4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy a sík tetszőleges, B, C, D pontjára B CD C DB D BC 0 teljesül? 4 dott a síkon az BCD téglalap és egy tetszőleges X pont Igazolja, hogy ekkor X XC XB XD 5 z BC háromszög BC, C, B oldalainak felezőpontja rendre D, E, F Bizonyítsa be, hogy a sík tetszőleges P pontjára PD BC PE C PF B 0 6 z O középpontú kör B és CD húrjai merőlegesek egymásra és metszéspontjuk M Bizonyítsa be, hogy O OB OC OD OM 7 Bizonyítsa be, ha az BC háromszögben B B C, akkor a háromszög egyenlő szárú 8 z BC háromszög egyenlő szárú, C BC, és az B alap felezőpontja D z E pontot a CB oldalon úgy vesszük fel, hogy DE BC, és a DE szakasz felezőpontja F Bizonyítsa be, hogy E CF
9 z BCD téglalap C átlóján úgy vettük fel a K pontot, hogy BK merőleges az átlóra M az K, N a CD felezőpontja Bizonyítsa be, hogy BM MN 0 z BCD konvex négyszögben az C, BD, B és CD szakaszok felezőpontjai M, N, P és Q Igazolja, hogy ha MN PQ, akkor D BC z BC hegyesszögű háromszög M magasságpontja a CC magasságvonalon úgy helyezkedik el, hogy CM : MC : ( C a magasság talppontja) Mekkora az FB, ha F a CC szakasz felezőpontja? OKTV 009/00; I kategória, forduló Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala OKTV 008/009; I kategória, forduló Mutassa meg, hogy az a, b, c oldalú háromszögben az a és b oldalakhoz tartozó súlyvonalak pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha a b 5c 4 z BCDEF hatszög B, BC, CD, DE, EF és F oldalainak felezőpontjai M, N, P, Q, R és Bizonyítsa be, hogy MQ P pontosan akkor, ha RN MQ P 5 z BCD rombusz hegyesszöge 45 Mutassa meg, hogy a rombusz beírt körének tetszőleges P pontjára teljesül: P PB PC PD B 5 OKTV 04/05; I kategória, forduló 6 Egy konvex BCD négyszög átlóinak metszéspontja O Bizonyítsa be, hogy az B BC CD D ( O BO CO DO ) összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha az C és BD átlók merőlegesek, vagy ha egyiküknek a felezőpontja O KöMaL, 009 március, B465 7 Bizonyítsa be, hogy a kocka minden háromszögmetszete hegyesszögű
8 z BC szabályos háromszög egy belső pontja P Ebből a pontból merőlegeseket állítunk az oldalakra, ezek talppontjai X, Y és Z, és ezek a pontok rendre a BC, C, ill B oldalakra illeszkednek Mekkora lehet BX CY Z PX PY PZ értéke? 9 z BC háromszög B, BC, C oldalain felvesszük a D, E, F pontokat úgy, hogy D BE CF DB EC F Bizonyítsa be, hogy a DEF háromszög súlypontja egybeesik az BC háromszög súlypontjával 0 z BCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja M z C átlót hosszabbítsuk meg az -n túl MC hosszával, a BD átlót B-n túl MD hosszával, a kapott pontok E és F Bizonyítsa be, hogy EF párhuzamos a négyszög egyik középvonalával KöMaL, 00 szeptember, C044
z BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M Mutassa meg, hogy OM O OB OC z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r, magasságpontja M, OM d 9r a b c d Mutassa meg, hogy ( ) z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r Mutassa meg, hogy a háromszög pontosan akkor hegyes-, derék-, ill tompaszögű, ha a b c 8r > 0, 0, ill < 0 4 z BC háromszög C csúcsánál lévő szöge 0 háromszög magasságpontja M, a körülírt körének középpontja O, a kör CB ívének felezőpontja pedig F Bizonyítsa be, hogy MF FO KöMaL, 00 április, B464 5 z BCD húrnégyszög BC, BCD, CD, DB részháromszögeinek szerkesszük meg a magasságpontjait Bizonyítsa be, hogy ezek a magasságpontok az BCD négyszöggel egybevágó négyszöget alkotnak 6 z BC háromszög CC súlyvonala a köré írt kört másodszor a D pontban metszi Bizonyítsa be, hogy C CB CC CD 7 Legyenek egy háromszög csúcsai,,, a súlypontja Messék az,, egyenesek a háromszög köré írt kört másodszor a B, B, B pontokban Igazolja, hogy B B B OKTV 987; IV kategória, forduló 8 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy 9 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy cosα cosβ cosγ cos α cos β cos γ 0 Mennyi cosα 6cosβ cosγ minimuma, ha α, β, γ 0 és α β γ π? OKTV 008/009; III kategória, forduló 4
II Megoldások Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Megoldás: Használjuk a skaláris szorzás tulajdonságait v v z a b feltétel miatt a b 0, továbbá c b, így b c 0 Mivel az a és c vektorok által bezárt szög 60, így a c a c cos 60 Ezek alapján: v a b c ( a b c) a b c a b a c b c v 4 9, azaz Megjegyzés z a, b és c vektorok közötti szögek miatt a három vektor nem egy síkban fekszik Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? B D B BC CB CD DC Megoldás: ( ) ( ) ( D CB) ( B CD) 0 Válasszunk egy külső vonatkoztatási pontot Minden pontba a megfelelő kisbetűs vektor mutasson Ekkor: tehát B CD B CB négyszög paralelogramma D B D CB d a b c B CD b a d c,, ezért ( CB ) 0 D CB CD D CB D Tehát D BC, azaz az BCD konvex Igaz-e, hogy a sík tetszőleges, B, C, D pontjára B CD C DB D BC 0 teljesül? Megoldás: Válasszunk egy külső vonatkoztatási pontot Minden pontba a megfelelő kisbetűs vektor mutasson Ekkor: ( b a)( d c) ( c a)( b d) ( d a)( c b) B CD C DB D BC bd bc ad ac bc cd ab ad cd ac bc ab 0 Tehát igaz az állítás Megjegyzés következő állítást nyertük: Tetszőleges BCD négyszögben C BD B CD BC D Vezesse le ebből, hogy az BCD húrnégyszögben C BD B CD BC D (Lásd: Ptolemaiosz-tétel) 5
4 dott a síkon az BCD téglalap és egy tetszőleges X pont Igazolja, hogy ekkor X XC XB XD Megoldás: Bontsunk fel egy-egy vektort két vektor összegére: X XD D, XC XB BC Ekkor ( XD D) ( XB BC) XD XB XD BC D XB D BC ( ) X XC téglalap szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlők, ezért: tehát BC D D, ( XD XB BC) D ( DX XB BC) D DC 0, XD BC D XB D BC D mert a téglalap szomszédos oldalai merőlegesek egymásra Ezt az () összefüggésben felhasználva megkapjuk a bizonyítandó állítást 5 z BC háromszög BC, C, B oldalainak felezőpontja rendre D, E, F Bizonyítsa be, hogy a sík tetszőleges P pontjára PD BC PE C PF B 0 Megoldás: PD BC PE C PF B PC P P PB ( PC PB) ( P PC) ( PB ) PB PC P ( PB P PC PB ) 0 PC P 6
6 z O középpontú kör B és CD húrjai merőlegesek egymásra és metszéspontjuk M Bizonyítsa be, hogy O OB OC OD OM Megoldás: Legyen E és F az B és CD húrok felezőpontja Tudjuk, hogy OF CD és B CD, tehát OEMF téglalap OE B, Ezért OM O OB OC OD OE OF, így OM O OB OC OD 7 Bizonyítsa be, ha az BC háromszögben B B C, akkor a háromszög egyenlő szárú Megoldás: Megmutatjuk, hogy B B C, azaz B B B C C BC z B oldal felezőpontját D-vel jelöljük, B ( B C) 0 B B C CD Ez azt jelenti, hogy CD merőleges az B oldalra, ahol D az B oldal felezőpontja Tehát a C csúcsból induló magasság felezi a szemközti oldalt, ezért a háromszög egyenlő szárú, így 7
8 z BC háromszög egyenlő szárú, C BC, és az B alap felezőpontja D z E pontot a CB oldalon úgy vesszük fel, hogy DE BC, és a DE szakasz felezőpontja F Bizonyítsa be, hogy E CF Megoldás: zt kell belátnunk, hogy CF E 0 CF CD DF, E B BE Ekkor CF E ( CD DF) ( B BE) CD B CD BE DF B DF BE 0 CD BE DF B 0 CD ( BD DE) DF DB CD BD CD DE DF DB 0 CD DE DF DB CD DE DE DB DE ( CD DB) DE CB 0 Ezért E CF 9 z BCD téglalap C átlóján úgy vettük fel a K pontot, hogy BK merőleges az átlóra M az K, N a CD felezőpontja Bizonyítsa be, hogy BM MN Megoldás: Felhasználjuk, hogy az NPC és az BK derékszögű háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya : BM MN ( BK KM) ( MP PN) 0 BK BK K MP 0 BK BK BK 0 BK MP BK PN KM MP KM PN K MP z előző átalakítások során használtuk, hogy a hasonlóság miatt: azaz BK K KC PC K M MK, PC MK, így MP KC ; továbbá az BC háromszögben a magasságtételt 8
0 z BCD konvex négyszögben az C, BD, B és CD szakaszok felezőpontjai M, N, P és Q Igazolja, hogy ha MN PQ, akkor D BC Megoldás: B PQ CD D, azaz ( B BC CD) B CD D BC PQ D B CD D, így D BC PQ M C MN B feltétel szerint ( B BC), NB DB ( B D) MN ( M NB) B ( B BC) ( B D) ( D BC) MN PQ, azaz, és M NB B, így MN PQ, ( ) ( ) D BC D BC rendezés után az D BC 0 egyenlőséghez jutunk, azaz D BC Innen 9
z BC hegyesszögű háromszög M magasságpontja a CC magasságvonalon úgy helyezkedik el, hogy CM : MC : ( C a magasság talppontja) Mekkora az FB, ha F a CC szakasz felezőpontja? OKTV 009/00; I kategória, forduló Megoldás: ejthető, hogy FB 90 Ellenőrizzük a sejtést Vajon igaz-e, hogy F FB0? feltételekből M BC 0, azaz ( C CM) ( BC 4CM) C BC C 4CM CM BC CM 4C 0 M C BC 0 0 CM 4CM, tehát C BC C M 4C M 0 zámoljuk ki a kérdéses F FB szorzatot ( C CM) ( MC C B) F FB C MC C CB CM MC CM CB 0 C CB CM MC 0 C BC CM 4CM, és mint tudjuk, ez 0 Tehát a sejtésünk igaznak bizonyult, F FB 0, azaz FB 90 0
Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala OKTV 008/009; I kategória, forduló Megoldás: Válasszuk a kocka élét egységnek, ekkor a lapátló, a testátló egység z ábrán az, B, H csúcsokat választva egy megfelelő háromszöget kapunk B merőleges az DHE síkra, ezért annak minden egyenesére, tehát H-ra is Ezért az BH háromszög derékszögű háromszög oldalainak hossza: B, H, HB Lássuk be, hogy a BH háromszög két súlyvonala merőleges: R BQ, azaz R BQ 0 R ( B H), BQ B H ( B H) B H B B H H B H R BQ 0 0 0
Mutassa meg, hogy az a, b, c oldalú háromszögben az a és b oldalakhoz tartozó súlyvonalak pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha a b 5c Megoldás: háromszögben c b a, ennek négyzete c a b a b z ábrán látható két súlyvonal a b és b a két súlyvonal pontosan akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk nulla: 5 a b 0 a b b a a b, azaz a b 5a b 0 4 Tudjuk, hogy c a b a b, így 5c 5a 5b 0a b a b 4a 4b 0a b a b a b 5a b, ( ) ( ) azaz 5c a b pontosan akkor teljesül, ha a b 5a b 0, azaz a két súlyvonal merőleges egymásra
4 z BCDEF hatszög B, BC, CD, DE, EF és F oldalainak felezőpontjai M, N, P, Q, R és Bizonyítsa be, hogy MQ P pontosan akkor, ha RN MQ P Megoldás: RN RE ED DC CN, illetve RN RF F B BN djuk össze a két egyenlőséget, és vegyük figyelembe, hogy az ellentett vektorok összege nullvektor: RN ED DC F B Hasonlóan kapjuk, hogy MQ F FE BC CD és P CB B DE EF Összeadjuk a három egyenlőséget és csoportosítunk: ( RN MQ P) ( ED DE) ( DC CD) ( F F) ( B B) ( FE EF) ( BC ) 0 RN MQ P, RN ( MQ P), ennek négyzete CB Tehát 0 RN MQ P MQ P Ezért pontosan akkor teljesül, hogy MQ P, ha P 0 RN MQ, azaz MQ P Megjegyzés z RN MQ P 0 állítás egyszerűbben kijön, ha egy külső pontból induló helyvektorokat használunk (ha egy feladatban felezőpontok vannak, szinte mindig érdemes ezt használni) a b m, bc c d e n, p, d e f f a q, r, s b c e f d e a b f a c d RN n r, MQ q m, P s p Ezeket az egyenleteket összeadva: RN MQ P 0
5 z BCD rombusz hegyesszöge 45 Mutassa meg, hogy a rombusz beírt körének tetszőleges P pontjára teljesül: P PB PC PD B 5 OKTV 04/05; I kategória, forduló Megoldás: Irányítsunk vektorokat az O pontból a rombusz csúcsaiba és a P pontba az ábra szerint Legyen O a, OB b és OP p rombusz átlói felezik egymást, így OC O a, továbbá OD OB b P szakasz hosszának négyzete a ( a p) vektor önmagával vett skaláris szorzata, emiatt PB PC PD ( a p) ( b p) ( p a) ( p b) 4p a b P Pitagorasz-tétel miatt B a b Írjuk fel a rombusz területét kétféleképpen: T B D sin 45 B B sin 45, valamint T 4 (ez annak a négy háromszög területének összege, melyekre a rombuszt a B p két átlója bontja) Ezek miatt B p, B 4 p z eddigiek alapján P PB PC PD 4p a b B B B 5 4
6 Egy konvex BCD négyszög átlóinak metszéspontja O Bizonyítsa be, hogy az B BC CD D ( O BO CO DO ) összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha az C és BD átlók merőlegesek, vagy ha egyiküknek a felezőpontja O KöMaL, 009 március, B465 Megoldás: Legyen O a, OB b, OC c, OD d skaláris szorzat segítségével a szóban forgó összefüggést ( b a) ( c b) ( d c) ( a d) ( a b c d ) alakban írhatjuk fel Ezt átrendezve kapjuk: a b b c c d d a 0, ami ekvivalens az ( a c) ( b d) 0 összefüggéssel Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a c 0, vagyis a c, tehát O az C átló felezőpontja, vagy b d 0, tehát O a BD átló felezőpontja; vagy pedig az C átlóval párhuzamos a c 0 vektor merőleges a BD átlóval párhuzamos b d 0 vektorra, azaz a négyszög átlói merőlegesek egymásra 7 Bizonyítsa be, hogy a kocka minden háromszögmetszete hegyesszögű Megoldás: z elmetszett három él közös csúcsából a háromszögcsúcsokhoz vezető vektorok legyenek a, b, c Válasszuk ki a metszetháromszög tetszőleges szögét, az ezt közrezáró oldalvektorok legyenek b a és c a zt kell igazolnunk, hogy ezek skaláris szorzata pozitív: b a c a b c b a a c a a 0 0 0 a a ( ) ( ) > 0, és ez valóban pozitív 5
8 z BC szabályos háromszög egy belső pontja P Ebből a pontból merőlegeseket állítunk az oldalakra, ezek talppontjai X, Y és Z, és ezek a pontok rendre a BC, C, ill B oldalakra illeszkednek Mekkora lehet BX CY Z PX PY PZ értéke? Megoldás: Jelölje a háromszög oldalainak hosszát a háromszög területét kétféleképpen a összefüggést kapjuk, tehát PX PY PZ a 4 számolva a a ( PX PY PZ) a Másrészt a BX BC BP, a CY C CP, a Z B P, így ( BX CY Z) BC BP C CP B P BP C ( CB BP) B ( B ) ( BC C B) C CB B BC BP BP B BP BX CY Z a 0 C CB B B 0 C CB B B a a a a BX CY Z Eredményeinkből: PX PY PZ a, ahonnan 6
9 z BC háromszög B, BC, C oldalain felvesszük a D, E, F pontokat úgy, hogy D BE CF DB EC F Bizonyítsa be, hogy a DEF háromszög súlypontja egybeesik az BC háromszög súlypontjával Megoldás: Használjuk fel, hogy akkor és csak akkor súlypontja az BC háromszögnek, ha B C 0 (Hiszen, ha P PB PC 0, akkor egy tetszőleges O pontot választva ( O OP) ( OB OP) ( OC OP) 0 Mivel O OB OC, így OP, tehát P ) D k DB, BE k EC, CF k F, felírható, hogy ( D) ( B BE) ( C CF) B C k ( B BC ) 0 D E F C így a DEF háromszögnek is súlypontja 0 z BCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja M z C átlót hosszabbítsuk meg az -n túl MC hosszával, a BD átlót B-n túl MD hosszával, a kapott pontok E és F Bizonyítsa be, hogy EF párhuzamos a négyszög egyik középvonalával KöMaL, 00 szeptember, C044 Megoldás: z M pontból az, B, C, D csúcsokba mutató vektorok a, b, c, d Jelölje az D oldal felezőpontját P, a BC oldal felezőpontját Q, MP ( ad), MQ ( bc), így MP MQ ( a d b c) ( a c) ( b d) a d b c QP FE ME MF Ezekből FE QP, tehát FE QP 7
z BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M Mutassa meg, hogy OM O OB OC Megoldás: Jelölje P azt a pontot, amelyre O OB OC OP Belátjuk, hogy P M OP O OB OC és OB OC OB OC, hiszen ( OC) ( OB OC) OB OC r r 0 OB, ahol r az BC háromszög köré írt körének sugara OB OC OB OC, azaz OP O OB OC, vagyis P CB Célba értünk! z P egyenes merőleges a háromszög BC oldalára, tehát P illeszkedik az - ból induló magasságvonalra Ugyanígy láthatjuk, hogy P illeszkedik a B-ből induló magasságvonalra, illetve a C-ből induló magasságvonalra zaz P mindhárom magasságvonalon rajta van, tehát P a háromszög magasságpontja z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r, magasságpontja M, OM d 9r a b c d Mutassa meg, hogy ( ) Megoldás: z előző feladatból tudjuk, ha az BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M, akkor OM O OB OC Mindkét oldalt szorozzuk meg önmagával: OM O OB OC ( O OB OB OC OC O) ( O OB OB OC OC O), azaz d r r r Ki kell számolnunk a zárójelben lévő skaláris szorzatokból álló összeget B OB O, így B OB O O OB, azaz c r r O OB, tehát O c OB r Hasonlóan kapjuk, hogy OB a OC r és OC b Ezekből d r r r ( O OB OB OC OC O) O r r ( r c ) ( r a ) ( r b ) 9r ( a b c ) Tehát d 9r ( a b c ) Megjegyzés: z állításból a b c 9r is következik, hiszen 0 d 8
z BC háromszög oldalai a, b, c, köré írt körének a sugara r Mutassa meg, hogy a háromszög pontosan akkor hegyes-, derék-, ill tompaszögű, ha a b c 8r > 0, 0, ill < 0 Megoldás: Hogyan tudjuk jellemezni azt, hogy egy háromszög hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű? Például azzal, hogy ezekben az esetekben a háromszög magasságpontja a háromszög köré írt körének belsejében van, a körön van, illetve a körön kívül helyezkedik el Hegyesszögű háromszög magasságvonalai a háromszög belsejében vannak, így a magasságpont is a háromszög belsejében van, emiatt a magasságpontja a háromszög köré írt körének belsejében van Derékszögű háromszög magasságpontja a háromszög derékszögű csúcsa, és ez a háromszög köré írt körön van Tompaszögű háromszög esetén nézzük a háromszög magasságvonalait tompaszögű csúcshoz tartozó magasságvonalat a másik két magasságvonal a háromszögön kívül (a csúcs fölött ) metszi, így a magasságpont a körön kívül van Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a magasságpont a kör belsejében van, így d 9r a b c < r, vagyis 0< a b c 8r < r, azaz ( ) Ha a háromszög derékszögű, akkor a magasságpont a körön, azaz d r, ezért 9r ( a b c ) r, vagyis a b c 8r 0 Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a körön kívül helyezkedik el, így d > r, azaz 9r ( a b c ) > r, vagyis a b c 8r < 0 9
4 z BC háromszög C csúcsánál lévő szöge 0 háromszög magasságpontja M, a körülírt körének középpontja O, a kör CB ívének felezőpontja pedig F Bizonyítsa be, hogy MF FO KöMaL, 00 április, B464 Megoldás: Korábbi feladatból már tudjuk, ha az BC háromszög köré írt körének középpontja O, magasságpontja M, akkor OM O OB OC Vegyük észre, hogy az OBF négyszög rombusz OB 0, és a kerületi és középponti szögek közötti kapcsolat miatt FB 0 z OB és az FB egyenlő- 60 0 szárú háromszögek szárszöge egyenlő, és a háromszögek alapja közös, így a két háromszög egybevágó, az OBF négyszög rombusz OF O OB, és OM OF FM OM, ezekből ( O OB) FM Mivel OM O OB OC, így FM OC, ezért FM OC Továbbá OC OF, tehát FM OF 0
5 z BCD húrnégyszög BC, BCD, CD, DB részháromszögeinek szerkesszük meg a magasságpontjait Bizonyítsa be, hogy ezek a magasságpontok az BCD négyszöggel egybevágó négyszöget alkotnak Megoldás: húrnégyszög köré írt körének középpontja legyen O z O pontból az, B, C, D csúcsokba mutató vektorok a, b, c, d Felhasználjuk azt, hogy egy háromszög köré írt körének közepéből a csúcsokba mutató vektorok összege a magasságpontba mutat z O pontból az BC, BCD, CD, DB háromszögek magasságpontjaiba mutató vektorok OM a b c, OM b c d, OM c d a, OM d a b z eredeti négyszög és a magasságpontok által meghatározott négyszög oldalvektorai megegyeznek, például: B b a és M M OM OM ( b c d) ( c d a) b a Ebből következik, hogy a két négyszög oldalai és szögei páronként megegyeznek, tehát egybevágóak 4 6 z BC háromszög CC súlyvonala a köré írt kört másodszor a D pontban metszi Bizonyítsa be, hogy C CB CC CD Megoldás: C CC C, ennek négyzete C CC C CC C
CB BC CC, ám BC C, így CB C CC, azaz CB CC C, ezért CB CC C CC C Ezek összege C CB CC C CC C CC C CC C CC C ( ) Már csak azt kell belátnunk, hogy CC C CC CD és ez a szelőszakaszok szorzatára ismert összefüggés miatt igaz:, BC CC C D, mi- vel C BC C, azaz C CC ( CD CC) C 7 Legyenek egy háromszög csúcsai,,, a súlypontja Messék az,, egyenesek a háromszög köré írt kört másodszor a B, B, B pontokban Igazolja, hogy B B B OKTV 987; IV kategória, forduló Megoldás: Jelölje a köré írt kör közepét O, sugarát r Keressünk összefüggést az i és B i szakaszok között szelőszakaszok szorzatára vonatkozó összefüggés szerint az B ( i,, ) szorzatok egyenlők, és ezek a szorzatok egyenlők az ( r O)( r O) használhatjuk az i i szorzattal is zükségünk lesz az O szakaszra is, és ehhez O O kapcsolatot i i
Mivel O O O r és O O i i, O O O i i i, így ( ) O O O O O r De 0, így azt kapjuk, hogy O r Nyilván O O, másrészt az ponton áthaladó szelők szakaszainak szorzata megegyezik, tehát ( )( ) i i B O r O r O r O r, innen ( ) O r B i i Ezért ( ) O r B B B ( ) kapott ( ) B B B összefüggésben a jobb oldal becslésére használjuk fel a harmonikus, a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggést: c b a c b a c b a B B B 9
8 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy cosα cosβ cosγ Megoldás: háromszög O középpontú, r sugarú beírt köre az oldalakat a P, Q, R pontokban érinti ( OP OQ OR ) 0, azaz OQ OR ( OP OQ OQ OR OR OP) 0 r OP, ( cos( 80 α) cos( 80 β) cos( 80 )) 0 r r r γ ( cosα cosβ cosγ) 0 r r, cosα cosβ cosγ, 9 Egy háromszög szögei α, β, γ Mutassa meg, hogy cos α cos β cos γ Megoldás: z BC háromszög szögei α, β, γ, körül írt körének középpontja O, sugara R kerületi és középponti szögek közti kapcsolat miatt a kör középpontjából a csúcsokba mutató vektorok egymással α, β, γ szögeket zárnak be ( O OB OC ) 0, azaz OB OC ( O OB OB OC OC O) 0 O, ( cos cos cos ) R R R R α β γ 0, R ( cos α cos β cos γ) 0 cos α cos β cos γ R, 4
0 Mennyi cosα 6cosβ cosγ minimuma, ha α, β, γ 0 és α β γ π? OKTV 008/009; III kategória, forduló Megoldás: Tekintsük az ábrát ( O OB OC ) 0, azaz OB OC ( O OB OB OC OC O) 0 O, ( cos cosβ cos ) 0 ( cosα 6cosβ cos ) 0, α γ, 4 γ cosα 6cosβ cosγ 7 Tehát cosα 6cosβ cosγ értéke legalább 7 Ezzel beláttuk, hogy a kifejezés értéke legalább 7 Most belátjuk, hogy ezt a minimumot el is tudjuk érni nagyobb együtthatójú szögeket válasszuk úgy meg, hogy a koszinuszuk a lehető legkisebb legyen: α 0, β γ π ; ekkor cos0 6cosπ cosπ ( 6) ( ) 7 zt kaptuk, hogy cosα 6cosβ cosγ minimuma 7 5