j és a w = 3k 2j vektorok átal kifeszített paralelogramma átlóinak hosszát. Megoldás: A paralelogramma egyik átlóvektora a másik v + w = (i + j) + (3k 2j) = i j + 3k, v w = (i + j) (3k 2j) = i + 3j 3k. Ezeknek a vektoroknak a hossza a kérdés. Mivel i = 1 i + 0 j + 0 k, ezért i = (1, 0, 0). Hasonlóan j = (0, 1, 0) és k = (0, 0, 1). Ezeket felhasználva v + w = (1, 1, 3), v w = (1, 3, 3). Így v + w = v w = 1 2 + ( 1) 2 + 3 2 = 11, 1 2 + 3 2 + ( 3) 2 = 19.

11. A v és a w vektorok skáláris szorzata v, w = v w cos α, (18) ahol α a vektorok által közrezárt szög. A skaláris szorzat értéke tehát egy valós szám. Ha v = (v 1, v 2, v 3 ), és w = (w 1, w 2, w 3 ), akkor v, w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3. (19) A skaláris szorzat legfontosabb tulajdonságai: v, w = w, v, (20) u + v, w = u, w + v, w, (21) λv, w = v, λw = λ v, w, (22) v, v = v 2. (23)

12. A v és a w vektorok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha v, w = 0. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a 0 = (0, 0, 0) nullvektor ezek szerint minden vektorra merőleges. A merőlegesség jele: v w. 13. A v és a w vektorok pontosan akkor párhuzamosak, ha egymás számszorosai. A párhuzamosság jele: v w 14. Koordinátáival adott, nullvektortól különböző v és w vektorok szöge az alábbi képletből számolható ki: cos α = v, w v w. (24) 15. Legyen v és w két vektor és tegyük fel, hogy w 0. Ekkor a v vektor w irányú vetületvektora az a v w vektor, amit úgy kapunk, hogy a vektorokat közös kezdőpontba toljuk el, és a v vektor végpontját levetítjük merőlegesen a w egyenesére. A közös kezdőpontból ebbe a vetüteli pontba mutató vektor a v w. Erre teljesül, hogy ( ) v, w v w = w. (25) w 2

Feladat 4 Tekintsük az A( 2, 2, 0), B(2, 0, 2) és C(2, 3, 1) pontokat. Igazoljuk, hogy ezek háromszöget alkotnak, számoljuk ki a háromszög legnagyobb szögét és a C csúcshoz tartozó magasság talppontjának a koordinátáit. Megoldás: Három pont akkor nem alkot háromszöget, ha egy egyenesre esnek. Ekkor bármelyik pontból a másik két pontba mutató vektorok párhuzamosak, azaz egymás számsorosai. Most AB = (4, 2, 2), AC = (4, 1, 1). A harmadik koordinátákat tekintve AB csak 2-szerese lehetne AC-nek, de az első koordinátákra ez nem igaz, tehát a három pont valóban háromszöget alkot. Egy háromszögben a legnagyobb szög a leghosszabb oldallal szemközti szög. Mivel BC = (0, 3, 3), ezért AB = 24, AC = 18, BC = 18, tehát az AB oldal a leghosszabb. Az AB oldallal szemközti γ szög a CA és a CB vektorok által közrezárt szög, továbbá CA = ( 4, 1, 1) és CB = (0, 3, 3), ezért

cos γ = CA, CB CA = 0 + 3 + 3 α = 70.53. CB 18 18 Jelöljük T -vel a C csúcsból kiinduló magasság talppontját. Ekkor AT az AC vektor AB vektorra eső vetületvektora, azaz AT = AC AB = AC, AB AB. AB 2 Mivel AC, AB = 12, és AB = 24 AT = 1 (4, 2, 2) = (2, 1, 1). 2 Mivel T koordinátái az OT vektor koordinátáival azonosak, és OT = OA + AT = ( 2, 2, 0) + (2, 1, 1) = (0, 1, 1), azt kapjuk, hogy T (0, 1, 1).

16. A v és a w vektorok v w vektoriális szorzata egy olyan vektor, amely merőleges v-re és w-re, a hossza v w = v w sin α, ahol α a vektorok által közrezárt szög, és v, w és v w ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot. Ha v = (v 1, v 2, v 3 ) és w = (w 1, w 2, w 3 ), akkor v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, (v 1 w 3 v 3 w 1 ), v 1 w 2 v 2 w 1 ). (26) A vektoriális szorzat legfontosabb tulajdonságai: v w = (w v), (27) (u + v) w = u w + v w, (28) u (v + w) = u v + u w, (29) (λv) w = v (λw) = λ(v w), (30) 17. A vektoriális szorzat pontosan akkor a nullvektor, ha a v és a w vektorok párhuzamosak. Az v w szám a v és a w vektorok által kifeszített paralelogramma területével egyenlő. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Feladat 5 Tekintsük az A(1, 2, 3), B(3, 2, 5) és C( 1, 1, 1) pontokat. Igazoljuk, hogy ezek háromszöget alkotnak és számoljuk ki a háromszög C csúcshoz tartozó m C magasságának hosszát. Megoldás: Mivel AB = (2, 0, 2) és AC = ( 2, 3, 4) és ezek a vektorok nem párhuzamosak, ezért a pontok valóban háromszöget alkotnak. Tudjuk, hogy az AB és AC vektorok által kifeszített paralelogramma területe AB AC, a háromszög területe pedig ennek a fele. AB AC = = (0 ( 4) 2 ( 3), (2 ( 4) 2 ( 2)), 2 ( 3) 0 ( 2)) = = (6, 4, 6). Tehát t ABC = AB AC 88 =. Másrészt ez a terület 2 2 t ABC = AB m C. Mivel AB = 8, 2 88 8 mc 88 = m C = = 11. 2 2 8 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

A vektoriális szorzat kiszámolási szabályának megjegyzését megkönnyítheti a következő. Tekintsük a következő táblázatokat, ahol a második sorban a kiszámolandó vektoriális szorzatban elöl álló vektor koordinátái állnak, a harmadik sorban a hátul álló vektor koordinátái. i j k v 1 v 2 v 3, i j k v 1 v 2 v 3, i j k v 1 v 2 v 3. w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 Ekkor a vektoriális szorzat első koordinátáját úgy kapjuk, hogy a bal oldali táblázatban pirossal megjelölt számok szorzatából kivonjuk a kékkel megjelölt számok szorzatát. A vektoriális szorzat második koordinátáját úgy kapjuk, hogy a középső táblázatban pirossal megjelölt számok szorzatából kivonjuk a kékkel megjelölt számok szorzatát és a kapott számot megszorozzuk 1-el. A vektoriális szorzat harmadik koordinátáját úgy kapjuk, hogy a jobb oldali táblázatban pirossal megjelölt számok szorzatából kivonjuk a kékkel megjelölt számok szorzatát.

18. Az u, v és w vektorok uvw vegyes szorzata a következő valós szám uvw = u v, w (31) 19. A vegyes szorzat pontosan akkor nulla, ha a vektorok egy síkban vannak. Ha a vegyes szorzat nem nulla, akkor az abszolút értéke az u, v és w vektorok által kifeszített parelelepipedon V p térfogata: V p = uvw. (32) Az u, v és w vektor által kifeszített tetraéder V t térfogata ennek hatoda: V t = uvw. (33) 6

Feladat 6 Tekintsük az A( 1, 1, 1), B(3, 0, 0), C(0, 3, 0) és D(0, 0, 3) pontokat. Igazoljuk, hogy ezek tetraédert alkotnak és számoljuk ki a D csúcshoz tartozó m D magasság hosszát. Megoldás: Négy pont akkor nem alkot tetraédert, ha egy síkban vannak. Ez pontosan akkor következik be, ha az egyik pontból a másik háromba vezető vektorok egy síkban fekszenek. Most AB = (4, 1, 1), AC = (1, 4, 1) és AD = (1, 1, 4). Tudjuk, hogy ez a három vektor pontosan akkor van egy síkban, ha a vegyes szozatuk nulla. Mivel AB AC = i j k 4 1 1 1 4 1 = ( 3, 3, 15), ezért AB AC AD = 54 0, tehát a pontok tetraédert alkotnak.

Tudjuk, hogy Másrészt V t = t ABC m D 3 Ezeket felhasználva tehát 243 md 9 = 6 V t = AB AC AD 6 = 9. = AB AC m D 6 = m D = 54 243 = 2 3. 243 md. 6