Tanári Téka MATEMATIKA 00. szeptember Minden jog fenntartva. ementor Media Hungary Kft. Felelős kiadó Mányoki Zsolt ügyvezető Szerkesztőség Ambruszter Géza tanár Mányoki Zsolt tanár Németh Katalin főiskolai adjunktus - -
Megjelent a Matematika Tanári Téka sorozat első száma! A Tanári Téka sorozat havonta megjelenő, elektronikus hírlevelekből áll, melyek legfontosabb előnyei aktuális általános iskoláknak szólnak átszerkeszthető, személyre szabható feladatsorokat is tartalmaznak, melyeket igénye szerinti példányszámban sokszorosíthat módszertani tanácsokat, plusz feladatokat, felmérőket is küldünk nagy hangsúlyt fektetünk a felzárkóztatásra és a tehetséggondozásra kiemelt szerepet kap a tanórákba integrált kompetenciafejlesztés multimédiás szemléltetőanyagokat, gyakorlóprogramokat is tartalmazhatnak egy iskolai előfizetés esetén akár több kolléga címére is el tudjuk küldeni a hírleveleket a hírlevelek szerzői tapasztalt, gyakorló tanárok témajavaslataikat figyelembe vesszük, küldött anyagaikat megjelentetjük az előfizetőknek lehetőséget adunk, hogy kérdéseikkel a szerzőkhöz forduljanak. Kérdéseiket, észrevételeiket a teka@ementor.hu címre várjuk. Kiadványaink 00 szeptemberétől havonta jelennek meg minden hónapban küldünk Önnek egy elektronikus hírlevelet. Terjedelme az aktuális tartalomtól függően változó, 0-0 A-es oldal, melyet.pdf-formátumban küldünk el Önnek. Egy tanévben tantárgyanként 0 számot küldünk, melyeknek ára bruttó 00 Ft, az éves előfizetési díj bruttó 000 Ft. Előfizetési akciónkat meghosszabbítottuk amennyiben szeptember 0-ig megrendeli valamelyik kiadványunkat, 0% kedvezményt biztosítunk az előfizetési díjból. Megrendelését a teka@ementor.hu címen várjuk. Honlapunkon is megrendelheti a http//www.ementor.hu/altisk/kiadvanyok internetcímen. Mindenkinek sok sikert, eredményekben gazdag tanévet kívánunk! A tartalomból Kompetenciaalapú feladatok... oldal Számelmélet... oldal Év eleji ismétlés...8. oldal - -
KOMPETENCIAALAPÚ FELADATOK Az országos kompetenciamérés feladatai jellegükben lényegesen eltérnek a tankönyvek és feladatgyűjtemények szokásos gyakorlófeladataitól. Olyan ábrákat, grafikonokat, képeket kell helyesen értelmezni, melyekkel a mindennapi életben, az újságokban, a televízióban, az interneten találkozunk. A felkészítés során tehát célszerű ezekhez a forrásokhoz nyúlni. A következő néhány feladat ehhez nyújt példát a műveletek egész számokkal és tizedestörtekkel, százalékszámítás témakörökben. (Ábrák forrása http//www.nol.hu). A következő ábra a természetes fogyás mértékének változását mutatja a tavalyi év I. félévéhez képest megyénként. (természetes fogyás születések száma - halálozások száma). Az ábra alapján válaszolj a következő kérdésekre! A) Hány megyében nőtt a természetes fogyás mértéke? B) Hány megyében csökkent a természetes fogyás mértéke? a. b. c. d. C) Melyik megyében nőtt a legjobban (főben kifejezve/százalékosan)? D) Melyik megyében nőtt a legkevésbé (főben kifejezve/százalékosan)? - -
E) Melyik megyében csökkent a legjobban (főben kifejezve)? a. Borsod-Abaúj-Zemplén b. Pest c. Bács-Kiskun d. Komárom-Esztergom F) Melyik megyében csökkent a legkevésbé (főben kifejezve/százalékosan)? G) Hogyan változott a természetes fogyás mértéke Fejér megyében? a. fővel nőtt b. fővel csökkent c. fővel nőtt d. fővel csökkent. András külföldi nyaralásra készül. A pénzváltónál az alábbi táblázatot találta. Pl. az EUR (euró) sorában szereplő számok azt jelentik, hogy eurót,0 Ft-ért tud váltani, és,0 Ft-ot kap, ha eurót akar visszaváltani. A) Hány eurót kapunk 000 Ft-ért? B) András eurót hoz vissza az útról. Hány forintot kapna érte, ha vissza szeretné váltani? C) Mekkora lenne a veszteségünk, ha 00 angol fontot (GBP) váltanánk, majd rögtön visszaváltanánk? D) Hány cseh koronát (CZK) kapnánk azért az összegért, amennyiért 80 szlovák koronát (SKK) váltottunk? - -
E) Melyik pénznem a legértékesebb a forinthoz képest? a. SKK b. GBP c. CHF d. EUR. A következő grafikon a Magyarországon működő gazdasági szervezetek vonatkozó számadatokat tartalmaz. A) Hány működő vállalkozás volt Magyarországon 00-ban? B) Milyen volt a működő vállalkozások százalékos megoszlása 00-ban? C) Melyik évben volt a legtöbb regisztrált gazdasági szervezet? a. 00 b. 00 c. 00 d. 998 D) Hány regisztrált gazdasági szervezet volt 99-ban? a. kb. b. kb. 000 c. kb. 00 d. kb. 0000 - -
E) Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások! 99 és 00 között hozzávetőlegesen megtízszereződött a gazdasági szervezetek száma. 99 és 00 között folyamatosan nőtt a gazdasági szervezetek száma. 99 és 00 között folyamatosan nőtt a gazdasági szervezetek száma. 99 és 00 között minden évben legalább 000000 gazdasági szervezet volt Magyarországon. MEGOLDÁSOK. A) B) c C) Győr-Moson-Sopron / Borsod-Abaúj-Zemplén D) Szabolcs-Szatmár-Bereg / Csongrád E) d F) Heves / Heves G) d. A) 90, B) 8,9 Ft C) Ft D) 9, CZK E) b. A) 0 B) Kft. 9,8%; Rt. 0,%; Szöv. 0,8%; Kkt. 0,9%; Bt. 8,0%; Egyéni váll.,%; Nonprofit szerv.,8% C) b D) d E) hamis, igaz, hamis, igaz - -
SZÁMELMÉLET Az oszthatósági feladatok és a prímszámok megismertetése során szemléletes példa lehet az Erasztotenészi-szita kipróbálása. A módszer lényege a következő felírjuk az első n darab pozitív egészet. (Az -et kihúzzuk, az a definíció szerint nem prím.) Az első szám a. Ez prím, a többszörösei viszont nem azok, azaz a -t megjelölöm, ettől kezdve pedig minden második számot áthúzom. A következő át nem húzott szám a. Ez prím, a többszörösei viszont nem azok, azaz a - at megjelölöm, ettől kezdve pedig minden harmadik számot áthúzom. Az eljárást elég folytatni, az át nem húzott számok a prímek. n -ig,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,,8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 80, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 88, 89, 90, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 98, 99, 00,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 0,,,,,,,,8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9, 80, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 88, 89, 90, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 98, 99, 00, - -
ÉV ELEJI ISMÉTLÉS Tapasztalataink szerint a szorzó- és bennfoglalótábla sok gyermeknek gondot okoz a felső tagozatban (sőt még a középiskolában is), holott az elemi számolási készség a bevezetendő NAT kulcskompetenciái, fő fejlesztési területei közé tartozik. Ezen alapkészségek a bonyolultabb feladatok megoldása során nélkülözhetetlenek, a mindennapi életben is fontos szerephez jutnak, és a felvételin is mivel számológép nem használhatóelengedhetetlen a biztos ismeretük. Az elemi logikai készség szintén a kulcskompetenciák közé tartozik. A felvételi és a kompetenciamérés feladatainak legnagyobb része szöveges, folyamatosan gondot kell tehát fordítani a logikus gondolkodás és a szövegértés gyakoroltatására. Egy-egy érdekes logikai feladattal szinte minden témakörben színesebbé tehetjük az órákat, a következő számban példákkal szolgálunk erre. Célszerű minden év elején, valamint év közben is rendszeresen felmérni az alapvető készségek ismeretét. A következőkben ilyen gyakorló ill. felmérő feladatsorokat közlünk. - 8 -
A feladatsor - 9-9 0 9 9 0 9 0 0 8 0 9 8 8 9 9 8 8 8 9 9 9 9 0 9 8 9 9 8 0 0 0 0 8 0 0 0 0 9 8 0 8 8 8 0 8 0 0 9 8 0 8 8 9 9 0 8 9 8 8 9
B feladatsor - 0-8 8 0 9 0 9 8 8 9 8 8 0 0 9 9 8 9 8 9 0 9 0 8 8 0 9 0 8 8 0 0 8 0 8 0 9 9 9 9 0 9 0 8 9 8 0 0 8 9 8 8 8 9 9 0 9 0 9 0 0
C feladatsor - - 0 0 9 9 0 8 8 9 9 9 9 8 0 0 8 0 8 8 9 9 0 8 9 8 8 9 0 9 8 0 9 0 8 9 8 9 0 8 8 8 8 8 0 9 9 8 0 9 0 0 9 0 0 0 0 8 9 0 8 9
D feladatsor - - 8 9 0 8 9 9 8 0 8 0 0 9 8 8 8 8 9 0 0 9 0 0 0 8 0 8 9 0 0 0 0 0 9 0 8 9 9 8 0 0 9 8 8 9 9 9 9 9 8 9 9 0 8 9 8 8 9 8 0 8
Megoldások A B C D 9 80 8 0 9 0 8 0 8 8 8 0 9 0 0 8 0 0 80 0 8 0 8 8 8 0 9 8 0 0 0 8 0 90 0 0 0 8 8 0 0 90 80 0 0 9 9 8 8 0 0 00 0 8 8 80 0 0 9 0 0 0 90 90 9 0 0 8 0 0 80 00 9 0 0 8 8 0 0 8 0 8 8 8 0 8 0 0 80 8 0 9 0 0 0 0 00 8 8 8 0 8 0 8 0 0 90 9 8 9 0 8 90 8 90 8 0 0 8 0 0 0 9 9 90 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 8 0 0 0 0 0 8 8 8 8 8 0 8 0 9 0 8 80 8 8 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 8 0 9 80 00 0 0 0 0 - -
A feladatsor - - 0 0 00 909 8 8 8 0 0 900 99 8 00 9 88 8 9 00 8 0 800 0 00 8 9 0 00 8 0 808 0 8 08 9 00 8 9 9 0 0 88 00 0 9 8 0 000 9 8 8 0 9 89 8 8 89
B feladatsor - - 0 88 8 000 9 08 89 0 8 0 00 9 9 808 8 8 0 8 8 9 8 0 8 0 8 00 800 8 0 9 9 00 0 0 00 9 8 0 89 900 00 0 9 00 8 8 0 00 99 0 9 88 0 8 8 909
C feladatsor - - 9 00 0 00 8 00 8 000 8 9 0 89 0 0 9 900 808 8 00 0 99 0 08 00 0 800 88 8 0 9 9 00 8 8 89 8 0 0 8 8 9 88 8 8 8 0 9 0 8 909 8 00 0 9 0 9
D feladatsor - - 8 9 8 9 08 0 00 0 909 00 8 9 0 9 8 00 900 0 0 8 00 0 0 8 8 00 8 0 0 800 0 8 8 00 8 89 9 8 8 8 9 9 9 00 88 0 0 0 88 99 000 0 808 9 8 89
Megoldások A B C D 8 8 9 8 8 9 8 0 8 8 9 8 8 0 8 9 9 8 0 9 0 9 8 0 0 0 9 9 8 9 9 9 8 0 9 8 8 8 0 8 9 9 8 0 0 0 0 8 9 8 9 0 8 0 8 9 8 8 9 0 0 8 8 0 0 9 0 9 8 8 9 0 0 0 9 8 8 9 9 8 0 9 9 0 8 9 0 0 9 8 9 8 8 9 9 0 9 9 0 0 0 8 0 0 9 0 9 0 0 0 8 0 0 9 9 8 8 9 0 9-8 -
A feladatsor. András évvel idősebb Bélánál, aki tavaly 0 éves volt. Hány éves András?. Minek a fele a 8 kétszerese?. András és Béla életkorának összege év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva?. Minek a kétszerese a fele?. András év múlva kétszer annyi idős lesz, mint most. Mennyi idős András?. A éves Andrásnak most született az öccse. Hány év múlva lesz András kétszer annyi idős, mint az öccse?. Mennyivel több a a -nél? 8. András és Béla ugyanannyi idősek. András 0 év múlva 0 éves lesz. Mennyi idős Béla? 9. A hét törpe életkorának összege év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva? 0. Minél kevesebb -tel a 9?. András 0 évvel idősebb Bélánál. Mennyivel lesz idősebb nála 0 év múlva?. Mennyi a 9 hatszorosának a hatodrésze?. aranyam van. Hányszor kell megdupláztatni a pénzem a Jótündérrel, hogy aranyam legyen?. Minek a fele a?. Hány fecskének van ugyanannyi lába, mint kecskének?. Mi több -gyel a -nél?. Hány éves volt Béla, mikor elmondhatta magáról, hogy "jövőre kétszer annyi idős leszek, mint tavaly voltam"? 8. Minél több -tal a 9? 9. Hány napig tart a sarki fűszeres hetes akciója? 0. Mi kevesebb 9-cel a 8-nél?. Egy nyúlnak lába és feje van, azaz négyszer annyi lába van, mint feje. 0 nyúlnak hányszor annyi lába van, mint feje?. András 8 évvel fiatalabb Bélánál, aki jövőre éves lesz. Hány éves András?. Minek a kétszerese a 8?. Hány számjegye van annak az ötjegyű számnak, amelyik -gyel osztva több maradékot ad, mint a és a 9 különbségének a kétszerese?. Mennyivel kevesebb a a -nél? - 9 -
B feladatsor. Minek a kétszerese a 8?. András és Béla életkorának összege év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva?. Minél több -gyel a?. András 0 év múlva kétszer annyi idős lesz, mint most. Mennyi idős András?. A éves Andrásnak most született az öccse. Hány év múlva lesz András kétszer annyi idős, mint az öccse?. András és Béla ugyanannyi idősek. András év múlva éves lesz. Mennyi idős Béla?. Mennyivel több a az -nél? 8. Mi több -vel a -nál? 9. A hét törpe életkorának összege év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva? 0. András évvel idősebb Bélánál. Mennyivel lesz idősebb nála 9 év múlva?. Mennyi a hatszorosának a hatodrésze?. aranyam van. Hányszor kell megdupláztatni a pénzem a Jótündérrel, hogy aranyam legyen?. András 9 évvel fiatalabb Bélánál, aki jövőre éves lesz. Hány éves András?. Hány fecskének van ugyanannyi lába, mint 9 kecskének?. Minek a fele a kétszerese?. Hány éves volt Béla, mikor elmondhatta magáról, hogy "jövőre kétszer annyi idős leszek, mint tavaly előtt voltam"?. Minek a fele a? 8. Hány napig tart a sarki fűszeres hetes akciója? 9. Minél kevesebb -gyel a? 0. Hány napos volt 88. márciusának harmadik hete?. Mi kevesebb -mal a -nél?. Gondoltam egy számot. Megszoroztam 9-cel, majd kivontam belőle -et. Ehhez hozzáadtam a és a 0 különbségének és a 8 hétszeresének az összegét. Kivontam belőle a gondolt számot, ami a. Elosztottam -tal, így -et kaptam. Melyik számra gondoltam?. Mennyivel kevesebb a a 8-nél?. András évvel idősebb Bélánál, aki tavaly 8 éves volt. Hány éves András?. Minek a kétszerese a fele? - 0 -
C feladatsor. András évvel fiatalabb Bélánál, aki jövőre éves lesz. Hány éves András?. Minél több -mal a?. András és Béla életkorának összege 0 év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva?. András év múlva kétszer annyi idős lesz, mint most. Mennyi idős András?. A éves Andrásnak most született az öccse. Hány év múlva lesz András kétszer annyi idős, mint az öccse?. András és Béla ugyanannyi idősek. András év múlva éves lesz. Mennyi idős Béla?. A hét törpe életkorának összege év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva? 8. Mi kevesebb 9-cel a -nél? 9. András évvel idősebb Bélánál. Mennyivel lesz idősebb nála év múlva? 0. Minek a kétszerese a 0 fele?. Mennyi a 0 nyolcszorosának a nyolcadrésze?. aranyam van. Hányszor kell megdupláztatni a pénzem a Jótündérrel, hogy 8 aranyam legyen?. Minek a fele a?. Hány fecskének van ugyanannyi lába, mint 0 kecskének?. Minél kevesebb -gyel az?. Hány éves volt Béla, mikor elmondhatta magáról, hogy "jövőre kétszer annyi idős leszek, mint tavaly voltam"?. Mennyivel több az 0 a 8-nál? 8. Hány napig tart a sarki fűszeres hetes akciója? 9. Minek a fele a kétszerese? 0. Egy nyúlnak lába és feje van, azaz négyszer annyi lába van, mint feje. 8 nyúlnak hányszor annyi lába van, mint feje?. Mennyivel kevesebb a 9 a -nél?. András évvel idősebb Bélánál, aki tavaly éves volt. Hány éves András?. Mi több 9-cel a -nél?. András tojásokat dobált a tojástartóba. A tojástartót a 9 m hosszú terasz északi végében helyezte el, egy virágtartó és egy padlóváza közé. A virágtartóban cserép muskátli és cserép petúnia volt, bár ez utóbbiak közül az egyik kis híján kiszáradt már. A vázában szál szalmavirág díszlett, de András tervezte, hogy buzogányokat is elhelyez benne. Hetedik próbálkozásra sikerült az első sértetlen tojást beledobnia a tojástartóba. Hány tojás tört össze?. Minek a kétszerese az? - -
D feladatsor. Mennyi a 8 négyszeresének a negyedrésze?. András évvel fiatalabb Bélánál, aki jövőre éves lesz. Hány éves András?. Minél több -vel az 8?. Hány fecskének van ugyanannyi lába, mint kecskének?. Mi több -gyel a -nál?. A hét törpe életkorának összege 8 év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva?. aranyam van. Hányszor kell megdupláztatni a pénzem a Jótündérrel, hogy aranyam legyen? 8. Mi kevesebb -tal a 9-nél? 9. András 0 évvel idősebb Bélánál. Mennyivel lesz idősebb nála 0 év múlva? 0. Minek a kétszerese a?. András évvel idősebb Bélánál, aki tavaly éves volt. Hány éves András?. Minek a kétszerese a fele?. András és Béla életkorának összege év. Mennyi lesz az életkoruk összege év múlva?. Minél kevesebb 0-zel a?. András év múlva kétszer annyi idős lesz, mint most. Mennyi idős András?. Mennyivel kevesebb a a -nél?. A éves Andrásnak most született az öccse. Hány év múlva lesz András kétszer annyi idős, mint az öccse? 8. András és Béla ugyanannyi idősek. András év múlva éves lesz. Mennyi idős Béla? 9. Mennyivel több az a -nél? 0. Hány éves volt Béla, mikor elmondhatta magáról, hogy "jövőre kétszer annyi idős leszek, mint tavaly előtt voltam"?. Hány napig tart a sarki fűszeres hetes akciója?. Minek a fele a 8 kétszerese?. Hány napos volt. augusztusának második hete?. Minek a fele a?. Hány számjegye van annak a hatjegyű számnak, amelyik -tel osztva több maradékot ad, mint a 0 és a különbségének a kétszerese? - -
Megoldások A B C D. 8. 0 9. 9. 0.. 9. 9 8. 0 8 9. 09 8 0 0.. 0 0 9. 9. 0. 9 8 80. 9. 8. 8. 9. 8 0.. 8.. 9 9. 8. 9 8 - -
- - 8 8 A 8 0 9 9 B 0 9 0 8 0 8 9 C 0 8
- - 9 0 8 9 0 8 9 D 8 9 8 0 9 8 0 9 9 8 E 0 9 8 0 9 9 8 8 F
Megoldások A B C / / / / / /0 -/ -/8-8/ -/8 / /0 /0 /0 0/ / /8 /8 / -0/ / -/ -/ /0 /0 9/0 /0 / 0/ 0/0 0/ /8 8/9-8/0 /0 /0 / / /8 /0 8/0 / / -/8-0/ D E F / 9/ 8/ / / / / 9/8 / / / / -/ 0/ -8/ / 0/ -8/ /0 -/0 / -/0 -/0-0/0 /0 8/0 / /0 0/ /0 / 0/ / -/ -0/ -0/8 -/ -/8-8/ -/ 8/ /0 -/ -8/ -/0 - -
A 98 9 8 9 8 () (8) () 8 () () (8) () () () 98 9 ()8 9 () 8 B 98 9 8 9 8 () (8) (8) () () () (8) () () (9)8 9 8 9 (8) C 98 9 8 9 8 () () 8 () (8) () () () (8) () ()98 (9) 8 9 8 8 D 98 9 8 9 8 () () (8) () () 8 () () 8 () () 9 8 9 8 (9) 8 () E 98 9 8 9 8 () () () 8 () () (8) () (8) () 98 (9) ()8 9 9 8 F 8 9 8 9 () 8 (8) () () (8) (8) (9) () () 8 ()9 (8) 9 G 8 9 8 9 (8) (8) () (8) () () (8) 9 () () () 8 9 8 (9) H 8 9 8 9 () (8) 8 () () () (8) () (8) (9) () ()8 9 8 9 I 8 9 8 9 () (8) (8) () () (8) () 8 (9) () 8 9 ()8 8 (9) - -
J 8 9 8 9 () () (8) 8 () () () 8 () (8) 9 () ()8 ()9 8 9 K 8 8 9 8 () 8 (9) () () (8) (9) () (8) () 8 ()8 ()9 8 L 8 8 9 8 8 () (9) () (8) () () (9) (8) () 8 ()8 8 9 (8) M 8 8 9 8 () 8 () 9 () () () (8) () (9) () 8 ()8 () 8 9 8 N 8 8 9 8 (8) () (9) () () (8) () 9 () 8 () 8 8 ()9 (8) O 8 8 9 8 () (8) () 9 () () () 8 () (9) 8 () 8 () ()8 9 8 P 89 89 89 () 8 () 8 () () (9) (9) () () () 89 (8)9 () 89 Q 89 89 89 8 () () 8 () (9) () () (9) () () () 89 8 9 ()89 R 89 89 89 () 8 () 8 () () () (9) () (9) () () 8 (9) 8 9 8 9-8 -
A B C D E F G H I J 0 0 - - 8 - -8 - -0 9 - -0 K - -90-9 8 0 8-8 0 - - -0-0 -9-0 L - - -90-0 8 - - -8-8 -9-0 -8-8 8-0 -9 - -0 M - - 90-0 - 0-9 8-0 8-8 -8 0-9 - - 0 N - - -90 8 9 0-9 0-0 - 0 - - -8-8 - 8-0 9 - -0 O - - 90-8 - - 8 - - - - -9-9 -9 9 8-80 - P -9 - -90-8 - 0 - - - -0 - -9-9 8-80 Q -9 - - 90 0 - - - - -0-9 -9-8 80 - R 9 - - -90-8 - 0 - - - 9-9 -8-80 - - - - -9 9-8 80 - - - 9 -