Geometria I. Vígh Viktor

Hasonló dokumentumok
Geometria I. Vígh Viktor

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria I. Vígh Viktor

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Bevezetés a síkgeometriába

Egybevágóság szerkesztések

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG osztályos matematika

GEOMETRIA 1, alapszint

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

10. Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

5. előadás. Skaláris szorzás

Matematika 7. osztály

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

tulajdonsága Pék Johanna és Szilasi Zoltán

Vektorok és koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Geometria 1, normálszint

Geometriai alapfogalmak

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

A kör. A kör egyenlete

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

Koordináta-geometria II.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

Koordináta - geometria I.

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

Síkgeometria. Ponthalmazok

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató

Koordinátageometria Megoldások

15. Koordinátageometria

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

2016/2017. Matematika 9.Kny

Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.

Gömbi háromszögek Kiszi Gergely Témavezető: Moussong Gábor

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

15. Koordinátageometria

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

2016/2017. Matematika 9.Kny

VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével

Koordináta geometria III.

Matematika 8. osztály

Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz

Átírás:

Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban mindenképpen feladatként jelentkezik a hallgatók által a középiskolájukban megszerzett ismeretek felelevenítése és rendszerezése. A matematikaoktatás szempontjából igen heterogén közoktatási intézményrendszerre tekintettel szükséges az előzőeken túl a hallgatók geometriai ismereteinek módszeres felépítéssel olyan szintre hozása, amely az előrehaladást a jelen és későbbi kurzusok szükségleteinek megfelelően lehetővé teszi. A jegyzet a középszintű érettségi követelményeivel lefedett témaköröket lényegesen nem haladja meg, csupán a bizonyítások megjelenésével kap még nagyobb hangsúlyt az ismeretek egymásra építése, a fogalmak és állítások kapcsolatainak feltárása, és e kapcsolatok lehetséges demonstrálása. E jegyzettel támogatni kívánjuk a geometriai tanulmányok folytatásához szükséges rutinok kialakítását, bizonyos sémák alkalmazásának készségszintűvé tételét, automatizmusok begyakorlását. Ezeken túlmenően a a kitűzött kapcsolódó feladatok és gyakorlatok már sokkal inkább elméleti jellegűek, lehetőséget kínálnak arra, hogy a megfelelő szintű rutinnal a hallgatók tovább is haladhassanak, és a problémamegoldás eggyel magasabb szintjére is fel-fellépjenek. 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés Célok: ismerkedés a sík és a tér alapvető fogalmaival, a geometriai és térszemlélet formálása, kevés lépésből álló bizonyítások gyakorlása. 1.1. Alapismeretek A síkon Bármely két különböző pont pontosan egy közös egyenesre illeszkedik. Az egy közös egyenesre illeszkedő pontokat kollineárisnak nevezzük. 1

Az e és f egyenesek a síkban vagy egybeesnek, vagy egymást pontosan egy pontban metszik, vagy közös pont nélküliek. Ha e = f, vagy e-nek és f-nek nincs közös pontja, akkor e-t és f-t párhuzamosnak nevezzük. A párhuzamosság jele e f. Az e egyenessel bármely P ponton át pontosan egy párhuzamos egyenes húzható. A térben A térben bármely három, nem kollineáris pont pontosan egy közös síkra illeszkedik. A közös síkra illeszkedő pontokat komplanárisnak nevezzük. A térben két e és f egyenes metsző, ha pontosan egy közös P pontjuk van. Két nem metsző egyenes párhuzamos, ha létezik egy olyan sík, ami mindkettőt tartalmazza. (Az egybeeső egyeneseket ismét párhuzamosnak tekintjük.) Ha két egyenes nem metsző és nem is párhuzamos, akkor kitérő. Az e egyenessel bármely P ponton át pontosan egy párhuzamos egyenes húzható. 1. ábra. Kitérő élpárok a kockán és a tetraéderen Nézze és mozgassa meg az ábrát a GeoGebraTube-on! Az S 1 és S 2 síkok a térben lehetnek metszők, vagy párhuzamosak. Metsző síkok metszete minden esetben egy egyenes, a párhuzamos síkoknak vagy nincs közös pontjuk, vagy egybeesnek. Az S síkkal bármely P ponton át pontosan egy párhuzamos sík húzható. Egy e egyenes egy S síkot egy P pontban döf, ha e S = {P }. Ellenkező esetben e és S párhuzamosak. Ha e S, akkor az e sík illeszkedik S-re (és ekkor is párhuzamosnak tekintjük őket). 1.1. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két párhuzamos egyenesre pontosan egy sík illeszkedik. 2

1.2. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két metsző egyenesre pontosan egy sík illeszkedik. 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete Három térelem kölcsönös helyzetét már feladatokon keresztül dolgozzuk fel. 1.3. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha három sík közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást, és a metszetegyenesek közül valamely kettő egy P pontban metszi egymást, akkor a harmadik metszetegyenes is illeszkedik P -re. Megoldás. Legyenek S 1, S 2 és S 3 a vizsgált síkok, amelyek közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást. Az S 1 S 2, az S 2 S 3 illetve az S 1 S 3 egyenesek legyenek rendre e 12 e 23 és e 13. Továbbá legyen P = e 12 e 13 a metszéspont. Másképpen, P az a pont, amire P e 12 és P e 13. (Lásd 2. ábra.) Hasonlóan, i) P e 12 és e 12 = S 1 S 2 miatt P S 2 ; ii) P e 13 és e 13 = S 1 S 3 miatt P S 3. Következésképpen P S 2 S 3 is, azaz P e 23. Tehát a P pont rajta van az S 1, S 2 és S 3 síkok által meghatározott metszetegyenesek mindegyikén. S 1 e 13 e 12 P e 23 S 3 S 2 2. ábra. A síkokat egy kocka lapsíkjaival szemléltethetjük Az 1.3. gyakorlat megoldását felhasználva oldjuk meg a következő gyakorlatokat önállóan! 3

1.4. gyakorlat. Adott 3 páronként egyenesben metsző sík. A három metszésvonaluk közül kettő párhuzamos. Mutassuk meg, hogy ekkor bármely két metszésvonal párhuzamos! 1.5. gyakorlat. A párhuzamos S 1 és S 2 síkokat az S 3 sík rendre e 1 és e 2 egyenesekben metszi. Mutassuk meg, hogy e 1 e 2! 1.6. gyakorlat. Az e egyenes párhuzamos a metsző S 1 és S 2 síkok mindegyikével. Mutassuk meg, hogy e párhuzamos S 1 S 2 egyenessel is! Megoldás (vázlat). Csak azt az esetet tárgyaljuk, amikor e nem illeszkedik az adott s 1 és S 2 síkok egyikére sem. A többi eset hasonló, ezek kidolgozását az olvasóra bízzuk. Legyen P S 1 S 2 egy tetszőleges pont, és legyen S a P és e által feszített sík. f 1 = S S 1 illeszkedik P -re, mivel P mindkét síkon rajta van, másrészt párhuzamos is e-vel, hiszen S síkra f 1 és e is illeszkedik, de közös pontjuk nem lehet e S 1 miatt. Így f 1 az az egyetlen egyenes, ami P -re illeszkedik, és párhuzamos e-vel. Hasonlóan érvelhetünk f 2 = S S 2 -re, s így kapjuk hogy f 1 = f 2 = S 1 S 2. Mivel f 1 e, így az állítást beláttuk. 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek A következő egyszerű állítás egy nevezetes tételt készít elő. 1.7. feladat. Adottak a különböző síkokban fekvő A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2 háromszögek. Tudjuk, hogy az A 1 B 1 és A 2 B 2 egyenesek M 1, A 1 C 1 és A 2 C 2 egyenesek M 2, végül a B 1 C 1 és B 2 C 2 egyenesek M 3 pontokban metszik egymást. Ekkor M 1, M 2 és M 3 pontok kollineárisak. Bizonyítási ötlet. Az M 1, M 2 sé M 3 pontok mindegyike illeszkedik A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2 síkjainak metszésvonalára. Tekintsük és mozgassuk meg a kapcsolódó dinamikus ábrát a GeoGebraTubeon! A Desargues-tétel a fenti állítást messzemenően tovvábgondolja. A részletekért olvassuk el a Desargues-tételről szóló Wikipédia szócikket! 1.4. Gyakorlatok 1.8. gyakorlat. Adjunk meg a térben (a) három (b) n 4

(c) végtelen sok páronként kitérő egyenest! 1.9. gyakorlat. Bármely három nem kollineáris pont egyértelműen meghatároz egy síkot. Legfeljebb hány síkot határoz meg (a) négy (b) öt (c) n különböző pont? Adjunk példát olyan konfigurációra, amely a maximumot szolgáltatja! 1.10. gyakorlat. Adott négy sík, melyek közül bármely kettő metszi egymást. Lehet-e a síkok 6 metszésvonala közül (a) pontosan 3 (b) pontosan 4 párhuzamos? 1.11. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két kitérő egyenes bármelyikén át felvehető a másikkal párhuzamos sík. (GFGY1699) 5

2. A háromszög Célok: a háromszög elemi geometriájának és nevezetes pontjainak ismétlése, a geometriai szemlélet formálása, bizonyítások gyakorlása 2.1. Alapismeretek 2.1.1. Előzetes ismeretek Pont, egyenes, félegyenes, szakasz, szög, szög szára, szögtartomány, irányított szög, mellékszögek, kiegészítő szögek, csúcsszögek, váltószögek; szakasz hosszúsága, szög nagysága; csúcsszögek egyenlő nagyok, derékszög, szögfelező; ponthalmazok távolsága, pont távolsága egyenestől; téglalap és négyzet, paralelogramma; terület, téglalap területe, háromszög területe. 2.1.2. Az ebben a szakaszban felhasznált ismeretek Tekintsünk három nem kollineáris A, B és C pontot a síkon. Az {A, B, C} halmazt háromszögnek nevezzük, jelölése: ABC. AzA, B és C pontok a háromszög csúcsai, az c = AB, b = AC és a = BC szakaszok a háromszög oldalai. A CAB, ABC, BCA a háromszög szögei. Az A csúccsal szemközti oldal a BC, a BC oldallal szemközti csúcs az a, és az ezen oldallal szemközti szög a BAC. A BAC szöggel szemközti oldal a BC oldal, a BAC szög melletti oldalak AB és BC. A BAC szög a AC és AB oldalak közti (vagy általuk közbezárt) szög. A háromszög szögeinek mellékszögeit a háromszög külső szögeinek nevezzük. Egy háromszög külső szögének mellékszögét a háromszög e külső szög melletti belső szögének nevezzük. Ahogy az megszokott, mi is élünk azzal az egyszerűsítéssel, hogy AB a szövegkörnyezettől függően jelölheti magát a szakaszt (mint ponthalmazt), és annak hosszát is. Hasonlóan, a háromszögben a egyszerre jelöli az egyik oldalt (mint szakaszt), és annak hosszát is. A háromszög oldalaira érvényesek a háromszög-egyenlőtlenségek: a+b > c, a+c > b és b+c > a. Azt mondjuk, hogy egy szakasz nagyobb (kisebb), mint egy másik szakasz, ha hosszúsága nagyobb (kisebb). b + c > a. Azt mondjuk, hogy egy szög nagyobb (kisebb), mint egy másik szög, ha nagysága nagyobb (kisebb). Ha adott egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés két háromszög (csúcsai) között úgy, hogy a megfelelő oldalak egyenlő hosszúságúak, és a megfelelő szögek egyenlő nagyságúak, akkor azt mondjuk, hogy a két háromszög egybevágó ; jelölése: ABC = A B C. Két háromszög egybevágóságának alapesete (bizonyítás nélkül): a megfelelő két-két oldal hosszúsága és az általuk közbezárt szög nagysága megegyezik. 6

Ha egy háromszögnek van két egyenlő hosszúságú oldala, akkor a háromszöget egyenlő szárú háromszögeknek nevezzük. Azokat a háromszögeket, amelyeknek minden oldaluk (és így minden szögük) egyenlő, szabályos vagy egyenlő oldalú háromszögnek hívjuk. Megmutatható, hogy egy háromszögnek két oldala pontosan akkor egyenlő, ha a velük szemben fekvő szögek egyenlőek. Rögzítsünk egy O pontot a síkon, és egy r > 0 valós számot. Az O-tól r távolságra lévő pontok halmazát O középpontú r sugarú körvonalnak (néha csak körnek) nevezzük. Az O-tól legfeljebb r távolságra lévő pontok halmazát O középpontú r sugarú körlemeznek (néha csak körnek) nevezzük. Az e egyenes P -ben érinti az O középpontú r sugarú kört, ha a kör és az egyenes egyetlen közös pontja P. Ismert, hogy ekkor OP e. Általában ha adott egy k kör, és Q / k külső pont, akkor k-nak két olyan érintője létezik, ami illeszkedik Q-ra. Ha az érintési pontok rendre P 1 és P 2, akkor QP 1 = QP 2 szimmetriai okok miatt. Legyen adott egy ponthalmaz a síkban. Egy olyan görbét, amelynek minden pontja ugyanolyan távolságra van a ponthalmaztól, ekvidisztáns görbének nevezzük az adott ponthalmazra vonatkozóan. 2.2. Alapvető összefüggések háromszögekre vonatkozóan 1. tétel. Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak. Ennek a tételnek a megfordítása is igaz. 2.1. gyakorlat. Egy háromszögben egyenlő nagyságú szögekkel szemben egyenlő hosszúságú oldalak vannak, tehát azilyen háromszög egyenlő szárú. 2. tétel. Azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak, egy egyenes, amely a szakaszt a felezőpontjában merőlegesen metszi. Az AB szakasz szakaszfelező merőlegese azon pontok halmaza a síkon, amelyek A-tól és B-től egyenlő távolságra vannak. 3. tétel. Tegyük fel, hogy az ABC és az A B C olyan, hogy AB = A B, AC = A C, valamint BAC > B A C, akkor BC > B C. 2.2. gyakorlat. Egy háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. 7

2.3. gyakorlat. Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van. 4. tétel. Ha két háromszög megfelelő oldalainak hosszúsága megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó. 2.4. gyakorlat. Egy háromszögben bármelyik külső szög nagyobb, mint a nem mellette fekvő belső szögek bármelyike. Két metsző egyenes négy szöget határoz meg, amelyek között van két csúcsszögpár, és két mellékszögpár. Két egyenest két különböző A és B pontban metsző harmadik egyenes egyik oldalán az AB szárú és másik oldalán a BA szárú szöget belső alternáló szögpárnak nevezzük (két ilyen szögpár van). 2.5. feladat. Mutassuk meg, hogy ha három egyenes által meghatározott egyik belső alternáló szögpár egyenlő nagy, akkor a másik is az. 2.6. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha két egyenest egy harmadik egyenlő nagyságú belső alternáló szögekben metsz, akkor a két egyenes párhuzamos. A geometriánkban minden háromszög szögeinek összege megegyezik, nevezetesen: 5. tétel. A háromszögek szögeinek összege 180. 2.7. gyakorlat. 2.3. A háromszög nevezetes pontjai 2.3.1. A körülírt kör középpontja 6. tétel. Az ABC háromszög oldalfelező merőlegesei egy O pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög mindhárom csúcsától ugyanakkora távolságra van. (3. ábra.) Mozgassuk meg az ábrát a GeoGebraTube-on! Mit tapasztalunk, ha a háromszög egyik szögét elkezdjük növelni? Bizonyítás. Jelölje az oldalfelező merőlegeseket rendre e a, e b és e c. Legyen O az e a és az e b egyenesek metszéspontja: O = e a e b. Definíció szerint az O pont egyenlő távolságra van B és C pontoktól (mivel rajta van e a -n), valamint O egyenlő távolságra van A és C csúcsoktól (mivel rajta van e b -n). Így az O pont egyenlő távolságra van az A és B csúcsoktól is, így rajta van az e c oldalfelező merőlegesen. Valóban, az e a, e b és e c oldalfelező merőlegesek 8

e c A e a e b B O C 3. ábra. A háromszög köré írt kör középpontja egy pontban metszik egymást, méghozzá az O pontban, amely mindhárom csúcstól ugyanakkora távolságra van. Tekintsük a 6. Tételben szereplő ABC háromszöget, és az O pontot, valamint legyen OA = OB = OC = R. Az O körüli, R sugarú körvonal tartalmazza az A, B és C pontok mindegyikét, ezért a háromszög körülírt körének nevezzük. A körülírt kör az egyetlen mindhárom csúcsot tartalmazó körvonal. 2.3.2. A beírt kör középpontja 2.8. feladat. Mutassuk meg, hogy egy pont távolsága egy rajta át nem menő egyenestől a pontból az egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hossza. Tekintsünk két különböző e és f egyenest a síkon. Ha e f, akkor az e-től és f-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza egy egyenes, az e és f középpárhuzamosa. Ha e f = {M}, akkor az e-től és f-től egyenlő távolságra lévő pontok két egymásra merőleges egyenesen helyezkednek el, amelyek M pontban metszik egymást. Ezek az egyenesek felezik az e és f által meghatározott megfelelő szögeket, ezért őket az e és f szögfelezőinek nevezzük. 7. tétel. Bármely ABC háromszög belső szögfelezői egy I pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög minden oldalától egyenlő távolságra van. A tétel bizonyítása nagyon hasonló a 6. Tétel bizonyításához, próbáljuk meg önállóan! Ellenőrzésként megtekinthetjük a GeoGebraTube-on. 9

Tekintsük a 7. Tételben szereplő ABC háromszöget, és az I pontot, valamint legyen d(i, a) = d(i, b) = d(i, c) = r. Könnyű látni, hogy az I középpontú, r sugarú kör minden oldalt egy belső pontban érint, ezért a háromszög beírt körének nevezzük. A beírt kör az egyetlen olyan kör, ami a háromszög mindhárom oldalát belső pontban érinti. Az érintési pontokba húzott sugarak merőlegesek a megfelelő oldalakra. 2.3.3. A magasságpont A háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsájtott merőleges egyenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. A magasságvonal és az oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja. A csúcsot a talpponttal összekötő szakaszt a háromszög magasságának nevezzük. A magasság szó gyakran ennek a szakasznak a hosszát is jelenti. Ez másképp mondva a csúcs távolsága a szemközti oldalegyenestől. A magasság fogalmának bevezetését a háromszögre érvényes legelső területformulánk motiválhatja. Ha a háromszög A csúcsával szemközt a hosszú oldala van, és a hozzájuk tartozó magasság m a, akkor a háromszög területe T = a m a. 2 8. tétel. A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. Tekintsük meg a GeoGebraTube-on a vonatkozó dinamikus ábrát! A bizonyítás előtt ismételjük át a paralelogramáról tanult alapvető ismereteinket a Wikipédia alapján! Bizonyítás. Tekintsük a 4. ábrát. Jelölje a magasságvonalakat rendre m A, m B és m C. Húzzunk párhuzamost a-val A-n keresztül, b-vel B-n keresztül, és c-vel C-n keresztül. Ezek az egyenesek meghatároznak egy nagyobb háromszöget, ennek csúcsait jelölje A, B és C az ábra szerint. A C BCA négyszög paralelogramma, mivel BC AC és BC AC. Hasonlóan kapjuk, hogy ABCB négyszög is paralelogramma. Így AC = BC = AB. Ezért A pont felezi B C szakaszt. Továbbá, m A BC, valamint C B CB, így m A C B. Kaptuk, hogy m A a B C szakasz felező merőlegese. Hasonlóan megmutatható, hogy m C az A B szakasz felező merőlegese, míg m B az A C szakasz felező merőlegese. Az m A, m B és m C egyenesek az A B C oldalfelező merőlegesei, így valóban egy pontban metszik egymást. 2.9. gyakorlat. Legyen ABC magasságpontja M. Mi az ABM magasságpontja? 10

B C A M C B A m c m b m a 4. ábra. A háromszög magasságpontja 2.10. gyakorlat. Vezessük be az ABC félkerületére az s = (a + b + c)/2 jelölést, továbbá legyen r a beírt kör sugara. Mutassuk meg, hogy az ABC területére T = s r. 2.3.4. A súlypont A háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük. A súlyvonal névadó tulajdonsága, hogy ha a háromszöglemezt a súlyvonala mentén alátámasztjuk, akkor egyensúlyban marad, és nem billen le az alátámasztásról. 2.11. gyakorlat. Készítsünk dinamikus ábrát GeoGebrával a háromszög súlyvonalairól! 9. tétel. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont minden súlyvonalat harmadol, mégpedig úgy, hogy a súlypont a súlyvonalak csúcsoktól távolabb eső harmadolópontja. 2.12. feladat. Mutassuk meg a háromszög területformulájának felhasználásával, hogy a súlyvonalak egy ponton mennek át! 11

A súlypontjában alátámasztott háromszöglemez egyensúlyban marad, nem billen le. Ugyanezt tudjuk, a súlyvonalakról. Valójában tetszőleges, a súlyponton áthaladó egyenes mentén alátámasztva a háromszöglemezt, az nem billen le. A súlypont létezéséről szóló tétel bizonyítására a kurzus folyamán visszatérünk. 2.13. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a súlyvonalak a háromszöget két egyenlő területű háromszögre osztják. 2.14. feladat. Melyek azok a súlypontra illeszkedő egyenesek, amelyek a háromszöget két egyenlő területű részre osztják? A 2.14. feladat a KöMaL B. 3295. példája. A háromszögre vonatkozó alapismeretek rövid összefoglalója található itt és itt. (Sok részlet a kurzus folyamán később előkerül valamilyen formában.) 2.4. Gyakorlatok 2.15. gyakorlat. Mi lesz a háromszög talpponti háromszögébe írható körének középpontja? 2.16. gyakorlat. Adott a síkban három pont. Szerkesszünk háromszöget, melyben ezek a magasságok talppontjai! 2.17. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy egyenes ekvidisztáns görbéje egyenes! 2.18. gyakorlat. Határozzuk meg egy egyenes összes ekvidisztáns görbéjét! 2.19. gyakorlat. Határozzuk meg egy kör ekvidisztáns görbéit! 2.20. gyakorlat. Határozzuk meg egy két párhuzamos egyenesből álló ponthalmaz ekvidisztáns görbéit! 2.21. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két metsző egyenes ekvidisztáns görbéi a szögfelező egyenesek. 2.22. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy szög szögfelező egyenesei merőlegesek. 12