Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04. május 6.
Fontos tudnivalók Formai elírások:. A dolgozatot a vizsgázó által használt szín&tl eltér szín& tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelen jelölni a hibákat, hiányokat stb.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette lev téglalapba kerül.. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelel téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Tartalmi kérések:. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltér megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenérték& részeit, és ennek alapján pontozzon.. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek.. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következ részpontszámokat meg kell adni. 4. Elvi hibát követen egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban ketts vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következ gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 5. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes érték& a megoldás. 6. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhet. 7. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre elírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 8. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 9. A vizsgafeladatsor II. B részében kit&zött feladat közül csak feladat megoldása értékelhet. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelen a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelm&en, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kit&zött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga / 04. május 6.
I.. 5 fiú van az osztályban. Ha tudja, hogy a 5-öt hét egyenl részre kell Összesen: osztani, akkor ot kap.. x Összesen: Ha tudja, hogy, akkor ot kap.. a) A (0; 4) pontban vagy ( y ) 4 -nél. b) x 4 6 Ha a grafikonról olvassa x le a vizsgázó, akkor is jár ez a. 4. A dolgozatot ( ) 7 tanuló írta meg. Nem bontható. Összesen: 5. A fokszámok összege: 4. Nem bontható. Összesen: 6. 5 x 0 ( 0 ) x 5, { 0;;;;4;5 } ( x Z) A 7. A 70º a 60º-nak 4 -e. A kör területe ( 8, 7 π cm ). Ha a vizsgázó π értékét jól kerekítve használja, 7 4 A körcikk területe: π (, ) cm. akkor ez a jár. írásbeli vizsga / 04. május 6.
8. osztályzat 4 5 relatív 0 0, 0,5 0,4 0,5 gyakoriság Összesen: Az adatok más formában (tört, %) történ helyes megadása esetén is jár a. hibás érték esetén, -nél több hiba esetén nem jár pont. 9. A) igaz B) hamis C) igaz 0. A gömb sugara a kocka testátlójának fele. A kocka testátlójának hossza: 7 (, ) 7 A gömb sugara tehát 6, Ha csak a számolásból látszik ez a gondolat, akkor is jár az. Ha megfelel közelít értéket használ, jár az. Ha nem jól kerekít, ez a pont nem jár.. B) Összesen:. (Az AC átló felezi a BCD szöget.) Az ACD szög 60º-os, és ACD háromszög egyenlszárú, vagyis a háromszög szabályos. A keresett átló hossza ezért 6 cm. A feladat szövegének megfelel jó ábráért jár. írásbeli vizsga 4 / 04. május 6. 8. c) els megoldás Két lehetséget kell vizsgálni: fiúnak és lánynak vagy fiúnak és lánynak ad virágot. 5 Az 5 fiú közül kettt ( 0 ) -féleképpen tud kiválasztani, ¹, a lány közül egyet vagyis az els esetben 0 0 különböz lehetsége van. Az 5 fiú közül egyet 5, a lány közül kettt egyféleképpen tud kiválasztani, vagyis a második esetben 5 különböz lehetsége van. (Az összes lehetség ezek összege), vagyis 0 5 5 -féleképpen választhat. ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 8. c) második megoldás A megfelel kiválasztások számát megkapjuk, ha az összes lehetséges kiválasztások számából kivonjuk azokat, amelyek nem megfelelek. 7 A 7 barát közül -at ( 5 ) kiválasztani, ¹ -féleképpen lehet ezek közül nem megfelelek azok, amikor csak fiúkat választ ki. 5 A nem megfelel kiválasztások száma ( 0 ) ¹. ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Ez a akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Nem bontható. A megfelel kiválasztások száma így 5 0 5. Ha a vizsgázó a helyes eredményre a különböz kiválasztások rendszerezett felsorolásával jut el, akkor is jár a 6 pont. Ha az eseteket felsorolja, akkor minden hibás eset felírása, illetve minden helyes eset kihagyása esetén -ot le kell vonni (összesen legfeljebb 6 pontot). írásbeli vizsga / 04. május 6.
8. b) második megoldás Venn-diagram, mint az els megoldásnál. (A csak a fehér színt választók számát y-nal jelölve:) y 4 y 6 6 diák jelölte meg csak a fehér színt. Összesen: 8 pont 8. b) harmadik megoldás A sárga színt választók halmazát S-sel, a fehéret választók halmazát F-fel és a bordót választók halmazát B-vel jelölve: S F 4 és B F, továbbá S B 0 (és S B F 0 ). S F B x (A logikai szita formula alapján:) x x x (4 ) x (A fehér színt összesen -an választották, ebbl ) 6 diák csak a fehér színt jelölte meg. Összesen: 8 pont 7 írásbeli vizsga / 04. május 6. II. A. a) Értelmezési tartomány: x > 0. A logaritmus megfelel azonosságának helyes alkalmazása. (A logaritmus függvény kölcsönösen egyértelm&.) 7 x 8 9 (vagy 7 x 8 9 x ) x x 9 Ellenrzés behelyettesítéssel vagy az x > 0 feltétel felírása mellett az ekvivalens átalakításokra való hivatkozás. Összesen: 5 pont Ha a vizsgázó nem vizsgálja az értelmezési tartományt, de a gyök helyességérl pl. behelyettesítéssel meggyzdik, akkor ezt a pontot is megkapja.. b) a cos x (ahol a ) helyettesítéssel: a 7 a 4 0. Az egyenlet gyökei a 4, és a. Az a cos x 4 nem ad megoldást, (mert cos x.) A cos x egyenlet megoldásai [ 0 ;π ]-n: x π, 4 π * x. * Az új változó bevezetése nélkül is jár a pont az egyenlet helyes átrendezése esetén. Ha a vizsgázó az egyenlet mindkét gyökét helyesen adja meg fokban ( x 0 és x 40 ), akkor ot kap. Ellenrzés (például behelyettesítéssel). Összesen: 7 pont Az egyenlet gyökeinek helyes felírása, de a megadott alaphalmaz figyelmen kívül hagyása (például végtelen sok gyök vagy negatív gyök megadása) esetén a két, *-gal jelölt pontból csak adható. írásbeli vizsga 5 / 04. május 6.
4. a) Az adatok átlaga: 8 76 4 69... 58 4 56 4 55 8 86 64,86. 8 Mivel az adatok száma páros, ezért a medián a nagyság szerint sorba rendezett adatok közül a két középs számtani közepe: 6 65 6. A válasz: igen, az átlag és a medián legalább tal eltér egymástól. Összesen: 5 pont a megoldásból kiderül, hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. a megoldásból kiderül, hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 4. b) Kiváló minsítést érdemel 6 osztály, Nagyon jó -t, Jó minsítést kap 9 osztály. Az oszlopdiagram: Összesen: 4 pont Két jól számolt adat esetén, ez alatt 0 pont jár. Minden elvileg helyes ábrázolás (pl.: a tengelyek felcserélése, összeér oszlopok) is elfogadható. A a függleges tengely skálája (), az egyes oszlopok megfelel azonosíthatósága () és a megfelel adatok ábrázolása () esetén jár. Ha ezek közül csak valamelyik kett megfelel, akkor, ez alatt 0 pont jár. 4. c) els megoldás A kedvez esetek száma: 4( 8 ). Az összes eset száma: 6 5( 0 ). 8 A kérdéses valószín&ség: P ( 0,6 ). 0 A választ bármilyen helyes kerekítéssel vagy százalékos alakban is el kell fogadni. írásbeli vizsga 6 / 04. május 6. 8. a) A diák közül 7-en választottak két színt, így azok száma, akik csak egyet jelöltek: 5. kedvezesetek száma P összes eset száma 5 A kérdéses valószín&ség: P ( 0,785 ). ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Ez az jár az eredmény helyesen kerekített vagy százalékos alakban történ megadása esetén is. 8. b) els megoldás A feladatban szerepl halmazok metszetének elemszámát helyesen megjelenít Venn-diagram: (Az egyes színeket választók számát x-szel jelölve:) x 7 x (A fehér színt összesen -an választották, ebbl ) 6 diák csak a fehér színt jelölte meg. Összesen: 8 pont 7 írásbeli vizsga / 04. május 6.
7. a) A feladatban szerepl számok egy olyan számtani sorozat tagjai, amelynek els tagja, különbsége pedig. Ezek a pontok akkor is járnak, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. A sorozat 5. tagja: a 5 4 74. Ha a sorozat tagjainak felsorolásával jut helyes eredményre, akkor is jár a pont. 7. b) a n d S n ( ) n Megoldandó (a pozitív egész számok halmazán) a 8475 ( n ) n egyenlet. Rendezve a n n 6950 0 egyenlethez jutunk. Ennek gyökei n 75 n 75,. ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. A feladat (pozitív egész) megoldása: n 75. Ha a sorozat tagjainak felsorolásával jut helyes eredményre, akkor is jár a 6 pont. 7. c) Az 5-tel osztható és -mal osztva maradékot adó pozitív egész számok egy olyan számtani sorozatot alkotnak, Ezek a pontok akkor is járnak, ha ez a gondolat csak a megoldás menetébl derül ki. melynek különbsége 5. A legkisebb ilyen háromjegy& szám a 0, Nem bontható. a legnagyobb ilyen háromjegy& szám a 995. Nem bontható. 995 0 ( n ) 5 Ha n-re n 60, a sorozatnak osztható) tagja van. 60 darab (háromjegy&, 5-tel 995 0 a 5 59 Összesen: 8 pont fogadja el, akkor ez a nem jár. értéket Ha a sorozat tagjainak felsorolásával jut helyes eredményre, akkor is jár a 8 pont. írásbeli vizsga 0 / 04. május 6. 4. c) második megoldás Annak valószín&sége, hogy legfelül 8 pontos dolgozat fekszik:. 6 Annak valószín&sége, hogy alatta 76 pontos dolgozat 4 fekszik:. 5 A kérdéses valószín&ség: ( 0,6 ) 4 5 8 0 P. 6 ¹ A választ bármilyen helyes kerekítéssel vagy százalékos alakban is el kell fogadni. 5. a) A kérdéses távolság: d AB (8 ) (9 ) 80 ( 8,944) (egység). Összesen: A képletért (behelyettesítés nélkül) nem jár pont. Ha a pontos érték nem szerepel és rosszul kerekít a vizsgázó, akkor a második pont nem jár. 5. b) Az egyenes egy normálvektora az (4; ) n e vektor. Ezzel az egyenes egyenlete: 4 x y 4 4, azaz 4 x y 5. 5. c) Az f egyenes egy irányvektora az AB ( 4; 8 ) vektor. Ezzel az egyenes egyenlete: 8 x 4 y ( 8) 8 4 9. Az f egyenes egyenlete: x y 5. (A metszéspont koordinátáit a következ egyenletrendszer megoldása adja:) 4 x y 5 x y 5 ½ ¾ Az egyenletrendszer megoldása: x 5 és y 5. A metszéspont: M ( 5; 5 ). Összesen: 7 pont Ha a vizsgázó a metszéspont koordinátáit a helyes grafikonról jól olvassa le, akkor ot kap. Ha mindkét egyenes egyenletébe történ behelyettesítéssel ezeket ellenrzi is, akkor mind a 4 pont jár. írásbeli vizsga 7 / 04. május 6.
II. B 6. a) A feladat megértését (a kúp magassága 6 méter) tükröz jó ábra. ábra nélkül helyes adatokkal dolgozik a vizsgázó. A henger térfogata: V 8 4 π Csak a képletekért h 407,5 (m ). A kúp térfogata: V k 8 6 π 05,8 (m ). V h V k 6 407,5 6 05,8 07,9 ¹ * Ebben a sátorban a maximális nézszám 07. * (behelyettesítés nélkül) nem jár pont. Ha,4- gyel jól számol, akkor a megfelel pontok járnak. Ha a vizsgázó felfelé kerekít, akkor ez a pont nem jár. Összesen: 7 pont A *-gal jelölt jár, ha a vizsgázó a henger térfogatát 407 m -re, a kúp térfogatát 06 m -re kerekítve a maximális nézszámot 08-ban határozza meg. 6. b) els megoldás Az eladott gyerekjegyek számát jelölje x, ekkor a felnttjegyek száma 000 x. A gyerekjegy 800 0,75 600 Ft-ba kerül. 600 x 800 (000 x ) 665 800 Az egyenlet megoldása: x 67. 67 gyerekjegyet és 9 felnttjegyet adtak el. Szöveg szerinti ellenrzés. ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. írásbeli vizsga 8 / 04. május 6. 6. b) második megoldás Az eladott gyerekjegyek számát megkapjuk, ha az 000 db felnttjegybl származó lehetséges bevétel és a tényleges bevétel különbségét elosztjuk a gyerekjegyekre adott kedvezménnyel. A gyerekjegyre 800 0,5 00 Ft kedvezményt adnak. 800 000 00 665800 67 67 gyerekjegyet és 9 felnttjegyet adtak el. Ez a akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 6. c) A legalsó szinten álló 4 artista 4!( 4 ) féleképpen állhat egymás mellett, a rajtuk álló artista!( 6 ), a felettük álló artista -féleképpen állhat. Az összes lehetség(et ezek szorzata adja): 4!!!( 88). Összesen: 4 pont írásbeli vizsga 9 / 04. május 6.