KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 8. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK

KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 8. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK Algebra és számelmélet 1. a) 0, 45; b)0, 5, 5, 40, 50, 55; c) 0, 1, 4, 5, 7, 0,, 5, 9, 40, 4, 45, 48, 50, 51, 54, 55, 57; d),, 6, 8, 9, 1, 4, 7, 8, 41, 4, 44, 46, 47, 49, 5, 5, 56, 58, 59.. a) {; 4; 6; 8}; b) { 10; 8; 6; 4; ; 0; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9}; c) {1; ; 5; 7; 9}; d){ 9; 7; 5; ; 1}.. A B = {; 8; 1}, A B = {1; ; ; 6; 8; 1; 1; 15; 16; 18; 19}, A \ B = {1; 6; 15; 19}, B \ A = {; 1; 16; 18}. 4. Mind a két szakkörbe 5-en járnak. 5. Legalább egy táborban 1 tanuló volt. Csak egy táborban 14 tanuló volt. Mindkét táborban 7-en voltak. 8 S 7 B 6 6. A B = {; ; 7; 8}, A B = {; ; 4; 5; 6; 7; 8}, A \ B = {4; 6}, B \ A = {5}. A tengelyesen és középpontosan szimmetrikus négyszögek sorszámai:.,., 7., 8. 1

7. A = { 1; ; ; 4; 5; 6}, A \ B = { 1; ; 5}, (A B ) = {1; ; 5; 7; 9}, B = { 6; 4; ; 0; ; 4; 6; 8}, B = { 5; ; 1; 1; ; 5; 7; 9}. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 8. Legalább egy szakkörre 8-an járnak. Az informatika szakkörre -en, a sportjátékok szakkörre 5-en jelentkeztek. 50 S I 16 9 1 9.

Számok és mûveletek 1. a) 6 89; b) 6 416; c) 6 89; d) 18 877.. 4 + (4 + ) = 0 4 4 = 18 4 (4 + ) = 18 4 4 + = (4 + ) + 4 = 0 4 ( 4) = 6 4 + + 4 = 0 (4 4) + = 1. a) ; b),; c) 5 ; d). 8 4. a,5 0,7 8,9 4,9 981 6,4 b 1,9,01 1,01 0,0 0, c 44,65 1,467 8,989 1 0 8,7 Szabály: a b = c, c : a = b, c : b = a. 5. a) 175 4; b) 715,89498; ; d) 5. 14 17 15 = 44 c) 84 =4 4 55 7 5 51 6. 7 + 7 = 85 + 7 = 19 7 + = 47 ( ) 7 = 6 7 = 19 ( + ) 7 = 85 7 7 = 6 7 = 01 7. 10 a) ; b) 0 75 ; c) ; d). 1 1 88 15 8. 780 : 17 = 460, 1,975 : = 0,059, 5,64 : 87 = 0,61. 10 5 144 8 57 9. a) 59; b) 109470 : 1 = 890; c) d) 1. 0 ;

10. (18 54) : = 4 18 (54 : ) = 4 18 : 54 = 4 SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 54 : 18 : = 1 (54 : ) 18 = 4 54 (18 : ) = 4 7 7 11. a) 1; b) ; c) ; d) 1; e) 81; f) 800. 16 16 b) c) d) e) a) f) 1. 19 9 1. a) 1 1 ; b) ; c) ; d). 17 9 8 14. 8, 9, 5, 1, 16 84, 768, 6 561. 14. 15. a) 5 7 ; b) 9 ; c) 4 9 ; d) 6 5 ; e) a 1 ; f) y x + z + t. 16. a) 5 ; b) 5 ; c) 8 ; d) 6 ; e) ; f) x. 17. a) ; b) 1 ; c) 10. 81 81 1 18. a) ; b) ; c) 65; d). 56 16 19. a) >; b) >; c) =; d) =; e) =; f) >. 19. 0. a) 1 ; b) ; 19 c) ; 18 0 51757815 a) 4 096; b) 14 48907; c) ; 470184 984 576 51 44140 65 d) 1968 ; 187 e ) 184187 01 ; f ) 18. 1. a) 8, 6,, 4; b) 9, 7, 1, 7; c) 4, 6, 5, 6; d) 8, 6, 4,. 79 d) ; 4 e) 045,. 4

SZÁMOK ÉS MÛVELETEK Osztó, többszörös, oszthatóság. a 6 18 1 9 6 b 1 4 6 K 74 40 0 6 4 Annak a téglalapnak a legkisebb a kerülete, amelynek oldalai egyenlõek.. 4 = 4. A 4-nek 15 osztója van: 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 4, 7, 6, 81, 108, 16, 4. 4. A = {1; ; ; 4; 6; 9; 1; 18; 6}, B = {1; ; ; 6; 9; 18; 7; 54}. A B Közös osztók: 1,,, 6, 9, 18; (6;54) = 18. 5. A két szám: 10 és 15. 6. 4 =. 4 1 7. 4 = 1, 60 = 5 7, =. 60 5 8. (16; 646) = 16, [16; 646] = 646. 9. -vel -mal 4-gyel 5-tel 6-tal 10-zel 5-tel 697 I I I N I N N 54450 I I N I I I I 541 N I N N N N N 000 I N I I N I I 0. -vel -mal 6-tal 4-gyel 1-vel 15-tel 4-gyel 9 7 igen lehet lehet igen lehet nem lehet 64 lehet lehet lehet lehet lehet lehet lehet 4 1 nem lehet nem nem nem nem nem 0 igen lehet lehet lehet lehet lehet lehet 5

SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 1. a) 4; b) 18; c) 10; d) 10.. A:, 5, 8; B: 0,, 6. A + B =, A + B = 8, A + B = 14.. Az ismeretlen osztó: 6. (160 + 110) : 6 = 70 : 6 = 7 18 4. a) Az összeg osztható, mert páros és számjegyeinek összege osztható kilenccel. b) Az összeg osztható, mert páros és számjegyeinek összege osztható hárommal. c) Az összeg osztható, mert osztható néggyel és a számjegyeinek összege osztható kilenccel. 5. a) 51 4096 = 9 1 = 1 = 097 15; b) 6 144 : 048 = 18 : 11 = 7 = 18; c) 4 6561 = 5 8 = 1 = 1 594 ; d) 51 441 : 59 049 = 1 : 10 = = 9; e) 79 19 68 = 6 9 = 15 = 14 48 907; f) 79 96 : 7 776 = 6 7 : 6 5 = 6 = 6; g) 16 84 65 56 = 14 16 = 0 = 4 15 = 1 07 741 84; h) 1 048 576 : 8 19 = 0 : 1 = 7 = 18. 6. 56 1 < 18 14, 5000 > 5 000, 007 + 008 < 009. 7. a) 5; b) -1; c) 8; d) -7; e) 1; f) 9. Számok normálalakja 8. a),7 10 7 ; b) 4,8 10 ; c),708 10 4 ; d) 4,0 10 ; e) 7 10 11 ; f), 10; g) 4,5 10 4 ; h),5 10 8 ; i),1 10 1 ; j),79 10 4 ; k) 1, 10 1 ; l) 10 1. 9. a) 1 000; b) 0,000 5; c) 5 410; d) 0,000 000 000 08; e) 000 000; f) 0,000 004 ; g) 84 00 000 000; h) 0,000 000 005 05. 40.K = 56 dm, T = 4 096 dm. 41. a = 16 dm, T = 56 dm. 4. a = 8 dm, k = dm. Számok négyzete, négyzetgyöke 6

4. SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 1 < <, < 6 <, < 8 <, < 15 < 4, 4 < 4 < 5, 7 < 50 < 8, 7 < 64 = 8 < 9, 9 < 84 < 10, 14 < 00 < 15. 44. 45. ( ) = 49 = 7, 5 = 5, = 4, 5 5, 4 ( ) = = = ( ) = 6 6 4 4, 5, 8, 64, 1 = 1, 100 = 10, 10 000 = 100, 1 000 000 = 1000, 10 = 10, 10 = 100, 10 = 1000, 10 =10000. 144 = = 1, 196 = 7 = 14, 5 1 04 = =, 1 96 = = 6, 05 = 5 = 45, 600 = 5 = 60, 5 = 00, 176 400 = 5 7 = 40. 16 = 7 = 56, 40 000 = 46. 9 4 = = 6 94 = 6 6= 6, tehát az állítás igaz; 9+ 16 = + 4= 7 7 5, tehát az állítás nem igaz; 9 + 16 = 5 6 : 9 = 6 : = 6 : 9 = =, tehát az állítás igaz; 5 16 = 1 5 16 = 1, tehát az állítás nem igaz; 64 : 4 = 4 4= 4, tehát az állítás igaz. 64 : 4 = 4 47. 1,4 = 1,96; 4,1 = 17,057; 5,08 = 5,806, 8,7 = 75,69; 7,9 = 6,885; 9,98 = 99,6. 48. a),85 = 8,1; b) 8,5 = 81, = 8,1 10 ; c) 85 = 81 = 8,1 10 4 ; d) 850 = 8 1 000 = 8,1 10 6 ; e) 8 500 = 81 00 000 = 8,1 10 8 ; f) 0,85 = 0,081 = 8,1 10 ; g) 0,08 5 = 0,00081 = 8,1 10 4 ; h) 0,00 85 = 0,0000081 = 8,1 10 6. 7

SZÁMOK ÉS MÛVELETEK 49. a) 54 = 916 = 9,16 10 ; b) 14 = 15 80 = 1,58 10 4 ; c) 0 = 91 00 = 9,1 10 4 ; d) 1 400 = 1 960 000 = 1,96 10 6 ; e) 87 600 = 7 67 800 000 = 76,78 10 8 ; f) 7 040 000 = 49 56 000 000 000 = 49,56 10 1 ; g) 0,6 = 0,969 = 9,69 10 ; h) 0,04 = 0,000576 = 5,76 10 4 ; i) 0,00 6 = 0,0000196 = 1,96 10 6 ; j) 0,000 61 = 0,0000009816 = 9,816 10 8 ; k) 0,000 078 = 0,000000006084 = 60,84 10 10 ; l) 0,000 000 58 = 0,0000000000008944 = 8,944 10 14. 50. 51. 5. 5., 69 = 1, 64, 1, 4 =, 66, 45, 56 = 6, 75, 8, 7 = 9, 15, 1 = 1, 5 =, 4, 10 =, 16, 7 =, 65, 8 =, 8, 18 = 4, 4,, 5 = 4, 74, 0 = 5, 48. 1, 988 = 1, 41, 19, 88 = 4, 46,, 5 = 1, 8,, 5 = 5, 79. 18 = 4, 4, 180 = 1, 4, 1 800 = 4, 4, 18 000 = 14, 1, 8 = 1, 4, 0, 18 = 0, 44, 0, 018 = 0, 14, 0, 0018 = 0, 044. 189 = 1, 7, 1 40 = 6, 6, 4 950 = 70,, 54 000 =, 0, 7 = 0, 87, 0, 046 = 0, 14, 0, 000 7 = 0, 068, 0, 000 09 = 0, 00965. 54. K = 1 dm, T = 10,565 dm. 55. K = 191, cm, T = 84,84 dm. 56. a = 44,5 m, T = 1980,5 m. 57. a = 1,8 dm, K = 7, dm. 58. a = 74,9 m, K = 99,6 m. 59. a = 0,005 km, K = 0,08 km. 8

Pitagorasz-tétel 1. a) c = 1 cm; b) y = 1 cm; c) m = 1 cm; d) c = 5,6 dm; e) y = 1,9 m; f) m = 8,57 cm.. A derékszögû háromszög átfogója 1, cm hosszú.. A derékszögû háromszög átfogója 65 dm hosszú, K = 157 dm, T = 1058 dm. 4. A derékszögû háromszög hiányzó befogója 8,1 m hosszú, K =,41 m, T = 19,11 m. 5. A négyzet átlója 16,97 cm hosszú, K = 48 cm, T = 144 cm. 6. A négyzet átlója 4,4 cm hosszú, a = cm, T = 9 cm. 7. Az egyenlõ szárú háromszög K = 4, cm, T = 7,9 cm. 8. Az egyenlõ szárú háromszög K = 6 cm, T = 8,6 cm. 9. Az egyenlõ szárú háromszög K = 46, dm, T = 46,9 dm. 10. Az egyenlõ szárú háromszög K = 6 cm, T = 60 cm. 11. A szabályos háromszög K = 54 cm, T = 140,1 cm. 1. A téglalap hiányzó oldala 15, cm hosszú, K = 56,4 cm, T = 197, cm. 1. A téglalap köré írható kör sugara 5,045 dm. 14. K = 4,4 cm, T = 70 cm. 15. K = 100 mm, T = 6, mm. 16. K = dm, T = 5,8 dm. 17. K = 80 cm, T = 10 cm. 18. K = cm, T = 44 cm. 19. A húr hossza 11, cm. 0. h 1 =,6 cm, h = 17 cm. 9

PITAGORASZ-TÉTEL 1. e. AO = 5, BO = 5,9, CO = 1,9.. AB = 5,8, CD = 6,7. 4. K = 6,15. 5. A lapátló 11, cm, a testátló 1,86 cm. 6. A kocka felszíne 178 cm. 7. A téglatest testátlója 17 cm hosszú. 8. A leghosszabb lapátló 14,4 cm, a leghosszabb és a legrövidebb lapátló közötti különbség 4,97 cm, a téglatest testátlója 15,6 cm hosszú. 9. a) 0 cm; b),5 cm; c) 6,4 cm; d) 5,76 cm. b) < d) < c) < a) 0. Szögei szerint Pitagorasz tételének a megfordítása derékszög tompaszög derékszög hegyesszög derékszög hegyesszög tompaszög Kerület 1 cm cm 0 m 5 cm 0 dm 5 mm 7,6 dm Terület 6 cm cm 0 m 104 cm 7,5 dm 54 mm,6 dm 10

Algebrai kifejezések 1. a) b = a 6; b) a + b = ; c) 5a + b; d) (a b) ; e) (a + b) c; f) a 0,7 b; g) x y ; h) (x y) 5 x y ; i) c d ; j) c : 7 6; k) 1, +. 7 6 4. 1 5 7ab ; ab ; x y ; 1,0 xyz; 1ab; xy. 6. Együttható,7 4,5 1 5 9 1 7 4 1 Változó c b x c x e x f xy 4. a-val egynemû: 0,9a, 8a; 5. ab -tel egynemû: 7ab ; 7ab 1,ab-vel egynemû: ab,, 4, ab, ba; 9 a b-vel egynemû: 7a b, 1a b. 7ab ab ; ; ab ab; 5ba; a; a b. 6. ab 5ab ; ab a b b ; ab; 5 ba a. 7. a) b) c) d) 4 4 4 4 4 y, 7y, y, 6y, 11y ; 4 15 x, x, 8x, 17x, x ; 7 4 4 8 4 4 4 15 4 xy, xy, xy, 1xy, xy; 7 16 5 8ab, ab,, ab, 9ab, ab. 17 ab 1 7 xy 8. 7ab, a b,,,, ab, a,, x y. ab ab 5xy 4 11

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK 9. 9 5ab, ab a a b, 5, ab, ab, xy ab, a,, 4x y. 5xy 4 10. 11. 1. 1. 14. 15. 16. 17. 18. a ) 1+ y; b ) x; c ) x + xy+ y ; d ) y x + 5x y + y. a ) ab+ ab; b ) x y 4 1 1 xy; c ) 8x + ; d ) x + x y. a ) y 1; b ) 7x + 17y z; c ) 4, 5xy 5xz 19, yz; d ) 0, 85y + z + 0 a ) 6, 45; b ) 0; c) 0; d) 104. 50 a ) 5; b ) ; c ) ; d ) 11. 450 1 5 a ) 10; b ) ; c ) 1; d ) 1 7. 1 5 a ) 17; b ) ; c ) 0; d ) 0. 108 1 4 a ) 6a ; b ) 4a ; c ) 6x y; d ) x y. 6 5x y 4x 6x y 8x y 105x 4 y x.,5x y 4,x 4 6,x y,8x 4 y 10,5x 5 y 5 4 xy x y x y 5 xy 5x 4 y 4 19. 0. a ) a ; b ) a; c ) 4x ; d ) 0, 4yz. y 0,6x 10x x 06, y x y 4 0 4 y x y 4x y xy 15x 40x 4 y y x 4x y 1

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK 1. a ) a 9 5 6 6 4 1 4 1 8 ; b ) x ; c ) x ; d ) y ; e ) a ; f ) a b ; g ) a b ; h ) ab 6. 5.. Szorzat összeggé alakítása 4. a) 6x 10x ; b) 1x 8x ; c) 1y 8y ; d) 18x 1x. 5. a) 1x 8x ; b) 1x 5 8x 4 + 4x ; c) 6x 9x + 1x; d) 6x 7x +. 6. 7. 8. 9. 0. 1. a ) 5x 19y; b ) 4x+ 10; c ) 7y 4xy+ 8y 6x; d ) 4c 6cd 8c d. 4 ab b 4,5a b 15ab 4 4 0,6a 0,6a 0,6a b a b 1 4 ab 1 5 ab 0,75a b 4 4 5 1 a ) 6xya; b ) 9x 6x; c ) xy y+ x 6; d ) x x. 5 5 a ) 8( a b); b ) 5ab( 1 ab); c ) 4x ( x x + 1); d ) xy ( 1+ y 5x + xy). a ) ( ); b ) ( 6 ); c ) 7( 4 6 9 b a + a+ b a ab+ b x xy+ y ); d ) z( 9x + 6xy+ y ). a ) 7a( 7a b+ ab ); b ) xy( 9x+ 6+ y); c ) 4( 16x 8x+ 1); d ) 17ab( ab + b). a ) E = ; b ) F = a; c ) G = xy ; d ) H = xz. a ) x+ y, alaphalmaz: és x y; b ) x y, alaphalmaz: és x y; c) x+ y, alaphalmaz: és x y; d ) x y, alaphalmaz: és x y. a + 1 5 a( a+ 9b). a ) x 7; b ) ; c ) ; d ). b ( a+ b) 4 9 ab 1 ab a b 5 ab 1 a 15 5 b 5 ab 1 1 5 a 1

1. a) x = ; b) x = ; c) x = 1. Egyenletek, egyenlõtlenségek. a) x = 0; b) y = 0; c) azonosság; d) azonosság.. a) x = 1; b) x = 1; c) y = 5. 4. a) a = 9; b) b = 5; c) c = 4. 5. a) a = 4; b) b = ; c) x = 4. 6. a) a 1 = 0, a = 7; b) b 1 =, b = 5; c) c 1 = 0, c =, c = 4. 5 8 7. a) a1 =, a =, a = ; b) 1 b1 =, b =, b =. 8. > x. 9. x 6. 10. 8 x. 11. 9 x. 1. a ) 6 x; b ) x. 1. Azonosságok: a), c), f), g), h). 14. a) 4; b) x ; c) ; d) 4, 9. 15. a) a = ; b) a = 9; c) a = 10. 14

Egyenlettel megoldható Szöveges feladatok 1. Jutkának 810 Ft-ja, Mártának 1040 Ft-ja van.. Az egyik polcon 56 befõtt, a másik polcon 74 befõtt van.. Az egyik szám 5, a másik szám 9. 4. Lolának 1640 Ft-ja, Balázsnak 10 Ft-ja volt eredetileg. 5. Az elsõ polcon 108, a második polcon 6, a harmadik polcon 7 könyv van. 6. Egy menü 840 Ft-ba került. 7. α = 45, β = 60, γ = 75. 8. α = 84, β = 60, γ = 6. 9. A ketrecben eredetileg 7 nyúl volt. 10. A matematikadolgozat átlaga,48 volt. 11. Laci 10 éves, édesanyja 8 éves, édesapja 40 éves. 1. Panni 9 éves, apukája 9 éves. 1. Az egyik szám 95, a másik szám 57. 14. A teremben 14 háromlábú és 178 négylábú szék van. 15. A parkolóban 7 motor és 15 autó van. 16. a) 11, 5 < x; b) x 64. 1, 5 15

17. x 10. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ a (cm) x 7 6 b (cm) x + 5 15 14 c (cm) x 10 9 K (cm) 9 Számok helyi értékével kapcsolatos feladatok 18. Ez a kétjegyû szám az 58. 19. Ezek a kétjegyû számok a 1, 4, 5, 46, 57, 68, 79. 0. Az eredeti kétjegyû szám a 6. 1. Az eredeti kétjegyû szám a 6.. Az eredeti kétjegyû szám a 8.. Az eredeti kétjegyû szám a 9. 4. Az eredeti kétjegyû szám a 9. 5. Az eredeti kétjegyû szám a 9. 6. Az eredeti kétjegyû szám a 48. 7. Az eredeti kétjegyû szám a 6. 8. Ez a háromjegyû szám a 6. 9. A betonozási munkák 4 napig tartanak. 4 0. Ede és Máté együtt 5 órát dolgozott. 1 1. Ede 8 órát dolgozott összesen. 4. Gábor összesen 7,5 napot dolgozott.. Gábor összesen 7 napot dolgozott. 9 Munkavégzéssel kapcsolatos feladatok 16

4. Még munkást kell beállítani. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ Mozgásos feladatok 5. A motor Pécstõl 8,5 km távolságra éri utol a teherautót, 5,5 óra múlva. 6. A város a falutól 6 km távolságra van. 7. Szegedtõl a kiskert 6 km távolságra van. 8. A személygépkocsi és a teherautó 9 óra 5 perckor találkozott Kistelektõl 7 km távolságra. 9. A személygépkocsi 1 óra 57 perckor Szegedtõl 57,6 km távolságra éri utol a teherautót. 40. Lolka Bolkát 70 másodperc alatt körözi le. 41. Bence és Gergõ 150 másodperc múlva találkoznak. Keveréses feladatok 4. A 80%-os oldatból 5,45 grammra van szükség. 4. A 5%-os oldatból,5 kg-ra, a 45%-os oldatból 1,75 kg-ra van szükség. 44. A 10%-os ecetsavból 0 grammra, a 0%-os ecetsavból 90 grammra van szükség. 45. A 80%-os oldatból 0 grammra, a 50%-os oldatból 50 grammra van szükség. 46. A keverék elkészítésével 56 százalékos oldatot kapunk. 47. A szükséges töménység eléréséhez 600 gramm vizet öntsünk a sóoldathoz. 48. A keverék hõmérséklete 50 C lesz. 49. A közös hõmérséklet 60 C lesz. 50. A 90 C-os vízbõl 4,15 kilogrammra van szükség. 51. A 0 C-osból 8 kilogramm, a 80 C-osból 0 kilogramm víz szükséges. 17

Geometriai ismétlés Alapfogalmak, alapszerkesztések 1.. 18

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS. a) b) c) d) 19

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 4. Ha az egyenes érinti a körvonalat, akkor ilyen pont van. Ha az egyenes és körvonal távolsága cm-nél kisebb, akkor p 4 ilyen pont van. Ha az egyenes és körvonal távolsága cm, akkor 1 ilyen pont van. Ha az egyenes és körvonal távolsága cm-nél nagyobb, akkor 0 ilyen pont van. 5. A sík azon pontjai, amelyek e-tõl cm-nél nem nagyobb és P-tõl 1 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. 6. 7. Két megoldás esetén a pont és egyenes távolsága: d(p, e) < 6 cm. Egy megoldás esetén a pont és egyenes távolsága: 6 cm. Nincs megoldása a feladatnak, ha a pont és egyenes távolsága: d > 6 cm. 0

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 8. Ha a feladatnak nincs megoldása, akkor a három pont egy egyenesen van. 9. 10. 11. 1

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 1. Szerkeszd meg az adott szögeket! Mekkora a megszerkesztett szög mellékszöge? α =15 β =10 γ =157,5 δ =150 ϕ =45 μ =105 λ =15 ω =165 1. a) b) α = β α = γ c) d) α + δ = 180 α + ϕ = 180

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 14. 15. a) lehet; b) biztos, 1; c) lehet, 1; d) biztos. 16. nem; páros; és tengelyesen is; a tengelyek metszéspontja. 17. a) b)

18. a) cm < harmadik oldal hossza < 15 cm. 19. Háromszögek b) Marcsi háromszögének a. oldala 10,8 cm. Karcsi háromszögének a. oldala 6,7 cm. c) Pali háromszögének a. oldala 6 cm. d) Vali háromszögének a. oldala 9 cm. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 0. γ = 7 ; α = 45, β = 55 ; α = 75, β = 41, γ = 64. 1. Egy egyenlõ szárú háromszög egyik szöge 70. a) b) Ha az egyenlõ szárú háromszög egyik szöge 90, a feladatnak csak egy megoldása van.. α = 6, α = 7, α = 45, α = 90.. BAC = 55, ABC = 56, BCA = 69. 4

4. Egyenlõ szakaszok: AF = FB, CE = EF, BE = EA, BC = BF. Egyenlõ szögek: CEB = 60, BEF = 60, FEA = 60, EAF = 0, β = 0. 5. ϕ = 140. 6. Vázlat: GEOMETRIAI ISMÉTLÉS A két magasságvonal által bezárt szög: δ = 60. 7. Szerkesztés: 5

8. a) T = 0 cm ; b) K = 0 cm; c) m a = 1 cm, m b = 5 cm, d)s a = 1,6 cm, s b = 7,81 cm; e) r = cm. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS m c = 4 8 1 cm; 9. Négyszögek 0. H, I, I, H, I, I, H, H, I, H, I. 1. Rombusz: β = 18, γ = 4, δ = 18 ; paralelogramma: α = 74, β = 106, γ = 74, δ = 106 ; trapéz: α = 44, β = 55, γ = 15 ; deltoid: α = 110, γ = 0, δ = 110.. α = 98, β = 89 ; α = 75, β = 11 ; α = 9,5, β = 9,5.. K = cm, T = 44 cm. 4. K = 66 cm, T = 5 cm. 5. K = 4 cm, T = 18 cm. 6. b = 5,66 cm, K = 5, cm, T = 8 cm. Szerkesztés menete: 1. 7 cm-es szakasz felvétele.. Egyik végpontjába 45 -os szög szerkesztése.. 7 cm-es oldallal 4 cm távolságra párhuzamos egyenes szerkesztése. 4. Ahol a 45 -os szög szára metszi a párhuzamost, onnan a 7 cm-es szakasz mérjük. 5. A kapott két végpont összekötése. 6

GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 7. b = 8,54 cm, K = 7,08 cm, f = 1 cm, f** = 4 cm, T = 6 cm. Szerkesztés menete: 1. e átló felvétele.. a oldallal, mint szárral e alappal egyenlõszárú háromszög szerkesztése.. e felezõmerõlegesének megszerkesztése. 4. e felezõpontjából rámérem f*-ot. 5. A kapott pontot összekötöm e végpontjaival. Szerkesztés: 7

8. Egy csúcsból húzható átlók száma Az egy csúcsból húzott átlók ennyi háromszögre bontják a sokszöget GEOMETRIAI ISMÉTLÉS Sokszögek háromszög négyszög ötszög hatszög hétszög tízszög tizenhatszög n-szög 1 4 7 1 n 4 5 8 14 n Összes átlók száma 5 9 14 5 104 ( n ) n Belsõ szögeinek összege 180 60 540 70 900 1440 50 (n ) 180 Külsõ szögeinek összege 60 60 60 60 60 60 60 60 9. a) 65; b) 1980 ; c) 60. 40. a) 15; b) 880 ; c) 60. 41. a) A sokszög 6 oldalú. b) A sokszög 1 oldalú. c) A sokszög 4 oldalú. 4. a) A sokszög 7 oldalú. b) A sokszög 14 oldalú. c) A sokszög 0 oldalú. 4. a) A sokszög belsõ szögeinek összege 160. b) A sokszög belsõ szögeinek összege 060. c) A sokszög belsõ szögeinek összege 780. 44. a) A sokszög 8 oldalú. b) A sokszög 15 oldalú. c) A sokszög 17 oldalú. d) A sokszög 1 oldalú. 45. T 1 = 5 cm, T = 5 cm, T = 4 cm, T = 11 cm, a = 7,8 cm, b = 8,06 cm, K = 5,4 cm. 46. háromszög négyszög ötszög hatszög hétszög tízszög tizenhatszög n-szög 46. Középponti szögének nagysága Egy belsõ szögének nagysága Egy külsõ szögének nagysága Szimmetriatengelyeinek száma 10 90 7 60 60 90 108 10 10 90 7 60 60 7 900 7 60 7 6,5 144 157,5 6,5 60 n ( n ) 180 n 60 n 4 5 6 7 10 16 n Középpontosan szimmetrikus-e? nem igen nem igen nem igen igen 8

47. a) 9; b) 140 ; c) 40 ; d) 9; e) nem. 48. a) 1; b) 150 ; c) 0 ; d) 1; e) igen. 49. a) A szabályos sokszög 18 oldalú. b) A szabályos sokszög 4 oldalú. c) A szabályos sokszög 6 oldalú. 50. a) A szabályos sokszög 18 oldalú b) A szabályos sokszög 5 oldalú. c) A szabályos sokszög 0 oldalú. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS 51. K = 18 cm, m, 6 cm, T =, 9 cm, T =, 4 cm. a háromszög hatszög Szerkesztés: 5. a=, cm, K = 18, 4 cm, T =, 1855 cm, T = 5, háromszög nyolcszög 48 cm. Szerkesztés: 5. A kör 9

54. K = 7,68 cm, T = 11,04 cm. 55. A kerék átmérõje 0,64 m. 56. A körív hossza 75,6 cm, a körcikk kerülete 111,6 cm, a körcikk területe 60,88 cm. 57. A körív hossza 6,8 cm, a körcikk kerülete 5, cm, a körcikk területe 6,17 cm. 58. A pálya kerülete 57 m, a területe 696,5 m. 59. A keresett terület 40,19 cm. 60. 61. A körszelet területe 41,04 dm. 6. A körszelet területe 45,5 cm. GEOMETRIAI ISMÉTLÉS R r d K T a) 7 cm cm 4 cm 6,8 cm 15,6 cm b) 9 cm 6 cm cm 94, cm 141, cm c) 10 cm 7 cm cm 106,76 cm 160,14 cm d) 8 cm 5 cm cm 81,64 cm 1,46 cm 6. A hulladék területe 4,05 cm, ez 1,5 százaléka a háromszög területének. 0

Térgeometria 1. A lapok száma 5, a csúcsok száma 6, az élek száma 9.. A hasábnak 9 lapja, 14 csúcsa és 1 éle van.. A hasábnak 1 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van. 4. a) 7; b) 11; c) 10; d) 8. 5. a) 10; b) 8; c) 8; d) 9. 6. a) 0,7; b) 400; c) 56; d) m ; e) 80; f) mm ; g) 57; h) cm ; i) 8 000; j) dm. 7. a) 0,145; b) mm ; c),1 m ; d) cm ; e) 0,065; f) 0,46; g) 0,0000004; h) 1,; i) 750; j) 6,8. 8. A = 98 cm, V = 1080 (cm ). 9. A hasáb alapéle 4,5 dm, oldaléle 1,5 dm hosszú. A hasáb térfogata 7,75 dm. 10. A téglatest élei 1,8 dm,,7 dm, 4,5 dm hosszúak. Az edény térfogata 1,87 dm. Ebbe az edénybe 1,87 liter folyadék fér. 11. A hasáb felszíne 1 dm, térfogata 16 dm. 1. A hasáb felszíne 119,68 cm, térfogata 11cm. 1. A hasáb felszíne 148 cm, térfogata 10 cm. 14. Az edénybe 5,88 liter víz fér. 15. A tartály térfogata 156 dm, magassága 16 dm, a tartály felszíne 659,4 dm. 16. A henger felszíne 1507, dm, térfogata 617,8 dm. 17. A henger felszíne 1884 dm, térfogata 680 dm. 18. A két test felszínének aránya A 1 : A = 70,6 : 57,96, térfogatának aránya V 1 : V = 16 : 6. 19. A hulladék térfogata 1 85 cm, ez a rönk térfogatának 6, százaléka. 1

TÉRGEOMETRIA A gúla 0. A gúlának 8 lapja, 8 csúcsa és 14 éle van. 1. A gúlának 11 lapja, 11 csúcsa és 0 éle van.. A gúla éleinek a száma 5-nél nagyobb páros természetes szám lehet.. a) 10; b) 18; c) 9; d) 10. 4. a) 11; b) 15; c) 1; d) 8. 5. 15 9 4 a) A gúla felszíne 96 cm, térfogata 48 cm. b) A gúla felszíne 1,96 dm, térfogata 1,78 dm. c) A gúla felszíne 84,56 cm, térfogata 1408 cm. 6. A gúla felszíne 110,4 cm. 7. A test felszíne 74 cm, térfogata 1 cm. 8. A test felszíne 194,88 cm, térfogata 188,16 cm. Az egyenes körkúp 9. a) A kúp felszíne 6,76 cm. b) A kúp felszíne 45,7184 dm. 0. a) A kúp felszíne 10,64 cm. b) A kúp térfogata 46 dm. 1. A kúp felszíne 565, cm, térfogata 401,9 cm.

. a) A = 1808,64 cm, V = 15,6 cm ; b) A = 105,76 cm, V = 411,5 cm.. A két kúp térfogatának aránya :. TÉRGEOMETRIA 4. A két kúp térfogatának aránya V 1 : V = 4 : 9. 5. A keletkezett test felszíne 149,464 cm, térfogata 18,5 cm. 6. A keletkezett test felszíne 8,6 mm, térfogata 14 mm. 7. A = 01,44 cm, V = 01,44 cm, a keletkezett hulladék térfogata 60,88 cm. 8. A keletkezett test felszíne 18 517,5 cm, térfogata 157 9 cm. 9. a) A test felszíne 44,9 cm, térfogata 9,0 cm. b) A test felszíne 0,8 cm, térfogata 9,7 cm.

Felvételire készülünk 1. x = 8, y = 10, z = 0,, w = 9.. 6,5, 19,5, 15, 1, 10, 7 1. 1. feladatsor. a) 0,0544; b) 500; c) 7; d) 0,44; e) 1 750. 4. a) Paliék 400 forintot fizettek. b) A eset = B eset. c) A esetben: 17,8 Ft, B esetben: 14 Ft. 5. a) Lekváros; b) 1 000 db; c) 0%; d) 7 ; e) 167 db. 6. a) A boltba 1 600 kötet érkezett. b) Az elsõ nap 576 kötetet adtak el. c) A második nap az eredeti készlet 4 százaléka fogyott el. 1 d) A negyedik napra a készlet része maradt meg. 5 7. a) 8-féle háromszög készíthetõ. b) 8-féle egyenlõ szárú háromszög készíthetõ. c) Az egyenlõ szárú háromszög készítésének nagyobb a valószínûsége. d) Annak, hogy a készített háromszög különbözõ oldalú, a valószínûsége 0. 8. a) Lehet, hogy igaz; b) lehetetlen; c) biztosan igaz; d) lehet, hogy igaz; e) biztosan igaz. 9. a) A háromszög oldalainak hossza a = 1 cm, b = 10 cm. b) Az alaphoz tartozó magasság 8 centiméter. c) A háromszög területe 48 cm. 10. V = 88 cm, A = 15 cm. 5 lapja piros:, 4 lapja piros:, lapja piros: 4, lapja piros:. 4

. feladatsor 1. A = 155, B = 156, C = 90. Növekvõ sorrend: 90 < 155 < 156. C < A < B.. 1. I,. H,. I, 4. I, 5. I.. Tóni apukája 974 800 forint adót fizetett. 4. 1 + 1, 1 +, 1 +, 1 + 4, 1 + 5, 1 + 6, +, +, + 4, + 5, + 6, +, + 4, + 5, + 6, 4 + 4, 4 + 5, 4 + 6, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 6. 5. FELVÉTELIRE KÉSZÜLÜNK Kata: 1 +, + ; Laci: 1 + 6, + 5, + 4; Juli: + 6, 4 + 5 dobások esetén gyõz. Lacinak van legnagyobb esélye a gyõzelemre. Katának van a legnehezebb dolga az utolsó dobáskor. 5

6. a) 1970 és 1980 között volt a legnagyobb változás. b) A lakóinak száma kb. 8%-kal csökkent. c) Átlagosan 107 lakója volt a településnek. 7. α = 0. FELVÉTELIRE KÉSZÜLÜNK 8. a) Az ötödik nap percig tornázott Ede. b) A napi maximális edzésidõ 40 perc. c) Az egy hónap során 105 percet, azaz 17,5 órát edzett. 9. a) Az üzlet 17,5 kg barackot kapott. b) Az elsõ nap 9,5 kg, a második nap 7 kg barack volt az eladott mennyiség. c) A barack eredeti ára 80 Ft/kg. d) A barack eladásából az üzlet bevétele 7 40 forint volt. 10. a) A kocka éle 14 centiméter. b) A kocka : A téglatest = 1176 : 60 = 94 : 565 c) A kisebb téglatest élei 6 cm, 14 cm hosszúak. A nagyobb téglatest élei 11 cm, 14 cm, 0 cm hosszúak. d) V kocka = 744 cm, V kisebb téglatest = 1 176 cm. A két térfogat közötti eltérés 1 568 cm. 6

Függvények, sorozatok Hozzárendelések 1. I) Nyíldiagrammal: II) Táblázattal: III) Szabállyal: x x IV) Grafikonnal: V) Egyenlettel: x = y. Az A elemei 1 4 5 6 7 8 9 10 11 A K elemei 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 Szabály: x x + 7

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK. A elemei (x) 1 4 5 6 7 8 9 10 11 K elemei (y = x + ) 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 4. A elemei (x) 6 5 4 1 0 1 4 5 6 K elemei (y) 6 5 16 9 4 1 0 1 4 9 16 5 6 Szabály: x x 5. a) Ez a hozzárendelés függvény, mert minden számhoz egy számot rendelünk. b) Ez a hozzárendelés függvény, mert minden sokszögnek egyetlen kerülete van. c) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert lehet valakinek több testvére is. d) Ez a hozzárendelés nem függvény, mert egy számhoz több számot rendelünk. 8

e) Ez a hozzárendelés függvény, mert egy természetes számhoz egy természetes számot rendelünk. f) Ez a hozzárendelés függvény, mert egy ponthoz egyetlen pontot rendelünk. 6. Szabály: x x 1 FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 7. a) Z N, x x, y = x, g(x) = x ; 1 1 1 b) Z Z, x x, y = x, f(x) = x; c) Z Z, x x +, y = x +, f(x) = x + ; d) Q Q, x x, y = x, f(x) = x; e) Q Q, x x, y = x, f(x) = x ; f) Q + 0 Q, x x, y = x, f(x) = x ; g) Z Z, x x, y = x, f(x) = x. 8. x 5 4 1 0 1 4 5 g(x) 8 7 6 5 4 1 0 1 9

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 9. 10. x 6 4 0 4 6 f (x) 0 1 4 5 6 x 1 0 1 g(x) 5 1 1 5 7 1 f( x)= x+ g(x) = x 1, y = x 1. 11. a) b) c) x 1 y =, ax ( ) = x; 1 1 y x, b( x) x; y< 1 1 x, c( x) < x. y 1 x y = 1 x y< 1 x 40

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 5 1. a) y(x) < x + 5; b) yx ( )< x+ ; c) y(x) > x + 5. 1. 1. x 1 0 1 f(x) 4 1 5 8 x 1 0 1 g(x) 6 0 6 x 1 0 1 h(x) 4 4 4 4 4 14. x 1 0 1 x 1 0 1 x 1 0 1 f(x) 6 6 6 6 6 g(x) 1 1 5 h(x) 1 0 1 41

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 15. x 1 0 1 x 1 0 1 x 1 0 1 f(x) 0 4 6 g(x) 4 0 4 h(x) 8 6 4 0 A három grafikon egymással párhuzamos. Megegyeznek az együtthatóikban, különböznek a konstansokban. 4 16. m f =, m g =, m h = 4, m i = 6, m k = =, m l =. f(x) grafikonja a k(x) grafikonjával, g(x) grafikonja a l(x) grafikonjával. 6 4 17. a 1 (x) = 4x, a (x) = 4x + 5, a (x) = 4x +1, b 1 (x) = x, b (x) = x + 7, b (x) = x, 4 4 7 c1 ( x)= x, c( x)= x, c( x)= x+. 4 4

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 18. x 1 0 1 1 f(x) 1 1 x 1 0 1 g(x) 0 4 x 1 0 1 h(x) 1 1 0 A g(x) és h(x) függvények grafikonjai egymást metszik. A g(x) és f(x) függvények grafikonjai egymásra merõlegesek. A h(x) és g(x) függvények grafikonjai egymást metszik. 19. x 1 0 1 x 1 0 1 x 1 0 1 f(x) 7 1 5 9 g(x) 5 1 1 h(x) 1 1 0 A három grafikon az y tengelyt a 1 pontban metszi. A h(x) függvény grafikonja zár be nagyobb szöget az x tengellyel. A g(x) függvénynek nagyobb a meredeksége. 4

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 0. P f (0; 4) Q f (1; 1), P g (0; 0) Q g (1; 4). 1.. Pe(;), 0 Qe 1;, Pf(; 0 -), Qf 1; -. 4 44

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK. 1 1 a ) ex ( ) = x ; b ) f( x) = x+ 1 ; c ) gx ( ) = x+ ; d ) hx ( ) =. 4. ax ( ) = x+ 5, bx ( ) = x, cx ( ) =, 1 dx ( ) = x, ex ( ) = x 5,, f( x) = 5 x +, 4 gx ( ) = x, hx ( ) =. 1 5. e(x) = x +, f(x) = x +, g(x) = x, h(x) = x, ix ( )= x 1. 45

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 6. x 5 4 1 0 1 4 5 f(x) 5 4 1 0 1 4 5 g(x) 7 6 5 4 4 5 6 7 h(x) 4 1 0 1 4 5 6 A g(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az y tengely mentén egységgel fölfelé. A h(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az x tengely mentén 1 egységgel balra. g(x): a függvény értéket növelem -vel. h(x): a változót növelem 1-gyel. 7. x 5 4 1 0 1 4 5 f(x) 5 4 1 0 1 4 5 g(x) 1 0 1 1 0 1 h(x) 7 6 5 4 1 0 1 A g(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az y tengely mentén egységgel lefelé. A h(x)-et megkaphatjuk, ha az f(x)-et eltoljuk az x tengely mentén egységgel jobbra. g(x): a függvény értéket csökkentem -vel. h(x): a változót csökkentem -vel. 8. x 5 4 1 0 1 4 5 e(x) 5 4 1 0 1 4 5 f(x) 1 0 1 4 5 6 7 8 g(x) 0 1 1 0 1 4 5 6 e(x) minimumhely: x = 0, minimumérték: y = 0, f(x) minimumhely: x =, minimumérték: y = 0, g(x) minimumhely: x =, minimumérték: y =. 46

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 9. x 1 0 1 f(x) 9 4 1 0 1 4 9 g(x) 10 5 1 5 10 h(x) 0 1 4 9 16 5 6 Az f(x) grafikonjából a g(x) grafikonját megkaphatjuk, ha az f(x) grafikont eltoljuk az y tengely mentén 1 egységgel fölfelé. Az f(x) grafikonjából a h(x) grafikonját megkaphatjuk, ha az f(x) grafikont eltoljuk az x tengely mentén egységgel balra. 0. x 1 0 1 a(x) 9 4 1 0 1 4 9 b(x) 7 1 1 7 c(x) 16 9 4 1 0 1 4 a(x) grafikonjából b(x) grafikonját megkaphatjuk, ha a(x) grafikont eltoljuk az y tengely mentén egységgel lefelé. a(x) grafikonjából c(x) grafikonját megkaphatjuk, ha a(x)grafikont eltoljuk az x tengely mentén 1 egységgel jobbra. 1. x 5 4 1 0 1 4 5 e(x) 5 16 9 4 1 0 1 4 9 16 5 f(x) 4 1 0 1 4 9 16 5 6 49 64 g(x) 1 1 7 14 4 47 6 e(x)= x, f(x)= (x +), g(x)= (x + ). 47

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK e(x) minimumhely: x = 0, minimumérték: y = 0, f(x) minimumhely: x =, minimumérték: y = 0, g(x) minimumhely: x =, minimumérték: y =.. x 5 4 1 0 1 4 5 e(x) 1 0 1 4 5 6 7 8 f(x) 4 1 0 1 1 4 g(x) 7 6 5 4 4 5 6 7 h(x) 8 7 6 5 4 1 0 1 e(x): minimumhely: x =, minimumérték: y = 0, f(x): maximumhely: x = 0, maximumérték: y = 1, g(x): maximumhely: x = 0, maximumérték: y =, h(x): maximumhely: x =, maximumérték: y = 0. 48

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK. Értelmezési tartomány: R. Értékkészlet: y [ 4; [; R. Minimumhely: x = 0. Minimumérték: y = 4. Menete: csökkenõ, x ] ; 0], növekvõ, x [0; [. Az f(x) függvény grafikonja az x = 4; 4 pontban metszi az x tengelyt. 4. Értelmezési tartomány: R. Értékkészlet: y. Minimumhely: x =. Minimumérték: y =. Menete: csökkenõ, ] ; ], növekvõ, [ ; [. Zérushely(ek): x = 5; 1. 5. Értelmezési tartomány: R. Értékkészlet: y 4. Minimumhely: x =. Minimumérték: y = 4. Menete: csökkenõ, ] ; ]. növekvõ, [; [. Zérushely(ek): x = 1; 5. 49

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Egyenletek grafikus megoldása 6. x =, y = 1, M (;1) 7. Megoldások: M 1 ( 1; 0); M (; 8). 8. 1 f( x) = x+, g( x) = x. Megoldások: M 1 (0; ); M (6; 4). 50

9. Megoldások: M 1 ( ; 0); M (; 4). FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 40. A két kerékpáros 9 órakor találkozott, az A településtõl 0 kilométer távolságra. Szöveges feladatok megoldása grafikusan 41. Az elsõ órában 4 km-t tettek meg; pihentek, játszottak órát; hazaindultak 14 órakor; hazaértek 17 órakor; a túra km hosszú volt; összesen 9 órán át túráztak. 51

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 4. A két társaság 10,6 órakor találkozott. 4. 8 órakor indultak. A B jármû tartott pihenõt. A B jármûnek volt nagyobb az átlagsebessége. 10 óra 7,5 perckor találkoztak. Az A jármû 17,5 km, a B jármû 11,5 km utat tett meg a találkozásig. Az A-nak 4 óra; B-nek,5 óra volt az útja. 5

Sorozatok 1. a) 11, 14, 17,... ; b),,,... ; c) 11, 15, 0,... ; d) 1, 15, 18,..... A kapott sorozat: 0, 1,,, 4, 5, 0, 1,,.... a ) a = 1, a = 1, 1 a = 5, a 4 = 7; b ) b 1 =, b = 6, b = 11, b 4 = 18; c ) c 1 = 0, c = 1, c =, c 4 = 6; d ) d 1 = 4, d = 1, d = 1, d 4 = 1 4. 4. a) a n = a 1 + (n 1) 5; b) b n = b 1 ( ) n 1 ; c) c n = c 1 + (n 1) ; d) d n = d 1 + (n 1) ( ). Számtani sorozatok: a), c), d). 5. a 0 = 11, S 0 = 1 100. 6. Mindenkit le tudtak ültetni. Az utolsó sorba 4 szék került. 7. a 4 = 504, S 4 = 9 84. 8. a 0 = 1571,1, S 0 = 15 65. 5

SOROZATOK 9. a a a a a a a a a 1 4 5 6 7 8 9 = 8, = 7, = 6, = 5, = 4, =, =, = 1, = 0, a a = 6d, 9 0 6= 6d d = 1. 10. A keresett összeg 816. 11. a) 108,5 kg; b) 80 kg; c) 6 kg. Elemérnek ezek alapján a c) fogyókúrás receptet ajánlom. 1. Az 1. év végére 660 000 Ft-ja, a. év végére 76 000 Ft-ja, a. év végére 798 600 Ft-ja, a 4. év végére 878 460 Ft-ja lesz. Minden hányados azonos, 1,1 értékû. 1. Az elsõ év végén 11 000 Ft volt az értéke. A második év végére 89 600 Ft volt az értéke. Most 71 680 Ft az értéke. Minden hányados azonos, 0,8 értékû. 14. 1 a 7 =. 4 15. a 1 =, a = 6, a = 18, a 4 = 54, a 5 = 16, a 6 = 486. Összegük: 78. 16. Számtani sorozat lehet: c), f), e). Mértani sorozat lehet: a), d). 1 1 1 a ),,...; 16 64 b) 5, 4, 8...; c ) 1, 6,...; d ),,... 4 4 17. a) = ; b) = ; c) a 1 = 84; d) a 1 = 1. a 1 9 a 1 54

SOROZATOK 18. a = 9, illetve a = 9. 4 4 19. a) nem eleme; b) nem eleme. 0. Húsz év múlva a település lakóinak a száma 11 1 lesz. A település lakóinak a száma 4 év múlva lesz kevesebb 100 000-nél. 55

Geometriai transzformáció, hasonlóság 1. H, I, I, I, H, I.. a) b). a) deltoid b) I, H, I, H, I, I. 4. a) b) A keletkezett síkidom deltoid. Szimmetriatengelye AC egyenese. A keletkezett síkidom egyenlõ szárú háromszög. Szimmetriatengelye AB egyenese. 56

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 5. Vázlat: 6. a) Ez a négyszög egyenlõ szárú trapéz. b) I, H, I, H, I, I. 7. Vázlat: Szerkesztés: Szerkesztés menete: 1. a alap felvétele.. a felezõmerõlegesének megszerkesztése.. m rámérése a felezõmerõlegesre. 4. A kapott pontban párhuzamost szerkesztek a-val. 5. A párhuzamos egyenesre rámérem a felezõmerõlegestõl jobbra és balra a c felét. 6. A kapott pontokat összekötöm a végpontjaival. 57

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 8. Három megoldás. Középpontos tükrözés 9. a) I; b) I; c) H; d) I. 10. 11. A négyszög paralelogramma. Eltolás 1. Párhuzamosak: d, e, f; Egyenlõk: e; a ellentett vektora: d. Adott pont eltolása adott vektorral 1. egyenlõ, párhuzamos, egyenlõ, azonos, egybevágó 58

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 14. 15. 16. Az eltolás vektora egyenlõ az A-ból A -be mutató irányított szakasszal. 59

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 17. 18. Hasonlósági transzformáció 19. a) I; b) H; c) I; d) I. Háromszögek hasonlósága 0. A B C λ a b c a b c = = a b c 4 4,5 1 14 15,75 10,5 7 4 4 5 1 10,5 1,5 10,5 1,5 60

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 1... Szakasz adott részekre osztása 4. 61

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 5. A középpontos hasonlóság transzformációja 6. a) b) 7. a) b) 6

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 8. a) b) 9. a) b) 6

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 0. a) b) 1. 64

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG.. a) b) 4. 65

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ, HASONLÓSÁG 5. 66

Kombinatorika, valószínûség 1. A lehetséges sorrendek száma: JAD, JDA, ADJ, AJD, DAJ, DJA.. Péter 4 1 = 4-féle sorrendben készülhet fel a másnapi órákra.. Összesen 10 ötjegyû számot készíthetünk. a) 4; b) 48; c) 4; d) 18. 4. Összesen 600 hatjegyû számot készíthetünk. a) 96; b) 19; c)10; d)7. 5. A hat golyót 60-féleképpen állíthatjuk sorba. 6. 10 héten keresztül tarthat a kártyacsata az adott feltételek mellett. 7. Az origóból A-ba 79-féle módon juthatunk el. 8. a) 5-féle módon; b) 1-féle módon; c) 5-féle módon; d) 18-féle módon. 9. A maratoni versenyen 68 800-féle befutási sorrend lehetséges. 10. A megadott feltételnek 70 szám felel meg. Kiválasztási feladatok (a sorrend is számít) 11. A szigetnek legfeljebb 604 800 lakosa lehet. 1. Az utakon 17 576 000 különbözõ rendszámú autó futhat. 1. Az adott feltételnek 90 ötjegyû szám felel meg. 14. 6, 6 4, 6 5, 6 6. 15. Az elsõ három helyezés 6-féleképpen lehetséges. Kiválasztási feladatok (a sorrend nem számít) 16. Zsófinak 105-ször kell fagylaltot vennie a nyáron. 17. Az osztály tanulói közül a diáktanács tagjait 19-féle módon választhatták ki. 67

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉG 18. Az a) esetben 495, a b) esetben 10-féle választási lehetõség van. 19. A buszjegyen 84-féle különbözõ lyukasztás lehetséges. 0. a) 150 módon; b) 100 módon; c) 15 módon; d) 65 módon lehetséges. 1. Tíz csoki vásárlása 1001-féleképpen lehetséges. 68

Valószínûség 1 1 1. a) ; b). 4 1 1 1. a) ; b) ; c). 4 8 1. a ) ; b) ;. c) 1 4. 1 a ) ; 6 5 b) ; 6 1 c). 11 5 1 5. a) ; b) ; c). 1 6 6 6. A kiválasztott három szakaszból valószínûséggel szerkeszthetünk háromszöget. 5 4 4 16 7. a) ; b) ; c) 0; d) ; e). 7 7 7 7 4 1 4 1 8. a) ; b) ; c) ; d) ; e). 7 7 7 7 7 51 1 7 1 9. a) ; b) ; c) ; d) ; e). 100 4 0 5 5 1 17 10. a) ; b). 0 5 1 7 1 1 11. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f). 1 6 1 4 69

VALÓSZÍNÛSÉG 1. Az öt piros golyóhoz 0 fehéret kell tenni, hogy a feltétel teljesüljön. 1 1. Annak a valószínûsége, hogy a légy a csempe fehér színû részére száll:. 4 Statisztika 14. a) b),7; c) ; d). 15. a) x = 8; b) x =. 16. a) 199; b) 1998; c) 16,9; d) 000 elõtt. 17. a) 148,4; b) 157,; c) 15,85; d) egyenlõ; e) 149. 18. a) 17; b) 19,; c) 17; d) 4; e) igen. 19. a) b) 5; c) ; d) 4,5. 70

Év végi tudáspróba 1. feladatsor 1. a) {0; 5; 6; 40; 4; 45; 48}; b){4}; c) {5; 40; 45}; d){5; 4}.. a) 5,48; b) 1.. a) gx ( )= x 4; b) hx ( )= x+ 4. 4. x = 6. 5. Az alaphoz tartozó magassága 4 cm. A háromszög területe 168 cm. 6. a) 85; b) 5; c) 15. 7. A keverék hõmérséklete C lesz. A víz magassága 5 cm. 8. 8 1 órakor találkoznak. A motorosnak még 79, km-t kell megtenni, hogy Dunaföldvárra érjen. 10 9. Együtt,6 óra alatt lesznek kész. 9. 10. a) számtani; b) a 6 = 80; d = ; n = 69; c) 0; d) 140. 71

1. a (b c) a b + c (a + b) c 11 1 11 1 5 7 ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA = 4 7. feladatsor 18 7 a b = 4 7 1,4 1,4 74,65,9 9 10 = 9, 1 9 = 1 4 5 9 18. a) X Y = {1; ; 4; 6; 7; 8; 0; ; ; 6; 8; 9; 40; 4; 44; 45; 46; 50}; b)y \ Z = {4; 7; 0; ; 9; 45; 48}; c) Y X = {4; 0; 4; 48}; d)(x Y) \ Z = {; 4; 6; 7; 0; ; ; 6; 8; 9; 40; 44; 45; 46; 50}.. 8 7. 8 = x 7

4. a) Menete: csökkenõ függvény. É. t.: R. É. k.: R. b) Menete: csökkenõ x [0; [; növekvõ x ] ; 0]. É. t.: R. É. k.: y. c) Menete: csökkenõ x ] ; ]; növekvõ x [; [. É. t.: R. É. k.: y 0. ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA 5. Az egyenlõ szárú háromszög területe 6 cm. 6. a) A 10%-os ecetbõl 4 liter %-os ecet készíthetõ. b) A 0%-os ecetbõl 9 liter %-os ecet készíthetõ. A 0%-os ecet vétele a gazdaságosabb, mert az abból készített %-os ecetbõl 1 liter 1 Ftba kerül. 7. Jenõ 9 éves és Benõ éves. 8. A két brigád együtt 5 napot dolgozott. 9. Pápától 144,5 km távolságra, 11 óra 40 perckor. 10. a) A szabályos sokszög 14 oldalú. b) Egy belsõ szöge 154, fokos. 7

ÉV VÉGI TUDÁSPRÓBA. feladatsor 1. a) 4 650,68; b) 4,696.. x.. Nóri most 4 éves. 4. Péter onnan tudta, hogy rossz a végösszeg, hogy a 545 nem osztható hárommal. 5. Milán a 9-es számra gondolt. 6. É. t.: R, É. k.: y 8. Menete: csökkenõ: x [1; [, növekvõ: x ] ; 1]. Szélsõérték: maximuma van, hely: x = 1, érték: y = 8. 7. Az számítógép eredeti ára 10 000 Ft. 8. Az elsõ sorban 8 ülõhely van. A huszonegyedik sorban 108 ülõhely van. A nézõtéren 148 ülõhely van. 9. Még munkást kell beállítani, hogy kész legyenek 10 nap alatt a festéssel. 10. A belsõ tárolótér 18,4 dm. A bevonásra 87,6 dm anyag szükséges. 74