MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN

Azonosító ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika spanyol nyelven emelt szint írásbeli vizsga 1213

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Información importante 1. Para la resolución de los ejercicios dispone de 240 minutos, acabado este tiempo debe finalizar el trabajo. 2. El orden para resolver los ejercicios es opcional. 3. En la parte II solo tiene que resolver cuatro de los cinco ejercicios propuestos. Tiene que escribir el número del ejercicio que no resuelva en este cuadrado. Si para el profesor que corrige no queda absolutamente claro cuál es el ejercicio que el alumno no desea que se le corrija, entonces no recibirá puntos para el ejercicio 9. 4. Para la resolución de los problemas se puede usar una calculadora que no tenga memoria de datos y cualquier libro con tablas y fórmulas. No se puede usar ayuda electrónica ni impresa. 5. Por favor, especifique los pasos que ha seguido en el desarrollo del ejercicio hasta llegar a la solución porque la mayoría de los puntos que puede obtener se dan por las explicaciones. 6. Preste atención a que todos los pasos en el proceso de la resolución puedan seguirse de manera clara. 7. Al resolver los ejercicios, si necesita hacer referencia a alguno de los teoremas conocidos, (por ejemplo, el teorema de Pitágoras o el teorema de la altura), no tiene que especificar su enunciado ni la demostración; es suficiente nombrarlos y aplicarlos explicando por qué puede hacerlo. Por otra parte, si necesita utilizar otros teoremas que no tienen nombre concreto, deberá comentar explícitamente su enunciado (sin demostración) y justificar su aplicación en el problema. 8. Tiene que explicar el resultado (la respuesta del problema) también con alguna o algunas frases. 9. Escriba con bolígrafo. Se pueden hacer los dibujos a lápiz. Todo lo que esté escrito a lápiz aparte del dibujo no se calificará. Si tacha cualquier respuesta o una parte de ella, esa parte no se tendrá en cuenta. 10. Solo se puede puntuar una solución por ejercicio. En caso de que haya varios procedimientos para la resolución, debe indicar, con absoluta claridad, cuál es el válido. 11. Por favor, no escriba nada en los recuadros de puntuación de color gris. írásbeli vizsga 1213 3 / 24 2015. május 5.

I. 2 2 1. Sea 4x + 4y = 90 la ecuación de la circunferencia k y sea x + 3y = 0 la ecuación de la recta g. Escriba la ecuación de la recta tangente a la circunferencia k que sea paralela a g. Total: 12 puntos írásbeli vizsga 1213 4 / 24 2015. május 5.

2. En una caja de 40 canicas (bolitas de cristal) hay 8 que son defectuosas. Un experimento consiste en sacar al azar 10 de entre las 40 canicas, sin reemplazamiento (sin devolver la canica a la caja una vez extraída) y contar cuántas canicas defectuosas hay entre ellas. a) Los alumnos de un grupo repitieron el experimento mencionado anteriormente 500 veces en total. Finalizados los experimentos contabilizaron los resultados: las frecuencias relativas de los números de canicas defectuosas que aparecieron en las muestras de 10 elementos se representan en un diagrama de barras. Con ayuda del diagrama, responda a las siguientes preguntas: I. Cuál fue el mayor número de canicas defectuosas que aparecieron en una muestra? II. Cuál fue el número de defectuosas que apareció más veces en una muestra? III. En cuántas ocasiones no hubo canicas defectuosas en la muestra de 10 elementos? frecuencia relativa número de canicas defectuosas en la muestra b) Si el experimento se efectúa una vez, calcule la probabilidad de que en la muestra haya exactamente 2 defectuosas. Determine qué tanto por ciento de la probabilidad calculada es la frecuencia relativa de este suceso obtenida tras los 500 experimentos. c) En otro experimento, de las mismas 40 canicas se eligen 10 con reemplazamiento (devolviendo la canica a la caja después de cada extracción). En este caso, cuál será la probabilidad de que en la muestra haya exactamente 2 canicas defectuosas? a) 4 puntos b) 5 puntos c) 4 puntos Total: 13 puntos írásbeli vizsga 1213 6 / 24 2015. május 5.

3. Se desea medir la altura de una montaña y de un mirador situado en el pico de la montaña. Sea A el punto más alto del mirador y B su pie o punto más bajo. Situados al pie de la montaña en el campo (plano) horizontal y en la misma dirección desde el mirador, tomamos dos puntos P y Q a 30 metros uno del otro, de manera que los puntos A, B, P y Q estén en el mismo plano (vertical). Desde el punto P se ve la parte inferior del mirador (punto B) con un ángulo de elevación de 29 o y su parte superior (punto A), con un ángulo de 33 o. Desde el punto Q se ve la parte inferior del mirador con un ángulo de 27 o. a) A cuántos metros desde el suelo se eleva la montaña sobre la que se sitúa el mirador? b) Cuál es la altura del mirador? Exprese las respuestas redondeadas a un número entero de metros. a) 8 puntos b) 5 puntos Total: 13 puntos írásbeli vizsga 1213 8 / 24 2015. május 5.

4. Sea A el conjunto de las soluciones reales de la inecuación 4x 2 19x + 22 < 0 y sea B el conjunto de las soluciones reales de la inecuación sen 2x < 0. Justifique que A B. Total: 13 puntos írásbeli vizsga 1213 10 / 24 2015. május 5.

II. Solo tiene que resolver cuatro de entre los ejercicios 5-9. Escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 3. 5. De una cartulina de 40 cm 25 cm recortamos dos rectángulos congruentes, tal y como se ven en la zona rayada de la figura. Después, con la cartulina que sobra, construimos un ortoedro (siguiendo las aristas dibujadas) cuya altura es igual al lado menor del rectángulo que hemos recortado. a) Cuál será el área del ortoedro obtenido, si el lado menor del rectángulo recortado mide 2 cm? b) Cómo elegimos la longitud del lado menor del rectángulo que recortamos para que el volumen del ortoedro formado sea el máximo posible? Cuál será el volumen máximo? a) 4 puntos b) 12 puntos Total: 16 puntos írásbeli vizsga 1213 12 / 24 2015. május 5.

Solo tiene que resolver cuatro de entre los ejercicios 5-9. Escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 3. 6. a) En un árbol de 9 vértices se conocen los grados de 8 de sus vértices: 1; 1; 1; 1; 2; 3; 3, 3. Halle el grado del noveno vértice. b) Existe algún grafo simple de 9 vértices en el que el grado de todos y cada uno de los 9 vértices sea distinto uno del otro? c) En una reunión de nueve personas, estas se saludan mutuamente con un apretón de manos. Hasta este momento se han sucedido 4 apretones de manos. De cuántas maneras distintas pudo ocurrir este hecho, si nadie dio la mano (saludó) más de una vez y no se tiene en cuenta el orden de los apretones de manos? a) 5 puntos b) 5 puntos c) 6 puntos Total: 16 puntos írásbeli vizsga 1213 14 / 24 2015. május 5.

Solo tiene que resolver cuatro de entre los ejercicios 5-9. Escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 3. 7. En la final de un campeonato individual de ajedrez de una escuela, cada jugador jugó una vez con el resto de los finalistas. Al terminar el campeonato se observó que las puntuaciones conseguidas por los jugadores eran los términos consecutivos de una progresión aritmética estrictamente creciente. Cuántos compitieron en la final y cuántos puntos obtuvo el ganador, si para el último puesto se consiguió en total 1 punto? (En el concurso de ajedrez se asigna 1 punto por ganar, 0,5 puntos por empatar y 0 puntos por perder) Total: 16 puntos írásbeli vizsga 1213 16 / 24 2015. május 5.

Solo tiene que resolver cuatro de entre los ejercicios 5-9. Escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 3. 8. En el sistema de coordenadas cartesiano están dados los arcos de las curvas cuyas ecuaciones son y = 0,25x 2 + 3x, y también y = 0,01x 3 1, 44x, para 0 x 12. (Los dos arcos están representados en la figura). Sabemos que los puntos comunes de los dos arcos son (0; 0) y (12; 0). a) Para ambos arcos, escriba la primera coordenada del punto del arco que está más lejos del eje x. b) Cuánto mide el área del recinto plano comprendido entre los dos arcos? c) Definamos en el intervalo ]0; 12[ las funciones f y g que vienen dadas a partir de las siguientes fórmulas: 2 0,25x + 3x 25 f ( x) = y g ( x) =. 3 0,01x 1,44x x + 12 Justifique que f ( x) = g( x) y demuestre que la función g es estrictamente monótona creciente. a) 5 puntos b) 5 puntos c) 6 puntos Total: 16 puntos írásbeli vizsga 1213 18 / 24 2015. május 5.

Solo tiene que resolver cuatro de entre los ejercicios 5-9. Escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado que aparece en la página 3. 9. Los alumnos de una clase escribieron un examen de matemáticas en el que tenían que resolver tres ejercicios. El primer ejercicio lo resolvieron en total 22 alumnos, 16 de los cuales resolvieron también el segundo ejercicio. Los que resolvieron los tres ejercicios fueron el triple (tres veces) de los que lograron resolver solo el primer ejercicio. El número de alumnos que pudieron resolver únicamente los dos primeros ejercicios fue dos veces y media mayor que el número de alumnos que resolvieron solamente el primero y el tercero. a) Cuántos alumnos resolvieron los tres ejercicios? Escribieron el examen un total de 30 alumnos. El profesor evaluó los exámenes con notas enteras de 1 a 5. La media de las notas fue 3,4, la mediana, 3,5 y su única moda fue 4. Cuando el profesor repartió las pruebas, faltaban seis alumnos de los que habían escrito el examen. Entre los 24 exámenes repartidos había 7 cincos, 5 cuatros, 6 treses, 4 doses y 2 unos. b) Cuál pudo ser la nota del examen de los seis alumnos que faltaron? a) 7 puntos b) 9 puntos Total: 16 puntos írásbeli vizsga 1213 20 / 24 2015. május 5.

parte I parte II número del ejercicio puntuación máxima 1. 12 2. 13 3. 13 4. 13 16 puntos conseguidos puntuación máxima 16 64 16 16 ejercicio no elegido Puntuación de la parte escrita del examen 115 51 puntos conseguidos fecha profesor que corrige I. rész / parte I II. rész / parte II elért pontszám egész számra kerekítve / puntos conseguidos redondeados a un número entero programba beírt egész pontszám / puntos enteros según el programa javító tanár / profesor que corrige jegyző / secretario del Tribunal de Examen dátum / fecha dátum / fecha írásbeli vizsga 1213 24 / 24 2015. május 5.